資源簡介

(共50張PPT)
7.3 一元一次不等式組
第七章 一元一次不等式與不等式組
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
一元一次不等式組的定義
一元一次不等式組的解集
解一元一次不等式組
一元一次不等式組的應用
知1－講
感悟新知
知識點
一元一次不等式組的定義
1
1. 定義 由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組成的不等式組，叫作一元一次不等式組 .
感悟新知
知1－講
特別解讀
1. 一元一次不等式組中包含的一元一次不等式可以是兩個，也可以是多個 .
2. 未知數的個數必須唯一 .
感悟新知
2. 表示方式
不等式組可以用形如的方式表示， 也可以用形如a2x+b2知1－講
知1－練
感悟新知
下列各不等式組中，是一元一次不等式組的是
_________.(填序號)
①② ③
④ －4x ≤ x<5；⑤ ⑥
例1
③④⑤
知1－練
感悟新知
解：①中含有兩個未知數，不是一元一次不等式組；
②中未知數的最高次數是 2，不是一元一次不等式組；
③中含有兩個一元一次不等式，且只含有一個未知數，
是一元一次不等式組；
解題秘方：緊扣一元一次不等式組的定義識別 .
知1－練
感悟新知
④可以寫成 是一元一次不等式組；
⑤中含有三個一元一次不等式，且只含有一個未知數，是一元一次不等式組；
⑥中的不是整式，不是一元一次不等式組 .
含有同一未知數的幾個一次整式連續
不等的式子也是一元一次不等式組 .
知1－練
感悟新知
特別提醒
組成不等式組的每個不等式必須是一元一次不等式 . 這句話包含如下兩層意思：
1. 每個不等式的左右兩邊必須是整式；
2. 每個不等式化簡后，未知數的次數是 1，且系數不為零 .
感悟新知
知2－講
知識點
一元一次不等式組的解集
2
1. 定義 幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫作由這幾個不等式組成的一元一次不等式組的解集.
感悟新知
知2－講
2. 一元一次不等式組解集的四種情況
不等式組
( a ＞ b)
不等式組
的解集 x>a x不等式組的解集在數軸上的表示
知2－講
感悟新知
特別解讀
1.“公共部分” 是指同時滿足不等式組中每一個不等式的解集的部分 . 如果組成不等式組的各個不等式的解集沒有公共部分，則這個不等式組無解 .
2.不等式組的解集中的每一個解滿足不等式組中的每一個不等式 .
感悟新知
知2－練
[母題 教材P42練習T1]利用數軸求下列不等式組的解集 .
(1) (2) (3) (4)
例2
解題秘方：解題時先在同一數軸上表示出不等式組中兩個不等式的解集，再找出兩個不等式解集的公共部分 .
知2－練
感悟新知
解：(1)兩個不等式的解集在數軸上的表示如圖 7.3-1 所示 .
所以這個不等式組的解集為x ≥ 2.
(2)兩個不等式的解集在數軸上的表示如圖7.3 -2所示.
所以這個不等式組的解集為 x<－1.
知2－練
感悟新知
(3)兩個不等式的解集在數軸上的表示如圖 7.3 -3 所示 .
所以這個不等式組無解 .
(4)兩個不等式的解集在數軸上的表示如圖 7.3-4 所示 .
所以這個不等式組的解集為 －1知2－練
感悟新知
方法點撥
確定一元一 次不等式組解集的常用方法：
數軸法：就是將幾個不等式的解集在同一數軸上表示出來，然后找出它們解集的公共部分，這個公共部分就是此不等式組的解集，如果沒有公共部分，那么這個不等式組無解 .
2. 口訣法：“同大取大”“ 同小取小” “大小小大中間找”“大大小小無處找”.
數軸法找解集直觀，口訣法找解集便于記憶 .
感悟新知
知2－練
關于 x 的不等式組 的解集是 x>－1，則m= _______.
