資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.3.1分式方程2
學習目標
會分析題意，找出相等關系列分式方程；
會列出可化為一元一次方程的分式方程解決實際問題；
重點：分析生活中分式方程應用題的數量關系；
難點：將復雜問題中的數量關系用分式方程表示，并進行歸納總結。
老師告訴你
列分式方程解實際應用題的基本步驟：
①審：仔細審題，審清題意，找出題目中已知量與未知量的等量關系。
②設：設出未知數。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤驗：檢驗求出的解是不是分式方程的解，也要檢驗這個解是否符合實際問題。
⑥答：寫出答案。
題型1，工程問題
工程問題 基本公式：工作量=工時×工效
【例1-1】．某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同，現在平均每天生產多少臺機器？
【例1-2】某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用30天時間完成整個工程．當一號施工隊工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前8天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程．
（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？
（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？
【變式1-1】．張明清點完一批圖書的一半，李強加入清點另一半圖書的工作，兩人合作清點完另一半圖書.如果李強單獨清點這批圖書需要幾小時？
【變式1-2】．問題:“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道,由于采用新的施工方式,________________,提前2天完成任務,求原計劃每天修建下水管道的長度 ”
條件:（1）實際每天修建的長度比原計劃多25%;
（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米.
在上述的2個條件中選擇1個________________(僅填序號)補充在問題的橫線上,并完成解答.
題型2 行程問題
行程問題：（1）路程=速度x時間
順水速度= 靜水速度+水流速度 逆水速度=靜水速度-水流速度
【例2-1】小明到離家2400米的體育館看球賽，進場時，發現門票還放在家中，此時離比賽還有40分鐘，于是他立即步行（勻速）回家取票，在家取票用時2分鐘，取到票后，他馬上騎自行車（勻速）趕往體育館．已知小明騎自行車從家趕往體育館比從體育館步行回家所用時間少20分鐘，騎自行車的速度是步行速度的3倍．
(1)小明步行的速度（單位：米/分鐘）是多少？
(2)小明能否在球賽開始前趕到體育館？
【例2-2】廣南到那灑高速公路經過兩年多的建設，于2020年6月 30日24時正式通車運營，全長的廣那高速結束了廣南縣城不通高速公路的歷史．從廣南到那灑還有條全長的普通公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快，由高速公路從廣南到那灑所需要的時間是由普通公路從廣南到那灑所需時間的一半，求該客車由高速公路從廣南到那灑需要幾小時．
【變式2-1】．隨著生活水平的提高和環保意識的增強,小亮家購置了新能源電動汽車,這樣他乘電動汽車比乘公交車上學所需的時間少用了15分鐘,已知電動汽車的平均速度是公交車的2.5倍,小亮家到學校的距離為8千米.若設乘公交車平均每小時走x千米,則可列方程為( )
A. B. C. D.
【變式2-2】．斑馬線前“車讓人”,不僅體現著一座城市對生命的尊重,也直接反映著城市的文明程度.如圖,某路口的斑馬線路段橫穿雙向行駛車道,其中米,在綠燈亮時,小敏共用22秒通過AC路段,其中通過BC路段的速度是通過AB路段速度的1.2倍,則小敏通過AB路段時的速度是( )
A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒
【變式2-3】．李明到離家2.1千米的學校參加初三聯歡會,到學校時發現演出道具還放在家中,此時距聯歡會開始還有42分鐘,于是他立即勻速步行回家,在家拿道具用了1分鐘,然后立即勻速騎自行車返回學校.已知李明騎自行車到學校比他從學校步行到家用時少20分鐘,且騎自行車的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(單位：米/分)是多少？
(2)李明能否在聯歡會開始前趕到學校？
題型3 銷售問題
總價=數量x單價
【例3-1】數字鄉村建設是加快農業農村現代化的一項重要舉措，智慧水產建設是數字鄉村建設的重要一環．某鄉村魚塘計劃購進智能水質傳感器和云平臺增氧機若干臺，實現智慧水產養殖，提升魚塘產值．采購人員發現一臺水質傳感器比一臺增氧機貴1000元，用9000元購買的水質傳感器的數量與6000元購買的增氧機的數量相同．
(1)分別求一臺水質傳感器和一臺增氧機的售價．
(2)若魚塘采購資金為40000元，兩種設備共購進15臺，則最多可購買多少臺水質傳感器？
【例3-2】人們提倡“節能減排，低碳出行”，隨著新能源電動汽車的迅猛發展，在很多高速公路服務區里既有加油站同時又配有充電樁．
(1)在某個服務區，新能源電動汽車的充電樁比燃油汽車的加油槍多4個，愛觀察的小萌發現：在1個小時內，平均每個充電樁可以為2輛電動車充電，平均一個加油槍可以為7輛燃油車加油，這樣在這1小時內共為80輛車提供了充電、加油的服務．那么這個服務區的充電樁和加油槍分別有多少個？
(2)一般情況下，在高速公路上行駛時燃油汽車平均每公里的汽油費是新能源電動汽車平均每公里電費的倍，兩位車主在服務區分別花250元給燃油車加油、花60元給新能源電動車充電，最后燃油汽車可行駛的里程比新能源電動汽車可行駛的里程多100公里，那么新能源汽車在高速路上行駛時平均每公里費用為多少元？
【變式3-1】．某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元,用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進的乙種玩具的件數相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件,購進這兩種玩具的總資金超過970元但不超過1000元,求商場有哪幾種具體的進貨方案？最多可以購進乙種玩具多少件？
【變式3-2】．金秋十月，延安蘋果大面積成熟.某蘋果經銷商在果農處用30000元收購了一批蘋果，由于市場反響很好，該經銷商再一次購進同一種蘋果，第二次的收購單價比第一次上漲了，收購量比第一次多了2000千克.已知第二次的收購費用是第一次收購費用的，則水果經銷商兩次共收購了多少千克蘋果？
【變式3-3】．為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，某校投入2萬元購進了一批勞動工具.開展課后服務后，學生的勞動實踐需求明顯增強，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購數量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%.設第二次采購單價為x元，則下列方程中正確的是( )
A. B.
C. D.
題型4 比例問題
【例4-1】古希臘時期，人們認為最美人體的肚臍至腳底的長度與身高長度之比約為0.618，著名的“斷臂維納斯”便是如此．若王老師身高，肚臍到腳底的長度為，為使王老師穿上高跟鞋以后更接近最美人體比例，選擇高跟鞋的跟高約為（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】在暑假社會實踐活動中，小明所在小組的同學與一家玩具生產廠家聯系，給該廠組裝玩具，該廠同意他們組裝240套玩具．這些玩具分為A，B，C三種型號，它們的數量比例以及每人每小時組裝各種型號玩具的數量如圖所示.
若每人組裝同一種型號玩具的速度都相同，根據以上信息，完成下列填空：
(1)從上述統計圖可知，A型玩具有________套，B型玩具有_____套，C型玩具有______套；
(2)若每人組裝A型玩具16套與組裝C型玩具12套所花的時間相同，求a的值并且求每人每小時組裝C型玩具多少套？
【變式4-1】．有甲、乙兩種糖果，原價分別為每千克a元和b元.根據調查，將兩種糖果按甲種糖果x千克與乙種糖果y千克的比例混合，取得了較好的銷售效果.現在糖果價格有了調整，甲種糖果單價下降15%，乙種糖果單價上漲20%，但按原比例混合的糖果單價恰好不變，則等于( )
A. B. C. D.
【變式4-2】．甲、乙兩種糖果,售價分別為20元/千克和24元/千克,根據市場調查發現,將兩種糖果按一定的比例混合后銷售,取得了較好的銷售效果.現在糖果的售價有了調整:甲種糖果的售價上漲了8%,乙種糖果的售價下跌了10%.若這種混合糖果的售價恰好保持不變,則甲、乙兩種糖果的混合比例應為甲:乙=__________.
【變式4-3】．“抗擊新冠疫情，人人有責”，學校作為人員密集的場所，要求老師和同學們進入校門后按照要求佩戴好口罩，魯能巴蜀中學七年級的小張同學從學校了解到，上周五這一天，七年級各班共使用口罩1500只，喜歡統計的小張本周統計了七年級各班每天的口罩使用情況，制作了如下的一個統計表，以1500只為標準，其中每天超過1500只的記為“+”，每天不足1500只的記為“-”，統計表格如下：
周一 周二 周三 周四 周五
（1）本周哪一天七年級同學使用口罩最多，數量是多少只？
（2））本周共使用口罩多少只？
（3）若同學們佩戴的口罩分為兩種，一種是普通醫用口罩，價格為1元一只，另外一種為N95型口罩，價格為3元一只，且本周所用的普通醫用口罩和N95型口罩數量之比為，求本周七年級所有同學們購買口罩的總金額？
題型5，古代問題
【例5-1】我國古代著作《管子·地員篇》中介紹了一種用數學運算獲得“宮商角徵羽”五音的方法．研究發現，當琴弦的長度比滿足一定關系時，就可以彈奏出不同的樂音．例如，三根弦按長度從長到短排列分別奏出樂音“”，需滿足相鄰弦長的倒數差相等．若最長弦為個單位長，最短弦為個單位長，求中間弦的長度．
【例5-2】《九章算術》是我國古代著名的數學專著之一．它總結了我國戰國、秦漢時期的數學成就．其中有一題，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．問善行者幾何里及之大意為：現今有不善行者先走10里，善行者再按同路追趕不善行者，當善行者走到100里時，超過不善行者20里．問：善行者走多少里時追上了不善行者？
【變式5-1】．四元玉鑒是我國古代數學重要著作之一，為元代數學家朱世杰所著.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”大意是：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文.如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？(椽，裝于屋頂以支持屋頂蓋材料的木桿)設這批椽有x株，則符合題意的方程是( )
A. B. C. D.
【變式5-2】．《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多一天；如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍，求兩匹馬的速度.設慢馬的速度為x里/天，則可列方程為( )
A. B. C. D.
【變式5-3】．《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶売的谷子，糲米指糙米，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”，問題：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為( )
A.6升 B.8升 C.16升 D.18升
【變式5-4】．數學文化《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間.設規定時間為x天，則可列方程為( )
A. B.
C. D.
題型6 數字問題
【例6-1】有一個兩位數，它的個位數字比十位數字大1，這個兩位數被個位數字除時，商是8，余數是2，求這個兩位數．
【例6-2】一個二位數的十位數字與個位數字的和是12，如果交換十位數字與個位數字的位置并把所得到的新的二位數作為分子，把原來的二位數作為分母，所得的分數約分為，則這個二位數是_____．
【變式6-1】一個兩位數的個位數字比十位數字大3，用這個兩位數除以個位數字的商是6.設十位數字為x，則所列方程為____________.
