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第3課時　力與曲線運動
【知識網絡】
熱點一　曲線運動、運動的合成與分解
例1 兩同學用尺子在黑板上畫圖，如圖1(a)所示，甲同學拿尺子豎直貼在黑板上，水平向右勻速移動，乙同學拿粉筆貼著尺子右邊緣在黑板上畫線。若粉筆相對尺子向上運動的速度隨時間變化的圖像如圖(b)所示，則黑板上畫出的形狀可能是(　　)
圖1
例2 (2024·江蘇淮安高三聯考)如圖2所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度為g，則當小車與滑輪間的細繩和水平方向的夾角為θ2時，下列判斷正確的是(　　)
圖2
A.P做勻速運動
B.P的速率為
C.繩的拉力大于mgsin θ1
D.繩的拉力小于mgsin θ1
訓練1 (2024·浙江名校協作體適應性考試)如圖3所示，有一半徑為r的圓環在一水平地面上向右運動，且其圓心速度大小為v。現有一木板，左端固定于地面之上，同時還搭于圓環之上，且木板與地面所成銳角為θ。則木板轉動的角速度ω為(　　)
圖3
A.cos θtan B.sin θtan
C.cos tan θ D.cos θtan θ
熱點二　拋體運動
例3 (2023·浙江6月選考，3)鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
例4 (2024·河北保定高三檢測)跳臺滑雪是冬奧會的重要項目之一。如圖4所示，某次比賽中，運動員以速度v0從跳臺頂端水平飛出，經過一段時間后落在傾斜賽道上，賽道的傾角為θ，重力加速度為g，空氣阻力忽略不計，運動員(包括滑雪板)視為質點。則運動員在空中運動的過程中下列說法正確的是(　　)
圖4
A.后一半時間內速度的變化量大于前一半時間內速度的變化量
B.運動員在空中運動的時間是
C.運動員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠處所用的時間是
D.運動員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠處的水平位移是
例5 (2024·山東濰坊一模)跑酷，又稱自由奔跑，是一種結合了速度、力量和技巧的極限運動。如圖5甲所示為一城墻的入城通道，通道寬L＝6 m。一質量m＝
50 kg的跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻做加速運動，加速到A點斜向上躍起，到達右墻壁B點時豎直速度恰好為零，B點距地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墻壁，使水平速度變為等大反向，并獲得一豎直向上的速度，恰能躍到左墻壁的C點，C點與B點等高，飛躍過程中人距地面的最大高度為H＝2.05 m，重力加速度為g，可認為整個過程中人的姿態不發生變化，如圖乙所示，求：
圖5
(1)人蹬墻后的水平速度大小；
(2)人加速助跑的距離s。
訓練2 (多選)(2024·安徽亳州高三期末)如圖6所示，斜面的傾角θ＝45°，∠C＝90°，AC＝0.8 m，從斜面頂端A點垂直斜面AB以初速度v0拋出一個小球(可以看成質點)，當小球與斜面碰撞時，碰后垂直斜面方向的速度反向大小不變，沿斜面方向的速度不變，重力加速度g取10 m/s2，忽略空氣阻力的影響。若小球能擊中B點，初速度v0可能為(　　)
圖6
A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
熱點三　圓周運動
例6 (2024·重慶一中高三月考)如圖7(a)所示，質量均為1 kg的物體A和B放置在圓盤上，與圓盤間的動摩擦因數分別為μA和μB。用兩根不可伸長的細繩將物體A、B和圓盤轉軸相連，物體A、B與轉軸的距離分別為rA和rB。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當圓盤繞轉軸轉動的角速度ω緩慢增大時，轉軸與物體A之間的細繩拉力T1、A與B之間的細繩拉力T2隨ω2的關系如圖(b)所示。g＝10 m/s2，則下列選項正確的是(　　)
圖7
A.μA＝0.25 B.μB＝0.1 C.rA＝1.5 m D.rB＝2.5 m
例7 (2024·北京東城高三期末)如圖8所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球。使輕桿隨轉軸在豎直平面內做角速度為ω的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
圖8
A.小球運動到最高點時，桿對球的作用力一定向上
B.小球運動到水平位置A時，桿對球的作用力指向O點
C.若ω＝，小球通過最高點時，桿對球的作用力為零
D.小球通過最低點時，桿對球的作用力可能向下
訓練3 (2024·江蘇卷，11)如圖9所示，細繩穿過豎直的管子拴住一個小球，讓小球在A高度處做水平面內的勻速圓周運動，現用力將細繩緩慢下拉，使小球在B高度處做水平面內的勻速圓周運動，不計一切摩擦，則(　　)
圖9
A.線速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFnB
新情境命題　生活中的曲線運動
情境分析　生活中的曲線運動也是高考必考內容之一，通常以日常生活情境、科技情境或體育運動情境為素材，考查運動的合成與分解、平拋運動和圓周運動等知識點，在具體題目中往往涉及臨界極值問題，解題時要注意臨界狀態的分析。
典例1 如圖10所示，一質量為m的小孩(可視為質點)做雜技表演。一不可伸長的輕繩一端固定于距離水平安全網高為H的O點，小孩抓住繩子上的P點從與O點等高的位置由靜止開始向下擺動，小孩運動到繩子豎直時松手離開繩子做平拋運動，落到安全網上。已知P點到O點的距離為l(0＜l＜H)，空氣阻力不計，小孩運動過程中繩子始終處于伸直狀態。下列說法正確的是(　　)
圖10
A.l越大，小孩在O點正下方松手前瞬間，對繩子的拉力越大
B.l越小，小孩在O點正下方松手前瞬間，對繩子的拉力越大
C.當l＝時，小孩在安全網上的落點距O點的水平距離最大
D.當l＝時，小孩在安全網上的落點距O點的水平距離最大
典例2 (多選)問天實驗艙配置了多種實驗柜用來開展太空實驗，其中，變重力科學實驗柜為科學實驗提供0.01g～2g(零重力到兩倍重力范圍)高精度模擬的重力環境，支持開展微重力、模擬月球重力、火星重力等不同重力作用下的科學研究。如圖11所示，變重力實驗柜的主要裝置是兩套900毫米直徑的離心機。離心機旋轉的過程中，由于慣性，實驗樣品會有一個向外飛出的趨勢，對容器壁產生壓力，就像放在水平地面上的物體受到重力擠壓地面一樣。因此，這個壓力的大小可以體現“模擬重力”的大小。根據上面資料結合所學知識，判斷下列說法正確的是(　　)
圖11
A.實驗樣品的質量越大，“模擬重力加速度”越大
B.離心機的轉速變為原來的2倍，同一位置的“模擬重力加速度”變為原來的4倍
C.實驗樣品所受“模擬重力”的方向指向離心機轉軸中心
D.為防止兩臺離心機轉動時對空間站的影響，兩臺離心機應按相反方向轉動
1.(2024·江蘇卷，4)噴泉a、b出射點高度相同，形成如圖12所示的形狀，不計空氣阻力，則噴泉a、b的(　　)
圖12
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高點的速度相同 D.在空中的時間相同
2.(2024·湖北卷，3)如圖13所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到(　　)
圖13
A.荷葉a B.荷葉b C.荷葉c D.荷葉d
3.(2024·廣東卷，5)如圖14所示，在細繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O在水平面內轉動。卷軸上沿半徑方向固定著長度為l的細管，管底在O點。細管內有一根原長為、勁度系數為k的輕質彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質量為m、可視為質點的插銷。當以速度v勻速拉動細繩時，插銷做勻速圓周運動。若v過大，插銷會卡進固定的端蓋，使卷軸轉動停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內。要使卷軸轉動不停止，v的最大值為(　　)
圖14
A.r B.l C.r D.l
4.(多選)(2024·山東卷，12)如圖15所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是(　　)