例3
－3
解題秘方：根據不等式組解集的確定方法得出兩個不等式解集端點值之間的數量關系 .
知2－練
感悟新知
解：因為 2>－1，所以 m+2>m－1.
根據“同大取大”可知，關于 x 的不等式組 的解集是 x>m+2，而題中給出其解集為 x>－1，所以 m+2=－1，所以 m=－3.
知2－練
感悟新知
方法點撥
解答這類題，一般先將字母視為常數， 再逆用不等式組解集的意義，由不等式組的解集反推得出含字母的方程，最后求出字母的值 .
感悟新知
知3－講
知識點
解一元一次不等式組
3
1.解不等式組 求不等式組解集的過程叫作解不等式組 .
感悟新知
知3－講
2. 解一元一次不等式組的一般步驟
(1)分別解每一個不等式；
(2)利用數軸法或口訣法確定不等式組的解集；
(3)寫出不等式組的解集 .
知3－講
感悟新知
特別提醒
解一元一次不等式組的實質就是尋找不等式組中所有不等式解集的公共部分 .
知3－練
感悟新知
[母題 教材P43練習T1]解下列不等式組：
(1)(2) － 1< ≤ 5.
例4
知3－練
感悟新知
解題秘方：緊扣解一元一次不等式組的一般步驟求解 .
解法提醒
解不等式組的關鍵是要正確地求出每個不等式的解集，再利用數軸正確地表示出每個不等式的解集，從而找出不等式組的解集；熟練后，可不畫數軸，直接利用“口訣法”寫出不等式組的解集 .
知3－練
感悟新知
解：解不等式①，得 x> .解不等式②，得 x ≤ 4.
在數軸上表示不等式①和②的解集，如圖 7.3 -5.
由數軸可知這兩個不等式解集的公共部分是 所以原不等式組的解集是(1)
知3－練
感悟新知
解： －1< ≤ 5 可轉化為不等式組解不等式①，得 x>－ .
解不等式②，得 x ≤ .
(2) － 1< ≤ 5.
另解
－2<3x－1 ≤ 10，
－1<3x ≤ 11，
－ 知3－練
感悟新知
在數軸上表示不等式①和②的解集，如圖 7.3 -6.
由數軸可知這兩個不等式解集的公共部分是－ 所以原不等式組的解集為 － 知3－練
感悟新知
[母題 教材P48復習題B組T3]解不等式組并求出該不等式組的整數解 .
例5
知3－練
感悟新知
解題秘方：先求出不等式組的解集，然后在解集中取特殊解 .
解法提醒
利用數軸找不等式組整數解的步驟：
1. 解不等式組；
2. 將不等式組的解集在數軸上表示出來；
3. 觀察解集在數軸上的區間范圍；
4. 確定其整數解 .
知3－練
感悟新知
解：解不等式①，得 x<3.
解不等式②，得 x ≥ －1.
不等式①和②的解集在數軸上的表示如圖 7.3 -7 所示 .
所以該不等式組的解集為 －1 ≤ x<3.
所以該不等式組的整數解為 －1，0，1，2.
知3－練
感悟新知
已知不等式組 的解集為－ 3求( a+b) 2 026的值 .
例6
知3－練
感悟新知
解題秘方：先解關于 x 的不等式組得到其解集，然后根據不等式組解集的意義，結合已知條件，得到關于 a， b 的二元一次方程組，求得 a， b 的值 .
知3－練
感悟新知
解：解不等式， 得 x>2+a.
解不等式， 得 x因為不等式組的解集為 － 3所以 解得
所以( a+b) 2 026=( － 5+4) 2 026=(－ 1) 2 026=1.
知3－練
感悟新知
詳解
因為 有解集，
所以2+a又因為 －3所以
知3－練
感悟新知
若不等式組 有解， 則 a 的取值范圍是________ .
