資源簡介

(共61張PPT)
9.1 分式及其基本性質
第九章 分式
學習目標
課時講解
1
分式的概念
分式有意義和無意義的條件
分式的值為 0 的條件
分式的基本性質
分式的約分
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
課時流程
2
知識點
知1－講
感悟新知
1
分式的概念
分式 一般地，如果 A， B 表示兩個整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中 A叫作分式的分子， B 叫作分式的分母 .
分式的“三要素”：(1)形如的式子；
(2) A， B為整式；(3)分母B中含有字母.
知1－講
感悟新知
2. 分式與分數、整式的關系
(1)分式中分母含有字母，由于字母可以表示不同的數，所以分式比分數更具有一般性；分數是分式中字母取特定值時的特殊情況.
(2)分式與整式的根本區別就是分式的分母中含有字母.
知1－講
感悟新知
3.有理式 整式和分式統稱為有理式，
知1－講
感悟新知
特別解讀
1. 分式可看成是兩個整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分數線相當于除號，分數線還具有括號作用和整體作用 .
2. 判斷一個式子是否是分式，不能將原式子進行變形后再判斷，必須按照本來的“面目”進行判斷 .
如： 是分式 .
感悟新知
知1－練
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
例 1
知1－練
感悟新知
特別警示
1. 由于 約分后為p，所以容易誤認為其是整式 .
2. 中，盡管分母中含有字母 x，但分子 不是整式，所以它既不是整式，也不是分式 .
3. π 是常數， 不能當字母看，所以是整式 .
感悟新知
知1－練
解題秘方：利用分式的三要素判斷即可.
感悟新知
知1－練
方法點撥：判斷一個式子是否是分式的方法：
首先看式子是否具有的形式，其次看 A， B 是不是整式，最后看分母中是不是含有字母 . 分式只注重形式而不注重結果，分母中含有字母是判斷分式的必要條件 .
知識點
分式有意義和無意義的條件
知2－講
感悟新知
2
1. 分式有意義的條件
分式的分母表示除數，由于除數不能為0，所以
分式的分母不能為0，即當B ≠ 0 時，分式才有意義.
知2－講
感悟新知
2. 分式無意義的條件
分式的分母為0，即當B=0 時，分式無意義.
知2－講
感悟新知
特別提醒
1. 分母不為 0，并不是說分母中的字母不能為 0，而是表示分母的整式的值不能為 0.
2. 分式是否有意義，只與分式的分母是否為0 有關，與分式的分子是否為 0 無關 .
感悟新知
知2－練
[母題 教材P97例1(1)]當x 滿足什么條件時下列分式有意義？
例2
解題秘方：分母的值不等于0 時，分式有意義.
知2－練
感悟新知
解法提醒
求分式有意義時字母的取值范圍的方法：
根據“分式有意義的條件為分式的分母不等于 0” 列不等式求解，得分式有意義時字母的取值范圍.
感悟新知
知2－練
解：當5x－3 ≠ 0，即x ≠ 時，分式 有意義.
當|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 時，分式 有意義.
感悟新知
知2－練
解：因為無論x 取什么值，都有x2+3>0，
所以x 取任何實數，分式 都有意義.
當(x－2)(x+4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 時，分式 有意義.
知2－練
感悟新知
警示誤區
只能對原分母進行討論，不能先約分化簡再討論，否則會使取值范圍擴大，如此題(4)中，若約去 x－2，易錯得當x ≠ －4 時，分式有意義 .
感悟新知
知2－練
分式 中的x 滿足什么條件時分式無意義？
解題秘方：分母的值等于0 時，分式無意義.
例 3
解：要使分式 無意義，則分母x2－16=0，
即x2=16，解得x=±4.
所以當x=±4 時，分式 無意義.
知2－練
感悟新知
方法點撥
求分式無意義時字母的值，只需利用分母等于 0 構造出方程求解即可 .
知識點
分式的值為0的條件
知3－講
感悟新知
3
1. 分式的值為0 的條件 當分式的分子等于0 且分母不等于0 時，分式的值為0.
即對于分式，當A=0 且B≠ 0 時，=0.
知3－講
感悟新知
2. 對常見的幾種特殊分式值的討論
(1)若的值為正數，則或
(2)若的值為負數，則 或
(3)若的值為1，則A= B ，且B ≠ 0.
