資源簡介

(共41張PPT)
6.2 無理數(shù)和實數(shù)
第六章 實 數(shù)
逐點
導講練
課堂小結(jié)
作業(yè)提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
無理數(shù)
實數(shù)的概念及分類
實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系
實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值
實數(shù)的運算
實數(shù)的大小比較
知識點
無理數(shù)
知1－講
感悟新知
1
1. 定義 無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).
判斷標準：小數(shù)位數(shù)無限，小數(shù)形式為不循環(huán).
知1－講
感悟新知
2. 三種常見形式
(1)開方開不盡的數(shù)，如 ， ，…；
(2)含有π 的一類數(shù)，如 π， π，π+1，…；
(3)以無限不循環(huán)小數(shù)的形式出現(xiàn)的特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.101 001 000 1…(每相鄰兩個1 之間依次多一個0).
知1－講
感悟新知
3. 無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別
(1)有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；
(2)所有的有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式(整數(shù)可以看成分母為 1 的分數(shù))，而無理數(shù)不能寫成分數(shù)的形式.
知1－講
感悟新知
特別警示
1. 無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定都是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù) . 例如：0. 是無限小數(shù)，但不是無理數(shù) .
2. 某些數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)，但帶根號的數(shù)不一定都是無理數(shù) . 例如 ， 就不是無理數(shù) .
感悟新知
知1－練
下列各數(shù)：3.141 59，－ ，0.131 131 113…(每相鄰兩個3 之間依次多一個1)，π－5， +1，－ 中，無理數(shù)有( )
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
例1
感悟新知
知1－練
解：因為3.141 59 是有限小數(shù)，所以3.141 59是有理數(shù)；因為－ =－2，所以－ 是有理數(shù).
因為0.131 131 113…(每相鄰兩個3 之間依次多一個1)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以0.131 131 113…(每相鄰兩個3 之間依次多一個1)是無理數(shù).因為π 是無理數(shù)，所以π－5 是無理數(shù).因為是無理數(shù)，所以 +1 是無理數(shù).因為－ 是分數(shù)，所以－ 是有理數(shù).
答案： C
知1－練
感悟新知
特別警示
1. 對有理數(shù)和無理數(shù)進行區(qū)分時，應先對某些數(shù)進 行計算或化簡，然后根據(jù)最后結(jié)果進行分類，不能僅看到用根號表示的數(shù)就認為是無理數(shù) .
2. π是無理數(shù)，化簡后含π 的數(shù)也是無理數(shù) .
知識點
實數(shù)的概念及分類
知2－講
感悟新知
2
定義 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
特別解讀：(1)在實數(shù)范圍內(nèi)，如果一個數(shù)不是有理數(shù)，那么它一定是無理數(shù)，反之亦成立.
(2) 引入無理數(shù)后，數(shù)的范圍由原來的有理數(shù)擴大到實數(shù)，今后我們解決問題時，若沒有特殊說明，就應在實數(shù)范圍內(nèi)進行.
知2－講
感悟新知
2. 分類： (1)按定義分類：
實數(shù)
知2－講
感悟新知
(2)按性質(zhì)分類：
實數(shù)
知2－講
感悟新知
特別提醒
1.實數(shù)的分類有不同的方法，但不論用哪一種分類的方法，都要按同一標準，做到不重復不遺漏；
2.0 既不是正實數(shù)也不是負實數(shù) .
3.對實數(shù)進行分類時，某些數(shù)應先進行計算或化簡，然后根據(jù)最后結(jié)果進行分類 . 不能看到帶根號的數(shù)，就認為是無理數(shù)，也不能看到有分數(shù)線的數(shù)，就認為是有理數(shù).
感悟新知
知2－練
[母題 教材P12練習T1]把下列各數(shù)填入相應的括號內(nèi)：
－ ， － ， ， ， － ，0， －π， － ， － 4.201，3.101 001 000 1…(每相鄰兩個 1 之間 0 的個數(shù)逐次加 1) .