【變式6-2】一個兩位數，個位上的數比十位上的數大4，用個位上的數去除這個兩位數商是3，求這個兩位數.
【變式6-3】有一個最簡分數，如果分子加1，分子則比分母少2；如果分母加1，則分數值等于，原分數是 ．
題型7 商品利潤問題
售價-進價=利潤 進價x利潤率=利潤 標價x折扣=售價
【例7-1】飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強的團體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛．某商家購進了海綿和橡膠兩種飛盤進行銷售，已知一個橡膠飛盤比一個海綿飛盤的進價多30元，其中購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數量是購買橡膠飛盤數量的2倍．
(1)求一個海綿飛盤的進價是多少元；
(2)商家第一次購進的飛盤很快售完，決定再次購進同種類型的海綿和橡膠兩種飛盤共80個，但海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%，而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎上打9折，如果商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，那么此次最多可購買多少個橡膠飛盤？
【例7-2】某商場用元購入一批空調，然后以每臺元的價格銷售，因天氣炎熱，空調很快售完，商場又以元的價格再次購入該種型號的空調，數量是第一次購入的2倍，但購入的單價上調了元，每臺的售價也上調了元．
(1)商場第一次購入的空調每臺進價是多少元？
(2)商場既要盡快售完第二次購入的空調，又要在這兩次空調銷售中獲得的利潤率不低于，打算將第二次購入的部分空調按每臺九五折出售，最多可將多少臺空調打折出售？
【變式7-1】．習近平總書記指出，中華優秀傳統文化是中華民族的“根”和“魂”、為了大力弘揚中華優秀傳統文化，某校決定開展名著閱讀活動，用元購買“四大名著”若干套后，發現這批圖書滿足不了學生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用元購買的套數只比第一批少4套，設第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則符合題意的方程是( )
A. B. C. D.
【變式7-2】．為籌辦元旦聯歡會，八年一班兩次到超市購買同一款飲料，第一次按標價購買，用了元；第二次超市有優惠活動，按標價的6折購買，用了元，若兩次一共購買了瓶飲料，這種飲料的標價是多少？
【變式7-3】．今年，某市舉辦了一屆主題為“強國復興有我”的中小學課本劇比賽.某隊伍為參賽需租用一批服裝，經了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，用500元在甲商店租用服裝的數量與用400元在乙商店租用服裝的數量相等.
（1）求在甲，乙兩個商店租用的服裝每套各多少元？
（2）若租用10套以上服裝，甲商店給予每套九折優惠.該參賽隊伍準備租用20套服裝，請問在哪家商店租用服裝的費用較少，并說明理由.
【變式7-4】習近平總書記指出，中華優秀傳統文化是中華民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化軟實力，是中國特色社會主義植根的沃土，是我們在世界文化激蕩中站穩腳跟的根基.為了大力弘揚中華優秀傳統文化，某校決定開展名著讀書活動.用3600元購買“四大名著”若干套后，發現這批圖書滿足不了學生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城8折銷售該套書，于是用2400元購買的套數只比第一批少4套.
(1)求第一批購進的“四大名著”每套的價格是多少元；
(2)該校共購進“四大名著”多少套？
題型8 圖形問題
從圖形圖表上挖掘信息，建立等量關系
【例8-1】如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了．
(1)“豐收1號”單位面積產量為 ，“豐收2號”單位面積產量為 （結果用含的式子表示）；
(2)若“豐收2號”的單位面積產量是“豐收1號”的單位面積產量的倍，求的值．
【例8-2】李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚，如圖，現有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設計圖的規律進行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為_______米，寬為_______米．
【變式8-1】如圖1，在一張長方形紙片的四個角分別剪去一個邊長相等的正方形，可折疊成如圖2的一個無蓋長方體紙盒．
(1)若圖1中原長方形紙片長，寬，被剪掉的正方形邊長為，折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為，求a的值；
(2)現有60張同樣規格的長方形紙片，可制作成60個無蓋長方體紙盒，剪下來的正方形恰好全部制作成正方體（每個正方體需要6個正方形），現把20名同學分為甲、乙兩組，甲組制作無蓋長方體紙盒，乙組制作正方體，若甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數是乙組平均每人制作的正方體個數的一半，求甲組有多少名同學？
【變式8-2】如圖，甲和乙均是容積為90立方分米無蓋的長方體盒子．

(1)甲盒子底面是邊長為a分米的正方形，這個盒子的高是___________分米；這個盒子的表面積是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）
(2)乙盒子底面是長方形，甲盒子比乙盒子高5分米. 選用2元/平方分米的材料，制作甲乙兩個盒子的底面，乙盒子底面材料費用是甲盒子底面材料費用的2倍，求乙盒子的高．
【變式8-3】劉峰和李明相約周末去科技館看展覽，根據他們的談話內容，試求李明乘公交車、劉峰騎自行車每小時各行多少千米？
劉峰：我查好地圖了，你看看 李明：好的，我家門口的公交車站，正好有一趟到科技館那站停的車，我坐明天8：30的車.
劉峰：從地圖上看，我家到科技館的距離比你家近10千米，我就騎自行車去了. 李明：行，根據我的經驗，公交車的速度一般是你騎自行車速度的3倍，那你明天早上8：00點從家出發，如順利，咱倆同時到達.
【變式8-4】．小宇家附近新修了一段公路，他想給市政寫信，建議在路的兩邊種上銀杏樹.他先讓爸爸開車駛過這段公路，發現速度為60千米/小時，走了約2分鐘，由此估算這段路長約______千米.然后小宇查閱資料，得知銀杏為落葉大喬木，成年銀杏樹樹冠直徑可達8米.小宇計劃從路的起點開始，每隔a米種一棵樹，繪制示意圖如圖：
考慮到投入資金的限制，他設計了另一種方案，將原計劃的a擴大一倍，則路的兩側共計減少100棵數，請你求出a的值.
【變式8-5】．如圖所示的電路的總電阻為，若，則____________.
，
題型9 和差倍分問題
【例9-1】我區某葡萄種植莊園計劃要在規定時間種植6000棵葡萄樹．在實際施工時，參與種植人數比計劃人數多，這樣每天實際種植葡萄樹比原計劃每天多，結果比原計劃提前2天完成種植任務．原計劃每天種植多少棵葡萄樹？
【例9-2】第5代移動通信技術簡稱5G，某地已開通5G業務，經測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？
【變式9-1】趙強同學借了一本書,共280頁,要在兩周借期內讀完.當他讀了一半時,發現平均每天要多讀21頁才能在借期內讀完.他讀前一半時,平均每天讀多少頁？如果設讀前一半時,平均每天讀x頁,則下面所列方程中,正確的是( )
A. B. C. D.
【變式9-2】．在讀書活動中，某同學對甲、乙兩個班學生的讀書情況進行了統計：甲班學生人數比乙班學生人數多3，甲班學生讀書480本，乙班學生讀書360本，乙班平均每人讀書的本數是甲班平均每人讀書的本數的.求甲、乙兩班分別有多少人.設乙班有x人，依題意，可列方程為___________.
【變式9-3】．金秋十月，延安蘋果大面積成熟.某蘋果經銷商在果農處用30000元收購了一批蘋果，由于市場反響很好，該經銷商再一次購進同一種蘋果，第二次的收購單價比第一次上漲了，收購量比第一次多了2000千克.已知第二次的收購費用是第一次收購費用的，則水果經銷商兩次共收購了多少千克蘋果？
題型10 航行問題
順水速度= 靜水速度+水流速度 逆水速度=靜水速度-水流速度
【例10-1】．一艘輪船在靜水中的最大航速為千米/時，它沿江以最大航速順流航行千米所用時間，與以最大航速逆流航行千米所用時間相等．求江水的流速為多少千米/時．
【例10-2】兩船從同一港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后兩船相距多遠？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關系是 ．
【變式10-1】．一艘輪船在靜水中的速度為，它沿江順流航行與逆流航行所用時間相等，江水的流速為________.
【變式10-2】．一只小船從A港口順流航行到B港口需6 h，而由B港口返回到A港口需要8 h.某日，小船在早上6時出發由A港口順流航行到B港口時，發現船上一個救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回尋找救生圈，1 h后找到救生圈.
