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人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
專題 分式運算的八種技巧
分式運算的一般方法就是按照分式運算的法則、運算的順序進行，但對一些運算量大的題目，運用一般方法計算量太大，導致出錯，需要選擇運算技巧。
技巧一、直接約分法
通過公式提公因式，直接約分即可。
【例1-1】．化簡：.
【例1-2】．（1）先化簡，再求值：，其中.
（2）當時，求的值.
【變式1-1】．計算.
【變式1-2】．計算：
【變式1-3】．已知，求的值.
【變式1-4】．計算：.
技巧二、巧選運算順序
分式混合運算中，有時候選擇運算律可以使運算簡便，所以有括號時首先觀察能否使用乘法分配律，如果能運用乘法分配律，可以使運算簡便。
【例2-1】．下面是小紅和小逸兩位同學化簡的部分運算過程.
(1)小紅同學解法的依據是；小逸同學解法的依據是.(填序號)
①乘法交換律；②乘法分配律；③等式的基本性質；③分式的基本性質.
(2)請選擇一種解法,寫出完整的解答過程.
【例2-2】．先化簡，然后從-3，0，1，3四個數中選擇一個適當的數作為a的值代入求值.
【變式2-1】．化簡，下面是甲、乙兩位同學的部分運算過程：
（1）甲同學解法的依據是_________，乙同學解法的依據是_________；（填序號）
①等式的基本性質；②分式的基本性質；
③乘法分配律；④乘法交換律.
（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.
【變式2-2】．化簡：，并解答：
（1）當時，求原式的值；
（2）原式的值能等于-1嗎？為什么？
【變式2-3】．先化簡，再求值：，其中.
【變式2-4】．在復習分式的化簡運算時，老師把甲、乙兩位同學的解答過程分別展示如下.則( )
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A.甲、乙都錯 B.甲、乙都對 C.甲對，乙錯 D.甲錯，乙對
技巧三、分段分步法
一次通分計算量大利用相鄰分母之間的特點，分步通分，構造公式，使運算簡化。此法也用于解這類特征的分式方程
【例3-1】求分式，當a＝2時的值．
【例3-2】請閱讀某同學解下面分式方程的具體過程．
解方程
解：①
②
③
∴④
∴．
把代入原方程檢驗知是原方程的解．
請你回答：
（1）得到①式的做法是 ；
得到②式的具體做法是 ；
得到③式的具體做法是 ；
得到④式的根據是 ．
（2）上述解答正確嗎？如果不正確，從哪一步開始出現錯誤？答： ．錯誤的原因是 （若第一格回答“正確”的，此空不填）．
【變式3-1】．計算：.
【變式3-2】．先計算,通過以上計算,請你用一種你認為較簡便的方法計算.
【變式3-3】．已知,求的值.
【變式3-4】解方程：.
技巧四、分裂整數法
當算式中各分子的次數與分母次數相同時，一般利用分裂整數法把分子降次后再通分。
【例4-1】閱讀下面材料并解答問題
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
解：由分母為，可設，
則
∵對任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
這樣，分式被拆分成了一個整式與一個分式的和
解答：（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式
（2）求出的最小值．
【例4-2】我們知道：分式和分數有著很多的相似點．如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質；類比分數的運算法則，我們得到了分式的運算法則，等等．小學里，把分子比分母小的分數叫做真分數．類似地，我們把分子整式的次數小于分母整式的次數的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，
如：＝＝+＝1+；
＝＝+＝2+（﹣）．
（1）下列分式中，屬于真分式的是：?、邸。ㄌ钚蛱枺?br/>①　　 ② ③　 　④
（2）將假分式化成整式與真分式的和的形式為：＝　 　，若假分式的值為正整數，則整數a的值為　 ?。?br/>（3）將假分式 化成整式與真分式的和的形式：＝　 ?。?br/>【變式4-1】定義：如果一個分式能化成一個整數與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“賦整分式”.
例如：；
；將“賦整分式”化為一個整數與一個分子為常數的分式的利的形式是___________.
