資源簡介

(共62張PPT)
10.2 平行線的判定
第十章 相交線、平行線與平移
學習目標
課時講解
1
平行線的定義及畫法
平行線的基本事實及其推論
同位角、內錯角、同旁內角
平行線的判定的基本事實(判定方法1)
過直線外一點作已知直線的平行線
平行線的判定方法 2
平行線的判定方法 3
平行線判定方法的推論
知1－講
感悟新知
知識點
平行線的定義及畫法
1
1. 定義 在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線 .
平行線定義的三要素
(1)在同一平面內；(2)不相交；(3)都是直線 .
感悟新知
知1－講
特別解讀
在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系：
相交或平行 .
2. 經過直線上一點不可以作已知直線的平行線 .
3. 畫線段或射線的平行線是畫它們所在直線的平行線 .
感悟新知
2. 表示方法 用“∥”表示平行，如圖 10.2-1，直線 AB 與 CD是平行線，記作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，讀作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” .
知1－講
感悟新知
3. 過直線外一點畫已知直線的平行線的步驟
一落： 把三角尺的一邊落在已知直線上；
二靠： 緊靠三角尺的另一邊放一直尺；
三移： 把三角尺沿著直尺移動，使其落在已知直線上的邊經過已知點；
四畫： 沿該邊畫直線，此直線即為已知直線的平行線 .
知1－講
感悟新知
示圖(如圖 10.2-2)：
知1－講
知1－練
感悟新知
讀下列語句，并畫出圖形 ：AB， CD 是同一平面內
的兩條直線， P 是直線 AB， CD 外的一點，直線 EF 經過點 P與 AB 平行，直線 MN 經過點 P 與 CD 垂直 .
例1
知1－練
感悟新知
解題秘方：按照語句的要求，結合平行線的畫法進行作圖 .
解法提醒
根據語句畫圖時，要注意畫出的圖形符合語句的要求，若語句中沒有說清楚，要考慮各種情況，如本題中AB，CD 之間沒有指明位置關系，所以畫圖時可以平行也可以相交 .
知1－練
感悟新知
解：如圖 10.2-3 所示 .
感悟新知
知2－講
知識點
平行線的基本事實及其推論
2
1. 基本事實 經過直線外一點有且只有一條直線平行于這條直線 .
特別提醒： 基本事實的前提是經過直線外一點，若點在直線上，則不可能有平行線 .
特別解讀
“有且只有”強調這樣的直線的存在性和唯一性 .
感悟新知
知2－講
2. 推論：平行線的傳遞性 如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行 .
表達方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b.
感悟新知
知2－練
[母題 教材P137練習T3] 如圖 10.2-4，直線 a ∥ b， b ∥ c， d 與 a 相交于點 M.
(1) 試判斷直線 a， c 的位置關系，并說明理由；
(2) 判斷 c 與 d 的位置關系，并說明理由 .
例2
知2－練
感悟新知
解題秘方：根據基本事實及其推論判定兩條直線的位置關系 .
感悟新知
知2－練
(1) 試判斷直線 a， c 的位置關系，并說明理由；
解：a ∥ c.
理由：因為 a ∥ b，b ∥ c，所以 a ∥ c .
(2) 判斷 c 與 d 的位置關系，并說明理由 .
直線 c，d 相交 . 理由：因為直線 a，d 都過點 M，且 a ∥ c，所以 d 與 c 相交.
知2－練
感悟新知
方法點撥
判定兩條直線平行的方法：
1.若涉及相交問題，則用平行線的定義；
2.若涉及三條直線 的位置關系問題，則用基本事實的推論，較常用的方法是 基 本事實的推論 .
感悟新知
知3－講
知識點
同位角、內錯角、同旁內角
3
1. “三線八角” 兩條直線被第三條直線所截形成八個角， 習慣上稱為“ 三線八角”， 它們構成了同位角、內錯角、同旁內角 .
如圖10.2-5 所示，兩條直線 a 和 b 被第三條直線 l所截 .
感悟新知
知3－講
2. 同位角、內錯角、同旁內角的定義
(1)同位角：∠ 1 與∠ 5 分別在直線 a 和b 相同的一側，并且位于直線 l 的同旁，具有這樣位置關系的一對角叫作同位角 . 再如∠ 2 與∠ 6，∠ 3 與∠ 7，∠ 4 與∠ 8.
(2)內錯角：∠ 5 與∠ 3 都在直線 a， b 之間，并且位于直線 l 的兩旁，具有這樣位置關系的一對角叫作內錯角 . 再如∠ 4 與∠ 6.
(3)同旁內角：∠ 5 與∠ 4 都在直線 a， b之間，并且位于直線 l 的同旁，具有這樣位置關系的一對角叫作同旁內角 . 再如∠ 3與∠ 6.
