資源簡介

(共24張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練5
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 在實數4，0， ， ，0.101 001 000 1， 中無理數有(　A　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. 方程(x＋1)2＝9的解為(　A　)
A. x＝2，x＝－4 B. x＝－2，x＝4
C. x＝4，x＝2 D. x＝－2，x＝－4
A
A
3. 如圖，AB∥CD，BD⊥CF，垂足為B，∠BDC＝50°，則∠ABF
的度數為(　C　)
A. 50° B. 45°
C. 40° D. 25°
第3題圖　　　
4. 已知☉O的半徑為5，直線l是☉O的切線，則點O到直線l的距離是
(　C　)
A. 2.5 B. 3 C. 5 D. 10
C
C
5. 下列計算正確的是(　D　)
A. ab·ab＝2ab B. (2a)3＝2a3
C. 3 － －3＝3(a≥0) D. · ＝ (a≥0，b≥0)
D
6. 如圖，點O是△ABC外接圓的圓心，點I是△ABC的內心，連接
OB，IA. 若∠CAI＝35°，則∠OBC的度數為(　C　)
A. 15° B. 17.5°
　
第6題圖
C
C. 20° D. 25°
7. 已知二次函數y＝kx2－2x－1的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是
(　D　)
A. k＞－1 B. k＞－1且k≠0
C. k≥－1 D. k≥－1且k≠0
8. 已知x2－x－1＝0，計算(－ )÷ 的值是(　A　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
D
A
9. 下列命題正確的是(　A　)
A. 正方形的對角線相等且互相平分
B. 對角互補的四邊形是平行四邊形
C. 矩形的對角線互相垂直
D. 一組鄰邊相等的四邊形是菱形
A
10. 皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點
的多邊形的面積S＝N＋ L－1，其中N，L分別表示這個多邊形內部與
邊界上的格點個數，在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數的點為
格點.已知A(0，30)，B(20，10)，O(0，0)，則△ABO內部的格點個數
是(　C　)
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
C
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 當x＝ 時，二次函數y＝x2－2x＋6有最小值.
12. 若關于x的方程 ＝ 的解為負數，則點(m，m＋2)在第
象限.
1　
三　
13. 如圖，把一個圓錐沿母線OA剪開，展開后得到扇形AOC，已知圓錐
的高h為12 cm，OA＝13 cm，則扇形
AOC中 的長是 cm(計算
結果保留π).
　
10π　
第13題圖
14. 我國古代數學經典著作《九章算術》記載：“今有善行者行一百
步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之.問幾何步
及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s(單位：步)關于善行者的行
走時間t的函數圖象，則兩圖象交點P的縱坐標是 .
　　　第14題圖　
250　
15. 拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，c＜0)經過(1，1)，
(m， 0)，(n，0)三點，且n≥3.下列四個結論：
①b＜0；②4ac－b2＜4a；③當n＝3時，若點(2，t)在該拋物線上，則
t＞1；④若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝x有兩個相等的實數
根，則0＜m≤ .其中正確的是 (填寫序號).
②③④　
16. 如圖，DE平分等邊三角形ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，
AC分別與DF，EF相交于G，H兩點.若DG＝m，EH＝n，用含m，
n的式子表示GH的長是 .
　
第16題圖
　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 先化簡，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝ ，y＝
.
解：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2
＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy.
∵x＝ ，y＝ .∴原式＝2 .
解：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2
＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy.
∵x＝ ，y＝ .∴原式＝2 .
18. 如圖，在菱形ABCD中，DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N. 求
證：AM＝CN.
證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA＝∠DNC＝90°.
在△DAM和△DCN中，
∴△DAM≌△DCN(AAS).∴AM＝CN.
證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA＝∠DNC＝90°.
在△DAM和△DCN中，
∴△DAM≌△DCN(AAS).∴AM＝CN.
19. 中華文化源遠流長，文學方面，《西游記》《三國演義》《水滸
傳》《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典
名著”.某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況，就“四大古典
名著你讀完了幾部”的問題在全校學生中進行了抽樣調查，根據調查結
果繪制成如下尚不完整的統計圖.
請根據以上信息，解決下列問題：
(1)本次調查所得數據的眾數是 部，中位數是 部；
(2)扇形統計圖中“4部”所在扇形的圓心角為 度；
(3)請將條形統計圖補充完整；
(3)解：補全的條形統計圖如圖1所示：
圖1　　　 圖2
1　
2　
72　
(3)解：補全的條形統計圖如圖1所示：
圖1　　　 圖2
(4)沒有讀過四大古典名著的兩名學生準備從中各自隨機選擇一部來閱
讀，請用列表或畫樹狀圖的方法求他們恰好選中同一名著的概率.
(4)解：《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》分別用字母A，
B，C，D表示，樹狀圖如圖2所示.
一共有16種可能性，其中他們恰好選中同一名著的可能性有4種，故他們
恰好選中同一名著的概率是 ＝ .
(4)解：《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》分別用字母A，
B，C，D表示，樹狀圖如圖2所示.
一共有16種可能性，其中他們恰好選中同一名著的可能性有4種，故他們
恰好選中同一名著的概率是 ＝ .
20. “桃之夭夭，灼灼其華”，每年2～3月份，我區某濕地公園內的桃
花陸續綻放，引來眾多市民前往踏青觀賞，紛紛拍照留念，記錄生活美
好時光.小王抓住這一商機，計劃從市場購進A，B兩種型號的手機自拍
桿進行銷售，據調查，購進1件A型號和1件B型號自拍桿共需45元，其中
1件B型號自拍桿價格是1件A型號自拍桿價格的2倍.
(1)求1件A型號和1件B型號自拍桿的進價各是多少元？
(1)解：設A型號自拍桿的進價是x元，則B型號自拍桿的進價是2x元.
根據題意，得x＋2x＝45，解得x＝15.∴2x＝30.
答：A型號自拍桿的進價是15元，B型號自拍桿的進價是30元.
(1)解：設A型號自拍桿的進價是x元，則B型號自拍桿的進價是2x元.
根據題意，得x＋2x＝45，解得x＝15.∴2x＝30.
答：A型號自拍桿的進價是15元，B型號自拍桿的進價是30元.
20. “桃之夭夭，灼灼其華”，每年2～3月份，我區某濕地公園內的桃
花陸續綻放，引來眾多市民前往踏青觀賞，紛紛拍照留念，記錄生活美
好時光.小王抓住這一商機，計劃從市場購進A，B兩種型號的手機自拍
桿進行銷售，據調查，購進1件A型號和1件B型號自拍桿共需45元，其中
1件B型號自拍桿價格是1件A型號自拍桿價格的2倍.
(2)若小王計劃購進A，B兩種型號自拍桿共100件，并將這兩款手機自拍
桿分別以20元、50元的價錢進行售賣，為了保證全部售賣完后的總利潤
不低于1 100元，求最多購進A型號自拍桿多少件？
(2)解：設購進A型號自拍桿m件，則購進B型號自拍桿(100－m)件.
根據題意，得(20－15)m＋(50－30)(100－m)≥1 100，解得m≤60.
答：最多購進A型號自拍桿60件.
(2)解：設購進A型號自拍桿m件，則購進B型號自拍桿(100－m)件.
根據題意，得(20－15)m＋(50－30)(100－m)≥1 100，解得m≤60.
答：最多購進A型號自拍桿60件.
21. 如圖，有長為12 m的籬笆，現一面利用墻(墻的最大可用長度a為5
m)，設花圃的寬AB為x m，面積為S m2.
(1)求S與x的函數關系式及x的取值范圍；
(1)解：由題意，得BC＝12－3x，
∴S＝AB·BC＝x(12－3x)＝－3x2＋12x.
∵0＜BC≤5，即0＜12－3x≤5，解得 ≤x＜4，
∴x的取值范圍為 ≤x＜4；
(2)要圍成面積為9 m2的花圃，AB的長是多少米？
(1)解：由題意，得BC＝12－3x，
∴S＝AB·BC＝x(12－3x)＝－3x2＋12x.
∵0＜BC≤5，即0＜12－3x≤5，解得 ≤x＜4，
∴x的取值范圍為 ≤x＜4；
(2)解：當S＝9時，即－3x2＋12x＝9，解得x1＝1，x2＝3.
∵ ≤x＜4，∴x＝3，即AB的長是3 m.
21. 如圖，有長為12 m的籬笆，現一面利用墻(墻的最大可用長度a為5
m)，設花圃的寬AB為x m，面積為S m2.
(3)當AB的長是多少米時，圍成的花圃面積最大？
(3)解：∵S＝－3x2＋12x＝－3(x－2)2＋12，
∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝2.
∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越小.
∵ ≤x＜4，∴當x＝ 時，S取得最大值，
最大值為－3(－2)2＋12＝ .
∴當AB的長是 m時，圍成的花圃面積最大.
(3)解：∵S＝－3x2＋12x＝－3(x－2)2＋12，
∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝2.
∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越小.
∵ ≤x＜4，∴當x＝ 時，S取得最大值，
最大值為－3(－2)2＋12＝ .
∴當AB的長是 m時，圍成的花圃面積最大.
22. 如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得到線段AC，連接BC，作
△ABC的外接圓☉O，點P為劣弧AB上的一個動點，弦AB，CP相交于
點D.
(1)求∠APB的大??；
(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形.
∵∠APB＋∠ACB＝180°，∴∠APB＝120°.
(2)當點P運動到何處時，PD⊥AB？此時若AB＝4 ，求☉O的半徑；
(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形.
∵∠APB＋∠ACB＝180°，∴∠APB＝120°.
(2)解：當點P運動到 的中點時，PD⊥AB，
如圖1，連接PC，OA，OB，∴AD＝BD＝ AB＝2 .
設☉O的半徑為r，則CP＝2r.
∵☉O為等邊三角形ABC的外接圓，∴∠OAB＝30°.
在Rt△OAD中，∵OD＝ OA＝ ，∴AD2＋OD2＝AO2，
即(2 )2＋( r)2＝r2，解得r1＝4或r2＝－4(舍去).
∴☉O的半徑為4.
圖1　　　　圖2
(2)解：當點P運動到 的中點時，PD⊥AB，
如圖1，連接PC，OA，OB，∴AD＝BD＝ AB＝2 .
設☉O的半徑為r，則CP＝2r.
∵☉O為等邊三角形ABC的外接圓，∴∠OAB＝30°.
在Rt△OAD中，∵OD＝ OA＝ ，∴AD2＋OD2＝AO2，
即(2 )2＋( r)2＝r2，解得r1＝4或r2＝－4(舍去).
∴☉O的半徑為4.
圖1　　　
22. 如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得到線段AC，連接BC，作
△ABC的外接圓☉O，點P為劣弧AB上的一個動點，弦AB，CP相交于
點D.
(3)若圓的半徑為4，在點P運動過程中，求PA＋PB的最大值.
(3)解：如圖2，在AP的延長線上取點Q，使PQ＝PB，連接
BQ.
∵∠APB＝120°，∴∠BPQ＝60°.
∴△BPQ是等邊三角形.∴PB＝BQ.
∵∠CBP＝∠CBA＋∠ABP＝60°＋∠ABP，
∠ABQ＝∠QBP＋∠ABP＝60°＋∠ABP，
∴∠ABQ＝∠CBP. 在△ABQ和△CBP中，QB＝PB，
∠ABQ＝∠CBP，AB＝CB，
∴△ABQ≌△CBP(SAS).∴CP＝AQ＝AP＋PQ＝AP＋
PB，
(3)解：如圖2，在AP的延長線上取點Q，使PQ＝PB，連接BQ.
∵∠APB＝120°，∴∠BPQ＝60°.
∴△BPQ是等邊三角形.∴PB＝BQ.
∵∠CBP＝∠CBA＋∠ABP＝60°＋∠ABP，
∠ABQ＝∠QBP＋∠ABP＝60°＋∠ABP，
∴∠ABQ＝∠CBP. 在△ABQ和△CBP中，QB＝PB，
∠ABQ＝∠CBP，AB＝CB，
∴△ABQ≌△CBP(SAS).∴CP＝AQ＝AP＋PQ＝AP＋PB，
當CP最大時，AP＋PB的值最大，此時PC為過圓心的直徑.
∵圓的半徑為4，∴PA＋PB的最大值為8.
當CP最大時，AP＋PB的值最大，此時PC為過圓心的直徑.
∵圓的半徑為4，∴PA＋PB的最大值為8.
　圖2(共22張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練9
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 下列數學經典圖形中，是中心對稱圖形的是(　A　)
A B C D
2. 若分式 有意義，則x的取值范圍是(　A　)
A. x≠－1 B. x≠0 C. x≠1 D. x≠2
A
A
3. 如圖，點A，B，C在☉O上，∠C＝40°，則∠AOB的度數是
(　D　)
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
第3題圖　　　
D
4. 不等式x≤2在數軸上表示正確的是(　D　)
A B C D
D
5. 甲、乙、丙、丁四名同學參加立定跳遠訓練，他們成績的平均數相
同，方差如下： ＝2.1， ＝3.5， ＝9， ＝0.7，則成績最穩
定的是(　D　)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 下列計算正確的是(　B　)
A. a3＋a4＝a7 B. a3·a4＝a7
C. a4÷a3＝a7 D. (a3)4＝a7
D
B
7. 將拋物線y＝x2向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得
到的拋物線是(　A　)
A. y＝(x－3)2＋4 B. y＝(x＋3)2＋4
C. y＝(x＋3)2－4 D. y＝(x－3)2－4
A
8. 趙州橋是當今世界上建造最早、保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱
橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37 m，拱高約為7 m，則趙州橋主
橋拱半徑R約為(　B　)
A. 20 m B. 28 m C. 35 m D. 40 m
　　　 　
第8題圖
B
9. 據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，
2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設
2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意
可列方程為(　B　)
A. 3.2(1－x)2＝3.7 B. 3.2(1＋x)2＝3.7
C. 3.7(1－x)2＝3.2 D. 3.7(1＋x)2＝3.2
B
10. 如圖，過y＝ (x＞0)的圖象上點A，分別作x軸、y軸的平行線交y
＝－ 的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標軸
分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若S2＋S3＋S4＝
，則k的值為(　C　)
A. 4` B. 3 C. 2 D. 1
C
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 化簡： ＝ .