【變式4-2】．回答下列問題：
探索：（1）如果，那么_______；
（2）如果，那么______；
總結：如果（其中a，b，c為常數），那么________；
應用：利用上述結論解決：若代數式的值為整數，求滿足條件的整數x的值.
【變式4-3】．閱讀下列材料，解決問題.
在處理分數和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數高于分母的次數，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分數（分式）的加減法，將假分數（分式）拆分成一個整數（或整式）與一個真分數的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現舉例說明.
將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式.
解：.
（1）將分式拆分成一個整式與一個分子為整數的分式的和的形式，則結果為___________；
（2）已知整數x使分式的值為整數，求滿足條件的整數x的值.
【變式4-4】閱讀材料：在處理分數和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數高于分母的次數，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數（分式）拆分成一個整數（整式）與一個真分數（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數可類比假分數變形帶分數的方法進行，如：，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式x﹣1的和的形式．
根據以上閱讀材料，解答下列問題．
（1）假分式也可化為帶分式 　　形式；
（2）利用分離常數法，求分式的取值范圍；
（3）若分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和（差）的形式為：，則m2+n2+mn的最小值為 　 ?。?br/>技巧五、拆項法
當分式的分母因式分解后是連續的（遞增或遞減）的因式的積，可以將各分式拆項，相互抵消，達到化簡的目的。
【例5-1】觀察下列各式：，，，
(1)由此可推測： ______；
(2)依照上述規律，寫出的推測過程；
(3)請你猜想出能表示以上式子的一般規律，用含（表示整數）的等式表示出來，并說明理由；
(4)請直接用（3）中的規律計算的值．
【例5-2】例：∵
∴
＝
＝
認真領悟上例的解法原理，并根據原理求下列式子的值．
（1）
（2）．
【變式5-1】某同學在學習的過程中，遇到這樣的問題：求的整數部分.她百思而不得其解，于是向老師求助.數學老師進行了深入淺出的講解：觀察算式可知，每個分母中的減數都是1，且被減數按照一定的規律在遞增；
先看一般情形：；
再看特殊情形：當時，；
當時，；
老師講解到這里時，該同學說：“老師我知道怎么做了.”
(1)請你通過化簡，說明一般情形的正確性；
(2)請你完成該同學的解答.
【變式5-2】計算：.
【變式5-3】．已知下面一列等式：
(1)請按這些等式左邊的結構特征寫出它的一般性等式;
(2)驗證你寫出的等式的正確性;
(3)計算：.
【變式5-4】．觀察下列各式：
第1式：；第2式：；第3式：；
（1）請你根據觀察得到的規律寫出這列式子的第式:_____________；
（2）求和：；
（3）已知與互為相反數，求的值．
類型六、換元法
當分式中式子有共同特征時，可以用同一個字母表示這個共同特征，即換元。
【例6-1】請仔細閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學時我們學過，任何一個假分數都可以化為一個整數與一個真分數的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數不低于分母次數的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
如：.
材料2：對于式子，利用換元法，令，.則由于，所以反比例函數有最大值，且為3.因此分式的最大值為5.
根據上述材料，解決下列問題：
（1）把分式化為一個整式與另一個分式的和的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
（2）當的值變化時，求分式的最大（或最?。┲?
【例6-2】已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數，且＝＝，則的值為　2?。?br/>【變式6-1】請仔細閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學時我們學過，任何一個假分數都可以化為一個整數與一個真分數的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數不低于分母次數的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
如：.
材料2：對于式子，利用換元法，令，.則由于，所以反比例函數有最大值，且為3.因此分式的最大值為5.
根據上述材料，解決下列問題：
（1）把分式化為一個整式與另一個分式的和的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
（2）當的值變化時，求分式的最大（或最?。┲?
【變式6-2】．對于題目：“已知，求代數式的值”，采用“整體代入”的方法（換元法），可以比較容易的求出結果．
（1）設，則 （用含的代數式表示）；
（2）根據，得到，所以的值為 ；
（3）用“整體代入”的方法（換元法），解決下面問題：
已知，求代數式的值．
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
專題 分式運算的八種技巧
分式運算的一般方法就是按照分式運算的法則、運算的順序進行，但對一些運算量大的題目，運用一般方法計算量太大，導致出錯，需要選擇運算技巧。
技巧一、直接約分法
通過公式提公因式，直接約分即可。
【例1-1】．化簡：.