例7
a> － 1
知3－練
感悟新知
方法點撥
根據不等式組的解的情況求字母的取值范圍的方法：
先求出不等式組中每個不等式的解集，然后結合已知條件，利用數軸得到關于未知字母的關系式，即可解決問題 .
知3－練
感悟新知
解題秘方：先解不等式組中的兩個不等式，再根據不等式組有解確定字母的取值范圍 .
解：解不等式，得 x ≥ － a.
解不等式，得 x<1.
因為不等式組 有解，
所以由“大小小大中間找”得 － a<1. 所以 a> － 1.
感悟新知
知4－講
知識點
一元一次不等式組的應用
4
基本步驟： 審→設→列→解→驗→答(與列一元一次不等
式相同) .
感悟新知
知4－講
(1)審： 認真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的不等關系；
(2)設： 恰當地設未知數；
(3)列： 依據題中的不等關系列出不等式組；
(4)解： 解不等式組，求出解集；
(5)驗： 檢驗所求得的解集是否符合題意和實際意義；
(6)答： 寫出答案 .
感悟新知
知4－練
在保護地球愛護家園的活動中，校團委把一批樹苗
分給八(1)班同學去栽種 . 如果每人分 2 棵，還剩 42 棵；如果前面每人分 3 棵，那么最后 1 人得到的樹苗少于 5 棵(但至少分得 1 棵) .
例8
等量關系
2× 八(1)班的人
數 +42= 樹苗棵數 .
不等關系
1 ≤最后 1 人分
得的樹苗棵數 <5.
知4－練
感悟新知
解題秘方：用式子表示最后 1 人得到的樹苗棵數并根據最后 1 人得到的樹苗棵數的范圍列不等式組 .
知4－練
感悟新知
解法提醒
1. 尋找等量關系與不等關系,其中不等關系的常見詞語，如“不超過”“不少于”或某一范圍等；
2.建立不等式的模型；
3. 求出解集；
4. 利用未知數的實際意義確定其特殊解.
感悟新知
知4－練
(1)設八(1)班有 x 名同學，則這批樹苗有多少棵？ (用含 x 的式子表示)
解：這批樹苗有(2x+42)棵 .
感悟新知
知4－練
(2) 八(1)班至少有多少名同學？最多有多少名同學？
解：根據題意，得 1 ≤ 2x+42－3(x－1) <5.
解這個不等式組，得 40答：八(1)班至少有 41 名同學，最多有 44 名同學 .
感悟新知
知4－練
某房地產開發公司計劃建 A、 B 兩種戶型的住房共 80套 . 該公司所籌資金不少于 2 090 萬元，但不超過 2 096 萬元，且所籌資金全部用于建房 . 兩種戶型的建房成本和售價如下表：
例9
A 型 B 型
成本 /(萬元 / 套) 25 28
售價 /(萬元 / 套) 30 34
知4－練
感悟新知
解題秘方：根據題中揭示的不等關系列出不等式組， 在解集中找出其特殊解 .
知4－練
感悟新知
解法提醒
求實際問題中方案的種類或最大值(最小值)問題的方法：
常通過求不等式組的解集，分類討論找出答案，即先根據題意，設出未知數，列出不等式組，求出相應的取值范圍，再根據題目的條件分類討論，寫出答案 .
感悟新知
知4－練
(1)該公司有哪幾種建房方案？
解：設建 A 型住房 x 套，則建 B 型住房(80－x)套 .
根據題意，得 解得 48 ≤ x ≤ 50.
因為 x 為整數，所以 x=48 或 49 或 50.
所以有三種建房方案：方案一： A 型 48 套， B 型 32 套；
方案二： A 型 49 套， B 型 31 套；
方案三： A 型 50 套， B 型 30 套 .
感悟新知
知4－練
(2)該公司如何建房可獲得最大利潤？
解：第一種方案獲利：
48×(30 － 25) +32×(34 － 28) =432(萬元)；第二種方案獲利：49×(30 － 25) +31×(34 － 28) =431(萬元)；
第三種方案獲利：50×(30 － 25)+30×(34 － 28) =
430(萬元) .