（1）若小船按水流速度由A港口漂流到B港口，需要多長時間？
（2）救生圈于何時掉入水中？
【變式10-3】．一艘輪船在靜水中的最大航速為，它以最大航速沿江順流航行所用的時間，與以最大航速沿江逆流航行所用的時間相等，江水的流速是多少？
題型11 方案設計問題
【例11-1】某河流防污治理工程已正式啟動，由甲隊單獨做5個月后，乙隊再加入合作3個月就可以完成這項工程．已知若甲隊單獨做需要10個月可以完成．
（1）乙隊單獨完成這項工程需要幾個月？
（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必須在一年內竣工（包括12個月）．為了確保經費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？
【例11-2】位于四川省廣漢市的“三星堆”，被稱為20世紀人類最偉大的考古發現之一，被譽為“長江文明之源”，昭示了長江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明的母體．七中育才八年級學生計劃下周前往此處開展文史探究活動．下面是兩位同學對于出行方案的討論：
芳芳：我們一共有810名師生，如果租用甲種大巴剛好可以坐滿．
敏敏：乙種大巴座位數比甲種多，如果租用乙種大巴可以少租3輛，也剛好可以坐滿．
(1)請根據以上信息，求出每輛甲種和每輛乙種大巴的座位數；
(2)為保證順利出行，大巴車司機計劃近期加油兩次，打算采用兩種加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100升）加油；
方式二：每次均按照相同金額（500元）加油．
若第一次加油單價為x元/升，第二次加油單價為y元/升（）．請分別寫出每種加油方式的平均單價（用含x、y的代數式表示），并根據你所學知識幫助大巴車司機選擇上述哪種加油方式更合算．
【變式11-1】．某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元,用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進的乙種玩具的件數相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件,購進這兩種玩具的總資金超過970元但不超過1000元,求商場有哪幾種具體的進貨方案？最多可以購進乙種玩具多少件？
【變式11-2】．今年，某市舉辦了一屆主題為“強國復興有我”的中小學課本劇比賽.某隊伍為參賽需租用一批服裝，經了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，用500元在甲商店租用服裝的數量與用400元在乙商店租用服裝的數量相等.
（1）求在甲，乙兩個商店租用的服裝每套各多少元？
（2）若租用10套以上服裝，甲商店給予每套九折優惠.該參賽隊伍準備租用20套服裝，請問在哪家商店租用服裝的費用較少，并說明理由.
【變式11-3】．某貿易公司現有480噸貨物，準備外包給甲、乙兩個車主來完成運輸任務.已知甲車主單獨完成運輸任務比乙車主單獨完成任務要多用10天，而乙車主每天運輸的噸數是甲車主的1.5倍，公司需付甲車主每天800元運輸費，乙車主每天運輸費1200元，同時公司每天要付給發貨工人200元工資.
(1)求甲、乙兩個車主每天各能運輸多少噸貨物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一個車主單獨完成，也可以由兩車主合作完成.請你通過計算，幫該公司從這三種方案中選擇一種既省錢又省時的外包方案.
題型12 素材問題
【例12-1】根據以下素材，探索完成任務.
奶茶銷售方案制定問題
素材1 當下年輕人喜歡喝奶茶，在入夏之際某知名奶茶品牌店推出兩款爆款水果茶“滿杯楊梅”和“芝士楊梅”．每杯“芝士楊梅”的售價比“滿杯楊梅”貴2元，購買1杯“芝士楊梅”和2杯“滿杯楊梅”共需53元．
素材2 兩款奶茶配料表如下： 芝士楊梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯楊梅肉多肉 滿杯楊梅配料茉莉清茶/杯楊梅肉多肉
素材3 5月27日當天銷售“芝士楊梅”共獲利潤400元，“滿杯楊梅”獲利潤480元，其中每杯“芝士楊梅”的利潤是每杯“滿杯楊梅”的倍，“滿杯楊梅”比“芝士楊梅”多賣20杯．
素材4 由于芝士保質期將至，為了去庫存，5月28日決定對“芝士楊梅”每杯降價4元促銷，并要求當天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”．
問題解決
任務1 確定奶茶的售價 每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的售價是多少？
任務2 確定奶茶的成本 每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本是多少？（）
任務3 擬定最優方案 為了使5月28日這兩種奶茶獲利最大，需制做“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”共多少杯？
【例12-2】根據以下素材，探索完成任務
素材1 某中學701班自制一款組合式的木質收納架．如圖所示，已知單個收納架由2個橫桿和5個豎桿組成，橫桿長為60厘米，豎桿長為32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根長為160厘米的木條．考慮到所制作的收納架的牢固性，規定單根桿件的用料不能拼接而成．
解決問題
任務（一） 擬定裁切方案 一根160厘米長的木條有以下裁剪方法．（余料作廢）方法①：當只裁剪32厘米的豎桿時，最多可裁剪_________根；方法②：當先裁剪下1根60厘米長的橫桿時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎桿_________根；方法③：當先裁剪下2根60厘米長的橫桿時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎桿_________根．
任務（二） 核算材料費用 班委會計劃在教室墻壁上安裝5個收納架，若用任務（一）中的方法②和方法③進行裁剪，則裁剪多少根160厘米長的木條，才能剛好得到所需要的用料？
任務（三） 評價安裝工效 同學們在安裝過程中發現：單位時間內可以安裝根豎桿或根橫桿．任務（二）中的5個收納架安裝完畢時，發現安裝豎桿所需的時間與安裝橫桿所需的時間相同，求的值．
【變式12-1】《花卉裝點校園,青春獻禮祖國》項目學習方案：
項目情景 國慶將至,向陽中學購買花卉裝點校園,向祖國母親生日獻禮.同學們需完成了解花卉知識(包括花語等知識),購買花卉,插花,擺放盆栽等任務
素材一 采購小組到市場上了解到每枝A種花卉比每枝B種花卉便宜3元,用600元購買的B種花卉數量為用240元購買的A種花卉數量的2倍
任務一 小組成員甲設用240元購買的A種花卉的數量為x,由題意得方程：①；小組成員乙設②,由題意得方程：
素材二 插花時,技術小組成員丙發現自己單位時間內可完成m盆小盆栽的插花任務或完成盆大盆栽的插花任務,并且完成25盆小盆栽所用時間與完成10盆大盆栽的時間相同
任務二 求m的值
(1)任務一中橫線①處應填________,橫線②處應填________.
(2)完成任務二.
【變式12-2】．【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”,為給師生提供更加良好的閱讀環境,學校決定擴大圖書館面積,增加藏書數量,現需購進20個書架用于擺放書籍.
【素材呈現】
素材一：有A,B兩種書架可供選擇,A種書架的單價比B種書架單價高；
素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；
素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的.
【問題解決】
(1)問題一：求出A,B兩種書架的單價；
(2)問題二：設購買a個A種書架,購買總費用為w元,求w與a的函數關系式,并求出費用最少時的購買方案；
(3)問題三：實際購買時,商家調整了書架價格,A種書架每個降價m元,B種書架每個漲價元,按問題二的購買方案需花費21120元,求m的值.
人教版八年級數學上名師點撥與訓練
第15章 分式
15.3.1分式方程2
學習目標
會分析題意，找出相等關系列分式方程；
會列出可化為一元一次方程的分式方程解決實際問題；
重點：分析生活中分式方程應用題的數量關系；
難點：將復雜問題中的數量關系用分式方程表示，并進行歸納總結。
老師告訴你
列分式方程解實際應用題的基本步驟：
①審：仔細審題，審清題意，找出題目中已知量與未知量的等量關系。
②設：設出未知數。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤驗：檢驗求出的解是不是分式方程的解，也要檢驗這個解是否符合實際問題。
⑥答：寫出答案。
題型1，工程問題
工程問題 基本公式：工作量=工時×工效
【例1-1】．某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同，現在平均每天生產多少臺機器？
答案：現在平均每天生產200臺機器
解析：設原計劃平均每天生產x臺機器，則現在平均每天生產臺機器.
根據題意，得
方程兩邊同乘，得
解得.
檢驗：當時，，
所以，是所列分式方程的解，且符合題意.
所以.
答：現在平均每天生產200臺機器.
【例1-2】某校利用暑假進行田徑場的改造維修，項目承包單位派遣一號施工隊進場施工，計劃用30天時間完成整個工程．當一號施工隊工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動要在該田徑場舉行，要求比原計劃提前8天完成整個工程，于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程，結果按通知要求如期完成整個工程．
（1）若二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？
（2）若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要多少天？
【分析】（1）設二號施工隊單獨施工需要x天，根據題意列方程即可得到結論；
（2）根據題意列式計算即可．
【解答】解：（1）設二號施工隊單獨施工需要x天，
根據題意得：，
解得：x＝45，
經檢驗，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天．
（2）根據題意得：（天），
答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天．
【點評】本題考查了分式方程的應用，正確的理解題意是解題的關鍵．
【變式1-1】．張明清點完一批圖書的一半，李強加入清點另一半圖書的工作，兩人合作清點完另一半圖書.如果李強單獨清點這批圖書需要幾小時？
答案：
解析：設李強單獨清點這批圖書需要.
根據題意，得.
解得.
檢驗：當時，，
所以，是所列分式方程的解，且符合題意.
答：李強單獨清點這批圖書需要.
【變式1-2】．問題:“某工程隊準備修建一條長3000米的下水管道,由于采用新的施工方式,________________,提前2天完成任務,求原計劃每天修建下水管道的長度 ”
條件:（1）實際每天修建的長度比原計劃多25%;
（2）原計劃每天修建的長度比實際少75米.
在上述的2個條件中選擇1個________________(僅填序號)補充在問題的橫線上,并完成解答.
答案：選（1）或（2）;選（1）原計劃每天修建下水管道的長度為300米;選（2）原計劃每天修建下水管道的長度為300米
解析:選（1）或（2）
（1）設原計劃每天修建下水管道的長度為x米
經檢驗:是所列方程的解
答:原計劃每天修建下水管道的長度為300米.
（2）設原計劃每天修建下水管道的長度為x米
,(舍)
經檢驗:是所列方程的解.
答:原計劃每天修建下水管道的長度為300米.
