資源簡介

(共35張PPT)
8.3 完全平方公式與平方差公式
第八章 整式乘法與因式分解
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
完全平方公式
平方差公式
添括號
知1－講
感悟新知
知識點
完全平方公式
1
1. 完全平方公式 兩個數的和(或差)的平方，等于這兩個數的平方和加(或減)這兩個數乘積的 2 倍 .
用字母表示：( a+b) 2=a2+2ab+b2，( a－b) 2=a2－2ab+b2.
感悟新知
知1－講
特別解讀
1. 公式的特征：公式的左邊是一個二項式的完全平方，公式的右邊是一 個三項式，其中兩項是左邊二項式的各項的平方和，另一項是這兩項的乘積的 2 倍 .
2. 理解字母 a， b 的意義：公式中的字母 a，b可以表示具體的數，也可以表示含字母的單項式或多項式 .
3. 口訣記憶：頭平方和尾平方，頭(乘)尾兩倍在中央，中間符號照原樣 .
感悟新知
2. 完全平方公式的幾種常見變形公式
(1) a2+b2=(a+b) 2 － 2ab=( a－ b) 2+2ab；
(2) (a+b) 2=( a － b) 2 +4ab；
(3) (a － b) 2=(a+b) 2 － 4ab；
(4) (a+b) 2+( a － b) 2=2(a2+b2)；
知1－講
感悟新知
(5) (a+b) 2 －(a－ b) 2=4ab；
(6) ab= ［(a+b) 2 －(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 －(a － b) 2］；
(7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ .
知1－講
知1－練
感悟新知
[母題 教材P75例1、例2]計算：
(1) ( x+7y) 2；
例1
解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進行計算 .
解： ( x+7y) 2
=x2+2· x·(7y) +(7y) 2
=x2+14xy+49y2；
知1－練
感悟新知
解：(－ 4a+5b) 2
=(5b － 4a) 2
=(5b) 2 － 2· (5b) · (4a) +(4a) 2
=25b2 － 40ab+16a2；
(2)(－ 4a+5b) 2；
知1－練
感悟新知
解： (－ 2m － n) 2
=(2m+n) 2
=(2m) 2+2· (2m) · n+n2
=4m2+4mn+n2；
(3)(－ 2m － n) 2；
知1－練
感悟新知
解 ：(2x+3y)(－ 2x － 3y)
= －(2x+3y) 2
= － ［(2x) 2+2· (2x) · (3y) +(3y) 2］
= －(4x2+12xy+9y2)
= － 4x2 － 12xy － 9y2.
(4) (2x+3y)(－ 2x － 3y) .
兩個二項式相乘，若兩項都相同或都互為相反數，則用完全平方公式計算 .
知1－練
感悟新知
方法點撥
1. 利用完全平方公式進行整式運算的基本步驟：
(1)確定公式中的a、b；
(2)確定和差關系；
(3)選擇公式；
(4)計算結果 .
2. 兩個易錯點：
(1)套用公式時千萬不能漏掉 “2ab”項；
(2)兩個平方項的底數要帶上括號 .
知1－練
感悟新知
[母題 教材P77練習T2(2)]計算：(1)9952；
例2
解題秘方：將原數轉化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計算即可 .
解：9952=(1 000－5) 2
=1 0002－2×1 000×5+52
=1 000 000－10 000+25=990 025；
知1－練
感悟新知
解： (30 )2
= (30 + )2
=302+2×30× +()2
=900+20+=920 .
(2) (30 )2.
知1－練
感悟新知
方法點撥
利用完全平方公式進行數值運算時，主要是將底數拆成兩個數的和或差，拆分時主要有兩種形式：
1.將與整十、整百或整千接近的數拆分成整十、整百或整千的數與相差的數的和或差；
2.將帶分數拆分成整數部分與真分數的和或差 .
感悟新知
知2－講
知識點
平方差公式
2
1. 平方差公式 兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差 .
用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2.
感悟新知
知2－講
2. 平方差公式的幾種常見變化及應用
變化形式 應用舉例
(1)位置變化 ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a2－b2
(2)符號變化 (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) 2－a2=b2－a2
(3)系數變化 (3a+2b)(3a－2b)=(3a) 2－ (2b) 2 =9a2－4b2
(4)指數變化 ( a3 +b2)( a3－b2)=( a3) 2－ (b2) 2 =a6－b4
(5)增項變化 ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) 2－c2
(6)連用公式 ( a+b)( a－b）( a2+b2)=(a2－b2)( a2+b2)
=a4－b4
知2－講
感悟新知
特別解讀
1.公式的特征：
等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數 .
等號右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方減去相反項的平方.
2. 理解字母 a，b 的意義：平方差公式中的 a，b 既可代表一個單項式，也可代表一個多項式 .
感悟新知
知2－練
計算：
(1)(5m－3n)(5m+3n)；
例3
解：(5m － 3n)(5m+3n)
=(5m) 2 － (3n) 2
=25m2 － 9n2；
知2－練
感悟新知
解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”， 然后根據平方差公式進行計算 .
知2－練
感悟新知
解法提醒
運用平方差公式計算的 3 個關鍵步驟：
第 1 步：利用加法的交換律調整兩個二項式中項的位置，使之與公式左邊相對應，已對應的就不需調整，如(1)(2)不需調整，(3)(4)就必須調整 .
第 2 步：找準公式中的 a、 b 分別代表哪個單項式或多項式 .
第 3 步：套用公式計算，注意將底數帶上括號.如(1)中(5m) 2不能寫成 5m2.
知2－練
感悟新知
解： (－2a2+5b)(－2a2－5b)
=(－ 2a2) 2 －(5b) 2
=4a4 － 25b2；
(2) (－2a2+5b)(－2a2－5b)；
知2－練
感悟新知
解： (x+y )(－ x+y )
=( y+x)( y － x)=y2 －( x2)=y2 － x2；
(3) (x+y )(－ x+y )；
(4)(－3y－4x)(3y－4x) .
(－3y－4x)(3y－4x)
=( － 4x － 3y)( － 4x+3y)
=( － 4x) 2 － (3y) 2=16x2 － 9y2.
感悟新知
知2－練
[母題 教材P77練習T2(1)]計算：(1) 10.3×9.7；
例4
解題秘方： 找出平方差公式的模型，利用平方差公式進行計算 .