(4)若的值為－ 1，則A =－ B ，且B ≠ 0.
知3－講
感悟新知
特別提醒
1.分式的值是在分式有意義的前提下才考慮的. 所以分式的值為0的條件： A=0 且B ≠ 0 ，二者缺一不可.
2.對于分式的幾種特殊值的討論既要考慮分子，又要考慮分母.
感悟新知
知3－練
[母題 教材P97例1(2)]當x 取何值時，下列分式的值為0 ？
(2)；
例4
知3－講
感悟新知
解題秘方：分式的值為0 的條件：分子為0，分母不為0.
感悟新知
知3－練
解：由x+2=0，且 2x － 3 ≠ 0，得x=－2，
所以當x=－2 時，分式 的值為0.
(2)；
由 得 x=2，
所以當 x=2 時，分式 的值為 0.
感悟新知
知3－練
解：由3-|x|=0，且(x-3)(x+1)≠ 0，得x=－3，
所以當x=－3 時，分式 的值為0.
由(x － 1)(x － 3)=0，且 x2 － 1 ≠ 0，得x=3，
所以當x=3 時，分式 的值為0.
若ab≠0，
則a≠0且b≠0.
若ab=0，
則a=0或b=0.
知3－練
感悟新知
教你一招
求分式的值為 0 時字母的值的方法：
先求出使分子為0的字母的值，再檢驗這個值是否使分母為 0，當分母不為 0 時，這個值就是所要求的字母的值.切記使分母為 0的值必須舍去 .
注意：若有多個值使分式的值為 0，則這幾個值之間用“或”連接 .
知識點
分式的基本性質
知4－講
感悟新知
4
1. 分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變， = ，= (A，B， M是整式 ，且M=0).分式的基本性質是分式變形的理論依據.
知4－講
感悟新知
特別解讀
1. B ≠ 0 是已知中隱含的條件，M ≠ 0是在解題過程中另外附加的條件，在運用此性質時，必 須 重 點 強 調M ≠ 0 這個前提 .
2. 運用分式的基本性質進行分式的變形是恒等變形，它不改變分式的值的大小，只改變其形式 .
知4－講
感悟新知
2. 分式的符號法則 分式的分子、分母與分式本身的符號，同時改變其中兩個，分式的值不變.
用字母表示為
(1)= = － = － ；
(2)－= － = = .
感悟新知
知4－練
[母題 教材P99例2]寫出下列等式中未知的分子或分母：
(3) = .
5y
例5
( )
( )
a2+2ab
x－y
知4－練
感悟新知
解法提醒
解決與分式的恒等變形有關的填空題時，一般從分子或分母的已知部分入手，先觀察等號兩邊的分子或分母發生了怎樣的變化，再通過對分母或分子作相同的變化得到未知項 .
感悟新知
知4－練
解題秘方：觀察等號兩邊已知的分子或分母發生了什么樣的變化，再根據分式的基本性質用相同的變化確定所要填的式子.
感悟新知
知4－練
解：(1) 右邊的分子3x 是由左邊的分子15x2y 除以5x得到的，所以右邊的分母可以由左邊的分母25xy2 除以5xy 得到，結果是5y.
(2) 右邊的分母a2b2 是由左邊的分母ab2 乘a 得到的，所以右邊的分子可以由左邊的分子a+2b 乘a 得到，結果是a2+2ab.
感悟新知
知4－練
(3) 右邊的分子 3 是由左邊的分子 3x 除以 x 得到的，所以右邊的分母可以由左邊的分母 x2－xy 除以 x 得到，結果是 x－y.
感悟新知
知4－練
不改變分式的值，使下列各分式的分子與分母都不含
“－”號或分子、分母中的第一項都不含“－”號.
例6
感悟新知
知4－練
解題秘方：分式的分子、分母及分式本身這三處的正負號，同時改變兩處，分式的值不變.
感悟新知
知4－練
解：
知4－練
感悟新知
警示誤區
當分子、分母是多項式時，應將其看成一個整體，若分子或分母的首項系數是負數，應先提取 “－”號并添加括號，注意此時多項式中的每一項都要變號 .
感悟新知
知4－練
把分式 (n ≠ 0)中的 m 和 n 同時擴大為原來的 2 倍，那么分式的絕對值( )
A. 擴大為原來的 2 倍
B. 不變
C. 縮小為原來的
D. 縮小為原來的
例7
感悟新知
知4－練
解題秘方：將分式中的 m 和 n 同時擴大為原來的 2 倍，再代入原分式，利用分式的基本性質變形 .