題型2 行程問題
行程問題：（1）路程=速度x時間
順水速度= 靜水速度+水流速度 逆水速度=靜水速度-水流速度
【例2-1】小明到離家2400米的體育館看球賽，進場時，發現門票還放在家中，此時離比賽還有40分鐘，于是他立即步行（勻速）回家取票，在家取票用時2分鐘，取到票后，他馬上騎自行車（勻速）趕往體育館．已知小明騎自行車從家趕往體育館比從體育館步行回家所用時間少20分鐘，騎自行車的速度是步行速度的3倍．
(1)小明步行的速度（單位：米/分鐘）是多少？
(2)小明能否在球賽開始前趕到體育館？
【答案】(1)小明步行的速度是80米/分
(2)小明不能在球賽開始前趕到體育館
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】本題考查了分式方程的應用，讀懂題意，正確找出題目中的等量關系，列出方程是解決問題的關鍵．
（1）設小明步行速度為x米/分，則自行車的速度為米/分，根據題意列出分式方程求解即可；
（2）求出小明總共需要的時間進行比較即可．
【詳解】（1）解：設小明步行速度為x米/分，則自行車的速度為米/分
根據題意得：，
解得：
經檢驗是原方程的解．
答：小明步行的速度是米/分．
（2）根據題意得，小明總共需要： ．
答：小明不能在球賽開始前趕到體育館．
【例2-2】廣南到那灑高速公路經過兩年多的建設，于2020年6月 30日24時正式通車運營，全長的廣那高速結束了廣南縣城不通高速公路的歷史．從廣南到那灑還有條全長的普通公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快，由高速公路從廣南到那灑所需要的時間是由普通公路從廣南到那灑所需時間的一半，求該客車由高速公路從廣南到那灑需要幾小時．
【答案】該客車由高速公路從廣南到那灑需要 小時
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設該客車由高速公路從廣南到那灑需要x小時，則該客車由普通公路從廣南到那灑需要小時，再根據客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快列出方程求解即可．
【詳解】解：設該客車由高速公路從廣南到那灑需要x小時，則該客車由普通公路從廣南到那灑需要小時．
依題意，得
解得
經檢驗 是原方程的解，且符合題意．
答：該客車由高速公路從廣南到那灑需要 小時．
【變式2-1】．隨著生活水平的提高和環保意識的增強,小亮家購置了新能源電動汽車,這樣他乘電動汽車比乘公交車上學所需的時間少用了15分鐘,已知電動汽車的平均速度是公交車的2.5倍,小亮家到學校的距離為8千米.若設乘公交車平均每小時走x千米,則可列方程為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：15分鐘小時
設乘公交車平均每小時走x千米,則電動汽車的平均速度是每小時走2.5x千米,
得：
故選D.
【變式2-2】．斑馬線前“車讓人”,不僅體現著一座城市對生命的尊重,也直接反映著城市的文明程度.如圖,某路口的斑馬線路段橫穿雙向行駛車道,其中米,在綠燈亮時,小敏共用22秒通過AC路段,其中通過BC路段的速度是通過AB路段速度的1.2倍,則小敏通過AB路段時的速度是( )
A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒
答案：B
解析：設通過AB的速度是xm/s,
根據題意可列方程：,
解得,
經檢驗：是原方程的解且符合題意.
所以通過AB時的速度是1m/s.
故選B.
【變式2-3】．李明到離家2.1千米的學校參加初三聯歡會,到學校時發現演出道具還放在家中,此時距聯歡會開始還有42分鐘,于是他立即勻速步行回家,在家拿道具用了1分鐘,然后立即勻速騎自行車返回學校.已知李明騎自行車到學校比他從學校步行到家用時少20分鐘,且騎自行車的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(單位：米/分)是多少？
(2)李明能否在聯歡會開始前趕到學校？
答案：(1)70米/分
(2)能
解析：(1)設步行速度為x米/分,則自行車的速度為米/分,
根據題意得：,
解得：,
經檢驗是原方程的解,
即李明步行的速度是70米/分.
(2)根據題意得,李明總共需要：.
即李明能在聯歡會開始前趕到.
答：李明步行的速度為70米/分,能在聯歡會開始前趕到學校.
題型3 銷售問題
總價=數量x單價
【例3-1】數字鄉村建設是加快農業農村現代化的一項重要舉措，智慧水產建設是數字鄉村建設的重要一環．某鄉村魚塘計劃購進智能水質傳感器和云平臺增氧機若干臺，實現智慧水產養殖，提升魚塘產值．采購人員發現一臺水質傳感器比一臺增氧機貴1000元，用9000元購買的水質傳感器的數量與6000元購買的增氧機的數量相同．
(1)分別求一臺水質傳感器和一臺增氧機的售價．
(2)若魚塘采購資金為40000元，兩種設備共購進15臺，則最多可購買多少臺水質傳感器？
【答案】(1)一臺水質傳感器的售價為3000元，一臺增氧機的售價為2000元
(2)該魚塘最多可購買10臺水質傳感器
【知識點】分式方程的實際應用、用一元一次不等式解決實際問題
【分析】本題考查分式方程的應用、一元一次不等式的應用，（1）設一臺水質傳感器的售價為x元，則一臺增氧機的售價為元，根據“用9000元購買的水質傳感器的數量與6000元購買的增氧機的數量相同，”列方程求解即可；
（2）設購買m臺水質傳感器，則購買臺增氧機，根據題意列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設一臺水質傳感器的售價為x元，則一臺增氧機的售價為元．
由題意得，
解得，
經檢驗是分式方程的解且符合實際，
．
答：一臺水質傳感器的售價為3000元，一臺增氧機的售價為2000元．
（2）解：設購買m臺水質傳感器，則購買臺增氧機．
由題意得，
解得．
答：該魚塘最多可購買10臺水質傳感器．
【例3-2】人們提倡“節能減排，低碳出行”，隨著新能源電動汽車的迅猛發展，在很多高速公路服務區里既有加油站同時又配有充電樁．
(1)在某個服務區，新能源電動汽車的充電樁比燃油汽車的加油槍多4個，愛觀察的小萌發現：在1個小時內，平均每個充電樁可以為2輛電動車充電，平均一個加油槍可以為7輛燃油車加油，這樣在這1小時內共為80輛車提供了充電、加油的服務．那么這個服務區的充電樁和加油槍分別有多少個？
(2)一般情況下，在高速公路上行駛時燃油汽車平均每公里的汽油費是新能源電動汽車平均每公里電費的倍，兩位車主在服務區分別花250元給燃油車加油、花60元給新能源電動車充電，最后燃油汽車可行駛的里程比新能源電動汽車可行駛的里程多100公里，那么新能源汽車在高速路上行駛時平均每公里費用為多少元？
【答案】(1)充電樁和加油槍分別有12個，8個
(2)新能源汽車在高速路上行駛時平均每公里費用為0.15元
【知識點】分式方程的實際應用、其他問題(一元一次方程的應用)
【分析】本題考查了一元一次方程和分式方程在實際生活中的應用，正確理解題意，建立方程是解決本題的關鍵．
（1）設服務區的充電樁有x個，則加油槍有個，建立方程：，解方程即可；
（2）新能源汽車在高速路上行駛時平均每公里費用y元，則燃油汽車平均每公里的汽油費為元，由題意得： ，再解分式方程即可，注意需要檢驗．
【詳解】（1）解：設服務區的充電樁有x個，則加油槍有個，
由題意得：，
解得：，
則，
答：充電樁和加油槍分別有12個，8個．
（2）解：設新能源汽車在高速路上行駛時平均每公里費用y元，則燃油汽車平均每公里的汽油費為元，
由題意得： ，
解得：，
經檢驗：是原方程的解，且符合題意．
答：新能源汽車在高速路上行駛時平均每公里費用為0.15元
【變式3-1】．某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元,用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進的乙種玩具的件數相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件,購進這兩種玩具的總資金超過970元但不超過1000元,求商場有哪幾種具體的進貨方案？最多可以購進乙種玩具多少件？
答案：(1)甲,乙兩種玩具的進價分別是15元/件,25元/件
(2)共有3種方案：方案一：購進甲種玩具20件,購進乙種玩具28件；方案二：購進甲種玩具21件,購進乙種玩具27件；方案三：購進甲種玩具22件,購進乙種玩具26件；最多可以購進乙種玩具28件
解析：(1)設甲種玩具進價x元/件,則乙種玩具進價為元/件,根據題意,得
,
解得,
經檢驗是原方程的解.
∴.
答：甲,乙兩種玩具的進價分別是15元/件,25元/件；
(2)設購進甲種玩具y件,則購進乙種玩具件,根據題意,得
,
解得.
∵y是整數,
∴y取20,21,22,共有3種方案.
方案一：購進甲種玩具20件,購進乙種玩具28件,
方案二：購進甲種玩具21件,購進乙種玩具27件,
方案三：購進甲種玩具22件,購進乙種玩具26件,
則最多可以購進乙種玩具28件.
【變式3-2】．金秋十月，延安蘋果大面積成熟.某蘋果經銷商在果農處用30000元收購了一批蘋果，由于市場反響很好，該經銷商再一次購進同一種蘋果，第二次的收購單價比第一次上漲了，收購量比第一次多了2000千克.已知第二次的收購費用是第一次收購費用的，則水果經銷商兩次共收購了多少千克蘋果？
答案：14000千克蘋果
解析：設第一次收購的蘋果每千克x元，則第二次收購的蘋果每千克元.
根據題意，得，解得.
經檢驗，是原方程的解，且符合題意.
（千克），
（千克）.
水果經銷商兩次共收購了14000千克蘋果.
【變式3-3】．為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，某校投入2萬元購進了一批勞動工具.開展課后服務后，學生的勞動實踐需求明顯增強，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購數量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%.設第二次采購單價為x元，則下列方程中正確的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：設第二次采購單價為x元，則第一次采購單價為元，
依題意得：，
故選：D.
題型4 比例問題
【例4-1】古希臘時期，人們認為最美人體的肚臍至腳底的長度與身高長度之比約為0.618，著名的“斷臂維納斯”便是如此．若王老師身高，肚臍到腳底的長度為，為使王老師穿上高跟鞋以后更接近最美人體比例，選擇高跟鞋的跟高約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】設選擇高跟鞋的跟高約為x厘米，根據“最美人體的肚臍至腳底的長度與身高長度之比約為0.618”列方程，求解即可．
【詳解】設選擇高跟鞋的跟高約為x厘米，由題意得
解得
所以，選擇高跟鞋的跟高約為5厘米．
故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，能夠根據題意列出分式方程是解題的關鍵．
【例4-2】在暑假社會實踐活動中，小明所在小組的同學與一家玩具生產廠家聯系，給該廠組裝玩具，該廠同意他們組裝240套玩具．這些玩具分為A，B，C三種型號，它們的數量比例以及每人每小時組裝各種型號玩具的數量如圖所示.