解：10.3×9.7
=(10+0.3)×(10－0.3)
=102－0.32
=100－0.09
=99.91；
知2－練
感悟新知
解：2 023×2 025－2 0242
=(2 024－1)×(2 024+1) －2 0242
=2 0242－1－2 0242
=－1.
(2)2 023×2 025－2 0242.
知2－練
感悟新知
方法點撥
運用平方差公式計算兩數乘積時，關鍵是找到這兩個數的平均數，再將原數與這個平均數進行比較，變成兩數的和與差的積的形式 .
感悟新知
知3－講
知識點
添括號
3
1. 添括號法則 添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不改變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都要改變符號 .
用字母表示：a+b+c=a+( b+c) =a－( －b－c)；
a－b－c=a－(b+c) =a+(－b－c) .
感悟新知
知3－講
2. 添括號法則的應用 添括號在利用乘法公式的計算中應用廣泛，利用添括號使原式變成符合乘法公式的形式，特別是利用 “括號前面是負號的時候，括到括號里的各項都要改變符號”來變形 .
知3－講
感悟新知
特別解讀
1. 添括號只是一個變形，不改變式子的值 .
2. 添括號是否正確，可利用去括號檢驗 .
知3－練
感悟新知
[母題 教材P77例4(1)P78例5]計算：
(1) (2x－y+4)(2x+y－4)；
例5
解： (2x－y+4)(2x+y－4)
=［2x－( y－4)］［2x+( y－4)］
=(2x) 2－( y－4) 2
=4x2－y2+8y－16；
知3－練
感悟新知
解題秘方：先通過添括號把式子轉化為符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式進行計算 .
知3－練
感悟新知
方法點撥
兩個三項式相乘，各項既有符號相同的也有符號不同的，可通過變形用平方差公式計算 .
確定平方差公式中的 “a”、“b”的方法：完全相同的項為“a”，絕對值相同符號相反的項為“b”.
三個數和的完全平方，利用添括號和整體思想轉化為兩個數和的完全平方進行計算，也可以直接套用三個數和的完全平方公式： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac進行計算 .
知3－練
感悟新知
解： ( m－2n+1)(－2n－1+m)
=［( m － 2n) +1］［( m － 2n) － 1］
=( m － 2n) 2 － 12
=m2 － 4mn+4n2 － 1；
(2) ( m－2n+1)(－2n－1+m)；
知3－練
感悟新知
解： (2a+3b－1)(1－2a－3b)
=(2a+3b － 1)［ － (2a+3b － 1)］
= － ［(2a+3b) － 1］ 2
= － ［(2a+3b) 2 － 2(2a+3b) +12］
= － (4a2+12ab+9b2 － 4a － 6b+1)
= － 4a2 － 12ab － 9b2+4a+6b － 1
= － 4a2 － 9b2 － 12ab+4a+6b － 1；
(3)(2a+3b－1)(1－2a－3b)；
知3－練
感悟新知
解：(3a－b+c) 2
=［(3a － b) +c］ 2
=(3a － b) 2+2c(3a － b) +c2
=9a2 － 6ab+b2+6a － 2bc+c2
=9a2+b2+c2 － 6ab+6ac － 2bc.
(4)(3a－b+c) 2.
完全平方公式與平方差公式
添括號
乘法
公式
完全平方公式
平方差公式(共29張PPT)
8.4 因式分解
第八章 整式乘法與因式分解
第1課時
提公因式法
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
因式分解
公因式
用提公因式法分解因式
知1－講
感悟新知
知識點
因式分解
1
1. 定義 把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫作因式分解，也叫作把這個多項式分解因式 .
感悟新知
2. 整式乘法與因式分解的關系
(1)整式乘法是積化和差，因式分解是和差化積，它們是互逆的變形 .
因式分解
即：多項式 整式的積 .
(2)可以利用整式乘法檢驗因式分解的結果的正確性 .
知1－講
感悟新知
知1－講
特別解讀
1. 因式分解的對象是多項 式， 結果是整式的積 .
2. 因式分解是恒等變形，形式改變但值不改變 .
3. 因式分解必須分解到每個多項式的因式都不能再分解為止 .
知1－練
感悟新知
下列變形中屬于因式分解的有( )
① 8xy3=2xy·4y2；② x2+1=x (x+ )；
③( x+5)( x － 5) =x2 － 25；④ x2+2x － 3=x(x+2) － 3；
⑤ x2y+xy2=xy( x+y) .
A. 4 個 B. 3 個 C. 2 個 D. 1 個
例1
知1－練
感悟新知
解題秘方：緊扣因式分解的定義進行識別 .
解法提醒
識別因式分解的兩個關鍵詞：
“多項式”說明等式的左邊是多項式，即分解的對象是多項式 .
“整式的積”說明右邊的結果是整式的積 .
一句話：因式分解是整式的和差化積的變化過程 .
知1－練
感悟新知
解：①中等號的左邊不是多項式，所以①不是因式分解；②中 不是整式，所以②不是因式分解；③是整式的乘法，所以③不是因式分解；④中等號右邊不是積的形式，所以④不是因式分解；⑤符合因式分解的定義，所以⑤是因式分解 .
答案：D
知1－練
感悟新知
下列因式分解正確的是( )
x3y － 2x2y+xy=xy( x2 － 2x)
B. x2 － x+= (x － )2
C. x2 － 2x+4=( x － 2) 2
D. 4x2 － y2=(4x+y)(4x － y)
例2
知1－練
感悟新知
解題秘方：根據因式分解與整式乘法之間的關系進行判斷 .
思路點撥
還沒有學習因式分解的方法，要判斷因式分解的正確性，可以通過逆向變形(整式乘法)檢驗因式分解是否正確 .
知1－練
感悟新知
解：利用整式的乘法法則將各選項中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相同的只有選項 B.
答案：B
知1－練
感悟新知
仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題： 已知二次三項式 x2－4x+m 分解因式后有一個因式是 x+3，求其另一個因式及 m 的值 .
解：設另一個因式為 x+n， 則 x2－4x+m=( x+3)(x+n)，即 x2－4x+m=x2+( n+3) x+3n.
所以解得
所以另一個因式為 x－7， m 的值為 －21.