感悟新知
知4－練
解：把分式 中的 m 和 n 同時擴大為原來的 2 倍，可將分式變為 = = ，因此分式的絕對值縮小為原來的 .
答案：C
知4－練
感悟新知
方法點撥
解答此類問題，應先求出變化后的分式，然后運用分式的基本性質化簡，再與原分式進行比較即可 .
感悟新知
知4－練
[母題 教材P102習題T4]不改變分式的值，把下列各式的分子和分母中的各項系數都化為整數 ：
(1) ； (2) .
例8
感悟新知
知4－練
解題秘方：利用分式的基本性質將分子、分母同時乘同一個數，使系數都化為整數 .
感悟新知
知4－練
解： =
=.
(1) ；
感悟新知
知4－練
解： = =.
(2) .
知4－練
感悟新知
教你一招
利用分式的基本性質化系數為整數的方法：
1. 若各項系數都是小 數， 則分子、分母同乘 10 的正整數倍 .
2. 若各項系數都是分數，則分子、分母同乘分子和分母中所含分數的分母的最小公倍數 .
3. 若各項系數既有小數又有分數，則要先統一成小數或者分數，然后再化為整數 . 注意將系數化為整數的過程中不要漏項 .
知識點
分式的約分
知5－講
感悟新知
5
1. 分式的約分 根據分式的基本性質，把一個分式的分子和分母的公因式約去叫作分式的約分.
知5－講
感悟新知
特別解讀
1. 約分的依據是分式的基本性質，關鍵是確定分子 和分母的公因式 .
2. 約分是針對分式的分子和分母整體進行的，而不是針對其中的某些項，因此約分前一定要確認分子和分母都是乘積的形式 .
3. 約分一定要徹底，其結果必須是最簡分式或整式 .
知5－講
感悟新知
2. 找公因式的方法
(1)當分子、分母都是單項式時，先找分子、分母系數的最大公因數，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式；
(2)當分子、分母中有多項式時，先把多項式分解因式，再找公因式.
知5－講
感悟新知
3. 最簡分式 分子與分母沒有公因式的分式叫作最簡分式.
感悟新知
知5－練
[母題 教材P100例3]約分：
解題秘方：(1)中的分子、分母都是單項式，可以直接約分；(3)中的分子、分母都是多項式，先將分子、分母分解因式，再進行約分.
例9
感悟新知
知5－練
解：
==.
感悟新知
知5－練
解：
知5－練
感悟新知
特別提醒
約分時需要注意的問題：
1.注意發現分式的分子和分母的一些隱含的公因式(如互為相反數的式子).
2.當分式的分子或分母的系數是負數時，可利用分式的基本性質，把負號提到分式的前面 .
感悟新知
知5－練
下列各式中，最簡分式有______________.
例10
感悟新知
知5－練
解題秘方：根據最簡分式的定義識別.
解：
知5－練
感悟新知
知識儲備
最簡分式是約分后的形式，所以判斷最簡分式的唯一標準就是分式不能再約分 .
課堂小結
分式及其基本性質
分式的基
本性質
約分
分式有意
義的條件
分式的值為
0的條件
分式(共42張PPT)
9.3 分式方程
第九章 分式
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的應用
知識點
知1－講
感悟新知
1
分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知數的方程叫作分式方程 .
知1－講
感悟新知
2. 判斷一個方程是分式方程的條件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知數.
以上三者缺一不可.
知1－講
感悟新知
特別解讀
1. 分母中是否含有未知數是區分分式方程和整式方程的依據 .
2. 識別分式方程時，不能對方程進行約分或通分變形，更不能用等式的性質變形 .
感悟新知
知1－練
判斷下列方程是不是分式方程，并說明理由.
例1
感悟新知
知1－練
解題秘方：利用判別分式方程的依據——分母中含有未知數進行識別.
感悟新知
知1－練
解：(1)不是分式方程，因為分母中不含有未知數.
(2)是分式方程，因為分母中含有未知數.
(3)是分式方程，因為分母中含有未知數.
(4)是分式方程，因為分母中含有未知數.
(5)不是分式方程，因為分母中雖然含有字母a，但a 為非零常數，不是未知數.