所以該公司按方案一建房可獲得最大利潤 .
一元一次
不等式組
解法
應用
一元一次
不等式組
定義
解集(共36張PPT)
7.1 不等式及其基本性質
第七章 一元一次不等式與不等式組
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
不等式
不等式的解與解集
不等式的解集的表示方法
不等式的基本性質
知1－講
感悟新知
知識點
不等式
1
1. 定義 用不等號( >， ≥， <， ≤ 或≠)表示不等關系的式子叫作不等式 .
感悟新知
知1－講
特別提醒
1. 判斷一個式子是否為不等式，關鍵是看所給式子是否含不等號；
2. 不等號具有方向性，不等號兩邊的數(或式子)不能隨意交換 .
感悟新知
2. 基本的表達形式 (1) 常見的不等號：
知1－講
符號 名稱 實際意義 讀法 舉例
＜ 小于號 小于、不足 小于 3+2 ＜ 6
＞ 大于號 大于、高出 大于 3+3 ＞ 5
≤ 小于或等于號 不大于、不超過、至多 小于或等于 x ≤ 8
≥ 大于或等于號 不小于、不低于、至少 大于或等于 x ≥ 5
≠ 不等于號 不相等 不等于 4 ≠ 5
感悟新知
(2) 常見的不等式基本語言與符號表示：
① a 是正數表示為 a>0， a 是負數表示為 a<0；
② a 是非負數表示為 a ≥ 0， a 是非正數表示為 a ≤ 0；
③ a， b 同號表示為 ab>0， a， b 異號表示為 ab<0.
知1－講
知1－練
感悟新知
判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既
不是等式也不是不等式 .
(1) x+y；(2)3x>7； (3) 5=2x+3； (4) x2>0；
(5) 2x－3y=1；(6)5÷ 2；(7)2>3.
例1
知1－練
感悟新知
解題秘方：緊扣等式、不等式的定義進行識別，關鍵是看式子是否含有等號或不等號 .
特別警示
判斷一個式子是否為不等式與不等式是否成立沒有關系 .
例如，例題中的“2>3”，雖然這個式子不成立，但它是不等式 .
知1－練
感悟新知
解：等式是(3)(5)，不等式是(2)(4)(7)，既不是等式也不是不等式的是(1)(6) .
知1－練
感悟新知
[母題 教材P32習題T1]用不等式表示：
(1) a 的一半與 3 的和大于 5；
(2) x 的 3 倍與 1 的差小于 2；
(3) a 的 與 1 的差是正數；
(4) m 與 2 的差是負數 .
例2
知1－練
感悟新知
解題秘方：緊扣不等關系中的關鍵詞語列出不等式 .
解法提醒
用不等式表示不等關系時，一定要抓住關鍵詞語，弄清不等關系，把用文字語言描述的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式 .
知1－練
感悟新知
解：(1) a+3>5. (2)3x－1<2.
(3) a－1>0. (4) m－2<0.
感悟新知
知2－講
知識點
不等式的解與解集
2
1. 不等式的解 一般地，能夠使不等式成立的未知數的 值，叫作這個不等式的解 .
判斷一個數是否為不等式的解，就是將這個數代替不
等式中的未知數，看不等式是否成立 . 若成立，則該數就是不等式的一個解；若不成立，則該數就不是不等式的解 .
感悟新知
知2－講
2. 不等式的解集 所有不等式的解的全體稱為這個不等式的解集 .
特別提醒： 不等式的解集必須符合兩個條件：
(1)解集中的每一個數值都能使不等式成立；
(2)能夠使不等式成立的所有數值都在解集中 .
知2－講
感悟新知
特別解讀
不等式的解與不等式的解集的區別與聯系：
區別：不等式的解集是能使不等式成立的未知數的所有取值，是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知數的值 .