例3
知1－練
感悟新知
解題秘方：根據因式分解與整式乘法是互逆變形，可以將因式分解的結果利用整式乘法算出多項式，并與已知多項式進行比較，從而解決問題 .
知1－練
感悟新知
問題：(1) 若二次三項式 x2－5x+6 可分解為( x－2) · (x+a)，
則 a=______ ；
(2) 若二次三項式 2x2+bx－5 可分解為(2x－1)( x+5) ，則 b=_______ ；
(3)已知二次三項式 2x2+5x－k 分解因式后有一個因式為2x－3，求其另一個因式及 k 的值 .
－3
9
知1－練
感悟新知
解：設另一個因式為 x+q，
則 2x2+5x－k=(2x－3)(x+q)，
即 2x2+5x－k=2x2+(2q－3) x－3q，
所以 解得
所以另一個因式為 x+4， k 的值為 12.
知1－練
感悟新知
一題多解
因式分 解是恒等變形，利用恒等式的性質還有另一種解法：
恒等式的性質：
等式中的字母無論取何值時等式都成立 .
如：x2－4x+m=(x+3)(x+n)，將 x=－3 代入左右兩邊得9+12+m=0，解得 m=－21.
同樣可利用此方法解決(1)，(2)，(3)題，同學們可以自己試一試 .
感悟新知
知2－講
知識點
公因式
2
1. 公因式的定義 多項式的每一項都含有的相同因式，叫作各項的公因式 .
感悟新知
知2－講
2. 公因式的確定
(1)確定公因式的系數，若多項式中各項系數都是整數，則取各項系數的最大公因數．
(2)確定字母及字母的指數，取各項都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項相同字母的指數取其中次數最低的 .
(3)若多項式各項中含有相同的多項式因式，則應將其看成一個整體，不要拆開，作為公因式中的因式 .
如3x( x－y) +x2( x－y)的公因式是 x( x－y) .
知2－講
感悟新知
特別解讀
1. 公因式必須是多項式中每一項都含有的因式 . 只在某個或某些項中含有而其他項中沒有的因式不能成為公因式的一部分.
2. 公因式可以是數，也可以是單項式或多項式．
感悟新知
知2－練
指出下列多項式各項的公因式：
4xy3－8x3y2 ；
(2) 3a2y－3ay+6y ；
例4
解：(1)中各項的公因式為 4xy2.
(2)中各項的公因式為 3y.
解題秘方：緊扣公因式的定義求解 .
知2－練
感悟新知
解法提醒
1. 若多項式中首項的符號是“-”，則公因式的符號一般為負 .
2. 若多項式各項中含有互為相反數的因式，則可將互為相反數的因式統一成相同的因式 .
知2－練
感悟新知
解：(3)中各項的公因式為－9a2b.
(3) －27a2b3+36a3b2+9a2b ；
(4) a(x－y) 3+b(x－y) 2+(x－y) 3.
(5) b2( x － 3) +b( 3 － x) .
(4)中各項的公因式為( x－y) 2.
(5)中各項的公因式為 b(x－3).
感悟新知
知3－講
知識點
用提公因式法分解因式
3
1. 定義 一般地，如果多項式的各項含有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫作提公因式法 .
用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) .
感悟新知
知3－講
2. 用提公因式法分解因式的一般步驟
(1)找出公因式，就是找出各項都含有的公共因式 .
(2)確定另一個因式：另一個因式即多項式提取公因式后剩下的部分 .
(3)寫成積的形式 .
知3－講
感悟新知
特別解讀
1. 公因式必須是多項式的每一項都含有的相同的因式 .
2. 多項式有幾項，提出公因式后剩下的另一個因式就有幾項，不能漏項 .
知3－練
感悟新知
[母題 教材P81例1]將下列各式分解因式：
(1) 6x3y2－8xy3z；
例5
解： 6x3y2－8xy3z
=2xy2· 3x2 － 2xy2· 4yz
=2xy2(3x2 － 4yz) .
解題秘方：緊扣提公因式法的步驟分解因式 .
知3－練
感悟新知
解： －4a3b2+12a2b－4ab
= － (4a3b2 － 12a2b+4ab)
= － (4ab· a2b － 4ab· 3a+4ab)
= － 4ab( a2b － 3a+1) .
(2) －4a3b2+12a2b－4ab.
4ab 與公因式相同，提
取公因式后，此項剩余部
分為“1”，此處容易漏掉“1”
這一項而導致出錯．
知3－練
感悟新知
解法提醒
當多項式首項系數是負數時，一般應先提出 “－”，但要注意，此時括號內各項都要改變符號 .
提公因式法
互逆變形
檢驗
整式
乘法
公因式
因式分解
定義
提公因式法(共32張PPT)
8.1 冪的運算
第八章 整式乘法與因式分解
第1課時 同底數冪的乘法、
冪的乘方與積的乘方
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
同底數冪的乘法
冪的乘方
積的乘方
知識點
同底數冪的乘法
知1－講
1
冪的運算性質 1(同底數冪的乘法法則) 同底數冪相乘，底數不變，指數相加 .
用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整數) .
示例： am· an=am+n(m， n 都是正整數)
知1－講
特別解讀
1. 運用此運算性質有兩個關鍵條件：一是底數相同；二是乘法運算，兩者缺一不可 .
2. 指數相加的和作為積中冪的指數，即運算結果仍然是冪的形式 .
3. 單個字母或數字可以看成指數為 1 的冪，運算時易漏掉 .
知1－講
2. 運算性質的拓展運用
(1)同底數冪的乘法運算性質對于三個及三個以上同底數冪相乘同樣適用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整數).
(2)同底數冪的乘法運算性質既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整數).
● ●
知1－講
例 1
[母題 教材P52例1]計算： (1) 108×102；
(2) x7· x；
(3) an+2· an － 1；
解題秘方：緊扣同底數冪的乘法運算性質進行計算.
解： 108×102=108+2=1010；
x7· x=x7+1=x8；
an+2· an － 1 =an+2+n－1=a2n+1；
知1－講
(4) － x2· (－ x) 8；
(5) (x+3y) 3· (x+3y) 2· (x+3y) ；
(6) (x － y) 3· (y － x) 4.