知1－練
感悟新知
方法點撥
判斷一個方程是不是分式方程的方法：
根據分式方程的定義中的條件，判斷方程中的分母是否含有未知數(注意僅僅是字母不行，必須是表示未知數的字母)，如果含有未知數，那么這個方程就是分式方程，否則就不是分式方程 .
知識點
分式方程的解法
知2－講
感悟新知
2
1. 解分式方程的基本思路
去分母，把分式方程轉化為整式方程.
知2－講
感悟新知
2. 解分式方程的一般步驟
知2－講
感悟新知
3. 檢驗方程解的方法
(1)將整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.
(2)也可以將整式方程的解代入原分式方程，這種方法不僅能檢驗出該解是否適合原分式方程，還能檢驗所得的解是否正確 .
知2－講
感悟新知
4. 增根 分式方程兩邊同乘以最簡公分母變形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像這樣的根，稱為原方程的增根 .
增根產生的原因 去分母后，分式方程轉化為整式方程，未知數的取值范圍擴大了 .
知2－講
感悟新知
特別解讀
1. 解分式方程的關鍵是去分母 . 去分母時不要漏乘不含分 母的項，當分子是多項式時要用括號括起來 .
2. 解分式方程一定要檢驗方程的根，對于增根必須舍去 .
3. 對增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化為的整式方程的解；
(2)若分式方程有增根，則必是使最簡公分母為 0時未知數的值.
感悟新知
知2－練
[母題 教材P116例1]解下列方程：
解題秘方：將分式方程轉化為整式方程，通過求整式方程的解并檢驗，得到分式方程的解.
例2
感悟新知
知2－練
解：方程兩邊都乘以(x－4)(x－6)，
得x ( x－6)= ( x+2) ( x－4)，解得x=2.
檢驗：當x=2 時， ( x－4) ( x－6)≠ 0.
所以原分式方程的解為x=2.
感悟新知
知2－練
解：方程兩邊都乘以(x－3)，
得2－x=－1－2(x－3). 解得x=3.
檢驗：當x=3時，x－3=0，
所以 x=3 不是原分式方程的解. 所以原分式方程無解.
感悟新知
知2－練
解：方程兩邊都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 檢驗：當x= 時，3(x－1)≠ 0.
所以原分式方程的解為x= .
感悟新知
知2－練
解：原方程可化為
方程兩邊都乘以x(x+2)(x－2)，得4(x－2)+7x=6(x+2)，
解得x=4. 檢驗：當x=4 時，x(x+2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解為x=4.
知2－練
感悟新知
特別警示
去分母時的注意事項：
(1) 分母與最簡公分母中的因式不是相同而是互為相反數時， 去分母后注意改變符號，如例 2(2)中最簡公分母是(x－3)，而 的分母是(3－x)， 所以去分母后是 “－1”而不是“1”.
知2－練
感悟新知
(2) 分子是多項式的，去分母后要帶上括號，如例2(3) 中，去分母后為3(5x － 4)；
(3) 不含分母的項不要漏乘最簡公分母，且最簡公分母是多項式的也要帶上括號 .驗 根 是 必不可少的步驟.
知識點
分式方程的應用
知3－講
感悟新知
3
1. 列分式方程常用的等量關系
(1)行程問題：速度× 時間= 路程.
(2)利潤問題：利潤= 售價－ 進價；
利潤率= 利潤÷ 進價×100%.
(3)工程問題：工作量= 工作時間× 工作效率；總工作量= 各個分工作量之和.
(4) 儲蓄問題： 本息和 = 本金 + 利息 .
知3－講
感悟新知
2. 列分式方程解應用題的一般步驟
(1)審：即審題，根據題意找出已知量和未知量，并找出等量關系.
(2)設：即設未知數，設未知數的方法有直接設和間接設，注意單位要統一，選擇一個未知量用未知數表示，并用含未知數的式子表示相關量.
知3－講
感悟新知
(3)列：即列方程，根據等量關系列出分式方程.
(4)解：即解所列的分式方程，求出未知數的值.
(5)驗：即驗根，既要檢驗所求的未知數的值是否適合分式方程，還要檢驗此解是否符合實際意義.
(6)答：即寫出答案，注意單位和答案要完整.
知3－講
感悟新知
特別解讀
1.審題時，先尋找題目中的關鍵詞，然后借助列表、畫圖等方法準確找出等量關系.當題目中包含多個等量關系時，要選擇一個能夠體現全部( 或大部分) 數量的等量關系列方程.