12. 分解因式：a2＋5a＝ .
13. 函數y＝kx＋3的圖象經過點(2，5)，則k＝ .
14. 某班開展“夢想未來、青春有我”主題班會，第一小組有2位男同學
和3位女同學，現從中隨機抽取1位同學分享個人感悟，則抽到男同學的
概率是 .
3　
a(a＋5)　
1　
　
15. 如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3 m高的
支柱，則共需鋼材約 m(結果取整數).(參考數據： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第15題圖　　
21　
第16題圖
16. 如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD上的動
點，M，N分別是EF，AF的中點，則MN的最大值為 .
　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 計算：(－1)×(－4)＋22÷(7－5).
解：(－1)×(－4)＋22÷(7－5)
＝4＋4÷2
＝4＋2
＝6.
解：(－1)×(－4)＋22÷(7－5)
＝4＋4÷2
＝4＋2
＝6.
18. 解分式方程： ＝ .
解：去分母，得2x＝x－1，
移項、合并同類項，得x＝－1.
檢驗：當x＝－1時，x(x－1)＝2≠0，
∴x＝－1是原分式方程的解.
解：去分母，得2x＝x－1，
移項、合并同類項，得x＝－1.
檢驗：當x＝－1時，x(x－1)＝2≠0，
∴x＝－1是原分式方程的解.
19. 如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.
(1)在斜邊AC上求作線段AO，使AO＝BC，連接OB；(要求：尺規作圖
并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)
(1)解：如圖所示，即為所求.
(2)若OB＝2，求AB的長.
(1)解：如圖所示，即為所求.
19. 如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.
(2)若OB＝2，求AB的長.
(2)解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2BC.
∵AO＝BC，∴AC＝2AO. ∴OC＝AO，
即O為AC的中點.
∵OB＝2，∴AC＝2OB＝4.∴BC＝2.
∴AB＝ ＝2 .
20. 4月24日是中國航天日，為激發青少年崇尚科學、探索未知的熱情，
航陽中學開展了“航空航天”知識問答系列活動.為了解活動效果，從
七、八年級學生的知識問答成績中，各隨機抽取20名學生的成績進行統
計分析(6分及6分以上為合格)，數據整理如下：
　　　　學生成績統計表
七年級 八年級
平均數 7.55 7.55
中位數 8 c
眾數 a 7
合格率 b 85％
　七年級學生成績統計圖
八年級學生成績統計圖
根據以上信息，解答下列問題：
(1)寫出統計表中a，b，c的值；
(1)解：a＝8，b＝80％，c＝7.5.
(2)若該校八年級有600名學生，請估計該校八年級學生成績合格的人數；
(2)解：600× ＝510(人)，
即若該校八年級有600名學生，該校八年級學生成績合格的人數有510人.
(3)從中位數和眾數中任選其一，說明其在本題中的實際意義.
(3)解：根據中位數，可知七年級學生成績好于八年級學生成績.(答案不
唯一)
(1)解：a＝8，b＝80％，c＝7.5.
(2)解：600× ＝510(人)，
即若該校八年級有600名學生，該校八年級學生成績合格的人數有510人.
(3)解：根據中位數，可知七年級學生成績好于八年級學生成績.(答案不
唯一)
21. 如圖，PO平分∠APD，PA與☉O相切于點A，延
長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B.
(1)求證：PB是☉O的切線；
(1)證明：∵PA與☉O相切于點A，∴OA⊥PA.
∵PO平分∠APD，OB⊥PD，∴OA＝OB. ∴PB是☉O的切線.
(2)若☉O的半徑為4，OC＝5，求PA的長.
(1)證明：∵PA與☉O相切于點A，∴OA⊥PA.
∵PO平分∠APD，OB⊥PD，∴OA＝OB. ∴PB是☉O的切線.
(2)解：∵☉O的半徑為4，∴OA＝OB＝4.
∵OB⊥PD，OC＝5，∴BC＝ ＝3，
AC＝OA＋OC＝4＋5＝9.
∵∠BCO＝∠ACP，∴tan∠BCO＝tan∠ACP.
∴ ＝ ，即 ＝ .∴AP＝12.
(2)解：∵☉O的半徑為4，∴OA＝OB＝4.
∵OB⊥PD，OC＝5，∴BC＝ ＝3，
AC＝OA＋OC＝4＋5＝9.
∵∠BCO＝∠ACP，∴tan∠BCO＝tan∠ACP.
∴ ＝ ，即 ＝ .∴AP＝12.
22. 如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊
AB，BC，CA上運動，滿足AD＝BE＝CF.
(1)求證：△ADF≌△BED；
(1)證明：∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4.
∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE.
在△ADF和△BED中，
∴△ADF≌△BED(SAS).
(2)設AD的長為x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數解析式；
22. 如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊
AB，BC，CA上運動，滿足AD＝BE＝CF.
(2)解：如圖，分別過點C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂
足分別為點H，G.
在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
AB＝BC＝AC＝4，
∴CH＝AC· sin 60°＝2 .
∴S△ABC＝ AB·CH＝4 .
設AD的長為x，則AD＝BE＝CF＝x，AF＝4－x，
∴S△ADF＝ AD·FG＝ x(4－x).
同理(1)，可知△ADF≌△BED≌△CFE.
∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE＝ x(4－x).
∵△DEF的面積為y，
∴y＝S△ABC－3S△ADF＝4 － x(4－x)＝ x2－3 x
＋4 .
∴S△ADF＝ AD·FG＝ x(4－x).
同理(1)，可知△ADF≌△BED≌△CFE.
∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE＝ x(4－x).
∵△DEF的面積為y，
∴y＝S△ABC－3S△ADF＝4 － x(4－x)＝ x2－3 x＋4 .
∴FG＝AF· sin 60°＝ (4－x).
22. 如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊
AB，BC，CA上運動，滿足AD＝BE＝CF.
(3)結合(2)所得的函數，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化.
(3)解：由(2)，可知y＝ x2－3 x＋4 ，
∴a＝ ＞0，對稱軸為直線x＝－ ＝2.
∴當x＞2時，y隨x的增大而增大，當x＜2時，y隨x的增大而減小；
即當2＜x＜4時，△DEF的面積隨AD的增大而增大，
當0＜x≤2時，△DEF的面積隨AD的增大而減小.
(3)解：由(2)，可知y＝ x2－3 x＋4 ，
∴a＝ ＞0，對稱軸為直線x＝－ ＝2.
∴當x＞2時，y隨x的增大而增大，當x＜2時，y隨x的增大而減??；
即當2＜x＜4時，△DEF的面積隨AD的增大而增大，
當0＜x≤2時，△DEF的面積隨AD的增大而減小.(共24張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練4
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 一組數據2，4，3，5，2的中位數是(　C　)
A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
2. 計算：a(a＋2)－2a＝(　B　)
A. 2 B. a2 C. a2＋2a D. a2－2a
3. 若一個多邊形的內角和是540°，則該多邊形的邊數為(　B　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
B
B
4. 已知△ABC的周長為16，點D，E，F分別為△ABC三條邊的中點，
則△DEF的周長為(　A　)
A. 8 B. 2 C. 16 D. 4
5. 方程 ＝ 的解為(　A　)
A. x＝－2 B. x＝2 C. x＝－4 D. x＝4
A
A
6. 下列命題的逆命題中，是假命題的是(　C　)
A. 對角線相等的四邊形是矩形
B. 對角線互相平分的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直的四邊形是矩形
D. 有一個角是直角的四邊形是矩形
C
7. 拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(－1，0)，(1，2)，(3，0)，則當x＝5
時，y的值為(　D　)
A. 6 B. 1 C. －1 D. －6
8. 已知a，b，4是等腰三角形的三邊長，且a，b是關于x的方程x2－
6x＋m＋6＝0的兩個實數根，則m的值是(　D　)
A. m＝2 B. m＝9
C. m＝3或m＝9 D. m＝2或m＝3
D
D
9. 如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足
分別為E，F，且AE＝EF＝FB＝5 cm，DE＝12 cm.動點P，Q均以1
cm/s的速度同時從點A出發，其中點P沿折線AD－DC－CB運動到點B
停止，點Q沿AB運動到點B停止，設運動時間為t(s)，△APQ的面積為
y(cm2)，則y與t對應關系的圖象大致是(　D　)
A B C D
D
第9題圖　　
10. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，B分別在y軸的
正半軸和x軸的正半軸上，當B在x軸的正半軸上運動時，A隨之在y軸
的正半軸上運動，矩形ABCD的形狀保持不變.若∠OAB＝30°時，A的
縱坐標為2 ，點C的縱坐標為1，則點D到點O的最大距離是(　B　)
A. 2 B. 2 ＋2
C. 2 ＋4 D. 2 ＋4
　
B
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 在△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，則與∠C相鄰的外角度
數為 .
12. 已知直線y＝2x與直線y＝－x＋b交于點(2，4)，則關于x，y的方
程組 的解是 　 　
110°　
　
13. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ABD＝
30°，BE垂直平分CD，交CD于點E，若AD＝1，則CE的長為 .
14. 如圖，AB是☉O的直徑，AC是☉O的切線，且AB＝AC＝4，則圖
中陰影部分的面積為 .
第13題圖　　　　第14題圖　　　
1　
4　
15. 我國明代數學讀本《算法統宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一
條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托.如果1托為5
尺，那么索長為 尺，竿子長為 尺.
16. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，D為邊AB上一
點，將CD繞點C按順時針方向旋轉45°得到CE，連接AE，則AE長度
的最小值為 .
　
20　
15　
3－ 　
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 解方程：x2－5x＋6＝0.
解：(x－2)(x－3)＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0.
∴x1＝2，x2＝3.
解：(x－2)(x－3)＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0.
∴x1＝2，x2＝3.
18. 如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，且AD＝AB.
(1)請用無刻度的直尺和圓規作出∠A的平分線；(保留作圖痕跡，不
寫作法)
(1)解：如圖所示，AE即為所求.
(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點E，連接DE. 求證：DE＝
BE.
(1)解：如圖所示，AE即為所求.
(2)證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE.
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS).∴DE＝BE.
(2)證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE.
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS).∴DE＝BE.
19. 先化簡：(x－1－ )÷ ，再從－2，－1，－6， 中選擇一個
適合的數x代入求值.
解：(x－1－ )÷ ＝ ·
＝ ＝ ＝ .
∵x＝－1，－2時，原分式無意義，
∴x可以為－6或 .∴當x＝－6時，原式＝ ＝2；
當x＝ 時，原式＝ ＝－ .
解：(x－1－ )÷ ＝ ·
＝ ＝ ＝ .
∵x＝－1，－2時，原分式無意義，
∴x可以為－6或 .∴當x＝－6時，原式＝ ＝2；
當x＝ 時，原式＝ ＝－ .
20. 如圖，OA，OB，OC都是☉O的半徑，∠ACB＝2∠BAC.
(1)求證：∠AOB＝2∠BOC；
(1)證明：∵∠ACB＝ ∠AOB，∠BAC＝ ∠BOC，
∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
(2)若AB＝4，BC＝ ，求☉O的半徑.
(1)證明：∵∠ACB＝ ∠AOB，∠BAC＝ ∠BOC，
∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
(2)解：如圖，過點O作半徑OD⊥AB于點E，連接DB，
∴AE＝BE.
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝ ∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝BC.
∵AB＝4，BC＝ ，∴BE＝2，DB＝ .
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴DE＝ ＝1.
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝(OB－1)2＋22，
解得OB＝ ，即☉O的半徑是 .
(2)解：如圖，過點O作半徑OD⊥AB于點E，連接DB，
∴AE＝BE.
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝ ∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝BC.
∵AB＝4，BC＝ ，∴BE＝2，DB＝ .
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴DE＝ ＝1.
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝(OB－1)2＋22，
解得OB＝ ，即☉O的半徑是 .
21. 已知拋物線y1＝－x2＋mx＋n，直線y2＝kx＋b，y1的對稱軸與y2
交于點A(－1，5)，點A與y1的頂點B的距離是4.
(1)求y1的解析式；
(1)解：∵拋物線y1＝－x2＋mx＋n，直線y2＝kx＋b，y1的對稱軸與y2
交于點A(－1，5)，點A與y1的頂點B的距離是4，
∴B(－1，1)或(－1，9).∴－ ＝－1， ＝1或9，
解得m＝－2，n＝0或8.
∴y1的解析式為y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.
(1)解：∵拋物線y1＝－x2＋mx＋n，直線y2＝kx＋b，y1的對稱軸與y2
交于點A(－1，5)，點A與y1的頂點B的距離是4，
∴B(－1，1)或(－1，9).∴－ ＝－1， ＝1或9，
解得m＝－2，n＝0或8.
∴y1的解析式為y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.
21. 已知拋物線y1＝－x2＋mx＋n，直線y2＝kx＋b，y1的對稱軸與y2
交于點A(－1，5)，點A與y1的頂點B的距離是4.
(2)若y2隨著x的增大而增大，且y1與y2都經過x軸上的同一點，求y2的解
析式.