知3－講
感悟新知
特別解讀
識別同位角、內錯角、同旁內角，第一步是要分清截線和被截線(兩個角的公共邊所在的直線為截線，另兩條線為被截線)；第二步是根據兩個角相對于截線和被截線的具體位置，結合各類位置角的定義確定它們的具體關系 . 在截線同旁(同側) 找同位角（兩個角都在被截線的上方或下方，形似字 母“F”)、 同 旁 內角 [兩個角在被截線之間(內)，形似字母“U”]；在截線不同旁 (兩側 ) 找內錯角(兩個角在兩條被截線之間，形似字母“Z”).
知3－練
感悟新知
[母題 教材P138例1]如圖 10.2-5，結合圖形解答
下列問題：
∠ 1 與∠ 2 是直線____和直線_____
被第三條直線______所截而成的____角；
例3
CE
AB
BC
同位
知3－練
感悟新知
解題秘方：根據同位角、內錯角和同旁內角的定義確定答案 .
解：∠ 1 與∠ 2 都有一條邊在直線 BC 上，另一條邊分別在直線 CE， AB 上，兩角都在直線 BC 的上方，分別在直線 CE， AB 的右側，所以∠ 1 與∠ 2 是直線 CE 和直線 AB 被直線 BC 所截而成的同位角；
知3－練
感悟新知
(2) ∠ 2 與∠ 3 是直線_____和直線____被第三條直線______所截而成的______角；
AB
AC
BC
同旁內
知3－練
感悟新知
解：∠ 2 與∠ 3 都有一條邊在直線 BC 上，另一條邊分別在直線 AB， AC 上，兩角都在直線 BC 的上方，在直線AB， AC 之間，所以∠ 2 與∠ 3 是直線 AB 和直線 AC 被直線BC 所截而成的同旁內角；
知3－練
感悟新知
(3)∠ 4 與∠ A 是直線_____和直線_____被第三條直線______所截而成的_____角 .
CE
AB
AC
內錯
知3－練
感悟新知
解：∠ 4 與∠ A 都有一條邊在直線 AC 上，另一條邊分別在直線 CE， AB 上，兩角分別在直線 AC 的兩側、在直線CE， AB 之間，所以∠ 4 與∠ A 是直線 CE 和直線 AB 被直線AC 所截而成的內錯角 .
知3－練
感悟新知
方法點撥
識別同位角、內錯角和同旁內角的方法：
1. 定義法：一看三線、二找截線、三查位置來分辨，這三種角的共同特征是：一對邊共線，不共頂點，另一對邊分別在兩條直線上，再根據位置關系確定是哪種角；
2. 分離圖形法：通過分離圖形，把每一對角從復雜圖形中分離出來，觀察分離出的角的形狀結構特征，按定義法加以區分；
知3－練
感悟新知
3. 特征法： 把相關的一對角用彩筆描出， 看其是否符合 “F”“Z”“U”形特征；
4. 方位法：同位角：同左、同上；同左、同下；同右、同上；同右、同下；內錯角：同內、異側；同旁內角：同內、同側.
感悟新知
知4－講
知識點
平行線的判定的基本事實(判定方法 1）
4
1. 基本事實 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 .
簡單地說， 同位角相等，兩直線平行 .
感悟新知
知4－講
特別解讀
構成同位角的兩條被截線不一定平行，只有形成的一對同位角相等時，這兩條被截線才平行 .
感悟新知
知4－講
2. 表達方式 如圖 10.2-7，
因為∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以 a ∥ b(同位角相等，兩直線平行) .
感悟新知
知4－練
如圖 10.2-8，已知直線 AB， CD 被直線 EF 所截，
∠ 1+ ∠ 2=180°， AB 與 CD 平行嗎？請說明理由 .
例4
知4－練
感悟新知
解題秘方：找出一對同位角， 通過已知條件說明這對同位角相等來說明兩條直線平行 .
解法提醒
判斷兩條直線是否平行，當題中涉及角的關系時，則可通過找出這兩條直線被第三條直線所截得到的一對同位角，并利用相關角的條件判斷其是否相等，如果相等，那么這兩條直線平行，否則不平行 .
知4－練
感悟新知
解：AB ∥ CD.理由如下：
因為∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，
∠ 2+ ∠ 3=180°(鄰補角的定義)，
所以∠ 1= ∠ 3(同角的補角相等) .
所以 AB ∥ CD(同位角相等，兩直線平行) .