圖15
A.運動時間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠距離為10 m
D.軌跡最高點與落點的高度差為45 m
5.(2024·新課標卷，25)如圖16，一長度l＝1.0 m的均勻薄板初始時靜止在一光滑平臺上，薄板的右端與平臺的邊緣O對齊。薄板上的一小物塊從薄板的左端以某一初速度向右滑動，當薄板運動的距離Δl＝時，物塊從薄板右端水平飛出；當物塊落到地面時，薄板中心恰好運動到O點。已知物塊與薄板的質量相等，它們之間的動摩擦因數μ＝0.3，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
圖16
(1)物塊初速度大小及其在薄板上運動的時間；
(2)平臺距地面的高度。
6.(2024·江西卷，14)雪地轉椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉椅在雪地上滑動。如圖17(a)、(b)所示，傳動裝置有一高度可調的水平圓盤，可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉動。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉椅(視為質點)。轉椅運動穩定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉椅與雪地之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，不計空氣阻力。
圖17
(1)在圖(a)中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O點做半徑為r1的勻速圓周運動。求AB與OB之間夾角α的正切值；
(2)將圓盤升高，如圖(b)所示。圓盤勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O1點做半徑為r2的勻速圓周運動，繩子與豎直方向的夾角為θ，繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β。求此時圓盤的角速度ω2。
基礎保分練
1.(2024·黑吉遼卷，2) “指尖轉球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖1，當籃球在指尖上繞軸轉動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的(　　)
圖1
A.半徑相等
B.線速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
2.(多選)(2024·江西卷，8)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖2所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是(　　)
圖2
3.(2024·山東歷城二中高三月考)如圖3是內燃機中一種傳動裝置，車輪和滑塊上分別設置可以繞軸A、B轉動的輕桿，O軸固定。工作時高壓氣體驅動活塞在汽缸中做往復運動，再通過連桿驅動滑塊在斜槽中做往復運動，最終驅動車輪做角速度為ω的勻速圓周運動。已知輕桿OA長度為L，運動到圖示位置時AB、BC垂直，α＝β＝60°，那么此時活塞的速度大小為(　　)
圖3
A.ωL B.ωL C.ωL D.ωL
4.(2024·浙江1月選考，8)如圖4所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，重力加速度為g，則水離開出水口的速度大小為(　　)
圖4
A. B.
C. D.(＋1)D
5.(2024·江西南昌一模)一住宅陽臺失火，消防員用靠在一起的兩支水槍噴水滅火，如圖5所示甲水柱射向水平陽臺近處著火點A，乙水柱射向水平陽臺遠處著火點B，兩水柱最高點在同一水平線上，不計空氣阻力，甲、乙水柱噴出時的速度大小分別為v1、v2，甲、乙水柱在空中運動的時間分別為t1、t2。以下判斷正確的是(　　)
圖5
A.v1＞v2，t1＝t2 B.v1＜v2，t1＝t2
C.v1＞v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
6.(多選)(2024·貴州貴陽模擬)如圖6所示，質量均為m的甲、乙、丙三個小物塊(均可看作質點)隨水平轉盤一起以角速度ω繞OO′軸做勻速圓周運動，物塊甲疊放在物塊乙的上面，所有接觸面間的動摩擦因數均為μ。已知甲、乙到轉軸的距離為r1，丙到轉軸的距離為r2，且r2＞r1。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
圖6
A.甲受到的摩擦力一定為μmg
B.乙受到轉盤的摩擦力一定為2mω2r1
C.若角速度增大，丙先達到滑動的臨界點
D.若角速度增大，甲先達到滑動的臨界點
7.(2024·河南周口高三月考)如圖7所示，光滑圓軌道固定在豎直面內，BC是軌道的水平直徑，O為圓心，一個小球靜止在軌道的最低點A。現給小球水平向左的初速度，小球沿圓軌道向上運動到D點時剛好離開圓軌道，此后小球恰能通過E點，E為O點上方與D等高的位置，OD與水平方向的夾角為θ，不計小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
圖7
A.θ＝30° B.θ＝37° C.θ＝45° D.θ＝53°
8.(2024·山東煙臺高三期末)如圖8，半徑為R的勻質實心圓盤，盤面與水平面的夾角為θ，開始時圓盤靜止，其上表面均勻覆蓋著一層細沙沒有掉落，細沙與盤面間的動摩擦因數為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現讓圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸旋轉，其角速度從0開始緩慢增加到ω(未知)，此時圓盤表面上的細沙有被甩掉，重力加速度為g。則ω的值為(　　)
圖8
A. B.
C. D.
提能增分練
9.(2024·山東聊城一模)如圖9所示，正方體框架ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1處于水平地面上。從頂點A沿不同方向水平拋出小球(可視為質點)，不計空氣阻力。關于小球的運動，下列說法正確的是(　　)
圖9
A.落點在棱BB1上的小球，落在B1點時水平拋出的初速度最大
B.落點在面A1B1C1D1內的小球，落在C1點的運動時間最長
C.落點在三角形B1C1D1內的小球，水平拋出的初速度的最小值與最大值之比是1∶2
D.落點在線B1D1上的小球，落地時重力的瞬時功率均不相同
10.(多選)(2024·陜西西安高三期末)如圖10所示，在豎直面內固定一半圓形容器，圓心為O，半徑為R。在圓心O處分別水平向左和向右拋出一個可視為質點的小球，兩小球落在圓弧時速度方向相互垂直。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
圖10
A.兩小球的初速度大小可能都為
B.兩小球的初速度大小可能都為
C.從拋出到落在圓弧上，兩小球的運動時間可能不相等
D.從拋出到落在圓弧上，兩小球的運動時間一定相等
11.(2024·山東濟寧高三期末)如圖11所示，小環A套在粗糙的水平桿KO上，小球B通過細線分別與小環和豎直軸OO′相連，A、B間細線長為L1＝0.5 m，與豎直方向的夾角θ＝37°，B、P間細線水平，長為L2＝0.2 m，整個裝置可繞豎直軸OO′轉動。已知小環A和小球B均可視為質點，小環A的質量為mA＝0.6 kg，小球B的質量為mB＝0.4 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，在以下兩問中，小環A與桿均未發生相對滑動。求：
圖11
(1)裝置勻速轉動的角速度為ω1＝ rad/s時，小環A受到摩擦力的大小Ff1；
(2)小環A受到摩擦力的大小為Ff2＝1.8 N時，B、P間細線張力的大小。
熱點一　曲線運動、運動的合成與分解
例1 兩同學用尺子在黑板上畫圖，如圖1(a)所示，甲同學拿尺子豎直貼在黑板上，水平向右勻速移動，乙同學拿粉筆貼著尺子右邊緣在黑板上畫線。若粉筆相對尺子向上運動的速度隨時間變化的圖像如圖(b)所示，則黑板上畫出的形狀可能是(　　)
圖1