若每人組裝同一種型號玩具的速度都相同，根據以上信息，完成下列填空：
(1)從上述統計圖可知，A型玩具有________套，B型玩具有_____套，C型玩具有______套；
(2)若每人組裝A型玩具16套與組裝C型玩具12套所花的時間相同，求a的值并且求每人每小時組裝C型玩具多少套？
【答案】(1) 132，48，60；(2) a=4，6(套)
【知識點】條形統計圖和扇形統計圖信息關聯、分式方程的實際應用
【分析】（1）根據題意，可得三套玩具各自的百分比與總套數，計算可得三套玩具各自的件數；
（2）根據題意，每人組裝A型玩具16套與組裝C型玩具12套所花的時間相同，根據條形圖可得各自的時間，列出關系式解可得a的值．
【詳解】（1）A型玩具：240×55%=132（套）；
B型玩具：240×（1﹣55%﹣25%）=240×20%=48（套）；
C型玩具：240×25%=60（套）．
（2）依題意，得：，解得：a=4．
經檢驗，a=4是所列方程的根，所以a的值為4．
當a=4時，2a－2=6．故每人每小時組裝C型玩具6套．
【點睛】本題考查了扇形圖、條形圖的綜合運用，解題的關鍵在于結合兩個統計圖，找到總數與各部分的關系．
【變式4-1】．有甲、乙兩種糖果，原價分別為每千克a元和b元.根據調查，將兩種糖果按甲種糖果x千克與乙種糖果y千克的比例混合，取得了較好的銷售效果.現在糖果價格有了調整，甲種糖果單價下降15%，乙種糖果單價上漲20%，但按原比例混合的糖果單價恰好不變，則等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：甲、乙兩種糖果，原價分別為每千克a元和b元，兩種糖果按甲種糖果x千克與乙種糖果y千克的比例混合，混合后糖果的平均價格為元.甲種糖果單價下降15%，乙種糖果單價上漲20%，混合后糖果的平均價格為元.按原比例混合的糖果單價恰好不變，，整理，得，，故選D.
【變式4-2】．甲、乙兩種糖果,售價分別為20元/千克和24元/千克,根據市場調查發現,將兩種糖果按一定的比例混合后銷售,取得了較好的銷售效果.現在糖果的售價有了調整:甲種糖果的售價上漲了8%,乙種糖果的售價下跌了10%.若這種混合糖果的售價恰好保持不變,則甲、乙兩種糖果的混合比例應為甲:乙=__________.
答案：3:2
解析：設甲:乙,即混合時若甲糖果需千克,乙糖果就需千克
根據題意,得
解這個方程,得
所以甲、乙兩種糖果的混合比例應為甲:乙
【變式4-3】．“抗擊新冠疫情，人人有責”，學校作為人員密集的場所，要求老師和同學們進入校門后按照要求佩戴好口罩，魯能巴蜀中學七年級的小張同學從學校了解到，上周五這一天，七年級各班共使用口罩1500只，喜歡統計的小張本周統計了七年級各班每天的口罩使用情況，制作了如下的一個統計表，以1500只為標準，其中每天超過1500只的記為“+”，每天不足1500只的記為“-”，統計表格如下：
周一 周二 周三 周四 周五
（1）本周哪一天七年級同學使用口罩最多，數量是多少只？
（2））本周共使用口罩多少只？
（3）若同學們佩戴的口罩分為兩種，一種是普通醫用口罩，價格為1元一只，另外一種為N95型口罩，價格為3元一只，且本周所用的普通醫用口罩和N95型口罩數量之比為，求本周七年級所有同學們購買口罩的總金額？
答案：（1）1547
（2）7520
（3）10528
解析：（1），
周一使用口罩最多，數量是：（只）；
（2）（只），
答：本周共使用口罩7520只；
（3）根據題意，得：（元），
答：本周七年級所有同學們購買口罩的總金額為10528元.
題型5，古代問題
【例5-1】我國古代著作《管子·地員篇》中介紹了一種用數學運算獲得“宮商角徵羽”五音的方法．研究發現，當琴弦的長度比滿足一定關系時，就可以彈奏出不同的樂音．例如，三根弦按長度從長到短排列分別奏出樂音“”，需滿足相鄰弦長的倒數差相等．若最長弦為個單位長，最短弦為個單位長，求中間弦的長度．
【答案】
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】本題考查了分式的運用，理解題意中的數量關系，設中間弦長為，列式求解即可，掌握分式的運用是解題的關鍵．
【詳解】解：根據相鄰弦長的倒數差相等，設中間弦的長度為，
∴，
解得，，
檢驗，當時，原式有意義，
∴中間弦的長度為 ．
【例5-2】《九章算術》是我國古代著名的數學專著之一．它總結了我國戰國、秦漢時期的數學成就．其中有一題，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．問善行者幾何里及之大意為：現今有不善行者先走10里，善行者再按同路追趕不善行者，當善行者走到100里時，超過不善行者20里．問：善行者走多少里時追上了不善行者？
【答案】里
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】設善行者走里時就追上了不善行者，根據速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設善行者走里時就追上了不善行者，
根據題意，
解得.
答：善行者走里時追上了不善行者.
【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
【變式5-1】．四元玉鑒是我國古代數學重要著作之一，為元代數學家朱世杰所著.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”大意是：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文.如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？(椽，裝于屋頂以支持屋頂蓋材料的木桿)設這批椽有x株，則符合題意的方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵這批椽有x株，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，
∴一株椽的價格為文，
根據題意得：.
故選：D.
【變式5-2】．《九章算術》是我國古代重要的數學專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多一天；如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天.已知快馬的速度是慢馬的2倍，求兩匹馬的速度.設慢馬的速度為x里/天，則可列方程為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
【變式5-3】．《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶売的谷子，糲米指糙米，其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”，問題：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得的糲米為( )
A.6升 B.8升 C.16升 D.18升
答案：D
解析：根據題意得：3斗＝30升，
設可以換得的糲米為x升，
則，
解得，
經檢驗：是原分式方程的解，
答：可以換得的糲米為18升.
故選：D.
【變式5-4】．數學文化《九章算術》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時間比規定時間多1天；如果用快馬送，所需的時間比規定時間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規定時間.設規定時間為x天，則可列方程為( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：設規定時間為x天，則快馬所需的時間為天，慢馬所需的時間為天，由題意得：
.
故選：A.
題型6 數字問題
【例6-1】有一個兩位數，它的個位數字比十位數字大1，這個兩位數被個位數字除時，商是8，余數是2，求這個兩位數．
【答案】34
【知識點】解分式方程、分式方程的實際應用
【分析】設十位上的數字為，則個位上的數字為，兩位數是，利用兩位數減2除以個位數字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗后求出兩位數即可．
【詳解】解：設十位上的數字為，則個位上的數字為，
則：，
解方程得：，
經檢驗：是原方程的根，
所以個位上的數字為：＝3＋1＝4，
所以這個兩位數是：3×10＋4＝34．
答：這個兩位數是34．
【點睛】本題考查數字問題分式方程應用題，掌握分式方程解應用題的步驟與解法，關鍵是抓住兩位數減2除以個位數字，商是8列出方程．
【例6-2】一個二位數的十位數字與個位數字的和是12，如果交換十位數字與個位數字的位置并把所得到的新的二位數作為分子，把原來的二位數作為分母，所得的分數約分為，則這個二位數是_____．
【答案】84
【分析】設這個二位數的十位數字為x，則個位數字為（12﹣x），根據“如果交換十位數字與個位數字的位置并把所得到的新的二位數作為分子，把原來的二位數作為分母，所得的分數約分為”，即可得出關于x的分式方程，經檢驗后即可得出結論．
【詳解】設這個二位數的十位數字為x，則個位數字為（12﹣x），
根據題意得：＝，
解得：x＝8，
經檢驗，x＝8是所列分式方程的解，且符合題意，
∴12﹣x＝4．
故答案為84．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
【變式6-1】一個兩位數的個位數字比十位數字大3，用這個兩位數除以個位數字的商是6.設十位數字為x，則所列方程為____________.
答案：
解析：由題意知，十位數字為x，則個位數字為，所以該兩位數為，依題意可列方程為.
【變式6-2】一個兩位數，個位上的數比十位上的數大4，用個位上的數去除這個兩位數商是3，求這個兩位數.
【答案】15.
【分析】設十位上的數字為x，則個位上的數字為x+4，這個兩位數為：10x+（x+4），根據用個位上的數去除這個兩位數商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：，
解得：x=1，
經檢驗，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：這個兩位數為15．
【點睛】本題主要考查分式方程的應用，利用個位與十位的關系列出方程是解題的關鍵．在解答本題的過程中根據條件從而得到本題的結果．
【變式6-3】有一個最簡分數，如果分子加1，分子則比分母少2；如果分母加1，則分數值等于，原分數是 ．
【答案】
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】由分子加1，分子則比分母少2可知，原來分子比分母少，如果設原來的分子是x，則分母是，又由分母加1，則分數值等于即可列出方程，由此解答即可．
【詳解】解：設原分數的分子是x，則分母是，由題意列出方程
所以，
所以，
解得：，經檢驗符合題意；
所以；
因此這個分數是；
故答案為：
【點睛】此題考查的目的是理解掌握分數的基本性質及應用，關鍵是找出等量關系，設出未知數，列方程解答比較簡便．
題型7 商品利潤問題
售價-進價=利潤 進價x利潤率=利潤 標價x折扣=售價
【例7-1】飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強的團體性和趣味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛．某商家購進了海綿和橡膠兩種飛盤進行銷售，已知一個橡膠飛盤比一個海綿飛盤的進價多30元，其中購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數量是購買橡膠飛盤數量的2倍．
(1)求一個海綿飛盤的進價是多少元；
(2)商家第一次購進的飛盤很快售完，決定再次購進同種類型的海綿和橡膠兩種飛盤共80個，但海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%，而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎上打9折，如果商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，那么此次最多可購買多少個橡膠飛盤？
【答案】(1)50元，；
(2)11.