答案：
解析：原式
.
【點評】本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．
【例1-2】．（1）先化簡，再求值：，其中.
（2）當時，求的值.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
當時，原式.
（2）原式.
當時，原式.
【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵．
【變式1-1】．計算.
答案：
解析：
.
【點評】本題主要考查分式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是關鍵．
【變式1-2】．計算：
答案：
解析：
.
【點評】本題主要考查分式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是關鍵．
【變式1-3】．已知，求的值.
答案：5
解析：
.
因為，所以原式.
【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵．
【變式1-4】．計算：.
答案：
解析：.
【點評】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
技巧二、巧選運算順序
分式混合運算中，有時候選擇運算律可以使運算簡便，所以有括號時首先觀察能否使用乘法分配律，如果能運用乘法分配律，可以使運算簡便。
【例2-1】．下面是小紅和小逸兩位同學化簡的部分運算過程.
(1)小紅同學解法的依據是；小逸同學解法的依據是.(填序號)
①乘法交換律；②乘法分配律；③等式的基本性質；③分式的基本性質.
(2)請選擇一種解法,寫出完整的解答過程.
答案：(1)③；②
(2)過程見解析
解析：(1)小紅同學的解法是：先把括號內兩個分式通分后相減,再進行乘法運算,通分的依據是分式的基本性質.
小逸同學的解法是：根據乘法的分配律,去掉括號后,先算分式的乘法,再算減法.
(2)小逸同學的解法：
.
小紅同學的解法：
.
【例2-2】．先化簡，然后從-3，0，1，3四個數中選擇一個適當的數作為a的值代入求值.
答案：，-14
解析：原式
，
根據題意得：a不能取3，-3，0，
當時，原式.
【變式2-1】．化簡，下面是甲、乙兩位同學的部分運算過程：
（1）甲同學解法的依據是_________，乙同學解法的依據是_________；（填序號）
①等式的基本性質；②分式的基本性質；
③乘法分配律；④乘法交換律.
（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.
答案：（1）②；③
（2）見解析
解析：（1）②；③
（2）選擇甲同學的解法：
.
選擇乙同學的解法：
.
【變式2-2】．化簡：，并解答：
（1）當時，求原式的值；
（2）原式的值能等于-1嗎？為什么？
答案：（1），2
（2）不能，理由見解析
解析：（1）原式=
，
當時，原式；
（2）如果，即，
，而當時，除式，
原代數式的值不能等于.
【變式2-3】．先化簡，再求值：，其中.
答案：，
解析：原式
，
當時，原式.
【變式2-4】．在復習分式的化簡運算時，老師把甲、乙兩位同學的解答過程分別展示如下.則( )
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A.甲、乙都錯 B.甲、乙都對 C.甲對，乙錯 D.甲錯，乙對
答案：A
解析：甲同學的計算錯誤，
錯誤原因：第一步計算中，沒有通分；
乙同學計算錯誤，
錯誤原因：第三步計算中，同分母分式相加，分母應保持不變；
正確的解答如下：
，
甲、乙都錯，
故選：A.
技巧三、分段分步法
一次通分計算量大利用相鄰分母之間的特點，分步通分，構造公式，使運算簡化。此法也用于解這類特征的分式方程
【例3-1】求分式，當a＝2時的值．
【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項，化簡后代入a的值即可．
【解答】解：原式＝++++
＝++++
＝+++
＝+++
＝++
＝
＝，把a＝2時代入得：
原式＝．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，難度適中，關鍵是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），將分式分步通分．
【例3-2】請閱讀某同學解下面分式方程的具體過程．
解方程
解：①
②
③
∴④
∴．
把代入原方程檢驗知是原方程的解．
請你回答：
（1）得到①式的做法是 ；
得到②式的具體做法是 ；
得到③式的具體做法是 ；
得到④式的根據是 ．
（2）上述解答正確嗎？如果不正確，從哪一步開始出現錯誤？答： ．錯誤的原因是 （若第一格回答“正確”的，此空不填）．
【答案】（1）得到①式的做法是移項;得到②式的具體做法是方程兩邊分別通分;得到③式的具體做法是方程兩邊同除以（-2x+10）;得到④式的根據是分式值相等，分子相等且不為0，則分母相等.
