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(共35張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
第27章　相似
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：比例的性質
例1.已知線段a＝2，b＝3，c＝4，若a，b，c，d四條線段成比例，
則d＝ .
例2.已知兩數a＝4，b＝9，那么a，b兩數的比例中項是 .
6　
±6　
例3.已知a∶b∶c＝2∶3∶4，且a＋3b－2c＝15.
(1)求a，b，c的值；
(1)解：設a＝2k，b＝3k，c＝4k.
∵a＋3b－2c＝15，
∴2k＋9k－8k＝15.
解得k＝5.
∴a＝10，b＝15，c＝20.
(1)解：設a＝2k，b＝3k，c＝4k.
∵a＋3b－2c＝15，
∴2k＋9k－8k＝15.
解得k＝5.
∴a＝10，b＝15，c＝20.
(2)求4a－3b＋c的值.
(2)解：∵a＝10，b＝15，c＝20，
∴4a－3b＋c
＝4×10－3×15＋20
＝15.
(2)解：∵a＝10，b＝15，c＝20，
∴4a－3b＋c
＝4×10－3×15＋20
＝15.
例4.已知 ＝ ＝ ≠0，則 ＝ 　 　.
★考點二：相似多邊形
例5.下列命題中，正確命題的個數為 .
①所有的正方形都相似；
②所有的菱形都相似；
③邊長相等的兩個菱形都相似；
④對角線相等的兩個矩形都相似.
　
1　
例6.把矩形對折后，和原來的矩形相似，那么這個矩形的長、寬之比
是 .
★考點三：平行線分線段成比例
例7.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別交于點A，B，
C和點D，E，F. 若AB∶BC＝2∶3，EF＝9，則DE的長是(　C　)
A. 4 B. 7 C. 6 D. 12
∶1　
C
例8.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別交于點A，B，
C和點D，E，F. 若AB∶BC＝1∶2，DE＝4，則EF的長為 .
例7題圖　　　　　　 例8題圖
8　
★考點四：相似三角形的判定及性質
例9.如圖，在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC上的點.
(1)試添加一個條件： ，使得△ADE與△ABC相似.(任意寫
出一個滿足條件的即可)
(2)若△ADE∽△ACB，且BC＝2DE.
①若AD＝3，則AC＝ ；
＝ 　
6　
②若C△ABC＝6，則C△ADE＝ ；
③若S四邊形DECB＝6，則S△ABC＝ .
3　
8　
例10.如圖，在△ABC中，CE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F.
(1)求證：△AFE∽△ABC；
(1)證明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC.
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC.
(1)證明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC.
∴ ＝ .∴ ＝ .
又∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC.
(2)解：∵△AFE∽△ABC，
∴ ＝()2＝ cos 2A＝ cos 260°＝ .
∴△AFE與△ABC的面積之比為 .
(2)解：∵△AFE∽△ABC，
∴ ＝()2＝ cos 2A＝ cos 260°＝ .
∴△AFE與△ABC的面積之比為 .
例10.如圖，在△ABC中，CE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F.
(2)若∠A＝60°，求△AFE與△ABC的面積之比.
例11.在正方形ABCD中，若AH⊥CH，垂足為H，點M在CH上，且
AH＝MH，連接AM，BH，探究CM與BH的數量關系，并說明理由.
解：BH＝ CM. 理由如下：
如圖，連接AC. ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°.
∵AH⊥CH，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形.
∴∠HAM＝45°.∴∠HAB＝∠MAC.
∵ ＝ ＝ ，∴△AHB∽△AMC.
∴ ＝ ＝ ，即BH＝ CM.
★考點五：相似三角形的應用
例12.在同一時刻，物體的高度與它在陽光下的影長成正比.在某一時
刻，有人測得一高為1.8 m的竹竿的影長為3 m，某一高樓的影長為60
m，那么這幢高樓的高度是(　D　)
D
A. 18 m B. 20 m C. 30 m D. 36 m
例13：如圖，有一路燈桿AB(底部B不能直接到達)，在燈光下，小明在
點D處測得自己的影長DF＝3 m，沿BD方向到達點F處再測得自己的
影長FG＝4 m.若小明的身高為1.6 m，則路燈桿AB的高度為(　C　)
A. 5.4 m B. 6 m C. 6.4 m D. 6.8 m
C
★考點六：位似圖形
例14.如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心.已知OA∶OD＝
1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為(　C　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5
C
例15.已知△ABC在坐標平面內三頂點的坐標分別為A(0，2)，B(3，
3)，C(2，1).以點O為位似中心畫△A1B1C1，使得△A1B1C1與△ABC位
似，且相似比是3，則點C的對應頂點C1的坐標是 .
(6，3)或(－6，－3)　
(2)在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB，且點D與點C為對應點.
(2)解：如圖，點E即為所求.
(2)解：如圖，點E即為所求.
★考點七：相似三角形的綜合問題
例16.尺規作圖(只保留作圖痕跡，不要求寫出作法).如圖，已知
△ABC，且AB＞AC.
(1)在AB邊上求作點D，使DB＝DC；
(1)解：如圖，點D即為所求.
(1)解：如圖，點D即為所求.
例17.如圖，四邊形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形.
(1)△ACF與△ACG相似嗎？說說你的理由；
(1)解：相似.理由如下：
設正方形的邊長為a，AC＝ ＝ a.
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ .
∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA.
(2)求∠1＋∠2的度數.
(1)解：相似.理由如下：
設正方形的邊長為a，AC＝ ＝ a.
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ .
∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA.
(2)解：∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.
∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
(2)解：∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.
∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
例18.(2024·臨夏中考)如圖1，在矩形ABCD中，點E為AD邊上不與端點
重合的一動點，點F是對角線BD上一點，連接BE，AF交于點O，且
∠ABE＝∠DAF.
【模型建立】(1)求證：AF⊥BE；
圖1　 圖2
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF＋∠AEB＝90°.
∴∠AOE＝90°.∴AF⊥BE.
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠ABE＝∠DAF，∴∠DAF＋∠AEB＝90°.
∴∠AOE＝90°.∴AF⊥BE.
例18.(2024·臨夏中考)如圖1，在矩形ABCD中，點E為AD邊上不與端點
重合的一動點，點F是對角線BD上一點，連接BE，AF交于點O，且
∠ABE＝∠DAF.
【模型應用】(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝ BF，求DE的長；
圖1　 圖2
(2)解：如圖1，延長AF交CD于點G.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠ADG＝90°.
∴△AFB∽∠GFD. ∴ ＝ ＝ .
∴DG＝ AB＝ ×2＝1.
∵∠BAD＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAF，
∴△ABE∽△DAG. ∴ ＝ ＝ .
∴AE＝ DG＝ ×1＝ .
∴DE＝AD－AE＝3－ ＝ .
圖1　　　 圖2
∴DE＝AD－AE＝3－ ＝ .
圖1　　　
例18.(2024·臨夏中考)如圖1，在矩形ABCD中，點E為AD邊上不與端點
重合的一動點，點F是對角線BD上一點，連接BE，AF交于點O，且
∠ABE＝∠DAF.
【模型應用】(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝ BF，求DE的長；
【模型遷移】(3)如圖2，若矩形ABCD是正方形，DF＝ BF，求
的值.
圖1　 圖2
(3)解：如圖2，延長AF交CD于點G.
設正方形ABCD的邊長為a，則AB＝AD＝a.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADG＝90°，AB∥CD.
∴△AFB∽∠GFD. ∴ ＝ ＝ ＝ .
∴DG＝ AB＝ a，FG＝ AF.
∴AG＝ ＝ a.
∵FG＝ AF，∴AF＝ AG＝ a.
∴ ＝ ＝ .
(3)解：如圖2，延長AF交CD于點G.
設正方形ABCD的邊長為a，則AB＝AD＝a.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADG＝90°，AB∥CD.
∴△AFB∽∠GFD. ∴ ＝ ＝ ＝ .
∴DG＝ AB＝ a，FG＝ AF.
∴AG＝ ＝ a.
∵FG＝ AF，∴AF＝ AG＝ a.
∴ ＝ ＝ .
　 圖2
1. 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的
長度之比是 ，著名的“斷臂維納斯”便是如此.若某人滿足上述黃金
分割比例，且身高為178 cm，則其肚臍至足底的長度可能是
cm.
(89 －89)　
3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB邊上一點.若AE∶AB＝
1∶3，則S△AEF∶S△ADC＝(　A　)
A. 1∶12 B. 1∶9 C. 1∶6 D. 1∶3
第2題圖　　　　　第3題圖
A
2. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，則下列結論不正
確的是(　C　)
A. BC＝2DE B. △ADE∽△ABC
C. ＝ D. S△ABC＝4S△ADE
C
4. 如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個
頂點分別在AB，AC上，這個正方形零件的邊長是 mm.
第4題圖　　　
48　
5. 如圖，點B1在直線l：y＝ x上，點B1的橫坐標為2，過點B1作
B1A1⊥l，交x軸于點A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長
B2C1交x軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2
交x軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸
于點A4；……；按照這個規律進行下去，則第n個正方形AnBnBn＋1Cn的
邊長為 (結果用含正整數n
的代數式表示).
　　
×()n－1　
第5題圖
6. 如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點E在邊BC上，且
AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點F，連接BF.
(1)求證：△ABF≌△EAD；
圖1　　 　圖2　　 　圖3
(1)證明：如圖1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠DCE.
∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEC，∠1＝∠2.
∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCE＝∠DEC.
∴AB＝AE，DE＝DC.
∵AF∥CD，AD∥CF，∴四邊形AFCD是平行四邊形.
∴AF＝CD. ∴AF＝DE.
(1)證明：如圖1，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠DCE.
∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEC，∠1＝∠2.
∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABE＝∠AEB，∠DCE＝∠DEC.
∴AB＝AE，DE＝DC.
∵AF∥CD，AD∥CF，∴四邊形AFCD是平行四邊形.
∴AF＝CD. ∴AF＝DE.
在△ABF和△EAD中，
∴△ABF≌△EAD(SAS).
(2)如圖2，若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長；
6. 如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點E在邊BC上，且
AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點F，連接BF.
圖1　　 　圖2　　 　圖3
(2)解：由(1)知，△ABF≌△EAD，∴BF＝AD.
在平行四邊形AFCD中，AD＝CF，
∴BF＝CF. ∴∠FBC＝∠FCB.
又∵∠FCB＝∠2，∠2＝∠1，∴∠FBC＝∠1.
在△EBF和△EAB中，
∴△EBF∽△EAB. ∴ ＝ .
∵AB＝9，∴AE＝9.
∵CD＝5，∴AF＝5.∴EF＝4.
∴ ＝ .∴BE＝6或－6(舍去).
(2)解：由(1)知，△ABF≌△EAD，∴BF＝AD.
在平行四邊形AFCD中，AD＝CF，
∴BF＝CF. ∴∠FBC＝∠FCB.
又∵∠FCB＝∠2，∠2＝∠1，∴∠FBC＝∠1.
在△EBF和△EAB中，
∴△EBF∽△EAB. ∴ ＝ .
∵AB＝9，∴AE＝9.
∵CD＝5，∴AF＝5.∴EF＝4.
∴ ＝ .∴BE＝6或－6(舍去).
圖1
6. 如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點E在邊BC上，且
AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點F，連接BF.
圖1　　 　圖2　　 　圖3
(3)如圖3，若BF的延長線經過AD的中點M，求 的值.
(3)解：如圖2，延長BM，ED交于點G.
圖2
∵△ABE與△DCE均為等腰三角形，
∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE.
∴ ＝ ＝ .設 ＝x，DC＝DE＝a.
則AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a.
∴EF＝a(x－1).
(3)解：如圖2，延長BM，ED交于點G.
圖2
∵△ABE與△DCE均為等腰三角形，
∠ABC＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE.
∴ ＝ ＝ .設 ＝x，DC＝DE＝a.
則AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a.
∴EF＝a(x－1).
∵AB∥DG，∴∠3＝∠G.
∵M是AD的中點，∴MA＝MD.
在△MAB和△MDG中，
∴△MAB≌△MDG(AAS).
∴DG＝AB＝ax.∴EG＝a(x＋1).
∵AB∥EG，∴△FAB∽△FEG.
∴ ＝ .∴ ＝ .
∴x＋1＝x(x－1).∴x2－2x－1＝0.
∴(x－1)2＝2.∴x＝1± .
∴x1＝1－ (舍去)，x2＝1＋ .
∴ ＝1＋ .(共35張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
第26章　反比例函數
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：反比例函數的概念
例1.下列關系式：①y＝－2x；②y＝ ；③y＝ ；④y＝ (k＞0).其
中y是x的反比例函數的有(　C　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
C
★考點二：求反比例函數的關系式
例2.已知反比例函數y＝－ 和一次函數y＝－kx－1的圖象都經過點
P(m，－3m)，求點P的坐標以及反比例函數和一次函數的關系式.
解：∵點P(m，－3m)是反比例函數y＝－ 圖象上的點，
∴－3m＝－ .解得m＝1.
∴點P(1，－3)，反比例函數的關系式為y＝－ .
把點P(1，－3)代入y＝－kx－1，得－3＝－k－1.
解：∵點P(m，－3m)是反比例函數y＝－ 圖象上的點，
∴－3m＝－ .解得m＝1.
∴點P(1，－3)，反比例函數的關系式為y＝－ .
把點P(1，－3)代入y＝－kx－1，得－3＝－k－1.
解得k＝2.
∴一次函數的關系式為y＝－2x－1.
∴點P的坐標為(1，－3)，反比例函數的關系式為y＝－ ，一次函數的
關系式為y＝－2x－1.
解得k＝2.
∴一次函數的關系式為y＝－2x－1.
∴點P的坐標為(1，－3)，反比例函數的關系式為y＝－ ，一次函數的
關系式為y＝－2x－1.
例3.已知y與x－3成反比例，且當x＝4時，y＝5，求y與x之間的函數
關系式.
解：設y＝ .
將x＝4，y＝5代入關系式，得
5＝ .解得k＝5.
∴y與x之間的函數關系式為y＝ .
解：設y＝ .
將x＝4，y＝5代入關系式，得
5＝ .解得k＝5.
∴y與x之間的函數關系式為y＝ .
★考點三：反比例函數的圖象及性質
例4.若反比例函數y＝ 的圖象分布在第二、四象限，則k的取值范圍
是(　D　)
A. k＜－2 B. k＜2 C. k＞－2 D. k＞2
D
例5.已知反比例函數y＝ ，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則k的
取值范圍是(　D　)
A. k＞1 B. k＞－1 C. k≤1 D. k＜1
D
例6.已知函數y＝ ，根據圖象回答下列問題：
(1)當x＝－2時，y＝ ；
(2)當1≤x≤4時，y的取值范圍是 ；
(3)若點A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函數的圖象上，則
x1，x2，x3的大小關系是 .
－6　
3≤y≤12　
x2＜x1＜x3　
例7.若點A(x1，－6)，B(x2，－2)，C(x3，2)在反比例函數y＝ (m
為常數)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關系是(　B　)
A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x1＜x3
C. x2＜x3＜x1 D. x3＜x2＜x1
B
★考點四：反比例函數與方程、不等式綜合
例8.一次函數y＝kx＋b與反比例函數y＝ 的圖象交于A(－3，2)，
B(1，n)兩點.
(1)一次函數和反比例函數的關系式分別為 ；
y＝－2x－4和y＝－ 　
(2)寫出方程kx＋b＝ 的解為 ；
(3)寫出不等式kx＋b＞ 的解集為 ；
(4)△AOB的面積為 .
x＝－3或1　
x＜－3或0＜x＜1　
8　
例9.函數y1＝ax2＋bx＋c與y2＝ 的圖象如圖所示，直接寫出y1≥y2的
解集為 .
－1≤x＜0或1≤x≤2　
★考點五：反比例函數中k的幾何意義
例10.如圖，平行于x軸的直線與函數y＝ (k1＞0，x＞0)，y＝ (k2＞
0，x＞0)的圖象分別相交于A，B兩點，點A在點B的右側，C為x軸上
的一個動點.若△ABC的面積為6，則k1－k2的值為 .
例11.如圖，點A是反比例函數y＝ 圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于
點B，點C，D在x軸上，且BC∥AD. 若四邊形ABCD的面積為4，則
k＝ .
12　
－4　
例10題圖　　　　　例11題圖　　　
例12.如圖，矩形OACB的頂點C在反比例函數y＝ (x＞0，k1＞0)的圖
象上，交反比例函數y＝ (x＞0，k2＞0)的圖象于點D，E，EF⊥AO
于點F，連接DF. 若CB＝3CE，S四邊形DCEF＝2，則k1＝ .
例12題圖
9　
★考點六：反比例函數的實際應用
例13.如圖，市煤氣公司計劃在地下修建一個容積為104 m3的圓柱形煤氣
儲存室，則儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)的函數圖
象大致是(　A　)
A. B.
C. D.
A
例14.某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V(V為定值，單位：m3)的
圓柱形天然氣儲存室，儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：
m)是反比例函數關系，它的圖象如圖所示.
(1)求儲存室的容積V的值；
(1)解：設底面積S與其深度d的反比例函數關系式為S＝ .
把點(20，500)代入關系式，得500＝ .
∴V＝10 000.
(1)解：設底面積S與其深度d的反比例函數關系式為S＝ .
把點(20，500)代入關系式，得500＝ .
∴V＝10 000.
(2)受地形條件限制，儲存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲存室的底
面積S的取值范圍.
(2)解：由(1)，得S＝ .
∵當d＞0時，S隨d的增大而減小，
∴當16≤d≤25時，400≤S≤625.
(2)解：由(1)，得S＝ .
∵當d＞0時，S隨d的增大而減小，
∴當16≤d≤25時，400≤S≤625.
例14.某燃氣公司計劃在地下修建一個容積為V(V為定值，單位：m3)的
圓柱形天然氣儲存室，儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：
m)是反比例函數關系，它的圖象如圖所示.
1. 關于反比例函數y＝ ，下列說法錯誤的是(　D　)
A. 函數圖象分別位于第一、三象限
B. 當x＞0時，y隨x的增大而減小
C. 函數圖象關于直線y＝x軸對稱
D. 若點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在函數圖象上，且x1＜x2，則y1＞y2
D
2. 某高鐵站建設初期需要運送大量土石方，某運輸公司承擔了運送總量
為106 m3土石方的任務，該運輸公司平均運送土石方的速度v(單位：m3/
天)與完成運送任務所需時間t(單位：天)之間的函數關系式是(　A　)
A. v＝ B. v＝106t
C. v＝ t2 D. v＝106t2
A
3. 在同一平面直角坐標系中，函數y＝kx＋1與y＝ (k≠0)的圖象可能
是(　A　)
A B C D
A
4. 如圖，一次函數y＝ax＋b與反比例函數y＝ (k＞0)的圖象交于點
A(1，2)，B(－2，－1)，則關于x的不等式ax＋b＞ 的解集是(　C　)
A. x＜－2或0＜x＜1
B. x＜－1或0＜x＜2
C. －2＜x＜0或x＞1
D. －1＜x＜0或x＞2
第4題圖　　　
C
5. 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是雙曲線y＝－ (m為常數)
上的三點，已知x3＞x2＞0＞x1.若y2＞y3＞y1，則m的取值范圍是
.
m
＞ 　
6. (2024·湖南中考)在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比
例關系，即f＝ (k為常數，k≠0).若某樂器的弦長l為0.9 m，振動頻率
f為200 Hz，則k的值為 .
180　
7. (2024·威海中考)如圖，在平面直角坐標系中，直線y1＝ax＋b(a≠0)
與雙曲線y2＝ (k≠0)交于點A(－1，m)，B(2，－1)，則滿足y1≤y2的x
的取值范圍為 .
