資源簡介

第4課時　萬有引力定律的應用
【知識網絡】
熱點一　開普勒定律與萬有引力定律的應用
例1 (2024·浙江6月選考，8)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖1所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則(　　)
圖1
A.小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B.小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C.小行星甲與乙的運行周期之比＝
D.甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比＝
例2 (2024·河北模擬預測)嫦娥六號月球探測器于2024年6月25日在內蒙古預定區域成功著陸，實現了世界首次月球背面采樣返回的壯舉。假設距離月球球心h處的重力加速度g與h的關系圖像如圖2所示，已知引力常量為G，則(　　)
圖2
A.距月球表面h0處的重力加速度為g0
B.月球的平均密度為
C.在距月球表面2h0軌道上運行的航天器的速度大小為
D.距月球球心h0和h0兩位置處的重力加速度大小相等
訓練1 (2024·海南卷，6)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A. B. C. D.
熱點二　人造衛星和天體運動
例3 (2024·湖南長沙模擬)某型號手機實現了手機衛星通信，只要有衛星信號覆蓋的地方，就可以實現通話。如圖3所示三顆赤道上空的通信衛星就能實現環赤道全球通信，已知三顆衛星離地高度均為h，地球的半徑為R，地球同步衛星離地高度為6R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.三顆通信衛星受到地球的萬有引力的大小相等
B.能實現全球通信時，衛星離地高度至少為2R
C.其中一顆質量為m的通信衛星的動能為
D.通信衛星和地球自轉周期之比為
例4 (2024·黑龍江哈爾濱一模)科學家在地球上用望遠鏡觀測一個雙星系統，可觀測到一個亮度周期性變化的光點，這是因為其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。現科學家用一航天器去撞擊雙星系統中的一顆小行星，撞擊后，科學家觀測到系統光點明暗變化的時間間隔變短。若不考慮撞擊引起的小行星質量變化，且撞擊后該雙星系統仍能穩定運行，則被航天器撞擊后(　　)
A.該雙星系統的運動周期不變
B.兩顆小行星中心連線的距離不變
C.兩顆小行星的向心加速度均變大
D.兩顆小行星做圓周運動的半徑之比變大
訓練2 (2024·廣東湛江一模)北京時間2024年1月9日，我國在西昌衛星發射中心采用長征二號丙運載火箭，成功將“愛因斯坦探針”空間科學衛星發射升空，衛星順利進入高度為600 km、傾角為29°的近地軌道，發射任務取得圓滿成功。已知同步衛星距地球表面高度約為35 900 km，下列說法正確的是(　　)
A.該衛星的運行速度大于第一宇宙速度
B.該衛星的運行周期大于24 h
C.該衛星軌道處的重力加速度大于9.8 m/s2
D.該衛星運行的角速度大于地球同步衛星的角速度
熱點三　衛星的變軌、對接、追及相遇問題
例5 (2024·湖南長沙模擬預測)2023年10月26日，神舟十七號載人飛船與天和核心艙進行了對接，“太空之家”迎來湯洪波、唐勝杰、江新林3名航天員入駐。如圖4為神舟十七號的發射與交會對接過程示意圖，圖中①為飛船的近地圓軌道，其軌道半徑為R1，②為橢圓變軌軌道，③為天和核心艙所在的圓軌道，其軌道半徑為R2，P、Q分別為②軌道與①、③軌道的交會點。關于神舟十七號載人飛船與天和核心艙交會對接過程，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.飛船從②軌道變軌到③軌道需要在Q點點火減速
B.飛船在③軌道上運行的速度大于第一宇宙速度
C.飛船在①軌道的動能一定大于天和核心艙在③軌道的動能
D.若核心艙在③軌道運行周期為T，則飛船在②軌道從P到Q的時間為
T
訓練3 (2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖5所示。根據以上信息可以得出(　　)
圖5
A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D.下一次“火星沖日”要出現在2023年12月8日之前
1.(2024·山東卷，5)鵲橋二號中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
A. B. C. D.
2.(2024·新課標卷，16)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
3.(2024·湖北卷，4)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖6中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
圖6
A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
4.(多選)(2024·河北卷，8)2024年3月20日，鵲橋二號中繼星成功發射升空，為嫦娥六號在月球背面的探月任務提供地月間中繼通信。鵲橋二號采用周期為24 h的環月橢圓凍結軌道(如圖7)，近月點A距月心約為2.0×103 km，遠月點B距月心約為1.8×104 km，CD為橢圓軌道的短軸，下列說法正確的是(　　)
圖7
A.鵲橋二號從C經B到D的運動時間為12 h
B.鵲橋二號在A、B兩點的加速度大小之比約為81∶1
C.鵲橋二號在C、D兩點的速度方向垂直于其與月心的連線
D.鵲橋二號在地球表面附近的發射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
5.(多選)(2024·廣東卷，9)如圖8所示，探測器及其保護背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行星表面時以60 m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩斷開連接，背罩與降落傘保持連接。已知探測器質量為1000 kg，背罩質量為50 kg，該行星的質量和半徑分別為地球的和。地球表面重力加速度大小g＝10 m/s2。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有(　　)
圖8
A.該行星表面的重力加速度大小為4 m/s2