例2


知2－練
感悟新知
解法提醒
判斷一個實數(shù)的屬性(如有理數(shù)、無理數(shù))應遵循：
一化簡， 二辨析，三判斷 .
所有的有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能化成無限不循環(huán)小數(shù) .
2. 要注意將 “3.101 001 000 1” 與“3.101 001 000 1… (每相鄰兩個 1 之間0 的個數(shù)逐次加 1)” 區(qū)別開，前者是有限小數(shù)，是有理數(shù)；后者是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù) .
3. 判斷時要看結(jié)果，不要看表面形式，如 － =2 是 有理數(shù)，而不是無理數(shù).
感悟新知
知2－練
有理數(shù)：{ }；
無理數(shù)：{
}；


解題秘方：根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)等概念進行分類時，應注意先把一些數(shù)進行化簡，再進行判斷，如－ =2.
－ ， ， － ，0， － ， － 4.201
－ ， ， －π， 3.101 001 000 1…(每相鄰兩個 1 之間 0 的個數(shù)逐次加 1)
感悟新知
知2－練
整數(shù)：{ }；
分數(shù)：{ }；
正實數(shù)：{
}；
負實數(shù)：{ }.


－ ，0
－ ， ， － ， － 4.201
， ， － ，3.101 001 000 1…(每相鄰兩個 1 之間 0 的個數(shù)逐次加 1)
－ ， － ， －π， － ， － 4.201


知識點
實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系
知3－講
感悟新知
3
實數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應 .
(1)“一一對應”包含兩層含義：
①每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；
②數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).
(2)數(shù)軸上兩點間的距離可用兩點所表示的實數(shù)來表示，即點A，點B 在數(shù)軸上表示的數(shù)為x1，x2，則AB=|x1－x2|.
知3－講
感悟新知
特別提醒
在數(shù)軸上表示無理數(shù)時，一般只能通過估算標出其近似位置；
借助數(shù)軸上的點可以把實數(shù)直觀地表示出來，數(shù)軸上的任意一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)就是無理數(shù).
感悟新知
知3－練
如圖 6.2-1，在數(shù)軸上方作一個 4× 4 的網(wǎng)格
(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為 1)，依次連接格點 A， B， C， D，得到一個新的正方形，點 A 落在數(shù)軸上，用圓規(guī) 在點 A 左側(cè) 的數(shù)軸上 取一點 E，使 AE=AB，若點 A 在原點上，則點 E 表示的
數(shù)是 __________.
例3
解題秘方：根據(jù)正方形的面積求出 AB 的長，再根據(jù)數(shù)軸與實數(shù)的對應關(guān)系求解即可 .
-
感悟新知
知3－練
解：由圖 6.2-1 可得正方形 ABCD 的面積 = ×4×4=8，
所以正方形 ABCD 的邊長 AB= .
因為 AE=AB，且點 E 在原點的左側(cè)，
所以點 E 表示的數(shù)是 － .
知3－練
感悟新知
方法點撥
利用正方形的邊長在數(shù)軸上表示無理數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格求出正方形的面積，面積的算術(shù)平方根即為正方形的邊長，再在數(shù)軸上截取等于正方形邊長的線段，即可表示無理數(shù).同有理數(shù)一樣，原點左側(cè)為負無理數(shù)，原點右側(cè)為正無理數(shù) .
知識點
實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值
知4－講
感悟新知
4
在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義與在有理數(shù)范圍內(nèi)完全一樣 .
1.相反數(shù)： 實數(shù) a 的相反數(shù)為－ a，若 a， b 互為相反數(shù)，則 a+b=0；
2.倒數(shù)： 非零實數(shù) a 的倒數(shù)為，若 a， b 互為倒數(shù)，則 ab=1；
3.絕對值： |a|=
知4－講
感悟新知
特別提醒
對實數(shù)的有關(guān)概念進行辨析時，錯誤的說法只需舉一個反例即可 .