　　
第7題圖
－1≤x＜0或x≥2　
8. 點A是反比例函數y＝ (x＞0)上的點，過點A作AB⊥x軸，垂足為
B. 若△AOB的面積為8，則一元二次方程x2－4x＋k＝0的根的情況
為 .
無實數根或有兩個不相等的實數根　
9. 如圖，點A(3，n)在雙曲線y＝ 上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C.
線段OA的垂直平分線交OC于點B，則△ABC的周長是(　D　)
A. 8 B. 6 C. 1＋2 D. 4
第9題圖　　　
D
10. 如圖，已知在Rt△ABO中，點B的坐標為(－1， )，將△ABO繞
點O旋轉至△A'B'O的位置，使點A'落在邊OB上，點B'落在反比例函數y
＝ 的圖象上，則k的值為 　 　.
　　
第10題圖
　
11. (2024·甘肅中考)如圖，在平面直角坐標系中，將函數y＝ax的圖象向
上平移3個單位長度，得到一次函數y＝ax＋b的圖象，與反比例函數y
＝ (x＞0)的圖象交于點A(2，4).過點B(0，2)作x軸的平行線分別交y＝
ax＋b與y＝ (x＞0)的圖象于C，D兩點.
(1)求一次函數y＝ax＋b和反比例函數y＝ 的解析式；
(1)解：∵將函數y＝ax的圖象向上平移3個單位長度，得到一
次函數y＝ax＋b的圖象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3.
把A(2，4)代入y＝ax＋3中，得2a＋3＝4，解得a＝ .
∴一次函數y＝ax＋b的解析式為y＝ x＋3.
把A(2，4)代入y＝ (x＞0)中，得4＝ (x＞0)，解得k＝8.
∴反比例函數y＝ (x＞0)的解析式為y＝ (x＞0).
(1)解：∵將函數y＝ax的圖象向上平移3個單位長度，得到一
次函數y＝ax＋b的圖象，
∴y＝ax＋b＝ax＋3.
把A(2，4)代入y＝ax＋3中，得2a＋3＝4，解得a＝ .
∴一次函數y＝ax＋b的解析式為y＝ x＋3.
把A(2，4)代入y＝ (x＞0)中，得4＝ (x＞0)，解得k＝8.
∴反比例函數y＝ (x＞0)的解析式為y＝ (x＞0).
11. (2024·甘肅中考)如圖，在平面直角坐標系中，將函數y＝ax的圖象向
上平移3個單位長度，得到一次函數y＝ax＋b的圖象，與反比例函數y
＝ (x＞0)的圖象交于點A(2，4).過點B(0，2)作x軸的平行線分別交y＝
ax＋b與y＝ (x＞0)的圖象于C，D兩點.
(2)連接AD，求△ACD的面積.
(2)解：∵BC∥x軸，B(0，2)，
∴點C和點D的縱坐標都為2.
在y＝ x＋3中，當y＝ x＋3＝2時，x＝－2，即C(－2，2).
在y＝ (x＞0)中，當y＝ ＝2時，x＝4，即D(4，2).
∴CD＝4－(－2)＝6.
∵A(2，4)，∴S△ACD＝ CD·(yA－yC)＝ ×6×(4－2)＝6.
(2)解：∵BC∥x軸，B(0，2)，
∴點C和點D的縱坐標都為2.
在y＝ x＋3中，當y＝ x＋3＝2時，x＝－2，即C(－2，2).
在y＝ (x＞0)中，當y＝ ＝2時，x＝4，即D(4，2).
∴CD＝4－(－2)＝6.
∵A(2，4)，∴S△ACD＝ CD·(yA－yC)＝ ×6×(4－2)＝6.
12. (2024·廣州中考)如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B在函
數y＝ (x＞0)的圖象上，A(1，0)，C(0，2).將線段AB沿x軸正方向平
移得線段A'B'(點A平移后的對應點為A')，A'B'交函數y＝ (x＞0)的圖象
于點D，過點D作DE⊥y軸于點E，則下列結論：
①k＝2；
②△OBD的面積等于四邊形ABDA'的面積；
③A'E的最小值是 ；
④∠B'BD＝∠BB'O.
其中正確的結論有 (填序號).
①②④　
13. (2024·深圳中考)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOCB為菱形，
tan∠AOC＝ ，且點A落在反比例函數y＝ 的圖象上，點B落在反比例
函數y＝ (k≠0)的圖象上，求k值.
解：如圖，過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為D，E.
∵tan∠AOC＝ ，
∴ ＝ .設AD＝4a，則OD＝3a.
∴點A(3a，4a).∵點A在反比例函數y＝ 的圖象上，
∴3a·4a＝3，解得a＝ (負值已舍).∴點A(，2).
∴AD＝2，OD＝ .
∴OA＝ ＝ .
∵四邊形AOCB為菱形，
解：如圖，過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為D，E.
∵tan∠AOC＝ ，
∴ ＝ .設AD＝4a，則OD＝3a.
∴點A(3a，4a).∵點A在反比例函數y＝ 的圖象上，
∴3a·4a＝3，解得a＝ (負值已舍).∴點A(，2).
∴AD＝2，OD＝ .
∴OA＝ ＝ .
∵四邊形AOCB為菱形，
∴AB＝OA＝ ，AB∥CO. ∴點B(4，2).
∵點B落在反比例函數y＝ (k≠0)的圖象上，
∴k＝4×2＝8.
∴AB＝OA＝ ，AB∥CO. ∴點B(4，2).
∵點B落在反比例函數y＝ (k≠0)的圖象上，
∴k＝4×2＝8.(共34張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
第29章　投影與視圖
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：投影
例1.燈光形成的投影是 ，太陽光線形成的投影是 .
中心投影　
平行投影
例2.一位同學想利用樹影測樹高，已知在某一時刻直立于地面長1 m的竹
竿的影長為2 m，但當他準備測量樹影時，發現樹的影子有一部分落在墻
上(如圖).經測量，留在墻上的影高CD＝1.2 m，落在地面部分的影長
BC＝5.6 m，則樹高AB＝ m.
4　
★考點二：三視圖的畫法
①類型一：簡單幾何體的三視圖
例3.如圖所示的幾何體，對其三視圖敘述正確的是(　C　)
A. 左視圖和俯視圖相同
B. 三個視圖都不相同
C. 主視圖和左視圖相同
D. 主視圖和俯視圖相同
C
例4.下列幾何體中，其主視圖不是中心對稱圖形的是(　B　)
A. B.
C. D.
B
②類型二：組合體的三視圖
例5.如右圖所示的幾何體的左視圖是(　D　)
A. B.
C. D.
D
例6.如圖所示的幾何體，是由幾個相同的小正方體組合而成的，其俯視
圖為(　B　)
A. B. C. D.
例6題圖　　　　　 例7題圖
B
例7.如圖是由4個相同的小正方體組成的立體圖形，其主視圖是(　A　)
A. B.
C. D.
A
例7題圖
③類型三：由一種或兩種視圖，判斷其他視圖
例8.如圖是由若干個同樣大小的小正方體所搭幾何體的俯視圖，小正方
形中的數字表示在該位置小正方體的個數，則這個幾何體的左視圖是
(　B　)
A. B. C. D.
例8題圖　
B
★考點三：由三視圖還原幾何體
例9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為(　D　)
A. B. C. D.
D
例9題圖
例10.如圖是從不同方向看某個立體圖形得到的平面圖形，這個立體圖形
的展開圖可以是(　D　)
從正面看　　　 從左面看　　　 從上面看
A. B.
D
C. D.
★考點四：由三視圖完成相關幾何體的計算
例11.如圖是一個幾何體的三視圖(圖中尺寸單位： cm)，則這個幾何體的
側面積為(　B　)
A. 48π cm2 B. 24π cm2
C. 12π cm2 D. 9π cm2
B
例12.如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中標注的數據可求得該幾何體
的側面積為 .
例13.如圖是由幾個大小相同的小正方體組合而成的幾何體，則下列視圖
中面積最小的是(　C　)
A. 主視圖 B. 俯視圖
C. 左視圖 D. 主視圖和俯視圖
例12題圖　　　　　例13題圖
2π　
C
1. 小強的身高和小明的身高一樣，那么在同一路燈下(　D　)
A. 小明的影子比小強的影子長
B. 小明的影子比小強的影子短
C. 小明的影子和小強的影子一樣長
D. 無法判斷誰的影子長
D
2. 下列幾何體中，左視圖是矩形的有(　B　)
圓柱　　　圓錐　　　棱柱　　　長方體
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
B
4. 如圖，該紙杯的主視圖是(　A　)
A. B. C. D.
第3題圖　　　　第4題圖
A
3. 由4個棱長均為1的小正方體組成如圖所示的幾何體，這個幾何體的表
面積為(　A　)
A. 18 B. 15 C. 12 D. 6
A
5. 古代中國諸多技藝均領先世界.榫卯結構就是其中之一，榫卯是在兩
個木構件上所采用的一種凹凸結合的連接方式.凸出部分叫榫(或榫頭)，
凹進部分叫卯(或榫眼、榫槽)，榫和卯咬合，起到連接作用，如圖是某個
部件“榫”的實物圖，它的主視圖是(　A　)
A. B. C. D.
A
6. 如圖是某幾何體的三視圖.
(1)寫出這個幾何體的名稱；
解：(1)由此幾何體的三視圖，得該幾何體是底面直徑為4 cm，母線長為5
cm的圓錐.
(2)根據所示數據計算這個幾何體的表面積.
解：(2)此幾何體的表面積為 ×4π×5＋π×22＝14π(cm2).
解：(1)由此幾何體的三視圖，得該幾何體是底面直徑為4 cm，母線長為5
cm的圓錐.
解：(2)此幾何體的表面積為 ×4π×5＋π×22＝14π(cm2).
7. 一個幾何體的三視圖如圖所示，根據圖示的數據計算該幾何體的
全面積.
主視圖　　　左視圖　　　俯視圖
解：根據三視圖，得該幾何體是一個三棱柱，2個底面都是邊長
為4的等邊三角形，3個側面都是長為6、寬為4的長方形.
如圖，AC⊥BC，∴AB＝4，BC＝2，則AC＝ ＝
2 .
　俯視圖
∴底面積為 ×4×2 ＝4 ，側面積為3×4×6＝72，
則該幾何體的全面積為4 ×2＋72＝8 ＋72.
解：根據三視圖，得該幾何體是一個三棱柱，2個底面都是邊長
為4的等邊三角形，3個側面都是長為6、寬為4的長方形.
如圖，AC⊥BC，∴AB＝4，BC＝2，則AC＝ ＝2 .
俯視圖
∴底面積為 ×4×2 ＝4 ，側面積為3×4×6＝72，
則該幾何體的全面積為4 ×2＋72＝8 ＋72.
8. 某廠家生產的海上浮漂的形狀是中間穿孔的球體，如圖1所示.該浮漂
的俯視圖是圖2，那么它的主視圖是(　D　)
圖1　　 圖2
A. B.
C. D.
D
9. 由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，則
搭成該幾何體的小正方體的個數最少是(　B　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
主視圖　　 左視圖
第9題圖　　　　　
B
10. 如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和左視
圖，則組成這個幾何體的小正方體的個數不可能是(　D　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
　　
主視圖　　左視圖
第10題圖
D
11. 如圖是一個長方體的三視圖，根據圖中數據計算這個長方體的體積
是 .
24　
12. 如圖由若干個相同的小立方體搭成的一個幾何體的主視圖和俯視
圖，俯視圖的方格中的字母和數字表示該位置上小立方體的個數.
主視圖　　　　俯視圖
(1)填空：x＝ ，y＝ ；
2　
3　
(2)利用上題結論，先化簡再求值：2(3x2y－xy2)－(xy2＋4x2y)＋2xy2.
解：(2)原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2
＝2x2y－xy2.
當x＝2，y＝3時，
原式＝2×22×3－2×32
＝2×4×3－2×9
＝24－18
＝6.
解：(2)原式＝6x2y－2xy2－xy2－4x2y＋2xy2
＝2x2y－xy2.
當x＝2，y＝3時，
原式＝2×22×3－2×32
＝2×4×3－2×9
＝24－18
＝6.
13. 某幾何體是由完全相同的小正方體組合而成的，下圖是這個幾何體
的三視圖，那么構成這個幾何體的小正方體的個數是(　A　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
主視圖　　左視圖 俯視圖　　　　　
A
14. 由5個形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖
和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有(　C　)
A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種
　
主視圖　　　左視圖
第14題圖
C
15. 為解決樓房之間的擋光問題，某地區規定：兩幢樓房間的距離至少
為40 m，中午12時不能擋光.如圖，某舊樓的一樓窗臺高1 m，要在此樓
正南方40 m處再建一幢新樓.已知該地區冬天中午12時陽光從正南方照
射，并且光線與水平線的夾角最小為30°，在不違反規定的情況下，新
建樓房最高 m.(結果精確到1 m. ≈1.732， ≈1.414)
24　
16. 如圖所示是一個幾何體的三視圖(單位：cm).
(1)寫出這個幾何體的名稱；
解：(1)這個幾何體是圓錐.
(2)根據圖中數據計算這個幾何體的表面積；
解：(2)這個圓錐的底面半徑為2，母線長為6，
∴S表＝S側＋S底＝ π×4×6＋π×22＝16π(cm2).
∴這個幾何體的表面積為16π cm2.
解：(1)這個幾何體是圓錐.
解：(2)這個圓錐的底面半徑為2，母線長為6，
∴S表＝S側＋S底＝ π×4×6＋π×22＝16π(cm2).
∴這個幾何體的表面積為16π cm2.
主視圖　 左視圖 俯視圖　　　　
(3)如果一只螞蟻要從這個幾何體上的點B出發，沿表面
爬到AC的中點D，請你求出這條路線的最短路程.
主視圖　 左視圖 俯視圖　　　　
16. 如圖所示是一個幾何體的三視圖(單位：cm).
解：(3)如圖，將圓錐側面沿AB展開，則圖中線段BD'為所
求最短路程.
設∠BAB'的度數為n.
由 ＝2π×2＝4π，可得 ＝4π，解得n＝120°.
∵點C'為 的中點，∴∠BAC'＝60°.
又∵AB＝AC'，∴△ABC'是等邊三角形.
又∵D'是AC'的中點，∴∠AD'B＝90°.
∴ sin ∠BAD'＝ ，∴BD'＝AB· sin 60°＝6× ＝3
(cm).
∴這條路線的最短路程是3 cm.(共34張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
第28章　銳角三角函數
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：銳角三角函數的定義
例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則 sin B
＝ 　 　； cos B＝ 　 　；tan B＝ 　 　.
　
　
　
例2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞
點A逆時針旋轉得到△AB'C'，使點C'落在AB邊上，連接BB'，則 sin
∠BB'C'的值為(　C　)
A. B. C. D.
C
例3.如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則 cos ∠ABC的值為
(　B　)
A. B.
例2題圖　　　　 例3題圖
B
C. D.
例4.如圖，圓錐的底面半徑為3，側面積為18π，設圓錐的母線與高的夾
角為α，則tan α的值是 .
　
★考點二：特殊角的三角函數值
例5.計算：()－1－2 cos 45°＋｜－ ｜.
解：原式＝2－2× ＋ ＝2.
解：原式＝2－2× ＋ ＝2.
例6.在△ABC中，(2 cos A－ )2＋ ＝0，則△ABC一定是
(　D　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形
D
★考點三：解直角三角形
例7.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOCB為菱形， sin ∠AOC＝
，且點A落在反比例函數y＝ 上，點B落在反比例函數y＝ (k≠0)
上，則k＝ .
32　
例8.如圖，PA是以AC為直徑的☉O的切線，切點為A，過點A作
AB⊥OP，交☉O于點B.
(1)求證：PB是☉O的切線；
(1)證明：如圖，連接OB.
∵PA是以AC為直徑的☉O的切線，
∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB.
又∵OP＝OP，∴△PAO≌△PBO(HL).
∴∠PBO＝∠PAO＝90°.
∴OB⊥PB，∵OB是☉O的半徑，
∴PB是☉O的切線.
(1)證明：如圖，連接OB.
∵PA是以AC為直徑的☉O的切線，
∴∠PAO＝90°.
∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB.
又∵OP＝OP，∴△PAO≌△PBO(HL).
∴∠PBO＝∠PAO＝90°.
∴OB⊥PB，∵OB是☉O的半徑，
∴PB是☉O的切線.
例8.如圖，PA是以AC為直徑的☉O的切線，切點為A，過點A作
AB⊥OP，交☉O于點B.
(2)若AB＝6， cos ∠PAB＝ ，求PO的長.
(2)解：如圖，設OP與AB交于點D.
∵AB⊥OP，AB＝6，∴DA＝DB＝3，
∠PDA＝∠PDB＝90°.
∵ cos ∠PAB＝ ＝ ＝ ，
∴PA＝5.∴PD＝ ＝ ＝4.
在Rt△APD和Rt△APO中，
∵ cos ∠APD＝ ， cos ∠APD＝ ，
∴ ＝ .∴PO＝ ＝ .
★考點四：解直角三角形的應用
①類型一：方位角問題
例9.一輛小汽車在某城市道路上自西向東行駛，某“玩轉數學”活動小
組在距路邊20 m的點C處放置了“檢測儀器”，測得該車從北偏西60°
方向的點A行駛到東北方向的點B，所用時間為6 s，則AB的長為
m.
(20
＋20 )　
②類型二：坡度問題
例10.如圖，某地修建一座高BC＝5 m的天橋，已知天橋斜面AB的坡度為1∶ ，則斜坡AB的長度為(　A　)
A
A. 10 m B. 10 m C. 5 m D. 5 m
例10題圖　　
③類型三：仰角、俯角問題
例11.如圖，從熱氣球C處測得地面A，B兩點的俯角分別為30°，
45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100 m，A，D，B三點在同一
直線上，則A，B兩點間的距離是 m.
例11題圖
(100 ＋100)　
例12.如圖，花城廣場對岸有廣州塔AB，小明同學站在花城廣場的C處
看塔頂點A的仰角為32°，向塔前進360 m到達點D，在D處看塔頂點A
的仰角為45°.
(1)求廣州塔AB的高度( sin 32°≈0.530， cos 32°≈0.848，tan
32°≈0.625)；
(1)解：設廣州塔AB的高度為x m.
∵∠ADB＝45°，AB⊥BC，
∴∠DAB＝∠ADB＝45°.
∴BD＝AB＝x m.
∴BC＝CD＋BD＝(360＋x)m.
∵∠ACB＝32°，
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ，即 ＝tan
32°≈0.625.
解得x≈600.
經檢驗，x≈600是所列分式方程的解，且符合題意.
∴廣州塔AB的高度約為600 m.
(2)一架無人機從廣州塔頂點A出發，沿水平方向AF飛行300 m到達A'
處，求此時從A'處看點D的俯角的正切值.
(2)解：如圖，過點D作DH⊥AF于點H，
則四邊形ABDH是正方形.
∴AH＝HD＝AB＝600 m，∠AHD＝90°.
∵AA'＝300 m，
∴A'H＝AH－AA'＝300 m.
∴在Rt△A'DH中，tan∠DA'H＝ ＝ ＝2.
∴從A'處看點D的俯角的正切值為2.
(2)解：如圖，過點D作DH⊥AF于點H，
則四邊形ABDH是正方形.
∴AH＝HD＝AB＝600 m，∠AHD＝90°.
∵AA'＝300 m，
∴A'H＝AH－AA'＝300 m.
∴在Rt△A'DH中，tan∠DA'H＝ ＝ ＝2.
∴從A'處看點D的俯角的正切值為2.
★考點五：解直角三角形綜合
例13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5， sin ∠CAB＝ ，D是斜
邊AB上一點，過點A作AE⊥CD，垂足為E，AE交直線BC于點F.