2.設未知數時，一般題中問什么就設什么，即設直接未知數；若設直接未知數難以列方程，則可設另 一個相關量為未知數，即設間接未知數；有時設 一個未知數無法表示出等量關系，可設多個未知數，即設輔助未知數.
3.應用題中解分式方程同樣要驗根.
感悟新知
知3－練
為加快城市群的建設與發展，要在 A， B 兩城市間
新建一條城際鐵路，建成后，鐵路運行里程由現在的 120km縮短至 114km，城際鐵路的設計平均時速要比現行的平均時速快 110km，設計運行時間僅是現行時間的，求建成后的城際鐵路在 A， B 兩城市間的運行時間 .
例3
感悟新知
知3－練
解題秘方：根據題意中的兩個等量關系，一個用來表示未知量，一個用來列方程解決問題 .
感悟新知
知3－練
解：設建成后的城際鐵路在 A， B 兩城市間的運行
時間為 xh，則現行的運行時間為 x h.
根據題意，得－ =110.解得 x=0.6.
當 x=0.6 時， x ≠ 0，所以原分式方程的解為 x=0.6，且 x=0.6 符合題意 .
答：建成后的城際鐵路在 A， B 兩城市間的運行時間為0.6h.
知3－練
感悟新知
另解
設城際鐵路的現行平均速度 是 ykm/h， 則 城 際 鐵路的設計平均速度是(y+110)km/h.
根據題意，得· = . 解得 y=80.
經檢驗，y=80 是 原分式方程的解，且符合題意 .
所以× =0.6(h).
感悟新知
知3－練
[ 中考·德陽 ] 某鐵路貨運集裝箱物流園區正式啟動了
2 期擴建工程．一項地基基礎加固處理工程由 A， B 兩個工程公司承擔建設，已知 A 工程公司單獨建設完成此項工程需要180 天， A 工程公司單獨施工 45 天后， B 工程公司參與合作，兩工程公司又共同施工 54 天后完成了此項工程．
例4
感悟新知
知3－練
解題秘方：利用一項工程分幾部分完成， 各部分工作量之和等于工作總量“1” ，列出方程解決問題 .
知3－練
感悟新知
解法提醒
將工作總量看成 “1”時，完成任務的天數與工作效率互為倒數 .
在工程問題中，無論工作過程是怎樣的，等量關系都是：甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 +…= 總工作量 . 當總工作量沒有給出時，一般記為“1”.
感悟新知
知3－練
解：設 B 工程公司單獨建設完成此項工程需要 x天，
根據題意得 45× +54( + )=1，解得 x=120，
經檢驗， x=120 是原分式方程的解，且符合題意 .
答： B 工程公司單獨建設完成此項工程需要 120 天 .
(1)求 B 工程公司單獨建設完成此項工程需要多少天；
感悟新知
知3－練
(2)由于受工程建設工期的限制，物流園區管委會決定將此項工程劃包成兩部分，要求兩工程公司同時開工， A工程公司建設其中一部分用了 m 天完成， B 工程公司建設另一部分用了 n 天完成，其中 m， n 均為正整數，且 m<46， n<92，求 A， B 兩個工程公司各施工建設了多少天 .
感悟新知
知3－練
解：根據題意， 得 m· +n· =1， 整理，
得n=120 － m，因為 n<92，所以 120 － m<92，解得 m>42，又因為 m<46，所以 42答： A， B 兩個工程公司各施工建設了 45 天和 90 天．
感悟新知
知3－練
某超市用3 000 元購進某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調撥9 000 元資金購進該種干果，但這次的進價比第一次的進價提高了20%，購進干果的質量比第一次的2 倍還多300 千克. 若超市按9 元/ 千克的價格出售，當大部分干果售出后，余下的600 千克按售價的8 折售完.
例5
感悟新知
知3－練
(1)該種干果第一次的進價是多少元/ 千克？
解題秘方：根據等量關系“第二次購進干果的質量=2× 第一次購進干果的質量+300 千克”列方程進行求解；
感悟新知
知3－練
解：設該種干果第一次的進價是x 元/ kg，
則第二次的進價為(1+20%)x 元/ kg.
根據題意，得 ，解得x=5.
當x=5 時，(1+20%)x ≠ 0且符合題意.