解： － x2· (－ x) 8=－x2· x8=－x10；
(x+3y) 3· (x+3y) 2· (x+3y) = (x+3y) 3+2+1= (x+3y) 6；
(x － y) 3· (y － x) 4 = (x － y) 3 · (x － y) 4 = (x － y) 7.
知1－講
特別提醒：
運用同底數冪的乘法運算性質時應注意以下幾點：
1. 底數既可以是單項式也可以是多項式，當底數是多項式時，應將多項式看成一個整體進行計算 .
2. 底數不同時，若能化成相同底數，則先轉化為同底數冪，再按運算性質進行計算 .
知1－練
感悟新知
解法提醒
化不同底數為同底數時常用到的兩種變形：
1.(－a)n=
2.(a－b)n=
知1－講
例2
(1)若 am=2， an=8，求 am+n 的值 .
(2)已知 2x=3，求 2x+3 的值 .
解題秘方：逆用同底數冪的乘法法則，即 am+n=am· an(m、n 都是正整數)..
解： 因為 am=2， an=8，所以 am+n=am· an=2×8=16.
知1－練
感悟新知
解法提醒
此題逆用同底數冪的乘法運算性質， 將冪am+n， 2x+3 轉化為同底數冪的乘法，然后把已知條件整體代入求值，體現了整體思想的應用 .
知1－講
解： 因為 2x=3，
所以 2x+3=2x· 23=3×8=24.
(2)已知 2x=3，求 2x+3 的值 .
知識點
冪的乘方
知2－講
2
1.冪的運算性質 2(冪的乘方) 冪的乘方，底數不變，指數相乘.
● ● ● ● ● ●
用字母表示:(am)n=amn(m、n 是正整數).
示例： ( am) n=amn( m， n 都是正整數)
● ●
知2－講
特別解讀
1. “底數不變”是指冪的底數a不變，“指數相乘”是指冪的指數m 與乘方的指數n相乘.
2. 底數可以是一個單項式，也可以是一個多項式.
知2－講
2. 運算性質的拓展運用
(1)冪的乘方運算性質的推廣：［(am)n］p=amnp(m、n、p 都是正整數)；
(2)冪的乘方運算性質既可以正用，也可以逆用，逆用時amn=(am)n=(an)m(m、n 都是正整數).
● ●
例 3
[母題 教材P54例2、例3]計算：
( a2 ) 3 ； (2) ［ ( x － 2y ) 3］ 4；
(3) ［ ( － x ) 3］ 4 ； (4) x2· x4+ ( x2 ) 3.
解題秘方：緊扣冪的乘方運算性質進行計算 .
知2－練
知2－練
感悟新知
解法提醒
用冪的乘方法則計算時，不要把冪的乘方與同底數冪的乘法混淆，其相同點都是底數不變，不同點是同底數冪的乘法為指數相加，而冪的乘方為指數相乘 .
解：
( a2 ) 3=a2×3= a6 ；
［ ( x － 2y ) 3］ 4 = ( x － 2y ) 3×4= ( x － 2y ) 12；
(3) ［ ( － x ) 3］ 4； = ( － x ) 3×4= ( － x ) 12=x12 ；
(4) x2· x4+ ( x2 ) 3=x6+x6=2x6.
出現混合運算時，先算乘方，
再算乘法，最后算加法 .
知2－練
例4
已知 a2n=3，求 a4n－a6n 的值 .
解題秘方：此題已知 a2n=3，需逆用冪的乘方運算性質把 a4n－a6n用 a2n表示，再把 a2n=3 整體代入求值 .
知2－練
解： a4n－a6n
=(a2n) 2 － (a2n) 3
=32 － 33
=9 － 27
= － 18.
知2－練
方法提醒
逆用冪的乘方法則求式子值的方法：
把指數是積的形式的冪寫成冪的乘方，如am· an=am+n( m， n 都是正整數) ，然后整體代入，求式子的值．
知2－練
知3－講
知識點
積的乘方
3
冪的運算性質 3(積的乘方)
積的乘方等于各因式乘方的積 .
用字母表示:(ab) n=anbn( n 為正整數) .
示例：(ab) n=anbn( n 為正整數)
特別提醒
1. 積的乘方的前提是底數是乘積的形式，每個因式可以是單項式，也可以是多項式 .
2. 積的乘方的底數為乘積的形式，若底數為和的形式則不能用，即(a+b)n ≠ an+bn.
知3－講
▲ ▲ ▲
▲ ▲
知3－講
2.運算性質的拓展運用
(1)積的乘方運算性質的推廣：(abc)n=anbncn(n 為正整數)；
(2)積的乘方運算性質既可以正用，也可以逆用，逆用時anbn=(ab)n(n 為正整數).
[母題 教材P55例4]計算：
(1) ( x· y3 ) 2；(2) (－ 3×102 ) 3；(3) [(－ a3 ) 2 ] 2；(4) (－ a2b3 ) 3.
例5
解題秘方：運用積的乘方、冪的乘方的運算性質進行計算 .
知3－練
解： ( x· y3 ) 2 =x2· ( y3 ) 2=x2y6.
解法提醒
利用積的乘方法則計算時，要先確定積中的因式，然后將每個因式都乘方，最后求出所有冪的積 .
知3－練
(2) (－ 3×102 ) 3；
(3) [(－ a3 ) 2 ] 2；
解：(－ 3×102 ) 3= (－ 3 ) 3× ( 102 ) 3=
－ 27×106= － 2.7×107；
[(－ a3 ) 2 ] 2=( a6) 2=( ) 2·(a6) 2= a12 ；
解：(－ a2b3 ) 3 = (－ 1 ) 3· ( a2 ) 3· ( b3 ) 3= － a6b9.
系數乘方時，要帶上前面的符號，
特別是系數為 － 1 時，不要漏掉 .
知3－練
(4) (－ a2b3 ) 3.
例6
計算：
(1)48×0.258 ；(2) ( － ) 2 026× ( 1 ) 2 026.
知3－練
解題秘方：緊扣“兩底數互為倒數(或負倒數) ，且指數又是相同的”這一特征，逆用積的乘方運算性質進行計算 .
知3－練
感悟新知
解法提醒
求指數相同的幾個冪相乘的方法：
當指數相同的兩個或幾個冪相乘時，如果底數的積容易求出，利用anbn=(ab) n( n 為正整數)可先把底數相乘再進行乘方運算，從而使運算簡便 .