(2)解：①當y1的解析式為y1＝－x2－2x時，
拋物線與x軸交點是(0，0)和(－2，0).
∵y2隨著x的增大而增大，y1的對稱軸與y2交于點A(－1，5)，
∴y1與y2都經過x軸上的同一點(－2，0).把(－1，5)，(－2，0)代入，
得 解得
∴y2＝5x＋10.
②當y1＝－x2－2x＋8時，拋物線與x軸的交點是(－4，0)和(2，0).
∵y2隨著x的增大而增大，且過點A(－1，5)，
∴y1與y2都經過x軸上的同一點(－4，0).
把(－1，5)，(－4，0)代入，得 解得
∴y2＝ x＋ .
22. 如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰直
角三角形BEF繞點B旋轉，BE＝BF＝ ，連接AE，CF.
(1)求證：△ABE≌△CBF.
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF.
∴在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS).
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF.
∴在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS).
圖1
22. 如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰直
角三角形BEF繞點B旋轉，BE＝BF＝ ，連接AE，CF. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF.
∴△ABE≌△CBF(SAS).
(2)如圖2，連接DE，當DE＝BE時，求S△BCF的值.(S△BCF表示△BCF
的面積)
圖1　　　　　圖2　　　　　圖3
(2)解：如圖1，過點E作EH⊥AB于點H. ∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF.
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE(SSS).∴∠DAE＝∠BAE＝45°.
∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°.∴AH＝EH.
∵BE2＝BH2＋EH2，∴10＝EH2＋(4－EH)2.∴EH＝1或3.
∴當EH＝1時，S△ABE＝S△BCF＝ AB·EH＝ ×4×1＝2；
(2)解：如圖1，過點E作EH⊥AB于點H. ∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF.
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE(SSS).∴∠DAE＝∠BAE＝45°.
∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°.∴AH＝EH.
∵BE2＝BH2＋EH2，∴10＝EH2＋(4－EH)2.∴EH＝1或3.
∴當EH＝1時，S△ABE＝S△BCF＝ AB·EH＝ ×4×1＝2；
圖1
當EH＝3時。S△ABE＝S△BCF＝ AB·EH＝ ×4×3＝6.
∴S△BCF的值是2或6.
22. 如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰直
角三角形BEF繞點B旋轉，BE＝BF＝ ，連接AE，CF. (
(3)如圖3，當Rt△BEF旋轉到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF
存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當滿足
MP＋PG的值最小時，求MP的值.
圖1　　　　　圖2　　　　　圖3
(3)解：如圖2，過點P作PK⊥AE于點K，由(1)，同理可得
△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF.
∵∠BAE＋∠CAE＋∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠CAE＋∠ACB＝
90°.∴∠AGC＝90°.
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴點A，G，C，D四點共圓.∴∠ACD＝
∠AGD＝45°.
∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°.∴PK＝GK＝ PG. ∴MP＋
PG＝MP＋PK.
(3)解：如圖2，過點P作PK⊥AE于點K，由(1)，同理可得
△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF.
∵∠BAE＋∠CAE＋∠ACB＝90°，
∴∠BCF＋∠CAE＋∠ACB＝90°.∴∠AGC＝90°.
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴點A，G，C，D四點共圓.
∴∠ACD＝∠AGD＝45°.
∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°.
∴PK＝GK＝ PG.
PG＝MP＋PK.
圖2
∴當點M，P，K三點共線時，且點E，G重合時，MP＋ PG值最
小，即 MP＋PG最小.
如圖3，過點B作BQ⊥CF于點Q. ∵BE＝BF＝ ，
∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2 ，BQ＝EQ＝FQ＝ .
∵CQ＝ ＝ ＝ ，
.
∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE.
∴ ＝ .又∵M是CD的中點，∴DC＝2DM.
∴MP＝ CE＝ .
圖3(共25張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練17
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 下列各數中，最小的是(　A　)
A. －2 B. 0 C. D. 2
2. 以下幾何體的主視圖是矩形的是(　D　)
A B C D
A
D
3. “綠水青山就是金山銀山”，多年來，某濕地保護區針對過度放牧問
題，投入資金實施濕地生態效益補償，完成季節性限牧還濕29.47萬畝，
使得濕地生態環境狀況持續向好.其中數據29.47萬用科學記數法表示為
(　C　)
A. 0.294 7×106 B. 2.947×104
C. 2.947×105 D. 29.47×104
C
4. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　C　)
A B C D
C
5. 下列計算正確的是(　B　)
A. x2＋x3＝x3 B. 2x2－x2＝x2
C. x2·x3＝x6 D. (x2)3＝x5
6. 如圖，AB與CD相交于點O，AC∥BD，只添加一個條件，能判定
△AOC≌△BOD的是(　B　)
A. ∠A＝∠D B. AO＝BO C. AC＝BO D. AB＝CD
第6題圖　　
B
B
7. 如圖，點A，B，C在☉O上，若∠C＝30°，則∠ABO的度數為
(　C　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
　　 第7題圖
C
8. 有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛(斛，音
hú，是古代的一種容量單位)，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大
桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒
y斛，則可列方程組為(　A　)
A. B.
C. D.
A
9. 下列關于二次函數y＝(x－2)2－3的說法正確的是(　D　)
A. 圖象是一條開口向下的拋物線
B. 圖象與x軸沒有交點
C. 當x＜2時，y隨x增大而增大
D. 圖象的頂點坐標是(2，－3)
D
10. 如圖，點A，B，C在同一條直線上，點B在點A，C之間，點D，
E在直線AC同側，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，
連接DE，設AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個結論：①a＋b
＜c；②a＋b＞ ；③ (a＋b)＞c.
上述結論中，所有正確結論的序號是(　D　)
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
D
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 比較大小： 2.(填“＞”“＜”或“＝”)
12. 關于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有兩個相等的實數根，則m的
值為 .
13.如圖，在平行四邊形ABCD(AB＜AD)中，按如下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交AB，AD于點M，N；②分別以點M，N為圓心，以大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧
在∠BAD內交于點P；③作射線AP交BC于點E.
若∠B＝120°，則∠EAD為 °.
＞　
4　
30　
第13題圖　　　
14. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形AOBC的頂點B在x軸的正半
軸上，點A的坐標為(1， )，則點C的坐標為 　(3， )　.
　　
第14題圖　
(3， )　
15. 有一列數，記第n個數為an，已知a1＝2，當n＞1時，an＝
則a2 023的值為 .
2　
16. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P，Q分別在AB和
AC上，PQ∥BC，M為PQ上一點，且滿足PM＝2MQ. 連接AM，
DM，若MA＝MD，則AP的長為 .
　　
第16題圖
3　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 計算：(－ )－2－｜ －2｜－2tan 60°.
解：原式＝4－(2－ )－2× ＝4－2＋ －2 ＝2－ .
解：原式＝4－(2－ )－2× ＝4－2＋ －2 ＝2－ .
18. 某校為開設足球、籃球、排球選修課程，現對該校學生就“你最喜
歡的球類運動”進行抽樣調查(要求在“足球”“籃球”“排球”中選擇
一種)，將調查數據繪制成如圖所示的兩幅統計圖.
　　
請根據圖中的信息，解答下列問題：
(1)共調查了 名學生，把條形統計圖補充完整；
40　
(1)解：補全條形統計圖如圖所示.
(1)解：補全條形統計圖如圖所示.
(2)求扇形統計圖中“足球”對應的扇形圓心角的度數；
(2)解：360°×25％＝90°.
∴“足球”所對應的扇形圓心角度數為90°.
(3)該校共有1 200名學生，請你估計其中最喜歡排球的學生人數.
(3)解：1 200× ＝480(人).
∴估計該校學生中，最喜歡排球的人數約為480人.
(2)解：360°×25％＝90°.
∴“足球”所對應的扇形圓心角度數為90°.
(3)解：1 200× ＝480(人).
∴估計該校學生中，最喜歡排球的人數約為480人.
19. “科技改變生活”，小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用
于航拍.在一次航拍時，數據顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為
45°，看建筑物底部C的俯角為60°，無人機A到該建筑物BC的水平距
離AD為10 m，求該建筑物BC的高度.(結果精確到0.1 m；參考數據：
≈1.41， ≈1.73)
解：由題意，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，
AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠BAD＝45°＝∠BAD.
∴BD＝AD＝10 m.
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD
＝AD·tan 60°＝10 m.
∴BC＝BD＋CD＝10＋10 ≈27.3(m).
答：該建筑物BC的高度約為27.3 m.
解：由題意，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，
AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠BAD＝45°＝∠BAD.
∴BD＝AD＝10 m.
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD
＝AD·tan 60°＝10 m.
∴BC＝BD＋CD＝10＋10 ≈27.3(m).
答：該建筑物BC的高度約為27.3 m.
20. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝ x與反比例函數y＝
(k＞0)的圖象相交于A(3，m)，B兩點.
(1)求反比例函數的解析式；
(1)解：∵點A(3，m)在一次函數y＝ x的圖象上，
∴m＝ ×3＝4.∴點A的坐標為(3，4).
∵反比例函數y＝ (k＞0)的圖象經過點A(3，4)，∴k＝
3×4＝12.
∴反比例函數的解析式為y＝ .
(1)解：∵點A(3，m)在一次函數y＝ x的圖象上，
∴m＝ ×3＝4.∴點A的坐標為(3，4).
∵反比例函數y＝ (k＞0)的圖象經過點A(3，4)，
∴k＝ 3×4＝12.
∴反比例函數的解析式為y＝ .
20. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝ x與反比例函數y＝
(k＞0)的圖象相交于A(3，m)，B兩點.
(2)若點C為x軸正半軸上一點，且滿足AC⊥BC，求點C的坐標.
(2)解：如圖，過點A作y軸的垂線，垂足為點H.
∵A(3，4)，則AH＝3，OH＝4.
由勾股定理，得OA＝ ＝5，
由圖象的對稱性，
可知OB＝OA＝5.
又∵AC⊥BC，∴OC＝OA＝5.∴點C的坐標為(5，0).
21. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC為直徑的☉O交AC邊
于點D，過點C作☉O的切線，交BD的延長線于點E.
(1)求證：∠DCE＝∠DBC；
(1)證明：∵BC為☉O的直徑，∴∠BDC＝90°.
∵CE為☉O的切線，∴CE⊥BC，∴∠BCE＝90°.
∵∠DCE＋∠BCD＝90°，∠DBC＋∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝∠DBC.
(1)證明：∵BC為☉O的直徑，∴∠BDC＝90°.
∵CE為☉O的切線，∴CE⊥BC，∴∠BCE＝90°.
∵∠DCE＋∠BCD＝90°，∠DBC＋∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝∠DBC.
(2)若AB＝2，CE＝3，求☉O的半徑.
(2)解：∵∠ABC＋∠BCE＝90°＋90°＝180°，
∴AB∥CE. ∴∠A＝∠DCE.
∵∠DCE＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC.
在Rt△ABC中，tan A＝ ＝ ，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC2＝2×3＝6.∴BC＝ ，∴☉O的半徑為 .
(2)解：∵∠ABC＋∠BCE＝90°＋90°＝180°，
∴AB∥CE. ∴∠A＝∠DCE.
∵∠DCE＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC.
在Rt△ABC中，tan A＝ ＝ ，
在Rt△BCE中，tan∠EBC＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC2＝2×3＝6.∴BC＝ ，∴☉O的半徑為 .
22. 如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 ，點D在AB邊上，連接
CD，將CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE，DE.
(1)求證：△CAD≌△CBE；
(1)證明：由題意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，
CA＝CB，CD＝CE.
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB. 即∠ACD＝∠BCE.
∴△CAD≌△CBE.
(1)證明：由題意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，
CA＝CB，CD＝CE.
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB. 即∠ACD＝∠BCE.
∴△CAD≌△CBE.
22. 如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 ，點D在AB邊上，連接
CD，將CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE，DE.
(1)證明：由題意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，
CA＝CB，CD＝CE.
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB. 即∠ACD＝∠BCE.
∴△CAD≌△CBE.
(2)若AD＝2時，求CE的長；
(2)解：∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 ，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°.AB＝ AC＝6.
∴BD＝AB－AD＝6－2＝4.
∵△CAD≌△CBE，
∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°.
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°.
∴DE＝ ＝2 .
∴在Rt△CDE中，CE＝CD＝ ＝ .
(2)解：∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 ，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°.AB＝ AC＝6.
∴BD＝AB－AD＝6－2＝4.
∵△CAD≌△CBE，
∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°.
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°.
∴DE＝ ＝2 .
∴在Rt△CDE中，CE＝CD＝ ＝ .
22. 如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 ，點D在AB邊上，連接
CD，將CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，連接BE，DE.(3)點D在AB上運動時，試探究AD2＋BD2的值是否存在最小值，如果存
在，請直接寫出這個最小值；如果不存在，請說明理由.
(3)解：存在.AD2＋BD2的最小值為18.