感悟新知
知4－練
[母題 教材P13例1]求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值.
(1) ；(2) － ；(3) ；(4)3－π.
解題秘方：利用實數(shù)的相關(guān)概念求相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值.
例4
解： 的相反數(shù)是－ ，倒數(shù)是，絕對值是.
感悟新知
知4－練
解： － 的相反數(shù)是 ，倒數(shù)是－ ，絕對值是.
(2) － ；
(3) ；
(4)3－π .
=，則它的相反數(shù)是－，倒數(shù)是，絕對值是 .
3－π的相反數(shù)是 π － 3，倒數(shù)是 ，絕對值是π － 3 .
知4－練
感悟新知
方法點撥
1. 求一個數(shù)的相反數(shù)，就是在這個數(shù)前面添上“-” .
2. 求一個數(shù)的絕對值時， 首先要判斷所求數(shù)的符號，然后根據(jù) “正數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0 的絕對值等于 0” 寫出這個數(shù)的絕對值.
知識點
實數(shù)的運算
知5－講
感悟新知
5
1. 實數(shù)和有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數(shù)及零可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算 .有理數(shù)的運算法則和運算律對于實數(shù)仍然適用 . 實數(shù)混合運算的運算順序與有理數(shù)混合運算的運算順序一樣，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算按照自左向右的順序進行，有括號的先算括號里面的 .
知5－講
感悟新知
2. 實數(shù)的運算律
加法交換律：a+b=b+a；
加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+ (b+c)；
乘法交換律：ab=ba；
乘法結(jié)合律： (ab)c=a (bc)；
乘法分配律： (a+b)c=ac+bc.
知5－講
感悟新知
特別提醒
有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，在進行實數(shù)運算的過程中，要做到：
一“看”——看算式的結(jié)構(gòu)特點，能否運用運算律或公式；
二“用”——運用運算律或公式；
三“查”——檢查過程和結(jié)果是否正確.
感悟新知
知5－練
[母題 教材P14例2]計算：
(1)+2.34－π(精確到 0.1)；
(2)( + ) ×( －1)(精確到 0.01)；
(3)( + + )× .
例5
解題秘方：在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.
感悟新知
知5－練
(1)+2.34－π(精確到 0.1)；
解： +2.34－π ≈ ×2.24+2.34-3.14 ≈ 0.3.
感悟新知
知5－練
解： ( + ) ×( －1)≈(1.732+2.236)×(1.414－1)
=3.968×0.414 ≈ 1.64.
(2)( + ) ×( －1)(精確到 0.01)；
(3)( + + )× .
( + + )×= (－ 6+ +4 )×10=
－ 0.5×10= － 5.
感悟新知
知5－練
特別提醒
實數(shù)的運算順序同有理數(shù)的運算順序 . 實數(shù)運算中，無理數(shù)可選取近似值轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，中間結(jié)果所取的近似值要比結(jié)果要求的近似值多一位小數(shù) .
感悟新知
知6－講
知識點
實數(shù)的大小比較
6
1. 利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小 對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大 .
感悟新知
知6－講
2. 利用法則比較實數(shù)的大小
正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù) .
兩個正數(shù) , 絕對值大的數(shù)較大 .
兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小 .
知6－講
感悟新知
知識拓展
比較實數(shù)大小的其他方法：
作差法；作商法；
倒數(shù)法；乘方法；
比較被開方數(shù)；估算法等 .
感悟新知
知6－練
[母題 教材P14例3]用“<”號連接下列各數(shù)：
－ ， ，－2 ，2.5，0.
例6
解題秘方：先將所給的一組數(shù)在數(shù)軸上表示出來，然后根據(jù) “在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大”求解.
感悟新知
知6－練
解：將各數(shù)的大致位置在數(shù)軸上表示出來，如圖 6.2-2所示 .