答案　C
解析　由圖(b)可知，粉筆相對尺子向上的速度先增大后減小，相對尺子一直向上運動，軌跡一直向上延伸，A、B錯誤；粉筆水平方向的分運動為向右的勻速運動，第一階段豎直方向的分運動為初速度為0的勻加速直線運動，合運動軌跡為拋物線，開口向上。第二階段豎直方向的分運動為勻減速直線運動，末速度為0，合運動軌跡為拋物線的一部分，開口向下，故C正確，D錯誤。
例2 (2024·江蘇淮安高三聯考)如圖2所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度為g，則當小車與滑輪間的細繩和水平方向的夾角為θ2時，下列判斷正確的是(　　)
圖2
A.P做勻速運動
B.P的速率為
C.繩的拉力大于mgsin θ1
D.繩的拉力小于mgsin θ1
答案　C
解析　將小車速度沿繩方向與垂直繩方向分解，P的速率為vP＝vcos θ2，小車以速率v水平向右做勻速直線運動，θ2逐漸減小，P的速度逐漸增大，P沿斜面向上做加速運動，根據牛頓第二定律有T－mgsin θ1＝ma＞0，故繩的拉力大于mgsin θ1，故C正確，A、B、D錯誤。
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。
訓練1 (2024·浙江名校協作體適應性考試)如圖3所示，有一半徑為r的圓環在一水平地面上向右運動，且其圓心速度大小為v。現有一木板，左端固定于地面之上，同時還搭于圓環之上，且木板與地面所成銳角為θ。則木板轉動的角速度ω為(　　)
圖3
A.cos θtan B.sin θtan
C.cos tan θ D.cos θtan θ
答案　B
解析　設圓環與木板的接觸點為P，圓心為O，角的頂點為A，連接AO，A、P之間的距離為x，將圓心的速度分解為板的速度和圓環上P點的速度，如圖所示。
由幾何關系有tan ＝，由運動的合成與分解有v板＝vsin θ，板的角速度為ω＝，解得ω＝sin θtan ，故B正確。
熱點二　拋體運動
例3 (2023·浙江6月選考，3)鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
答案　D
解析　鉛球在空中做平拋運動，加速度為重力加速度，恒定不變，A錯誤；鉛球的速度大小為v＝，又vy＝gt，聯立可得v＝，所以v－t圖像為曲線，B錯誤；由動能定理有mgh＝Ek－Ek0，又h＝gt2，聯立可得Ek＝Ek0＋mg2t2，所以Ek－t圖線為二次函數圖線，C錯誤；由于不計空氣阻力，則鉛球在空中運動過程中只有重力做功，機械能守恒，E不變，D正確。
例4 (2024·河北保定高三檢測)跳臺滑雪是冬奧會的重要項目之一。如圖4所示，某次比賽中，運動員以速度v0從跳臺頂端水平飛出，經過一段時間后落在傾斜賽道上，賽道的傾角為θ，重力加速度為g，空氣阻力忽略不計，運動員(包括滑雪板)視為質點。則運動員在空中運動的過程中下列說法正確的是(　　)
圖4
A.后一半時間內速度的變化量大于前一半時間內速度的變化量
B.運動員在空中運動的時間是
C.運動員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠處所用的時間是
D.運動員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠處的水平位移是
答案　C
解析　由Δv＝gΔt可知，后一半時間內速度的變化量與前一半時間內速度的變化量相等，故A錯誤；由平拋運動的水平和豎直位移關系tan θ＝，可得t＝，故B錯誤；距離賽道最遠時，速度與斜面平行，有tan θ＝得t′＝，故C正確；運動員離開傾斜賽道至垂直賽道最遠處的水平位移x＝v0t′＝，故D錯誤。
處理平拋(類平拋)運動的四個注意點
(1)處理平拋運動(或類平拋運動)時，利用“化曲為直”的思想，分別研究物體在兩個不同方向的分運動，再根據運動學公式、牛頓運動定律、幾何關系等列式求解。
(2)如圖甲所示，對于從斜面上水平拋出又落到斜面上的問題，有＝tan θ，速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠。
(3)如圖乙所示，對平拋運動的物體垂直打在斜面上，有＝tan θ。
　　
(4)如圖丙所示，做平拋運動的物體，其位移方向與速度方向一定不同，它們之間的關系tan φ＝2tan θ。
例5 (2024·山東濰坊一模)跑酷，又稱自由奔跑，是一種結合了速度、力量和技巧的極限運動。如圖5甲所示為一城墻的入城通道，通道寬L＝6 m。一質量m＝
50 kg的跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻做加速運動，加速到A點斜向上躍起，到達右墻壁B點時豎直速度恰好為零，B點距地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墻壁，使水平速度變為等大反向，并獲得一豎直向上的速度，恰能躍到左墻壁的C點，C點與B點等高，飛躍過程中人距地面的最大高度為H＝2.05 m，重力加速度為g，可認為整個過程中人的姿態不發生變化，如圖乙所示，求：
圖5
(1)人蹬墻后的水平速度大小；
(2)人加速助跑的距離s。
答案　(1)6 m/s　(2)3.6 m
解析　(1)設人蹬墻后的水平速度大小為v1，從B到C做斜拋運動，水平方向有
L＝v1t
豎直方向有H－h＝g()2
聯立得v1＝6 m/s。
(2)人從A點跳起到B點的過程中，逆過程為平拋運動，則水平方向
v0＝v1，x＝v0t0
豎直方向h＝gt
解得t0＝0.4 s，x＝2.4 m
由題意可知，人加速助跑的距離s＝L－x＝3.6 m。
斜拋運動(類斜拋運動)的處理方法
(1)斜拋運動是勻變速曲線運動，以斜上拋運動為例(如圖所示)
速度：vx0＝v0cos θ，vy0＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2。
(2)當物體做斜上拋運動至最高點時，運用逆向思維，可轉化為平拋運動處理。
訓練2 (多選)(2024·安徽亳州高三期末)如圖6所示，斜面的傾角θ＝45°，∠C＝90°，AC＝0.8 m，從斜面頂端A點垂直斜面AB以初速度v0拋出一個小球(可以看成質點)，當小球與斜面碰撞時，碰后垂直斜面方向的速度反向大小不變，沿斜面方向的速度不變，重力加速度g取10 m/s2，忽略空氣阻力的影響。若小球能擊中B點，初速度v0可能為(　　)
圖6
A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
答案　AB
解析　垂直斜面方向加速度為ay＝gcos θ，每次到達斜面所用時間為t＝；沿斜面方向，加速度為ax＝gsin θ，設小球第n次到達斜面時恰到達B點，則ax(nt)2＝，以上各式聯立解得v0＝ m/s (n＝1，2，3，…)，當n＝1時，v0＝2 m/s；當n＝2時，v0＝1 m/s，故A、B正確。
熱點三　圓周運動
例6 (2024·重慶一中高三月考)如圖7(a)所示，質量均為1 kg的物體A和B放置在圓盤上，與圓盤間的動摩擦因數分別為μA和μB。用兩根不可伸長的細繩將物體A、B和圓盤轉軸相連，物體A、B與轉軸的距離分別為rA和rB。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當圓盤繞轉軸轉動的角速度ω緩慢增大時，轉軸與物體A之間的細繩拉力T1、A與B之間的細繩拉力T2隨ω2的關系如圖(b)所示。g＝10 m/s2，則下列選項正確的是(　　)
圖7
A.μA＝0.25 B.μB＝0.1 C.rA＝1.5 m D.rB＝2.5 m
答案　C
解析　以物體B為研究對象，則有T2＋μBmg＝mω2rB，變形得T2＝mω2rB－μBmg，與T2圖像對比可得rB＝2 m，μB＝0.2，故B、D錯誤；以A為研究對象可得T1－T2＋μAmg＝mω2rA，代入T2得T1＝mω2(rA＋rB)－(μA＋μB)mg，與T1圖像對比可得rA＋rB＝3.5 m，μA＋μB＝0.5，即rA＝1.5 m，μA＝0.3，故A錯誤，C正確。
1.水平面內圓周運動的分析思路
2.水平面內圓周運動的臨界問題
(1)繩的臨界：繩恰好伸直，拉力FT＝0。
(2)接觸面滑動臨界：達到最大靜摩擦力，F＝Ffmax。
(3)接觸面分離臨界：FN＝0。
例7 (2024·北京東城高三期末)如圖8所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球。使輕桿隨轉軸在豎直平面內做角速度為ω的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