聯系：解集包括所有的解，所有的解組成了解集 .
感悟新知
知2－練
下列四種說法中正確的有( )
① x=1 是不等式 4x－5>0 的一個解；
② x=2 是不等式 4x－5>0 的一個解；
③ x>1 是不等式 4x－5>0 的解集；
④ x>2 是不等式 4x－5>0 的解集 .
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
例3
知2－練
感悟新知
解題秘方：緊扣不等式的解及解集的定義，以及它們的區別與聯系進行辨析 .
知2－練
感悟新知
解：①將 x=1 代入不等式左邊，得左邊等于 －1，
不等式不成立，
所以 x=1 不是這個不等式的解；
②將 x=2 代入不等式左邊，得左邊等于 3，3>0，
所以 x=2 是這個不等式的一個解；
③ x=1.1 滿足 x>1，但 當 x=1.1 時，4x－5=－0.6<0，不等式不成立，
所以 x>1 不是不等式 4x－5>0 的解集；
④盡管 x>2 中的任何一個數都可以使不等式 4x－5>0 成立，但這個范圍并不包含這個不等式所有的解，
所以 x>2 不是該不等式的解集 .
答案：A
知2－練
感悟新知
方法點撥
識別不等式的解與解集的方法：
代入不等式，能使不等式成立的未知數的值就是不等式的解；所有不等式的解的集合為不等式的解集 .
注意如果一個范圍不包括不等式所有的解或包括有使不等式不成立的數，那么這個范圍就不是不等式的解集 .
感悟新知
知3－講
知識點
不等式的解集的表示方法
3
在數軸上表 示不等式的解 集 不等式的解集表示的是未知數
的取值范圍， 所以不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出
來 .一般地，利用數軸表示不等式的解集通常有以下四種情況
(設 a>0)：
感悟新知
知3－講
不等式的解集 x > a x ≥ a x < a x ≤ a
數軸表示
知3－講
感悟新知
特別提醒
用數軸表示解集的一般方法：
1. 畫數軸；
2. 定界點，注意界點是實 心點，還是 空心圓圈；
3. 定方向，原則是“小于向左，大于向右”.
知3－練
感悟新知
在數軸上表示下列不等式的解集：
(1) x>－1； (2) x ≤ 1.
例4
解題秘方：根據在數軸上表 示 解 集的方 法，確定界點以及方向 .
解：(1)如圖 7.1-1.
(2)如圖 7.1-2.
知3－練
感悟新知
特別提醒
因為 x>－1無等號，所以把表示 －1 的點畫成空心圓圈 .
因為x≤1有等號，所以把表示1的點畫成實心點 .
感悟新知
知4－講
知識點
不等式的基本性質
4
1. 性質 1 不等式的兩邊都加上(或減去) 同一個數(或式子)，不等號的方向不變 . 即如果 a>b，那么 a ＋ c>b ＋ c，a － c>b － c.
感悟新知
知4－講
2. 性質 2 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變 . 即如果 a>b， c>0，那么 ac>bc， > .
感悟新知
知4－講
3. 性質 3 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變 . 即如果 a>b， c<0，那么 ac4. 性質 4 如果 a>b，那么 b5. 性質 5 如果 a>b， b>c，那么 a>c.
感悟新知
知4－講
6. 不等式的基本性質與等式的基本性質的關系
不同點 相同點
不等式的基本性質 兩邊乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向要改變 兩邊加上(或減去)同一個數(或式子)，不等式和等式仍成立；
(2) 兩邊乘以(或除以)同一個正數，不等式和等式都仍成立
等式的基本性質 兩邊乘以(或除以)同一個負數，等式仍然成立
知4－講
感悟新知
特別解讀
1. 不等式的五條基本性質是不等式變形的依據，運用不等式的基本性質時，不等式的兩邊要同時進行相同的變形 .
2. 利用不等式的基本性質時，要注意判斷利用的是不等式的哪條基本性質，不等號的方向是否要改變 .
