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第3章 數(shù)據(jù)分析初步
專題 “三數(shù)”與“三差”問題中的數(shù)
學思想
類型1 方程思想
例1 某班七個學習小組的人數(shù)分別是4，5，5， ，6，7，8，
已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6，則 的值是( )
D
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
方法點撥：求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，就是用所有數(shù)據(jù)的和除以
數(shù)據(jù)個數(shù)，本題利用平均數(shù)計算公式即可得到關(guān)于 的方程，
再解方程即可求解.
變式1 兩組數(shù)據(jù)：3，，，5與，6， 的平均數(shù)都是6，
則 ___.若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的
標準差為_ ____.
8
類型2 整體思想
例2 某同學用計算器計算30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一
個數(shù)據(jù)105輸入15，那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的
差是( )
C
A. 3.5 B. 3 C. D. 0.5
方法點撥：將數(shù)據(jù)總和看作一個整體，根據(jù)題意可以得到錯
誤的數(shù)據(jù)總和與實際的數(shù)據(jù)總和的差，再除以總個數(shù)30，即
可得出錯誤的數(shù)據(jù)的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差.
變式2 若，，的平均數(shù)是6，則，，
的平均數(shù)是( )
D
A. 6 B. 30 C. 33 D. 32
【點撥】,, 的平均數(shù)是6,
.
.
類型3 分類討論思想
例3 一組數(shù)據(jù)為11，7，9，若添加一個數(shù)據(jù)，使得4個數(shù)據(jù)
的中位數(shù)和眾數(shù)相等，則添加的數(shù)據(jù)是___.
9
方法點撥：根據(jù)眾數(shù)的可能情況分類討論求解是解題的關(guān)鍵，
即分別假設眾數(shù)為11，7，9，確定出對應的這組數(shù)據(jù)，再結(jié)
合中位數(shù)找到符合題意的數(shù)據(jù)即可.
變式3 已知一組數(shù)據(jù)5，9， ，7的平均數(shù)與眾數(shù)恰好相等，
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___.
7
【點撥】當眾數(shù)是5時， ，此時平均數(shù)是
，與眾數(shù)不相等，不符合題意；
當眾數(shù)是7時，，此時平均數(shù)是 ，
與眾數(shù)相等， 這組數(shù)據(jù)為5，7，7，9， 中位數(shù)為7；
當眾數(shù)是9時，，此時平均數(shù)是 ，
與眾數(shù)不相等，不符合題意.
綜上可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7.
類型4 統(tǒng)計思想
例4 某社區(qū)為了增強居民節(jié)約用水的意識，隨機調(diào)查了部分
家庭一年的月均用水量（單位： ）.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出
如圖所示的統(tǒng)計圖.
（1）本次接受調(diào)查的家庭戶數(shù)為____，圖①中 的值為____；
50
20
（2）求統(tǒng)計的這組月均用水量的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).
【解】平均數(shù)為
，
眾數(shù)為，中位數(shù)為 .
方法點撥：加權(quán)平均數(shù) ，眾數(shù)是一組數(shù)
據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),注意眾數(shù)可以不止一個.求中位數(shù)
時，首先將數(shù)據(jù)進行排序（從大到小或從小到大）,位于最中
間的一個數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均
數(shù)（數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)）為中位數(shù).
變式4 2024年9月10日是我國第40個教師節(jié)，某
校展開以“燭光引路，感恩墨香”為主題的知識競賽活動.現(xiàn)從
該校八、九年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）
進行整理、分析（成績得分用表示，共分成四組： .
，.，.， .
），下面給出了部分信息：
八年級10名學生的競賽成績（單位：分）：99，80，99，86，
99，96，90，100，89，82.
九年級10名學生的競賽成績在 組中的數(shù)據(jù)是：94，90，94.
八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表
年級 平均數(shù) （分） 中位數(shù) （分） 眾數(shù) （分） 方差
（分 ）
八年級 92 93 52
九年級 92 100 50.4
（1）上述圖表中，___；____； ____.
1
94
99
（2）由以上數(shù)據(jù)，你認為該校八、九年級中哪個年級學生
的競賽成績較好？請說明理由.
【解】九年級學生的競賽成績較好.理由：雖然八、九年級學
生的競賽成績的平均數(shù)相同，但是九年級學生的競賽成績的
中位數(shù)、眾數(shù)都比八年級的高，且九年級學生的競賽成績的
方差比八年級的小， 九年級學生的競賽成績較好.
（3）該校八、九年級參加此次競賽活動的人數(shù)分別為650人
和780人，估計在本次競賽活動中八、九年級成績優(yōu)秀
的學生共有多少人.
（人），
估計在本次競賽活動中八、九年級成績優(yōu)秀 的學
生共有936人．
1. 一組數(shù)據(jù)從小到大排列為1，2，4， ，6，9，它的中位數(shù)
是5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是( )
D
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
2.在從小到大排列的五個數(shù) ，3，6，8，12中再加入一個數(shù)，
若這六個數(shù)的中位數(shù)、平均數(shù)與原來五個數(shù)的中位數(shù)、平均
數(shù)分別相等，則加入的這個數(shù)為___， 的值為___.
6
1
3.若已知數(shù)據(jù),，的平均數(shù)為，那么數(shù)據(jù) ，
，的平均數(shù)為_______（用含 的代數(shù)式表
示）.
4. 在數(shù)據(jù)1，3，7，9中加入一個正數(shù) ，使
得到新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則 _______.
5或15
【點撥】新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 .
新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，
若中位數(shù)為3,則，解得 （不合題意，舍
去）；
若中位數(shù)為7,則，解得 ；
若中位數(shù)為,則，解得 .
綜上， 的值為5或15.
5. 中國大學生籃球一級聯(lián)賽 東南賽區(qū)
的賽事在浙江舟山普陀體育館迎來巔峰對決，最終廣東工業(yè)
大學男籃獲封“東南王”，如圖是決賽中廣東工業(yè)大學和寧波
大學各節(jié)分數(shù)的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖：
（1）填空：在扇形統(tǒng)計圖中，第二節(jié)所在扇形的圓心角為
_______；
（2）請完成表中所缺的數(shù)據(jù)；
17.5
球隊 各節(jié)得分
平均數(shù) （分） 中位數(shù)（分）
寧波大學 16.25 ________
廣東工業(yè)大學 _______ 17.5
16.5
（3）已知寧波大學各節(jié)得分的方差為分 ，請你計
算廣東工業(yè)大學各節(jié)得分的方差，并運用以上數(shù)學統(tǒng)計知識
來說明廣東工業(yè)大學為什么能奪冠.
【解】廣東工業(yè)大學各節(jié)得分的方差為
（分 ），
從平均數(shù)看，廣東工業(yè)大學成績好些；
從中位數(shù)看，兩校相當；
， 從方差看，廣東工業(yè)大學成績比較穩(wěn)
定. 廣東工業(yè)大學能奪冠.

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