圖8
A.小球運動到最高點時，桿對球的作用力一定向上
B.小球運動到水平位置A時，桿對球的作用力指向O點
C.若ω＝，小球通過最高點時，桿對球的作用力為零
D.小球通過最低點時，桿對球的作用力可能向下
答案　C
解析　根據題意可知，小球做勻速圓周運動，小球運動到最高點時，若桿對球的作用力為零，則有mg＝mω2l，解得ω＝，可知，若小球運動的角速度ω＞，桿對球的作用力向下，若小球運動的角速度ω＜，桿對球的作用力向上，故A錯誤，C正確；小球做勻速圓周運動，則小球運動到水平位置A時，合力指向圓心，對小球受力分析可知，小球受重力和桿的作用力，由平行四邊形定則可知，桿對球的作用力不可能指向O點，故B錯誤；小球通過最低點時，合力豎直向上，則桿對球的作用力一定向上，故D錯誤。
方法總結　
訓練3 (2024·江蘇卷，11)如圖9所示，細繩穿過豎直的管子拴住一個小球，讓小球在A高度處做水平面內的勻速圓周運動，現用力將細繩緩慢下拉，使小球在B高度處做水平面內的勻速圓周運動，不計一切摩擦，則(　　)
圖9
A.線速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFnB
答案　C
解析　設小球和管口間的細繩與豎直方向的夾角為θ，則θA<θB，對小球受力分析有tan θ＝，則FnAhB，則ωA<ωB，B錯誤；線速度大小無法判斷，A錯誤。
新情境命題　生活中的曲線運動
情境分析　生活中的曲線運動也是高考必考內容之一，通常以日常生活情境、科技情境或體育運動情境為素材，考查運動的合成與分解、平拋運動和圓周運動等知識點，在具體題目中往往涉及臨界極值問題，解題時要注意臨界狀態的分析。
典例1 如圖10所示，一質量為m的小孩(可視為質點)做雜技表演。一不可伸長的輕繩一端固定于距離水平安全網高為H的O點，小孩抓住繩子上的P點從與O點等高的位置由靜止開始向下擺動，小孩運動到繩子豎直時松手離開繩子做平拋運動，落到安全網上。已知P點到O點的距離為l(0＜l＜H)，空氣阻力不計，小孩運動過程中繩子始終處于伸直狀態。下列說法正確的是(　　)
圖10
A.l越大，小孩在O點正下方松手前瞬間，對繩子的拉力越大
B.l越小，小孩在O點正下方松手前瞬間，對繩子的拉力越大
C.當l＝時，小孩在安全網上的落點距O點的水平距離最大
D.當l＝時，小孩在安全網上的落點距O點的水平距離最大
答案　C
解析　小孩向下擺動的過程中機械能守恒，由mgl＝mv2，解得小孩在O點正下方的速度v＝，運動到O點正下方時，設繩子對小孩的拉力為F，由牛頓第二定律得F－mg＝m，解得F＝3mg，由牛頓第三定律知，小孩對繩子的拉力為3mg，與l大小無關，故A、B錯誤；小孩運動到繩子豎直時松手，此后做平拋運動，由平拋運動規律有x＝vt，H－l＝gt2，聯立解得x＝2，由數學知識可知，當l＝時，小孩在安全網上的落點距離O點的水平距離x最大，故C正確，D錯誤。
典例2 (多選)問天實驗艙配置了多種實驗柜用來開展太空實驗，其中，變重力科學實驗柜為科學實驗提供0.01g～2g(零重力到兩倍重力范圍)高精度模擬的重力環境，支持開展微重力、模擬月球重力、火星重力等不同重力作用下的科學研究。如圖11所示，變重力實驗柜的主要裝置是兩套900毫米直徑的離心機。離心機旋轉的過程中，由于慣性，實驗樣品會有一個向外飛出的趨勢，對容器壁產生壓力，就像放在水平地面上的物體受到重力擠壓地面一樣。因此，這個壓力的大小可以體現“模擬重力”的大小。根據上面資料結合所學知識，判斷下列說法正確的是(　　)
圖11
A.實驗樣品的質量越大，“模擬重力加速度”越大
B.離心機的轉速變為原來的2倍，同一位置的“模擬重力加速度”變為原來的4倍
C.實驗樣品所受“模擬重力”的方向指向離心機轉軸中心
D.為防止兩臺離心機轉動時對空間站的影響，兩臺離心機應按相反方向轉動
答案　BD
解析　根據題意可得m(2πn)2r＝mg模，則模擬重力加速度g模＝4π2n2r，模擬重力加速度與樣品的質量無關，離心機的轉速變為原來的2倍，g模′＝4g模，即同一位置的“模擬重力加速度”變為原來的4倍，故A錯誤，B正確；實驗樣品因為有向外飛出的趨勢，對容器壁產生的壓力向外，所以模擬重力的方向背離離心機轉軸中心，故C錯誤；根據牛頓第三定律可知，一臺離心機從靜止開始加速轉動，會給空間站施加相反方向的力，使空間站發生轉動，所以為防止兩臺離心機轉動時對空間站的影響，兩臺離心機應按相反方向轉動，故D正確。
1.(2024·江蘇卷，4)噴泉a、b出射點高度相同，形成如圖12所示的形狀，不計空氣阻力，則噴泉a、b的(　　)
圖12
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高點的速度相同 D.在空中的時間相同
答案　A
解析　不計空氣阻力，噴泉噴出的水在空中只受重力，加速度為重力加速度，A正確；設噴泉噴出的水豎直方向的分速度為vy，水平方向的分速度為vx，豎直方向，根據對稱性可知在空中運動的時間t＝2，可知tb>ta，D錯誤；最高點的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小關系未知，無法判斷最高點的速度大小關系，根據速度的合成可知無法判斷初速度的大小，B、C錯誤。
2.(2024·湖北卷，3)如圖13所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到(　　)
圖13
A.荷葉a B.荷葉b C.荷葉c D.荷葉d
答案　C
解析　
3.(2024·廣東卷，5)如圖14所示，在細繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O在水平面內轉動。卷軸上沿半徑方向固定著長度為l的細管，管底在O點。細管內有一根原長為、勁度系數為k的輕質彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質量為m、可視為質點的插銷。當以速度v勻速拉動細繩時，插銷做勻速圓周運動。若v過大，插銷會卡進固定的端蓋，使卷軸轉動停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內。要使卷軸轉動不停止，v的最大值為(　　)
圖14
A.r B.l C.r D.l
答案　A
解析　由題意可知當插銷剛卡緊固定端蓋時彈簧的伸長量為Δx＝，根據胡克定律有F＝kΔx＝，插銷與卷軸同軸轉動，角速度相同，對插銷，由彈力提供向心力F＝mlω2，對卷軸有v＝rω，聯立解得v＝r，故A正確。
4.(多選)(2024·山東卷，12)如圖15所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是(　　)
圖15
A.運動時間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠距離為10 m
D.軌跡最高點與落點的高度差為45 m
答案　BD
解析　對重物從P運動到Q的過程，水平方向上有x＝v0tcos 30°，豎直方向上有y＝－v0tsin 30°＋gt2，由幾何關系有＝tan 30°，聯立解得重物的運動時間t＝4 s，A錯誤；結合A項分析可知，重物落地時的水平分速度vx＝v0cos 30°，豎直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，則tan θ＝＝，所以重物的落地速度與水平方向夾角為60°，B正確；對重物從P運動到Q的過程，垂直于PQ連線方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物離PQ連線的最遠距離hm＝10 m，C錯誤；結合B項分析，豎直方向上有2gym＝v，聯立解得重物軌跡最高點與落點的高度差ym＝45 m，D正確。
5.(2024·新課標卷，25)如圖16，一長度l＝1.0 m的均勻薄板初始時靜止在一光滑平臺上，薄板的右端與平臺的邊緣O對齊。薄板上的一小物塊從薄板的左端以某一初速度向右滑動，當薄板運動的距離Δl＝時，物塊從薄板右端水平飛出；當物塊落到地面時，薄板中心恰好運動到O點。已知物塊與薄板的質量相等，它們之間的動摩擦因數μ＝0.3，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
圖16
(1)物塊初速度大小及其在薄板上運動的時間；
(2)平臺距地面的高度。
答案　(1)4 m/s　 s　(2) m
解析　(1)設物塊和薄板的質量均為m，薄板加速度大小為a1，物塊離開薄板時薄板的速度大小為v1，對薄板，由牛頓第二定律得μmg＝ma1