(3)解：存在.AD2＋BD2的最小值為18.(共23張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練2
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 下列實數中，最大的數是(　D　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 下列計算正確的是(　D　)
A. b＋b2＝b3 B. b6÷b3＝b2
C. (2b)3＝6b3 D. 3b－2b＝b
3. 若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是(　B　)
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
D
D
B
4. 黨的二十大報告指出，我國建成世界上規模最大的教育體系、社會保
障體系、醫療衛生體系，教育普及水平實現歷史性跨越，基本養老保險
覆蓋十億四千萬人，基本醫療保險參保率穩定在百分之九十五.將數據1
040 000 000用科學記數法表示為(　C　)
A. 104×107 B. 10.4×108
C. 1.04×109 D. 0.104×1010
C
5. 根據福建省統計局數據，福建省2020年的地區生產總值為43 903.89億
元，2022年的地區生產總值為53 109.85億元.設這兩年福建省地區生產
總值的年平均增長率為x，根據題意可列方程為(　B　)
A. 43 903.89(1＋x)＝53 109.85
B. 43 903.89(1＋x)2＝53 109.85
C. 43 903.89x2＝53 109.85
D. 43 903.89(1＋x2)＝53 109.85
B
6. 已知9m＝3，27n＝4，則32m＋3n＝(　D　)
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
7. 如圖，正五邊形ABCDE 內接于☉O，連接OC，OD，則∠BAE－
∠COD＝(　D　)
A. 60° B. 54° C. 48° D. 36°
第7題圖　　　
D
D
8. 下列說法，正確的個數有(　B　)
①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角相等；③對角線互相垂直的四
邊形為菱形；④對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
B
9. 某出租車公司為降低成本，推出了“油改氣”措施，如圖，y1，y2分
別表示燃油汽車和燃氣汽車行駛路程s(單位：千米)與所需費用y(單位：
元)的關系，已知燃氣汽車每千米所需的費用比燃油汽車每千米所需費用
少0.5元，設燃氣汽車每千米所需費用為x元，則可列方程為(　D　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
　　　
D
第9題圖
10. 如圖，E是線段AB上一點，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的
兩個等邊三角形，點P，F分別是CD，AB的中點.若AB＝4，則下列結
論錯誤的是(　A　)
A. PA＋PB的最小值為3
B. PE＋PF的最小值為2
C. △CDE周長的最小值為6
D. 四邊形ABCD面積的最小值為3
A
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 計算： × ＝ .
12. 某學校開設了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶
藝”“木工”4門課程中隨機選擇一門學習，每門課程被選中的可能性相
等.小明恰好選中“烹飪”的概率為 .
13. 如圖，在△ABC中，已知D，E，F分別為BC，AD，CE的中點，
且S△ABC＝8 cm2，則圖中陰影部分
△BEF 的面積等于 cm2.
6　
　
2　
第13題圖　　　
14. 若關于x的一元二次方程(a－1)x2－ax＋a2＝1的一個根為0，則a
＝ .
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，將
△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則
△ACF與△BDF的周長之和為 .
　　
第15題圖　　
－1　
55　
16. 如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)圖象的一
部分，與x軸的交點A在點(2，0)和(3，0)之間，頂點為(1，3)對于下列結
論：①2a＋b＝0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＞8；④當－1＜x＜3時，
y＞0；⑤若方程｜ax2＋bx＋c｜＝1有四個根，則這四個根的和為4.其
中正確的是 .
　
①②⑤　
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 解方程組：
解：
解：
①＋②，得3x＝6，解得x＝2.
將x＝2代入①，得2－y＝1，解得y＝1.
∴原方程組的解為
①＋②，得3x＝6，解得x＝2.
將x＝2代入①，得2－y＝1，解得y＝1.
∴原方程組的解為
18. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，BD＝CE，
∠ABE＝∠ACD，BE與CD相交于點F. 求證：△ABC是等腰三角形.
證明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF.
在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF(AAS).∴BF＝CF. ∴∠FBC＝∠FCB.
∴∠ABE＋∠FBC＝∠ACD＋∠FCB. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝
AC，即△ABC是等腰三角形.
證明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF.
在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF(AAS).∴BF＝CF. ∴∠FBC＝∠FCB.
∴∠ABE＋∠FBC＝∠ACD＋∠FCB. ∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形.
19. 如圖，在 ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)實踐與操作：用尺規作圖法過點D作AB邊上的高DE；(保留作圖痕
跡，不要求寫作法)
(2)應用與計算：在(1)的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長.
(2)解：∵ cos ∠DAB＝ ，
∴AE＝AD· cos 30°＝4× ＝2 .
∴BE＝AB－AE＝6－2 .
(1)解：如圖DE即為所求作的高.
(2)解：∵ cos ∠DAB＝ ，
∴AE＝AD· cos 30°＝4× ＝2 .
∴BE＝AB－AE＝6－2 .
20. “雙減”政策的實施，不僅減輕了學生的負擔，也減輕了家長的負
擔，回歸了教育的初衷.某校計劃在某個班向家長展示“雙減”背景下的
課堂教學活動，用于展開活動的備選班級共5個，其中有2個為八年級班
級(分別用A，B表示)，3個為九年級班級(分別用C，D，E表示)，由于報
名參加觀摩課堂教學活動的家長較多，學校計劃分兩周進行，第一周先
從這5個備選班級中任意選擇一個開展活動，第二周再從剩下的四個備選
班級中任意選擇一個開展活動.
(1)第一周選擇的是八年級班級的概率為 ；
　
20. “雙減”政策的實施，不僅減輕了學生的負擔，也減輕了家長的負
擔，回歸了教育的初衷.某校計劃在某個班向家長展示“雙減”背景下的
課堂教學活動，用于展開活動的備選班級共5個，其中有2個為八年級班
級(分別用A，B表示)，3個為九年級班級(分別用C，D，E表示)，由于報
名參加觀摩課堂教學活動的家長較多，學校計劃分兩周進行，第一周先
從這5個備選班級中任意選擇一個開展活動，第二周再從剩下的四個備選
班級中任意選擇一個開展活動.
(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求兩次選中的既有八年級班級又有九年
級班級的概率.
(2)解：根據題意，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有20種等可能的結果，
其中兩次選中的既有八年級班級又有九年
級班級的情況有12種情況，
∴兩次選中的既有八年級班級又有九年級
班級的概率為 ＝ .
(2)解：根據題意，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有20種等可能的結果，其中兩次選中的既有八年級班
級又有九年級班級的情況有12種情況，
∴兩次選中的既有八年級班級又有九年級班級的概率為 ＝ .
21. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，CF∥AD，CF
＝AF，BC＝CD，E是AF的中點，CE平分∠DCF.
(1)求證：CD＝AD＋CF；
(1)證明：如圖，過點E作EM⊥CD于M，連接DE.
∵CF∥AD，∴∠AFC＋∠A＝180°.
∵∠A＝∠BCD＝90°，∴∠A＝∠AFC＝90°.
∵EM⊥CD，∴∠EMC＝90°.∴∠AFC＝∠EMC.
∵CE平分∠DCF，∴∠ECF＝∠ECM.
(1)證明：如圖，過點E作EM⊥CD于M，連接DE.
∵CF∥AD，∴∠AFC＋∠A＝180°.
∵∠A＝∠BCD＝90°，∴∠A＝∠AFC＝90°.
∵EM⊥CD，∴∠EMC＝90°.∴∠AFC＝∠EMC.
∵CE平分∠DCF，∴∠ECF＝∠ECM.
在△EFC和△EMC中，
∴△EFC≌△EMC(AAS).∴CF＝CM.
∵E是AF的中點，∴AE＝EF. ∴AE＝EM.
∵∠A＝∠EMC＝90°，∴AD2＝DE2－AE2，DM2＝DE2
－EM2.∴AD＝DM.
∵CD＝DM＋MC，∴CD＝AD＋CF.
在△EFC和△EMC中，
∴△EFC≌△EMC(AAS).∴CF＝CM.
∵E是AF的中點，∴AE＝EF. ∴AE＝EM.
∵∠A＝∠EMC＝90°，∴AD2＝DE2－AE2，
DM2＝DE2－EM2.∴AD＝DM.
∵CD＝DM＋MC，∴CD＝AD＋CF.
21. 如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，CF∥AD，CF
＝AF，BC＝CD，E是AF的中點，CE平分∠DCF.
(2)若CF＝4，求BF的長.
(2)解：∵CF＝AF，E是AF的中點，CF＝4，
∴EF＝2＝EM，CM＝CF＝4，CE＝ ＝2 .
∵CF∥AD，∴∠ADC＋∠FCD＝180°.
由(1)，知AE＝EM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴∠ADE＝∠CDE＝ ∠ADC.
∵CE2＋DE2＝CD2，∴(2 )2＋(x2＋4)＝(x＋4)2.∴x＝1.
∴BC＝CD＝1＋4＝5.∴BF＝ ＝ ＝3.
∵CE2＋DE2＝CD2，∴(2 )2＋(x2＋4)＝(x＋4)2.∴x＝1.
∴BC＝CD＝1＋4＝5.∴BF＝ ＝ ＝3.
∵∠FCE＝∠DCE＝ ∠DCF，
∴∠CDE＋∠DCE＝ ×180°＝90°.∴∠DEC＝90°.
設DM＝x，則CD＝x＋4，DE2＝DM2＋EM2＝x2＋4.
22. 已知四邊形ABCD內接于☉O，對角線BD是☉O的直徑.
(1)如圖1，連接OA，CA，若OA⊥BD，求證：CA平分∠BCD；
(1)證明：∵OA⊥BD，∴ ＝ .∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分
∠BCD.
(2)如圖2，E為☉O內一點，滿足AE⊥BC，CE⊥AB，若
BD＝3 ，AE＝3，求弦BC的長.
圖1　 　 圖2
(1)證明：∵OA⊥BD，∴ ＝ .∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD.
(2)解：延長AE交BC于點M，延長CE交AB于點N.
∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°.
∵BD是☉O的直徑，∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB.
∴AD∥NC，CD∥AM. ∴四邊形AECD是平行四邊形.
∴AE＝CD＝3.
∴BC＝ ＝ ＝3 .
(2)解：延長AE交BC于點M，延長CE交AB于點N.
∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°.
∵BD是☉O的直徑，∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB.
∴AD∥NC，CD∥AM. ∴四邊形AECD是平行四邊形.
∴AE＝CD＝3.
∴BC＝ ＝ ＝3 .(共31張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練7
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 下列事件中，是必然事件的是(　C　)
A. 曉麗乘12路公交車去上學，到達公共汽車站時，12路公交車正在駛來
B. 買一張電彩票，座位號是偶數號
C. 在同一年出生的13名學生中，至少有2人出生在同一個月
D. 在標準大氣壓下，溫度低于0 ℃時，冰才融化
2. 下列計算正確的是(　D　)
A. x2＋x＝x3 B. x6÷x3＝x2
C. (x3)4＝x7 D. x3·x4＝x7
C
D
3. 下列命題是真命題的是(　B　)
A. 對角線相等的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
4. 若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有實數解，則m的取值范圍是(　D　)
A. m≥－1 B. m≤1
C. m≥－1且m≠0 D. m≤1且m≠0
B
D
5. 如圖，已知☉O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是
∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD＝6，則弦AB的長
為(　B　)
A. 6 B. 8 C. 5 D. 5
第5題圖　　　　　
B
6. 在一個不透明的袋子里裝有5個小球，每個球上都寫有一個數字，分
別是1，2，3，4，5，這些小球除數字不同外其他均相同.從中隨機一次
摸出2個小球，小球上的數字都是奇數的概率為(　C　)
A. B. C. D.
C
7. 對于二次函數y＝－ x2＋x－4，下列說法正確的是(　B　)
A. 當x＞0時，y隨x的增大而增大
B. 當x＝2時，y有最大值－3
C. 圖象的頂點坐標為(－2，－7)
D. 圖象與x軸有兩個交點
B
8. 如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過
點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE
＋EF的值為(　C　)
A. B. C. D.
　
第8題圖　
C
9. 關于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有兩個實數根x1，x2，
若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，則k的值為(　D　)
A. 0或2 B. －2或2 C. －2 D. 2
D
10. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點E，使EB＝2，以EB
為邊在上方作正方形EFGB，延長FG交DC于點M，連接AM，AF，
H為AD的中點，連接FH分別與AB，AM交于點N，K，則下列結論：
①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④
S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正確的結論有(　C　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
　
C
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 已知∠A＝100°，則∠A的補角等于 .
12. 如圖，數軸上點A表示的數為a，化簡：a＋ ＝ .
第12題圖　　　
80°　
2　
13. 方程 ＝ 的解是 .
14. 如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝10，作AD的垂
直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則連接DF，△DEF周長為
.
　
第14題圖　　
x＝1.5　
5＋
5 　
15. 某水庫的水位在5小時內持續上漲，初始的水位高度為6米，水位以
每小時0.3米的速度勻速上升，則水庫的水位高度y(米)與時間x(小
時)(0≤x≤5)的函數關系式為 .
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點，以AE為直
徑的半圓O與BC相切于點D，連接AD，BE＝3，BD＝3 .P是AB
邊上的動點，當△ADP為等腰三角形時，AP的長為 .
　　
y＝0.3x＋6　
6或2 　
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 計算：－12 024＋(－ )0－2 cos 60°＋｜ －3｜.
解：原式＝－1＋1－2× ＋3－
＝－1＋1－1＋3－
＝2－ .
解：原式＝－1＋1－2× ＋3－
＝－1＋1－1＋3－
＝2－ .
18. 民生無小事，枝葉總關情，廣東在“我為群眾辦實事”實踐活動中
推出“粵菜師傅”“廣東技工”“南粵家政”三項培訓工程，今年計劃
新增加培訓共100萬人次.
(1)若“廣東技工”今年計劃新增加培訓31萬人次，“粵菜師傅”今年計
劃新增加培訓人次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計劃新增
加的培訓人次；
(1)解：設“南粵家政”今年計劃新增加培訓x萬人次，則“粵菜師傅”
今年計劃新增加培訓2x萬人次.
依題意，得31＋2x＋x＝100，解得x＝23.
答：“南粵家政”今年計劃新增加培訓23萬人次.
(1)解：設“南粵家政”今年計劃新增加培訓x萬人次，則“粵菜師傅”
今年計劃新增加培訓2x萬人次.