( － ) 2 026× (1 ) 2 026 =
( － × ) 2 026 = (－ 1 ) 2 026=1.
知3－練
(1)48×0.258 ；
(2) ( － ) 2 026× ( 1 ) 2 026.
解： 48×0.258= ( 4×0.25 ) 8=18=1；
同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方
同底數冪的乘法
底數與指
數的變化
關鍵點
積的乘方
冪的乘方(共26張PPT)
8.2 整式乘法
第八章 整式乘法與因式分解
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
單項式與單項式相乘
單項式與多項式相乘
多項式與多項式相乘
知識點
單項式與單項式相乘
知1－講
1
1. 單項式乘法法則
單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式 .
知1－講
2. 單項式與單項式相乘的步驟
(1)確定積的系數，積的系數等于各單項式系數的積；
(2)同底數冪相乘，底數不變，指數相加；
(3)只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里.
知1－講
3. 單項式乘法法則的實質是乘法交換律、乘法結合律和同底數冪的乘法法則的綜合運用.
知1－講
特別提醒
1. 單項式與單項式相乘的結果仍為單項式.
2. 只在一個單項式里含有的字母，寫積時不要遺漏.
3. 單項式乘法法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用.
知1－講
[母題 教材P66例1]計算： (1) 4xy2· ( － x2yz ) ；
例1
解： 4xy2· ( － x2yz )
= [ 4× ( － ) ] · x1+2y2+1z
= － 2x3y3z ；
解題秘方：緊扣單項式乘法法則，并按步驟進行計算 .
知1－講
解： 5x· ( ax ) · (－ 2.25axy ) · (－ 3x2y2 )
= [ 5× × ( － 2.25 ) × ( － 3 ) ] a1+1x1+1+1+2y1+2
= a2x5y3 ；
(2) 5x· ( ax ) · (－ 2.25axy ) · (－ 3x2y2 ) ；
知1－講
解： 5a3b· (－ 3b ) 2+ (－ 6ab ) 2· (－ ab ) － ab3· ( － 4a ) 2
=5a3b· 9b2+36a2b2· ( － ab ) － ab3· 16a2
=45a3b3 － 36a3b3 － 16a3b3
= － 7a3b3.
(3) 5a3b· (－ 3b ) 2+ (－ 6ab ) 2· (－ ab ) － ab3· ( － 4a ) 2.
知1－練
感悟新知
解法提醒
(1)(2)兩題可按單項式與單項式相乘的法則直接進行計算，即把系數與同底數的冪分別相乘，(3)題是混合運算，要注意運算順序，應先算乘方，再算乘法，最后算加減法.
單項式與單項式相乘時，要依據其法則依次計算，特別要注意積的符號，凡是在單項式里出現過的字母，在其結果里也應全都有，不能漏掉．
知識點
單項式與多項式相乘
知2－講
2
單項式與多項式的乘法法則
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加 .
用字母表示為n(a+b+c)=na+ nb+nc．
● ● ●
2. 單項式與多項式相乘的幾何解釋
如圖8.2-1，大長方形的面積可以表示為p(a+b+c)，也可以將大長方形的面積視為三個小長方形的面積之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc.
知2－講
知2－講
特別解讀
1. 單項式與多項式相乘，實質上是利用乘法分配律將其轉化為單項式與單項式相乘 .
2. 單項式與多項式相乘的結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同 .
知2－講
[母題 教材P68例3]計算：
(1)(－3x)(－2x2+1)；
解：(－3x)(－2x2+1)
=(－3x)·(－2x2)+(－3x)×1
= 6x3－3x；
例2
解題秘方：用單項式乘多項式的法則進行計算.
知2－練
感悟新知
解： (3xy2－6xy－1) · xy
=3xy2· xy+(－ 6xy) · xy+( － 1) · xy
=x2y3 － 2x2y2 － xy.
(2) (3xy2－6xy－1) · xy.
知2－練
感悟新知
特別提醒
1. 單項式乘多項式，當多項式的某一項為 1 時， 千萬不能出現漏乘的情況 .
2. 多項式的各項都包括它前面的符號，(2)中多項式的項有 3xy2， － 6xy， － 1，計算 時要將這三項分別與 xy 相乘 .
知識點
多項式與多項式相乘
知3－講
3
1. 多項式與多項式的乘法法則
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加 .
用字母表示為(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.
2. 多項式與多項式相乘的幾何解釋
如圖8.2-2，大長方形的面積可以表示為(a+b)(p+q)， 也可以將大長方形的面積看成四個小長方形的面積之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq.
知3－講
知3－講
特別解讀
1. 多項式乘多項式法則的實質是將多項式與多項式相乘轉化為幾個單項式相乘的和的形式 .
2. 多項式與多項式相乘的結果仍為多項式，在合并同類項之前，積的項數應該是兩個多項式的項數之積 .
知3－講
計算： (1)(x－4)(x+1)；
解： (x－4)(x+1) =x2+x－4x－4
=x2－3x－4；
解題秘方：緊扣多項式與多項式的乘法法則，用“箭頭法”進行計算.
例3
知3－練
感悟新知
方法點撥
(x+a) (x+b)型的多項式乘法，直接用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 計算，更簡便 .
知3－講
(2)(3x+2)(2x－3)；
解： (3x+2)(2x－3)
=3x·2x+3x×(－3)+2×2x+2×(－3)
=6x2－9x+4x-6
=6x2－5x－6；
此處切忌犯如下錯誤：
（3x+2）（2x－3）
=3x·2x+2×（－3）
=6x2－6.
知3－講
(3)(x+2)(x2 － 2x+4).
解：(x+2)(x2 － 2x+4)
=x·x2+x·(－ 2x)+x×4+2·x2+2×(－2x)+2×4
=x3 － 2x2+4x+2x2 － 4x+8
=x3+8.
知3－練
感悟新知
另解
可以將 x2－2x+4 看成一個整體，利用分配律計算：
(x+2)(x2－2x+4)
=x(x2－2x+4)+2（x2－2x+4）
=x3－2x2+4x+2x2－4x+8
=x3+8.