感悟新知
知5－講
知識點
過直線外一點作已知直線的平行線
5
1. 過直線 AB 外一點 P 作直線 AB 的平行線的作法如下：
作法 示圖
1.在直線 AB 上任取一點 O，過點 O， P 作直線 CD
2.以點 P 為頂點，以 PD 為一邊，在直線CD 的右側作∠ DPN=∠ DOB.PN 邊所在的直線 MN 就是要作的直線
知5－講
感悟新知
特別解讀
1. 作圖依據：平行線判定的基本事實：同位角相等，兩直線平行.
2. 作圖思路：作一個角等于已知角 .
知5－練
感悟新知
如圖 10.2-9，已 知 ∠ MON， A， B 分 別 是 射 線
OM， ON 上的點 . 尺規作圖：在∠ MON 的內部確定一點 C，使得 BC ∥ OA 且 BC=OA(保留作圖痕跡，不寫作法)．
例5
知5－練
感悟新知
解題秘方：根據尺規作圖作角及線段的作法作圖即可．
解：如圖 10.2-10 所示，點 C 即為所求．
知5－練
感悟新知
思路點撥
作一條直線平行于已知直線的本質是根據 “同位角相等，兩直線平行”作出與已知角相等的同位角，如本例題實質上是作∠ CBN=∠ O.
感悟新知
知6－講
知識點
平行線的判定方法 2
6
1. 判定方法 2 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行 .
簡單地說，內錯角相等，兩直線平行 .
知6－講
感悟新知
特別提醒
構成內錯角的兩條被截線不一定平行，只有形成的一對內錯角相等時，這兩條被截線才平行 .
感悟新知
知6－講
特別解讀：
(1)“內錯角相等，兩直線平行”是利用“對頂角相等”和“同位角相等，兩直線平行”推導得出的 .
(2)利用“內錯角相等”來確定“兩直線平行”的關鍵是弄清這對內錯角是哪兩條直線被第三條直線所截得到的內錯角，再說明這兩條直線平行 .
感悟新知
知6－講
2. 表達方式 如圖 10.2-11，
因為∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以 a ∥ b(內錯角相等，兩直線平行) .
知6－練
感悟新知
如圖 10.2-12，已知∠ ADE=60°， DF 平分∠ ADE，
∠ 1=30°，試說明 DF ∥ BE.
例6
知6－練
感悟新知
解題秘方：先找出 DF 和 BE 這兩條被截線所形成的一對內錯角，然后利用條件說明這對內錯角相等來說明這兩條被截線平行 .
知6－練
感悟新知
解法提醒
要判定兩直線平行可以通過說明同位角相等或內錯角相等來實現，至于到底選用同位角還是選用內錯角，要看具體的題目，要盡可能與已知條件聯系 .
知6－練
感悟新知
解：因為 DF 平分∠ ADE(已知)，
所以∠ EDF= ∠ ADE(角平分線的定義) .
又因為∠ ADE=60°(已知)，
所以∠ EDF=30° .
又因為∠ 1=30°(已知)，
所以∠ EDF= ∠ 1.
所以 DF ∥ BE(內錯角相等，兩直線平行) .
感悟新知
知7－講
知識點
平行線的判定方法 3
7
1. 判定方法 3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行 .
簡單地說， 同旁內角互補，兩直線平行 .
特別提醒： 利用同旁內角說明兩直線平行時，同旁內角之間的關系是互補，不是相等 .
感悟新知
知7－講
2. 表達方式 如圖 10.2-13，
因為∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，
所以 a ∥ b(同旁內角互補，兩直線平行) .
知7－講
感悟新知
方法點撥
用數量關系判定兩直線平行的方法：
在“三線八角 ” 中，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，只要其中一個結論成立，就可得到兩直線平行 .
感悟新知
知7－練
如圖 10.2-14， 直線 AE， CD 相交于點 O， 如果
∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以說明 AB ∥ CD，這是為什么？
例7
知7－練
感悟新知
解題秘方：找出 AB， CD 被 AE 所截形成的同旁內角，利用兩個角之間的數量關系來說明這兩條直線平行 .
解法提醒
本題運用了數形結合思想 . 平行線的判定是由角之間的數量關系到直線的位置關系的轉化 .
說明兩直線平行時，一般都要結合對頂角、補角等知識來說明 .
知7－練
感悟新知
解：因為∠ 1= ∠ AOD(對頂角相等)，
∠ 1=70°，所以∠ AOD=70° .
又因為∠ A=110°，
所以∠ A+ ∠ AOD=180° .
所以 AB ∥ CD(同旁內角互補，兩直線平行) .
感悟新知
知8－講
知識點
平行線判定方法的推論
8
1. 判定方法推論 在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行 .
簡稱： 在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行 .
表達方式： 如圖 10.2-15，直線 a， b， c
在同一平面內 .
因為 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c.
感悟新知
知8－講
2. 拓展 a， b， c 為同一平面內的三條不重合直線，在下列結論中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意兩個結論，總能推出第三個結論成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b.