所以原分式方程的解為x=5.
答：該種干果第一次的進價是5 元/ kg.
感悟新知
知3－練
(2)超市銷售這種干果共盈利多少元？
解題秘方：根據“盈利= 銷售額－成本”列式進行計算.
解：根據題意，盈利為 ×
9 + 600×9×80 % －(3 000+9 000)=(600+1 500 －600)×9+4 320 －12 000=5 820(元).
答：超市銷售這種干果共盈利5 820 元.
知3－練
感悟新知
詳解
由題意可知，按每千克 9 元的價格出售的干果的質量等于兩次購進的干果的總質量減去 600kg .
知3－練
感悟新知
知識儲備
利潤問題的相關公式及基本數量關系：
1. 相關公式：
售價 = 進價 ×（ 1+ 利潤率 )；
售價 = 標價 × 折扣；利潤率 =× 100%.
2. 基本數量關系：
利潤 = 售價 - 進價；利潤 = 進價 × 利潤率；
銷售額 = 銷 售量 ×銷售單價；
進價 ×（1+ 利潤率 )=標價 × 折扣 .
課堂小結
分式方程
解法
列
分式方程的應用
增根
產生
分式方程(共35張PPT)
9.2 分式的運算
第1課時
分式的乘除
第九章 分式
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
分式的乘除、乘方混合運算
知識點
知1－講
感悟新知
1
分式的乘法
分式的乘法法則 兩個分式相乘，用分子的積作為積的分子，用分母的積作為積的分母 .
用字母表示為
知1－講
感悟新知
2. 法則的運用方法
(1)若分子、分母都是單項式，可直接利用乘法法則運算后再約分；
(2)若分子、分母中有多項式，可先對分子、分母因式分解，約分后，再進行乘法運算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母為1 的“分式”參與運算.
知1－講
感悟新知
特別解讀
分式乘法運算的基本步驟：
第 1 步：確定積的符號，寫在積中分式的前面.
第 2 步：運用法則，將分子與分母分別相乘，是多項式的要帶括號.
第 3 步：約分，將結果化成最簡分式或整式.
感悟新知
知1－練
[母題 教材P105例1(1)]計算：
例 1
解題秘方：利用分式的乘法法則進行計算.
感悟新知
知1－練
解：
知1－練
感悟新知
解法提醒
對于分式的乘法計算的結果，要注意以下兩點：
1.結果必須是最簡分式或整式 .
2. 計算結果若為，要運用分式的符號法則寫成 －的形式.
知識點
分式的除法
知2－講
感悟新知
2
1. 分式的除法法則 兩個分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘 .
用字母表示為
知2－講
感悟新知
2. 法則的運用方法
(1)分式的除法需轉化成乘法，再利用分式乘法法則計算；
(2)當除式是整式時，可以將整式看成分母是1 的“分式”進行運算.
知2－講
感悟新知
特別提醒
1. 分式的除法與分數的除法類似，可類比分數的除法學習 .
2. 分式的除法法則是數學轉化思想的具體體現，即把除法運算轉化為乘法運算 .
3. 運算的結果應化為最簡分式或整式 .
感悟新知
知2－練
[母題 教材P105例1(2)]計算：
例2
解題秘方：利用分式的除法法則將分式的除法運算轉化為分式的乘法運算.
感悟新知
知2－練
解：
感悟新知
知2－練
解：
知2－練
感悟新知
解題通法
分式除法運算的基本步驟：
第 1 步： 將分子、分母是多項式的進行因式分解，并約分；
第 2 步： 將除法轉化成乘法；
第 3 步： 利用分式的乘法法則計算 .
知識點
分式的乘方
知3－講
感悟新知
3
1. 分式的乘方法則 分式乘方等于把分子、分母分別乘方.
用字母表示為 (n 為正整數).
根據負整數次冪的意義，可知( ) n=( AB -1) n.
知3－講
感悟新知
2. 分式乘方的方法
(1)分式乘方時，確定乘方結果符號的方法與有理數乘方確定結果符號的方法相同；
(2)分式乘方時，一定要將分子、分母分別乘方，不能將 錯寫成 ；
知3－講
感悟新知
(3)分式乘方時，若分子與分母是多項式，應把分子、分母分別看成一個整體乘方，避免出現( )2= 的錯誤.
知3－講
感悟新知
特別解讀
1.分式乘方是分式乘法中因式相同時的一種特殊情況，因此分式乘方都可轉化為分式乘法進行計算.