知3－練
感悟新知
教你一招：用“箭頭法”解多項式乘多項式的問題
多項式與多項式相乘，為了做到不重不漏，可以用“箭頭法” 標注求解， 如計算( x－2y)(5a－3b) 時， 可作標注： ( x－2y)(5a－3b)，根據箭頭指示，即可得到 x· 5a， x·(－3b)，(－2y) · 5a，(－2y) · ( －3b)，把各項相加，繼續求解即可 .
整式乘法
轉化
多項式與單項式相乘
整式
乘法
單項式與單項式相乘
多項式與多項式相乘
轉化(共38張PPT)
8.1 冪的運算
第八章 整式乘法與因式分解
第2課時
同底數冪的除法
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
同底數冪的除法
零次冪
負整數次冪
用科學記數法表示絕對值小于 1 的數
知識點
同底數冪的除法
知1－講
1
冪的運算性質 4(同底數冪的除法)
同底數冪相除，底數不變，指數相減.
● ● ● ●
● ● ● ●
用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整數，且m>n).
知1－講
2. 運算性質的拓展運用
(1)運算性質的推廣： 適用于三個及三個以上的同底數冪相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整數，且m>n+p)；
(2)同底數冪的除法法則既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整數，且m>n).
● ●
知1－講
特別解讀
1. 運用法則的條件有兩個：
一是底數相同，二是除法運算，二者缺一不可 .
2. 底數 a 可以是單項式，也可以是多項式，但底數 a 不能為 0.
知1－講
[母題 教材P57例6]計算：
(1) (－x) 8÷(－x) 4；(2) ( x－y) 7÷( y－x) 5.
解題秘方：緊扣“同底數冪相除，底數不變，指數相減”計算.
解： (－x) 8÷(－x) 4
= (－x) 8-4
= (－x) 4
=x4；
例1
知1－講
解： ( x－y) 7÷( y－x) 5
= ( x－y) 7÷［ － ( x－y) 5］
= － ( x－y) 7-5
= － ( x－y) 2.
(2) ( x－y) 7÷( y－x) 5.
知1－練
感悟新知
方法點撥
1. 底數互為相反數的相同偶次冪相等，相同奇次冪互為相反數，即：(a－b)2n=(b－a)2n，(a－b)2n+1=－ (ba)2n+1.
2. 底數互為相反數的冪相除，先化為同底數冪，再運用運算性質計算 .
知1－講
已知 xm=9， xn=27，求 x3m-2n 的值 .
例2
解題秘方：逆用同底數冪的除法法則，即 am-n=am÷an (a ≠ 0，m，n 是正整數，且m>n)，進行變形求值 .
知1－講
解： x3m-2n =x3m÷ x2n
= ( xm ) 3÷ ( xn ) 2
=93÷272
=1.
93÷272=（32）3÷（33）2
=36÷36=1
方法點撥：逆向運用同底數冪的乘除法法則和冪的乘方法則求值的方法：當冪的指數是含有字母的加法時，通常轉化為同底數冪的乘法；當冪的指數是含有字母的減法時，通常轉化為同底數冪的除法；當冪的指數是含有字母的乘法時，通常轉化為冪的乘方，然后逆用法則并整體代入求值 .
知1－講
知1－練
感悟新知
解法提醒
觀察 x3m-2n 的特征可以發現，其指數里含減號，可逆用同底數冪的除法運算性質解題 .
感悟新知
知2－講
知識點
零次冪
2
1. 零次冪的推導 同底數冪相除，如果被除式的指數等于除式的指數，例如 am÷ am，那么根據除法的意義可知所得的商為 1. 另一方面，如果依照同底數冪的除法法則來計算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1.
感悟新知
知2－講
2. 零次冪 任何一個不等于零的數的零次冪都等于 1.
用字母表示： a0=1(a ≠ 0) .
知2－講
感悟新知
特別解讀
1. 零指數冪在同底數冪的除法中，是除式與被除式的指數相同時的特殊情況 .
2. 指數為 0，但底數不能為 0，因為底數為0 時，除法無意義 .
感悟新知
知2－練
已知式子(2x－6) 0+ 有意義，則 x 的取值范圍
是( )
A. x ≥ 1 且 x ≠ － 3 B. x ≥ 1 且 x ≠ 3
C. x>1 且 x ≠ 3 D. x>1 且 x ≠ － 3
例3
知2－練
感悟新知
解題秘方：根據零次冪及算術平方根有意義的條件確定x 的取值范圍 .
解：根據零次冪有意義的條件，可得 2x － 6 ≠ 0，則x ≠ 3. 由 有意義，可得 x － 1 ≥ 0，即 x ≥ 1.
故 x 的取值范圍是 x ≥ 1 且 x ≠ 3.
答案：B
知2－練
感悟新知
解法提醒
a0 有意義的條件 是 a ≠ 0， 有意義的條件是 a ≥ 0.
若在一個式子中同時存在兩種形式，則兩個條件要同時滿足 .
感悟新知
知2－練
計算 | － 3 |+(－ 1) 0.
例4
解題秘方：負數的絕對值是它的相反數，任何不為 0 的數的 零次冪都等于 1.
解： | － 3 |+(－ 1) 0 =3+1=4.
知2－練
感悟新知
易錯警示
對零指數冪的規定記憶不清，容易出現零指數冪的結果為 0 的錯誤 .
感悟新知
知3－講
知識點
負整數次冪
3
1. 負整數次冪一般地，我們約定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整數). 任何一個不等于零的數的 –p( p 是正整數)次冪，等于這個數的 p 次冪的倒數 .
感悟新知
知3－講
2. 整數指數冪的運算性質
(1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整數)；
(2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整數)；
(3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整數)；
(4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整數) .
知3－講
感悟新知
易錯警示
負整數指數冪的運算，既可以等于正整數指數冪的倒數，也可以等于倒數的正整 數指數冪 ，
即a-p= =()p(a ≠ 0).
2. 當指數為負整數或0時，一定要保證底數不為 0.
知3－練
感悟新知
計算： + | － 4|+( － 1) 0 －() － 1= _______.
例5
6
解題秘方：根據各個運算法則進行計算 .
解： + | － 4|+( － 1) 0 －() － 1
=3+4+1 － 2
=6.