由初速度為零的勻加速直線運動規律得Δl＝a1t
v1＝a1t1
設物塊的初速度大小為v0，加速度大小為a2，離開薄板時速度大小為v2，由題意可知，物塊滑離薄板時，相對平臺向右運動的位移為l＋l＝l
對物塊，由牛頓第二定律得
μmg＝ma2
由勻變速直線運動規律得
l＝v0t1－a2t
聯立解得t1＝ s，v0＝4 m/s。
(2)物塊離開薄板后做平拋運動，薄板做勻速直線運動，設運動時間為t2，平臺高度為h，
對薄板，由運動學規律得l－Δl＝v1t2
對物塊，由平拋運動規律得h＝gt
聯立解得h＝ m。
6.(2024·江西卷，14)雪地轉椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉椅在雪地上滑動。如圖17(a)、(b)所示，傳動裝置有一高度可調的水平圓盤，可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉動。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉椅(視為質點)。轉椅運動穩定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉椅與雪地之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，不計空氣阻力。
圖17
(1)在圖(a)中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O點做半徑為r1的勻速圓周運動。求AB與OB之間夾角α的正切值；
(2)將圓盤升高，如圖(b)所示。圓盤勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O1點做半徑為r2的勻速圓周運動，繩子與豎直方向的夾角為θ，繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β。求此時圓盤的角速度ω2。
答案　(1)　(2)
解析　(1)對轉椅受力分析，轉椅在水平面內受摩擦力、輕繩拉力，兩者合力提供其做圓周運動所需向心力，如圖所示。設轉椅的質量為m，則
轉椅所需的向心力Fn1＝mωr1
轉椅受到的摩擦力Ff1＝μmg
根據幾何關系有tan α＝
聯立解得tan α＝。
(2)轉椅在題圖(b)所示情況下所需的向心力
Fn2＝mωr2
轉椅受到的摩擦力Ff2＝μFN
根據幾何關系有tan β＝
由平衡條件，豎直方向上有FN＋FTcos θ＝mg
水平面上有Ff2＝FTsin θsin β
聯立解得ω2＝。
基礎保分練
1.(2024·黑吉遼卷，2) “指尖轉球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖1，當籃球在指尖上繞軸轉動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的(　　)
圖1
A.半徑相等
B.線速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
答案　D
解析　由圖可知rP2.(多選)(2024·江西卷，8)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖2所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是(　　)
圖2
答案　AD
解析　由于小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運動，即vx為一定量，則有x＝vxt，A正確，C錯誤；小魚在豎直方向上做豎直上拋運動，則有y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且vy最終減為0，B錯誤，D正確。
3.(2024·山東歷城二中高三月考)如圖3是內燃機中一種傳動裝置，車輪和滑塊上分別設置可以繞軸A、B轉動的輕桿，O軸固定。工作時高壓氣體驅動活塞在汽缸中做往復運動，再通過連桿驅動滑塊在斜槽中做往復運動，最終驅動車輪做角速度為ω的勻速圓周運動。已知輕桿OA長度為L，運動到圖示位置時AB、BC垂直，α＝β＝60°，那么此時活塞的速度大小為(　　)
圖3
A.ωL B.ωL C.ωL D.ωL
答案　B
解析　A點的線速度為v＝ωL，A點的線速度沿AB水平桿的分速度為v′＝vsin α＝ωL，滑塊在斜槽中的速度分解為沿BC向上和沿AB水平向右的分速度，滑塊沿AB方向的分速度vAB＝v′＝ωL，結合圖可知活塞的速度等于滑塊在斜槽中沿豎直向上的分速度，所以滑塊在斜槽中豎直向上的分速度為vBC＝vABtan β＝ωL·＝ωL，故B正確。
4.(2024·浙江1月選考，8)如圖4所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，重力加速度為g，則水離開出水口的速度大小為(　　)
圖4
A. B.
C. D.(＋1)D
答案　C
解析　設出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0，落到桶底A點時，有x＋＝v0，解得v0＝，故C正確。
5.(2024·江西南昌一模)一住宅陽臺失火，消防員用靠在一起的兩支水槍噴水滅火，如圖5所示甲水柱射向水平陽臺近處著火點A，乙水柱射向水平陽臺遠處著火點B，兩水柱最高點在同一水平線上，不計空氣阻力，甲、乙水柱噴出時的速度大小分別為v1、v2，甲、乙水柱在空中運動的時間分別為t1、t2。以下判斷正確的是(　　)
圖5
A.v1＞v2，t1＝t2 B.v1＜v2，t1＝t2
C.v1＞v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
答案　B
解析　根據題意可知，甲、乙兩水柱最高點在同一水平線上，則甲、乙水柱在空中運動的時間相等，即t1＝t2，甲、乙水柱豎直方向的初速度相等，由圖可知，乙的水平位移大，則乙水平方向的初速度大，有v2＞v1，故B正確。
6.(多選)(2024·貴州貴陽模擬)如圖6所示，質量均為m的甲、乙、丙三個小物塊(均可看作質點)隨水平轉盤一起以角速度ω繞OO′軸做勻速圓周運動，物塊甲疊放在物塊乙的上面，所有接觸面間的動摩擦因數均為μ。已知甲、乙到轉軸的距離為r1，丙到轉軸的距離為r2，且r2＞r1。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
圖6
A.甲受到的摩擦力一定為μmg
B.乙受到轉盤的摩擦力一定為2mω2r1
C.若角速度增大，丙先達到滑動的臨界點
D.若角速度增大，甲先達到滑動的臨界點
答案　BC
解析　當轉動角速度較小時，甲受到的靜摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A錯誤；對甲、乙整體分析可知，乙受到轉盤的摩擦力為Ff＝2mω2r1，故B正確；若角速度增大，根據μmg＝mω2r，丙到轉軸的距離較大，則丙先達到滑動的臨界點，故C正確，D錯誤。
7.(2024·河南周口高三月考)如圖7所示，光滑圓軌道固定在豎直面內，BC是軌道的水平直徑，O為圓心，一個小球靜止在軌道的最低點A。現給小球水平向左的初速度，小球沿圓軌道向上運動到D點時剛好離開圓軌道，此后小球恰能通過E點，E為O點上方與D等高的位置，OD與水平方向的夾角為θ，不計小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
圖7
A.θ＝30° B.θ＝37° C.θ＝45° D.θ＝53°
答案　C
解析　小球剛要脫離圓軌道時，設小球的速度大小為v1，此時對小球mgsin θ＝m，小球脫離軌道后，將做斜拋運動，則小球在D點時的水平方向vx＝v1sin θ，xDE＝Rcos θ，t＝，在豎直方向vy＝v1cos θ，t＝，以上各式聯立，解得sin θ＝，即θ＝45°，故C正確。
8.(2024·山東煙臺高三期末)如圖8，半徑為R的勻質實心圓盤，盤面與水平面的夾角為θ，開始時圓盤靜止，其上表面均勻覆蓋著一層細沙沒有掉落，細沙與盤面間的動摩擦因數為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現讓圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸旋轉，其角速度從0開始緩慢增加到ω(未知)，此時圓盤表面上的細沙有被甩掉，重力加速度為g。則ω的值為(　　)