由圖 6.2-2 可知， －2 ＜ － ＜ 0＜ ＜2.5.
知6－練
感悟新知
方法點撥
根據(jù)“實數(shù)與數(shù)軸上的點是一 一對應的”，并且“在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大”，我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想比較實數(shù)的大小 .
課堂小結(jié)
無理數(shù)和實數(shù)
實數(shù)
數(shù)軸
性質(zhì)
運算
有理數(shù)
無理數(shù)
定義(共44張PPT)
6.1 平方根、立方根
第六章 實 數(shù)
第1課時
平方根
逐點
導講練
課堂小結(jié)
作業(yè)提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
平方根及其性質(zhì)
算術(shù)平方根
用計算器求一個正數(shù)的算術(shù)平方根
知1－講
感悟新知
知識點
平方根及其性質(zhì)
1
1.平方根的定義
一般地，如果一個數(shù)的平方等于 a，那么這個數(shù)叫做a 的平方根. 這就是說，如果 x2=a，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正數(shù)a的平方根記為± ， 表示正數(shù) a 的正的平方 根，讀作“根號 a”，－ 表示正數(shù) a 的負的平方根 . a 叫作被開方數(shù) .
感悟新知
知1－講
特別解讀
1. 平方根的定義中a 是非負數(shù)， 即a ≥ 0.
2. “ ”是“ ”的簡寫，其中 2 是根指數(shù)，通常省略不寫.
感悟新知
2. 平方根的性質(zhì)
(1)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；
(2) 0 的平方根是 0；
(3)負數(shù)沒有平方根 .
知1－講
知1－練
感悟新知
例1
[母題 教材P3例1]求下列各數(shù)的平方根：
(1)121；(2)2 ； (3) －(－4)3.
解題秘方：先根據(jù)平方運算找出平方等于這個數(shù)的數(shù)，然后根據(jù)平方根的定義確定.
知1－練
感悟新知
解：因為(±11) 2=121，所以 121 的平方根是 ±11.
(1)121
(2)2
2= ，因為 ± () 2= ，
所以 2的平方根是 ± .
知1－練
感悟新知
解： －(－4)3=64，因為(±8) 2=64，
所以 －(－4)3的平方根是 ±8.
(3) －(－4)3
知1－練
感悟新知
方法點撥
求一個正數(shù)的平方根的方法：
先找出平方等于這個正數(shù)的數(shù)，這樣的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，因而這兩個數(shù)均為這個正數(shù)的平方根；
如果一個數(shù)為帶分數(shù)，一般先將其化為假分數(shù)，再求平方根； 如果有平方或立方運算，那么先用平方運算求出結(jié)果，針對結(jié)果再求平方根.
如果這個正數(shù) a 不 能寫成有理數(shù)的平方的形式， 那么可以將 a 的平方根表示成 ± .
知1－練
感悟新知
(1)一個正數(shù)的兩個平方根分別是 2a － 1 和 a － 5，則這個正數(shù)是多少？
例2
解：根據(jù)題意，得(2a－1) +( a－5) =0，解得 a=2.
所以這個正數(shù)為(2a－1)2=(2×2－1) 2=9.
解題秘方：根據(jù)平方根的性質(zhì)，找出兩個平方根之間的關(guān)系列方程求值 .
知1－練
感悟新知
(2)已知 2a－1 與－a+2 是 m 的平方根，求 m 的值 .
解：根據(jù)題意，分以下兩種情況：
當 2a－1=－a+2 時， a=1，
所以 m=(2a－1) 2=(2×1－1) 2=1；
當(2a－1) +(－a+2) =0 時， a=－1，
所以 m=(2a－1) 2=［2×(－1) －1］ 2=(－3) 2=9.
故 m 的值為 1 或 9.
知1－練
感悟新知
解法提醒
(1)正數(shù)有兩個平方 根， 它們互為相反數(shù)， 據(jù)此列方程先求出 a，再根據(jù)平方根的定義求這個正數(shù)的值；
(2)已知 a ，b是 m的平方根，則有a=b 或 a+b=0.