感悟新知
知4－練
[母題 教材P32練習T2]若 x>y，則下列式子中錯誤的是( )
A. x－3>y－3
B. >
C. x+3>y+3
D. －3x>－3y
例5
解題秘方：認清每個選項變形的方式，緊扣不等式的基本性質進行解答 .
知4－練
感悟新知
解：分析如下表：
答案： D
將 x>y 變形 依據 結論
兩邊同時減 3，得 x－3>y－3 不等式的基本性質 1 A 正確
兩邊同時除以 3，得 > 不等式的基本性質 2 B 正確
兩邊同時加 3，得 x+3>y+3 不等式的基本性質 1 C 正確
兩邊同時乘以 －3，得 －3x<－3y 不等式的基本性質 3 D 錯誤
知4－練
感悟新知
方法點撥
辨析由一個不等式變形到另一個不等式的方法：
先判斷出第二個不等式是由第一個不等式經過怎樣的變形得到的，再確定出每一步變形的依據，最后確定不等號是否改變方向 .
感悟新知
知4－練
[母題 教材P49復習題C組T1]若關于 x 的不等式( m－2) x>m－2 化簡為 x<1，求m 的取值范圍 .
例6
知4－練
感悟新知
解題秘方：根據運用不等式的基本性質得到的結果，識別變形的條件 .
解：因為關于 x 的不等式( m－2) x>m－2 化簡為 x<1，
所以 m－2<0，即 m<2.
知4－練
感悟新知
方法點撥
判斷不等式兩邊乘以（或除以）的同一個數的符號時，只需看不等號的方向是否改變，若不變，則這個數為正數；若改變，則這個數為負數 .
不等式及其基本性質
不等式
解不
等式
不等式的
基本性質
性質1
性質3
性質2
作用
性質5
性質4
內容(共35張PPT)
7.2 一元一次不等式
第七章 一元一次不等式與不等式組
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
一元一次不等式
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的實際應用
知1－講
感悟新知
知識點
一元一次不等式
1
1. 定義 含有一個未知數，未知數的次數是 1且不等號兩邊都是整式的不等式叫作一元一次不等式 .
一元一次不等式的“三要素”：
(1)不等號的兩邊都是整式；
(2)只含一個未知數；
(3)未知數的次數是 1.
感悟新知
知1－講
特別警示
1.判斷一個不等式是否為一元一次不等式，有時需要化簡整理后再判斷 .
2.只含有一個未知數，隱含著未知數的系數不為零，即化成最簡形式ax>b(ax ≥ b)，或ax感悟新知
2. 一元一次不等式與一元一次方程的相同點與不同點
知1－講
一元一次方程 一元一次不等式
相同點 未知數個數 1 1
未知數次數 1 1
式子特點 等號兩邊均為整式 不等號兩邊均為整式
不同點 表示關系 相等 不等
知1－練
感悟新知
下列不等式中，是一元一次不等式的有( )
(1) x 2+1>2 x；(2) +2>0；(3) x>y；(4) ≤ 1.
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
例1
知1－練
感悟新知
解：(1)中未知數的最高次數是 2，故不是一元一次不等式；
(2)中左邊不是整式，故不是一元一次不等式；
(3)中有兩個未知數，故不是一元一次不等式；
(4)是一元一次不等式 .
解題秘方：緊扣一元一次不等式的“三要素”去識別 .
答案：A
知1－練
感悟新知
方法點撥
判斷一個不等式是否為一元一次不等式的方法：
先對所給不等式進行化簡整理，再看是否滿足一元一次不等式的 “三要素”，同時要注意：化簡后未知數的次數是1 且系數不為 0.
感悟新知
知2－講
知識點
一元一次不等式的解法
2
1. 解不等式 求不等式的解集的過程叫作解不等式 .