(1)當tan∠BCD＝ 時，求線段BF的長；
(1)解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，
sin ∠CAB＝ ，∴BC＝4，AC＝3.
∵AE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠AFC＝90°，∠AFC＋∠CAF＝
90°.
∴∠CAF＝∠BCD.
∴tan∠CAF＝tan∠BCD＝ .
又∵∠ACB＝90°，AC＝3，
∴CF＝ .∴BF＝ .
(2)當點F在邊BC上時，設AD＝x，BF＝y，求y關于x的函數關系式
及其自變量的取值范圍；
★考點五：解直角三角形綜合
例13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5， sin ∠CAB＝ ，D是斜
邊AB上一點，過點A作AE⊥CD，垂足為E，AE交直線BC于點F.
(2)解：如圖，過點B作BG∥AC，交CD的延長線于點G.
∴ ＝ ，即 ＝ ，①∠GBC＝∠ACB＝90°.
由(1)得tan∠CAF＝tan∠BCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，②由①②得 ＝ .
y＝ ＝ － (≤x≤5).
(2)解：如圖，過點B作BG∥AC，交CD的延長線于點G.
∴ ＝ ，即 ＝ ，①∠GBC＝∠ACB＝90°.
由(1)得tan∠CAF＝tan∠BCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，②由①②得 ＝ .
y＝ ＝ － (≤x≤5).
(3)當BF＝ 時，求線段AD的長.
★考點五：解直角三角形綜合
例13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5， sin ∠CAB＝ ，D是斜
邊AB上一點，過點A作AE⊥CD，垂足為E，AE交直線BC于點F.
(3)解：①當點F在線段BC上時，
把y＝ 代入y＝ － ，解得x＝ .
②當點F在CB的延長線上時，過點B作BG∥AC，交CD的
延長線于點G.
設AD＝x，由(2)同理可得 ＝ .解得x＝ .
綜上所述，當BF＝ 時，線段AD的長為 或 .
(3)解：①當點F在線段BC上時，
把y＝ 代入y＝ － ，解得x＝ .
②當點F在CB的延長線上時，過點B作BG∥AC，交CD的
延長線于點G.
設AD＝x，由(2)同理可得 ＝ .解得x＝ .
綜上所述，當BF＝ 時，線段AD的長為 或 .
1. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對
邊，則有(　C　)
A. b＝a·tan A B. b＝c· sin A
C. a＝c· cos B D. c＝a· sin A
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是(　A　)
A. tan A＝ B. sin 2A＋ cos 2A＝1
C. sin 2A＋ sin 2B＝1 D. tan A·tan B＝1
C
A
3. 如圖，在點F處看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15 m到達點
E，即EF＝15 m，在點E處看點D的仰角為64°，則CD的長用三角函
數表示為(　C　)
A. 15 sin 32° m B. 15tan 64° m
C. 15 sin 64° m D. 15tan 32° m
C
4. 河堤橫斷面迎水坡AB的坡比為1∶3，堤高BC＝6 m，則坡面AB的長
度是(　D　)
A. 8 m B. 18 m C. 2 m D. 6 m
D
5. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D和點E分別在BC，AB上.
若AC＝8，CD＝2，DE⊥AB， sin B＝ ，則ED的長度為(　A　)
A. 3.2 B. 4 C. 4.5 D. 4.8
A
6. 如圖，AB是☉O的直徑，CD為☉O的弦，AB與CD交于點E，且
∠CEB＝60°，且OE＝3，AE＝1.則CD的長為(　D　)
A. 5 B. 6 C. D.
第5題圖　　　　第6 題圖
D
7. (1)如圖1，網格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在格點
上，則∠AOB的正弦值是 ；
(2)如圖2，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的每個頂點都在
格點上，則∠BAC的余弦值是 .
圖1　　　　圖2
　
　
8. 如圖，海平面上燈塔O方圓100 km范圍內有暗礁.一艘輪船自西向東
方向航行，在點A處測得燈塔O在北偏東60°方向，繼續航行100 km
后，在點B處測得燈塔O在北偏東37°方向.請你作出判斷，為了避免觸
礁，這艘輪船是否要改變航向？ .(填“是”或“否”，參考數
據： sin 37°≈0.601 8， cos 37°≈0.798 6，tan 37°≈0.753 6，
≈1.732)
否　
9. 在△ABF中，C為AF上一點且AB＝AC.
(1)尺規作圖：作出以AB為直徑的☉O，☉O分別交AC，BC于點D，
E，在圖上標出點D，E(保留作圖痕跡，不寫作法)；
解：(1)如圖所示.
解：(1)如圖所示.
(2)若∠BAF＝2∠CBF，求證：直線BF是☉O的切線；
解：(2)證明：如圖，連接AE.
∵AB是☉O的直徑，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.
∵AB＝AC，∴∠1＝ ∠CAB.
∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠CBF＝ ∠CAB.
∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF＋∠2＝90°.
∴∠ABF＝90°.
∵AB是☉O的直徑，∴直線BF是☉O的切線.
解：(2)證明：如圖，連接AE.
∵AB是☉O的直徑，∴∠AEB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.
∵AB＝AC，∴∠1＝ ∠CAB.
∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠CBF＝ ∠CAB.
∴∠1＝∠CBF. ∴∠CBF＋∠2＝90°.
∴∠ABF＝90°.
∵AB是☉O的直徑，∴直線BF是☉O的切線.
9. 在△ABF中，C為AF上一點且AB＝AC.
(3)在(2)中，若AB＝5， sin ∠CBF＝ ，求BC和BF的長.
解：(3)解：如圖，過點C作CG⊥AB于點G.
∵ sin ∠CBF＝ ，∠1＝∠CBF，∴ sin ∠1＝ .
∵∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB· sin ∠1＝ .
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2 .
在Rt△ABE中，AE＝ ＝2 ，
∴ sin ∠2＝ ， cos ∠2＝ .
在Rt△CBG中，
解：(3)解：如圖，過點C作CG⊥AB于點G.
∵ sin ∠CBF＝ ，∠1＝∠CBF，∴ sin ∠1＝ .
∵∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB· sin ∠1＝ .
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2 .
在Rt△ABE中，AE＝ ＝2 ，
∴ sin ∠2＝ ， cos ∠2＝ .
在Rt△CBG中，
GC＝BC· sin ∠2＝2 × ＝4，
GB＝BC· cos ∠2＝2.∴AG＝3.
∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.
∴ ＝ .∴BF＝ ＝ .
GC＝BC· sin ∠2＝2 × ＝4，
GB＝BC· cos ∠2＝2.∴AG＝3.
∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.
∴ ＝ .∴BF＝ ＝ .(共34張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
第25章　概率初步
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：事件的分類
例1.下列各事件是必然事件的是(　D　)
A. 擲一枚正方體骰子，正面朝上恰好是3
B. 某同學投籃球，一定投不中
C. 經過紅綠燈路口時，一定是紅燈
D. 畫一個三角形，其內角和為180°
D
例2.下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是(　D　)
A. 水落石出 B. 水漲船高
C. 水滴石穿 D. 水中撈月
D
★考點二：概率
例3.在一個不透明的盒子中裝有6個白球，若干個黃球，它們除顏色不同
外，其余均相同.若從中隨機摸出一個球是白球的概率是 ，則黃球的個
數為 .
3　
例4.如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤分成四個扇形，標號分別為
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個數字.指針的位置固定，轉動的轉盤停止后，其中的
某個扇形會恰好停在指針所指的位置(指針指向兩個扇形的交線時，當作
指向右邊的扇形區域).指針指向扇形Ⅰ的概率是 .
　
★考點三：列舉法求概率
例5.甲城市有2個景點A，B，乙城市有3個景點C，D，E. 從中隨機選
取景點游覽，求下列事件的概率.
(1)選取1個景點，恰好在甲城市；
(1)解：選取1個景點，恰好在甲城市的概率為 .
(2)選取2個景點，恰好在同一個城市.
(1)解：選取1個景點，恰好在甲城市的概率為 .
(2)解：列表如下：
　　景點1 景點2　　 A B C D E
A － (B，A) (C，A) (D，A) (E，A)
B (A，B) － (C，B) (D，B) (E，B)
C (A，C) (B，C) － (D，C) (E，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) － (E，D)
E (A，E) (B，E) (C，E) (D，E) －
(2)解：列表如下：
由表可知，共有20種等可能結果，其中選取2個景點，恰好在同一個城市
的結果有8種，
所以選取2個景點，恰好在同一個城市的概率為 ＝ .
由表可知，共有20種等可能結果，其中選取2個景點，恰好在同一個城市
的結果有8種，
所以選取2個景點，恰好在同一個城市的概率為 ＝ .
★考點四：頻率估計概率
例6.在一個不透明口袋中裝有10個白球，若干個黑球，除顏色外其他完
全相同，經過大量試驗發現摸白球的頻率穩定在0.2附近，則黑球大約
有 個.
40　
(1)完成表格；
(2)估計該運動員投籃命中的概率為 (精確到0.1)；
(3)估計該運動員2分投籃18次的得分數.
(3)解：這個運動員2分投籃18次大約命中18×0.5＝9(次)，
∴這個運動員2分投籃18次的得分大約為2×9＝18(分).
0.5　
(3)解：這個運動員2分投籃18次大約命中18×0.5＝9(次)，
∴這個運動員2分投籃18次的得分大約為2×9＝18(分).
投籃次數m 20 50 100 150 200
命中次數n 9 25 52 75 98
命中率 0.45 0.5 0.52 0.5 0.49
0.52
0.5
0.49
例7.某校組織籃球隊，在一次定點2分投籃訓練中，教練記錄了一個隊員
的情況，制成表格如下：
★考點五：游戲的公平性
例8.為踐行青島市中小學生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜
和小麗想合唱一首歌.小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故
鄉》.她們想通過做游戲的方式來決定合唱哪一首歌，于是一起設計了一
個游戲：下面是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的
幾個扇形.同時轉動兩個轉盤，若兩個指針指向的數字之積小于4，則合
唱《大海啊，故鄉》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線
上，則需要重新轉動轉盤.請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否
公平.
A轉盤　　　　B轉盤
解：不公平.理由如下：
根據題意，畫樹狀圖如下：
∵共有12種等可能的結果，其中數字之積小
于4的結果有5種，
∴合唱《大海啊，故鄉》的概率是 .
∴合唱《紅旗飄飄》的概率是 .
∵ ＜ ，∴游戲不公平.
解：不公平.理由如下：
根據題意，畫樹狀圖如下：
∵共有12種等可能的結果，其中數字之積小
于4的結果有5種，
∴合唱《大海啊，故鄉》的概率是 .
∴合唱《紅旗飄飄》的概率是 .
∵ ＜ ，∴游戲不公平.
1. 下列事件中，是必然事件的是(　A　)
A. 在同一年出生的13名學生中，至少有2人出生在同一個月
B. 買一張電影票，座位號是偶數號
C. 曉麗乘12路公交車去上學，到達公共汽車站時，12路公交車正在駛來
D. 在標準大氣壓下，溫度低于0 ℃時冰融化
A
2. 下列說法正確的是(　C　)
A. 10張票中有1張獎票，10人去摸，先摸的人摸到獎票的概率較大
B. 從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數，取得偶數的可能性較大
C. 小強一次擲出3顆質地均勻的骰子，3顆全是6點朝上是隨機事件
D. 拋一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率為 ，連續拋此硬幣2次必有
1次正面朝上
C
3. 如圖所示的電路中，當隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個時，燈泡能
發光的概率為(　A　)
A. B. C. D.
A
4. 一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口袋中
的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷
重復這一過程，共摸了300次球，發現有120次摸到紅球，則這個口袋中
紅球的個數約為 .
5. 圍棋起源于中國，棋子分黑、白兩色.一個不透明的盒子中裝有3個黑
色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，任意摸出一個棋
子，摸到黑色棋子的概率是 ，則盒中棋子的總個數是 .
8　
12　
6. 為了慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識競賽活動，
在獲得一等獎的學生中，有3名女學生，1名男學生，則從這4名學生中隨
機抽取2名學生，恰好抽到2名女學生的概率為(　B　)
A. B. C. D.
B
7. 哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜
想，我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.
在質數2，3，5中，隨機選取兩個不同的數，其和是偶數的概率有
(　B　)
A. B. C. D.
B
8. (2024·增城二模)為培養學生的閱讀興趣，某校提供了四類適合學生閱
讀的書籍：A文學類，B科幻類，C漫畫類，D數理類.為了解學生的閱讀
興趣，學校隨機抽取了部分學生進行調查(每位學生僅選一類)，根據收集
到的數據，整理后得到下列不完整的圖表：
書籍類別 A文學類 B科幻類 C漫畫類 D數理類
學生人數 24 m 16 8
(1)本次抽查的學生總人數是 ，統計表中的m＝ ；
(2)在扇形統計圖中，求“C漫畫類”對應扇形的圓心角度數；
80　
32　
(2)解：在扇形統計圖中，“C漫畫類”對應扇形的圓心角的度
數是360°× ×100％＝72°.
(
3
)
解
：
畫
樹
狀
圖
如
下
：
從
樹
狀
圖
可
知
共
有
1
6
種
等
可
能
的
結
果
，
小
文
、
小
明
選
擇
同
一
社
團
的
結
果
共
有
4
種
，
∴
P
(
小
文
、
小
明
選
擇
同
一
社
團
)
＝
＝
.
(2)解：在扇形統計圖中，“C漫畫類”對應扇形的圓心角的度
數是360°× ×100％＝72°.
8. (2024·增城二模)為培養學生的閱讀興趣，某校提供了四類適合學生閱
讀的書籍：A文學類，B科幻類，C漫畫類，D數理類.為了解學生的閱讀
興趣，學校隨機抽取了部分學生進行調查(每位學生僅選一類)，根據收集
到的數據，整理后得到下列不完整的圖表：
書籍類別 A文學類 B科幻類 C漫畫類 D數理類
學生人數 24 m 16 8
(3)學校決定成立“文學”“科幻”“漫畫”“數理”四個閱讀社團，小
文、小明同時報名了四個社團中的一個，請利用列表或畫樹狀圖的方
法，求小文、小明選擇同一社團的概率.
9. (2024·南沙二模)為打造書香文化，培養閱讀習慣，某中學計劃在各班
建設圖書角，并開展主題為“我最喜歡閱讀的書籍”的調查活動，學生
根據自己的愛好選擇一類書籍(A科技類，B文學類，C政史類，D藝術
類，E其他類).張老師組織數學興趣小組對學校部分同學進行了問卷調
查.根據收集到的數據，繪制了如下兩幅不完整的統計圖.
請回答下列問題：
(1)參與本次問卷調查活動的學生人數是 ；
(2)甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類
書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或列表的方法求甲、乙兩位同學選
擇相同類別書籍的概率.
解：(2)畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩
位同學選擇相同類別書籍的結果有2
種，
∴P(甲、乙兩位同學選擇相同類別書
籍)＝ .
50　
解：(2)畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，其中甲、乙兩
位同學選擇相同類別書籍的結果有2種，
∴P(甲、乙兩位同學選擇相同類別書
籍)＝ .
10. 從－ ，－1，1，2，－5中任取一個數作為a，則拋物線y＝ax2＋bx
＋c的開口向上的概率是 .
11. 如圖所示的電路圖中，當隨機閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關時，
能夠讓燈泡發光的概率為 .
　
　
12. 有五張背面相同的卡片，正面分別印有圓、矩形、等邊三角形、菱
形、平行四邊形，現將五張卡片正面朝下洗勻任意擺放，從中隨機抽取
一張，抽到的卡片恰好是中心對稱圖形的概率為 .
　
13. 如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是AO的中點.過點C作
CE⊥AO交 于點E，過點E作ED⊥OB，垂足為D. 在扇形內隨機選
取一點P，則點P落在陰影部分的概率是(　B　)
A. B. C. D.
B
14. 為了解市民“獲取新聞的最主要途徑”，某市記者開展了一次抽樣
調查，根據調查結果繪制了如下尚不完整的統計圖.
調查結果扇形統計圖
調查結果條形統計圖
根據以上信息，解答下列問題：
(1)這次接受調查的市民總人數是 ；扇形統計圖中，“電視”所
對應的圓心角的度數是 ；
(2)現有兩位同學，他們每人都通過電視、報紙、電腦上網、手機上網四
種途徑中的一種來獲取新聞.請用畫樹狀圖或列表的方法計算他們剛好通
過同一種途徑獲取新聞的概率.
1 000　
54°　
(2)解：將電視、報紙、電腦上網、手機上網四種
(2)解：將電視、報紙、電腦上網、手機上網四種
途徑分別記為A，B，C，D，畫樹狀圖如下：
由圖可知，兩位同學獲取新聞的途徑共有16種
結果，其中他們剛好通過同一種途徑獲取新聞
的結果有4種，
則所求的概率為P＝ ＝ .
∴他們剛好通過同一種途徑獲取新聞的概率為 .
15. 數學文化節猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質地都相同的字謎卡
片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是
猜“數學名詞”，字謎C、字謎D是猜“數學家人名”.
(1)若小軍從中隨機抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數學名
詞”的概率是 ；
(2)若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法
求小軍抽取的字謎均是猜“數學家人名”的概率.
　
(2)解：根據題意，
畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有12
種等可能的結果，
其中小軍抽取的字
謎均是猜“數學家
人名”的結果有2
種，
∴小軍抽取的字謎
均是猜“數學家人
名”的概率為 ＝
.
(2)解：根據題意，
畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有12
種等可能的結果，
其中小軍抽取的字
謎均是猜“數學家
人名”的結果有2
種，
∴小軍抽取的字謎
均是猜“數學家人
名”的概率為 ＝
.(共31張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
綜合卷(1)
數　學
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的
四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. 下列各圖中，是中心對稱圖形的是(　B　)
A B C D
2. 下列方程中，是一元二次方程的是(　A　)
A. x2＋2x＝0 B. 3＋2x＝0
C. x＝0 D. x＋2x＝0
B
A
3. 一元二次方程3x2－2x－1＝0的根的情況為(　A　)
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 沒有實數根 D. 無法確定
4. 下列事件中，為隨機事件的是(　D　)
A. 太陽從東方升起
B. 任意畫三角形，其內角和為90°
C. 通常加熱到100 ℃，水沸騰
D. 射擊隊員射擊一次，命中靶心
A
D
5. 在平面直角坐標系中，點P(－1，－2)關于原點對稱的點的坐標是
(　C　)
A. (1，－2) B. (－1，2)
C. (1，2) D. (－2，－1)
6. 不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球和5個黑球，除顏色外無其他
差別，隨機摸出一個球，恰好是白球的概率為(　C　)
A. B. C. D.
C
C
7. 如圖，正六邊形ABCDEF內接于☉O，☉O的半徑是1，則正六邊形
ABCDEF的周長是(　B　)
A. 6 B. 6 C. 6 D. 12
8. 如圖，用圓心角為120°，半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側面，則這
個圓錐的底面半徑是(　B　)
A. 4 B. 2 C. 4π D. 2π
第7題圖　　　　　　　第8題圖　　　　　
B
B
9. 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，若｜ax2＋bx＋c｜
＝k(k≠0)有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是(　A　)
A. k＞3 B. k＞－3 C. k＜3 D. k＜－3
10. 如圖，四邊形ABCD內接于☉O，E為BC延長線上一點，連接
OD，OB，若OD∥BC，且OD＝BC，則∠BOD的度數是(　D　)
A. 65° B. 115° C. 130° D. 120°
　　
第9題圖　　　　　　　第10題圖
A
D
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)
11. 設x1，x2是方程x2＋3x－4＝0的兩個根，則x1＋x2＝ .