知1－練
感悟新知
例3
求下列各式中 x 的值：
(1) x2=361； (2) 81x2 － 49=0；
(3) ( 3x － 1 ) 2= ( － 5 ) 2.
解題秘方：若 x2=a ( a ≥ 0），則 x=± . 先把各題化為 x2=a 的形式，再求 x 的值 .
感悟新知
知1－練
解：因為 x2=361，所以x=± =±19.
整理 81x2 － 49=0，得 x2= ，
所以 x=± =±.
(1) x2=361
(2) 81x2 － 49=0
感悟新知
知1－練
解：因為( 3x － 1 ) 2= ( － 5 ) 2，所以3x － 1=±5.
當 3x － 1=5 時， x=2；
當 3x － 1= － 5 時， x= － .
綜上所述， x=2 或 x= － .
(3) ( 3x － 1 ) 2= ( － 5 ) 2
思路點撥
利用整體思想求解：
將 3x － 1 看成一個整體，利用整體思想求解 . 求出 3x － 1的值后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的一元一次方程，解方程即可 .
知1－練
感悟新知
方法點撥：利用平方根的定義解方程的方法：
1. 移項，使含未知數(shù)的項在等號的一邊，常數(shù)項在等號的另一邊；
2. 系數(shù)化為 1，將方程化為“x2=a( a ≥ 0)”的形式；
3. 根據(jù)平方根的定義求出未知數(shù) x 的值 .
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知2－講
知識點
算術(shù)平方根
2
1.算術(shù)平方根的定義 非負數(shù) a 的非負平方根 叫做 a 的算術(shù)平方根 .
表示方法： a 的算術(shù)平方根記為 ，讀作“根號 a” .
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知2－講
特別解讀：(1)算術(shù)平方根 具有雙重非負性：
①被開方數(shù) a 是非負數(shù)，即 a ≥ 0；
②算術(shù)平方根 是非負數(shù)，即 ≥ 0.
(2)算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有 0 和 1.
知2－講
感悟新知
特別提醒
1. 求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個正數(shù)的平方剛好是互逆的兩種運算；
2. 任何一個數(shù)的平方都是非負數(shù)，所以求算術(shù)平方根時，被開方數(shù)必須是非負數(shù) .
感悟新知
知2－講
2.算術(shù)平方根的性質(zhì)
(1)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；
(2)0 的算術(shù)平方根是 0；
(3)負數(shù)沒有算術(shù)平方根；
(4)被開方數(shù)越大，對應的算術(shù)平方根也越大 .
感悟新知
知2－講
3. 平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系
名稱 關(guān)系 算術(shù)平方根 平方根
區(qū) 別 個數(shù)不同 一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個 一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)
表示方法不同 非負數(shù) a 的算術(shù)平方根表示為 非負數(shù) a 的平方 根表示為 ±
感悟新知
知2－講
名稱 關(guān)系 算術(shù)平方根 平方根
區(qū)別 取值范
圍不同 正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù) 正數(shù)的平方根是一正一負
聯(lián)系 具有包
含關(guān)系 平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個(0 除外) 存在條
件相同 平方根和算術(shù)平方根都只有非負數(shù)才有，0 的平方根與算術(shù)平方根都是 0
知2－講
感悟新知
拓展
兩個重要公式：
(1) () 2 =a ( a ≥ 0 ) ；
(2) =|a|=
知2－講
感悟新知
() 2與的關(guān)系：
式子 關(guān)系 () 2
區(qū)別 運算順序不同 先開方再求平方 先求平方再開方
a 的取值范圍不同 a ≥ 0 任意數(shù)
聯(lián)系 當 a ≥ 0 時，() 2 = 感悟新知
知2－講
4. 開平方 求一個數(shù)的平方根的運算叫作開平方.