依題意，得31＋2x＋x＝100，解得x＝23.
答：“南粵家政”今年計劃新增加培訓23萬人次.
18. 民生無小事，枝葉總關情，廣東在“我為群眾辦實事”實踐活動中
推出“粵菜師傅”“廣東技工”“南粵家政”三項培訓工程，今年計劃
新增加培訓共100萬人次.
(2)“粵菜師傅”工程開展以來，已累計帶動33.6萬人次創業就業，據報
道，經過“粵菜師傅”項目培訓的人員工資穩定提升，已知李某去年的
年工資收入為9.6萬元，預計李某今年的年工資收入不低于12.48萬元，
則李某的年工資收入增長率至少要達到多少？
(2)解：設李某的年工資收入增長率為m.
依題意，得9.6(1＋m)≥12.48，解得m≥0.3＝30％.
答：李某的年工資收入增長率至少要達到30％.
(2)解：設李某的年工資收入增長率為m.
依題意，得9.6(1＋m)≥12.48，解得m≥0.3＝30％.
答：李某的年工資收入增長率至少要達到30％.
19. 如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B
＝∠AED＝∠C.
(1)求證：∠EAD＝∠EDA；
(1)證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，
∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED.
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD(AAS).∴AE＝ED. ∴∠EAD＝∠EDA.
(1)證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，
∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE
＝∠CED.
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD(AAS).∴AE＝ED. ∴∠EAD＝
∠EDA.
19. 如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B
＝∠AED＝∠C.
(2)若∠C＝60°，DE＝4，時，求△AED的面積.
(2)解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED為等邊三角形.∴AE＝AD＝ED＝4.
過點A作AF⊥ED于點F，∴EF＝ ED＝2.
∴AF＝ ＝ ＝2 .
∴S△AED＝ ED·AF＝ ×4×2 ＝4 .
(2)解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED為等邊三角形.∴AE＝AD＝ED＝4.
過點A作AF⊥ED于點F，∴EF＝ ED＝2.
∴AF＝ ＝ ＝2 .
∴S△AED＝ ED·AF＝ ×4×2 ＝4 .
20. 如圖，在△ABC中，D為BC邊上的點，∠CAD＝∠CDA，E為AB
邊的中點.
(1)尺規作圖：作∠C的平分線CF，交AD于點F；(保留作圖痕跡，不寫
作法)
(1)解：如圖，射線CF即為所求.
(1)解：如圖，射線CF即為所求.
(2)解：EF∥BC. 理由如下：
∵∠CAD＝∠CDA，∴AC＝DC，即△CAD為等腰三角形.
又CF是頂角∠ACD的平分線，∴CF是底邊AD的中線，
即F為AD的中點.
∵E是AB的中點，∴EF為△ABD的中位
線.∴EF∥BD，
從而EF∥BC.
20. 如圖，在△ABC中，D為BC邊上的點，∠CAD＝∠CDA，E為AB
邊的中點.
(2)連接EF，EF與BC是什么位置關系？為什么？
20. 如圖，在△ABC中，D為BC邊上的點，∠CAD＝∠CDA，E為AB
邊的中點.
(3)若四邊形BDFE的面積為9，求△ABD的面積.
(3)解：由(2)，知EF∥BC，∴△AEF∽△ABD.
∴ ＝()2.
又∵AE＝ AB，∴ ＝ .
把S四邊形BDFE＝9代入其中，解得S△AEF＝3.
∴S△ABD＝S△AEF＋S四邊形BDFE＝3＋9＝12，即△ABD的面積為12.
21. 如圖，AB是☉O的直徑，E是劣弧BD上一點，∠PAD＝∠AED，
且DE＝ ，AE平分∠BAD，AE與BD交于點F.
(1)求證：PA是☉O的切線；
(1)證明：∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB＋∠DBA＝90°.
∵ ＝ ，∴∠AED＝∠ABD.
∵∠PAD＝∠AED，∴∠PAD＝∠ABD.
∴∠BAD＋∠PAD＝∠BAD＋∠ABD＝90°，
即∠PAB＝90°.∴PA⊥AB.
又∵AB是☉O的直徑，∴PA是☉O的切線.
(1)證明：∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB＋∠DBA＝90°.
∵ ＝ ，∴∠AED＝∠ABD.
∵∠PAD＝∠AED，∴∠PAD＝∠ABD.
∴∠BAD＋∠PAD＝∠BAD＋∠ABD＝90°，
即∠PAB＝90°.∴PA⊥AB.
又∵AB是☉O的直徑，∴PA是☉O的切線.
21. 如圖，AB是☉O的直徑，E是劣弧BD上一點，∠PAD＝∠AED，
且DE＝ ，AE平分∠BAD，AE與BD交于點F.
(2)若tan∠DAE＝ ，求EF的長；
(2)解：如圖1，連接OE，EB. ∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE. ∴DE＝BE＝ .
∵AB是☉O的直徑，∴AD⊥DB，AE⊥EB，
即∠ADF＝∠BEF＝90°.
∵ ＝ ，∴∠DAE＝∠DBE. ∴tan∠EBF＝
tan∠DAE＝ .
∴ ＝ .∴EF＝ EB＝1.
(2)解：如圖1，連接OE，EB. ∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE. ∴DE＝BE＝ .
∵AB是☉O的直徑，∴AD⊥DB，AE⊥EB，
即∠ADF＝∠BEF＝90°.
∵ ＝ ，∴∠DAE＝∠DBE.
∴tan∠EBF＝tan∠DAE＝ .
∴ ＝ .∴EF＝ EB＝1.
圖1
(3)延長DE，AB交于點C，若OB＝BC，求☉O的半徑.
21. 如圖，AB是☉O的直徑，E是劣弧BD上一點，∠PAD＝∠AED，
且DE＝ ，AE平分∠BAD，AE與BD交于點F.
　 　圖2
(3)解：如圖2，過點B作BG∥AD交DC于點G.
∵OA＝ OE，∴∠OEA＝∠OAE.
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠AEO. ∴AD∥OE.
∴OE∥BG.
∵AO＝OB＝BC，∴DE＝EG＝GC.
設☉O的半徑為x，則GB＝ OE＝ x.∵AD∥BG，
∴△CGB∽△CDA. ∴ ＝ ＝ .∴AD＝3GB＝ x.
∵AD⊥DB，AD∥BG，∴DB⊥GB. ∵DE＝ ，
∴DG＝2DE＝2 .
圖2
在Rt△DBG中，DB2＝DG2－GB2＝8－( x)2，
在Rt△ADB中，AD2＋DB2＝AB2，即( x)2＋8－( x)2＝(2x)2，
解得x＝2(負值舍去)，∴☉O的半徑為2.
22. 在平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y＝ax2＋bx＋c(0＜a＜12)
過點A(1，c－5a)，B(x1，3)，C(x2，3).頂點D不在第一象限，線段
BC上有一點E，設△OBE的面積為S1，△OCE的面積為S2，S1＝S2＋
.
(1)用含a的式子表示b；
(1)解：∵拋物線G：y＝ax2＋bx＋c(0＜a＜12)過點A(1，c－5a)，
∴c－5a＝a＋b＋c.∴b＝－6a.
(2)求點E的坐標：
(1)解：∵拋物線G：y＝ax2＋bx＋c(0＜a＜12)過點A(1，c－5a)，
∴c－5a＝a＋b＋c.∴b＝－6a.
(2)解：如圖1，當點B在點C的左邊時，設BC的中點為
M.
∵B(x1，3)，C(x2，3)，線段BC上有一點E，
∴S1＝ ×BE×3＝ BE，S2＝ ×CE×3＝ CE.
∵S1＝S2＋ ，∴ CE＋ ＝ BE. ∴BE＝CE＋1.
∵b＝－6a，∴拋物線G：y＝ax2－6ax＋c.
∴對稱軸為x＝ ＝3.
∴BC的中點M坐標為(3，3)，
(2)解：如圖1，當點B在點C的左邊時，設BC的中點為
M.
∵B(x1，3)，C(x2，3)，線段BC上有一點E，
∴S1＝ ×BE×3＝ BE，S2＝ ×CE×3＝ CE.
∵S1＝S2＋ ，∴ CE＋ ＝ BE. ∴BE＝CE＋1.
∵b＝－6a，∴拋物線G：y＝ax2－6ax＋c.
∴對稱軸為x＝ ＝3.
∴BC的中點M坐標為(3，3)，
∵BE＝BM＋EM，CE＝CM－EM，BM＝CM，BE
＝CE＋1，∴EM＝ .∴點E(，3).
如圖2，當點B在點C的右邊時，設BC的中點為M，
同理可求點E(，3).綜上所述，點E(，3)或(，3).
　圖2
∵BE＝BM＋EM，CE＝CM－EM，BM＝CM，BE
＝CE＋1，∴EM＝ .∴點E(，3).
如圖2，當點B在點C的右邊時，設BC的中點為M，
同理可求點E(，3).綜上所述，點E(，3)或(，3).
　圖2
圖2
22. 在平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y＝ax2＋bx＋c(0＜a＜12)
過點A(1，c－5a)，B(x1，3)，C(x2，3).頂點D不在第一象限，線段
BC上有一點E，設△OBE的面積為S1，△OCE的面積為S2，S1＝S2＋
.
(3)若直線DE與拋物線G的另一個交點F的橫坐標為 ＋3，求y＝ax2＋
bx＋c在1＜x＜6時的取值范圍(用含a的式子表示).
(3)解：∵直線DE與拋物線G：y＝ax2－6ax＋c的另一個交點F的橫坐
標為 ＋3，
∴y＝a(＋3)2－6a×(＋3)＋c＝ －9a＋c.
∴點F(＋3， －9a＋c).
∵D是拋物線的頂點，∴點D(3，－9a＋c).
∴直線DF的解析式為y＝6x－18＋c－9a.
∵由(1)易知點E坐標為(，3)，又∵點D(3，－9a＋c)，
∴直線DE解析式為y＝(6＋18a－2c)x＋7c－63a－18.
∵直線DE與直線DF是同一直線，∴6＝6＋18a－2c.∴c＝9a.
∴拋物線的解析式為y＝ax2－6ax＋9a.
∵1＜x＜6，∴當x＝3時，ymin＝0；當x＝6時，
ymax＝9a.∴0≤y＜9a.
∵直線DE與直線DF是同一直線，∴6＝6＋18a－2c.∴c＝9a.
∴拋物線的解析式為y＝ax2－6ax＋9a.
∵1＜x＜6，∴當x＝3時，ymin＝0；當x＝6時，
ymax＝9a.∴0≤y＜9a.(共24張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練6
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 如圖，數軸上兩點A，B表示的數互為相反數，則點B表示的數為
(　B　)
A. －6 B. 6
C. 0 D. 無法確定
2. 已知方程x－2y＋3＝8，則整式x－2y的值為(　A　)
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
B
A
3. 關于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有兩個不相等的實數根，則q的
取值范圍是(　A　)
A. q＜16 B. q＞16 C. q≤4 D. q≥4
A
4. 如圖，AB是☉O的弦，OC⊥AB，交☉O于點C，連接OA，OB，
BC，若∠ABC＝20°，則∠AOB的度數是(　D　)
A. 40° B. 50°
D
第4題圖　　　　
C. 70° D. 80°
5. 如圖，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，對角線AC，BD相交于點
O，且E，F，G，H分別是AO，BO，CO，DO的中點，則下列說法
正確的是(　B　)
A. EH＝HG B. 四邊形EFGH是平行四邊形
C. AC⊥BD D. △ABO的面積是△EFO的面積的2倍
　
第5題圖　
B
6. 若點A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函數y＝ 的圖象上，
則y1，y2，y3的大小關系是(　C　)
A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y3＜y2 D. y1＜y2＜y3
7. 已知圓的半徑是2 ，則該圓的內接正六邊形的面積是(　C　)
A. 3 B. 9 C. 18 D. 36
C
C
8. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD＝8，
tan∠ABD＝ ，則線段AB的長為(　C　)
A. B. 2
　　
第8題圖
C
C. 5 D. 10
9. 直線y＝x＋a不經過第二象限，則關于x的方程ax2＋2x＋1＝0實數
解的個數是(　D　)
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 1個或2個
10. 若一個點的坐標滿足(k，2k)，我們將這樣的點定義為“倍值點”.若
關于x的二次函數y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t為常數，t≠－1)總有兩
個不同的倍值點，則s的取值范圍是(　D　)
A. s＜－1 B. s＜0
C. 0＜s＜1 D. －1＜s＜0
D
D
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 方程x2－4x＝0的實數解是 .
12. 據交通運輸部信息顯示：2023年“五一”假期第一天，全國營運性
客運量約5 699萬人次，將5 699萬用科學記數法表示為 .
x1＝0，x2＝4　
5.699×107　
13. 已知一次函數y＝kx＋b的圖象經過點(1，3)和(－1，2)，則k2－b2
＝ .
14. 如圖，若菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為(3，0)，(－2，0)，
點D在y軸上，則點C的坐標是 .
第14題圖　　
－6　
(－5，4)　
15. 如圖放置的一個圓錐，它的主視圖是直角邊長為2的等腰直角三角
形，則該圓錐側面展開扇形的弧長為 .(結果保留π)
16. 如圖，四邊形ABCD內接于☉O，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝
45°，AC，BD交于點G，點O是AC的中點.延長AD，BC交于點E，
點F在CE上，∠CDF＝∠CDB. 則下列結論成立的是 (直接
填寫序號).①直線DF是☉O的切線；②△DEF是等腰三角形；③圖中共
有3個等腰三角形；④連接OE，則tan∠AEO＝ .