12. 將拋物線y＝(x－1)2＋2向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位
長度所得到的拋物線的解析式為 .
－3　
y＝x2＋4x＋2　
13. 如圖是一個可以自由轉動的轉盤，轉盤分成黑、白兩種顏色.指針的
位置固定，轉動的轉盤停止后，指針恰好指向白色扇形的概率為 (指針
指向OA時，當作指向黑色扇形；指針指向OB時，當作指向白色扇形)，
則黑色扇形的圓心角∠AOB＝ .
第13題圖　　　
45°　
14. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，將△ABC繞點A順
時針旋轉90°得到△AB'C'，則BB'＝ .
15. 如圖，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半徑OA＝10 m，地面寬AB
＝16 m，則高度CD為 .
　
第14題圖　　　
6 　
4 m　
16. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向上，經過點(－1，3)和(1，0)
且與y軸交于負半軸.則下列結論：①a＋b＋c＝0；②abc＜0；③2a＋
b＜0；④a＋c＝ ；其中正確的結論是 .(填寫所有正確結論的
序號)
　
第15題圖　　　　第16題圖
①④　
三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程
或演算步驟)
17. 解方程：2x2－8＝0.
解：2x2＝8，x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2.
解：2x2＝8，x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝－2.
18. 如圖，在△ABC中，邊BC與☉A相切于點D，∠BAD＝∠CAD. 求
證：AB＝AC.
∵BC與☉A相切于點D，
∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD. ∴AB＝AC.
∵BC與☉A相切于點D，
∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD. ∴AB＝AC.
19. 已知關于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0.
(1)若該方程有一個實數根為3，求m的值；
(1)解：∵關于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0有一個實數根為
3，∴9－3(m－1)＋m－2＝0.∴m＝5.
(2)求證：該方程總有兩個實數根.
(2)證明：∵一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0，
∴Δ＝[－(m－1)]2－4(m－2)
＝m2－2m＋1－4m＋8
＝(m－3)2.
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0.∴該方程總有兩個實數根.
(1)解：∵關于x的一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0有一個實數根為
3，∴9－3(m－1)＋m－2＝0.∴m＝5.
(2)證明：∵一元二次方程x2－(m－1)x＋m－2＝0，
∴Δ＝[－(m－1)]2－4(m－2)
＝m2－2m＋1－4m＋8
＝(m－3)2.
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0.∴該方程總有兩個實數根.
20. 如圖，四邊形的對角線AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10.當AC，
BD的長是多少時，四邊形ABCD面積最大？
解：設AC＝x，四邊形ABCD面積為S，則BD＝10－x.
S＝ x(10－x)＝－ x2＋5x
∵－ ＜0，∴拋物線開口向下.
當x＝－ ＝5時，S最大＝－ ×52＋5×5＝ ，
即當AC＝5，BD＝5時，四邊形ABCD面積最大，最大值為 .
解：設AC＝x，四邊形ABCD面積為S，則BD＝10－x.
S＝ x(10－x)＝－ x2＋5x
∵－ ＜0，∴拋物線開口向下.
當x＝－ ＝5時，S最大＝－ ×52＋5×5＝ ，
即當AC＝5，BD＝5時，四邊形ABCD面積最大，最大值為 .
21. 學校為了踐行“立德樹人，實踐育人”的目標，開展勞動課程，組
織學生走進農業基地，欣賞田園風光，體驗勞作的艱辛和樂趣，該勞動
課程有以下小組：A. 搭豇豆架；B. 斬草除根；C. 趣挖番薯；D. 開墾
播種，學校要求每人只能參加一個小組，且必須參加一個小組.
(1)甲選擇“趣挖番薯”小組的概率是 ；
(1)解： .
(2)求甲、乙兩人選擇同一個小組概率.
　
(1)解： .
(2)解：畫樹狀圖如圖.
共有16種等可能結果，其中甲、乙兩人選擇同
一個小組有4種，
∴甲、乙兩人選擇同一個小組的概率 ＝ .
22. 如圖，AB是☉O直徑，C為☉O上一點.
(1)尺規作圖：求作一點B'，使得B'與B關于直線AC對稱；
(1)解：如圖1所示，連接BC并延長，以點C為圓心，BC的長度為半徑
畫弧，與BC的延長線交點即為點B'.
(2)在(1)的條件下，在直線AB'上取一點D，連接CD，若CD⊥AB'，求
證：CD是圓O的切線.
(1)解：如圖1所示，連接BC并延長，以點C為圓心，BC的長度為半徑
畫弧，與BC的延長線交點即為點B'.
(2)解：由(1)，知：AB'＝AB，OC＝OB，
∴∠B'＝∠ABC，∠ABC＝∠BCO.
∴∠B'＝∠BCO. ∴CO∥AD.
∵CD⊥AB'，∴CD⊥OC.
∵OC是☉O的半徑，
∴CD是☉O的切線. 圖1　　 圖2
(2)解：由(1)，知：AB'＝AB，OC＝OB，
∴∠B'＝∠ABC，∠ABC＝∠BCO.
∴∠B'＝∠BCO. ∴CO∥AD.
∵CD⊥AB'，∴CD⊥OC.
∵OC是☉O的半徑，
∴CD是☉O的切線.
圖1　　 圖2
23. 為改善村容村貌，建設美麗鄉村，某村計劃將一塊長18 m、寬10 m
的矩形場地建成綠化廣場.如圖，廣場內部修建同樣寬的三條小路，其中
一條路與廣場的長邊平行，另兩條路與廣場的短邊平行，其余區域進行
綠化，使綠化區域的面積為廣場總面積的80％，小路的寬應為多少米？
解：設小路的寬為x m.由題意，得(18－2x)(10－x)＝18×10×80％，
解得x1＝1，x2＝18(不合題意，舍去).
答：使綠化區域的面積為廣場總面積的80％，小路的寬為1 m.
解：設小路的寬為x m.由題意，得(18－2x)(10－x)＝18×10×80％，
解得x1＝1，x2＝18(不合題意，舍去).
答：使綠化區域的面積為廣場總面積的80％，小路的寬為1 m.
24. 已知拋物線y1＝－x2＋bx＋c經過點A(－1，0)和B(3，0).
(1)求拋物線的解析式；
(1)解：∵拋物線y1＝－x2＋bx＋c經過點A(－1，0)和B(3，0).
得 解得
∴拋物線的解析式為y1＝－x2＋2x＋3.
(2)過點A的直線y2＝kx＋k與拋物線交于點P.
①當0≤x≤3時，若y1－y2的最小值為5，求k的值；
②拋物線的頂點為C，對稱軸與x軸交于點D，當點P(不與點B重合)在
拋物線的對稱軸右側運動時，直線AP和直線BP分別與對稱軸交于點
M，N，試探究△AMD的面積與△BND的面積之間滿足的等量關系.
(1)解：∵拋物線y1＝－x2＋bx＋c經過點A(－1，0)和B(3，0).
得 解得
∴拋物線的解析式為y1＝－x2＋2x＋3.
(2)①解：由題，知y1－y2＝－x2＋2x＋3－kx－k
＝－x2＋(2－k)x＋3－k，∴對稱軸是直線x＝ ＝ .
∵－1＜0，∴開口向下.當0＜ ＜3，即－4＜k＜2時，
∵當0≤x≤3時，若y1－y2的最小值為5，當x＝0時，
y1－y2的最小值為5，即3－k＝5，解得k＝－2.
當x＝3時，y1－y2的最小值為5，即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
(2)①解：由題，知y1－y2＝－x2＋2x＋3－kx－k
＝－x2＋(2－k)x＋3－k，∴對稱軸是直線x＝ ＝ .
∵－1＜0，∴開口向下.當0＜ ＜3，即－4＜k＜2時，
∵當0≤x≤3時，若y1－y2的最小值為5，當x＝0時，
y1－y2的最小值為5，即3－k＝5，解得k＝－2.
當x＝3時，y1－y2的最小值為5，即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
解得k＝－ (不符合題意舍去).
當 ≤0即k≥2時，∵當0≤x≤3時，若y1－y2的最小值為5，
∴當x＝3時，y1－y2的最小值為5，
即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
解得k＝－ (不符合題意，舍去).
當 ≥3即k≤－4時，同理可得不符合題意.
綜上所述，k＝－2.
解得k＝－ (不符合題意舍去).
當 ≤0即k≥2時，∵當0≤x≤3時，若y1－y2的最小值為5，
∴當x＝3時，y1－y2的最小值為5，
即－9＋3(2－k)＋3－k＝5，
解得k＝－ (不符合題意，舍去).
當 ≥3即k≤－4時，同理可得不符合題意.
綜上所述，k＝－2.
②解：∵拋物線的解析式為y1＝－x2＋2x＋3，
整理為頂點式有y1＝－(x－1)2＋4，對稱軸為直線x＝1.
∵拋物線的頂點為C，對稱軸與x軸交于點D，
∴點C(1，4)，D(1，0).∵直線AP的解析式為y2＝kx＋k，
且直線AP與對稱軸交于點M，∴點M(1，2k)，
即DM＝2k.
∵過點A的直線y2＝kx＋k與拋物線交于點P，
有－x2＋2x＋3＝kx＋k，
整理，得－x2＋(2－k)x＋3－k＝0，
②解：∵拋物線的解析式為y1＝－x2＋2x＋3，
整理為頂點式有y1＝－(x－1)2＋4，對稱軸為直線x＝1.
∵拋物線的頂點為C，對稱軸與x軸交于點D，
∴點C(1，4)，D(1，0).∵直線AP的解析式為y2＝kx＋k，
且直線AP與對稱軸交于點M，∴點M(1，2k)，
即DM＝2k.
∵過點A的直線y2＝kx＋k與拋物線交于點P，
有－x2＋2x＋3＝kx＋k，
整理，得－x2＋(2－k)x＋3－k＝0，
解得x1＝－1，x2＝3－k.將x＝3－k代入y2＝kx＋k中，
有y2＝4k－k2，∴點P(3－k，4k－k2)，
設直線BP的解析式為y3＝mx＋n，
有 解得
∴直線BP得解析式為y3＝(－4＋k)x＋12－3k.
∵直線BP與對稱軸交于點N，∴點N(1，8－2k)，
即DN＝8－2k.
當點P在第一象限時，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·2k＝2k，
解得x1＝－1，x2＝3－k.將x＝3－k代入y2＝kx＋k中，
有y2＝4k－k2，∴點P(3－k，4k－k2)，
設直線BP的解析式為y3＝mx＋n，
有 解得
∴直線BP得解析式為y3＝(－4＋k)x＋12－3k.
∵直線BP與對稱軸交于點N，∴點N(1，8－2k)，
即DN＝8－2k.
當點P在第一象限時，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·2k＝2k，
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△AMD＋S△BND＝2k＋8－2k＝8.
當點P在第四象限時，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·(－2k)＝－2k，
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△BND－S△AMD＝8－2k－(－2k)＝8.
綜上所述，S△AMD＋S△BND＝8或S△BND－S△AMD＝8.
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△AMD＋S△BND＝2k＋8－2k＝8.
當點P在第四象限時，
S△AMD＝ AD·DM＝ ×2·(－2k)＝－2k，
S△BND＝ BD·DN＝ ×2·(8－2k)＝8－2k，
∴S△BND－S△AMD＝8－2k－(－2k)＝8.
綜上所述，S△AMD＋S△BND＝8或S△BND－S△AMD＝8.
25. 如圖，E為正方形ABCD邊BC上的一點，CG平分正方形的外角
∠DCF，將線段AE繞點E順時針旋轉，點A的對應點為點H.
(1)當點H落在邊CD上且CE＝CH時，求∠AEH的度數；
(1)解：如圖1所示，
線段AE繞點E順時針旋轉當點H落在邊CD上，
∴AE＝EH. ∵四邊形ABCD邊正方形，
∴CB＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠ADH＝90°.
∵CE＝CH，∴CB－CE＝CD－CH. ∴BE＝DH.
(1)解：如圖1所示，
線段AE繞點E順時針旋轉當點H落在邊CD上，
∴AE＝EH. ∵四邊形ABCD邊正方形，
∴CB＝CD＝AB＝AD，∠ABE＝∠ADH＝90°.
∵CE＝CH，∴CB－CE＝CD－CH. ∴BE＝DH.
圖1　　　
在△ABE和△ADH中，
∴△ABE≌△ADH(SAS).∴AH＝AE＝EH，
故△AEH為等邊三角形，∴∠AEH＝60°.
25. 如圖，E為正方形ABCD邊BC上的一點，CG平分正方形的外角
∠DCF，將線段AE繞點E順時針旋轉，點A的對應點為點H.
(2)當點H落在射線CG上時，求證：AE⊥EH；
(2)證明：如圖2，在AB上取作BQ＝BE，
作HI垂直BF于點I，
∵線段AE繞點E順時針旋轉當點H落在邊CG上，
∴AE＝EH. ∵AB＝AC，BQ＝BE，∴AQ＝CE.
∵CG平分∠DCF，∴CI＝HI. 設AQ＝CE＝a，
CI＝HI＝b，BQ＝BE＝x.
在Rt△ABE和Rt△EIH中，AE2＝AB2＋BE2，
EH2＝EI2＋IH2，∴AB2＋BE2＝EI2＋IH2，
即(a＋x)2＋x2＝(a＋b)2＋b2，整理，得2(x－b)(a＋b＋
x)＝0，
(2)證明：如圖2，在AB上取作BQ＝BE，
作HI垂直BF于點I，
∵線段AE繞點E順時針旋轉當點H落在邊CG上，
∴AE＝EH. ∵AB＝AC，BQ＝BE，∴AQ＝CE.
∵CG平分∠DCF，∴CI＝HI. 設AQ＝CE＝a，
CI＝HI＝b，BQ＝BE＝x.
在Rt△ABE和Rt△EIH中，AE2＝AB2＋BE2，
EH2＝EI2＋IH2，∴AB2＋BE2＝EI2＋IH2，
即(a＋x)2＋x2＝(a＋b)2＋b2，整理，得2(x－b)(a＋b＋
x)＝0，
圖2　　　
∵a＋b＋x≠0，∴x－b＝0，解得x＝b.∴CI＝BE.
∵CG平分∠DCF，BQ＝BE，
∴∠GCF＝∠BQE＝45°.∴∠AQE＝∠ECH＝135°.
∵QE＝ BE，CH＝ CI，∴QE＝CH.
在△AQE和△ECG中，
∴△AOE≌△ECG(SAS).∴∠QAE＝∠CEG.
∵∠QAE＋∠AEB＝90°，∴∠CEG＋∠AEB＝90°，
∴∠AEG＝90°，故AE⊥EH.
∵a＋b＋x≠0，∴x－b＝0，解得x＝b.∴CI＝BE.
∵CG平分∠DCF，BQ＝BE，
∴∠GCF＝∠BQE＝45°.∴∠AQE＝∠ECH＝135°.
∵QE＝ BE，CH＝ CI，∴QE＝CH.
在△AQE和△ECG中，
∴△AOE≌△ECG(SAS).∴∠QAE＝∠CEG.
∵∠QAE＋∠AEB＝90°，∴∠CEG＋∠AEB＝90°，
∴∠AEG＝90°，故AE⊥EH.
(3)在(2)的條件下，連接AH并與CD交于點P，連接EP，探究AP2，EP2
與HP2之間的數量關系，并說明理由.
25. 如圖，E為正方形ABCD邊BC上的一點，CG平分正方形的外角
∠DCF，將線段AE繞點E順時針旋轉，點A的對應點為點H.
(3)解：HP2＋AP2＝2EP2.理由如下：
如圖3，過點P作PM⊥EH于點M，PN⊥AE于點N，
由(2)，可知AE⊥EH，∴∠EAH＝∠EHA＝45°，
∴△APN和△PHM為腰直角三角形，
即HP＝ PM，AP＝ PN，∴PH2＝2PM2，AP2＝
2PN2.
∵∠PNE＝∠AEH＝∠PME＝90°，
∴四邊形PNEM為矩形.∴PM＝NE.
在Rt△PNE中，EP2＝NE2＋PN2＝PM2＋PN2，
∴HP2＋AP2＝2(PM2＋PN2)＝2EP2，
故HP2＋AP2＝2EP2.
(3)解：HP2＋AP2＝2EP2.理由如下：
如圖3，過點P作PM⊥EH于點M，PN⊥AE于點N，
由(2)，可知AE⊥EH，∴∠EAH＝∠EHA＝45°，
∴△APN和△PHM為腰直角三角形，
即HP＝ PM，AP＝ PN，∴PH2＝2PM2，AP2＝
2PN2.
∵∠PNE＝∠AEH＝∠PME＝90°，
∴四邊形PNEM為矩形.∴PM＝NE.
在Rt△PNE中，EP2＝NE2＋PN2＝PM2＋PN2，
∴HP2＋AP2＝2(PM2＋PN2)＝2EP2，
故HP2＋AP2＝2EP2.
圖3(共36張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
綜合卷(3)
數　學
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四
個選項中，只有一項符合題目要求的)
1. 下列函數解析式中，一定為二次函數的是(　C　)
A. y＝3x－1 B. y＝ax2＋bx＋c
C. s＝2t2－2t＋1 D. y＝x2＋
2. 下列說法正確的是(　B　)
A. “平分弦的直徑垂直于弦”是必然事件
B. “垂直于弦的直徑平分弦”是必然事件
C. 可能性是0.1％的事件在一次試驗中一定不會發生
D. “任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是隨機事件
C
B
3. 用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，經過配方，得到(　D　)
A. (x＋2)2＝5 B. (x－2)2＝5
C. (x－2)2＝3 D. (x＋2)2＝3
4. 如圖，AB為☉O的直徑，點C，D在☉O上，∠ABC＝38°，銳角
∠BDC的度數為(　B　)
A. 57° B. 52° C. 38° D. 26°
D
B
5. 某中學的九年級籃球賽中，參賽的每兩支球隊之間都要進行一場比
賽，共比賽21場.設參加比賽的球隊有x支，根據題意，下面列出的方程
正確的是(　A　)
A. x(x－1)＝21 B. x(x＋1)＝21
C. x(x＋1)＝21 D. x(x－1)＝21
A
6. 如圖，在△ABC中，∠B＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉60°得
到△DEC，點A，B的對應點分別為點D，E，延長BA交DE于點F，
下列結論一定正確的是(　D　)
A. ∠ACB＝∠ACD B. AC∥DE
C. AB＝EF D. BF⊥CE
　
第6題圖　
D
7. 若關于x的一元二次方程(k－2)x2＋2x－1＝0有兩個不相等的實數
根，則實數k的取值范圍是(　B　)
A. k＞1 B. k＞1且k≠2
C. k≤1 D. k≥1且k≠2
8. 半徑為R的圓內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為a，
b，c，則a，b，c的大小關系是(　A　)
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜b D. c＜b＜a
B
A
9. 如圖，拋物線y＝x2－4x＋3與x軸交于A，B兩點，將拋物線向上平
移m個單位長度后，點A，B在新拋物線上的對應點分別為點C，D. 若
圖中陰影部分的面積為8，則平移后新拋物線的解析式為(　C　)
A. y＝x2－4x＋3 B. y＝x2－4x＋5
C. y＝x2－4x＋7 D. y＝x2－4x＋11
　　　
C
第9題圖
10. 對于一個函數，自變量x取a時，函數值y也等于a，我們稱a為這個
函數的不動點.如果二次函數y＝x2＋2x＋c有兩個相異的不動點x1，
x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是(　C　)
A. c＜－3 B. c＜ C. c＜－2 D. c＜1
C
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)
11. 點P(3，－5)關于原點對稱的點的坐標為 .
12.一個蜘蛛網如圖所示，若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形，其中心點為點O，點M，N分別在射線OA，OC上，則∠MON＝ 度.