知8－講
感悟新知
特別解讀
1. 三條直線“在同一平面內”是前提，丟掉這個前提，結論不一定成立 .
2. 本結論(方法) 可看成是判定方法 1， 2，3 的推論，因為它可由判定方法 1， 2， 3得到 .
知8－練
感悟新知
[母題 教材P143習題T3]如圖 10.2-16， AB ⊥ EF 于 B， CD ⊥ EF 于 D，∠ 1= ∠ 2.
(1)請說明 AB ∥ CD 的理由；
(2)試問 BM 與 DN 是否平行？
為什么？
例8
知8－練
感悟新知
解題秘方：根據平行線的幾種判定方法，從圖中找出符合判定方法的條件， 選用合適的方法進行說明 .
知8－練
感悟新知
解法提醒
判定兩直線平行的方法：
方法一：平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線就是平行線 .
方法二：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行 .
方法三：同位角相等，兩直線平行 .
方法四：內錯角相等，兩直線平行 .
方法五：同旁內角互補，兩直線平行.
方法六：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行 .
知8－練
感悟新知
(1)請說明 AB ∥ CD 的理由；
解：因為 AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，
所以 AB ∥ CD(在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行) .
知8－練
感悟新知
(2)試問 BM 與 DN 是否平行？為什么？
解：BM ∥ DN.
理由：因為 AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，
所以∠ ABE= ∠ CDE=90° .
又因為∠ 1= ∠ 2，
所以∠ ABE－∠ 1= ∠ CDE－∠ 2(等式的性質)，
即∠ MBE= ∠ NDE.所以 BM ∥ DN(同位角相等，兩直線平行) .
知8－練
感悟新知
警示誤區：∠ 1 和∠ 2 不是同位角，不能誤認為∠ 1=∠ 2 可直接得出 BM ∥ DN.
平行線的判定
判定
基本事實
三線八角
平行線
同位角相等
同旁內角互補
內錯角相等
定義
畫法(共27張PPT)
10.3 平行線的性質
第十章 相交線、平行線與平移
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
平行線的性質 1
平行線的性質 2
平行線的性質 3
知1－講
感悟新知
知識點
平行線的性質 1
1
1. 性質 1 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等 .
簡單地說： 兩直線平行，同位角相等 .
表達方式： 如圖 10.3-1，因為 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1= ∠ 2(兩直線平行，同位角相等) .
感悟新知
知1－講
特別警示
1. 兩條直線平行是 前提，只有在這個前提下才有同位角相等；
2. 書寫時，順序不能顛倒，與判定不能混淆 .
感悟新知
2. 平行線的性質與平行線的判定的區別
(1)平行線的判定是根據兩角的數量關系得到兩條直線的位置關系，而平行線的性質是根據兩條直線的位置關系得到兩角的數量關系；
(2)平行線的判定的條件是平行線的性質的結論，而平行線的判定的結論是平行線的性質的條件 .
知1－講
知1－練
感悟新知
如圖 10.3-2，把三角尺的直角頂點放在直尺的一邊
上，若∠ 1=30°，則∠ 2 的度數為( )
A. 60° B. 50°
C. 40° D. 30°
例1
知1－練
感悟新知
解：因為 ∠ 1+ ∠ BAC+ ∠ DAB=180°，
∠ BAC=90°，∠ 1=30°，
所以∠ DAB=180° － ∠ 1－ ∠ BAC=60° .
因為直尺的對邊平行，
即 EF ∥ AD，所以∠ 2= ∠ DAB=60° .
解題秘方：根據直尺的對邊平行，利用平行線的性質求角的度數 .
答案：A
知1－練
感悟新知
另解
如圖 10.3-3， 設 EF與 AB，AC 分別交于點 H，G.
因為直尺的對邊平行，即 EF ∥ AD，所以∠ CGF= ∠ 1=30° . 所以∠ AGE=30° .
因為∠ BAC=90°，
所以∠AHG+∠AGE=90 ° . 所以 ∠ AHG=
90°－∠ AGE=60° . 所以∠ 2= ∠ AHG=60° .
知1－練
感悟新知
如圖 10.3-4，若 AB ∥ CD，且∠ 1= ∠ 2，試判斷
AM 與 CN 的位置關系，并說明理由 .
例2
知1－練
感悟新知
解題秘方：利用已知的平行線和要說明的平行線的同位角之間的數量關系進行推理說明 .
知1－練
感悟新知
解法提醒
平行線和角的大小關系是緊密聯系在一起的，由平行線可以得到相等的角，反過來又可以由相等的角得到一組新的平行線，這種角的大小關系與直線的位置關系的相互轉化在解題中會經常涉及 .