　　
第15題圖　　　　第16題圖
2 π　
①②④　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 解不等式組 并在數軸上表示解集.
解： 解不等式①，得x＜ ，解不等式②，得x≥
－1，
∴不等式組的解集為－1≤x＜ .
在數軸上表示如下：
解： 解不等式①，得x＜ ，解不等式②，
得x≥－1，
∴不等式組的解集為－1≤x＜ .
在數軸上表示如下：
18. 如圖，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°，求
∠BCA的度數.
解：在△ABC與△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS).∴∠B＝∠D＝80°.
∴∠BCA＝180°－25°－80°＝75°.
19. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2 .
(1)利用尺規作線段AC的垂直平分線DE，垂足為E，交AB于點D；(保
留作圖痕跡，不寫作法)
(1)解：如圖所示，DE即為所求.
(1)解：如圖所示，DE即為所求.
(2)若△ADE的周長為a，先化簡T＝(a＋1)2－a(a－1)，再求T的值.
(2)解：由題，可得AE＝ AC＝ ，∠A＝30°，∴在Rt△ADE中，
DE＝ AD.
設DE＝x，則AD＝2x，∴在Rt△ADE中，x2＋()2＝(2x)2，解得x
＝1.(負值舍去)
∴△ADE的周長a＝1＋2＋ ＝3＋ .
∵T＝(a＋1)2－a(a－1)＝3a＋1，
∴當a＝3＋ 時，T＝3(3＋ )＋1＝10＋3 .
(2)解：由題，可得AE＝ AC＝ ，∠A＝30°，
∴在Rt△ADE中，DE＝ AD.
設DE＝x，則AD＝2x，∴在Rt△ADE中，
x2＋()2＝(2x)2，解得x＝1.(負值舍去)
∴△ADE的周長a＝1＋2＋ ＝3＋ .
∵T＝(a＋1)2－a(a－1)＝3a＋1，
∴當a＝3＋ 時，T＝3(3＋ )＋1＝10＋3 .
19. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝2 .
20. 某種商品的標價為200元/件，經過兩次降價后的價格為162元/件，并
且兩次降價的百分率相同.
(1)求該種商品每次降價的百分率；
(1)解：設該種商品每次降價的百分率為x.依題意，
得200(1－x)2＝162，
解得x1＝0.1＝10％，x2＝1.9(不合題意，舍去).
答：該種商品每次降價的百分率為10％.
(2)若該種商品進價為156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20
件，在每件降價幅度不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多
售出5件，如果每天盈利1 600元，每件應降價多少元？
(1)解：設該種商品每次降價的百分率為x.依題意，
得200(1－x)2＝162，
解得x1＝0.1＝10％，x2＝1.9(不合題意，舍去).
答：該種商品每次降價的百分率為10％.
(2)解：設每件商品應降價y元.根據題意，
得(200－156－y)(20＋5y)＝1 600，
解得y＝4或y＝36.
∵是在降價幅度不超過10元的情況下，∴y＝36不合題意，舍去.
答：每件商品應降價4元.
(2)解：設每件商品應降價y元.根據題意，
得(200－156－y)(20＋5y)＝1 600，
解得y＝4或y＝36.
∵是在降價幅度不超過10元的情況下，∴y＝36不合題意，舍去.
答：每件商品應降價4元.
21. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝ x＋4分別與x軸、y
軸相交于A，B兩點，點P(x，y)為直線l在第二象限的點.
(1)求A，B兩點的坐標；
(1)解：∵直線y＝ x＋4分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，
∴當x＝0時，y＝4；當y＝0時，x＝－8.
∴A(－8，0)，B(0，4).
(2)設△PAO的面積為S，求S關于x的函數解析式，并寫出x的取值范
圍；
(1)解：∵直線y＝ x＋4分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，
∴當x＝0時，y＝4；當y＝0時，x＝－8.
∴A(－8，0)，B(0，4).
(2)解：∵點P(x，y)為直線l在第二象限的點，∴P(x，
x＋4).
∴S△APO＝ OA×( x＋4)＝4×( x＋4)＝2x＋16(－8＜x
＜0).
∴S＝2x＋16(－8＜x＜0).
(2)解：∵點P(x，y)為直線l在第二象限的點，
∴P(x， x＋4).
∴S△APO＝ OA×( x＋4)＝4×( x＋4)＝2x＋16(－8＜x＜0).
∴S＝2x＋16(－8＜x＜0).
21. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝ x＋4分別與x軸、y
軸相交于A，B兩點，點P(x，y)為直線l在第二象限的點.
(3)作△PAO的外接圓☉C，延長PC交☉C于點Q，當△POQ的面積最小
時，求☉C的半徑.
(3)∵A(－8，0)，B(0，4)，∴OA＝8，OB＝4.
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得AB＝ ＝ ＝4 .
在☉C中，∵PQ是直徑，∴∠POQ＝90°.
∵∠BAO＝∠Q，∴tan Q＝tan∠BAO＝ .
∴ ＝ .∴OQ＝2OP.
∴S△POQ＝ OP·OQ＝ OP·2OP＝OP2.
∴當S△POQ最小時，則OP最小.
∵點P在線段AB上運動，∴當OP⊥AB時，OP最小.
(3)∵A(－8，0)，B(0，4)，∴OA＝8，OB＝4.
在Rt△AOB中，由勾股定理，
得AB＝ ＝ ＝4 .
在☉C中，∵PQ是直徑，∴∠POQ＝90°.
∵∠BAO＝∠Q，∴tan Q＝tan∠BAO＝ .
∴ ＝ .∴OQ＝2OP.
∴S△POQ＝ OP·OQ＝ OP·2OP＝OP2.
∴當S△POQ最小時，則OP最小. ∵點P在線段AB上運動，
∴當OP⊥AB時，OP最小. ∴S△AOB＝ ×OA·OB＝ ×AB·OP.
∴OP＝ ＝ ＝ . ∵ sin Q＝ sin ∠BAO，∴ ＝ .
∴ ＝ .∴PQ＝8.
∴☉C半徑為4.
22. 已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，過點(－2，c).
(1)求a，b之間的關系；
(1)解：把點(－2，c)代入拋物線y＝ax2＋bx＋c中，
得4a－2b＋c＝c，∴4a－2b＝0.∴b＝2a.
(2)若c＝－1，拋物線y＝ax2＋bx＋c在－2≤x≤3的最大值為a＋2，求
a的值；
(1)解：把點(－2，c)代入拋物線y＝ax2＋bx＋c中，
得4a－2b＋c＝c，∴4a－2b＝0.∴b＝2a.
(2)解：當c＝－1時，y＝ax2＋bx－1.∵b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax－1＝a(x＋1)2－a－1.
當x＝－1時，y＝－a－1.當x＝－2時，y＝－1.
當x＝3時，y＝15a－1.
分兩種情況：
①當a＞0時，－a－1＜－1＜15a－1，
故拋物線y＝ax2＋bx＋c在－2≤x≤3中最大值為15a－1，
∴15a－1＝a＋2.∴a＝ .
②當a＜0時，15a－1＜－1＜－a－1，
故拋物線y＝ax2＋bx＋c在－2≤x≤3中最大值為－a－1，
∴－a－1＝a＋2.∴a＝－ .綜上，a的值是 或－ .
22. 已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，過點(－2，c).
(3)將拋物線y＝ax2＋bx＋c向右平移a(a＞0)個單位長度，再向上平移1
個單位長度，得到的新拋物線頂點記為點P，若a為任意正實數時，總
有OP≥ ，求c的取值范圍.
(3)解：由(1)，知b＝2a，∴y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2－a＋c.
∴拋物線y＝ax2＋bx＋c向右平移a(a＞0)個單位長度，
再向上平移1個單位長度，
得到的新拋物線為y＝a(x＋1－a)2－a＋c＋1.
∴頂點P的坐標為(a－1，c＋1－a).
∴頂點P在直線y＝－x＋c上.
若a(a＞0)為任意正實數時，OP≥ ，
即點O到直線y＝－x＋c的最小距離為 ，
分兩種情況：
①如圖，當c＞0時，設直線y＝－x＋c交x軸于點N，
交y軸于點M，
過點O作OH⊥MN于點H，則M(0，c)，N(c，0)，
∴OM＝ON＝｜c｜，OH＝MH＝NH. ∴OM＝ OH.
∵OH≥ ，∴OM≥ OH＝2.∴c≥2.
②當c＜0時，同理得c≤－2.綜上，
c的取值范圍是c≥2或c≤－2.(共27張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練11
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. － 的絕對值是(　A　)
A. B. 10 C. － D. －10
2. 下列運算一定正確的是(　D　)
A. (－ab)2＝－a2b2 B. a3·a2＝a6
C. (a3)4＝a7 D. b2＋b2＝2b2
A
D
3. 下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(　A　)
A B C D
A
4. 七個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其俯視圖是(　C　)
A B C D
第4題圖　
C
5. 如圖，AB是☉O的切線，A為切點，連接OA，點C在☉O上，
OC⊥OA，連接BC并延長，交☉O于點D，連接OD. 若∠B＝65°，
則∠DOC的度數為(　B　)
A. 45° B. 50° C. 65° D. 75°
　
第5題圖　
B
6. 方程 ＝ 的解為(　C　)
A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝2 D. x＝－2
7. 為了改善居民生活環境，云寧小區對一塊矩形空地進行綠化，這塊空
地的長比寬多6米，面積為720平方米，設矩形空地的長為x米，根據題
意，所列方程正確的是(　A　)
A. x(x－6)＝720 B. x(x＋6)＝720
C. x(x－6)＝360 D. x(x＋6)＝360
C
A
8. 將10枚黑棋子、5枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除
顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子，則取出的棋子是黑棋
子的概率是(　D　)
A. B. C. D.
D
9. 如圖，AC，BD相交于點O，AB∥DC，M是AB的中點，
MN∥AC，交BD于點N. 若DO∶OB＝1∶2，AC＝12，則MN的長為
(　B　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
　
第9題圖　
B
10. 如圖，一條小船沿直線從A碼頭向B碼頭勻速前進，到達B碼頭后，
停留一段時間，然后原路勻速返回A碼頭.在整個過程中，這條小船與B
碼頭的距離s(單位：m)與所用時間t(單位：min)之間的關系如圖所示，
則這條小船從A碼頭到B碼頭的速度和從B碼頭返回A碼頭的速度分別
為(　D　)
A. 15 m/min，25 m/min
B. 25 m/min，15 m/min
C. 25 m/min，30 m/min
D. 30 m/min，25 m/min
　
D
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 船閘是我國勞動人民智慧的結晶，三峽船閘的“人”字閘門是目前世
界上最大的巨型閘門，重867 000 kg，用科學記數法表示
為 kg.
12. 在函數y＝ 中，自變量x的取值范圍是 .
13. 拋物線y＝－(x＋2)2＋6與y軸的交點坐標是 .
8.67×105　
x≠8　
(0，2)　
14. 一個扇形的圓心角是150°，弧長是 π cm，則扇形的半徑
是 cm.
15. 矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F在矩形ABCD邊
上，連接OF. 若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，則∠AOF＝
.
3　
46°或
106°　
16. 如圖，在正方形ABCD中，點E在CD上，連接AE，BE，F為BE
的中點，連接CF. 若CF＝ ， ＝ ，則AE的長為 　 　.
　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 先化簡，再求代數式(－ )÷ 的值，其中x＝2 cos
45°－1.
解：原式＝［ － ］· ＝ · ＝ ·
＝ .
∵x＝2 cos 45°－1＝2× －1＝ －1，∴原式＝ ＝ .
解：原式＝［ － ］· ＝ ·
＝ · ＝ .
∵x＝2 cos 45°－1＝2× －1＝ －1，∴原式＝ ＝ .
18. 如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB和
線段CD的端點均在小正方形的頂點上.
(1)在方格紙中畫出△ABE，且AB＝BE，∠ABE為鈍角(點E在小正方
形的頂點上)；
(1)解：如圖1所示，△ABE即為所求.
圖1　　　　　圖2
(1)解：如圖1所示，△ABE即為所求.
圖1
18. 如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB和
線段CD的端點均在小正方形的頂點上.
(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長
度后得到線段MN(點C的對應點是點M，點D的對應點是點N)，連接
EN，請直接寫出線段EN的長.
(2)解：如圖2所示，MN，EN即為所求.
EN＝ ＝ .
(2)解：如圖2所示，MN，EN即為所求.
EN＝ ＝ .
圖2
19. 一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東31°
方向上，繼續向東航行10 n mile到達C港，此時測得燈塔B在它北偏西
61°方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離.(結果精確到0.1
n mile)(參考數據： sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，
sin 61°≈0.87， cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80).
解：如圖，過點B作BD⊥AC于點D.
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴BD∥AE∥CF. ∴∠ABD＝31°，∠CBD＝
61°.
∴AD＝BD·tan∠ABD＝BD·tan
31°≈0.6BD，
CD＝BD·tan∠CBD＝BD·tan 61°≈1.8BD.
∵AC＝10 n mile，∴AD＋CD＝0.6BD＋
1.8BD＝10，
解得BD＝ .∴BD≈4.2 n mile.
答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離約為4.2 n mile.
解：如圖，過點B作BD⊥AC于點D.
∵AE⊥AC，CF⊥AC，
∴BD∥AE∥CF. ∴∠ABD＝31°，
∠CBD＝61°.
∴AD＝BD·tan∠ABD＝BD·tan
31°≈0.6BD，
CD＝BD·tan∠CBD＝BD·tan 61°≈1.8BD.