13. 如圖，圓錐的側面積為15π，底面半徑為3，則圓錐的高AO為 .
第12題圖　　　第13題圖　
(－3，5)　
80　
4　
14. 已知☉O的半徑為10 cm，AB，CD是☉O的兩條弦，AB∥CD，
AB＝16 cm，CD＝12 cm，則弦AB和CD之間的距離是 cm.
2或14　
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC＝3，則△ABC的
內切圓半徑r＝ .
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋
轉得到△A'B'C，M是BC的中點，P是A'B'的中點，連接PM，若BC＝
2，∠BAC＝30°，則線段PM的最小值是 .
　　
第15題圖　　　第16題圖
1　
1　
三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程
或演算步驟)
17. (本題滿分4分)解方程：x2－2x－3＝0.
解：原方程可以變形為(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0，x＋1＝0.
∴x1＝3，x2＝－1.
解：原方程可以變形為(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0，x＋1＝0.
∴x1＝3，x2＝－1.
18. (本題滿分4分)如圖，已知O是坐標原點，B，C兩點的坐標分別為
(3，－1)，(2，1).
(1)以點O為位似中心在y軸的左側將△OBC放大到兩倍(即新圖與原圖的
相似比為2)，畫出△OB'C'；
(2)點B的對應點B'的坐標是 ；點C的對應點C'的坐標
是 .
(1)解：如圖，△OB'C'即為所求.
(－6，2)　
(－4，－2)　
19. (本題滿分6分)為落實我市關于開展中小學課后服務工作的要求，某
學校開設了四門校本課程供學生選擇：A. 趣味數學；B. 博樂閱讀；C.
快樂英語；D. 硬筆書法.某年級共有100名學生選擇了A課程，為了解本
年級選擇A課程學生的學習情況，從這100名學生中隨機抽取了30名學生
進行測試，將他們的成績(百分制)分成六組，繪制成頻數分布直方圖.
(1)已知70≤x＜80這組的數據為72，73，74，75，76，76，79.
則這組數據的中位數是 ；眾數是 ；
(2)根據題中信息，估計該年級選擇A課程學生
成績在80≤x＜90的總人數；
75　
76　
(2)解：觀察直方圖，抽取的30名學生成績在80≤x＜90范圍內選取A課程
的有9人，所占比為 ，
那么估計該年級100名學生，學生成績在80≤x＜90范圍內，選取A課程
的總人數為100× ＝30.
(2)解：觀察直方圖，抽取的30名學生成績在80≤x＜90范圍內選取A課程
的有9人，所占比為 ，
那么估計該年級100名學生，學生成績在80≤x＜90范圍內，選取A課程
的總人數為100× ＝30.
(3)該年級學生小喬隨機選取了一門課程，則小喬選中課程D的概率
是 ；
(4)該年級每名學生選兩門不同的課程，小張和小王在選課程的過程中，
若第一次都選了課程C，那么他倆第二次同時選擇課程A或課程B的概率
是多少？請用列表或畫樹狀圖的方法加以說明.
　
(4)解：因該年級每名學生選兩門不同的課程，第一
次都選了課程C，畫樹狀圖如下：
共有9種等可能結果，它們分別是(A，A)，(A，B)，
(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，D)，(D，A)，(D，
B)，(D，D)，
他倆第二次同時選擇課程A或課程B的結果有2種，它
們分別是(A，A)，(B，B)，
所以他倆第二次同時選擇課程A或課程B的概率是 .
(4)解：因該年級每名學生選兩門不同的課程，第一
次都選了課程C，畫樹狀圖如下：
共有9種等可能結果，它們分別是(A，A)，(A，B)，
(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，D)，(D，A)，(D，
B)，(D，D)，
他倆第二次同時選擇課程A或課程B的結果有2種，它
們分別是(A，A)，(B，B)，
所以他倆第二次同時選擇課程A或課程B的概率是 .
20. (本題滿分6分)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的☉O
交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E. 判斷直線DE與☉O的位
置關系，并說明理由.
解：直線DE與☉O相切.理由如下：如圖所示，連接OD.
∵AB為☉O的直徑，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴BD＝DC.
又∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半徑，∴直線DE與☉O相切.
解：直線DE與☉O相切.理由如下：如圖所示，連接OD.
∵AB為☉O的直徑，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴BD＝DC.
又∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半徑，∴直線DE與☉O相切.
21. (本題滿分8分)已知關于x的一元二次方程：k2x2＋(1－2k)x＋1＝0
有兩個不相等的實數根.
(1)求k的取值范圍；
解：(1)∵關于x的一元二次方程k2x2＋(1－2k)x＋1＝0有兩個不相等的
實數根，
∴Δ＝(1－2k)2－4k2＞0且k2≠0，解得k＜ 且k≠0，
∴k的取值范圍是k＜ 且k≠0.
(2)若原方程的兩個實數根為x1，x2，且滿足｜x1｜＋｜x2｜＝2x1x2－
3，求k的值.
解：(1)∵關于x的一元二次方程k2x2＋(1－2k)x＋1＝0有兩個不相等的
實數根，
∴Δ＝(1－2k)2－4k2＞0且k2≠0，解得k＜ 且k≠0，
∴k的取值范圍是k＜ 且k≠0.
解：(2)∵原方程的兩個實數根為x1，x2，
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，而k＜ 且k≠0；
∴x1＋x2＝ ＜0，x1x2＝ ＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝2x1x2－3，∴－x1－x2＝2x1x2－3，
即－(x1＋x2)＝2x1x2－3.
∴－ ＝ －3，整理，得3k2－2k－1＝0，
解得k1＝1，k2＝－ .
又∵k＜ 且k≠0，∴k1＝1不合題意，舍去.
經檢驗，k2＝－ 是方程－ ＝ －3的解.∴k的值為－ .
解：(2)∵原方程的兩個實數根為x1，x2，
∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，而k＜ 且k≠0；
∴x1＋x2＝ ＜0，x1x2＝ ＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝2x1x2－3，∴－x1－x2＝2x1x2－3，
即－(x1＋x2)＝2x1x2－3.
∴－ ＝ －3，整理，得3k2－2k－1＝0，
解得k1＝1，k2＝－ .
又∵k＜ 且k≠0，∴k1＝1不合題意，舍去.
經檢驗，k2＝－ 是方程－ ＝ －3的解.∴k的值為－ .
22. (本題滿分10分)如圖，某小區有一塊靠墻(墻的長度不限)的矩形空地
ABCD，為美化環境，用總長為100 m的籬笆圍成四塊矩形花圃(靠墻一
側不用籬笆，籬笆的厚度不計).
(1)若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；
解：(1)證明：∵矩形MEFN與矩形EBCF面積相等，
∴ME＝BE.
∵四塊矩形花圃的面積相等，則S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，∴AE＝3BE.
解：(1)證明：∵矩形MEFN與矩形EBCF面積相等，
∴ME＝BE.
∵四塊矩形花圃的面積相等，則S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，∴AE＝3BE.
(2)在(1)的條件下，設BC的長度為x m，矩形區域ABCD的面積為y m2，
求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.
解：(2)∵籬笆總長為100 m，∴2AB＋GH＋3BC＝100，
即2AB＋ AB＋3BC＝100，∴AB＝40－ BC.
設BC的長度為x m，矩形區域ABCD的面積為y m2，
則y＝BC·AB＝x(40－ x)＝－ x2＋40x.
∵AB＝40－ BC，AB＝4BE，∴EB＝10－ x＞0，
解得x＜ ，∴y＝－ x2＋40x(0＜x＜ ).
解：(2)∵籬笆總長為100 m，∴2AB＋GH＋3BC＝100，
即2AB＋ AB＋3BC＝100，∴AB＝40－ BC.
設BC的長度為x m，矩形區域ABCD的面積為y m2，
則y＝BC·AB＝x(40－ x)＝－ x2＋40x.
∵AB＝40－ BC，AB＝4BE，∴EB＝10－ x＞0，
解得x＜ ，∴y＝－ x2＋40x(0＜x＜ ).
23. (本題滿分10分)某水果超市經銷一種高檔水果，售價每千克50元.
(1)若連續兩次降價后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下
降的百分率；
(1)解：設每次下降的百分率為x.根據題意，
得50(1－x)2＝32，解得x1＝0.2，x2＝1.8.
∵x＜1，∴x＝0.2＝20％.答：每次下降的百分率為20％.
(2)若按現售價銷售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查
發現，在進貨價不變的情況下，超市決定采取適當的漲價措施，但超市
規定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千
克.現該超市希望每天盈利6 000元，那么每千克應漲價多少元？
(1)解：設每次下降的百分率為x.根據題意，
得50(1－x)2＝32，解得x1＝0.2，x2＝1.8.
∵x＜1，∴x＝0.2＝20％.答：每次下降的百分率為20％.
(2)解：設每千克應漲價y元.根據題意，
得(10＋y)(500－20y)＝6 000，解得y1＝5，y2＝10.
∵y≤8，∴y＝5.
答：現該超市希望每天盈利6 000元，每千克應漲價5元.
(2)解：設每千克應漲價y元.根據題意，
得(10＋y)(500－20y)＝6 000，解得y1＝5，y2＝10.
∵y≤8，∴y＝5.
答：現該超市希望每天盈利6 000元，每千克應漲價5元.
23. (本題滿分10分)某水果超市經銷一種高檔水果，售價每千克50元.
(3)為了迎接新學期，在(2)的基礎上，超市決定每賣出1千克捐贈a元
(a≤2)給貧困山區學生，設每千克漲價x元.若要保證當0≤x≤8時，每天
盈利隨著x的增加而增大，直接寫出a的取值范圍.
(3)解：1≤a≤2
(3)解：1≤a≤2
24. (本題滿分12分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)與x軸交于點
A(4，0)和B(－1，0)兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC下方的拋物
線上一動點.
(1)求拋物線的解析式；
(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)經過A(4，0)和
B(－1，0)兩點，
∴ 解得
∴該拋物線的解析式為y＝x2－3x－4.
(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)經過A(4，0)和
B(－1，0)兩點，
∴ 解得
∴該拋物線的解析式為y＝x2－3x－4.
24. (本題滿分12分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)與x軸交于點
A(4，0)和B(－1，0)兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC下方的拋物
線上一動點.
(2)過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，求線段PE的最大值及
此時點P的坐標；
(2)解：當x＝0時，y＝－4，∴點C(0，－
4)，
設直線AC的解析式為y＝kx＋n，
則 解得
∴直線AC的解析式為y＝x－4.
設點P(t，t2－3t－4)，則點E(t，t－4)，
(2)解：當x＝0時，y＝－4，
∴點C(0，－ 4)，
設直線AC的解析式為y＝kx＋n，
則 解得
∴直線AC的解析式為y＝x－4.
設點P(t，t2－3t－4)，則點E(t，t－4)，
∴PE＝t－4－(t2－3t－4)＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∵－1＜0，∴當t＝2時，線段PE的最大值為4，
此時點P的坐標為(2，－6).
∴PE＝t－4－(t2－3t－4)＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∵－1＜0，∴當t＝2時，線段PE的最大值為4，
此時點P的坐標為(2，－6).
(3)取(2)中PE最大值時的P點，在坐標平面內是否存在點Q，使得以點
A，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點Q的坐
標，若不存在，請說明理由.
24. (本題滿分12分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)與x軸交于點
A(4，0)和B(－1，0)兩點，與y軸交于點C，點P是直線AC下方的拋物
線上一動點.
(3)解：存在.
設點Q(x，y)，又點A(4，0)，C(0，－4)，
P(2，－6)，
當AC，PQ為平行四邊形的對角線時，
AC與PQ的中點重合，
∴ 解得 ∴點
Q(2，2).
當AP，CQ為平行四邊形的對角線時，AP
與CQ的中點重合，
(3)解：存在.
設點Q(x，y)，又點A(4，0)，C(0，－4)，
P(2，－6)，
當AC，PQ為平行四邊形的對角線時，
AC與PQ的中點重合，
∴ 解得 ∴點
Q(2，2).
當AP，CQ為平行四邊形的對角線時，AP
與CQ的中點重合，
∴ 解得 ∴點Q(6，－2).
當AQ，CP為平行四邊形的對角線時，AQ與CP的中點重合，
∴ 解得 ，∴點Q(－2，－10).
綜上所述，點Q的坐標為(2，2)或(6，－2)或(－2，－10).
∴ 解得 ∴點Q(6，－2).
當AQ，CP為平行四邊形的對角線時，AQ與CP的中點重合，
∴ 解得 ，∴點Q(－2，－10).
綜上所述，點Q的坐標為(2，2)或(6，－2)或(－2，－10).
25. (本題滿分12分)如圖1，直線y＝－ x＋3 分別與y軸、x軸交于
A，B兩點，點C的坐標為(－3，0)，D為直線AB上一動點，連接CD交
y軸于點E.
(1)點B的坐標為 ，不等式－ x＋3 ＞0的解集為 ；
(3，0)　
x＜ 3
(2)若S△COE＝S△ADE，求點D的坐標；
(2)解：當x＝0時，y＝－ x＋3 ＝3 ，
∴點A的坐標為(0，3 ).
∵S△COE＝S△ADE，∴S△AOB＝S△CBD，
即 ×[3－(－3)]·yD＝ ×3×3 ，∴yD＝ .
當y＝ 時，有－ x＋3 ＝ ，解得x＝ .
∴點D的坐標為(， ).
25. (本題滿分12分)如圖1，直線y＝－ x＋3 分別與y軸、x軸交于
A，B兩點，點C的坐標為(－3，0)，D為直線AB上一動點，連接CD交
y軸于點E.
(3)如圖2，以CD為邊作菱形CDFG，且∠CDF＝60°.當點D運動時，
點G在一條定直線上運動，請求出這條定直線的解析式.
圖1　 圖2
(3)解：如圖，連接CF，連接AC. ∵∠CDF＝60°，
∴△CDF為等邊三角形.
∵AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC為等邊三角形，
∴△CAF≌△CBD.
∴∠CAF＝∠ACB＝60°.∴AF∥x軸.
設點D(m，－ m＋3 ).過點D作DH⊥x軸于H.
∴BH＝3－m，DB＝6－2m＝AF. ∴點F(2m－6，
3 ).
∵點C(－3，0).設點G(x，y)，
∵四邊形CDFG是菱形，∴ (x＋m)＝ (－3＋2m－
6)，
(3)解：如圖，連接CF，連接AC. ∵∠CDF＝60°，
∴△CDF為等邊三角形.
∵AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC為等邊三角形，
∴△CAF≌△CBD.
∴∠CAF＝∠ACB＝60°.∴AF∥x軸.
設點D(m，－ m＋3 ).過點D作DH⊥x軸于H.
∴BH＝3－m，DB＝6－2m＝AF. ∴點F(2m－6，3 ).
∵點C(－3，0).設點G(x，y)，
∵四邊形CDFG是菱形，∴ (x＋m)＝ (－3＋2m－6)，
(y－ m＋3 )＝ (0＋3 ).∴x＝m－9，y＝m.
∴點G在直線y＝ x＋9 上.(共36張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習-
第22章　二次函數
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：二次函數的定義
例1.關于x的函數y＝(m＋1) 是二次函數，則m的值為 .
★考點二：二次函數的圖象和性質
例2.已知二次函數y＝3(x－1)2＋5，下列結論正確的是(　D　)
A. 其圖象的開口向下 B. 圖象的對稱軸為直線x＝－1
C. 函數的最大值為3 D. 當x＞1時，y隨x的增大而增大
2　
D
例3.設A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y＝－(x＋1)2＋2上的
三點，則y1，y2，y3的大小關系為(　A　)
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2
A
例4.二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結論：①ac
＞0；②當x≥1時，y隨x的增大而減小；③2a＋b＝0；④b2－4ac＜
0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正確的是 (填序號).
③⑤　
★考點三：二次函數圖象的平移規律
例5.把拋物線y＝2x2＋1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長
度，得到的拋物線的關系式為 .
★考點四：二次函數的關系式
例6.二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象上部分點的橫、縱坐標x，y的對應
值如表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 m …
y … －19 －12 －7 －4 －3 －4 －7 n －19 …
這個二次函數的關系式為 ，且表中m值為 ，
n值為 .
y＝2x2＋4x　
y＝－x2－2x－4　
3　
－12　
例7.擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目.如圖1是
一名學生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y(m)與水
平距離x(m)之間的函數關系如圖2所示，擲出時起點處高度為 m，當水
平距離為3 m時，實心球行進至最高點3 m處.
(1)求y關于x的函數關系式；
(1)解：根據題意，設y關于x的函數關系式為
y＝a(x－3)2＋3.
把(0， )代入關系式，得 ＝a(0－3)2＋3.
解得a＝－ .
∴y關于x的函數關系式為y＝－ (x－3)2＋3.
(1)解：根據題意，設y關于x的函數關系式為
y＝a(x－3)2＋3.
把(0， )代入關系式，得 ＝a(0－3)2＋3.
解得a＝－ .
∴y關于x的函數關系式為y＝－ (x－3)2＋3.
圖1　　　　圖2
(2)根據蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準，投擲過程中，實心
球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70 m，此項考試得分為滿分10
分.該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由.
例7.擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目.如圖1是
一名學生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y(m)與水
平距離x(m)之間的函數關系如圖2所示，擲出時起點處高度為 m，當水
平距離為3 m時，實心球行進至最高點3 m處.
(2)解：該生在此項考試中得滿分.理由如下：
令y＝0，則－ (x－3)2＋3＝0.
解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去).
∵7.5＞6.70，
∴該生在此項考試中得滿分.
(2)解：該生在此項考試中得滿分.理由如下：
令y＝0，則－ (x－3)2＋3＝0.
解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去).
∵7.5＞6.70，
∴該生在此項考試中得滿分.
★考點五：二次函數與方程、不等式的關系
例8.如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx＋c的兩個交點的坐標分別為
A(－2，4)，B(1，1)，則關于x的方程ax2－bx－c＝0的解為
.
例8題圖　　　　　　
x1＝
－2，x2＝1　
例9.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝kx＋m交于A(－3，
－1)，B(0，3)兩點，則關于x的不等式ax2＋bx＋c＞kx＋m的解集
是 .
－3＜x＜0　
例9題圖
★考點六：多個函數圖象問題
例10.已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則y＝ax＋b和y＝ 的圖
象為(　C　)
A. 　　B. 　　C. D. 　　
C
★考點七：二次函數的應用
例11.如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(3，0)兩
點.
(1)拋物線的關系式為 ；
(2)當0＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍 ；
(3)P為拋物線上一點，若S△PAB＝10，求出此時點P的坐標.
y＝－x2＋2x＋3　
0＜y≤4　
(3)解：設點P(x，y).
∴△PAB的高為｜y｜.
∵點A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.
∴S△PAB＝ ×4× ＝10.
解得y＝±5.
當y＝5時，
5＝－x2＋2x＋3，此時方程無解；
當y＝－5時，－5＝－x2＋2x＋3.
解得x1＝4，x2＝－2.
∴點P(4，－5)或(－2，－5).
(3)解：設點P(x，y).
∴△PAB的高為｜y｜.
∵點A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.
∴S△PAB＝ ×4× ＝10.
解得y＝±5.
當y＝5時，
5＝－x2＋2x＋3，此時方程無解；
當y＝－5時，－5＝－x2＋2x＋3.
解得x1＝4，x2＝－2.
∴點P(4，－5)或(－2，－5).
例12.某商場經營某種品牌的玩具，購進的單價是30元，根據市場調查，
在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1
元，就會少售出10件玩具.
(1)設該種品牌玩具的銷售單價為x元，請你分別用x的代數式來表示銷售
量y件和銷售該品牌玩具獲利利潤w元；
(1)解：依題意可列式為
y＝600－10(x－40)＝－10x＋1 000；
w＝(x－30)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 300x－30 000.
