資源簡介

(共31張PPT)
（人教版）數學（2025）
七年級
下
第七章 相交線與平行線第七章
7.3 定義、命題、定理
學習目標
1.理解定義、命題、定理及證明的概念，會區分命題的題設和結論.（重點）
2. 會判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用. （難點）
不要再搶啦！每個人發一個球！
相傳,閻錫山在觀看士兵籃球賽,雙方爭搶非常激烈.于是命令:
（一）定義
對于一個概念特征性質的描述叫作這個概念的定義.
知識點一 定義的概念
如：“連接兩點線段的長度，叫作這兩點之間的距離”是兩點間距離的定義.
2.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.
如：畫線段AB=CD.
1.只要對一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題.
如：相等的角是對頂角.
注意：
（一）命題的定義
可以判斷為正確（或真）或錯誤（假）的陳述語句，叫作命題(proposition).
知識點二 命題的定義與結構
觀察下列命題，你能發現這些命題有什么共同的結構特征？與同伴交流.
（1）如果兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形的周長相等；
（2）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；
（3）如果一個數的平方等于9，那么這個數是3.
都是“如果……那么……”的形式
（二）命題的結構
命題一般都可以寫成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是題設,2.“那么”后接的部分是結論.
如命題：熊貓沒有翅膀.改寫為：
如果這個動物是熊貓，那么它就沒有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的題設和結論更明朗，易于分辨，改寫過程中，要適當增加詞語，切不可生搬硬套.
命題
題設
結論
已知事項
由已知事項推出的事項
兩直線平行， 同位角相等
題設（條件）
結論
（三）命題的組成：
例1 判斷下列四個語句中，哪個是命題， 哪個不是命題？并說明理由.
(1）對頂角相等嗎？
（2）畫一條線段AB=2 cm；
（3）兩條直線平行，同位角相等；
（4）相等的兩個角，一定是對頂角.
解：（3）（4）是命題，（1）（2）不是命題.
理由如下：（1）是問句，故不是命題；（2）是做一件事情，也不是命題.
2.兩條直線相交，有且只有一個交點；（ ）
5.取線段AB的中點C； （ ）
1.長度相等的兩條線段是相等的線段嗎 ( )
6.畫兩條相等的線段.（ ）
例2 判斷下列語句是不是命題？是用“√”，不是用“×”表示.
3.不相等的兩個角不是對頂角；（ ）
4.相等的兩個角是對頂角；（ ）
×
√
×
×
√
√
特別規定：
被判斷為正確的命題叫作真命題，被判斷為錯誤的命題叫作假命題.
命題1：如果一個數能被4整除，那么它也能被2整除.
觀察下列命題,你能發現這些命題有什么不同的特點嗎？
命題1是一個正確的命題;命題2是一個錯誤的命題.
命題2：如果兩個角互補，那么它們是鄰補角.
知識點三 真命題與假命題
（1）同旁內角互補；（ ）
（4）兩點可以確定一條直線；（ ）
（7）互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直.（ ）
（2）一個角的補角大于這個角；（ ）
例1 判斷下列命題的真假.真的用“√”，假的用“×”表示.
（5）兩點之間線段最短；（ ）
（3）相等的兩個角是對頂角；（ ）
×
√
（6）同角的余角相等；（ ）
×
√
√
√
×
“因為早上我發現張三從玉米地那邊過來，把一袋東西背回家，還發現我地里的玉米被人偷了，我知道張三家沒有種玉米.
所以我家玉米肯定是張三偷的.”
片段1：一天早上，李老漢來到衙門里告狀說：張三剛剛在他地里偷了一袋子玉米.呂縣令立即派衙役將張三拘捕到縣衙審訊:
呂縣令問李老漢：“你怎知是張三偷了你的玉米 ”
這種從已知條件出發（列出理由），推斷出結論的證明方法，叫綜合法.綜合法是最常用的證明方法.
知識點四 證明與舉反例
片段2：縣官一時拿不定主意，就問旁邊的縣丞：“師爺，你怎么看？”縣丞說“這事要證明是張三干的，還得弄清那袋子里裝的是不是剛掰的玉米，還要看看地里的腳印是不是張三的才行.如果袋子里裝的是剛掰的玉米，且地里的腳印是張三的，那就一定是他偷的.”