【分析】（1）設一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，由題意：購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數量是購買橡膠飛盤數量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）設此次可購買a個橡膠飛盤，則購買個海綿飛盤，由題意：海綿飛盤的進價比第一次購買時提高了16%，而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎上打9折，商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：設一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，
由題意得：，
解得：x=50，
經檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意，
答：一個海綿飛盤的進價為50元；
（2）
設此次可購買a個橡膠飛盤，則購買個海綿飛盤，
由題意得：
解得：
∵a是整數，
∴a最大值為11，
答：此次最多可購買11個橡膠飛盤．
【點睛】此題考查分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量關系與不等關系，正確列出分式方程和一元一次不等式．
【例7-2】某商場用元購入一批空調，然后以每臺元的價格銷售，因天氣炎熱，空調很快售完，商場又以元的價格再次購入該種型號的空調，數量是第一次購入的2倍，但購入的單價上調了元，每臺的售價也上調了元．
(1)商場第一次購入的空調每臺進價是多少元？
(2)商場既要盡快售完第二次購入的空調，又要在這兩次空調銷售中獲得的利潤率不低于，打算將第二次購入的部分空調按每臺九五折出售，最多可將多少臺空調打折出售？
【答案】(1)商場第一次購入的空調每臺進價是元
(2)最多將8臺空調打折出售
【知識點】分式方程的實際應用、用一元一次不等式解決實際問題
【分析】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用．利用分式方程解應用題時，一般題目中會有兩個相等關系，這時要根據題目所要解決的問題，選擇其中的一個相等關系作為列方程的依據，而另一個則用來設未知數．解答分式方程時，一定要注意驗根．
（1）設商場第一次購入的空調每臺進價是x元，根據題目條件“商場又以元的價格再次購入該種型號的空調，數量是第一次購入的2倍，但購入的單價上調了元”列出分式方程解答即可；
（2）設將y臺空調打折出售，根據題目條件“在這兩次空調銷售中獲得的利潤率不低于，打算將第二次購入的部分空調按每臺九五折出售”列出不等式并解答即可．
【詳解】（1）設商場第一次購入的空調每臺進價是x元，由題意列方程得：
，
解得：，
經檢驗是原方程的根，且符合題意，
答：商場第一次購入的空調每臺進價是2400元；
（2）設將y臺空調打折出售，根據題意，得：
，
解得：，
答：最多將8臺空調打折出售．
【變式7-1】．習近平總書記指出，中華優秀傳統文化是中華民族的“根”和“魂”、為了大力弘揚中華優秀傳統文化，某校決定開展名著閱讀活動，用元購買“四大名著”若干套后，發現這批圖書滿足不了學生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用元購買的套數只比第一批少4套，設第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則符合題意的方程是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：設第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，由題意得，
.
故選：B.
【變式7-2】．為籌辦元旦聯歡會，八年一班兩次到超市購買同一款飲料，第一次按標價購買，用了元；第二次超市有優惠活動，按標價的6折購買，用了元，若兩次一共購買了瓶飲料，這種飲料的標價是多少？
答案：元
解析：設飲料的標價是x元，
依題意得，，
解得，，
經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意；
∴飲料的標價是元.
【變式7-3】．今年，某市舉辦了一屆主題為“強國復興有我”的中小學課本劇比賽.某隊伍為參賽需租用一批服裝，經了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，用500元在甲商店租用服裝的數量與用400元在乙商店租用服裝的數量相等.
（1）求在甲，乙兩個商店租用的服裝每套各多少元？
（2）若租用10套以上服裝，甲商店給予每套九折優惠.該參賽隊伍準備租用20套服裝，請問在哪家商店租用服裝的費用較少，并說明理由.
（1）答案：甲，乙兩個商店租用的服裝每套各50元，40元
解析：設乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套（x+10）元，
由題意可得：，
解得：，
經檢驗，是該分式方程的解，并符合題意，
，
甲，乙兩個商店租用的服裝每套各50元，40元.
（2）答案：乙商店租用服裝的費用較少
解析：乙商店租用服裝的費用較少.
理由如下：該參賽隊伍準備租用20套服裝時，甲商店的費用為：（元），乙商店的費用為：（元），
，
乙商店租用服裝的費用較少.
【變式7-4】習近平總書記指出，中華優秀傳統文化是中華民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化軟實力，是中國特色社會主義植根的沃土，是我們在世界文化激蕩中站穩腳跟的根基.為了大力弘揚中華優秀傳統文化，某校決定開展名著讀書活動.用3600元購買“四大名著”若干套后，發現這批圖書滿足不了學生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城8折銷售該套書，于是用2400元購買的套數只比第一批少4套.
(1)求第一批購進的“四大名著”每套的價格是多少元；
(2)該校共購進“四大名著”多少套？
答案：(1)150元
(2)44套
解析：(1)設第一批購進“四大名著”每套的價格為x元，
則根據題意，得
解得
經檢驗是所列方程的解.
答：第一批購進的“四大名著”每套的價格是150元.
(2)當時，，
所以(套).
答：該校共購進“四大名著”44套.
題型8 圖形問題
從圖形圖表上挖掘信息，建立等量關系
【例8-1】如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了．
(1)“豐收1號”單位面積產量為 ，“豐收2號”單位面積產量為 （結果用含的式子表示）；
(2)若“豐收2號”的單位面積產量是“豐收1號”的單位面積產量的倍，求的值．
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）分別求出“豐收1號”、“豐收2號”的面積，再用500除以面積即可；
（2）根據題意列出關于等式求解即可，注意需要驗根．
(1)
解：“豐收1號”的面積為：，
單位面積產量為：；
“豐收2號”的面積為：，
單位面積產量為：；
故答案為：；；
(2)
解：由題意，可得，
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，
∴a的值為5．
【點睛】本題考查了列代數式，分式方程，解題的關鍵是根據題意列出相應的分式方程．
【例8-2】李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚，如圖，現有A和B兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等，B款瓷磚的長大于寬，李師傅打算按如下設計圖的規律進行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比B款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地面，則B款瓷磚的長為_______米，寬為_______米．
【答案】 1 或
【分析】設款瓷磚邊長為米，款瓷磚長為米、寬為米，則，解得，由題意知是正整數，設為正整數），解得，將為正整數代入即可得出結果．
【詳解】解：設款瓷磚邊長為米，款瓷磚長為米、寬為米，
則，
解得：，
經檢驗，a=1是原方程的解，
由題意得：是正整數，
設為正整數），
解得：，
當時，，舍去）；
當時，，舍去）；
當時，；
當時，．
故答案為：1，或．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，正確理解題意，根據題意設出未知數列出方程組是解題的關鍵．
【變式8-1】如圖1，在一張長方形紙片的四個角分別剪去一個邊長相等的正方形，可折疊成如圖2的一個無蓋長方體紙盒．
(1)若圖1中原長方形紙片長，寬，被剪掉的正方形邊長為，折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為，求a的值；
(2)現有60張同樣規格的長方形紙片，可制作成60個無蓋長方體紙盒，剪下來的正方形恰好全部制作成正方體（每個正方體需要6個正方形），現把20名同學分為甲、乙兩組，甲組制作無蓋長方體紙盒，乙組制作正方體，若甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數是乙組平均每人制作的正方體個數的一半，求甲組有多少名同學？
【答案】(1)4
(2)15名
【知識點】分式方程的實際應用、幾何問題(一元一次方程的應用)
【分析】（1）根據“折疊得到的無蓋長方體紙盒的長、寬、高之和為”，列出方程，即可求解；
（2）設甲組有x名同學，則乙組有名同學，根據“甲組平均每人制作的無蓋長方體紙盒個數是乙組平均每人制作的正方體個數的一半”，列出方程，即可求解．
【詳解】（1）解：
解得：
答：a的值為4．
（2）解：設甲組有x名同學，則乙組有名同學，根據題意得：
，
解得：
經檢驗，是原方程的解且符合題意．
答：甲組有15名同學．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．
【變式8-2】如圖，甲和乙均是容積為90立方分米無蓋的長方體盒子．

(1)甲盒子底面是邊長為a分米的正方形，這個盒子的高是___________分米；這個盒子的表面積是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）
(2)乙盒子底面是長方形，甲盒子比乙盒子高5分米. 選用2元/平方分米的材料，制作甲乙兩個盒子的底面，乙盒子底面材料費用是甲盒子底面材料費用的2倍，求乙盒子的高．
【答案】(1)，
(2)
【知識點】分式方程的實際應用、列代數式
【分析】（1）長方體體積為長寬高的乘積，已知甲的地面是邊長為的正方形，就可以求出高，長寬高已知即可表示表面積．
（2）根據甲乙盒子的高的關系可以表示乙的高，根據地面材料費求出乙的底面積（長寬積），利用體積建立關于高的關系方程，求出乙的高．
【詳解】（1）解：，則，表面積=（平方分米）
（2）解：設乙的高為分米，甲的高為分米．
依題意得：
解得：
經檢驗是此分式方程的解．
答：乙盒子的高為5分米．
【點睛】本題主要考了長方體的體積及表面積的知識，利用公式建立分式方程模型是解題關鍵．
【變式8-3】劉峰和李明相約周末去科技館看展覽，根據他們的談話內容，試求李明乘公交車、劉峰騎自行車每小時各行多少千米？
劉峰：我查好地圖了，你看看 李明：好的，我家門口的公交車站，正好有一趟到科技館那站停的車，我坐明天8：30的車.
劉峰：從地圖上看，我家到科技館的距離比你家近10千米，我就騎自行車去了. 李明：行，根據我的經驗，公交車的速度一般是你騎自行車速度的3倍，那你明天早上8：00點從家出發，如順利，咱倆同時到達.