(1)解：依題意可列式為
y＝600－10(x－40)＝－10x＋1 000；
w＝(x－30)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 300x－30 000.
例12.某商場經營某種品牌的玩具，購進的單價是30元，根據市場調查，
在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1
元，就會少售出10件玩具.
(2)在(1)的條件下，若商場獲利了10 000元銷售利潤，求該玩具的銷售單
價x應定為多少元？
(2)解：由題意可得
－10x2＋1 300x－30 000＝10 000.
解得x＝50或80.
∴該玩具的銷售單價x應定為50元或80元.
例12.某商場經營某種品牌的玩具，購進的單價是30元，根據市場調查，
在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1
元，就會少售出10件玩具.
(3)在(1)的條件下，若玩具廠規定該品牌玩具銷售單價不低于45元，且商
場要完成不少于480件的銷售任務，求商場銷售該品牌玩具獲利的最大利
潤是多少元？
(3)解：由題意可得
解得45≤x≤52.
w＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250.
∵－10＜0，∴當x≤65時，w隨x的增大而增大.
又∵45≤x≤52，
∴當x＝52時，w有最大值，最大值為10 560元.
∴商場銷售該品牌玩具獲利的最大利潤是10 560元.
(3)解：由題意可得
解得45≤x≤52.
w＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250.
∵－10＜0，∴當x≤65時，w隨x的增大而增大.
又∵45≤x≤52，
∴當x＝52時，w有最大值，最大值為10 560元.
∴商場銷售該品牌玩具獲利的最大利潤是10 560元.
★考點八：二次函數綜合問題
例13.如圖，二次函數y＝ x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與
y軸交于點C，點A的坐標為(－1，0)，點C的坐標為(0，－3)，連接
BC.
(1)求該二次函數的關系式；
(1)解：把點A(－1，0)和點C(0，－3)代入，得
解得
∴二次函數的關系式為y＝ x2－ x－3.
(1)解：把點A(－1，0)和點C(0，－3)代入，得
解得
∴二次函數的關系式為y＝ x2－ x－3.
★考點八：二次函數綜合問題
例13.如圖，二次函數y＝ x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與
y軸交于點C，點A的坐標為(－1，0)，點C的坐標為(0，－3)，連接
BC.
(2)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當△BCP的面積最大時，
求BC邊上的高PN的值.
(2)解：令y＝0，則0＝ x2－ x－3.
解得x1＝－1，x2＝6.
∴點B的坐標為(6，0).
∴BC＝ ＝ ＝3 .
設直線BC的關系式為y＝mx＋n(m≠0).
把點B(6，0)和點C(0，－3)代入，得
解得
∴直線BC的關系式為y＝ x－3.
(2)解：令y＝0，則0＝ x2－ x－3.
解得x1＝－1，x2＝6.
∴點B的坐標為(6，0).
∴BC＝ ＝ ＝3 .
設直線BC的關系式為y＝mx＋n(m≠0).
把點B(6，0)和點C(0，－3)代入，得
解得
∴直線BC的關系式為y＝ x－3.
如圖，過點P作PE⊥x軸交BC于點D，
設點P的坐標為(x， x2－ x－3)，則點D的坐標為(x， x－
3).
∴PD＝ x－3－( x2－ x－3)＝－ x2＋3x.
∴S△BCP＝ OB·PD＝ ×6×(－ x2＋3x)
＝－ (x－3)2＋ .
∴△BCP的最大面積為 .
∴PN＝ ＝ ＝ .
如圖，過點P作PE⊥x軸交BC于點D，
設點P的坐標為(x， x2－ x－3)，
則點D的坐標為(x， x－3).
∴PD＝ x－3－( x2－ x－3)＝－ x2＋3x.
∴S△BCP＝ OB·PD＝ ×6×(－ x2＋3x)
＝－ (x－3)2＋ .
∴△BCP的最大面積為 .
∴PN＝ ＝ ＝ .
1. 下列函數中，y是x的二次函數的是(　A　)
A. y＝6x2＋1 B. y＝6x＋1
C. y＝ D. y＝ ＋1
2. 二次函數y＝－(x－2)2－3的圖象的頂點坐標是(　B　)
A. (2，3) B. (2，－3)
C. (－2，3) D. (－2，－3)
A
B
3. 拋物線y＝ (x－1)2＋c經過(－2，y1)，(0，y2)，(，y3)三點，則y1，
y2，y3的大小關系正確的是(　D　)
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y3＞y1
C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2
4. 對于二次函數y＝ x2＋x＋4，下列說法正確的是(　A　)
A. 當x＞0時，y隨x的增大而增大
B. 圖象的頂點坐標為(－2，－7)
C. 當x＝2時，y有最大值－3
D. 圖象與x軸有兩個交點
D
A
5. 將拋物線y＝(x－1)2＋5平移后，得到拋物線的關系式為y＝x2＋2x＋
3，則平移的方向和距離是(　D　)
A. 向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B. 向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C. 向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D. 向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
D
6. 函數y＝ax2＋bx－3滿足下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 m …
(1)m的值為 ；
(2)寫出拋物線與y軸的交點坐標 ；
(3)方程ax2＋bx－3＝0的解為 ；
(4)直接寫出y＜0時，x的取值范圍： .
0　
(0，－3)　
x1＝－1，x2＝3　
－1＜x＜3　
7. 若一拋物線開口方向和形狀均與y＝－5x2＋2相同，頂點坐標為(4，
－2)，則其對應的函數關系式為 .
y＝－5(x－4)2－2　
8. 拋物線y＝(k－1)x2－x＋1與x軸有交點，則k的取值范圍是
.
9. 如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2 m時，水面寬6 m，則水面下
降 m時，水面寬8 m.
k≤
且k≠1　
　
10. 二次函數y＝ax2與一次函數y＝ax＋a在同一平面直角坐標系中的圖
象可能是(　D　)
A. B.
C. D.
D
11. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，點P從點A沿邊
AB向點B以1 cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2
cm/s的速度移動，設P，Q兩點的運動時間為x秒.
(1)寫出△PBQ的面積S關于出發時間x的函數關系式及x的取值范圍；
(1)解：∵點P沿邊AB以1 cm/s的速度移動，
點Q沿邊BC以2 cm/s的速度移動，
∴AP＝x，BQ＝2x.∴PB＝6－x.
∵AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴0≤x≤6，0≤2x≤8，即0≤x≤4.
∴當0≤x＜4時，S＝ ×2x(6－x)＝－x2＋6x；
當4≤x≤6時，S＝ ×8(6－x)＝－4x＋24.
∴S＝
11. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，點P從點A沿邊
AB向點B以1 cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2
cm/s的速度移動，設P，Q兩點的運動時間為x秒.
(2)當x為何值時，△PBQ的面積最大.
(2)解：當0≤x＜4時，
S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
即當x＝3時，S有最大值為9.
當4≤x≤6時，S＝－4x＋24，∵－4＜0，
∴當x＝4時，S有最大值為－4×4＋24＝－16＋24＝8.
∵9＞8，
∴當x＝3時，△PBQ的面積最大.
(2)解：當0≤x＜4時，
S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
即當x＝3時，S有最大值為9.
當4≤x≤6時，S＝－4x＋24，∵－4＜0，
∴當x＝4時，S有最大值為－4×4＋24＝－16＋24＝8.
∵9＞8，
∴當x＝3時，△PBQ的面積最大.
12. 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線
x＝－1，則下列結論中：
① ＞0；
②am2＋bm≤a－b(m為任意實數)；
③3a＋c＜1；
④若M(x1，y)，N(x2，y)是拋物線上不同的兩個點，
則x1＋x2≤－3.其中正確的結論有(　B　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
B(共34張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
第24章　圓
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：圓的有關概念
例1.下列說法：①經過圓心的線段是直徑；②長度相等的兩條弧是等
弧；③半圓是弧；④圓是軸對稱圖形，任意一條直徑都是它的對稱軸；
⑤直徑是圓中最長的弦；⑥連接圓上任意兩點間的線段叫弦.其中正確的
是 (填序號).
★考點二：垂直于弦的直徑
例2.如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB于點E，CD＝10，BE＝2，
則☉O的半徑OC＝ .
③⑤⑥　
　
例3.如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最
高點，線段CD經過拱門所在圓的圓心.若AB＝1 m，CD＝2.5 m，則拱
門所在圓的半徑為(　B　)
　　
A. 1.25 m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.45 m
B
★考點三：弧、弦、圓心角
例4.如圖，在☉O中， ＝ ，則下列結論中：①AB＝CD；②AC
＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④ ＝ .其中正確的是 (填序號).
例4題圖　　　
①②③④
★考點四：圓周角
例5.如圖，AB是圓的直徑，∠1，∠2，∠3，∠4的頂點均在AB上方的
圓弧上，∠1，∠4的一邊分別經過點A，B，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4
＝ °.
例5題圖　　　
90　
例6.如圖，AB為☉O的直徑，C，D兩點在圓上.若∠CAB＝20°，則
∠ADC的度數為 .
例6題圖
110°　
★考點五：點和圓的位置關系
例7.已知☉O與點P在同一平面內，若☉O的直徑為6，線段OP的長為
4，則下列說法正確的是(　C　)
A. 點P在☉O上 B. 點P在☉O內
C. 點P在☉O外 D. 無法判斷點P與☉O的位置關系
C
★考點六：反證法
例8.用反證法證明時，假設結論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位
置關系是(　C　)
A. 點在圓內 B. 點在圓上
C. 點在圓內或圓上 D. 無法判斷點與圓的位置關系
C
★考點七：直線和圓的位置關系
例9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以
點C為圓心、2 cm的長為半徑作圓，則☉C與AB的位置關系是 .
例9題圖　　　　
相離　
例10.如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，AC是☉O的直徑，
∠BAC＝20°，則∠P的度數為(　D　)
A. 50° B. 70° C. 110° D. 40°
例10題圖
D
★考點八：切線的性質和判定
例11.如圖，AB為☉O的直徑，C，D是☉O上的點，P是☉O外一點，
AC⊥PD于點E，AD平分∠BAC.
(1)求證：PD是☉O的切線；
(1)證明：如圖，連接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.
∵AC⊥PD，∴OD⊥PD.
∵OD是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線.
(1)證明：如圖，連接OD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠ODA＝∠DAE. ∴OD∥AE.
∵AC⊥PD，∴OD⊥PD.
∵OD是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線.
例11.如圖，AB為☉O的直徑，C，D是☉O上的點，P是☉O外一點，
AC⊥PD于點E，AD平分∠BAC.
(2)若DE＝2，∠BAC＝60°，求☉O的半徑.
(2)解：如圖，連接BD.
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°.
∵AC⊥PE，DE＝2，∴AD＝2DE＝4.
∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴AB＝2BD. 設BD＝x，則AB＝2x.
∵BD2＋AD2＝AB2，∴x2＋42＝(2x)2.
∴x＝ (負值已舍去).
∴BD＝ ，AB＝ .
∴AO＝ ，即☉O的半徑為 .
★考點九：切線長定理
例12.如圖，△ABC的內切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點D，
E，F. 已知△ABC的周長為36，AB＝9，BC＝14，則AF的長為
(　A　)
A. 4 B. 5 C. 9 D. 13
例12題圖　
A
★考點十：三角形的內心與外心
例13.如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝74°，點O是
△ABC的內心，則∠BOC等于(　B　)
A. 124° B. 118° C. 112° D. 62°
例13題圖
B
★考點十一：正多邊形和圓
例14.若正六邊形的邊長為6，則其外接圓半徑與內切圓半徑的大小分別
為(　A　)
A. 6，3 B. 3 ，3
C. 6，3 D. 6 ，3
A
★考點十二：圓的有關計算
例15.小慧同學制作了一把扇形紙扇.如圖，OA＝20 cm，OB＝5 cm，
紙扇完全打開后，外側兩竹條(竹條寬度忽略不計)的夾角∠AOC＝
120°，現需在扇面一側繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為
(　C　)
C
A. π B. 75π
例15題圖　　　
C. 125π D. 150π
例16.已知圓錐的底面半徑為2 cm，側面積為10π cm2，則該圓錐的母線
長為 cm.
例17.圓錐的底面半徑為5 cm，側面展開圖的圓心角是180°，則圓錐的
高是 cm.
5　
5 　
★考點十三：圓的綜合問題
例18.如圖，☉O的直徑CD為6 cm，OA，OB都是☉O的半徑，∠AOD
＝2∠AOB＝60°，點P在直徑CD上移動，
則AP＋BP的最小值為 cm.
3 　
例18題圖
例19.如圖，△ABC內接于半圓，AB是直徑，過點A作直線MN，使
∠MAC＝∠ABC.
(1)求證：MN是半圓的切線；
(1)證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC＋∠BAC＝90°，即∠MAB＝90°.
∴MA⊥AB.
∵OA是半圓的半徑，∴MN是半圓的切線.
(1)證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC＋∠BAC＝90°，即∠MAB＝90°.
∴MA⊥AB.
∵OA是半圓的半徑，∴MN是半圓的切線.
例19.如圖，△ABC內接于半圓，AB是直徑，過點A作直線MN，使
∠MAC＝∠ABC.
(2)作 的中點D，連接BD交AC于點G，過點D作DE⊥AB于點E，
交AC于點F(尺規作圖，并保留作圖痕跡)，并求證：FD＝FG；
(2)解：尺規作圖如圖所示.
證明：∵D為 的中點，∴∠DBC＝∠DBA.
∵AB是直徑，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴∠BDE＝∠BGC.
∵∠BGC＝∠FGD，∴∠FDB＝∠FGD.
∴FD＝FG.
(2)解：尺規作圖如圖所示.
證明：∵D為 的中點，∴∠DBC＝∠DBA.
∵AB是直徑，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴∠BDE＝∠BGC.
∵∠BGC＝∠FGD，∴∠FDB＝∠FGD.
∴FD＝FG.
(3)若BC＝4，AB＝6，求AE的長.
例19.如圖，△ABC內接于半圓，AB是直徑，過點A作直線MN，使
∠MAC＝∠ABC.
(3)解：如圖，連接OD交AC于點P.
∵D為 的中點，
∴OD⊥AC，AP＝CP.
∴OP＝ BC＝2.
在△OAP和△ODE中，
∴△OAP≌△ODE(AAS).
∴OP＝OE＝2.
∴AE＝OA－OE＝3－2＝1.
1. 如圖，AB是☉O的直徑，AC，CD，DE，EF，FB都是☉O的弦，
且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，則∠AOC＝ .
2. 數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小
明的解決方案如下：在工件圓弧上任取兩點A，B，連接AB，作AB的
垂直平分線CD交AB于點D，交 于點C，測出AB＝40 cm，CD＝10
cm，則圓形工件的半徑為(　C　)
A. 50 cm B. 35 cm
36°　
C
第1題圖　　 第2題圖　　
C. 25 cm D. 20 cm
3. 如圖，在☉O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，則∠ADC的度數為
(　B　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
4. 如圖，四邊形ABCD為☉O的內接四邊形.若四邊形ABCO為菱形，則
∠ADC的大小為 .
　
第3題圖 第4題圖　　　　
B
60°　
5. 如圖，AB是☉O的直徑，AC是☉O的切線，A為切點，BC與☉O交
于點D，連接OD. 若∠C＝50°，則∠AOD的度數為(　D　)
A. 40° B. 50° C. 70° D. 80°
　　
第5題圖
D
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，將△ABC繞直角邊所
在直線旋轉一周，得到的幾何體側面積是(　D　)
A. 15π B. 12π C. 20π D. 15π或20π
D
7. 如圖，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，以AB為直徑作☉O交BC于
點D，過點D作DF⊥AC于點E，交BA的延長線于點F.
(1)求證：DF是☉O的切線；
(1)證明：如圖，連接OD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠C. ∴AC∥OD.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半徑，∴DF是☉O的切線.
(2)若CE＝ ，CD＝2，求圖中陰影部分的面積(結果用π表示).
(1)證明：如圖，連接OD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∴∠ODB＝∠C. ∴AC∥OD.
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半徑，∴DF是☉O的切線.
(2)解：如圖，連接AD. 設☉O的半徑為r.
在Rt△CED中，CE＝ ，CD＝2，
∴ED2＝CD2－CE2＝4－3＝1.∴ED＝1.
∵ cos C＝ ＝ ，∴∠C＝30°.∴∠B＝30°.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∵AC∥OD，O為AB的中點，∴OD是△ABC的中位
線.
∴D是BC中點.∴CD＝BD＝2.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
(2)解：如圖，連接AD. 設☉O的半徑為r.
在Rt△CED中，CE＝ ，CD＝2，
∴ED2＝CD2－CE2＝4－3＝1.∴ED＝1.
∵ cos C＝ ＝ ，∴∠C＝30°.∴∠B＝30°.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∵AC∥OD，O為AB的中點，∴OD是△ABC的中位線.
∴D是BC中點.∴CD＝BD＝2.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴AD＝ AB＝r.∴BD＝ AD＝ r＝2.∴r＝ .
∴AB＝2r＝ .
∴AE＝AC－CE＝AB－CE＝ － ＝ .
∴S陰影＝S梯形AODE－S扇形AOD
＝ (＋ )×1－ π×()2＝ － .
∴AD＝ AB＝r.∴BD＝ AD＝ r＝2.∴r＝ .
∴AB＝2r＝ .
∴AE＝AC－CE＝AB－CE＝ － ＝ .
∴S陰影＝S梯形AODE－S扇形AOD
＝ (＋ )×1－ π×()2＝ － .
8. 若☉O的弦AB所對的圓心角為80°，則弦AB所對的圓周角的度數
是 .
9. 如圖，在☉O中，弦AB的長為4 ，點C在☉O上，OC⊥AB，
∠ABC＝30°，☉O所在的平面內有一點P. 若OP＝5，則點P與☉O的
位置關系是(　C　)
A. 點P在☉O上 B. 點P在☉O內
C. 點P在☉O外 D. 無法確定
40°或140°　
C
第9題圖　　　　
10. 如圖，☉O的直徑AB＝2 ，AM，BN分別是它的兩條切線，DE
與☉O相切于點E，并與AM，BN分別交于D，C兩點.若AD＝x，BC
＝y，則y關于x的函數關系式為 .
　　
第10題圖
y＝ 　
11. 如圖，C為半圓內一點，O為圓心，直徑AB長為2 cm，∠BOC ＝
60°，∠BCO ＝ 90°， 將△BOC繞圓心O逆時針旋轉至△B'OC'，點C'
在OA上，則邊BC掃過區域(圖中陰影部分)的面積為 cm2.(結果保
留π)
第11題圖　　　
　
12. 如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于
點D，與BC相交于點G，則下列結論：①∠BAD＝∠CAD；②若
∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若G為BC的中點，則∠BGD＝
90°；④BD＝DE. 其中一定正確的個數是(　D　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　
第12題圖
D(共36張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習檢測-
綜合卷(2)
數　學
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四
個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. 下列汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是
(　A　)
A B C D
A
2. 已知☉O半徑為10 cm，圓心O到點A的距離為10 cm，則點A與☉O
的位置關系是(　C　)
A. 相切 B. 圓外 C. 圓上 D. 圓內
3. 下列事件屬于必然事件的是(　B　)
A. 籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中
B. 任意畫一個三角形，其內角和是180°
C. 擲一次骰子，向上一面的點數是6
D. 經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
C
B
4. 如圖，在☉O中，弦AB，CD相交于點P. 若∠A＝60°，∠APD＝
80°，則∠B等于(　C　)
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
第4題圖　　　　
C
5. 如圖，AB，AC分別切☉O于B，C兩點，若∠OBC＝26°，則∠A
的度數為(　B　)
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
　
第5題圖　　
B
6. 將拋物線y＝3x2向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得
到的拋物線的解析式為(　A　)
A. y＝3(x－1)2＋2 B. y＝3(x＋1)2－2
C. y＝(x－1)2＋2 D. y＝3(x＋1)2＋2
A
7. 設x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的兩根，則 ＋ ＝(　D　)
A. 2 B. －2 C. －1 D. 10
D
8. 對于兩個不相等的有理數a，b，我們規定符號min{a，b}表示a，b
兩數中較小的數，例如min{2，－4}＝－4，則方程min{x，－x}＝3x＋4
的解為(　B　)
A. x＝－1 B. x＝－2
C. x＝－1或x＝－2 D. x＝1或x＝2
B
9. 如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續翻轉2 023次，點P
依次落在點P1，P2，P3，……，P2 023的位置，則點P2 023的橫坐標x2 023
為(　B　)
A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 不能確定
　
第9題圖　　
B
10. 如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(－
1，0)，與y軸的交點B在(0，－2)和(0，－1)之間(不包括這兩點)，對稱
軸為直線x＝1.下列結論：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac－b2＜
8a；④ ＜a＜ ；⑤b＞c.其中含所有正確結論的選項是(　C　)
A. ①③ B. ①③④
C. ①③④⑤ D. ②④⑤
　　
C
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)
11. 點P(2，－3)關于原點對稱點P1的坐標為 .