B.該行星的第一宇宙速度為7.9 km/s
C.“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80 m/s2
D.“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為30 kW
6.(多選)(2024·湖南卷，7)2024年5月3日，嫦娥六號探測器順利進入地月轉移軌道，正式開啟月球之旅。相較于嫦娥四號和嫦娥五號，本次的主要任務是登陸月球背面進行月壤采集，并通過升空器將月壤轉移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的，月球半徑約為地球半徑的。關于返回艙在該繞月軌道上的運動，下列說法正確的是(　　)
A.其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的倍
D.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的倍
基礎保分練
1.(2024·全國甲卷，16)2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是(　　)
A.在環月飛行時，樣品所受合力為零
B.若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C.樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D.樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小
2.(2024·山東泰安一模)如圖1所示，A、B是圍繞地球運轉的兩顆衛星，其中A衛星的軌道半徑為RA，B衛星的軌道半徑為RB，經過相同的時間，A衛星與地心O的連線掃過的面積為SA，B衛星與地心О的連線掃過的面積為SB，已知SB∶SA＝1∶2，則RB∶RA的值為(　　)
圖1
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶8
3.(2024·天津和平模擬)嫦娥六號探測器測得月球表面的重力加速度為g0，已知月球的半徑為R0，地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R。忽略地球、月球自轉的影響，則(　　)
A.月球質量與地球質量之比為
B.月球密度與地球密度之比為
C.月球第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比為
D.嫦娥六號在月球表面所受萬有引力與在地球表面所受萬有引力大小之比為
4.(2024·江西卷，4)嫦娥六號探測器于2024年5月8日進入環月軌道，后續經調整環月軌道高度和傾角，實施月球背面軟著陸。當探測器的軌道半徑從r1調整到r2時(兩軌道均可視為圓形軌道)，其動能和周期從Ek1、T1分別變為Ek2、T2。下列選項正確的是(　　)
A.＝，＝ B.＝，＝
C.＝，＝ D.＝，＝
5.(多選)(2024·江西名校聯盟高三摸底)北斗系統空間段由若干地球靜止軌道衛星、傾斜地球同步軌道衛星和中圓地球軌道衛星等組成。將地球看成質量均勻的球體，若地球半徑與同步衛星的軌道半徑之比為k，下列說法正確的是(　　)
圖2
A.傾斜地球同步軌道衛星有可能每天同一時刻在北京的正上方
B.地球靜止軌道衛星有可能總在北京正上方與我們相對靜止
C.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為(1－k3)
D.地球北極重力加速度大小與赤道的重力加速度大小之比為(1－k3)
6.(2024·安徽合肥一模)我國科學家團隊在某個河外星系中發現了一對相互繞轉的超大質量雙黑洞系統，這是迄今為止發現的第二例超大質量雙黑洞繞轉系統，兩黑洞繞它們連線上某點做勻速圓周運動。黑洞1、2的質量分別為M1、M2，下列關于黑洞1、2的說法正確的是(　　)
A.半徑之比為M1∶M2
B.向心力之比為M1∶M2
C.動能之比為M1∶M2
D.角速度之比為1∶1
7.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。當抵達距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖3所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
圖3
A.周期約144 h
B.近月點的速度大于遠月點的速度
C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
8.(2024·河南鄭州模擬預測)2024年4月25日，神舟十八號在酒泉衛星發射中心點火升空，成功將神舟十八號乘組成員順利送入太空。對接前，空間站與神舟十八號的軌道如圖4所示。對接后組合體在空間站之前的軌道上運行，已知空間站距地球表面約400 km。則下列判斷正確的是(　　)
圖4
A.若神舟十八號從圖示位置變軌實現對接，空間站一定沿順時針方向運行
B.若神舟十八號從圖示位置變軌，變軌后神舟十八號速度一直增大才能實現對接
C.對接后，組合體的加速度比對接前空間站的加速度大
D.圖中神舟十八號和空間站總的機械能小于組合體在軌運行時總的機械能
提能增分練
9.(2024·山東濟寧一模)如圖5甲所示，兩衛星a、b環繞木星在同一平面內做勻速圓周運動，繞行方向相反，衛星c繞木星做橢圓運動，某時刻開始計時，衛星a、b間距離x隨時間t變化的關系圖像如圖乙所示，其中R、T為已知量，下列說法正確的是(　　)
圖5
A.衛星c在N點的速度大于衛星a的速度
B.衛星a、b的運動周期之比為1∶4
C.衛星a的運動周期為T
D.衛星a的加速度大小為
10.(多選)(2024·山東淄博一模)2024年我國將加速穩步推進載人登月，未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗，得到如圖6所示的共振曲線，共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是(　　)
圖6
A.該單擺在月球上的共振頻率為f2
B.月球表面的重力加速度g月＝g
C.月球的質量M月＝
D.月球的密度ρ月＝
11.(2024·黑吉遼卷，7)如圖7(a)，將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標原點O，豎直向上為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運動的圖像如圖(b)所示(不考慮自轉影響)。設地球、該天體的平均密度分別為ρ1和ρ2，地球半徑是該天體半徑的n倍。的值為(　　)
圖7
A.2n B. C. D.