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例4
[母題 教材P3例1]求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.
(1)64； (2)2 ； (3)0.36； (4)52； (5) (－5)2；
(6) ； (7)7.
解題秘方：先根據(jù)平方運算找出平方等于這個數(shù)(0 除外)的正數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出算術(shù)平方根 .
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知識儲備
1. 求帶分數(shù)的算術(shù)平方根，先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求算術(shù)平方根；
2. 求一個數(shù)的算術(shù)平方根必須明確兩點：
(1)這個數(shù)是非負數(shù)；
(2)求出的算術(shù)平方根(結(jié)果)必須是非負數(shù) .
(1)64
(2)2
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解：因為82=64， 所以64 的算術(shù)平方根是8，
即 =8.
因為2 = ，() 2=94，所以 2 的算術(shù)平方根是 ，即 = .
(3)0.36
(4)52
(5) (－5)2
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解：因為0.62=0.36， 所以0.36 的算術(shù)平方根是0.6，
即 =0.6.
52 的算術(shù)平方根是5，即=5.
因為52=(－5)2，所以(－5)2 的算術(shù)平方根是5，
即 =5.
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解：因為 =9，9 的算術(shù)平方根是3， 的算術(shù)平方根是3；
不要誤認為是求81 的算術(shù)平方根.
(6)
(7)7
7 的算術(shù)平方根是 .
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特別提醒
有的數(shù)開方開得盡，有的數(shù)開方開不盡，對于開方開不盡的數(shù)，算術(shù)平方根不能化簡 .
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例5
已知a 的算術(shù)平方根是3，b 的算術(shù)平方根是4，求
a+b 的算術(shù)平方根.
解題秘方：根據(jù)算術(shù)平方根與被開方數(shù)的關(guān)系求出a，b 的值，然后求a+b 的算術(shù)平方根.
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方法點撥
本題運用了定義法 . 首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出 a，b 的值，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則求出 a+b 的值，最后根據(jù)算術(shù)平方根的定義得出結(jié)果 .
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解：因為a 的算術(shù)平方根是3，所以a=32=9.
因為b 的算術(shù)平方根是4，所以b=42=16.
所以a+b=9+16=25.
因為52=25，所以25 的算術(shù)平方根是5，
即a+b 的算術(shù)平方根是5.
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知3－講
知識點
用計算器求一個正數(shù)的算術(shù)平方根
3
大多數(shù)計算器都有 鍵，用它可以求出一個正有理數(shù)的算術(shù)平方根或它的近似值 .
按鍵順序：先按 鍵，再輸入被開方數(shù)，最后按 = 鍵 . 計算器上就會顯示這個數(shù)的算術(shù)平方根或它的近似值 .
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特別提醒
1. 計算器的型號不同，按鍵順序可能有所不同,要注意閱讀使用說明書 .
2. 計算器顯示的數(shù)值中，許多都是近似值.
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[母題 教材P4例2]用計算器計算下列各式的值(精確到 0.01)：
(1) ；(2) ± ；(3) ；(4) －
例6
解題秘方：先按 鍵，再輸入被開方數(shù)，然后按 = 鍵，再根據(jù)要求取近似值即可 .
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方法點撥
當利用計算器求出的一個正數(shù)的算術(shù)平方根是近似值時，要根據(jù)題目要求進行取舍 .
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(1) ；
(2) ± ；
± ≈ ± 49.01.
解：在計算器上依次 鍵入： 8 = ，顯 示 結(jié)果 是2.828 427 125，精確到 0.01，得 ≈ 2.83.
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(3) ；
(4) －
解：在計算器上依次鍵入： 0 . 4 6 2 5 4
= ，顯示結(jié)果是 0.680 102 933，精確到 0.01，得 ≈ 0.68.
在計算器上依次鍵入： - ( 8 ÷ 2 5 ) = ，
顯示結(jié)果是 -0.565 685 424，精確到 0.01，得 － ≈ － 0.57.
