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第五章 一元函數的導數及其應用
5.1導數的概念及其意義
5.1.2 導數的概念及其幾何意義（第2課時）
教學目標
學習目標 數學素養
1.知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想． 1.特殊到一般的數學素養和邏輯推理素養.
2.體會平均變化率與割線斜率、瞬時變化率與切線斜率，理解導數的幾何意義． 2.特殊到一般的數學抽象素養.
3.理解導函數的概念，弄清f'(x0)、 f ′(x)的區別與內在聯系. 3.特殊到一般的數學抽象素養.
溫故知新
如果當 x→0時, 平均變化率無限接近一個確定的值, 即有極限, 則稱y=f(x)在x=x0處可導, 并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導數(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x=x ，即
f′(x0)=.
導數是平均變化率的極限，是瞬時變化率的數學表達.
2.求函數 y = f (x)在x=x0處的導數的一般方法
①求函數的增量:
y=f(x0+ x)-f(x0).
②求平均變化率：
.
③取極限得導數值:
簡記：一差、二比、三極限.
f′(x0)=.
1.導數的概念
溫故知新
3.拋物線的切線斜率
拋物線y=f(x)在x=x0處割線的斜率
k1=.
拋物線y=f(x)在x=x0處切線的斜率
k=.
新知探究
我們知道，導數f'(x0)表示函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數y=f(x)在x=x0附近的變化情況，那么導數f'(x0)的幾何意義是什么
觀察函數y=f(x)的圖像（如右圖），
平均變化率
表示什么
瞬時變化率
f′(x0)=.
表示什么？
容易發現，平均變化率
表示割線P0P的斜率.
知新探究
如圖，在曲線y=f(x)上任取一點P(x, f(x)), 如果當點P(x, f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0(x0 , f(x0)), 割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y=f(x)在點P0處的切線(tangent line).
此處曲線y=f(x)在點P0處的切線是從割線（平均變化率）出發，利用極限思想到瞬時變化率去定義的；而初中所學過的圓的切線則是從交點個數定義的.
此處切線的定義與初中學過的圓的切線的定義有什么不同
知新探究
與問題2中拋物線的割線和切線之間的關系類似 , 容易知道 , 割線P0P的斜率k= .
記△x=x-x0, 當點P沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0時，即當△x→0時，k無限趨近于函數y=f(x)在x=x0處的導數.
因此，函數y=f(x)在x=x0處的導數f ′(x0)就是切線P0T的斜率k0.
k0==f ′(x0).
這就是導數的幾何意義.
知新探究
繼續觀察：可以發現點P0處的切線P0T比任何一條割線更貼近點P0附近的曲線.
進一步地，利用信息技術工具將 點P0附近的曲線不斷放大， 可以發現點P0附近的曲線越來越接近于直線.
因此，在點P0附近，曲線y=f(x)可以用點P0處的切線P0T近似代替.
數學上常用簡單的對象刻畫分組的對象.例如，用有理數3.1416近似代替無理數，這里，我們用曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線.這是微積分中重要思想方法--以直代曲.
知新探究
【例1】如圖是高臺跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的圖像，根據圖像，請描述、比較曲線h(t)在t=t0，t1 ，t2 附近的變化情況
解：
我們用曲線h(t)在t=t0, t1, t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況.
⑴當t=t0時，曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h′(t0)=0. 這時, 在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.
⑵當t=t1時，曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0. 這時, 在t=t1附近曲線下降, 即函數h(t)在t=t1附近單調遞減.
⑶當t=t2時, 曲線h(t)在t=t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0. 這時, 在t=t2附近曲線下降，即函數h(t)在t=t2附近也單調遞減.
從圖可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢.
知新探究
1.函數y=f(x)在x0處切線的傾斜角為銳角
通過例1，你能總結一下如何根據導數的取值情況來判斷函數在某點的增減嗎？
f′(x0) >0 函數y=f(x)在x0附近單調遞增
2.函數y=f(x)在x0處切線的傾斜角為零角
f′(x0) =0 函數y=f(x)在x0附近沒有增減
3.函數y=f(x)在x0處切線的傾斜角為鈍角
f′(x0) <0 函數y=f(x)在x0附近單調遞減
某點處導數為正，則函數在該點附近單調遞增.某點處導數為負，則函數在該點附近單調遞減.
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
P0
P4
P3
P2
P1
知新探究
.
結合右圖，你能總結一下如何根據導數的取值情況來判斷函數在某點的增減快慢嗎？
函數在
函數在
導數的絕對值越大，增（減）的速度越快
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
P0
P4
P3
P2
P1
知新探究
【例2】下圖中是人體血管中藥物濃度c=f(t) (單位: mg/mL)隨時間t (單位:min)變化的函數圖象. 根據圖象，估計t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).
解：
血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率, 就是藥物濃度f(t)在此時刻的導數，從圖象上看, 它表示曲線f(t)在此點處的切線的斜率.
如圖所示，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.
知新探究
【例2】下圖中是人體血管中藥物濃度c=f(t) (單位: mg/mL)隨時間t (單位:min)變化的函數圖象. 根據圖象，估計t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).
解：
作t=0.8處的切線, 并在切線上取兩點, 如(0.7, 0.91), (1.0, 0.48), 則該切線的斜率
k=,
∴f′(0.8)≈-1.4.
知新探究
【例2】下圖中是人體血管中藥物濃度c=f(t) (單位: mg/mL)隨時間t (單位:min)變化的函數圖象. 根據圖象，估計t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).
解：
下表給出了藥物濃度的瞬時變化率的估計值.
t 0.2 0.4 0.6 0.8
藥物濃度的瞬時變化率f'(t) 0.4 0 -0.7 -1.4
知新探究
從求函數y=f(x)在x=x0處導數的過程可以看到, 當x=x0時, f ′(x0) 是一個唯一確定的數. 這樣, 當x變化時, y= f ′(x)就是x的函數, 我們稱它為y=f(x)的導函數(derived function)(簡稱導數), y=f(x)的導函數有時也記作y',即
f ′(x)=y'=.
函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)等于函數f(x)的導(函)數f ′(x)在點x0處的函數值.
⑴由f′(x0)=y′|x=x =知f′(x0)表示一個確定的數，是x=x0處的導數；
⑵導函數f ′(x)是指某一區間內任意的x而言的,就是函數f(x)的導數.
初試身手
∵，
1.已知函數f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是( )
A.0C.0C
解：
而f′(2)為函數f(x)的圖象在點B(2，f(2))處的切線的斜率;f′(3)為函數f(x)的圖象在點A(3，f(3))處的切線的斜率，
∴根據圖象可知0故選C.
課堂小結
1.導數的概念
f′(x0)=.
2.導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=x0處的導數f ′(x0)就是切線P0T的斜率k0.
k0==f ′(x0).
3.導函數的概念
f ′(x)=y'=.
函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)等于函數f(x)的導(函)數f ′(x)在點x0處的函數值.
作業布置
作業：
P70-71 習題5.1 第5,6，7，10,12題
盡情享受學習數學的快樂吧！
我們下節課再見！
謝謝
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