2.解一元一次不等式，要根據不等式的基本性質，將不等式逐步化為 xa( x ≥ a)的形式 . 解一元一次不等式的步驟如下：
去分母→去括號→移項→合并同類項→系數化為 1.
知2－講
感悟新知
特別提醒
解一元一次不等式時，五個步驟不一定都要用到，并且不一定都要按照這個順序求解，應根據不等式的特點靈活求解 .
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3. 解一元一次不等式與解一元一次方程的區別與聯系
一元一次方程 一元一次不等式
解法 步驟 ①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為 1.(解不等式時，去分母、系數化為 1 時，若兩邊同時乘(或除以)一個負數，不等號的方向改變) 依據 等式的基本性質 不等式的基本性質
解的個數 只有一個解 有無數個解
解(集)的 形式 x=a xa(x ≥ a)
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解不等式： x－ +1 ≥ ，并把解集在數軸上表示出來 .
例2
解題秘方：先根據解一元一次不等式的步驟求出解集，然后在數軸上表示出解集 .
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解：去分母，得 14x－7(3x－8) +14 ≥ 4(10－x) .
去括號，得 14x－21x+56+14 ≥ 40－4x.
移項，得 14x－21x+4x ≥ 40－56－14.
合并同類項，得 －3x ≥ －30.
系數化為 1， 得 x ≤ 10.
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖 7.2-1 所示 .
注意改變不等號方向 .
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方法點撥
解一元一次不等式時，有兩步可能會改變不等號的方向：
其一，去分母；其二，系數化為1.
為了使問題更加簡便，可以在“去分母”這一步里，兩邊同乘一個正數，這樣，使“改變不等號方向” 的問題落到“系數化為 1”這一步，由于要注意的只有這一步，因此就不容易出錯了 .
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已知不等式 ( x－m) >3－m 的解集為 x>1，則 m的值為 _________.
例3
解題秘方：先用含 m 的式子表示出不等式的解集，再根據已知條件列出關于 m 的方程，求解即可 .
4
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解： ( x－m) >3－m，去分母，得 x－m>3(3－m)，
去括號，得 x－m>9－3m.
移項、合并同類項，得 x>9－2m.
因為不等式的解集為 x>1，
所以 9－2m=1，解得 m=4.
詳解
因為 x>9－2m 與x>1 表示同一個不等式的解集，所以9－2m=1.
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當 x 取何正整數時，式子的值不大于的值？
例4
解題秘方：先根據題意列出不等式，再解不等式 .
方法點撥
求滿足不等關系式子成立時的字母的值或取值范圍時，其關鍵是列出正確的不等式 .
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解：根據題意，得 ≤ .
去分母，得 3(x － 2)≤ 2(7 － x) .
去括號，得 3x － 6 ≤ 14 － 2x.
移項、合并同類項，得 5x ≤ 20.
系數化為 1，得 x ≤ 4，則不等式的正整數解為 1，2，3，4.
所以當 x 取 1，2，3，4 時，式子的值不大于的值 .
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知識點
一元一次不等式的實際應用
3
有些實際問題中存在不等關系，用不等式來表示這樣的
關系，就能把實際問題轉化為數學問題，從而通過解不等式
得到實際問題的解 .
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列不等式解決實際問題的步驟
(1) 審： 認真審題，找出已知量和未知量，并找出它們之間的關系；
(2) 設： 設出適當的未知數；
(3) 列： 根據題中的不等關系列出不等式；
(4) 解： 解不等式，求出其解集；
(5) 驗： 檢驗所求出的不等式的解集是否符合題意；
(6)答： 寫出答案 .
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警示誤區
1. 設未知數時，表示不等關系的文字(如至少或最多)不能寫；
2.檢驗時，要注意實際問題中的隱含條件，結果必須是不等式的解，且要符合實際意義 .