（2）有錯誤．從第③步出現錯誤，錯誤的原因是方程兩邊同時除以了(-2x+10)，而-2x+10可能為零，當-2x+10為零時，方程兩邊同時除以了0，不符合等式的性質.
【分析】本題考查解分式方程的能力，應先根據方程特點，進行整理然后去分母，將分式方程轉化為整式方程求解．
【詳解】解：（1）得到①式的做法是移項;
得到②式的具體做法是方程兩邊分別通分;
得到③式的具體做法是方程兩邊同除以（-2x+10）;
得到④式的根據是分式值相等，分子相等且不為0，則分母相等；
（2）有錯誤．從第③步出現錯誤，錯誤的原因是方程兩邊同時除以了(-2x+10)，而-2x+10可能為零，當-2x+10為零時，方程兩邊同時除以了0，不符合等式的性質；
【點睛】解分式方程要根據方程特點選擇合適的方法，并且要考慮全面，不能漏解，不能出現增根．
【變式3-1】．計算：.
答案：
.
【點評】本題考查了分式的化簡求值，難度適中，關鍵是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），將分式分步通分．
【變式3-2】．先計算,通過以上計算,請你用一種你認為較簡便的方法計算.
答案：
原式
【點評】本題考查了分式的化簡求值，難度適中，關鍵是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），將分式分步通分．
【變式3-3】．已知,求的值.
答案：,
,
∴.
【點評】本題考查了分式的化簡求值，難度適中，關鍵是利用分式的基本性質，將每個分式分步轉化成同分母．
【變式3-4】解方程：.
【答案】.
【分析】原方程變形為，再去分母求解方程進行檢驗即可.
【詳解】原方程可化為，
即，
，
，
，
，
，
.
經檢驗，是原方程的根.
∴原方程的解是.
【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解，解分式方程一定要注意驗根.
技巧四、分裂整數法
當算式中各分子的次數與分母次數相同時，一般利用分裂整數法把分子降次后再通分。
【例4-1】閱讀下面材料并解答問題
材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
解：由分母為，可設，
則
∵對任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
這樣，分式被拆分成了一個整式與一個分式的和
解答：（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式
（2）求出的最小值．
【答案】（1）3+；（2）8
【分析】（1）直接把分子變形為3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母為-x2+1，可設-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照題意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式．
【詳解】解：（1）=
=
=3+；
（2）由分母為，
可設，
則
．
∵對于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴當x=0時，取得最小值8，即 的最小值是8．
【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是理解閱讀材料中的方法，并能加以正確應用．
【例4-2】我們知道：分式和分數有著很多的相似點．如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質；類比分數的運算法則，我們得到了分式的運算法則，等等．小學里，把分子比分母小的分數叫做真分數．類似地，我們把分子整式的次數小于分母整式的次數的分式稱為真分式；反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，
如：＝＝+＝1+；
＝＝+＝2+（﹣）．
（1）下列分式中，屬于真分式的是：　③　（填序號）；
①　　 ② ③　 ?、?br/>（2）將假分式化成整式與真分式的和的形式為：＝　 　，若假分式的值為正整數，則整數a的值為　 　；
（3）將假分式 化成整式與真分式的和的形式：＝　 ?。?br/>【分析】（1）根據題意可以判斷題目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根據題意可以將題目中的式子寫出整式與真分式的和的形式；
（3）根據題意可以將題目中的式子化簡變為整式與真分式的和的形式．
【解答】解：（1）根據題意可得，
、、都是假分式，是真分式，
故答案為：③；
（2）由題意可得，
＝，
若假分式的值為正整數，
則或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，
解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，
故答案為：2、，﹣2、1或3；
（3）＝，
故答案為：a+1+．
【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規定解答問題．
【變式4-1】定義：如果一個分式能化成一個整數與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“賦整分式”.