培優高分練
12.(2024·重慶一中模擬預測)如圖8所示，航天器c位于日地系統中拉格朗日L1點處，與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形，大圓為地球繞太陽中心做勻速圓周運動的軌跡。實際上，a、b、c是一個“三星”系統，由于航天器的質量遠小于天體的質量，a、b、c繞著a、b構成的“雙星”連線中的O點轉動。忽略其他天體的影響，則(　　)
圖8
A.c的周期大于b的周期
B.c的向心加速度等于b的向心加速度
C.c的向心力指向太陽中心
D.c的線速度大于b的線速度
熱點一　開普勒定律與萬有引力定律的應用
例1 (2024·浙江6月選考，8)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖1所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則(　　)
圖1
A.小行星甲在遠日點的速度大于近日點的速度
B.小行星乙在遠日點的加速度小于地球公轉加速度
C.小行星甲與乙的運行周期之比＝
D.甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比＝
答案　D
解析　由開普勒第二定律可知，小行星甲在遠日點的速度小于在近日點的速度，A錯誤；由＝ma，可得a＝，結合題圖可知，小行星乙的遠日點到太陽的距離等于地球的公轉半徑，故小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉加速度，B錯誤；根據開普勒第三定律可得＝，則＝，C錯誤；甲、乙兩星從遠日點到近日點的時間之比＝＝＝，
D正確。
例2 (2024·河北模擬預測)嫦娥六號月球探測器于2024年6月25日在內蒙古預定區域成功著陸，實現了世界首次月球背面采樣返回的壯舉。假設距離月球球心h處的重力加速度g與h的關系圖像如圖2所示，已知引力常量為G，則(　　)
圖2
A.距月球表面h0處的重力加速度為g0
B.月球的平均密度為
C.在距月球表面2h0軌道上運行的航天器的速度大小為
D.距月球球心h0和h0兩位置處的重力加速度大小相等
答案　B
解析　由題圖可知，距月球球心距離h0處的重力加速度為g0，A錯誤；設月球半徑為R，當h≤R時，G＝mg，M＝ρ·πh3，解得g＝；
當h＞R時，G＝mg′，解得g′＝，由題圖可知R＝h0，月球的密度為ρ＝＝＝，B正確；當距月球球心h0時，g1＝＝g0，當距月球球心h0時，g2＝＝g0，D錯誤；在距月球表面2h0軌道上運行時，有＝m，則航天器的速度大小為v＝＝，C錯誤。
訓練1 (2024·海南卷，6)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　
熱點二　人造衛星和天體運動
例3 (2024·湖南長沙模擬)某型號手機實現了手機衛星通信，只要有衛星信號覆蓋的地方，就可以實現通話。如圖3所示三顆赤道上空的通信衛星就能實現環赤道全球通信，已知三顆衛星離地高度均為h，地球的半徑為R，地球同步衛星離地高度為6R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.三顆通信衛星受到地球的萬有引力的大小相等
B.能實現全球通信時，衛星離地高度至少為2R
C.其中一顆質量為m的通信衛星的動能為
D.通信衛星和地球自轉周期之比為
答案　D
解析　通信衛星受到的萬有引力F＝G，三顆通信衛星的質量未知，所以萬有引力大小不一定相等，A錯誤；三顆通信衛星若要全覆蓋，如圖所示，由幾何關系可知cos 60°＝，解得通信衛星離地高度至少h＝R，B錯誤；對衛星，有G＝m，在地球表面G＝mg，其動能為Ek＝mv2＝，C錯誤；由開普勒第三定律可得＝＝()3，同步衛星與地球自轉周期相等，解得通信衛星和地球自轉周期之比為＝＝，D正確。
方法總結　人造衛星運動問題的分析要點
例4 (2024·黑龍江哈爾濱一模)科學家在地球上用望遠鏡觀測一個雙星系統，可觀測到一個亮度周期性變化的光點，這是因為其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。現科學家用一航天器去撞擊雙星系統中的一顆小行星，撞擊后，科學家觀測到系統光點明暗變化的時間間隔變短。若不考慮撞擊引起的小行星質量變化，且撞擊后該雙星系統仍能穩定運行，則被航天器撞擊后(　　)
A.該雙星系統的運動周期不變
B.兩顆小行星中心連線的距離不變
C.兩顆小行星的向心加速度均變大
D.兩顆小行星做圓周運動的半徑之比變大
答案　C
解析　撞擊后，科學家觀測到系統光點明暗變化的時間間隔變短，可知該雙星系統的運動周期變小，故A錯誤；設雙星之間的距離為L，根據萬有引力提供向心力可得G＝m1r1＝m2r2，其中r1＋r2＝L，聯立解得＝，T2＝，可知兩顆小行星中心連線的距離減小，兩顆小行星做圓周運動的半徑之比不變，故B、D錯誤；根據牛頓第二定律G＝m1a1＝m2a2，兩顆小行星中心連線的距離減小，兩顆小行星的向心加速度均變大，故C正確。
訓練2 (2024·廣東湛江一模)北京時間2024年1月9日，我國在西昌衛星發射中心采用長征二號丙運載火箭，成功將“愛因斯坦探針”空間科學衛星發射升空，衛星順利進入高度為600 km、傾角為29°的近地軌道，發射任務取得圓滿成功。已知同步衛星距地球表面高度約為35 900 km，下列說法正確的是(　　)
A.該衛星的運行速度大于第一宇宙速度
B.該衛星的運行周期大于24 h
C.該衛星軌道處的重力加速度大于9.8 m/s2
D.該衛星運行的角速度大于地球同步衛星的角速度
答案　D
解析　
G＝
熱點三　衛星的變軌、對接、追及相遇問題
例5 (2024·湖南長沙模擬預測)2023年10月26日，神舟十七號載人飛船與天和核心艙進行了對接，“太空之家”迎來湯洪波、唐勝杰、江新林3名航天員入駐。如圖4為神舟十七號的發射與交會對接過程示意圖，圖中①為飛船的近地圓軌道，其軌道半徑為R1，②為橢圓變軌軌道，③為天和核心艙所在的圓軌道，其軌道半徑為R2，P、Q分別為②軌道與①、③軌道的交會點。關于神舟十七號載人飛船與天和核心艙交會對接過程，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.飛船從②軌道變軌到③軌道需要在Q點點火減速
B.飛船在③軌道上運行的速度大于第一宇宙速度
C.飛船在①軌道的動能一定大于天和核心艙在③軌道的動能
D.若核心艙在③軌道運行周期為T，則飛船在②軌道從P到Q的時間為