知3－練
感悟新知
解法提醒
對于底數是分數的負 整 數 指 數 冪， 我 們可采用底倒指反法，將其轉化為這個數的倒數的正整 數指數冪， 即() -n= () n.
感悟新知
知4－講
知識點
用科學記數法表示絕對值小于 1 的數
4
1. 科學記數法 絕對值小于 1 的數可記成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整數，n 等于原數中第一個不等于零的數字前面的零的個數(包括小數點前面的一個零)，這種記數方法也是科學記數法 .
感悟新知
知4－講
2. 用科學記數法表示小于 1 的正數的一般步驟
(1) 確定 a： a 是絕對值大于或等于 1 且小于 10 的數 .
(2) 確定 n： 確定 n 的方法有兩個，即
① n 等于原數中第一個不等于零的數字前面的零的個數(包括小數點前面的一個零)；
②小數點向右移到第一個不等于零的數字后，小數點移動了幾位， n 就等于幾 .
(3)將原數用科學記數法表示為 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整數) .
知4－講
感悟新知
特別提醒
用科學記數法表示 絕對值小于 1的數時，10 的指數是負數，一定不要忘記指數 n前面的負號 .
感悟新知
知4－練
用科學記數法表示下列各數：
(1)0.000 003；(2) －0.000 020 8；(3)0.000 000 004 67.
例6
解題秘方：按 照科學記數法的要求， 將各數寫成 ± a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整數 .
知4－練
感悟新知
解：(1) 0.000 003=3×10－6；
3 前面有 6 個 0
(2) －0.000 020 8=－2.08×10－5；
2 前面有 5 個 0
(3) 0.000 000 004 67=4.67×10－9.
4 前面有 9 個 0
知4－練
感悟新知
教你一招
用科學記數法表示絕對值小于 1 的數的方法：
用科學記數法表示絕對值小于 1 的數時，一般形式為 ±a× 10-n，其中 1 ≤ |a|<10， n 是正整數， n 由原數中左起第一個不為 0 的數字前面的 0 的個數(包括小數點前的一個 0)所決定 .
感悟新知
知4－練
將下列用科學記數法表示的數還原成原數 .
(1) 6× 10－4；(2) －7.2×10－5；(3)5.68×10－6.
例7
解題秘方：把用科學記數法表示的絕對值小于 1 的數還原時，指數的絕對值是幾，小數點就向左移動幾位 .
知4－練
感悟新知
－7.2×10－5=－0.000 072；
6× 10－4；
(2) －7.2×10－5；
(3)5.68×10－6.
5.68×10－6=0.000 005 68.
解：6×10－4=0.000 6；
知4－練
感悟新知
方法點撥
把用科學記數法表示的絕對值小于1的數還原的方法：
把a×10 － n (其中1≤ ｜a｜ <10，n 是正整數) 還原成原數時，只需把a 的小數點向左移動 n位即可 .
感悟新知
知4－練
計算： (1) (3×10－4) 2×(2×10－6) 3；
(2)(8×10－7) 2÷ (2×10－3) 3.
例8
解題秘方：先計算乘方，再計算乘除 .
解：(3×10－4) 2×(2×10－6) 3
=9×10－8×8×10－18
=(9×8)×(10－8×10－18)
=7.2×10－25；
知4－練
感悟新知
解：(8×10－7) 2÷(2×10－3) 3
=(64×10－14)÷(8×10－9)
=(64÷8)×(10－14÷10－9)
=8×10－5.
(2)(8×10－7) 2÷ (2×10－3) 3.
知4－練
感悟新知
解法提醒
計算有關科學記數法表示的數的算式時，乘方運算用積的乘方法則，乘除運算用同底數冪的乘除法法則，計算的結果也應該用科學記數法的形式表示 .
同底數冪的除法
負整數次冪
用科學記數法表示絕對值小于 1 的數
同底數冪
的除法
零次冪
運算性質(共36張PPT)
8.4 因式分解
第八章 整式乘法與因式分解
第2課時
公式法
逐點
導講練
課堂小結
作業提升
學習目標
課時講解
1
課時流程
2
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
用分組分解法分解因式
知1－講
感悟新知
知識點
用平方差公式分解因式
1
1. 平方差公式法
兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積 . 即： a2－b2=(a+b)( a－b) .
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2. 平方差公式的特點
(1)等號的左邊是一個二項式，各項都是平方的形式且符號相反；
(2)等號的右邊是兩個二項式的積，其中一個二項式是這兩個數的和，另一個二項式是這兩個數的差 .
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3. 運用平方差公式分解因式的步驟
一判： 根據平方差公式的特點，判斷是否為平方差，若負平方項在前面，利用加法的交換律把負平方項放在后面 .
二定： 確定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是單獨一個數或字母外，其余不管是單項式還是多項式都必須用括號括起來，表示一個整體 .
三套： 套用平方差公式進行分解 .
四整理： 將每個因式去括號，合并同類項化成最簡 .
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特別解讀
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平 方差公式的逆用 .
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合兩數和與兩數差的積的條件后，結果可寫成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能寫成平方差形式的多項式，可以分解成兩個數的和乘兩個數的差的形式 .
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分解因式： (1) 4x2－25y2；
例1
解題秘方：先確定平方差公式中的“a”和“b”，再運用平方差公式分解因式 .
解： 原式
=(2x) 2 － (5y) 2
=(2x+5y)(2x － 5y)；
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解：原式=(a+2+1)( a+2 － 1)
=(a+3)( a+1)；
(2)(a+2) 2－1；
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解：原式=x4 －
=( x2+ )(x2 － )
=(x2+ )(x+ )(x － )；
(3) － +x4；
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解：原式=［4(a － b) +5( a+b)］［4( a － b) － 5( a+b)］
=(4a － 4b+5a+5b)(4a － 4b － 5a － 5b)
=(9a+b)( － a － 9b)
= － (9a+b)( a+9b) .
(4)16( a－b) 2－25( a+b) 2.
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特別提醒
1. 確定公式中的“a” 和“b”時，不能只看表面， 如 4x2=(2x)2，則“a”指的是 2x；16(a － b)2= [4(a － b)]2，則“a”指的是 4(a － b).
2. 平方差公式可以連續運用 . 如(3)題，必須做到每個因式都不能再分解為止 .