∵AC＝10 n mile，∴AD＋CD＝0.6BD＋1.8BD＝10，
解得BD＝ .∴BD≈4.2 n mile.
答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離約為4.2 n mile.
20. 佳衣服裝廠給某中學用同樣的布料生產A，B兩種不同款式的服裝，
每套A款服裝所用布料的米數相同，每套B款服裝所用布料的米數相同.
若1套A款服裝和2套B款服裝需用布料5米，3套A款服裝和1套B款服裝需
用布料7米.
(1)求每套A款服裝和每套B款服裝需用布料各多少米；
(1)解：設每套A款服裝用布料a米，每套B款服裝需用布料b米.
根據題意，得 解得
答：每套A款服裝用布料1.8米，每套B款服裝需用布料1.6米.
(1)解：設每套A款服裝用布料a米，每套B款服裝需用布料b米.
根據題意，得 解得
答：每套A款服裝用布料1.8米，每套B款服裝需用布料1.6米.
20. 佳衣服裝廠給某中學用同樣的布料生產A，B兩種不同款式的服裝，
每套A款服裝所用布料的米數相同，每套B款服裝所用布料的米數相同.
若1套A款服裝和2套B款服裝需用布料5米，3套A款服裝和1套B款服裝需
用布料7米.
(2)該中學需要A，B兩款服裝共100套，所用布料不超過168米，那么該服
裝廠最少需要生產多少套B款服裝？
(2)解：設服裝廠需要生產x套B款服裝，則生產(100－x)套A款服裝.
根據題意，得1.8(100－x)＋1.6x≤168，解得x≥60.
∵x為正整數，∴x的最小值為60.
答：該服裝廠最少需要生產60套B款服裝.
(2)解：設服裝廠需要生產x套B款服裝，則生產(100－x)套A款服裝.
根據題意，得1.8(100－x)＋1.6x≤168，解得x≥60.
∵x為正整數，∴x的最小值為60.
答：該服裝廠最少需要生產60套B款服裝.
21. 如圖，已知AB是☉O的直徑，BD是☉O的弦，P是☉O外的一點，
PC⊥AB，垂足為C，PC與BD相交于點E，連接PD，且PD＝PE，
延長PD交BA的延長線于點F.
(1)求證：PD是☉O的切線；
(1)證明：如圖，連接OD. ∵PD＝PE，∴∠PED＝
∠PDE.
∵∠PED＝∠BEC，∴∠PDE＝∠BEC.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∵PC⊥AB，∴∠BCP＝90°，則∠B＋∠BEC＝90°.
∴∠ODB＋∠PDE＝90°，即∠ODP＝90°.
∵OD是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線.
(1)證明：如圖，連接OD. ∵PD＝PE，
∴∠PED＝∠PDE.
∵∠PED＝∠BEC，∴∠PDE＝∠BEC.
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.
∵PC⊥AB，∴∠BCP＝90°，則∠B＋∠BEC＝90°.
∴∠ODB＋∠PDE＝90°，即∠ODP＝90°.
∵OD是☉O的半徑，∴PD是☉O的切線.
21. 如圖，已知AB是☉O的直徑，BD是☉O的弦，P是☉O外的一點，
PC⊥AB，垂足為C，PC與BD相交于點E，連接PD，且PD＝PE，
延長PD交BA的延長線于點F.
(2)若DF＝4，PE＝ ， cos ∠PFC＝ ，求BE的長.
(2)解：∵PD＝PE，PE＝ ，∴PD＝ .
∵DF＝4，∴PF＝PD＋DF＝ .
∴在Rt△PFC中， cos ∠PFC＝ ，
∴CF＝PF· cos ∠PFC＝ × ＝6.
∵PD是☉O的切線，∴OD⊥PD，則∠ODF＝90°.
∴在Rt△ODF中，OF＝ ＝ ＝5.
∴OC＝CF－OF＝6－5＝1.
(2)解：∵PD＝PE，PE＝ ，∴PD＝ .
∵DF＝4，∴PF＝PD＋DF＝ .
∴在Rt△PFC中， cos ∠PFC＝ ，
∴CF＝PF· cos ∠PFC＝ × ＝6.
∵PD是☉O的切線，∴OD⊥PD，則∠ODF＝90°.
∴在Rt△ODF中，OF＝ ＝ ＝5.
∴OC＝CF－OF＝6－5＝1.
根據勾股定理，可得OD＝ ＝ ＝3，
PC＝ ＝ .
∴OB＝OD＝3，
∴BC＝OB－OC＝3－1＝2，CE＝PC－PE＝ － ＝1.
∴在Rt△ECB中，根據勾股定理，
可得BE＝ ＝ ＝ .
根據勾股定理，可得OD＝ ＝ ＝3，
PC＝ ＝ .
∴OB＝OD＝3，
∴BC＝OB－OC＝3－1＝2，CE＝PC－PE＝ － ＝1.
∴在Rt△ECB中，根據勾股定理，
可得BE＝ ＝ ＝ .
22. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、
y軸上，且B(4，2)，E為直線AC上一動點，連接OE，過E作
GF⊥OE，交直線BC，直線OA于點F，G，連接OF.
(1)求直線AC的解析式.
(1)解：∵矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，
且B(4，2)，
∴點A(4，0)，點C(0，2).
設直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，代入點A，C坐標，
得 解得
∴直線AC的解析式為y＝－ x＋2.
(1)解：∵矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸上，
且B(4，2)，
∴點A(4，0)，點C(0，2).
設直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，代入點A，C坐標，
得 解得
∴直線AC的解析式為y＝－ x＋2.
22. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、
y軸上，且B(4，2)，E為直線AC上一動點，連接OE，過E作
GF⊥OE，交直線BC，直線OA于點F，G，連接OF.
(2)當E為AC的中點時，求CF的長.
(2)解：∵E為AC的中點，∴CE＝AE.
在矩形OABC中，BC∥OA. ∴∠FCE＝∠GAE.
又∵∠CEF＝∠AEG，∴△CEF≌△AEG(ASA).
∴EF＝EG，CF＝AG.
∵OE⊥FG，∴OE為線段FG的垂直平分線.∴OF＝OG.
設CF＝x，則AG＝x.
∵A(4，0)，∴OA＝4.∴OG＝4－x.∴OF＝4－x.
在Rt△OCF中，根據勾股定理，得22＋x2＝(4－x)2，
解得x＝ .∴CF＝ .
22. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸、
y軸上，且B(4，2)，E為直線AC上一動點，連接OE，過E作
GF⊥OE，交直線BC，直線OA于點F，G，連接OF.
(3)在點E的運動過程中，坐標平面內是否存在點P，使得以P，O，
G，F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不
存在，請說明理由.
(3)解：存在.點P橫坐標為±4或－ 或(－1).
(3)解：存在.點P橫坐標為±4或－ 或(－1).(共35張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練16
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. －｜－3｜的運算結果等于(　B　)
A. 3 B. －3 C. D. －
2. 在如圖所示的幾何體中，其主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的是
(　D　)
A B C D
B
D
3. 下列計算結果正確的是(　A　)
A. 3a＋2a＝5a B. 3a－2a＝1
C. 3a·2a＝6a D. (3a)÷(2a)＝ a
A
4. 將含30°角的直角三角板按如圖所示放置到一組平行線中，若∠1＝
70°，則∠2等于(　C　)
A. 60° B. 50°
第4題圖　　　
C
C. 40° D. 30°
5. 已知x＝1是方程 － ＝3的解，那么實數m的值為(　B　)
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
6. 下列描述一次函數y＝－3x＋4的圖象及性質錯誤的是(　A　)
A. 直線與x軸交點坐標是(0，4) B. y隨x的增大而減小
C. 直線經過第一、二、四象限 D. 當x＜0時，y＞4
B
A
7. 為貫徹落實習近平總書記關于黃河流域生態保護和高質量發展的重要
講話精神，某學校組織七、八兩個年級的學生到黃河岸邊開展植樹造林
活動.已知七年級植樹900棵與八年級植樹1 200棵所用的時間相同，兩個
年級平均每小時共植樹350棵.求七年級平均每小時植樹多少棵？設七年
級平均每小時植樹x棵，則下面所列方程中正確的是(　D　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
8. “敬老愛老”是中華民族的優秀傳統美德.小剛、小強計劃利用暑期
從A，B，C三處養老服務中心中，隨機選擇一處參加志愿服務活動，則
兩人恰好選到同一處的概率是(　B　)
A. B. C. D.
B
9. 如圖，△ABC是☉O的內接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D
是BC邊上一點，連接AD并延長交☉O于點E. 若AD＝2，DE＝3，則
☉O的半徑為(　A　)
A. B. C. 2 D. 3
　
第9題圖　
A
10. 勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數學家趙爽利用“弦
圖”的證明簡明、直觀，是世界公認最巧妙的方法.“趙爽弦圖”已成為
我國古代數學成就的一個重要標志，千百年來倍受人們的喜愛.小亮在如
圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG. 若正方形ABCD與EFGH的
邊長之比為 ∶1，則 sin ∠DGE等于(　A　)
A. B.
　
A
第10題圖
C. D.
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11.25的平方根是 .
12. 如圖，在邊長為1的正方形網格中，右邊的“小魚”圖案是由左邊的
圖案經過一次平移得到的，則平移的距離是 .
第12題圖　　　
±5　
6　
13. 分解因式：2a2－8b2＝ .
14. 如圖，在直線l：y＝x－4上方的雙曲線y＝ (x＞0)上有一個動點
P，過點P作x軸的垂線，交直線l于點Q，連接OP，OQ，則△POQ面
積的最大值是 .
　
第14題圖　
2(a－2b)(a＋2b)　
3　
15. 如圖，小明同學在距離某建筑物6米的點A處測得條幅兩端點B，點
C的仰角分別為60°和30°，則條幅的高度BC為 米(結果可以
保留根號).
　　　
第15題圖
4 　
16. 在矩形ABCD中，M為對角線BD的中點，點N在邊AD上，且AN
＝AB＝1.當以點D，M，N為頂點的三角形是直角三角形時，AD的長
為 .
2或1＋ 　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 如圖，在 ABCD中，E，F分別是邊BC和AD上的點，連接AE，
CF，且AE∥CF.
求證：(1)∠1＝∠2；
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥EC.
又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.
∴∠1＝∠2.
(2)△ABE≌△CDF.
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥EC.
又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.
∴∠1＝∠2.
(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
∵四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝FC，AF＝CE.
∴BE＝FD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SSS).
(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC.
∵四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝FC，AF＝CE.
∴BE＝FD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SSS).
18. 若實數m，n分別滿足下列條件：(1)2(m－1)2－7＝－5；(2)n－3＞
0.試判斷點P(2m－3， )所在的象限.
解：2(m－1)2－7＝－5，2(m－1)2＝－5＋7，(m－1)2＝1，
m－1＝1或m－1＝－1，m1＝2，m2＝0；
n－3＞0，解得n＞3.∴當m＝2，n＞3時，
2m－3＞0， ＞0，點P在第一象限；
當m＝0，n＞3時，2m－3＜0， ＞0，
點P在第二象限.綜上，點P在第一或第二象限.
解：2(m－1)2－7＝－5，2(m－1)2＝－5＋7，(m－1)2＝1，
m－1＝1或m－1＝－1，m1＝2，m2＝0；
n－3＞0，解得n＞3.∴當m＝2，n＞3時，
2m－3＞0， ＞0，點P在第一象限；
當m＝0，n＞3時，2m－3＜0， ＞0，
點P在第二象限.綜上，點P在第一或第二象限.
19. 如圖，直線y＝kx＋b與雙曲線y＝ 相交于點A(2，3)，B(n，1).
(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式；
(1)解：將A(2，3)代入雙曲線y＝ ，∴m＝6.
∴雙曲線對應的函數表達式為y＝ .
將點B(n，1)代入y＝ ，∴n＝6.∴B(6，1).
將A(2，3)，B(6，1)代入y＝kx＋b，
∴ 解得
∴直線對應的函數表達式為y＝－ x＋4.
(1)解：將A(2，3)代入雙曲線y＝ ，∴m＝6.
∴雙曲線對應的函數表達式為y＝ .
將點B(n，1)代入y＝ ，∴n＝6.∴B(6，1).
將A(2，3)，B(6，1)代入y＝kx＋b，
∴ 解得
∴直線對應的函數表達式為y＝－ x＋4.
19. 如圖，直線y＝kx＋b與雙曲線y＝ 相交于點A(2，3)，B(n，1).
(2)將直線AB向下平移至CD處，其中點C(－2，0)，點D在y軸上，連
接AD，BD，求△ABD的面積；
(2)解：∵直線AB向下平移至CD，∴AB∥CD.
設直線CD的函數表達式為y＝－ x＋n，
將點C(－2，0)代入y＝－ x＋n，
∴1＋n＝0，解得n＝－1.
∴直線CD的函數表達式為y＝－ x－1，∴D(0，－1).
如圖，過點D作DG⊥AB于點G.
設直線AB與y軸的交點為H，與x軸的交點為F，
(2)解：∵直線AB向下平移至CD，∴AB∥CD.
設直線CD的函數表達式為y＝－ x＋n，
將點C(－2，0)代入y＝－ x＋n，
∴1＋n＝0，解得n＝－1.
∴直線CD的函數表達式為y＝－ x－1，∴D(0，－1).
如圖，過點D作DG⊥AB于點G.
設直線AB與y軸的交點為H，與x軸的交點為F，
∴H(0，4)，F(8，0).∵∠HFO＋∠OHF＝90°，
∠OHG＋∠HDG＝90°，∴∠HDG＝∠HFO.
∵OH＝4，OF＝8，∴HF＝4 .