T
答案　D
解析　飛船從②軌道變軌到③軌道，飛船將由近心運動變成圓周運動，需要在Q點點火加速，故A錯誤；第一宇宙速度是最小發射速度，最大環繞速度，即物體環繞地球表面做勻速圓周運動時的速度，根據萬有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，可知軌道半徑越大，線速度越小，而③軌道的軌道半徑大于地球半徑，因此飛船繞地球運行的速度小于第一宇宙速度，故B錯誤；根據以上分析可知，軌道半徑越大，線速度越小，因此飛船在①軌道的速度大于天和核心艙在③軌道的速度，但由于飛船和天和核心艙的質量未知，因此無法判斷他們動能的大小，故C錯誤；根據開普勒第三定律可知＝，可得T′＝T，飛船在②軌道從P到Q的時間為T′，即t＝T，故D正確。
1.衛星變軌的分析思路
離心運動 近心運動
變軌起因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
受力分析 G＜m G＞m
變軌結果 變為橢圓軌道運動或再變軌到較大半徑圓軌道上運動 變為橢圓軌道運動或再變軌到較小半徑圓軌道上運動
2.變軌過程中的能量變化
衛星在同一軌道上穩定運行過程中機械能守恒，在變軌過程中，點火加速，做離心運動，軌道升高，機械能增加；點火減速，做近心運動，軌道降低，機械能減少。
訓練3 (2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖5所示。根據以上信息可以得出(　　)
圖5
A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D.下一次“火星沖日”要出現在2023年12月8日之前
答案　B
解析　火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據開普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A錯誤；當火星與地球相距最遠時，兩者的速度方向相反，此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面，根據G＝mg，由于不知道火星和地球的質量比和半徑比，所以無法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，故C錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，有ω火＝，ω地＝，要發生下一次火星沖日，有t＝2π，得t＝＞T地，可知下一次“火星沖日”要出現在2023年12月8日之后，故D錯誤。
1.(2024·山東卷，5)鵲橋二號中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　鵲橋二號中繼星在24小時橢圓軌道上運行時，由開普勒第三定律有＝k，對地球同步衛星由開普勒第三定律有＝k′，則有＝＝，D正確。
2.(2024·新課標卷，16)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
答案　B
解析　設行星質量為m，軌道半徑為r1，周期為T1，紅矮星質量為M1，由萬有引力提供向心力有G＝mr1，可得M1＝；同理可得太陽質量M2＝(其中r2為日地距離，T2為地球公轉周期)，＝·＝≈0.1，B正確。
3.(2024·湖北卷，4)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖6中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
圖6
A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
答案　A
解析　變軌前、后，根據a＝可知，空間站在P點的加速度相同，A正確；由于變軌后的軌道半長軸大于變軌前的軌道半徑，則根據開普勒第三定律可知，空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，B錯誤；變軌時，空間站噴氣加速，因此變軌后其在P點的速度比變軌前的大，C錯誤；變軌后，空間站在近地點的速度最大，大于變軌后在P點的速度，結合C項分析可知，變軌后空間站在近地點的速度大于變軌前的速度，D錯誤。
4.(多選)(2024·河北卷，8)2024年3月20日，鵲橋二號中繼星成功發射升空，為嫦娥六號在月球背面的探月任務提供地月間中繼通信。鵲橋二號采用周期為24 h的環月橢圓凍結軌道(如圖7)，近月點A距月心約為2.0×103 km，遠月點B距月心約為1.8×104 km，CD為橢圓軌道的短軸，下列說法正確的是(　　)
圖7
A.鵲橋二號從C經B到D的運動時間為12 h
B.鵲橋二號在A、B兩點的加速度大小之比約為81∶1
C.鵲橋二號在C、D兩點的速度方向垂直于其與月心的連線
D.鵲橋二號在地球表面附近的發射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
答案　BD
解析　鵲橋二號圍繞月球做橢圓運動，從A→C→B做減速運動，從B→D→A做加速運動，所以從C→B→D的運動時間大于半個周期，即大于12 h，A錯誤；在A點，根據牛頓第二定律，有G＝maA，在B點，根據牛頓第二定律，有G＝maB，聯立并代入數據可得鵲橋二號在A、B兩點的加速度大小之比約為aA∶aB＝r∶r＝81∶1，B正確；根據物體做曲線運動時速度方向沿該點的切線方向，可知鵲橋二號在C、D兩點的速度方向不垂直于其與月心的連線，C錯誤；鵲橋二號發射后圍繞月球沿橢圓軌道運動，并未脫離地球引力束縛，也在圍繞地球運動，所以鵲橋二號在地球表面附近的發射速度大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，D正確。
5.(多選)(2024·廣東卷，9)如圖8所示，探測器及其保護背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行星表面時以60 m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩斷開連接，背罩與降落傘保持連接。已知探測器質量為1000 kg，背罩質量為50 kg，該行星的質量和半徑分別為地球的和。地球表面重力加速度大小g＝10 m/s2。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有(　　)