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例7
某農(nóng)場有一塊長 30 m、寬 20 m 的長方形場地，現(xiàn)要在這塊場地上建一個底面為正方形的魚塘，使底面面積為場地面積的一半，問能否建成？若能建成，則魚塘的底面邊長為多少米？(精確到 0.01 m)
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思路導引：
解：假設能建成 . 設魚塘的底面邊長為 xm，
依題意得 x2= ×30×20，
所以 x= ≈ 17.32(邊長為正值，故負值已舍去).
因為 17.32<20，所以能建成，且魚塘的底面邊長約為 17.32m.
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方法點撥
在解答這種能否建成(或是否存在)的問題 時，我們 可先 假設能建成(或存在)，在此假設下求出結(jié)果，再看結(jié)果是否符合題意 . 若 符 合，則 說 明能建成(或存在)；反之，則不能建成 ( 或不存在 ).
平方根
0 的平方根是 0
正數(shù)有兩個互為
相反數(shù)的平方根
平方根
性質(zhì)
算術(shù)平方根
負數(shù)沒有平方根(共26張PPT)
6.1 平方根、立方根
第六章 實 數(shù)
第2課時
立方根
逐點
導講練
課堂小結(jié)
作業(yè)提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
立方根
立方根的性質(zhì)
用計算器求一個數(shù)的立方根
知1－講
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知識點
立方根
1
1.立方根的定義 一般地，如果一個數(shù)的立方等于 a，那么這個數(shù)叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 這就是說，如果 x3=a，那么x 叫作a 的立方根 .
表示方法： 一個數(shù) a 的立方根，記作“ ” ，讀作 “三次根號 a”，其中 a叫作被開方數(shù)，3叫作根指數(shù) .
特別警示： 中的根指數(shù) 3 不能省略 . 若省略了 3， 表示非負數(shù) a 的算術(shù)平方根而非 a 的立方根 .
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特別提醒
立方根與平方根的區(qū)別：
1. 被開方數(shù)：前者可為任何數(shù)，后者為非負數(shù)；
2. 根指數(shù)：前者不能省略，后者可省略不寫；
3. 個數(shù)：立方根只有一個，平方根有兩個(特殊情況：0 的平方根只有 1個，是 0).
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2. 開立方 求一個數(shù)的立方根的運算叫作開立方 .
特別解讀： 立方根與開立方的關(guān)系：立方根是一個數(shù)，是開立方的結(jié)果；而開立方是求一個數(shù)的立方根的運算 .
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[母題 教材P6例4]求下列各數(shù)的立方根：
(1) － 125；(2)2 ；(3) － 1.
例1
解題秘方：根據(jù)立方根的定義求解 .
解：因為( －5) 3=－125，
所以 －125 的立方根是 －5，即=－5.
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解：因為 2 = ，而 ( )3= ，
所以 2 的立方根是 ，即= .
(2)2 ；
解法提醒
如果被開方數(shù)為帶分數(shù)，一般先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，然后再求其立方根 . 求一個數(shù)的立方根時要注意結(jié)果的正負 .
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解：因為(－1) 3=－1，
所以 －1 的立方根是 －1，即=－1.
(3) － 1.
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例2
已知x－2 的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是3，求
x2+y2 的算術(shù)平方根.
解題秘方：一個數(shù)等于它的平方根的平方，等于它立方根的立方 .
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方法點撥
本題根據(jù)平方根中被開方數(shù)等于平方根的平方，立方根中被開方數(shù)等于立方根的立方這一關(guān)系，運用方程思想列方程求出 x， y 的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出 x2+y2 的算術(shù)平方根 .
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解：因為 x－2 的平方根是 ±2，所以 x－2=4.
所以 x=6.
因為 2x+y+7 的立方根是 3，所以 2x+y+7=27.
把 x=6 代入，解得 y=8，所以 x2+y2=62+82=100.