知1－練
感悟新知
解：AM ∥ CN. 理由如下：
因為 AB ∥ CD(已知)，
所以∠ BAE= ∠ ACD(兩直線平行，同位角相等) .
又因為∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以∠ BAE－∠ 1= ∠ ACD－∠ 2，
即∠ MAE= ∠ NCA.
所以 AM ∥ CN(同位角相等，兩直線平行) .
感悟新知
知2－講
知識點
平行線的性質 2
2
1. 性質 2 兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等 .
簡單地說： 兩直線平行，內錯角相等 .
感悟新知
知2－講
2. 表達方式 如圖 10.3-5，
因為 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1= ∠ 2(兩直線平行，內錯角相等) .
知2－講
感悟新知
特別警示
并不是所有的內錯角都相等，只有在“兩直線平行”的前提下，才有內錯角相等 .
感悟新知
知2－練
[母題 教材P156復習題A組T7]如圖 10.3-6， AB ∥ CD， BE 平分∠ ABC， CF 平分∠ BCD，你能發現 BE 和 CF 有何特殊的位置關系嗎？說說你的理由 .
例3
知2－練
感悟新知
解法提醒
幾何推理的方法：
一種是綜合法，即由“因”導“果”，由已知條件逐步推導出結論；
另一種是分析法，即執“果”索“因”，根據要推出的結論，必須找到什么樣的條件，一步一步反向找到條件 .
解答問題時一般用綜合法，分析問題時一般用分析法，有時也可以兩種方法綜合應用 .
知2－練
感悟新知
解題秘方：由兩直線平行，得到內錯角相等，由此推出另一組內錯角相等，得到兩直線平行得到.
知2－練
感悟新知
解：BE ∥ CF.
理由如下：因為 AB ∥ CD(已知)，
所以∠ ABC= ∠ BCD(兩直線平行，內錯角相等) .
因為 BE 平分∠ ABC， CF 平分∠ BCD(已知)，
所以∠ 2= ∠ ABC，∠ 1= ∠ BCD(角平分線的定
義) . 所以∠ 2= ∠ 1.
所以 BE ∥ CF(內錯角相等，兩直線平行) .
感悟新知
知3－講
知識點
平行線的性質 3
3
1. 性質 3 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補 .
簡單地說： 兩直線平行，同旁內角互補 .
感悟新知
知3－講
2. 表達方式 如圖 10.3-7，
因為 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1+ ∠ 2=180°(兩直線平行，同旁內角互補) .
知3－講
感悟新知
警示誤區
兩直線平行時，同旁內角是互補的關系而不是相等的關系.
知3－練
感悟新知
[ 中考·重慶 ] 如圖 10.3-8， AB ∥ CD， AD ⊥ AC， 若∠ 1=55°，則∠ 2 的度數為( )
A. 35°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
例4
知3－練
感悟新知
解題秘方：根據兩直線平行，同旁內角互補可得∠ CAB的度數， 根據垂直的定義可 得 ∠ CAD=90 °， 然后根據∠ 2= ∠ CAB － ∠ CAD 即可得出答案．
知3－練
感悟新知
解：因為 AB ∥ CD，∠ 1=55°，
所以∠ CAB=180° － 55°=125° .
因為 AD ⊥ AC，
所以∠ CAD=90°，
所以∠ 2= ∠ CAB － ∠ CAD=125° － 90° =35° .
答案： A
知3－練
感悟新知
方法點撥
解決與平行線性質有關的計算題時，要熟悉圖形及其性質，還要能結合其他角，把待求的角與已知角逐步聯系起來 .
平行線的性質
條件
兩直線
平行
內錯角相等
平行線的性質
同位角相等
同旁內角互補
結論(共28張PPT)
10.4 平移
第十章 相交線、平行線與平移
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
平移的定義
平移的性質
平移作圖
知1－講
感悟新知
知識點
平移的定義
1
1. 平移 在平面內，一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形的變換叫作平移 .
感悟新知
2. 平移中的對應元素
如圖 10.4-1，
把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′.
對應點：點 A 與點 A′，點 B 與點 B′，點 C 與點 C′；
對應線段： AB 與 A′B′， AC 與 A′C′， BC 與 B′C′；
對應角：∠ A 與∠ A′， ∠ B 與∠ B′， ∠ C 與∠ C′.
知1－講
感悟新知
3. 平移的“兩要素”
(1)平移的方向；(2)平移的距離 .
特別提醒： 在圖形平移中，原圖形上的點到它的對應點的方向就是平移的方向；任意一對對應點所連線段的長度就是平移的距離.
知1－講
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知1－講
特別解讀
1. 圖形的平移是一種位置變換，它只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小 .
2. 平移可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定的方向平移，只要是直線方向即可 .