圖8
A.該行星表面的重力加速度大小為4 m/s2
B.該行星的第一宇宙速度為7.9 km/s
C.“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80 m/s2
D.“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為30 kW
答案　AC
解析　在星球表面，根據G＝mg，可得g＝，＝·＝，可得該行星表面的重力加速度大小g行＝4 m/s2，故A正確；在行星表面上空，根據萬有引力提供向心力，有G＝m，可得行星的第一宇宙速度v＝，可得該行星的第一宇宙速度v行＝v地，地球的第一宇宙速度為7.9 km/s，所以該行星的第一宇宙速度v行＝×7.9 km/s，故B錯誤；“背罩分離”前，探測器及其保護背罩和降落傘整體做勻速直線運動，對探測器受力分析，可知探測器與保護背罩之間的作用力F＝mg行＝4 000 N，“背罩分離”后，背罩所受的合力大小為4 000 N，對背罩，根據牛頓第二定律F＝m′a，解得a＝80 m/s2，故C正確；“背罩分離”后瞬間探測器所受重力對其做功的功率P＝mg行v＝1000×4×60 W＝240 kW，故D錯誤。
6.(多選)(2024·湖南卷，7)2024年5月3日，嫦娥六號探測器順利進入地月轉移軌道，正式開啟月球之旅。相較于嫦娥四號和嫦娥五號，本次的主要任務是登陸月球背面進行月壤采集，并通過升空器將月壤轉移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的，月球半徑約為地球半徑的。關于返回艙在該繞月軌道上的運動，下列說法正確的是(　　)
A.其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的倍
D.其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛星周期的倍
答案　BD
解析　地球第一宇宙速度等于衛星在近地軌道的環繞速度，根據萬有引力提供向心力有G＝m，結合mg＝G，可得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，則v月＝v地，可知返回艙在繞月軌道上相對月球的速度小于地球第一宇宙速度，選項A錯誤，B正確；根據G＝mR，又GM＝gR2，解得T＝，可知＝·＝，選項C錯誤，D正確。
基礎保分練
1.(2024·全國甲卷，16)2024年5月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說法正確的是(　　)
A.在環月飛行時，樣品所受合力為零
B.若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C.樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D.樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小
答案　D
解析　在環月飛行時，樣品所受的合力提供向心力，不為零，A錯誤；若將樣品放置在月球正面，根據牛頓第三定律可知，它對月球表面的壓力等于月球對它的支持力，根據力的平衡條件可知，月球對它的支持力等于它在月球上的重力，不為零，故它對月球表面的壓力不為零，B錯誤；質量是物體的固有屬性，不會隨受到的引力的變化而變化，C錯誤；由于月球表面重力加速度較地球表面的小，則樣品在月球表面所受重力較在地球表面的小，結合B項分析可知，樣品放置在月球背面時對月球的壓力較其放在地球表面時對地球的壓力小，D正確。
2.(2024·山東泰安一模)如圖1所示，A、B是圍繞地球運轉的兩顆衛星，其中A衛星的軌道半徑為RA，B衛星的軌道半徑為RB，經過相同的時間，A衛星與地心O的連線掃過的面積為SA，B衛星與地心О的連線掃過的面積為SB，已知SB∶SA＝1∶2，則RB∶RA的值為(　　)
圖1
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶8
答案　C
解析　設衛星的周期為T，t時間內衛星與地心O的連線掃過的面積為S＝πR2，根據題意有SB∶SA＝（πR）∶（πR）＝∶＝1∶2，根據＝mR，可得T＝，則＝，聯立可得RB∶RA＝1∶4，故C正確。
3.(2024·天津和平模擬)嫦娥六號探測器測得月球表面的重力加速度為g0，已知月球的半徑為R0，地球表面的重力加速度為g，地球的半徑為R。忽略地球、月球自轉的影響，則(　　)
A.月球質量與地球質量之比為
B.月球密度與地球密度之比為
C.月球第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比為
D.嫦娥六號在月球表面所受萬有引力與在地球表面所受萬有引力大小之比為
答案　A
解析　在星球表面，由萬有引力和重力近似相等，有＝mg，可得＝，故A正確；密度ρ＝＝，可得＝，故B錯誤；由mg＝，可得＝，故C錯誤；嫦娥六號在月球表面所受萬有引力與在地球表面所受萬有引力之比為＝＝，故D錯誤。
4.(2024·江西卷，4)嫦娥六號探測器于2024年5月8日進入環月軌道，后續經調整環月軌道高度和傾角，實施月球背面軟著陸。當探測器的軌道半徑從r1調整到r2時(兩軌道均可視為圓形軌道)，其動能和周期從Ek1、T1分別變為Ek2、T2。下列選項正確的是(　　)
A.＝，＝ B.＝，＝
C.＝，＝ D.＝，＝
答案　A
解析　
5.(多選)(2024·江西名校聯盟高三摸底)北斗系統空間段由若干地球靜止軌道衛星、傾斜地球同步軌道衛星和中圓地球軌道衛星等組成。將地球看成質量均勻的球體，若地球半徑與同步衛星的軌道半徑之比為k，下列說法正確的是(　　)
圖2
A.傾斜地球同步軌道衛星有可能每天同一時刻在北京的正上方
B.地球靜止軌道衛星有可能總在北京正上方與我們相對靜止
C.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為(1－k3)
D.地球北極重力加速度大小與赤道的重力加速度大小之比為(1－k3)
答案　AC
解析　傾斜地球同步軌道衛星周期仍然是24小時，但軌道與赤道平面有夾角，如果某時刻在北京正上方，則24小時后就又在北京正上方，故A正確；地球靜止軌道衛星只可能在赤道的正上方，不可能在北京正上方，故B錯誤；根據題意，由萬有引力提供向心力有＝m()，在地球北極有＝mg極，在赤道上有＝mg赤＋mR，聯立可得g赤＝(1－k3)g極，則地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為(1－k3)，故C正確，D錯誤。