所以 x2+y2 的算術(shù)平方根為 10.
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知識點
立方根的性質(zhì)
2
1.立方根的性質(zhì)
(1)正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；
(2)負數(shù)的立方根是一個負數(shù)；
(3)0 的立方根是 0.
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特別解讀
1. 立方根是它本身的數(shù)只有 0 和 ±1.
2. 互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù)，即= － . 利用“= － ” 可以把求一個負數(shù)的立方根轉(zhuǎn)化為求一個正數(shù)的立方根的相反數(shù) .
3. () 3 = =a.
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2. 平方根與立方根的比較
平方根 立方根
區(qū)別 個數(shù)不同 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；負數(shù)沒有平方根 一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根
表示方法不同 非負數(shù) a 的平方根表示為± ，“ ”的根 指數(shù)為 2，可以省略不寫 數(shù) a 的立方根用“”表示，這 里的根 指數(shù) 3不能省略
被開方數(shù)的取值范圍不同 在 ± 中，被開方數(shù) a是非負數(shù)，即 a ≥ 0 在 中，被開方數(shù) a 是任意數(shù)
聯(lián)系 ①都與相應的乘方運算互為逆運算；② 0 的立方根和平方根都是 0
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求下列各式的值：
(1) － ；(2) － ；(3) ；
例3
解題秘方：根據(jù)立方根的性質(zhì)進行化簡計算 .
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解法提醒
當被開方數(shù)不是單獨一個數(shù)時，需先進行化簡， 再進行開方運算 .
(1) － ；
(2) － ；
(3) ；
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= =－ .
－ = － (－ 2=2 .
解： － =－7.
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已知 和 互為相反數(shù)， 且 x ≠ 0，
y ≠ 0，求 的值 .
例4
解題秘方：根據(jù)立方根互為相反數(shù)，可得被開方數(shù)互為相反數(shù)，建立 x 與 y 之間的等量關(guān)系求解 .
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解：因為 和 互為相反數(shù)，
所以 3y － 1 和 1 － 2x 互為相反數(shù)，
所以(3y － 1) +(1 － 2x) =0， 所以 3y=2x.
又因為 x ≠ 0， y ≠ 0，所以 = .
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知識儲備
正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0 的立方根是 0，因此只有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根才能互為相反數(shù)，即互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù) .
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知識點
用計算器求一個數(shù)的立方根
3
用計算器求一個數(shù)的立方根和求一個數(shù)的算術(shù)平方根的步驟相同，只是按的開方鍵不同 .
步驟： 按鍵 SHIFT → 被開方數(shù) → = →根據(jù)顯示結(jié)果寫出立方根 .
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特別警示
不同型號的計算器按鍵的順序可能不同，使用計算器時，一定要按說明書操作 .
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例5
[母題 教材P7例5]用計算器求下列各數(shù)的立方根：
(1)7(精確到 0.01)；(2)100 (精確到0.01)；
(3)－13.27 (精確到0.001).
解題秘方：根據(jù)用計算器求立方根的步驟進行按鍵操作 .
解：依次按鍵 SHIFT 7 = ，
顯示1.912 931 183. 所以 =1.91.
(2)100 (精確到0.01)；
(3)－13.27 (精確到0.001).
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解：依次按鍵 SHIFT 1 0 0 = ，
顯示4.641 588 834. 所以 ≈ 4.64.
依次按鍵 SHIFT 1 3 · 2 7 = ，
顯示2.367 501 744. 所以≈ 2.368，
所以 ≈ － 2.368.
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解法提醒
利用互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)這一關(guān)系，求一個負數(shù)的立方根，可用計算器先求這個負數(shù)的絕對值的立方根，再在這個負數(shù)的絕對值的立方根前面加上負號，即得這個負數(shù)的立方根 .
立方根
立方根
性質(zhì)
正數(shù)的立方根是正數(shù)
0 的立方根是0
負數(shù)的立方根是負數(shù)
定義

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