答案：劉峰騎自行車每小時行20千米，李明乘公交車每小時行60千米
解析：設劉峰騎自行車每小時行x千米，則李明乘公交車每小時行千米，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是所列分式方程的解，且符合題意，
（千米/時），
答：劉峰騎自行車每小時行20千米，李明乘公交車每小時行60千米.
【變式8-4】．小宇家附近新修了一段公路，他想給市政寫信，建議在路的兩邊種上銀杏樹.他先讓爸爸開車駛過這段公路，發現速度為60千米/小時，走了約2分鐘，由此估算這段路長約______千米.然后小宇查閱資料，得知銀杏為落葉大喬木，成年銀杏樹樹冠直徑可達8米.小宇計劃從路的起點開始，每隔a米種一棵樹，繪制示意圖如圖：
考慮到投入資金的限制，他設計了另一種方案，將原計劃的a擴大一倍，則路的兩側共計減少100棵數，請你求出a的值.
答案：路長約2千米
解析：設每a米種一棵樹，則另一方案每2a米種一棵樹
依題意，得：
解得：
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意.
答：a的值為15.
【變式8-5】．如圖所示的電路的總電阻為，若，則____________.
，
答案：
解析：根據并聯電阻的特點，總電阻為，，
則有：，
，
，
，
故答案為：.
題型9 和差倍分問題
【例9-1】我區某葡萄種植莊園計劃要在規定時間種植6000棵葡萄樹．在實際施工時，參與種植人數比計劃人數多，這樣每天實際種植葡萄樹比原計劃每天多，結果比原計劃提前2天完成種植任務．原計劃每天種植多少棵葡萄樹？
【答案】500棵
【知識點】分式方程的實際應用
【分析】本題考查分式方程的實際應用，設原計劃每天種樹x棵，根據題意，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設原計劃每天種樹x棵，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
答：原計劃每天種植500棵葡萄樹．
【例9-2】第5代移動通信技術簡稱5G，某地已開通5G業務，經測試5G下載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？
【答案】60兆
【分析】設該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆，根據“小明比小強所用的時間快140秒”列出方程求解即可．
【詳解】解：設該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒15x兆
由題意得：
解得：x=4，
經檢驗：x=4是原分式方程的解，且符合題意，
15×4=60，
答：該地5G的下載速度是每秒60兆．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，設出未知數列出方程．
【變式9-1】趙強同學借了一本書,共280頁,要在兩周借期內讀完.當他讀了一半時,發現平均每天要多讀21頁才能在借期內讀完.他讀前一半時,平均每天讀多少頁？如果設讀前一半時,平均每天讀x頁,則下面所列方程中,正確的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：讀前一半用的時間為:,讀后一半用的時間為:.由題意得,,
故選:C.
【變式9-2】．在讀書活動中，某同學對甲、乙兩個班學生的讀書情況進行了統計：甲班學生人數比乙班學生人數多3，甲班學生讀書480本，乙班學生讀書360本，乙班平均每人讀書的本數是甲班平均每人讀書的本數的.求甲、乙兩班分別有多少人.設乙班有x人，依題意，可列方程為___________.
答案：
解析：
【變式9-3】．金秋十月，延安蘋果大面積成熟.某蘋果經銷商在果農處用30000元收購了一批蘋果，由于市場反響很好，該經銷商再一次購進同一種蘋果，第二次的收購單價比第一次上漲了，收購量比第一次多了2000千克.已知第二次的收購費用是第一次收購費用的，則水果經銷商兩次共收購了多少千克蘋果？
答案：14000千克蘋果
解析：設第一次收購的蘋果每千克x元，則第二次收購的蘋果每千克元.
根據題意，得，解得.
經檢驗，是原方程的解，且符合題意.
（千克），
（千克）.
水果經銷商兩次共收購了14000千克蘋果.
題型10 航行問題
順水速度= 靜水速度+水流速度 逆水速度=靜水速度-水流速度
【例10-1】．一艘輪船在靜水中的最大航速為千米/時，它沿江以最大航速順流航行千米所用時間，與以最大航速逆流航行千米所用時間相等．求江水的流速為多少千米/時．
【答案】16千米/時
【分析】設江水的流速為千米/時，根據題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】設江水的流速為千米/時，根據題意得，
，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
答：江水的流速為16千米/時．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
【例10-2】兩船從同一港口同時出發反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后兩船相距多遠？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則小快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關系是 ．
【答案】（1）2h后兩船相距千米（2）2h后甲船比乙船多航行千米；（3）
【分析】（1）分別求得甲乙兩船行駛的路程，即可求解；
（2）用甲船行駛的路程減去乙船行駛的路程，即可求解；
（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設碼頭之前的距離為，列方程求解即可．
【詳解】解：（1）2h后，甲船行駛的路程為，乙船行駛的路程為
兩船相距為
答：2h后兩船相距千米
（2）由（1）得2h后，甲船行駛的路程為，乙船行駛的路程為
甲船比乙船多航行
答：2h后甲船比乙船多航行千米
（3）由題意可得去程是逆水行駛，返程是順水行駛，設碼頭之前的距離為
則去程時間為，返程時間為
由題意可得，即，解得
快艇在靜水中的速度v與水流速度a的關系是為
故答案為
【點睛】此題考查了列代數式，以及分式的應用，解題的關鍵是掌握船順流航行和逆流航行的速度公式是解題的關鍵．
【變式10-1】．一艘輪船在靜水中的速度為，它沿江順流航行與逆流航行所用時間相等，江水的流速為________.
答案：6
解析：設江水的流速為.根據題意，得，解得.經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意.
【變式10-2】．一只小船從A港口順流航行到B港口需6 h，而由B港口返回到A港口需要8 h.某日，小船在早上6時出發由A港口順流航行到B港口時，發現船上一個救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回尋找救生圈，1 h后找到救生圈.
（1）若小船按水流速度由A港口漂流到B港口，需要多長時間？
（2）救生圈于何時掉入水中？
答案：（1）設小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要x h.
根據題意，得，
解得.
經檢驗，是所列方程的根.
答：若小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要48 h.
（2）設救生圈是在y時掉入水中的，
則，
解得.
答：救生圈是在11時掉入水中的.
解析：
【變式10-3】．一艘輪船在靜水中的最大航速為，它以最大航速沿江順流航行所用的時間，與以最大航速沿江逆流航行所用的時間相等，江水的流速是多少？
答案：
解析：設水流速度為，則由題意得，
，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
答：江水的流速是.
題型11 方案設計問題
【例11-1】某河流防污治理工程已正式啟動，由甲隊單獨做5個月后，乙隊再加入合作3個月就可以完成這項工程．已知若甲隊單獨做需要10個月可以完成．
（1）乙隊單獨完成這項工程需要幾個月？
（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必須在一年內竣工（包括12個月）．為了確保經費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？
【答案】（1）15（2）方案一：甲隊作4個月，乙隊作9個月；方案二：甲隊作2個月，乙隊作12個月
【分析】(1)設完成本項工程的工作總量為1,由題意可知,從而得出x=15. 即單獨完成這項工程需要15個月.
(2)根據題目關鍵信息：該工程總費用不超過141萬元、采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數）分工合作的方式施工可以列出關于a、b方程組，從而得出a、b的取值范圍，根據a、b的取值范圍及a、b均為整數的關系得出b為3的倍數，則b=9或b=12．從而得出a的取值.確定工程方案.
【詳解】（1）設乙隊需要x個月完成，根據題意得：
經檢驗x=15是原方程的根
答：乙隊需要15個月完成；
（2）根據題意得：，解得：a≤4 b≥9
∵a≤12，b≤12且a，b都為正整數，
∴9≤b≤12又a=10﹣b，
∴b為3的倍數，∴b=9或b=12．
當b=9時，a=4；
當b=12時，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=12．
方案一：甲隊作4個月，乙隊作9個月；
方案二：甲隊作2個月，乙隊作12個月；
【點睛】本題主要考查列方程解決工程問題，工程問題是中考常考知識點.根據 a、b的取值范圍及a、b均為整數的關系得出b為3的倍數是本題的難點.
【例11-2】位于四川省廣漢市的“三星堆”，被稱為20世紀人類最偉大的考古發現之一，被譽為“長江文明之源”，昭示了長江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明的母體．七中育才八年級學生計劃下周前往此處開展文史探究活動．下面是兩位同學對于出行方案的討論：
芳芳：我們一共有810名師生，如果租用甲種大巴剛好可以坐滿．
敏敏：乙種大巴座位數比甲種多，如果租用乙種大巴可以少租3輛，也剛好可以坐滿．
(1)請根據以上信息，求出每輛甲種和每輛乙種大巴的座位數；
(2)為保證順利出行，大巴車司機計劃近期加油兩次，打算采用兩種加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100升）加油；
方式二：每次均按照相同金額（500元）加油．
若第一次加油單價為x元/升，第二次加油單價為y元/升（）．請分別寫出每種加油方式的平均單價（用含x、y的代數式表示），并根據你所學知識幫助大巴車司機選擇上述哪種加油方式更合算．
【答案】(1)每輛甲種大巴車的座位數有45個，每輛乙種大巴車的座位數有54個
(2)方式一：，方式二：；選擇方式二
【知識點】列代數式、異分母分式加減法、分式方程的實際應用
【分析】本題主要考查分式方程的應用、列代數式．
（1）設每輛甲種大巴車的座位數為a個，則每輛乙種大巴車的座位數為個，根據“都租同一種車輛，甲種大巴車比乙種大巴車多3輛”列出方程，求解即可；
（2）根據“加油費用加油量加油單價”分別算出兩種加油方式的平均單價，再利用作差法比較兩種加油方式的平均單價的大小即可求解．
【詳解】（1）解：設每輛甲種大巴車的座位數為a個，則每輛乙種大巴車的座位數為個，
根據題意可得：，
解得：，
經檢驗，為原方程的解，
則，
答：每輛甲種大巴車的座位數有45個，每輛乙種大巴車的座位數有54個；
（2）解：按照方式一加油的平均單價為（元/升），
按照方式二加油的平均單價為（元/升），
按方式一加油的平均單價﹣按方式二加油的平均單價得：
（元/升），
∵，，且，
∴，，即，
∴選擇方式二加油更合算．
【變式11-1】．某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元,用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進的乙種玩具的件數相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？
(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件,購進這兩種玩具的總資金超過970元但不超過1000元,求商場有哪幾種具體的進貨方案？最多可以購進乙種玩具多少件？
答案：(1)甲,乙兩種玩具的進價分別是15元/件,25元/件
(2)共有3種方案：方案一：購進甲種玩具20件,購進乙種玩具28件；方案二：購進甲種玩具21件,購進乙種玩具27件；方案三：購進甲種玩具22件,購進乙種玩具26件；最多可以購進乙種玩具28件
解析：(1)設甲種玩具進價x元/件,則乙種玩具進價為元/件,根據題意,得
,
解得,
經檢驗是原方程的解.
