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(共27張PPT)
（人教版）數(shù)學（2025）
七年級
下
第七章 相交線與平行線
7.1.2 垂線及其畫法
1．理解垂線的概念；（重點）
2．會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；（重點）
3. 體會作已知直線的垂線的存在性和唯一性，歸納出垂線的基本事實.（難點）
學習目標
觀察下面圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關系？
情境導入
日常生活里，有圖中位置關系的兩條直線很常見，你能再舉出其他例子嗎？
知識點一 垂直、垂線、垂足的概念
取兩根木條 a、b，將它們釘在一起，固定木條 a ，轉動木條 b，a、b 所成的夾角為 α .
轉動木條的同時觀察其夾角的變化.
）
α
a
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
新知講解
a 與 b 垂直,
記作 a⊥b.
(1) 當 α 分別為 35°、90° 時，其余的角分別是多少度？
(2) 旋轉過程中α 為 90° 的位置有幾個？此時，木條 a 和木條 b 所在的直線有什么樣的位置關系？
α
b
）
α
b
）
a
a
唯一一個
思考：
新知講解
垂足
記法：
AB⊥CD，垂足為 O.
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線.
知識點一 垂直、垂線、垂足的概念
新知講解
垂足
符號語言：
因為∠AOC = 90°，
所以 AB⊥CD.
新知講解
知識點一 垂直、垂線、垂足的概念
知識點二 垂線的畫法及基本事實
(1) 畫已知直線 l 的垂線能畫幾條
(2) 過直線 l 上的一點 A 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫幾條
(3) 過直線 l 外的一點 B 畫 l 的垂線，這樣的垂線能畫幾條
新知講解
思考：
問題：這樣畫 l 的垂線可以
畫幾條？
1.放
l
O
如圖，已知直線 l，
畫 l 的垂線.
A
無數(shù)條
2.靠
3.畫
…
新知講解
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.畫
如圖，已知直線 l 和 l 上的
一點 A，過點 A 畫 l 的垂線.
問題：這樣畫 l 的垂線可以畫幾條？
一條
新知講解
如圖，已知直線 l 和 l 外的一點 M，過點 M 畫 l 的垂線.
l
M
N
1.放
2.靠
3.移
4.畫
問題：這樣畫 l 的垂線可以畫幾條？
一條
新知講解
基本事實：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
知識點二 垂線的畫法及基本事實
新知講解
A
B
例1 過點 P 畫出射線 AB 或線段 AB 的垂線．
P
(1)
A
B
P
(2)
畫一條射線或線段的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.
新知講解
例2 如圖，在三角形ABC中，過點B畫邊AC的垂線，下列畫法正確的是 ( )
D
A
C
B
D
垂足有時在線段的延長線或射線的反向延長線上，所畫的垂線是實線.若需延長線段或反向延長射線，則用虛線。
新知講解
1. 在下列條件中：①兩直線相交所成的四個角都是直角；②兩直線相交，對頂角互補；③兩直線相交所成的四個角都相等，可以判定兩條直線互相垂直的是（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
D
隨堂練習
2.在直線AB 上任取一點O,過點O作射線OC,OD,使OC⊥OD 于點O.
當∠AOC=30°時，∠BOD的度數(shù)為( )
A.60° B.120°
C.60°或90° D.60°或120°
【解析】分兩種情況討論：①如圖①，
因為OC⊥0D,所以∠COD=90°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=60°;
②如圖②，因為OC⊥OD，所以∠COD=90°,
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=60°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.
綜上所述，∠BOD的度數(shù)為60°或120°.
隨堂練習
①
②
D
3.如圖，直線 AB 和 CD 交于點 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足為 O，若∠AOC = 40°，則 ∠EOF =_______.
分析：
∠EOF = 90°+∠DOF
OD 平分∠BOF
∠AOC = ∠DOB
∠EOF = 90°+40° = 130°
130°
隨堂練習
4. 如圖，直線 AB、CD 相交于點 O，OM⊥AB.
(1) 若 ∠1 = ∠2，求∠NOD 的度數(shù)；
(2) 若 ∠1=∠AOC，求 ∠BOC 和 ∠MOD 的度數(shù).
分析：(1)
∠1 = ∠2
OM⊥AB
∠2+∠AOC = 90°
∠NOD = 90°
90°
隨堂練習
(2)
∠BOC = ∠1+90°
∠MOD = 180°-∠1
需求出 ∠1
的度數(shù)
已知∠1 = ∠AOC
OM⊥AB
設∠1 = x°，列方程 x+2x=90求∠1
未知角度
逆向思考
與已知角度建立聯(lián)系 (可設未知數(shù)列方程）
∠MOD = 150°
∠BOC = 120°
隨堂練習
5.如圖，已知O為直線AB上一 點，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC, 則OE與OD有什么位置關系 為 什么
解：OE⊥OD.理由如下：
因為OE平分∠BOC，OD 平分∠AOC，
所以∠COE= ∠BOC，∠COD= ∠AOC.
因為∠AOC+∠BOC=180°,
所以∠COD+∠COE= （∠AOC+∠BOC）=
×180°=90°,即∠DOE=90°,所以OE⊥OD.
隨堂練習
6.如圖，直線AB,CD相交于點O,OF⊥CD,OE平分∠BOC.
(1)若∠BOE=60°,求∠AOF的度數(shù)；
(2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF的度數(shù).
解：(1)因為OE平分∠BOC,∠BOE=60°，
所以∠BOC=2∠BOE=120°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=60°.
因為OF丄CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°- 60°=30°.
隨堂練習
(2)因為OE平分∠BOC,所以∠BOE=∠COE.
因為∠BOD:∠BOE=4:3，
所以設∠BOD=4x°，則∠BOE=3x°,
所以∠COE=3x°,
因為∠BOD+∠BOE+∠COE=180°,
所以10x=180，解得x=18，
所以∠BOD=4×18°=72°，
所以∠AOC=∠BOD=72°.
因為OF丄CD，所以∠COF =90°，
所以∠AOF =∠COF -∠AOC=90°-72°=18°.
隨堂練習
(2)若∠BOD:∠BOE=4:3,求∠AOF 的度數(shù).
垂線及其畫法
垂線的定義
垂線的畫法
兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線
垂足
基本事實
一放二靠三移四畫
在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
課后小結
謝謝觀看
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