知1－練
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以下現象：①用打氣筒打氣時，氣筒里活塞的
運動；②傳送帶上瓶裝飲料的移動；③隨風擺動的旗幟；④鐘擺的擺動 . 其中屬于平移的是( )
A. ① B. ①②
C. ①②③ D. ①②③④
例1
知1－練
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解題秘方：扣住平移的定義中的關鍵點進行辨析 .
方法提醒
判斷一個圖形的運動是不是平移，要緊扣平移定義，看圖形是否是沿某個方向(必須是直線方向)移動一定的距離 .
知1－練
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解：①屬于平移；②屬于平移；③中不屬于平移；④屬于旋轉 .
答案：B
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知2－講
知識點
平移的性質
2
1. 平移的性質
(1)一個圖形和它經過平移后所得的圖形中，連接各組對應點的線段互相平行(或在同一條直線上)且相等；
(2)平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小 .
知2－講
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特別警示
“連接各組對應點的線段”和“對應線段”是不同的，“連接各組對應點的線段”是原圖形上的點與平移后的圖形上的點連接而成的；而“對應線段”是原圖形和平移后的圖形中的線段的關系 .
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2. 示圖
如圖 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，則
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知2－講
(1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′；
(2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′；
(3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′.
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知2－練
[母題 教材P150習題T1]如圖 10.4-3，將面積為 3 的三角形 ABC 沿 BC 方向平移到三角形 DEF 的位置， CE=5， EF=2，∠ B=45°.
(1) BC=_______，∠ DEF=______；
(2)平移的距離是_______，三角形 DEF 的面積是_____.
例2
2
45°
7
3
知2－練
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解題秘方：找準對應元素，根據平移的性質求出各個未知量 .
解法提醒
圖形的平移是整個圖形都在移動，不是局部移動，即圖形中所有點、線平移的距離都相同，所以確定一個圖形平移的距離，只需確定其上一個點平移的距離即可 .
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解：根據平移后的圖形與原圖形的形狀、大小完全相同，得到 BC=EF=2，三角形 DEF 的面積 = 三角形 ABC 的面積 =3，∠ DEF= ∠ B=45°，
因為點 B 與點 E 為對應點，
所以平移的距離 =BE=BC+CE=2+5=7.
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知3－講
知識點
平移作圖
3
平移作圖的一般步驟 平移作圖是平移性質的基本應用，利用平移可以得到許多美麗的圖案，在具體作圖時，應抓住作圖的四個步驟——定、找、移、連 .
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知3－講
(1)定： 確定平移的方向和距離；
(2) 找： 找出表示圖形的關鍵點(圖形的頂點、拐點、連接點)；
(3) 移： 過關鍵點作與平移方向一致且與平移距離相等的線段，得到關鍵點的對應點；
(4) 連： 按原圖順次連接各對應點 .
知3－講
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特別解讀
1. 平移的性質是平移作圖的依據；
2. 確定一個圖形平移后的位置需要三個條件：
(1)圖形原來的位置；
(2)平移的方向；
(3) 平移的距離.
這三個條件缺一不可.
知3－練
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如圖 10.4-4，四邊形 ABCD 的頂點 A 移動到了 A′
處，作出四邊形 ABCD 平移后的圖形 .
例3
知3－練
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解題秘方：首先由已知的一對對應點確定平移的方向和平移的距離，然后作出其他對應點的位置，作出平移后的圖形 .
知3－練
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解：如圖 10.4-4. (1)作射線 AA′；
(2)分別過點 B， C， D 作 l1 ∥ AA′， l2 ∥ AA′， l3 ∥ AA′；
(3)在 l1 上沿射線 AA′ 的方向截取 BB′=AA′，在 l2， l3 上按同樣的方法截取 CC′=AA′， DD′=AA′；
(4)連接 A′B′， B′C′， C′D′， D′A′，即得到四邊形 ABCD平移后的四邊形 A′B′C′D′.
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方法點撥
畫平移后的圖形的方法：
首先，找出平移的方向和距離，再確定構成圖形的關鍵點；
然后，根據平移的方向和距離平移每個關鍵點；
最后，順次連接每個關鍵點的對應點，并標出相應的字母，得出平移后的圖形 .
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現要把圖 10.4-5 中的方格紙(每個小正方形的邊長
為 1 個單位長度)上的小船向右平移 6 個單位長度，再向上平移 3 個單位長度，請在方格紙上畫出小船平移后的圖形 .
例4
知3－練
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解題秘方：將圖形中的各關鍵點按照指定的方向和距離平移，再按原圖形的順序依次連接各對應點 .