12. 一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式為 .
13. 不透明的袋子中裝有8個球，除顏色外無其他差別.每次把球充分攪
勻后，隨機摸出一個球記下顏色再放回袋子.通過大量重復試驗，發現摸
到白球的頻率穩定于0.25，則袋子中白球的個數約是 .
(－2，3)　
x2＋3x－2＝0　
2　
14. 已知一個圓錐的底面半徑是5 cm，高是12 cm，則該圓錐的側面積
是 .(結果保留π)
15. 在同一平面內，☉O外有一點P到圓上的最大距離是8 cm，最小距離
為2 cm，則☉O的半徑為 .
16. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E，F分別從點A，C同時出
發，以相同的速度分別沿AB，CD向終點B，D移動，當點E到達點B
時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為G，連接AG，則
AG長的最小值為 .
65π cm2　
3 cm　
－ 　
三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程
或演算步驟)
17. (本題滿分4分)解方程：x2－4x＝5.
解：在x2－4x－5＝0中，a＝1，b＝－4，c＝－5，
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝36.
∴x＝ ＝2±3.
∴x1＝5，x2＝－1.
解：在x2－4x－5＝0中，a＝1，b＝－4，c＝－5，
∴Δ＝(－4)2－4×1×(－5)＝36.
∴x＝ ＝2±3.
∴x1＝5，x2＝－1.
18. (本題滿分4分)如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC.
若點A、D、E在同一條直線上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的
度數.
解：根據旋轉的性質可知，CA＝CE，且∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形.∴∠CAE＝45°.
根據旋轉的性質可得∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝20°，∴∠ACD＝90°－20°＝70°.
∴∠EDC＝45°＋70°＝115°.∴∠B＝∠EDC＝115°.
解：根據旋轉的性質可知，CA＝CE，且∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形.∴∠CAE＝45°.
根據旋轉的性質可得∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝20°，∴∠ACD＝90°－20°＝70°.
∴∠EDC＝45°＋70°＝115°.∴∠B＝∠EDC＝115°.
19. (本題滿分6分)隨著信息技術的迅猛發展，人們去商場購物的支付方
式更加多樣、便捷，現有“微信”“支付寶”“銀行卡”和“現金”四
種支付方式.
(1)若隨機選一種方式進行支付，則恰巧是“現金”的概率是 ；
　
(2)在一次購物中，小明和小剛都想從“微信”“支付寶”和“銀行卡”
三種支付方式中選一種方式進行支付，請用列表或畫樹狀圖的方法求出
兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.
解：分別用A，B，C表示“微信”“支付寶”和“銀行卡”三種支付
方式，則所有可能出現的結果列表如下：
A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
解：分別用A，B，C表示“微信”“支付寶”和“銀行卡”三種支付
方式，則所有可能出現的結果列表如下：
由表可知共有9種等可能的結果，其中選擇方式相同的結果有3種，分別
是(A，A)(B，B)(C，C)，
∴兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為 ＝ .
由表可知共有9種等可能的結果，其中選擇方式相同的結果有3種，分別
是(A，A)(B，B)(C，C)，
∴兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為 ＝ .
20. (本題滿分6分)如圖，△AOB的三個頂點都在網格的格點上，每個小
正方形的邊長均為1個單位長度.
(1)在網格中畫出△AOB繞點O逆時針旋轉90°后的△A1OB1的圖形；
(1)解：如圖，△A1OB1為所作.
(2)求旋轉過程中邊OB掃過的面積.(結果保留π)
(2)OB＝ ＝3 ，
∴旋轉過程中邊OB掃過的面積＝ ＝ π.
20. (本題滿分6分)如圖，△AOB的三個頂點都在網格的格點上，每個小
正方形的邊長均為1個單位長度.
21. (本題滿分8分)對于拋物線y＝x2－4x＋3.
(1)與x軸交點的坐標為 ，與y軸交點的坐標為
，頂點坐標為 ；
(1，0)(3，0)　
(0，
3)　
(2，－1)　
(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 －1 0 3 …
(3)結合圖象直接回答：當0＜x＜3時，則y的取值范圍是 .
解：列表、描點、連線、如圖
0
1
2
3
4
3
0
－1
0
3
－1≤y＜ 3
解：列表、描點、連線、如圖
22. (本題滿分10分)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是邊AC上的
一點，連接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的☉O
經過點D.
(1)求證：AC是☉O的切線；
(1)解：證明：連接OD. ∵OD＝OB，
∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1.∵∠A＝2∠1，
∴∠DOC＝∠A.
∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°.∴OD⊥DC.
∵OD是☉O的半徑，∴AC是☉O的切線.
(1)解：證明：連接OD. ∵OD＝OB，
∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1.∵∠A＝2∠1，
∴∠DOC＝∠A.
∵∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°.
∴OD⊥DC. ∵OD是☉O的半徑，∴AC是☉O的切線.
(2)若∠A＝60°，☉O的半徑為2，求陰影部分的面積.(結果保留根號
和π)
(2)解：∵∠A＝60°，∴∠C＝30°，∠DOC＝60°.
在Rt△DOC中，OD＝2，∴CD＝ OD＝2 .
∴陰影部分的面積＝S△COD－S扇形DOE
＝ ×2×2 － ＝2 － .
23. (本題滿分10分)疫情期間口罩的需求量增大，口罩價格也急劇上升.
經過連續兩次價格的上調，口罩的價格由每包10元漲到了每包16.9元.
(1)求出這兩次價格上調的平均增長率；
(1)解：設這兩次價格上調的平均增長率為x.
依題意，得10(1＋x)2＝16.9.解得x1＝0.3＝30％，x2＝－2.3(不符合題
意，舍去).
∴這兩次價格上調的平均增長率為30％.
(1)解：設這兩次價格上調的平均增長率為x.
依題意，得10(1＋x)2＝16.9.解得x1＝0.3＝30％，
x2＝－2.3(不符合題意，舍去).
∴這兩次價格上調的平均增長率為30％.
23. (本題滿分10分)疫情期間口罩的需求量增大，口罩價格也急劇上升.
經過連續兩次價格的上調，口罩的價格由每包10元漲到了每包16.9元.
(2)在有關部門大力調控下，口罩價格還是降到了每包10元，而且調查發
現，定價為每包10元時，一天可以賣出30包，每降價1元，可以多賣出5
包.當銷售額為315元時，且讓顧客獲得更大的優惠，應該降價多少元？
(2)解：設每包應該降價m元，則每包的售價為(10－m)元，每天可售出
(30＋5m)包.
依題意，得(10－m)(30＋5m)＝315.整理，得m2－4m＋3＝0.解得m1＝
1，m2＝3.
又∵要讓顧客獲得更大的優惠，∴m的值為3.∴每包應該降價3元.
(2)解：設每包應該降價m元，則每包的售價為(10－m)元，
每天可售出(30＋5m)包.
依題意，得(10－m)(30＋5m)＝315.整理，得m2－4m＋3＝0.
解得m1＝ 1，m2＝3.
又∵要讓顧客獲得更大的優惠，∴m的值為3.∴每包應該降價3元.
24. (本題滿分12分)如圖，直線y＝x－3與x軸、y軸分別交于點B，C，
經過B，C兩點的拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸的另一個交點為A，頂
點為P.
(1)求3m＋n的值；
(1)解：直線y＝x－3，令y＝0，則x＝3.令x＝0，則y
＝－3.∴故點B，C的坐標分別為(3，0)，(0，－3).
將點B，C的坐標分別代入拋物線解析式，
得 解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x－3，∴點A的坐標為
(1，0)，頂點P的坐標為(2，1)，3m＋n＝12－3＝9.
(1)解：直線y＝x－3，令y＝0，則x＝3.令x＝0，則y
＝－3.∴故點B，C的坐標分別為(3，0)，(0，－3).
將點B，C的坐標分別代入拋物線解析式，
得 解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x－3，∴點A的坐標為
(1，0)，頂點P的坐標為(2，1)，3m＋n＝12－3＝9.
(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使以點C，P，Q為頂點的三
角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存
在，請說明理由；
24. (本題滿分12分)如圖，直線y＝x－3與x軸、y軸分別交于點B，C，
經過B，C兩點的拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸的另一個交點為A，頂
點為P.
(2)解：①當CP＝CQ時，點C的縱坐標與PQ中點的縱
坐標相同，故此時點Q的坐標為(2，－7)；
②當CP＝PQ時，同理可得點Q的坐標為(2，1－2 )
或(2，1＋2 )；
③當CQ＝PQ時，同理可得過CP中點與CP垂直的直線
方程
為y＝－ x－ .
(2)解：①當CP＝CQ時，點C的縱坐標與PQ中點的縱
坐標相同，故此時點Q的坐標為(2，－7)；
②當CP＝PQ時，同理可得點Q的坐標為(2，1－2 )
或(2，1＋2 )；
③當CQ＝PQ時，同理可得過CP中點與CP垂直的直線
方程
為y＝－ x－ .
當x＝2時，y＝－ ，即點Q的坐標為(2，－ ).∴點Q
的坐標為(2，1－2 )或(2，1＋2 )或(2，－ )或(2，
－7).
當x＝2時，y＝－ ，即點Q的坐標為(2，－ ).∴點Q
的坐標為(2，1－2 )或(2，1＋2 )或(2，－ )或(2，－7).
(3)將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸向下翻折，圖象的其余部分保持不
變，翻折后的圖象與原圖象x軸下方的部分組成一個“M”形狀的新圖
象，若直線y＝x＋b與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求
b的值.
24. (本題滿分12分)如圖，直線y＝x－3與x軸、y軸分別交于點B，C，
經過B，C兩點的拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸的另一個交點為A，頂
點為P.
(3)解：圖象翻折后的點P對應點P'的坐標為(2，－1).
①在如圖所示的位置時，直線y＝x＋b與該“M”形狀
的圖象部分恰好有三個公共點，
此時C，P'，B三點共線，b＝－3；
②當直線y＝x＋b與翻折后的圖象相切時，
此時，直線y＝x＋b與該“M”形狀的圖象部分恰好有
三個公共點，
即x2－4x＋3＝x＋b，Δ＝52－4(3－b)＝0，解得b＝
－ .∴b＝－3或－ .
(3)解：圖象翻折后的點P對應點P'的坐標為(2，－1).
①在如圖所示的位置時，直線y＝x＋b與該“M”形狀
的圖象部分恰好有三個公共點，
此時C，P'，B三點共線，b＝－3；
②當直線y＝x＋b與翻折后的圖象相切時，
此時，直線y＝x＋b與該“M”形狀的圖象部分恰好有
三個公共點，
即x2－4x＋3＝x＋b，Δ＝52－4(3－b)＝0，解得b＝
－ .∴b＝－3或－ .
25. (本題滿分12分)如圖，P是正方形ABCD中一動點，連接PA，PB，
PC.
(1)如圖1，若BC＝PB，∠CBP＝30°，求∠APC的度數；
(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
圖1　　 圖2　　 圖3
(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
25. (本題滿分12分)如圖，P是正方形ABCD中一動點，連接PA，PB，
PC.
(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
圖1　　 圖2　　 圖3
(2)如圖2，當∠APC＝135°時，求證：CD＝PB；
(2)證明：如圖，將△ABP繞點B順時針旋轉90°，
得到△CBE，則AB＝BC，BP＝BE，AP＝CE，
∠ABP＝∠CBE，∠BAP＝∠BCE.
∵∠ABC＝90°，∠APC＝135°，
∴∠BAP＋∠BCP＝360°－∠ABC－∠APC＝135°.
∴∠BCE＋∠BCP＝135°，即∠ECP＝135°.
∴∠APC＝∠ECP.
又∵AP＝CE，CP＝PC，
∴△APC≌△ECP(SAS).∴AC＝PE.
(2)證明：如圖，將△ABP繞點B順時針旋轉90°，
得到△CBE，則AB＝BC，BP＝BE，AP＝CE，
∠ABP＝∠CBE，∠BAP＝∠BCE.
∵∠ABC＝90°，∠APC＝135°，
∴∠BAP＋∠BCP＝360°－∠ABC－∠APC＝135°.
∴∠BCE＋∠BCP＝135°，即∠ECP＝135°.
∴∠APC＝∠ECP.
又∵AP＝CE，CP＝PC，
∴△APC≌△ECP(SAS).∴AC＝PE.
∵∠PBE＝∠PBC＋∠CBE＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝
90°，AB＝BC，BP＝BE，
∴△ABC與△PBE都是等腰直角三角形.
∴AB＝PB. 又∵AB＝CD，∴CD＝PB.
∵∠PBE＝∠PBC＋∠CBE＝∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝ 90°，
AB＝BC，BP＝BE，
∴△ABC與△PBE都是等腰直角三角形.
∴AB＝PB. 又∵AB＝CD，∴CD＝PB.
(3)如圖3，在(2)的條件下，若正方形ABCD的邊長為8，Q為BC上一
點，CQ＝2，連接AQ，PQ，求△APQ面積的最大值.
25. (本題滿分12分)如圖，P是正方形ABCD中一動點，連接PA，PB，
PC.
(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∴∠ABP＝∠ABC－∠CBP＝90°－30°＝60°.
∵AB＝BC，BC＝PB，∴AB＝PB，
∠BPC＝ ＝ ＝75°.
∴∠APB＝ ＝ ＝60°.
∴∠APC＝∠APB＋∠BPC＝60°＋75°＝135°.
圖1　　 圖2　　 圖3
(3)解：由(2)得BA＝BP＝BC.
如圖，以點B為圓心、BC長為半徑作圓，則點P在
上，
過點B作BN⊥AQ，交AQ于點M，交☉B于點N，
連接AN，NQ，
則當點P與點N重合時，△APQ的面積最大.
∵BQ＝BC－CQ＝8－2＝6，AB＝8，
∴AQ＝ ＝ ＝10.
∵S△ABQ＝ AB·BQ＝ AQ·BM，即 ×8×6＝
×10×BM，
∴BM＝ .∴MN＝BN－BM＝8－ ＝ .
(3)解：由(2)得BA＝BP＝BC.
如圖，以點B為圓心、BC長為半徑作圓，
則點P在 上，
過點B作BN⊥AQ，交AQ于點M，交☉B于點N，
連接AN，NQ，
則當點P與點N重合時，△APQ的面積最大.
∵BQ＝BC－CQ＝8－2＝6，AB＝8，
∴AQ＝ ＝ ＝10.
∵S△ABQ＝ AB·BQ＝ AQ·BM，即 ×8×6＝
×10×BM，
∴BM＝ .∴MN＝BN－BM＝8－ ＝ .
∴△ANQ的面積為 AQ·MN＝ ×10× ＝16，
即△APQ面積的最大值為16.
∴△ANQ的面積為 AQ·MN＝ ×10× ＝16，
即△APQ面積的最大值為16.(共30張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習-
第23章　旋轉
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：中心對稱圖形
例1.下列既是軸對稱又是中心對稱圖形的是(　A　)
A. B.
C. D.
A
★考點二：旋轉的性質
例2.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點A順時針旋轉
90°后得到的△AB'C'(點B的對應點是點B'，點C的對應點是點C')，連
接CC'.若∠CC'B'＝22°，則∠B的大小是(　B　)
A. 63° B. 67° C. 68° D. 77°
B
例3.如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的中點，AB＝4，把△ADE繞
點A順時針旋轉90°得到△ABF. 若連接EF，則EF＝ .
例4.如圖，ABCDE是正五邊形，該圖形繞它的中心至少旋轉(　D　)可
以跟自身重合.
A. 60° B. 120° C. 75° D. 72°
例3題圖　　　例4題圖　　
2 　
D
★考點三：直角坐標系與旋轉
例5.如圖，將點A(2，1)繞原點O逆時針旋轉90°得到A1，則A1的坐標
是(　A　)
A. (－1，2) B. (2，－1)
C. (1，－2) D. (－2，1)
A
　例5題圖
例6.若點M(3，a－2)，N(b，a)關于原點對稱，則a＋b＝ .
－2　
例7.如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉到
△AB1C1位置，點B，O分別落在點B1，C1處，點B1在x軸上，再將
△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2位置，點C2在x軸上，將
△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2位置，點A2在x軸上，依次這樣
下去.若點A(，0)，B(0，4)，則點B2 020的橫坐標為 .
10 100　
★考點四：旋轉作圖
例8.在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖的平面直角坐標系
xOy.已知△ABC的頂點坐標分別為A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，
3)，請解答下列問題：
(1)畫出△ABC關于點O的中心對稱圖形△A1B1C1，并寫出點A1，B1，
C1的坐標；
(1)解：如圖，△A1B1C1即為所求.
由圖可知，點A1(3，－5)，B1(2，－1)，C1(1，－3).
(1)解：如圖，△A1B1C1即為所求.
由圖可知，點A1(3，－5)，
B1(2，－1)，C1(1，－3).
(2)畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°的圖形△A2B2C2.
(2)解：如圖，△A2B2C2即為所求.
(2)解：如圖，△A2B2C2即為所求.
★考點四：旋轉作圖
例8.在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖的平面直角坐標系
xOy.已知△ABC的頂點坐標分別為A(－3，5)，B(－2，1)，C(－1，
3)，請解答下列問題：
★考點五：圖形設計
例9.如圖，在4×4網格中，將5個完全相同的小正方形涂上陰影，現移動
其中的一個陰影小正方形，請在圖1、圖2和圖3中分別畫出滿足以下要求
的圖形.(用陰影表示)
(1)使得圖1中的陰影部分既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
(1)解：如圖所示：
(1)解：如圖所示：
　 圖1　 圖2　 圖3
★考點五：圖形設計
例9.如圖，在4×4網格中，將5個完全相同的小正方形涂上陰影，現移動
其中的一個陰影小正方形，請在圖1、圖2和圖3中分別畫出滿足以下要求
的圖形.(用陰影表示)
(2)使得圖2中的陰影部分為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
(2)解：答案不唯一，畫出一種即可，如圖所示：
(2)解：答案不唯一，畫出一種即可，如圖所示：
(3)使得圖3中的陰影部分為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形.
(3)解：如圖所示：
　　
★考點六：旋轉綜合題
例10.如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC邊上的兩點，滿足
∠DBE＝ ∠ABC. 以點B為旋轉中心，將△CBE按逆時針方向旋轉得
△ABF，連接DF.
　圖1　　　 　圖2
(1)求證：DF＝DE；
(1)證明：∵∠DBE＝ ∠ABC，
∴∠ABD＋∠CBE＝∠DBE＝ ∠ABC.