6.(2024·安徽合肥一模)我國科學家團隊在某個河外星系中發現了一對相互繞轉的超大質量雙黑洞系統，這是迄今為止發現的第二例超大質量雙黑洞繞轉系統，兩黑洞繞它們連線上某點做勻速圓周運動。黑洞1、2的質量分別為M1、M2，下列關于黑洞1、2的說法正確的是(　　)
A.半徑之比為M1∶M2
B.向心力之比為M1∶M2
C.動能之比為M1∶M2
D.角速度之比為1∶1
答案　D
解析　根據G＝M1ω2r1＝M2ω2r2，可得M1r1＝M2r2，所以有r1∶r2＝M2∶M1，故A錯誤；根據F向＝G，可得黑洞1、2的向心力之比為1∶1，故B錯誤；雙星系統角速度相等，所以黑洞1、2的角速度之比ω1∶ω2＝1∶1，故D正確；根據v＝ωr，可得黑洞1、2的線速度之比v1∶v2＝M2∶M1，動能之比為Ek1∶Ek2＝M1v∶M2v＝M2∶M1，故C錯誤。
7.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。當抵達距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖3所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
圖3
A.周期約144 h
B.近月點的速度大于遠月點的速度
C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
答案　B
解析　凍結軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據開普勒第三定律得＝，整理得T1＝T2＝288 h，A錯誤；根據開普勒第二定律得，近月點的速度大于遠月點的速度，B正確；從捕獲軌道到凍結軌道鵲橋二號進行近月制動，其在捕獲軌道近月點的速度大于在凍結軌道運行時近月點的速度，C錯誤；兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據牛頓第二定律可知，其在捕獲軌道近月點的加速度等于在凍結軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。
8.(2024·河南鄭州模擬預測)2024年4月25日，神舟十八號在酒泉衛星發射中心點火升空，成功將神舟十八號乘組成員順利送入太空。對接前，空間站與神舟十八號的軌道如圖4所示。對接后組合體在空間站之前的軌道上運行，已知空間站距地球表面約400 km。則下列判斷正確的是(　　)
圖4
A.若神舟十八號從圖示位置變軌實現對接，空間站一定沿順時針方向運行
B.若神舟十八號從圖示位置變軌，變軌后神舟十八號速度一直增大才能實現對接
C.對接后，組合體的加速度比對接前空間站的加速度大
D.圖中神舟十八號和空間站總的機械能小于組合體在軌運行時總的機械能
答案　D
解析　神舟十八號由低軌道與高軌道的空間站對接，對接開始時需要點火加速，脫離原有軌道，此后做離心運動與空間站實現對接，而在神舟十八號做離心運動與空間站實現對接的過程中，兩者繞行方向必定一致，根據G＝m，則v＝，可知在變軌前神舟十八號的線速度大于空間站線速度，而變軌過程中隨著軌道的升高，神舟十八號的線速度逐漸減小，從后方追上空間站，在空間站所在軌道實現對接，可知從圖示位置變軌實現對接，空間站一定沿逆時針方向運行，故A、B錯誤；根據牛頓第二定律有G＝ma，可得a＝，則對接后，組合體的加速度與對接前空間站的加速度大小相等，故C錯誤；由于神舟十八號變軌時需要點火加速，其機械能增大，則神舟十八號變軌后的機械能大于變軌前的機械能，而空間站始終在其原軌道上運行，其機械能不變，則在變軌前神舟十八號和空間站總的機械能小于組合體在軌運行時總的機械能，故D正確。
提能增分練
9.(2024·山東濟寧一模)如圖5甲所示，兩衛星a、b環繞木星在同一平面內做勻速圓周運動，繞行方向相反，衛星c繞木星做橢圓運動，某時刻開始計時，衛星a、b間距離x隨時間t變化的關系圖像如圖乙所示，其中R、T為已知量，下列說法正確的是(　　)
圖5
A.衛星c在N點的速度大于衛星a的速度
B.衛星a、b的運動周期之比為1∶4
C.衛星a的運動周期為T
D.衛星a的加速度大小為
答案　C
解析　根據萬有引力提供向心力G＝m，可得v＝，可知衛星a的速度大于衛星b的速度，衛星c在N點做近心運動，所以衛星c在N點的速度小于衛星b的速度，則衛星c在N點的速度小于衛星a的速度，故A錯誤；根據圖乙可知衛星a、b最遠距離為5R，最近距離為3R，則rb－ra＝3R，rb＋ra＝5R，可得ra＝R，rb＝4R，根據G＝mr，可得T＝2π，可知衛星a、b的運動周期之比為1∶8，故B錯誤；設衛星a的周期為Ta，衛星b的周期為Tb，根據兩衛星從相距最遠到相距最近有T＋T＝π，又Tb＝8Ta，聯立解得Ta＝T，故C正確；衛星a的加速度大小aa＝()2ra＝，故D錯誤。
10.(多選)(2024·山東淄博一模)2024年我國將加速穩步推進載人登月，未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗，得到如圖6所示的共振曲線，共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是(　　)
圖6
A.該單擺在月球上的共振頻率為f2
B.月球表面的重力加速度g月＝g
C.月球的質量M月＝
D.月球的密度ρ月＝
答案　BD
解析　根據單擺周期公式T＝2π知，f＝＝，由于月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，所以該單擺在月球上的共振頻率為f1，故A錯誤；設月球表面的重力加速度為g月，則有f1＝，f2＝，可得月球表面的重力加速度為g月＝g，故B正確；物體在月球表面上，有G＝mg月，解得月球質量為M月＝＝，根據M月＝ρ月·πr3，可得月球的密度為ρ月＝，故C錯誤，D正確。
11.(2024·黑吉遼卷，7)如圖7(a)，將一彈簧振子豎直懸掛，以小球的平衡位置為坐標原點O，豎直向上為正方向建立x軸。若將小球從彈簧原長處由靜止釋放，其在地球與某球狀天體表面做簡諧運動的圖像如圖(b)所示(不考慮自轉影響)。設地球、該天體的平均密度分別為ρ1和ρ2，地球半徑是該天體半徑的n倍。的值為(　　)
圖7
A.2n B. C. D.