知3－練
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解：如圖 10.4-5，找到小船的 7 個關鍵點，并依次標上字母 A， B， C， D， E， F， G. 把點 A 向右平移 6 個單位長度，到達點 A1，然后把點 A1 向上平移 3 個單位長度，到達點 A′，用同樣的方法分別將小船的其他關鍵點 B， C， D， E， F， G 平移得到對應點 B'， C'， D'， E'， F'， G'，再按原圖形的順序依次連接各對應點即可得到平移后的圖形 .
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方法點撥
在網格中左右(或上下)平移整數倍的格數作圖，可以找到原圖形的關鍵點，按要求在網格中平移得到其對應點，再按原圖形的順序依次連接各對應點即可得到平移后的圖形 . 原圖形的點在格點上的，通過左右(或上下)平移整數倍的格數，其對應點還在格點上 .
平移
定義
平移
性質
作圖(共35張PPT)
10.1 相交線
第十章 相交線、平行線與平移
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
對頂角
垂直與垂線
垂線的畫法及基本事實
垂線段及點到直線的距離
知1－講
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知識點
對頂角
1
1. 定義 兩個角有一個公共頂點，并且它們的兩邊分別互為反向延長線，稱這樣的兩個角互為對頂角.
特別提醒： 對頂角是成對出現的，指兩個角之間的位置關系，一個角的對頂角只有一個 .
內容 示圖
∠ 1 和∠ 2 互為對頂角 .
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知1－講
特別解讀
對頂角的位置關系和數量關系：
1.位置關系：有公共頂點，兩邊分別互為反向延長線 .
2.數量關系：對頂角相等 .
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2. 性質 對頂角相等 .
特別提醒： (1)兩個角互為對頂角，它們一定相等；
(2)相等的兩個角不一定是對頂角 .
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[母題 教材P129練習T2]如圖 10.1-1，直線 AE 與 CD 相交于點 O， OC 平分∠ AOB，
(1) 請找出圖中∠ 3 的對頂角；
(2) 若∠ 3=25°，求∠ 1 的度數 .
例1
知1－練
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解法提醒
找兩個角是否互為對頂角的方法：
一看它們有沒有公共頂點；
二看這兩個角的兩邊是否互為反向延長線，實質就是看這兩個角是否是兩條直線相交所形成的沒有公共邊的兩個角 .
知1－練
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解：∠ 3 的對頂角是∠ 2.
解題秘方：根據對頂角的位置特征找對頂角；
(1) 請找出圖中∠ 3 的對頂角；
知1－練
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(2) 若∠ 3=25°，求∠ 1 的度數 .
解：由對頂角相等，得∠ 2= ∠ 3=25° .
因為 OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25° .
解題秘方：根據對頂角的數量關系求未知角的度數 .
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知2－講
知識點
垂直與垂線
2
1. 定義 在兩條直線相交所成的4個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足 .
特別解讀： 垂直的定義具有雙重作用，已知直角得線垂直，已知線垂直得直角 .
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2. 表示方法 如 果 直 線 AB 與 CD 互 相 垂 直，可 以 記 作“AB ⊥ CD”，讀作“AB 垂直 CD”.
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3. 推理格式
如圖 10.1-2，因為∠ AOC=90°(已知)，
所以 AB ⊥ CD(垂直的定義) .
反過來：因為 AB ⊥ CD(已知)，
所以∠ AOC=90°(垂直的定義) .
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特別提醒
1. 垂直和垂線是兩個不同的概念，垂直是兩條直線的位置關系，是相交的一種特殊情況，特殊在夾角為直角，而垂線是一條直線.
2. 畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線 .
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如圖 10.1-3，直線 AB， CD 相交于點 O， OE ⊥ AB
于點 O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度數 .
例2
解題秘方：利用垂直的定義及對頂角的性質、平角的定義將要求的角向已知角轉化 .
知2－練
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解：(方法一) 因為 OE ⊥ AB，所以∠ AOE=90° .
因為∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°，
所以∠ AOC= ∠ AOE－ ∠ COE=90°－40° =50° .
所以∠ BOD= ∠ AOC=50° .
知2－練
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(方法二) 因為 OE ⊥ AB，所以∠ BOE=90° .
因為∠ COD 是平角，
所以∠ COE+ ∠ BOE+ ∠ BOD=180° .
又因為∠ COE=40°，
所以∠ BOD=180° －∠ BOE－ ∠ COE=
180° －90° －40° =50° .
知2－練
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解法提醒
兩條直線互相垂直，所夾的四個角都等于 90°，為求角的度數提供了四個已知角的度
數，為從未知角向已知角的轉化創造了條件 .
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知2－練
將一張長方形紙片按如圖 10.1-4 所示方式折疊，
EF， EG 為折痕，判斷 EF 與 EG 的位置關系 .