圖8
A. B.
C. D.
答案　D
解析　根據Fn＝mω2r可知在角速度相同的情況下半徑越大，向心力越大，所以最外邊的細沙隨著角速度的增大最先發生滑動，因為圓盤表面上的細沙有被甩掉，即面積上的細沙發生滑動，剩下的未滑動，設未滑動的半徑為r，則πr2＝πR2，解得r＝R，在最低點有mg(μcos θ－sin θ)＝mω2r，解得ω＝，故D正確。
提能增分練
9.(2024·山東聊城一模)如圖9所示，正方體框架ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1處于水平地面上。從頂點A沿不同方向水平拋出小球(可視為質點)，不計空氣阻力。關于小球的運動，下列說法正確的是(　　)
圖9
A.落點在棱BB1上的小球，落在B1點時水平拋出的初速度最大
B.落點在面A1B1C1D1內的小球，落在C1點的運動時間最長
C.落點在三角形B1C1D1內的小球，水平拋出的初速度的最小值與最大值之比是1∶2
D.落點在線B1D1上的小球，落地時重力的瞬時功率均不相同
答案　C
解析　設正方形棱長為l，落點在棱BB1上的小球，初速度沿AB方向，落在B1點時豎直位移最大，根據t＝可知，時間最長，根據v＝可知，水平拋出的初速度最小，故A錯誤；落點在面A1B1C1D1內的小球豎直位移相等，則運動時間相等，故B錯誤；落點在三角形B1C1D1內的小球運動時間相等，最大的水平位移為l，最小的水平位移為l，最小水平位移與最大水平位移之比為1∶2，由v＝知水平拋出的初速度的最小值與最大值之比是1∶2，故C正確；落點在線B1D1上的小球，豎直速度均為vy＝，落地時重力的瞬時功率PG＝mgvy均相同，故D錯誤。
10.(多選)(2024·陜西西安高三期末)如圖10所示，在豎直面內固定一半圓形容器，圓心為O，半徑為R。在圓心O處分別水平向左和向右拋出一個可視為質點的小球，兩小球落在圓弧時速度方向相互垂直。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
圖10
A.兩小球的初速度大小可能都為
B.兩小球的初速度大小可能都為
C.從拋出到落在圓弧上，兩小球的運動時間可能不相等
D.從拋出到落在圓弧上，兩小球的運動時間一定相等
答案　AC
解析　若兩小球的初速度大小相等，如圖，根據平拋運動推論，速度偏轉角的正切值等于位移偏轉角正切值的兩倍，兩小球落在圓弧時速度方向相互垂直，有tan θ＝tan 45°＝，sin θ＝，cos θ＝，聯立得v0＝，故A正確，B錯誤；當v1、v2不相等時，兩小球運動時間可能不相等，速度偏轉角不相等，但總能有兩小球落在圓弧時速度方向相互垂直的速度值，故C正確，D錯誤。
11.(2024·山東濟寧高三期末)如圖11所示，小環A套在粗糙的水平桿KO上，小球B通過細線分別與小環和豎直軸OO′相連，A、B間細線長為L1＝0.5 m，與豎直方向的夾角θ＝37°，B、P間細線水平，長為L2＝0.2 m，整個裝置可繞豎直軸OO′轉動。已知小環A和小球B均可視為質點，小環A的質量為mA＝0.6 kg，小球B的質量為mB＝0.4 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，在以下兩問中，小環A與桿均未發生相對滑動。求：
圖11
(1)裝置勻速轉動的角速度為ω1＝ rad/s時，小環A受到摩擦力的大小Ff1；
(2)小環A受到摩擦力的大小為Ff2＝1.8 N時，B、P間細線張力的大小。
答案　(1)0　(2)3.32 N或4.28 N
解析　(1)對B受力分析，如圖甲所示，
豎直方向由平衡條件得F1cos θ＝mBg
解得F1＝5 N
對A受力分析，如圖乙所示，由牛頓第二定律得
F1sin θ－Ff1＝mAω(L1sin θ＋L2)
解得Ff1＝0。
(2)小環A受到摩擦力的大小為Ff2＝1.8 N時，
當摩擦力向左時，對A由牛頓第二定律得
F1sin θ－Ff2＝mAω(L1sin θ＋L2)
解得ω2＝2 rad/s
對B，由牛頓第二定律得F－F1sin θ＝mBωL2
解得B、P間細線張力的大小為F＝3.32 N
當摩擦力向右時，對A由牛頓第二定律得
F1sin θ＋Ff2＝mAω(L1sin θ＋L2)
解得ω3＝4 rad/s
對B，由牛頓第二定律得F′－F1sin θ＝mBωL2
解得B、P間細線張力的大小為F′＝4.28 N。(共71張PPT)
第3課時　力與曲線運動
專題一　力與運動
知識網絡
目 錄
CONTENTS
突破高考熱點
01
課時跟蹤訓練
04
鏈接高考真題
03
新情境命題
02
突破高考熱點
1
熱點二　拋體運動
熱點一　曲線運動、運動的合成與分解
熱點三　圓周運動
熱點一　曲線運動、運動的合成與分解
C
例1 兩同學用尺子在黑板上畫圖，如圖1(a)所示，甲同學拿尺子豎直貼在黑板上，水平向右勻速移動，乙同學拿粉筆貼著尺子右邊緣在黑板上畫線。若粉筆相對尺子向上運動的速度隨時間變化的圖像如圖(b)所示，則黑板上畫出的形狀可能是(　　)
圖1
解析　由圖(b)可知，粉筆相對尺子向上的速度先增大后減小，相對尺子一直向上運動，軌跡一直向上延伸，A、B錯誤；粉筆水平方向的分運動為向右的勻速運動，第一階段豎直方向的分運動為初速度為0的勻加速直線運動，合運動軌跡為拋物線，開口向上。第二階段豎直方向的分運動為勻減速直線運動，末速度為0，合運動軌跡為拋物線的一部分，開口向下，故C正確，D錯誤。
圖2
C
例2 (2024·江蘇淮安高三聯考)如圖2所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度為g，則當小車與滑輪間的細繩和水平方向的夾角為θ2時，下列判斷正確的是(　　)
解析　將小車速度沿繩方向與垂直繩方向分解，P的速率為vP＝vcos θ2，小車以速率v水平向右做勻速直線運動，θ2逐漸減小，P的速度逐漸增大，P沿斜面向上做加速運動，根據牛頓第二定律有T－mgsin θ1＝ma＞0，故繩的拉力大于mgsin θ1，故C正確，A、B、D錯誤。
把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。
圖3
B
訓練1 (2024·浙江名校協作體適應性考試)如圖3所示，有一半徑為r的圓環在一水平地面上向右運動，且其圓心速度大小為v。現有一木板，左端固定于地面之上，同時還搭于圓環之上，且木板與地面所成銳角為θ。則木板轉動的角速度ω為(　　)
解析　設圓環與木板的接觸點為P，圓心為O，角的頂點為A，連接AO，A、P之間的距離為x，將圓心的速度分解為板的速度和圓環上P點的速度，如圖所示。
熱點二　拋體運動
D
例3 (2023·浙江6月選考，3)鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
圖4
C
例4 (2024·河北保定高三檢測)跳臺滑雪是冬奧會的重要項目之一。如圖4所示，某次比賽中，運動員以速度v0從跳臺頂端水平飛出，經過一段時間后落在傾斜賽道上，賽道的傾角為θ，重力加速度為g，空氣阻力忽略不計，運動員(包括滑雪板)視為質點。則運動員在空中運動的過程中下列說法正確的是(　　)
處理平拋(類平拋)運動的四個注意點
(1)處理平拋運動(或類平拋運動)時，利用“化曲為直”的思想，分別研究物體在兩個不同方向的分運動，再根據運動學公式、牛頓運動定律、幾何關系等列式求解。
(4)如圖丙所示，做平拋運動的物體，其位移方向與速度方向一定不同，它們之間的關系tan φ＝2tan θ。
圖5