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[模擬·六安 ]為提升學生身體素質，某校組織了“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共 16 個班級參加．投籃得分規則：在三分線外投籃，投中一球可得 3 分，在三分線內(含三分線) 投 籃投中一球可得 2 分，某班級 在其中一場比賽中，共投中 26個球(只有 2 分球 和 3 分球)．所得總分不少于 56 分，該班級這場比賽中至少投中了多少個 3 分球？
例5
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解題秘方：分析題中的不等關系列出不等式解決問題 .
特別提醒
隱含的不等關系：
3 分球的得分與 2分球的得分的和不小于56 分.
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解：設該班級這場比賽中投中了 x 個 3 分球，
根據題意，得 3x+2(26－x)≥ 56，
解得 x ≥ 4.
答： 該班級這場比賽中至少投中了 4 個 3 分球 .
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創建文明城市，構建美好家園 . 為提高居民垃圾分類
意識，幸福社區決定采購 A， B 兩種型號的新型垃圾 桶 . 若購買 3 個 A 型垃圾 桶和 4 個 B 型垃圾 桶共需要 580 元，購買 6個 A 型垃圾桶和 5 個 B 型垃圾桶共需要 860 元 .
(1)求兩種型號垃圾桶的單價；
(2)若需購買 A， B 兩種型號的垃圾桶共 200 個，總費用不超過 15 000 元，至少需購買 A 型垃圾桶多少個？
例6
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解題秘方：先根據題中的等量關系列出方程組，求出題目中關鍵的未知量，再根據不等關系列出不等式解決問題 .
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(1)求兩種型號垃圾桶的單價；
解：設A，B兩種型號垃圾桶的單價分別為x元和y元，
由題意，得 解得
答： A， B 兩種型號垃圾桶的單價分別為 60 元和 100 元 .
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(2) 若需購買 A， B 兩種型號的垃圾桶共 200 個，總費用不超過 15 000 元，至少需購買 A 型垃圾桶多少個？
解：設購買 A 型垃圾桶 a 個，則購買 B 型垃圾桶(200－a)個，
由題意，得 60a+100(200－a) ≤ 15 000，
解得 a ≥ 125.
答：至少需購買 A 型垃圾桶 125 個 .
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方法點撥
運用方程組或不等式解決實際問題時，從實際問題中發現相等關系或不等關系，通過方程組模型或不等式模型解決實際問題 . 列不等式解應用題時，首先要審題，找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為未知數，然后用含未知數的式子表示相關的量，找出不等關系列不等式、求解、作答，即審、設、列、解、驗、答 .
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某校組織學生參加周末郊游活動 . 甲旅行社說：“只要一名學生買全票，那么其余學生可享受半價優惠 .”乙旅行社說：“全體學生都可按 6 折優惠 .”已知每張全票價為 240 元 .
(1)設學生數為 x 人，甲旅行社收費為 y 甲元，乙旅行社收費為 y 乙元，用含 x 的式子表示出 y 甲與 y 乙；
(2)討論哪一家旅行社更優惠 .
例7
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(1)設學生數為 x 人，甲旅行社收費為 y 甲元，乙旅行社收費為 y 乙元，用含 x 的式子表示出 y 甲與 y 乙；
解：y 甲=240+240×0.5( x－1) =120x+120，
y 乙=240×0.6x=144x.
解題秘方：根據題意直接列式、 化簡即可；
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(2)討論哪一家旅行社更優惠 .
解題秘方：分三種情況討論： y 甲>y 乙， y 甲=y 乙， y 甲知3－練
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解法提醒
當一個問題有多種可能的情況時，需要分情況討論出所有可能的結果，體現了分類討論思想 .
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解：當 y 甲>y 乙時，120x+120>144x，解得 x<5.
所以當學生數少于 5 人時，乙旅行社更優惠 .
當 y 甲=y 乙時，120x+120=144x，解得 x=5.
所以當學生數正好為 5 人時，兩家旅行社一樣優惠 .
當 y 甲5.
所以當學生數超過 5 人時，甲旅行社更優惠 .
一元一次不等式
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一元一次
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應用
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