∵△ABF由△CBE旋轉而成，
∴BE＝BF，∠ABF＝∠CBE.
∴∠DBF＝∠DBE.
在△DBE和△DBF中，
∴△DBE≌△DBF(SAS).∴DF＝DE.
★考點六：旋轉綜合題
例10.如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC邊上的兩點，滿足
∠DBE＝ ∠ABC. 以點B為旋轉中心，將△CBE按逆時針方向旋轉得
△ABF，連接DF.
　圖1　　　 　圖2
(2)如圖2，若AB⊥BC，其他條件不變.求證：DE2＝AD2＋EC2.
(2)證明：∵將△CBE按逆時針旋轉得到△ABF，
∴BDF2＝AF2＋AD2.
(2)證明：∵將△CBE按逆時針旋轉得到△ABF，
∴BA＝BC.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝45°.
∴圖形旋轉后點C與點A重合，CE與AF重合.
∴AF＝EC.
∴∠FAB＝∠BCE＝45°.
∴∠DAF＝90°.
在Rt△ADF中，DF2＝AF2＋AD2.
∵AF＝EC，
∴DF2＝AD2＋EC2.
同(1)可得DE＝DF.
∴DE2＝AD2＋EC2.
1. 下列圖形中，是中心對稱圖形的是(　B　)
A. B.
C. D.
2. 在平面直角坐標系中，點(2，－3)關于原點的對稱點的坐標是(　C　)
A. (2，3) B. (－2，－3)
C. (－2，3) D. (－3，2)
B
C
3. 如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，將△ABC繞點A逆時
針旋轉得到△AB'C'.當AB'落在AC上時，∠BAC'的度數為(　B　)
A. 65° B. 70° C. 80° D. 85°
第3題圖　
B
4. 如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為(6，0)，將
△ABO繞著點B順時針旋轉60°，得到△DBC，則點C的坐標是(　B　)
A. (3 ，3) B. (3，3 )
C. (6，3) D. (3，6)
　　
第4題圖　　
B
5. 如圖，在平面直角坐標系中，△PQR是△ABC經過某種變換后得到的
圖形，觀察點A與點P，點B與點Q，點C與點R的坐標之間的關系.在
這種變換下，如果△ABC中任意一點M的坐標為(x，y)，那么它的對應
點N的坐標為 .
第5題圖
(－x，－y)　
6. 如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(1，
3)，B(4，2)，C(3，4).
(1)將△ABC沿水平方向向左平移4個單位長度得△A1B1C1，請畫出
△A1B1C1；
(1)解：如圖，△A1B1C1即為所求.
(2)畫出△ABC關于原點O成中心對稱的△A2B2C2；
(1)解：如圖，△A1B1C1即為所求.
(3)若△A1B1C1與△A2B2C2關于點P成
中心對稱，則點P的坐標是 .
(－2，0)　
(2)解：如圖，△A2B2C2即為所求.
7. 定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移a(a＞0)個單位，
再繞原點按逆時針方向旋轉θ角度，這樣的圖形運動叫做圖形的ρ(a，θ)
變換.如：點A(2，0)按照ρ(1，90°)變換后得到點A'的坐標為(－1，2)，
則點B(，－1)按照ρ(2，105°)變換后得到點B'的坐標為 　(－ .
(－ ， )　
8. 如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，
將△ADE繞點A順時針旋轉一定角度，當AD∥BC時，∠BAE的度數
是 .
30°或150°　
9. 在平面直角坐標系中，已知3個點的坐標分別為A1(1，1)，A2(0，2)，
A3(－1，1).一只電子蛙位于坐標原點處，第1次電子蛙由原點跳到以A1
為對稱中心的對稱點P1，第2次電子蛙由點P1跳到以A2為對稱中心的對
稱點P2，第3次電子蛙由點P2跳到以A3為對稱中心的對稱點P3，……，
按此規律，電子蛙分別以點A1，A2，A3為對稱中心繼續跳下去.當電子
蛙跳了2 025次后，電子蛙落點P2 025的坐標是 .
(0，0)　
10. 如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，
點A的坐標為(－6，4)；在Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4 ，
∠D＝30°，連接BC，M是BC中點，連接AM. 將Rt△COD以點O為
旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是
(　A　)
A. 3 B. 6 －4 C. 2 －2 D. 2
A
11. 如圖，O是等邊三角形ABC內一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將
線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO'，下列結論：①
△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與點O'的距離
為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO'＝6＋3 ；⑤S△AOC＋S△AOB＝6
＋ .其中正確的結論是(　A　)
A. ①②③⑤ B. ①②③④
C. ①②③④⑤ D. ①②③
A
12. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F
分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝ ∠BAD，試探究BE，FD，
EF之間的數量關系，請說明理由.
解：結論EF＝BE＋FD. 理由如下：
如圖，延長CB至點M，使BM＝DF，連接AM.
∵∠ABC＋∠D＝180°，∠1＋∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D.
在△ABM和△ADF中，
∴△ABM≌△ADF(SAS).
∴AF＝AM，∠2＝∠3.
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠2＋∠4＝ ∠BAD＝∠EAF.
∴∠3＋∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF.
在△AME和△AFE中，
∴△AME≌△AFE(SAS).
∴EF＝ME，即EF＝BE＋BM.
∴EF＝BE＋DF.(共30張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考教材復習-
第21章　一元二次方程
【思維導圖】
【思維導圖】
【思維導圖】
【范例研討】
★考點一：一元二次方程的概念
例1.下列關于x的方程是一元二次方程的是(　D　)
A. x＋ ＝1 B. (x＋1)(x－1)＝x2＋x＋1
C. ax2＋bx＋c＝0 D. x2＋1＝0
D
例2.把方程x(x＋1)＝3(x－2)化成一般式ax2＋bx＋c＝0的形式，則a，
b，c的值分別是(　D　)
A. a＝1，b＝－2，c＝－3 B. a＝1，b＝－2，c＝－6
C. a＝1，b＝－2，c＝3 D. a＝1，b＝－2，c＝6
D
例3.已知a，b是方程x2－x－3＝0的兩個根，則代數式2a3＋b2＋3a2－
11a－b＋5的值為 .
★考點二：一元二次方程的解法
例4.用適當的方法解下列方程：
(1)3(x－1)2－6＝0；
(1)解：3(x－1)2＝6，
(x－1)2＝2，
x－1＝± ，
∴x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1.
23　
(1)解：3(x－1)2＝6，
(x－1)2＝2，
x－1＝± ，
∴x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1.
(2)x2－8x－20＝0；
(2)解：x2－8x＝20，
x2－8x＋42＝20＋42，
(x－4)2＝36，
x－4＝±6，
∴x1＝10，x2＝－2.
(2)解：x2－8x＝20，
x2－8x＋42＝20＋42，
(x－4)2＝36，
x－4＝±6，
∴x1＝10，x2＝－2.
(3)3x2－6x＋4＝0；
(3)解：∵a＝3，b＝－6，c＝4，
∴Δ＝(－6)2－4×3×4＝36－48＝－12＜0.
∴方程無實數根.
(3)解：∵a＝3，b＝－6，c＝4，
∴Δ＝(－6)2－4×3×4＝36－48
＝－12＜0.
∴方程無實數根.
(4)3(x－2)2＝4－2x.
(4)解：3(x－2)2＝2(2－x)，
3(x－2)2＋2(x－2)＝0，
[3(x－2)＋2](x－2)＝0，
(3x－4)(x－2)＝0，
∴3x－4＝0或x－2＝0，
∴x1＝ ，x2＝2.
(4)解：3(x－2)2＝2(2－x)，
3(x－2)2＋2(x－2)＝0，
[3(x－2)＋2](x－2)＝0，
(3x－4)(x－2)＝0，
∴3x－4＝0或x－2＝0，
∴x1＝ ，x2＝2.
★考點三：一元二次方程根的判別式
例5.已知關于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0(m為常數).
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；
(1)證明：∵a＝1，b＝－m，c＝m－2，
∴Δ＝b2－4ac
＝(－m)2－4×1×(m－2)
＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋4＞0.∴Δ＞0.
∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根.
(1)證明：∵a＝1，b＝－m，c＝m－2，
∴Δ＝b2－4ac
＝(－m)2－4×1×(m－2)
＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4.
∵(m－2)2≥0，
∴(m－2)2＋4＞0.∴Δ＞0.
∴不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根.
★考點三：一元二次方程根的判別式
例5.已知關于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0(m為常數).
(2)若方程有一個根是2，求m的值以及方程的另一個根.
(2)解：設方程的另一個根為t.
根據根與系數的關系，得2＋t＝m，2t＝m－2.
∴2＋t－2＝2t.解得t＝0.∴m＝2.
∴m的值為2，方程的另一個根為0.
(2)解：設方程的另一個根為t.
根據根與系數的關系，得2＋t＝m，2t＝m－2.
∴2＋t－2＝2t.解得t＝0.∴m＝2.
∴m的值為2，方程的另一個根為0.
★考點四：一元二次方程根與系數的關系
例6.若x1，x2是一元二次方程2x2－x－2＝0的兩個實數根.
(1)x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ；
(2)分別求 ＋ 和 ＋ 的值.
(2)解： ＋ ＝ ＝ ＝－ ；
＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×(－1)＝ .
　
－1　
(2)解： ＋ ＝ ＝ ＝－ ；
＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2－2×(－1)＝ .
例7.已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，求 的值.
解：∵mn≠1，∴m≠ .
由n2＋2n－1＝0，得n≠0.∴()2－2· －1＝0.
又∵m2－2m－1＝0，∴m， 是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩個根.
由根與系數的關系，得m＋ ＝2.∴ ＝m＋1＋ ＝1＋2＝3.
解：∵mn≠1，∴m≠ .
由n2＋2n－1＝0，得n≠0.∴()2－2· －1＝0.
又∵m2－2m－1＝0，∴m， 是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩個根.
由根與系數的關系，得m＋ ＝2.∴ ＝m＋1＋ ＝1＋2＝3.
★考點五：實際問題與一元二次方程
例8.某企業生產總值從某月份的300萬元，連續兩個月降至260萬元.設平
均降低率為x，則可列方程(　D　)
A. 300(1＋x)2＝260 B. 300(1－x2)＝260
C. 300(1－2x)＝260 D. 300(1－x)2＝260
D
例9.要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據場
地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽.設比賽組織者應
邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為(　B　)
A. x(x＋1)＝4×7 B. x(x－1)＝4×7
C. x(x＋1)＝28 D. x(x－1)＝28
B
例10.某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻(墻長18 m)，墻
對面有一個2 m寬的門，另外三邊用木欄圍成，木欄長33 m.
(1)若養雞場的面積為150 m2，求養雞場的長和寬各為多少米？
(1)解：設養雞場的寬為x m，
則養雞場的長為(33－2x＋2)m.
根據題意，得x(33－2x＋2)＝150.
解得x1＝10，x2＝7.5.
當x＝10時，33－2x＋2＝15＜18.
當x＝7.5時，33－2x＋2＝20＞18(舍去).
答：養雞場的長為15 m，寬為10 m.
(1)解：設養雞場的寬為x m，
則養雞場的長為(33－2x＋2)m.
根據題意，得x(33－2x＋2)＝150.
解得x1＝10，x2＝7.5.
當x＝10時，33－2x＋2＝15＜18.
當x＝7.5時，33－2x＋2＝20＞18(舍去).
答：養雞場的長為15 m，寬為10 m.
(2)養雞場的面積能達到200 m2嗎？如果能，請給出設計方案；如果不
能，請說明理由.
(2)解：不能.理由如下：
設養雞場的寬為a m，則養雞場的長為(33－2a＋2)m.
根據題意，得a(33－2a＋2)＝200.
整理，得2a2－35a＋200＝0.
∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，
∴方程沒有實數根，
∴圍成養雞場的面積不能達到200 m2.
(2)解：不能.理由如下：
設養雞場的寬為a m，則養雞場的長為(33－2a＋2)m.
根據題意，得a(33－2a＋2)＝200.
整理，得2a2－35a＋200＝0.
∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，
∴方程沒有實數根，
∴圍成養雞場的面積不能達到200 m2.
例10.某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻(墻長18 m)，墻
對面有一個2 m寬的門，另外三邊用木欄圍成，木欄長33 m.
1. 若關于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一個根是x＝0，
則a的值為(　A　)
A. 2 B. －2 C. 2或－2 D.
2. 若關于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化為一般形式后不含
一次項，則m的值為(　D　)
A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3
3. 將方程x2＋6x＋1＝0配方后，原方程可變形為(　D　)
A. (x＋3)2＝－10 B. (x－3)2＝－10
C. (x－3)2＝8 D. (x＋3)2＝8
A
D
D
4. 甲流病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床主要
表現為發熱、乏力、干咳.在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病
毒”，若得不到有效控制，經過兩輪傳染后共有225人感染了“甲流病
毒”.設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則根據題意列出的方程是
(　C　)
A. x＋x(1＋x)＝225 B. 1＋x＋x2＝225
C. 1＋x＋x(1＋x)＝225 D. x(1＋x)＝225
C
5. 若關于x的方程 x2－x＋c＝0有兩個相等的實數根，則c的值
為 .
6. 解方程：(1)2x2－8＝0；
(1)解：2x2＝8.
x2＝4.
∴x1＝2，x2＝－2.
　
(1)解：2x2＝8.
x2＝4.
∴x1＝2，x2＝－2.
(2)x2＋2x－5＝0；
(2)解：x2＋2x＝5.
x2＋2x＋1＝5＋1.
(x＋1)2＝6.
x＋1＝± .
∴x1＝ －1，x2＝－ －1.
(2)解：x2＋2x＝5.
x2＋2x＋1＝5＋1.
(x＋1)2＝6.
x＋1＝± .
∴x1＝ －1，x2＝－ －1.
(3)x2＋x＝0；
(3)解：x(x＋1)＝0.
∴x＝0或x＋1＝0.
∴x1＝0，x2＝－1.
(3)解：x(x＋1)＝0.
∴x＝0或x＋1＝0.
∴x1＝0，x2＝－1.
(4)(2x－1)2＝(2－3x)2.
(4)解：(2x－1)2－(2－3x)2＝0.
[(2x－1)＋(2－3x)][(2x－1)－(2－3x)]＝0.
(1－x)(5x－3)＝0.
∴1－x＝0或5x－3＝0.
∴x1＝1，x2＝ .
(4)解：(2x－1)2－(2－3x)2＝0.
[(2x－1)＋(2－3x)][(2x－1)－(2－3x)]＝0.
(1－x)(5x－3)＝0.
∴1－x＝0或5x－3＝0.
∴x1＝1，x2＝ .
7. 定義運算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7，
則方程1☆x＝0的根的情況為(　A　)
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根 D. 只有一個實數根
8. 若a是關于x的一元二次方程3x2－x－2 023＝0的一個實數根，則2
023＋2a－6a2的值是(　C　)
A. 4 046 B. －4 046 C. －2 023 D. 0
A
C
9. 某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出
若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分支，主干、枝干和小
分支的總數是43，則這種植物每個枝干長出的小分支個數是(　C　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 學校要舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為20 cm和15 cm的矩
形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙.經試驗，彩紙面積為相片面積的 時較
美觀.若所鑲彩紙的寬為x cm，根據題意，可列方程為
.
C
(20＋2x)(15＋
2x)－20×15＝ ×20×15　
每件售價x/元 … 45 55 65 …
日銷售量y/件 … 55 45 35 …
(1)求y與x之間的函數關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；
(1)解：設y與x之間的函數關系式為
y＝kx＋b(k≠0).
將(45，55)，(55，45)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y與x之間的函數關系式為y＝－x＋100.
(1)解：設y與x之間的函數關系式為
y＝kx＋b(k≠0).
將(45，55)，(55，45)代入y＝kx＋b，得
解得
∴y與x之間的函數關系式為y＝－x＋100.
11. 某商場出售一種商品，經市場調查發現，日銷售量y(件)與每件售價
x(元)之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：
(2)該商品日銷售額能否達到2 600元？如果能，求出每件售價；如果不
能，請說明理由.
(2)解：該商品日銷售額不能達到2 600元.
理由如下：
若該商品日銷售額能達到2 600元，
則x(－x＋100)＝2 600.
整理，得x2－100x＋2 600＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－100)2－4×1×2 600＝－400＜0.
∴方程沒有實數根.
∴該商品日銷售額不能達到2 600元.
(2)解：該商品日銷售額不能達到2 600元.
理由如下：
若該商品日銷售額能達到2 600元，
則x(－x＋100)＝2 600.
整理，得x2－100x＋2 600＝0.
∵Δ＝b2－4ac＝(－100)2－4×1×2 600＝－400＜0.
∴方程沒有實數根.
∴該商品日銷售額不能達到2 600元.
每件售價x/元 … 45 55 65 …
日銷售量y/件 … 55 45 35 …
11. 某商場出售一種商品，經市場調查發現，日銷售量y(件)與每件售價
x(元)之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：
12. 已知關于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；
(1)證明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根.
(1)證明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0，
∴方程有兩個不相等的實數根.
(2)當m為何整數時，此方程的兩個根都為正整數.
(2)解：由求根公式，得x＝ .
∴x1＝ ＝ ，x2＝ ＝1.
∵m為整數，且方程的兩個根都為正整數，
∴x1＝ ＝1＋ ，必為正整數.
∴m－1＝1或m－1＝2.
∴m＝2或3.
13. 關于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個不相等的實數
根x1，x2.
(1)求實數k的取值范圍；
(1)解：∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0.
解得k＞ .
(1)解：∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0.
解得k＞ .
(2)解：∵k＞ ，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.
又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∴｜x1｜＋｜x2｜＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2，∴2k＋1＝k2＋1.
∴k1＝0，k2＝2.
又∵k＞ ，∴k＝2.
13. 關于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個不相等的實數
根x1，x2.
(2)若方程的兩實數根x1，x2滿足｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2，求k的值.
(2)解：∵k＞ ，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.
又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∴｜x1｜＋｜x2｜＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.
∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1x2，∴2k＋1＝k2＋1.
∴k1＝0，k2＝2.
又∵k＞ ，∴k＝2.
14. 閱讀材料：材料1.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為
x1，x2，則x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
材料2.已知實數m，n滿足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，
求 ＋ 的值.
解：由題可知m，n是方程x2－x－1＝0的兩個不相等的實數根.
根據材料1，得m＋n＝1，mn＝－1.
∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝－3.
解決問題：
(1)已知實數m，n滿足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，
求m2n＋mn2的值；
(1)解：∵m，n滿足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，
∴m，n可看作方程2x2－2x－1＝0的兩個不相等的實數根.
∴m＋n＝1，mn＝－ .
∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ ×1＝－ .
(1)解：∵m，n滿足2m2－2m－1＝0，2n2－2n－1＝0，且m≠n，
∴m，n可看作方程2x2－2x－1＝0的兩個不相等的實數根.
∴m＋n＝1，mn＝－ .
∴m2n＋mn2＝mn(m＋n)＝－ ×1＝－ .
(2)已知實數p，q滿足p2＝3p＋2，2q2＝3q＋1，且p≠2q，求p2＋4q2
的值.
(2)解：設t＝2q，代入2q2＝3q＋1化簡為t2＝3t＋2，
則p與t(即2q)為方程x2－3x－2＝0的兩個不相等的實數根.
∴p＋2q＝3，p·2q＝－2.
∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.
(2)解：設t＝2q，代入2q2＝3q＋1化簡為t2＝3t＋2，
則p與t(即2q)為方程x2－3x－2＝0的兩個不相等的實數根.
∴p＋2q＝3，p·2q＝－2.
∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－2p·2q＝32－2×(－2)＝13.

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