例5 (2024·山東濰坊一模)跑酷，又稱自由奔跑，是一種結合了速度、力量和技巧的極限運動。如圖5甲所示為一城墻的入城通道，通道寬L＝6 m。一質量m＝50 kg的跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻做加速運動，加速到A點斜向上躍起，到達右墻壁B點時豎直速度恰好為零，B點距地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墻壁，使水平速度變為等大反向，并獲得一豎直向上的速度，恰能躍到左墻壁的C點，C點與B點等高，飛躍過程中人距地面的最大高度為H＝2.05 m，重力加速度為g，可認為整個過程中人的姿態不發生變化，如圖乙所示，求：
(1)人蹬墻后的水平速度大小；
(2)人加速助跑的距離s。
答案　(1)6 m/s　(2)3.6 m
解析　(1)設人蹬墻后的水平速度大小為v1，從B到C做斜拋運動，水平方向有
L＝v1t
聯立得v1＝6 m/s。
(2)人從A點跳起到B點的過程中，逆過程為平拋運動，則水平方向
v0＝v1，x＝v0t0
解得t0＝0.4 s，x＝2.4 m
由題意可知，人加速助跑的距離s＝L－x＝3.6 m。
斜拋運動(類斜拋運動)的處理方法
圖6
AB
訓練2 (多選)(2024·安徽亳州高三期末)如圖6所示，斜面的傾角θ＝45°，∠C＝90°，AC＝0.8 m，從斜面頂端A點垂直斜面AB以初速度v0拋出一個小球(可以看成質點)，當小球與斜面碰撞時，碰后垂直斜面方向的速度反向大小不變，沿斜面方向的速度不變，重力加速度g取10 m/s2，忽略空氣阻力的影響。若小球能擊中B點，初速度v0可能為(　　)
A.1 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
熱點三　圓周運動
圖7
C
例6 (2024·重慶一中高三月考)如圖7(a)所示，質量均為1 kg的物體A和B放置在圓盤上，與圓盤間的動摩擦因數分別為μA和μB。用兩根不可伸長的細繩將物體A、B和圓盤轉軸相連，物體A、B與轉軸的距離分別為rA和rB。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當圓盤繞轉軸轉動的角速度ω緩慢增大時，轉軸與物體A之間的細繩拉力T1、A與B之間的細繩拉力T2隨ω2的關系如圖(b)所示。g＝10 m/s2，則下列選項正確的是(　　)
A.μA＝0.25 B.μB＝0.1
C.rA＝1.5 m D.rB＝2.5 m
解析　以物體B為研究對象，則有T2＋μBmg＝mω2rB，變形得T2＝mω2rB－μBmg，與T2圖像對比可得rB＝2 m，μB＝0.2，故B、D錯誤；以A為研究對象可得T1－T2＋μAmg＝mω2rA，代入T2得T1＝mω2(rA＋rB)－(μA＋μB)mg，與T1圖像對比可得rA＋rB＝3.5 m，μA＋μB＝0.5，即rA＝1.5 m，μA＝0.3，故A錯誤，C正確。
1.水平面內圓周運動的分析思路
2.水平面內圓周運動的臨界問題
(1)繩的臨界：繩恰好伸直，拉力FT＝0。
(2)接觸面滑動臨界：達到最大靜摩擦力，F＝Ffmax。
(3)接觸面分離臨界：FN＝0。
圖8
C
例7 (2024·北京東城高三期末)如圖8所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球。使輕桿隨轉軸在豎直平面內做角速度為ω的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
方法總結　
圖9
C
訓練3 (2024·江蘇卷，11)如圖9所示，細繩穿過豎直的管子拴住一個小球，讓小球在A高度處做水平面內的勻速圓周運動，現用力將細繩緩慢下拉，使小球在B高度處做水平面內的勻速圓周運動，不計一切摩擦，則(　　)
A.線速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAFnB
新情境命題
2
情境分析　生活中的曲線運動也是高考必考內容之一，通常以日常生活情境、科技情境或體育運動情境為素材，考查運動的合成與分解、平拋運動和圓周運動等知識點，在具體題目中往往涉及臨界極值問題，解題時要注意臨界狀態的分析。
新情境命題　生活中的曲線運動
圖10
C
典例1 如圖10所示，一質量為m的小孩(可視為質點)做雜技表演。一不可伸長的輕繩一端固定于距離水平安全網高為H的O點，小孩抓住繩子上的P點從與O點等高的位置由靜止開始向下擺動，小孩運動到繩子豎直時松手離開繩子做平拋運動，落到安全網上。已知P點到O點的距離為l(0＜l＜H)，空氣阻力不計，小孩運動過程中繩子始終處于伸直狀態。下列說法正確的是(　　)
圖11
BD
典例2 (多選)問天實驗艙配置了多種實驗柜用來開展太空實驗，其中，變重力科學實驗柜為科學實驗提供0.01g～2g(零重力到兩倍重力范圍)高精度模擬的重力環境，支持開展微重力、模擬月球重力、火星重力等不同重力作用下的科學研究。如圖11所示，變重力實驗柜的主要裝置是兩套900毫米直徑的離心機。離心機旋轉的過程中，由于慣性，實驗樣品會有一個向外飛出的趨勢，對容器壁產生壓力，就像放在水平地面上的物體受到重力擠壓地面一樣。因此，這個壓力的大小可以體現“模擬重力”的大小。根據上面資料結合所學知識，判斷下列說法正確的是(　　)
A.實驗樣品的質量越大，“模擬重力加速度”越大
B.離心機的轉速變為原來的2倍，同一位置的“模擬
重力加速度”變為原來的4倍
C.實驗樣品所受“模擬重力”的方向指向離心機轉軸中心
D.為防止兩臺離心機轉動時對空間站的影響，兩臺離心機應按相反方向轉動
解析　根據題意可得m(2πn)2r＝mg模，則模擬重力加速度g模＝4π2n2r，模擬重力加速度與樣品的質量無關，離心機的轉速變為原來的2倍，g模′＝4g模，即同一位置的“模擬重力加速度”變為原來的4倍，故A錯誤，B正確；實驗樣品因為有向外飛出的趨勢，對容器壁產生的壓力向外，所以模擬重力的方向背離離心機轉軸中心，故C錯誤；根據牛頓第三定律可知，一臺離心機從靜止開始加速轉動，會給空間站施加相反方向的力，使空間站發生轉動，所以為防止兩臺離心機轉動時對空間站的影響，兩臺離心機應按相反方向轉動，故D正確。
鏈接高考真題
3
A
1.(2024·江蘇卷，4)噴泉a、b出射點高度相同，形成如圖12所示的形狀，不計空氣阻力，則噴泉a、b的(　　)
圖12
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高點的速度相同 D.在空中的時間相同
C
2.(2024·湖北卷，3)如圖13所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到(　　)
圖13
A.荷葉a B.荷葉b C.荷葉c D.荷葉d
解析
A
圖14
BD
4.(多選)(2024·山東卷，12)如圖15所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是(　　)
圖15
圖16
解析　(1)設物塊和薄板的質量均為m，薄板加速度大小為a1，
物塊離開薄板時薄板的速度大小為v1，對薄板，由牛頓第二定律得μmg＝ma1
v1＝a1t1
對物塊，由牛頓第二定律得μmg＝ma2
由勻變速直線運動規律得