從結論出發，逆著尋找所需要的條件的思考過程，叫分析.
在分析的過程中，如果發現所需要的條件都已具備，或可從已知條件中推得，那么證明就很容易了.
例1 如圖，∠1=∠2，試說明直線AB，CD平行.
分析：要證明AB，CD平行，可以從同位角相等的條件出發，圖中∠1與∠3就是同位角.
我們只要找到：能說明它倆相等的條件就行了.從圖中，我們可以發現：∠2與∠3是對頂角，所以∠3=∠2.這樣我們就找到了∠1與∠3相等的確切條件了.
證明：因為∠2與∠3是對頂角，
所以∠3=∠2.
又因為∠1=∠2，
所以∠1=∠3，
因為∠1與∠3是同位角，
所以AB與CD平行.
證明：
∵∠2與∠3是對頂角，
∴∠3=∠2.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD.
1.數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫作公理.
兩點確定一條直線.
兩點之間線段最短.
經過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行.
直線公理：
線段公理：
平行線公理：
知識點五 公理的概念與定理的概念
同角或等角的補角相等.
2.余角的性質：
同角或等角的余角相等.
4.垂線的性質：
①在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
1.補角的性質：
3.對頂角的性質：
對頂角相等.
②垂線段最短.
學過的定理：
2.有些命題是基本事實，還有一些命題，它們的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫作定理.定理也可以作為繼續推理的依據.
在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理才能作出判斷，這個推理過程叫作證明.
注意：
證明的每一步推理都要有根據，不能“想當然”.
3.證明的概念
例1 如圖，已知：b∥c， a⊥b ．求證：a⊥c．
證明： ∵ a ⊥b（已知），
∴ ∠1=90°（垂直的定義）.
又 b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定義）.
a
b
c
1
2
確定一個命題是假命題的方法：
例如，要判定命題“相等的角是對頂角”是假命題 ，可以舉出如下反例：
如圖，OC是∠AOB的平分線， ∠1=∠2，但它們不是對頂角.
）
）
1
2
A
O
C
B
只要舉出一個例子（反例）：它符合命題的題設，但不滿足結論即可.
思考：如何判定一個命題是假命題呢？
知識點六 舉反例
1.下列語句中，不是命題的是(　　)
A.兩點之間線段最短
B.對頂角相等
C.不是對頂角不相等
D.過直線AB外一點P作直線AB的垂線
D
2.下列命題中，是真命題的是(　　)
A.若a·b＞0，則a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，則a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，則a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，則a＝0或b＝0
D
3.下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題.
1.豬有四只腳；
2.內錯角相等；
3.畫一條直線；
4.四邊形是正方形；
5.你的作業做完了嗎？
6.內錯角相等，兩直線平行；
7.垂直于同一直線的兩直線平行.
是
真命題
否
是
假命題
是
假命題
否
是
真命題
是
假命題
4.舉反例說明下列命題是假命題．
(1)若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等；
(2)若ab＝0，則a＋b＝0.
解：(1)兩條直線平行形成的內錯角，這兩個角不是對頂角，但是它們相等；
(2)當a＝5，b＝0時，ab＝0，但a＋b≠0.
5.在下面的括號內，填上推理的依據.
如圖，AB ∥ CD,CB ∥ DE .求證∠ B+ ∠D=180°.
證明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
等量代換
兩直線平行，內錯角相等
兩直線平行，同旁內角互補
證明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(兩直線平行,內錯角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分線的定義)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代換)，
∴PG∥HQ(內錯角相等，兩直線平行)．
6.如圖，已知AB∥CD，直線AB，CD被直線MN所截，交點分別為P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.求證PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G
命題的定義與結構
命題的分類
命題的組成
定義、命題、定理
真命題
假命題
公理（不需要證明）
定理（由推理證實）
其他
只需舉一個反例
題設和結論
判斷一件事情的句子
定義的概念
對于一個概念特征性質的描述叫作這個概念的定義
謝謝觀看
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展開更多......

收起↑