例3
解題秘方：利用折疊的性質求出兩線的夾角，根據夾角是 90°判斷兩條直線的位置關系 .
知2－練
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解：因為三角形 A'EF 是由三角形 AEF折疊得到的，
四邊形 B′EGC′ 是由四邊形BEGC 折疊得到的，
所以∠ AEF= ∠ A′EF，∠ BEG= ∠ B′EG.
所以∠ A′EF= ∠ AEA′，∠ A′EG= ∠ A′EB.
所以∠ FEG= ∠ A′EF+ ∠ A′EG= ∠ AEA′+ ∠ A′EB= (∠ AEA′+ ∠ A′EB) = ×180° =90° . 所以 EF ⊥ EG.
知2－練
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知識儲備
折疊后， 點 A與點 A′重合，點 B與點 B′重合，點 C與點 C′重合，所以三角形 AEF 與 三角形 A′ EF 大 小、形狀完全相同，四邊形 BEGC 與四邊形 B′ EGC′大小、形狀完全相同，所以∠ AEF= ∠ A′ EF，∠ BEG= ∠ B′ EG.
結論歸納： 鄰補角的角平分線互相垂直 .
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知3－講
知識點
垂線的畫法及基本事實
3
1. 垂線的畫法 用三角尺畫已知直線的垂線，步驟如下：
特別提醒
畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線，垂足不一定在這條線段或射線上，垂足可能在線段的延長線上或射線的反向延長線上 .
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知3－講
(1)用折紙法畫已知直線的垂線，步驟如下：
步驟 內容 示圖
一折 折疊紙張，使折痕經過已知點，且使已知直線被折痕分成的兩部分重合 過點 P 作直線 l 的垂線：
二畫 用直尺沿著折痕畫出直線，則這條直線就是已知直線的垂線
步驟 內容 示圖
一落 讓三角尺的一條直角邊落在已知直線上，使其與已知直線重合 過點 P 作直線 l 的垂線：
點 P 在直線 l 外
點 P 在直線 l 上
二移 沿已知直線移動三角尺，使其另一條直角邊經過已知點 三畫 沿此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線
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(2) 用三角板畫已知直線的垂線，步驟如下：
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2. 基本事實 在同一平面內，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線 .
特別提醒： 基本事實中的唯一性有兩個關鍵條件不能少：一是“同一平面”；
二是過一點，這一點可以在直線上也可以在直線外 .
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[母題 教材P132練習T2]在圖 10.1-5 中，分別過點 P 作 AB 的垂線 .
例4
知3－練
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解法提醒
畫垂線時是畫實線，如需要延長線段或反向延長射線時，則要用虛線延長 .
知3－練
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解題秘方：利用三角尺和直尺根據畫垂線的步驟進行操作 .
解：如圖 10.1-6.
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知識點
垂線段及點到直線的距離
4
1. 垂線段
(1) 定義： 從直線 l 外一點 P 向直線 l 作垂線，垂足記為點 O，則線段 OP 叫作點 P 到直線 l 的垂線段 .
(2) 性質： 連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短 .
知4－講
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特別提醒
垂線、垂直與垂線段之間的區別與聯系：
1. 區別：垂線是一條與已知直線垂直的直線；垂直是兩條直線之間的位置關系；垂線段是一條與已知直線垂直的線段 .
2. 聯系：垂線段所在的直線是已知直線的垂線；垂線段所在的直線與已知直線垂直 .
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知4－講
2. 點到直線的距離 直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離 .
(1)垂線段與點到直線的距離的區別：垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是一個數量，是垂線段的長度 .
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知4－講
(2) 點到直線的距離與兩點間的距離的區別：
兩點間的距離 點到直線的距離
定義 連接兩點的線段的長度 直線外一點到這條直線的垂線段的長度
性質 兩點之間，線段最短 垂線段最短
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知4－練
如圖 10.1-7，在三角形 ABC 中，∠ ACB=90°，
CD ⊥ AB， 垂足為 D. 若 AC=4 cm， BC=3 cm， AB=5 cm，則點 A 到直線 BC 的距離為_____cm，點 B 到直線 AC 的距離為______cm，點 C 到直線 AB 的距離為_______cm.
例5
4
3
2.4
知4－練
感悟新知
解題秘方：根據點到直線的距離的定義，找出垂線段 .
知4－練
感悟新知
方法點撥
1. 求點到直線的距離關鍵就是找準“垂線段”；雖然垂線段最短，但不是在給出的線段中最短的那條就是垂線段 .
2. 直角三角形中斜邊上的高可以通過“面積法”來求，即兩直角邊的乘積等于斜邊乘斜邊上的高 .
相交線
相交線
垂線的基
本事實
垂線
性質
點到直線
的距離
畫法
對頂角
垂線段

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