6.(2024·江西卷，14)雪地轉椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉椅在雪地上滑動。如圖17(a)、(b)所示，傳動裝置有一高度可調的水平圓盤，可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉動。圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉椅(視為質點)。轉椅運動穩定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉椅與雪地之間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，不計空氣阻力。
圖17
(1)在圖(a)中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O點做半徑為r1的勻速圓周運動。求AB與OB之間夾角α的正切值；
(2)將圓盤升高，如圖(b)所示。圓盤勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O1點做半徑為r2的勻速圓周運動，繩子與豎直方向的夾角為θ，繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β。求此時圓盤的角速度ω2。
解析　(1)對轉椅受力分析，轉椅在水平面內受摩擦力、輕繩拉力，兩者合力提供其做圓周運動所需向心力，如圖所示。設轉椅的質量為m，則
課時跟蹤訓練
4
D
1.(2024·黑吉遼卷，2) “指尖轉球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖1，當籃球在指尖上繞軸轉動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的(　　)
基礎保分練
圖1
A.半徑相等
B.線速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
AD
2.(多選)(2024·江西卷，8)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖2所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是(　　)
圖2
B
3.(2024·山東歷城二中高三月考)如圖3是內燃機中一種傳動裝置，車輪和滑塊上分別設置可以繞軸A、B轉動的輕桿，O軸固定。工作時高壓氣體驅動活塞在汽缸中做往復運動，再通過連桿驅動滑塊在斜槽中做往復運動，最終驅動車輪做角速度為ω的勻速圓周運動。已知輕桿OA長度為L，運動到圖示位置時AB、BC垂直，α＝β＝60°，那么此時活塞的速度大小為(　　)
圖3
C
4.(2024·浙江1月選考，8)如圖4所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，重力加速度為g，則水離開出水口的速度大小為(　　)
圖4
B
5.(2024·江西南昌一模)一住宅陽臺失火，消防員用靠在一起的兩支水槍噴水滅火，如圖5所示甲水柱射向水平陽臺近處著火點A，乙水柱射向水平陽臺遠處著火點B，兩水柱最高點在同一水平線上，不計空氣阻力，甲、乙水柱噴出時的速度大小分別為v1、v2，甲、乙水柱在空中運動的時間分別為t1、t2。以下判斷正確的是(　　)
圖5
A.v1＞v2，t1＝t2 B.v1＜v2，t1＝t2
C.v1＞v2，t1＜t2 D.v1＜v2，t1＜t2
解析　根據題意可知，甲、乙兩水柱最高點在同一水平線上，則甲、乙水柱在空中運動的時間相等，即t1＝t2，甲、乙水柱豎直方向的初速度相等，由圖可知，乙的水平位移大，則乙水平方向的初速度大，有v2＞v1，故B正確。
BC
6.(多選)(2024·貴州貴陽模擬)如圖6所示，質量均為m的甲、乙、丙三個小物塊(均可看作質點)隨水平轉盤一起以角速度ω繞OO′軸做勻速圓周運動，物塊甲疊放在物塊乙的上面，所有接觸面間的動摩擦因數均為μ。已知甲、乙到轉軸的距離為r1，丙到轉軸的距離為r2，且r2＞r1。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
圖6
A.甲受到的摩擦力一定為μmg
B.乙受到轉盤的摩擦力一定為2mω2r1
C.若角速度增大，丙先達到滑動的臨界點
D.若角速度增大，甲先達到滑動的臨界點
解析　當轉動角速度較小時，甲受到的靜摩擦力提供向心力，大小不等于μmg，故A錯誤；對甲、乙整體分析可知，乙受到轉盤的摩擦力為Ff＝2mω2r1，故B正確；若角速度增大，根據μmg＝mω2r，丙到轉軸的距離較大，則丙先達到滑動的臨界點，故C正確，D錯誤。
C
7.(2024·河南周口高三月考)如圖7所示，光滑圓軌道固定在豎直面內，BC是軌道的水平直徑，O為圓心，一個小球靜止在軌道的最低點A。現給小球水平向左的初速度，小球沿圓軌道向上運動到D點時剛好離開圓軌道，此后小球恰能通過E點，E為O點上方與D等高的位置，OD與水平方向的夾角為θ，不計小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則(　　)
圖7
A.θ＝30° B.θ＝37° C.θ＝45° D.θ＝53°
D
8.
圖8
C
9.(2024·山東聊城一模)如圖9所示，正方體框架ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1處于水平地面上。從頂點A沿不同方向水平拋出小球(可視為質點)，不計空氣阻力。關于小球的運動，下列說法正確的是(　　)
提能增分練
圖9
A.落點在棱BB1上的小球，落在B1點時水平拋出的初速度最大
B.落點在面A1B1C1D1內的小球，落在C1點的運動時間最長
C.落點在三角形B1C1D1內的小球，水平拋出的初速度的最小值與最大值之比是1∶2
D.落點在線B1D1上的小球，落地時重力的瞬時功率均不相同
AC
10.(多選)(2024·陜西西安高三期末)如圖10所示，在豎直面內固定一半圓形容器，圓心為O，半徑為R。在圓心O處分別水平向左和向右拋出一個可視為質點的小球，兩小球落在圓弧時速度方向相互垂直。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
圖10
11.(2024·山東濟寧高三期末)如圖11所示，小環A套在粗糙的水平桿KO上，小球B通過細線分別與小環和豎直軸OO′相連，A、B間細線長為L1＝0.5 m，與豎直方向的夾角θ＝37°，B、P間細線水平，長為L2＝0.2 m，整個裝置可繞豎直軸OO′轉動。已知小環A和小球B均可視為質點，小環A的質量為mA＝0.6 kg，小球B的質量為mB＝0.4 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，在以下兩問中，小環A與桿均未發生相對滑動。求：
圖11
答案　(1)0　(2)3.32 N或4.28 N
解析　(1)對B受力分析，如圖甲所示，
豎直方向由平衡條件得F1cos θ＝mBg
解得F1＝5 N
對A受力分析，如圖乙所示，由牛頓第二定律得
解得Ff1＝0。
(2)小環A受到摩擦力的大小為Ff2＝1.8 N時，
當摩擦力向左時，對A由牛頓第二定律得
解得ω2＝2 rad/s
解得B、P間細線張力的大小為F＝3.32 N
當摩擦力向右時，對A由牛頓第二定律得
解得ω3＝4 rad/s
解得B、P間細線張力的大小為F′＝4.28 N。

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