∴.
答：甲,乙兩種玩具的進價分別是15元/件,25元/件；
(2)設購進甲種玩具y件,則購進乙種玩具件,根據題意,得
,
解得.
∵y是整數,
∴y取20,21,22,共有3種方案.
方案一：購進甲種玩具20件,購進乙種玩具28件,
方案二：購進甲種玩具21件,購進乙種玩具27件,
方案三：購進甲種玩具22件,購進乙種玩具26件,
則最多可以購進乙種玩具28件.
【變式11-2】．今年，某市舉辦了一屆主題為“強國復興有我”的中小學課本劇比賽.某隊伍為參賽需租用一批服裝，經了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，用500元在甲商店租用服裝的數量與用400元在乙商店租用服裝的數量相等.
（1）求在甲，乙兩個商店租用的服裝每套各多少元？
（2）若租用10套以上服裝，甲商店給予每套九折優惠.該參賽隊伍準備租用20套服裝，請問在哪家商店租用服裝的費用較少，并說明理由.
（1）答案：甲，乙兩個商店租用的服裝每套各50元，40元
解析：設乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套（x+10）元，
由題意可得：，
解得：，
經檢驗，是該分式方程的解，并符合題意，
，
甲，乙兩個商店租用的服裝每套各50元，40元.
（2）答案：乙商店租用服裝的費用較少
解析：乙商店租用服裝的費用較少.
理由如下：該參賽隊伍準備租用20套服裝時，甲商店的費用為：（元），乙商店的費用為：（元），
，
乙商店租用服裝的費用較少.
【變式11-3】．某貿易公司現有480噸貨物，準備外包給甲、乙兩個車主來完成運輸任務.已知甲車主單獨完成運輸任務比乙車主單獨完成任務要多用10天，而乙車主每天運輸的噸數是甲車主的1.5倍，公司需付甲車主每天800元運輸費，乙車主每天運輸費1200元，同時公司每天要付給發貨工人200元工資.
(1)求甲、乙兩個車主每天各能運輸多少噸貨物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一個車主單獨完成，也可以由兩車主合作完成.請你通過計算，幫該公司從這三種方案中選擇一種既省錢又省時的外包方案.
答案：(1)甲車主每天能運輸16噸貨物，乙車主每天能運輸24噸貨物
(2)兩車主合作完成既省錢又省時，計算過程見解析
解析：（1）設甲車主每天能運輸噸貨物，則乙車主每天能運輸噸貨物，根據題意得：
，
解得，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴.
答：甲車主每天能運輸16噸貨物，乙車主每天能運輸24噸貨物.
（2）甲車主單獨完成所需時間為（天），
乙車主單獨完成所需時間為（天），
甲、乙兩車主合作完成所需時間為（天），
甲車主單獨完成所需費用為（元），
乙車主單獨完成所需費用為（元），
甲、乙兩車主合作完成所需費用為（元）.
∵，，
∴該公司選擇由兩車主合作完成既省錢又省時
答：該公司選擇由兩車主合作完成既省錢又省時.
題型12 素材問題
【例12-1】根據以下素材，探索完成任務.
奶茶銷售方案制定問題
素材1 當下年輕人喜歡喝奶茶，在入夏之際某知名奶茶品牌店推出兩款爆款水果茶“滿杯楊梅”和“芝士楊梅”．每杯“芝士楊梅”的售價比“滿杯楊梅”貴2元，購買1杯“芝士楊梅”和2杯“滿杯楊梅”共需53元．
素材2 兩款奶茶配料表如下： 芝士楊梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯楊梅肉多肉 滿杯楊梅配料茉莉清茶/杯楊梅肉多肉
素材3 5月27日當天銷售“芝士楊梅”共獲利潤400元，“滿杯楊梅”獲利潤480元，其中每杯“芝士楊梅”的利潤是每杯“滿杯楊梅”的倍，“滿杯楊梅”比“芝士楊梅”多賣20杯．
素材4 由于芝士保質期將至，為了去庫存，5月28日決定對“芝士楊梅”每杯降價4元促銷，并要求當天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”．
問題解決
任務1 確定奶茶的售價 每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的售價是多少？
任務2 確定奶茶的成本 每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本是多少？（）
任務3 擬定最優方案 為了使5月28日這兩種奶茶獲利最大，需制做“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”共多少杯？
【答案】（1）“芝士楊梅”的定價為19元，“滿杯楊梅”的定價為17元；（2）“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本均為9元/杯；（3）當利潤最大時，兩種奶茶共制作42杯
【知識點】分式方程的實際應用、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)
【分析】（1）設“芝士楊梅”的售價為x元/杯，“滿杯楊梅”的定價為y元/杯，根據題意列方程求解即可；
（2）設“滿杯楊梅”成本為a元/杯，則“滿杯楊梅”利潤為元/杯，根據素材3列方程求解即可；
（3）設制作m杯“芝士楊梅”和n杯“滿杯楊梅”，根據素材4列方程求解正整數解，再結合獲利最大即可求解．
【詳解】（1）設“芝士楊梅”的售價為x元/杯，“滿杯楊梅”的定價為y元/杯，
由題意得：，
解得，
答：“芝士楊梅”的定價為19元，“滿杯楊梅”的定價為17元，
（2）設“滿杯楊梅”成本為a元/杯，則“滿杯楊梅”利潤為元/杯，
則“芝士楊梅”利潤為元/杯，
由題意 ，
解得，
經檢驗滿足題意，
芝士楊梅成本：（元/杯），
答：“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本均為9元/杯；
（3）設制作m杯“芝士楊梅”和n杯“滿杯楊梅”，
由題意得：，變形得，
∵芝士配料不低于，
∴且m是5的倍數，
∴解得，
∵“芝士楊梅”每杯減4元則每杯利潤6元，“滿杯楊梅”每杯利潤8元，
當時，總利潤為266元，
當時，總利潤為264元，
∴當利潤最大時，兩種奶茶共制作42杯．
【點睛】本題考查了分式方程的應用、二元一次方程組及二元一次方程的應用．找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
【例12-2】根據以下素材，探索完成任務
素材1 某中學701班自制一款組合式的木質收納架．如圖所示，已知單個收納架由2個橫桿和5個豎桿組成，橫桿長為60厘米，豎桿長為32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根長為160厘米的木條．考慮到所制作的收納架的牢固性，規定單根桿件的用料不能拼接而成．
解決問題
任務（一） 擬定裁切方案 一根160厘米長的木條有以下裁剪方法．（余料作廢）方法①：當只裁剪32厘米的豎桿時，最多可裁剪_________根；方法②：當先裁剪下1根60厘米長的橫桿時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎桿_________根；方法③：當先裁剪下2根60厘米長的橫桿時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎桿_________根．
任務（二） 核算材料費用 班委會計劃在教室墻壁上安裝5個收納架，若用任務（一）中的方法②和方法③進行裁剪，則裁剪多少根160厘米長的木條，才能剛好得到所需要的用料？
任務（三） 評價安裝工效 同學們在安裝過程中發現：單位時間內可以安裝根豎桿或根橫桿．任務（二）中的5個收納架安裝完畢時，發現安裝豎桿所需的時間與安裝橫桿所需的時間相同，求的值．
【答案】任務一：5，3，1；任務二：8根，1根；任務三：5
【知識點】分式方程的實際應用、方案問題(二元一次方程組的應用)
【分析】本題考查了二元一次方程組與分式方程的應用，解題的關鍵是仔細審題，正確列出方程．
任務一：根據圍欄材料不同裁剪方法，分別計算出需要的豎杠或橫杠；
任務二:利用方法②與方法③列出方程組求解即可；
任務三：利用在單位時間內可以安裝m根豎杠或根橫杠，所用的時間相同，建立分式方程，求解即可．
【詳解】任務一：方法①：(根)
當只裁剪32厘米長的豎杠時，最多可裁剪5根．
方法②：，
當先裁剪下1根60厘米長的橫杠時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎杠3根．
方法③：，
當先裁剪下2根60厘米長的橫杠時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎杠1根．
任務二：設按方法②需裁剪x根160厘米長的木條，按方法③需裁剪y根160厘米長的木條，依據題意得：
，解得：．
答：按方法②需裁剪8根160厘米長的木條，按方法③需裁剪1根160厘米長的木條，才能剛好得到所需要的相應數量的用料．
任務三：依據題意得，解得：，
經檢驗，是該方程的解．
【變式12-1】《花卉裝點校園,青春獻禮祖國》項目學習方案：
項目情景 國慶將至,向陽中學購買花卉裝點校園,向祖國母親生日獻禮.同學們需完成了解花卉知識(包括花語等知識),購買花卉,插花,擺放盆栽等任務
素材一 采購小組到市場上了解到每枝A種花卉比每枝B種花卉便宜3元,用600元購買的B種花卉數量為用240元購買的A種花卉數量的2倍
任務一 小組成員甲設用240元購

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