3. 運用平方差公式分解因式時，若“a”和 “b”都是多項式，先要添加括號，再去括號，然后化簡得出最后結果 .
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知識點
用完全平方公式分解因式
2
1. 完全平方式 形如 a2±2ab+b2 的式子叫作完全平方式 .
完全平方式的條件：
(1)是二次三項式 .
(2)首末兩項是兩個數(或式子)的平方且符號相同，中間項是這兩個數(或式子)的積的 2 倍，符號可以是 “+”，也可以是“－” .
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2. 完全平方公式法
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的 2 倍，等于這兩個數的和(或差)的平方 .
即： a2±2ab+b2=(a± b) 2.
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3. 完全平方公式的特點 等號左邊是一個完全平方式，右邊是兩個數的和(或差)的平方 .
4. 公式法 運用公式(完全平方公式和平方差公式 )進行因式分解的方法叫作公式法 .
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5. 因式分解的一般步驟
(1)當多項式有公因式時，先提取公因式；
(2)當多項式沒有公因式時(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
(3)當乘積中每一個因式都不能再分解時，因式分解就結束了 .
注意： 當不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式時，可根據多項式的特點，將其變形為能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 .
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特別解讀
1. 因式分解中的完全平方公式是乘法公式中的 完全平方公式的逆用 .
2. 結果是和的平方還是差的平方由乘積項的符號確定，乘積項的符號可以是“+”，也可以是“－”，而兩個平方項的符號必須相同，否則就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式進行因式分解 .
3. 用完全平方公式分解因式時，若多項式各項有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式 .
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已知 9a2+ka+16 是一個完全平方式， 則 k 的值
是________ .
例2
±24
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解題秘方：根據平方項確定乘積項，進而確定字母的值 .
解：因為 9a2=(3a)2，16=42，
9a2+ka+16是一個完全平方式，
所以 ka=±2×3a· 4=±24a. 所以 k=±24.
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方法點撥
求與完全平方式有關的字母值的方法：
可根據首項、尾項和中間項三者之間的關系，由其中兩項求出字母的值，要注意中間項的符號有“±”兩種情況 .
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分解因式：
(1) x2－14x+49；
例3
解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”和“b”，再運用完全平方公式分解因式 .
解： x2－14x+49 =x2 － 2· x· 7+72=(x－ 7) 2.
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解法提醒
運用完全平方公式分解因式的關鍵是判斷每個多項式是否符合完全平方式的結構特點，若符合，進一步確定公式中的“a”和“b” . 注意當平方項系數為負時，一般要先提出負號，提出負號時括號內多項式各項都要變號，如(2) 題 .
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感悟新知
解： －6ab－9a2－b2
= － (9a2+6ab+b2)
= － ［(3a) 2+2×3a· b+b2］
= －(3a+b) 2.
(2) －6ab－9a2－b2；
知2－練
感悟新知
解： a2－ ab+b2
=(a)2－2× a· b+b2
=(a－b) 2.
(3) a2－ ab+b2；
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解： (x2+6x) 2+18(x2+6x) +81
=(x2+6x) 2+2·( x2+6x)· 9+92
=( x2+6x+9) 2
=( x+3) 4.
(4)(x2+6x) 2+18(x2+6x) +81.
完全平方公式可以連續使用，
因式分解的結果要徹底 .
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[母題 教材P84例4]分解因式：
(1) － 3a3b+48ab3；
例4
解： － 3a3b+48ab3
= － 3ab( a2 － 16b2)
= － 3ab( a+4b)(a － 4b) .
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解題秘方：先觀察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通過觀察項數確定能用哪個公式分解因式 .
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方法點撥
“一提、二套、三查”是分解因式的步驟：有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多項式是兩項式，則考慮用平方差公式，若多項式是三項式，則考慮用完全平方公式，最后檢查乘積中的每一個因式是否分解徹底 .
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解： x4 － 8x2+16 =(x2 － 4) 2
=［( x+2)( x － 2)］ 2=( x+2) 2·(x － 2) 2.
(2) x4 － 8x2+16；
(3)25x2( a － b) +36y2( b － a) .
25x2( a － b) +36y2( b － a)
=25x2(a － b) － 36y2·( a － b)
=( a － b)(25x2 － 36y2)
=(a － b)(5x+6y)(5x － 6y) .
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知3－講
知識點
用分組分解法分解因式
3
分組分解法 當一個多項式項數較多，且各項既沒有公
因式，又不能直接運用公式法分解因式時，可將該多項式適
當分組，使各組都能分解因式，且在各組分解因式后，各組
之間又能繼續分解因式，從而將多項式分解因式，這種方法
叫做分組分解法 .
感悟新知
知3－講
理解:
(1)分組只是一個步驟，分組的目的是用提公因式法或公式法將各組分解因式，進而將多項式分解因式 .
(2)需要運用分組分解法分解的多項式一般有四項或四項以上 . 如果是四項式，一般有兩種分組方法：①分為“2+2” 的形式；②分為“1+3”的形式 .
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知3－講
解法提醒
分組的目的是分組后能用提公因式法或公式法分解因式，且各組之間能繼續分解因式.
多項式的分組有時不能一次就成功，需要大膽地嘗試，直到達到目的為止 .
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感悟新知
[母題 教材P85例6]把下列各式分解因式 .
(1) ad+bd－ax－ay－bx－by；
例5
解：原式=( ad － ax － ay) +( bd － bx － by)
=a( d － x － y) +b( d － x － y)
=( a+b)( d － x － y) .
知3－練
感悟新知
解題秘方：分組一般應遵循分組后能運用公式法繼續分解，或分組后可提公因式分解因式的原則，因而在分組時可進行適當嘗試，直到找出解題思路為止 .
知3－練
感悟新知
解：原式
=1－(4x2－4xy+y2)
=1－(2x－y) 2
=(1+2x－y)(1－2x+y) .
(2)4xy+1－4x2－y2.
知3－練
感悟新知
方法點撥
把一個多項式按 “先部分，后整體” 的思路，先分組，分別變形，再分解因式，這種因式分解的方法稱為分組分解法 . 分組分解法適用于三項以上的多項式的因式分解 .
公式法
公式
a2－b2=(a－b)(a+b)
分組分解
用公式法
分解因式
利用平方差公式分解因式
利用完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)

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