例如：；
；將“賦整分式”化為一個整數與一個分子為常數的分式的利的形式是___________.
答案：
解析：
，
故答案為：.
【變式4-2】．回答下列問題：
探索：（1）如果，那么_______；
（2）如果，那么______；
總結：如果（其中a，b，c為常數），那么________；
應用：利用上述結論解決：若代數式的值為整數，求滿足條件的整數x的值.
答案：探索：（1），.
（2），.
總結：，.
應用：，且代數式的值為整數，
為整數，
或，
或0.
解析：
【變式4-3】．閱讀下列材料，解決問題.
在處理分數和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數高于分母的次數，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分數（分式）的加減法，將假分數（分式）拆分成一個整數（或整式）與一個真分數的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現舉例說明.
將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和的形式.
解：.
（1）將分式拆分成一個整式與一個分子為整數的分式的和的形式，則結果為___________；
（2）已知整數x使分式的值為整數，求滿足條件的整數x的值.
答案：（1）
.
（2）
.
分式的值為整數，是整數，
又x為整數，或，
解得或4或-10或16.
【變式4-4】閱讀材料：在處理分數和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數高于分母的次數，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數（分式）拆分成一個整數（整式）與一個真分數（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數可類比假分數變形帶分數的方法進行，如：，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式x﹣1的和的形式．
根據以上閱讀材料，解答下列問題．
（1）假分式也可化為帶分式 　　形式；
（2）利用分離常數法，求分式的取值范圍；
（3）若分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和（差）的形式為：，則m2+n2+mn的最小值為 　 ?。?br/>思路點撥：（1）按照閱讀材料方法，把變形即可；
（2）用分離常數法，把原式化為2，由03即可得答案；
（3）用分離常數法，把原式化為5x﹣1，根據已知用x的代數式表示m、n和m2+n2+mn，配方即可得答案．
解：（1），
故答案為：；
（2），
∵x2+1≥1，
∴03，
∴25；
（3）∵，
而分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數）的和（差）的形式為：5m﹣11，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴當x＝1時，m2+n2+mn最小值是27．
故答案為：27．
：本題考查了分式的變形、運算，完全平方公式的應用，解題的關鍵是應用分離常數法，把所求分式變形．
技巧五、拆項法
當分式的分母因式分解后是連續的（遞增或遞減）的因式的積，可以將各分式拆項，相互抵消，達到化簡的目的。
【例5-1】觀察下列各式：，，，
(1)由此可推測： ______；
(2)依照上述規律，寫出的推測過程；
(3)請你猜想出能表示以上式子的一般規律，用含（表示整數）的等式表示出來，并說明理由；
(4)請直接用（3）中的規律計算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由見解析
(4)0
【分析】本題考查了分式的規律探究，分式的加減運算．根據題意推導出一般性規律是解題的關鍵．
（1）根據題意求解即可；
（2）將分解成兩個相鄰整數的乘積，進而可得結果；
（3）根據題意可推導一般性規律，然后證明即可；
（4）根據題意進行拆分，然后加減運算即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，
故答案為：；
（2）解：由題意知，
；
（3）解：，理由如下：
右邊．
．
（4）解：
．
【例5-2】例：∵
∴
＝
＝
認真領悟上例的解法原理，并根據原理求下列式子的值．
（1）
（2）．
【分析】（1）根據題目中的例子可以解答本題；
（2）根據（1）中的解答可以解答本題．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，明確分式混合運算的計算方法．
【變式5-1】某同學在學習的過程中，遇到這樣的問題：求的整數部分.她百思而不得其解，于是向老師求助.數學老師進行了深入淺出的講解：觀察算式可知，每個分母中的減數都是1，且被減數按照一定的規律在遞增；
先看一般情形：；
再看特殊情形：當時，；
當時，；
老師講解到這里時，該同學說：“老師我知道怎么做了.”
(1)請你通過化簡，說明一般情形的正確性；
(2)請你完成該同學的解答.