2.學習了分式乘方法則后，直接可用法則進行計算，在計算時先確定結果的符號，再把分子、分母分別乘方.
感悟新知
知3－練
計算：
解題秘方：先運用分式的乘方法則將分子、分母分別乘方，再運用冪的乘方和積的乘方的性質計算.
例 3
感悟新知
知3－練
解：
負數的奇次方為負，結果應為負.
感悟新知
知3－練
解：
知3－練
感悟新知
特別警示
在進行乘方運算時，必須將分子、分母整體分別乘方，當分式中 含 有“-” 號 時， 要特別注意符號問題 .
知識點
分式的乘除、乘方混合運算
知4－講
感悟新知
4
1. 分式的乘除混合運算 在運算時，乘除是同一級運算，若沒有其他附加條件(如括號等)，則應按照從左到右的順序進行計算，若有括號，則先算括號里面的. 一般地，乘除混合運算可以統一為乘法運算.
知4－講
感悟新知
2. 分式的乘除、乘方混合運算 分式的乘除、乘方混合運算順序與分數的乘除、乘方混合運算順序相同，即先算乘方，再算乘除，有括號的先算括號里面的.
知4－講
感悟新知
特別提醒
1. 分式的乘除、乘方混合運算的關鍵有兩點：一是正確選擇運算順序；二是正確運用運算法則 .
2. 運算的結果應化為最簡分式或整式 .
感悟新知
知4－練
計算：
(1) ÷ · ；
解題秘方：將分式乘除混合運算統一為分式乘法運算 .
例4
感悟新知
知4－練
解：÷ ·
= · ·
= .
感悟新知
知4－練
解：÷ (x+1) ·
=· · (－)
=－
=－.
(2) ÷ (x+1) · .
知4－練
感悟新知
解題通法
分式的乘除混合運算的解題步驟：
在分式的乘除混合運算中，一定要先將乘除混合運算統一成乘法運算，再按分式乘法法則進行計算，能分解因式的要分解因式，這樣便于約分，計算結果應是最簡分式或整式 .
感悟新知
知4－練
計算：
解題秘方：先算乘方，再算乘除，有括號的先算括號里面的.
例5
知4－練
感悟新知
解法提醒
分式乘除、乘方混合運算的解題步驟：
1. 在分式乘除、乘方的混合運算中，先計算乘方，再計算乘除 .
2. 乘、除是同一級運算，要按照從左到右的運算順序計算 .
3. 當分式中的分子、分母是多項式且能分解因式時，還要分解因式，以達到約分的目的.
感悟新知
知4－練
解：
感悟新知
知4－練
解：
課堂小結
分式的乘除
分式的乘方
轉化
分式的乘法
混合運算
轉化
分式的除法
分式的乘除(共30張PPT)
9.2 分式的運算
第2課時
分式的加減
第九章 分式
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
分式的通分
同分母分式的加減法
異分母分式的加減法
分式的混合運算
感悟新知
知1－講
知識點
分式的通分
1
1. 分式的通分 化異分母分式為同分母分式的過程，叫作分式的通分 .
感悟新知
知1－講
2. 最簡公分母 異分母分式通分時，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫作最簡公分母 .
感悟新知
知1－講
3. 通分的一般步驟
(1)確定最簡公分母；
(2)用最簡公分母分別除以各分母求商；
(3)用所得的商分別乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
知1－講
感悟新知
特別解讀
約分與通分的聯系與區別：
1.約分與通分都是對分式進行恒等變形，即變形之后每個分式的值都不變 .
2.約分是針對一個分式來說的，而通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的 .
感悟新知
知1－練
[母題 教材P108例3]把下列各組分式通分：
(1) 和 ；(2) 和；
(3) ，和 .
例1
知1－練
感悟新知
解題秘方：先確定最簡公分母，再通分 .
解：最簡公分母是 12x3y2z3，
= = ，
= = .
(1) 和
知1－練
感悟新知
方法點撥
確定最簡公分母的一般方法：
1. 如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是由各分母系數的最小公倍數、各分母相同字母的最高次冪、各分母所有不同字母及其指數的乘積這三部分組成 .
2. 如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的分解因式，再按照分母都是單項式時求最簡公分母的方法，從系數、相同因式、不同因式三個方面去確定 .