答案　C
解析　小球處于平衡位置時，有kx＝mg，其中k為彈簧勁度系數，x為振幅，結合題圖(b)可知在地球表面，有k·2A＝mg地，在天體表面，有kA＝mg天，則g地＝2g天，設該天體的半徑為R，則地球的半徑為nR，在星球表面，有mg＝G，M＝ρ·πR3，可得ρ＝，則＝＝，C正確。
培優高分練
12.(2024·重慶一中模擬預測)如圖8所示，航天器c位于日地系統中拉格朗日L1點處，與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形，大圓為地球繞太陽中心做勻速圓周運動的軌跡。實際上，a、b、c是一個“三星”系統，由于航天器的質量遠小于天體的質量，a、b、c繞著a、b構成的“雙星”連線中的O點轉動。忽略其他天體的影響，則(　　)
圖8
A.c的周期大于b的周期
B.c的向心加速度等于b的向心加速度
C.c的向心力指向太陽中心
D.c的線速度大于b的線速度
答案　D
解析　在“三星”系統中，由于航天器與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形，則三者圓周運動的角速度大小相等。航天器質量遠小于天體質量，在太陽、地球構成的“雙星”系統中，二者之間的萬有引力大小相等，因為地球質量小于太陽質量，則地球環繞半徑大于太陽環繞半徑，O點更靠近太陽。三星系統中，三者的半徑分別為rOa、rOb、rOc，根據幾何關系可知rOc＞rOb＞rOa，根據圓周運動的周期T＝，三者角速度大小相等，所以周期也相等，故A錯誤；根據a＝ω2r，由于rOc＞rOb，所以c的向心加速度大于b的向心加速度，故B錯誤；三星系統中c的向心力指向圓周運動的中心O點，故C錯誤；由線速度v＝ωr知，c的線速度大于b的線速度，故D正確。(共58張PPT)
第4課時　萬有引力定律的應用
專題一　力與運動
知識網絡
目 錄
CONTENTS
突破高考熱點
01
課時跟蹤訓練
03
鏈接高考真題
02
突破高考熱點
1
熱點二　人造衛星和天體運動
熱點一　開普勒定律與萬有引力定律的應用
熱點三　衛星的變軌、對接、追及相遇問題
熱點一　開普勒定律與萬有引力定律的應用
D
例1 (2024·浙江6月選考，8)與地球公轉軌道“外切”的小行星甲和“內切”的小行星乙的公轉軌道如圖1所示，假設這些小行星與地球的公轉軌道都在同一平面內，地球的公轉半徑為R，小行星甲的遠日點到太陽的距離為R1，小行星乙的近日點到太陽的距離為R2，則(　　)
圖1
圖2
B
例2 (2024·河北模擬預測)嫦娥六號月球探測器于2024年6月25日在內蒙古預定區域成功著陸，實現了世界首次月球背面采樣返回的壯舉。假設距離月球球心h處的重力加速度g與h的關系圖像如圖2所示，已知引力常量為G，則(　　)
D
訓練1 (2024·海南卷，6)嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為T，軌道高度與月球半徑之比為k，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
解析　
熱點二　人造衛星和天體運動
圖3
D
例3 (2024·湖南長沙模擬)某型號手機實現了手機衛星通信，只要有衛星信號覆蓋的地方，就可以實現通話。如圖3所示三顆赤道上空的通信衛星就能實現環赤道全球通信，已知三顆衛星離地高度均為h，地球的半徑為R，地球同步衛星離地高度為6R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
方法總結　人造衛星運動問題的分析要點
C
例4 (2024·黑龍江哈爾濱一模)科學家在地球上用望遠鏡觀測一個雙星系統，可觀測到一個亮度周期性變化的光點，這是因為其中一個天體擋住另一個天體時，光點亮度會減弱。現科學家用一航天器去撞擊雙星系統中的一顆小行星，撞擊后，科學家觀測到系統光點明暗變化的時間間隔變短。若不考慮撞擊引起的小行星質量變化，且撞擊后該雙星系統仍能穩定運行，則被航天器撞擊后(　　)
A.該雙星系統的運動周期不變
B.兩顆小行星中心連線的距離不變
C.兩顆小行星的向心加速度均變大
D.兩顆小行星做圓周運動的半徑之比變大
D
訓練2 (2024·廣東湛江一模)北京時間2024年1月9日，我國在西昌衛星發射中心采用長征二號丙運載火箭，成功將“愛因斯坦探針”空間科學衛星發射升空，衛星順利進入高度為600 km、傾角為29°的近地軌道，發射任務取得圓滿成功。已知同步衛星距地球表面高度約為35 900 km，下列說法正確的是(　　)
A.該衛星的運行速度大于第一宇宙速度
B.該衛星的運行周期大于24 h
C.該衛星軌道處的重力加速度大于9.8 m/s2
D.該衛星運行的角速度大于地球同步衛星的角速度
解析　
熱點三　衛星的變軌、對接、追及相遇問題
圖4
D
例5 (2024·湖南長沙模擬預測)2023年10月26日，神舟十七號載人飛船與天和核心艙進行了對接，“太空之家”迎來湯洪波、唐勝杰、江新林3名航天員入駐。如圖4為神舟十七號的發射與交會對接過程示意圖，圖中①為飛船的近地圓軌道，其軌道半徑為R1，②為橢圓變軌軌道，③為天和核心艙所在的圓軌道，其軌道半徑為R2，P、Q分別為②軌道與①、③軌道的交會點。關于神舟十七號載人飛船與天和核心艙交會對接過程，下列說法正確的是(　　)
A.飛船從②軌道變軌到③軌道需要在Q點點火減速
B.飛船在③軌道上運行的速度大于第一宇宙速度
C.飛船在①軌道的動能一定大于天和核心艙在③軌道的動能
1.衛星變軌的分析思路
2.變軌過程中的能量變化
衛星在同一軌道上穩定運行過程中機械能守恒，在變軌過程中，點火加速，做離心運動，軌道升高，機械能增加；點火減速，做近心運動，軌道降低，機械能減少。
圖5
B
訓練3 (2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖5所示。根據以上信息可以得出(　　)
A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D.下一次“火星沖日”要出現在2023年12月8日之前
鏈接高考真題
2
D
1.(2024·山東卷，5)鵲橋二號中繼星環繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛星的軌道半徑為r，則月球與地球質量之比可表示為(　　)
B
2.(2024·新課標卷，16)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
A
3.(2024·湖北卷，4)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖6中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
圖6
A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