答案：(1)見解析
(2)15
解析：（1）左邊
右邊
（2）
的整數部分為15.
【變式5-2】計算：.
答案：
.
解析：
【變式5-3】．已知下面一列等式：
(1)請按這些等式左邊的結構特征寫出它的一般性等式;
(2)驗證你寫出的等式的正確性;
(3)計算：.
答案：（1）一般性等式為.
（2）因為，所以一般性等式成立.
（3）
解析：
【變式5-4】．觀察下列各式：
第1式：；第2式：；第3式：；
（1）請你根據觀察得到的規律寫出這列式子的第式:_____________；
（2）求和：；
（3）已知與互為相反數，求的值．
答案：（1）第一式，第二式，第三式，第式.
故答案為：
（2）原式
（3）與互為相反數，
，即，
，
原式
解析：
技巧六、換元法
當分式中式子有共同特征時，可以用同一個字母表示這個共同特征，即換元。
【例6-1】請仔細閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學時我們學過，任何一個假分數都可以化為一個整數與一個真分數的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數不低于分母次數的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
如：.
材料2：對于式子，利用換元法，令，.則由于，所以反比例函數有最大值，且為3.因此分式的最大值為5.
根據上述材料，解決下列問題：
（1）把分式化為一個整式與另一個分式的和的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
（2）當的值變化時，求分式的最大（或最小）值.
【答案】（1）；（2）最小值為.
【分析】（1）根據題意將分式變形即可；
（2）根據題意將分式變形，即可確定出最小值．
【詳解】（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
則原式最小值為4 .
【點睛】此題考查分式的混合運算，解題關鍵在于掌握運算法則進行變形.
【例6-2】已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零實數，且＝＝，則的值為　2?。?br/>【分析】可設＝＝＝，則＝＝＝＝k，即＝，＝，＝k，設＝＝k1，＝＝k2，由＝k可得k＝，由+＝得k1+k2＝k，代入計算即可求解．
【解答】解：設＝＝＝，則＝＝＝＝k，
整理得+＝+＝+＝＝k，
∴＝，＝，＝k，
設＝＝k1，＝＝k2，
由＝k得k＝，
由+＝得k1+k2＝k，
∴原式＝2×+2×＝＝2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則和性質是解題的關鍵.
【變式6-1】請仔細閱讀下面兩則材料，然后解決問題：
材料1：小學時我們學過，任何一個假分數都可以化為一個整數與一個真分數的和的形式，同樣道理，任何一個分子次數不低于分母次數的分式都可以化為一個整式與另一個分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
如：.
材料2：對于式子，利用換元法，令，.則由于，所以反比例函數有最大值，且為3.因此分式的最大值為5.
根據上述材料，解決下列問題：
（1）把分式化為一個整式與另一個分式的和的形式，其中分式的分子次數低于分母次數.
（2）當的值變化時，求分式的最大（或最?。┲?
【答案】（1）；（2）最小值為.
【分析】（1）根據題意將分式變形即可；
（2）根據題意將分式變形，即可確定出最小值．
【詳解】（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
則原式最小值為4 .
【點睛】此題考查分式的混合運算，解題關鍵在于掌握運算法則進行變形.
【變式6-2】．對于題目：“已知，求代數式的值”，采用“整體代入”的方法（換元法），可以比較容易的求出結果．
（1）設，則 （用含的代數式表示）；
（2）根據，得到，所以的值為 ；
（3）用“整體代入”的方法（換元法），解決下面問題：
已知，求代數式的值．
【答案】（1）； （2）2023；（3），1
【分析】（1）把所求代數式中的變形為，然后再整體代入即可得解；
（2）把y=1代入即可得解；
（3）設，則條件可變形為b-5=0，從而得b=5，再把變形為，再把b=5代入求值即可.
【詳解】（1）∵
∴，
故答案為：；
（2）∵，
∴，
∵
∴
∴，
故答案為：2023；
（3）解：設 ，則
．
∵，
∴，解得：b=5．
∴．
【點睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握“整體代入法”是解答此題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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