知1－練
感悟新知
解：最簡公分母是( x＋1)(x－1) ，
= = =，
= = =.
(2) 和
知1－練
感悟新知
解：最簡公分母是 3( x－y) 2，
===，
= ==，
= ==.
(3) ，和 .
知識點
知2－講
感悟新知
2
同分母分式的加減法
1. 同分母分式的加減法法則
同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減.
用字母表示為
知2－講
感悟新知
2. 同分母分式相加減的一般步驟
(1)分母不變，把分子相加減；
(2)分子相加減時，應先去括號，再合并同類項；
(3)結果應化成最簡分式或整式.
特別解讀
“ 分子相加減”就是把各個分式的分子整體相加減，在計算時，各分子都應用括號括起來.
感悟新知
知2－練
[母題 教材P110例4]計算：
例2
解題秘方：按照同分母分式的加減法法則進行計算即可，結果要化為最簡分式或整式.
感悟新知
知2－練
解：
知2－練
感悟新知
警示誤區
同分母分式相加減的三大易錯點：
1. 當分母不是相同而是相反時，不能直接相加減，將分母變成相同時，中間的運算符號隨之改變 .“+”變“-”，“-” 變“+”.
2. 當分子是多項式時，對分子進行加減時，要帶括號，然后進行去括號運算 .
3. 加減運算后，對運算的結果要化簡，最后的結果應是最簡分式或整式 .
知識點
異分母分式的加減法
知3－講
感悟新知
3
1. 異分母分式的加減法法則
異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減.
知3－講
感悟新知
2. 異分母分式相加減的一般步驟
(1)通分：將異分母分式轉化為同分母分式；
(2)加減：按照同分母分式加減運算的一般步驟進行計算. 注意異分母分式加減運算的關鍵是通分.
特別解讀
通分的關鍵是確定最簡公分母，分式與分式相加減時的最簡公分母是各分母的所有因式的最高次冪的積.
感悟新知
知3－練
[母題 教材P110例5]計算：
解題秘方：異分母分式相加減，先找最簡公分母，進行通分，變為同分母分式，再按照同分母分式的加減法法則進行計算.
例3
感悟新知
知3－練
解：
感悟新知
知3－練
在通分時，整式看成分母是1，整式作為分子的“分式”，若是多項式時，則看成一個整體，通分時要帶上括號.
解：
知3－練
感悟新知
特別提醒
1. 通分時，若要改變某個因式的符號，可利用分式符號的變化規律對分子、分母及分式前面的運算符號進行變換，如本題(1)，將分母“4－x” 變 為 “x－4”，提出的“－” 放在分式的前面，使本來的“+”變為“－”.
2. 類似同分母分式相加減，分子是多項式的注意帶上括號 .
3. 最后運算的結果應是最簡分式或整式 .
知識點
分式的混合運算
知4－講
感悟新知
4
1. 分式的混合運算順序
分式與分數的混合運算有相同的運算順序，即先算乘方，再算乘除，最后算加減. 有括號時，先進行括號內的運算，按照小括號、中括號、大括號的順序進行，對于同級運算，按從左到右的順序進行.
2. 分式混合運算的方法
(1)進行分式混合運算時，可以根據需要合理地運用運算律來簡化運算，此時先將分式的乘除法統一成乘法，分式的加減法統一成加法，才能使用乘法運算律、加法運算律簡化運算.
(2)運算過程中及時約分化簡，有時可使解題過程簡單.
(3)運算結果必須是最簡分式或整式.
知4－講
感悟新知
知4－講
感悟新知
特別提醒
1.分式混合運算要注意運算順序和解題步驟.
2.分式除法只有轉化為乘法后才能運用乘法分配律進行計算.
感悟新知
知4－練
[母題 教材P112例6]計算：
解題秘方：在進行分式的混合運算時，應先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的.
例4
感悟新知
知4－練
解：
感悟新知
知4－練
解：
可以看成分
母為1的式子.
感悟新知
知4－練
方法點撥
1. 有理數的運算順序及運算律對分式運算同樣適用 .
2. 分式的混合運算中要注意各分式中分子、分母符號的處理，結果中分子或分母的系數是負數的，要把“-” 提到分式的前面 .
3. 所有的分式運算，結果必須達到最簡 .
課堂小結
分式的加減
同分母
異分母
混合
運算
運算順序
運算律
分式的
加減

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