BD
4.(多選)(2024·河北卷，8)2024年3月20日，鵲橋二號中繼星成功發射升空，為嫦娥六號在月球背面的探月任務提供地月間中繼通信。鵲橋二號采用周期為24 h的環月橢圓凍結軌道(如圖7)，近月點A距月心約為2.0×103 km，遠月點B距月心約為1.8×104 km，CD為橢圓軌道的短軸，下列說法正確的是(　　)
圖7
A.鵲橋二號從C經B到D的運動時間為12 h
B.鵲橋二號在A、B兩點的加速度大小之比約為81∶1
C.鵲橋二號在C、D兩點的速度方向垂直于其與月心的連線
D.鵲橋二號在地球表面附近的發射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
AC
圖8
A.該行星表面的重力加速度大小為4 m/s2
B.該行星的第一宇宙速度為7.9 km/s
C.“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80 m/s2
D.“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為30 kW
BD
課時跟蹤訓練
3
D
A.在環月飛行時，樣品所受合力為零
B.若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C.樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D.樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小
基礎保分練
解析　在環月飛行時，樣品所受的合力提供向心力，不為零，A錯誤；若將樣品放置在月球正面，根據牛頓第三定律可知，它對月球表面的壓力等于月球對它的支持力，根據力的平衡條件可知，月球對它的支持力等于它在月球上的重力，不為零，故它對月球表面的壓力不為零，B錯誤；質量是物體的固有屬性，不會隨受到的引力的變化而變化，C錯誤；由于月球表面重力加速度較地球表面的小，則樣品在月球表面所受重力較在地球表面的小，結合B項分析可知，樣品放置在月球背面時對月球的壓力較其放在地球表面時對地球的壓力小，D正確。
C
2.(2024·山東泰安一模)如圖1所示，A、B是圍繞地球運轉的兩顆衛星，其中A衛星的軌道半徑為RA，B衛星的軌道半徑為RB，經過相同的時間，A衛星與地心O的連線掃過的面積為SA，B衛星與地心О的連線掃過的面積為SB，已知SB∶SA＝1∶2，則RB∶RA的值為(　　)
圖1
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶8
A
A
4.(2024·江西卷，4)嫦娥六號探測器于2024年5月8日進入環月軌道，后續經調整環月軌道高度和傾角，實施月球背面軟著陸。當探測器的軌道半徑從r1調整到r2時(兩軌道均可視為圓形軌道)，其動能和周期從Ek1、T1分別變為Ek2、T2。下列選項正確的是(　　)
解析　
AC
5.(多選)(2024·江西名校聯盟高三摸底)北斗系統空間段由若干地球靜止軌道衛星、傾斜地球同步軌道衛星和中圓地球軌道衛星等組成。將地球看成質量均勻的球體，若地球半徑與同步衛星的軌道半徑之比為k，下列說法正確的是(　　)
圖2
A.傾斜地球同步軌道衛星有可能每天同一時刻在北京的正上方
B.地球靜止軌道衛星有可能總在北京正上方與我們相對靜止
C.地球赤道重力加速度大小與北極的重力加速度大小之比為(1－k3)
D.地球北極重力加速度大小與赤道的重力加速度大小之比為(1－k3)
D
6.(2024·安徽合肥一模)我國科學家團隊在某個河外星系中發現了一對相互繞轉的超大質量雙黑洞系統，這是迄今為止發現的第二例超大質量雙黑洞繞轉系統，兩黑洞繞它們連線上某點做勻速圓周運動。黑洞1、2的質量分別為M1、M2，下列關于黑洞1、2的說法正確的是(　　)
A.半徑之比為M1∶M2 B.向心力之比為M1∶M2
C.動能之比為M1∶M2 D.角速度之比為1∶1
B
7.(2024·安徽卷，5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發射升空。當抵達距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖3所示，軌道的半長軸約為51 900 km。后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(　　)
圖3
A.周期約144 h
B.近月點的速度大于遠月點的速度
C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
D
8.(2024·河南鄭州模擬預測)2024年4月25日，神舟十八號在酒泉衛星發射中心點火升空，成功將神舟十八號乘組成員順利送入太空。對接前，空間站與神舟十八號的軌道如圖4所示。對接后組合體在空間站之前的軌道上運行，已知空間站距地球表面約400 km。則下列判斷正確的是(　　)
圖4
A.若神舟十八號從圖示位置變軌實現對接，空間站一定沿順時針方向運行
B.若神舟十八號從圖示位置變軌，變軌后神舟十八號速度一直增大才能實現對接
C.對接后，組合體的加速度比對接前空間站的加速度大
D.圖中神舟十八號和空間站總的機械能小于組合體在軌運行時總的機械能
C
9.(2024·山東濟寧一模)如圖5甲所示，兩衛星a、b環繞木星在同一平面內做勻速圓周運動，繞行方向相反，衛星c繞木星做橢圓運動，某時刻開始計時，衛星a、b間距離x隨時間t變化的關系圖像如圖乙所示，其中R、T為已知量，下列說法正確的是(　　)
提能增分練
圖5
BD
10.(多選)(2024·山東淄博一模)2024年我國將加速穩步推進載人登月，未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗，得到如圖6所示的共振曲線，共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體，引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是(　　)
圖6
C
圖7
D
12.(2024·重慶一中模擬預測)如圖8所示，航天器c位于日地系統中拉格朗日L1點處，與太陽a、地球b構成穩定的等邊三角形，大圓為地球繞太陽中心做勻速圓周運動的軌跡。實際上，a、b、c是一個“三星”系統，由于航天器的質量遠小于天體的質量，a、b、c繞著a、b構成的“雙星”連線中的O點轉動。忽略其他天體的影響，則(　　)
培優高分練
圖8
A.c的周期大于b的周期
B.c的向心加速度等于b的向心加速度
C.c的向心力指向太陽中心
D.c的線速度大于b的線速度

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