∴ cos ∠HFO＝ .∵DH＝5，∴DG＝ DH＝2 .
易知AB＝2 ，∴△ABD的面積＝ ×2 ×2 ＝10.
∴H(0，4)，F(8，0).∵∠HFO＋∠OHF＝90°，
∠OHG＋∠HDG＝90°，∴∠HDG＝∠HFO.
∵OH＝4，OF＝8，∴HF＝4 .
∴ cos ∠HFO＝ .∵DH＝5，∴DG＝ DH＝2 .
易知AB＝2 ，∴△ABD的面積＝ ×2 ×2 ＝10.
19. 如圖，直線y＝kx＋b與雙曲線y＝ 相交于點A(2，3)，B(n，1).
(3)請直接寫出關于x的不等式kx＋b＞ 的解集.
(3)解：2＜x＜6或x＜0.
(3)解：2＜x＜6或x＜0.
20. 某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振
興，決定在“五一”期間對團隊(人數不少于10人)旅游實行門票特價優惠
活動，價格如下表：
購票人數m/人 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人門票價/元 60 50 40
現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其
中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人.
(1)如果兩個團隊分別購票，一共應付5 580元，問甲、乙團隊各有多
少人？
(1)解：設甲團隊有x人，則乙團隊有(102－x)人.
依題意，得60x＋50×(102－x)＝5 580，解得x＝48.
∴102－x＝54.
答：甲團隊有48人，乙團隊有54人.
20. 某古鎮為發展旅游產業，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉村振
興，決定在“五一”期間對團隊(人數不少于10人)旅游實行門票特價優惠
活動，價格如下表：
購票人數m/人 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人門票價/元 60 50 40
現有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮旅游，其
中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人.
(2)如果兩個團隊聯合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購
票節省的費用不少于1 200元，問甲團隊最少多少人？
(2)解：設甲團隊有a人，則乙團隊有(102－a)人.
依題意，得60a＋50×(102－a)－40×102≥1 200.
解得a≥18.∴甲團隊最少18人.
(2)解：設甲團隊有a人，則乙團隊有(102－a)人.
依題意，得60a＋50×(102－a)－40×102≥1 200.
解得a≥18.∴甲團隊最少18人.
21. 已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是射線BC上的動點，將AD
繞點A逆時針方向旋轉60°得到AE，連接DE.
(1)如圖1，猜想△ADE是什么三角形？ ；(直接寫出結果)
等邊三角形　
圖1　　 圖2　　 備用圖
21. 已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是射線BC上的動點，將AD
繞點A逆時針方向旋轉60°得到AE，連接DE.
圖1　　 圖2　　 備用圖
(2)如圖2，點D在射線BC上(點C的右邊)移動時，∠BCE和∠BAC之間
有怎樣的數量關系，請說明理由；
(2)解：結論：∠BCE＝2∠BAC或∠BCE＋∠BAC＝180°.
理由如下：
設AD交CE于點O，由旋轉的性質，
可得∠DAE＝60°，AD＝AE.
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°.∴∠DAE＝∠BAC＝60°.
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠COD＝∠AOE，
∴∠OCD＝∠OAE＝60°.
∵∠BCE＋∠OCD＝180°，∴∠BCE＝180°－∠OCD＝120°.
∵∠BAC＝60°，∴∠BCE＝2∠BAC或∠BCE＋∠BAC＝180°.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠COD＝∠AOE，
∴∠OCD＝∠OAE＝60°.
∵∠BCE＋∠OCD＝180°，∴∠BCE＝180°－∠OCD＝120°.
∵∠BAC＝60°，∴∠BCE＝2∠BAC或∠BCE＋∠BAC＝180°.
21. 已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是射線BC上的動點，將AD
繞點A逆時針方向旋轉60°得到AE，連接DE.
圖1　　 圖2　　 備用圖
(3)當點D在線段CB上移動時，△DEC的周長是否存在最小值？若存
在，請求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.
(3)解：存在.如圖，∵△ABD≌△ACE，∴CE＝BD.
∴△DEC的周長＝DE＋CE＋DC＝BD＋CD＋DE，
當點D在線段BC上時，△DEC的周長＝BC＋DE，
當點D在線段BC的延長線上時，
△DEC的周長＝BD＋CD＋DE≥BC＋DE，
∴當點D在線段BC上，且DE最小時，△DEC的周長最小.
∵△ADE為等邊三角形，∴DE＝AD.
當AD⊥BC時，AD的值最小.
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，AD⊥BC，
∴BD＝2.∴AD＝ ＝ ＝2 .
∵BC＋DE＝4＋2 ，∴△DEC的周長的最小值為4＋2 .
22. 如圖，一條拋物線y＝ax2＋bx經過△OAB的三個頂點，其中O為坐
標原點，點A(3，－3)，點B在第一象限內，對稱軸是直線x＝ ，且
△OAB的面積為18.
(1)求該拋物線對應的函數表達式；
(1)解：∵對稱軸為直線x＝－ ＝ ，∴b＝－ a，①　
將點A(3，－3)代入y＝ax2＋bx，
得9a＋3b＝－3.②　聯立①②，得
∴該拋物線的函數表達式為y＝ x2－3x.
(1)解：∵對稱軸為直線x＝－ ＝ ，∴b＝－ a，①　
將點A(3，－3)代入y＝ax2＋bx，
得9a＋3b＝－3.②　聯立①②，得
∴該拋物線的函數表達式為y＝ x2－3x.
22. 如圖，一條拋物線y＝ax2＋bx經過△OAB的三個頂點，其中O為坐
標原點，點A(3，－3)，點B在第一象限內，對稱軸是直線x＝ ，且
△OAB的面積為18.
(2)求點B的坐標；
(2)解：設B ，
如圖1，過點A作EF⊥y軸交于點E，過點B作BF⊥EF
交于點F，
∴F(m，－3)，E(0，－3)，則OE＝3，AE＝3，
AF＝m－3，BF＝ m2－3m＋3.
∴S△AOB＝ m·( m2－3m＋3＋3)－ ×3×3－ (m－3)·(
m2－3m＋3)＝18.
解得m＝6或－3(舍去).∴B(6，6).
　圖1
(2)解：設B ，
如圖1，過點A作EF⊥y軸交于點E，過點B作BF⊥EF
交于點F，
∴F(m，－3)，E(0，－3)，則OE＝3，AE＝3，
AF＝m－3，BF＝ m2－3m＋3.
∴S△AOB＝ m·( m2－3m＋3＋3)－ ×3×3－ (m－3)·(
m2－3m＋3)＝18.
解得m＝6或－3(舍去).∴B(6，6).
圖1
22. 如圖，一條拋物線y＝ax2＋bx經過△OAB的三個頂點，其中O為坐
標原點，點A(3，－3)，點B在第一象限內，對稱軸是直線x＝ ，且
△OAB的面積為18.
(3)設C為線段AB的中點，P為直線OB上的一個動點，連接AP，CP，
將△ACP沿CP翻折，點A的對應點為A1.問是否存在點P，使得以A1，
P，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，
請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存
在，請說明理由.
(3)解：存在點P，使得以A1，P，C，B為頂點的四邊形
是平行四邊形.
∵A(3，－3)，B(6，6)，∴C(， ).
設直線OB的表達式為y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1.
∴直線OB的表達式為y＝x.
設P(t，t)，如圖2所示，當BP為平行四邊形的對角線
時，BC∥A1P，BC＝A1P，
∵AC＝BC，∴AC＝A1P. 由對稱性，可知AC＝
A1C，AP＝A1P.
　圖3
(3)解：存在點P，使得以A1，P，C，B為頂點的四邊形
是平行四邊形.
∵A(3，－3)，B(6，6)，∴C(， ).
設直線OB的表達式為y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1.
∴直線OB的表達式為y＝x.
設P(t，t)，如圖2所示，當BP為平行四邊形的對角線
時，BC∥A1P，BC＝A1P，
∵AC＝BC，∴AC＝A1P. 由對稱性，可知AC＝
A1C，AP＝A1P.
圖2
∴AP＝AC. ∴ ＝
，
解得t＝± .∴點P的坐標為(， )或(－ ，－ ).
如圖3，當BC為平行四邊形的對角線時，BP∥A1C，
BP＝A1C，
由對稱性可知，AC＝A1C，
　圖3
∴AP＝AC. ∴ ＝
，
解得t＝± .∴點P的坐標為(， )或(－ ，－ ).
如圖3，當BC為平行四邊形的對角線時，BP∥A1C，
BP＝A1C，
由對稱性可知，AC＝A1C，
圖3
∴BP＝AC. ∴ ＝
.
解得t＝ ＋6或t＝－ ＋6.
∴點P的坐標為(＋6， ＋6)或(－ ＋6，－ ＋6).
綜上所述，點P的坐標為(， )或(－ ，－ )或(＋6， ＋6)或
(－ ＋6，－ ＋6).
(－ ＋6，－ ＋6).(共34張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練13
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. －2的絕對值是(　A　)
A. 2 B. C. － D. －2
2. 如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若∠1＝68°，
則∠2的度數是(　C　)
A. 30° B. 32°
第2題圖　　　　
A
C
C. 22° D. 68°
3. 下列運算正確的是(　D　)
A. 3＋ ＝3 B. (a2)3＝a5
C. ＝－7 D. 4a2·a＝4a3
D
4. 如圖是某幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　C　)
A B C D
第4題圖　
C
5. 若代數式 在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是(　B　)
A. x≤2 B. x＞2 C. x≥2 D. x＜2
6. 在同一直角坐標系中，函數y＝－kx＋k與y＝ (k≠0)的大致圖象可
能為(　D　)
A B C D
B
D
7. 如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC
于點M，N. 若AM＝1，BN＝2，則BD的長為(　A　)
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
　　
第7題圖
A
8. 如圖所示的兩張圖片形狀大小完全相同，把兩張圖片全部從中間剪
斷，再把四張形狀大小相同的小圖片混合在一起.從四張圖片中隨機摸取
一張，不放回，接著再隨機摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完
整圖片的概率是(　B　)
A. B. C. D.
第8題圖　
B
9. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AC＝4 ，點P
為AC邊上的中點，PM交AB的延長線于點M，PN交BC的延長線于點
N，且PM⊥PN. 若BM＝1，則△PMN的面積為(　D　)
A. 13 B. C. 8 D.
　
第9題圖
D
10. 關于x的二次函數y＝mx2－6mx－5(m≠0)的結論：
①對于任意實數a，都有x1＝3＋a對應的函數值與x2＝3－a對應的函數
值相等；②若圖象過點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，點C(2，－13)，則當
x1＞x2＞ 時， ＜0；③若3≤x≤6，對應的y的整數值有4個，則－
＜m≤－ 或 ≤m＜ ；④當m＞0且n≤x≤3時，－14≤y≤n2＋1，
則n＝1.
其中正確的結論有(　B　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
B
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 分解因式：2b3－4b2＋2b＝ .
12. 圓錐的高為2 ，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖(扇
形)的圓心角是 度，該圓錐的側面積是 (結果用含π的式子
表示).
2b(b－1)2　
120　
3π　
13. 某乳業公司要出口一批規格為500克/罐的奶粉，現有甲、乙兩個廠家
提供貨源，它們的價格相同，品質也相近.質檢員從兩廠的產品中各隨機
抽取15罐進行檢測，測得它們的平均質量均為500克，質量的折線統計圖
如圖所示.觀察圖形，甲、乙兩個廠家分別提供的15罐奶粉質量的方差
.(填“＞”“＜”或“＝”)
＜ 　
第13題圖　　　
14. 如圖，△ABC內接于☉O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，連
接AD，BD. 若AB＝5，AC＝4，則BD＝ 　 　，CD＝ 　 　.
　　 第14題圖　　
　
　
15. 甲、乙兩船從相距150 km的A，B兩地同時勻速沿江出發相向而
行，甲船從A地順流航行90 km時與從B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙
兩船在靜水中的航速均為30 km/h，則江水的流速為 km/h.
6　
16. 如圖，正方形ABCD的邊長為2 ，點E是CD的中點，BE與AC交
于點M，F是AD上一點，連接BF分別交AC，AE于點G，H，且
BF⊥AE，連接MH，則AH＝ ，MH＝ .
　
第16題圖
2　
　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 計算： ＋()－1－ ＋ cos 30°.
解： ＋()－1－ ＋ cos 30°
＝3－ ＋2－2 ＋ ×
＝5－3 ＋
＝ －3 .
解： ＋()－1－ ＋ cos 30°
＝3－ ＋2－2 ＋ ×
＝5－3 ＋
＝ －3 .
18. 如圖所示，小明上學途中要經過A，B兩地，由于A，B兩地之間有
一片草坪，所以需要走路線AC，CB. 小明想知道A，B兩地間的距
離，測得AC＝50 m，∠A＝45°，∠B＝40°，請幫小明求出兩地間距
離AB的長.(結果用含非特殊角的三角函數和根式表示即可)
解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H. 在Rt△ACH中，
∠A＝45°，AC＝50 m，
∴AH＝AC· cos A＝50× ＝25 (m)，
CH＝AC· sin A＝50× ＝25 (m).
在Rt△BCH中，∠B＝40°，CH＝25 m，
∴BH＝ ＝ .
∴AB＝AH＋BH＝(25 ＋ )m.
∴兩地間距離AB的長為(25 ＋ )m.
解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H. 在Rt△ACH中，
∠A＝45°，AC＝50 m，
∴AH＝AC· cos A＝50× ＝25 (m)，
CH＝AC· sin A＝50× ＝25 (m).
在Rt△BCH中，∠B＝40°，CH＝25 m，
∴BH＝ ＝ .
∴AB＝AH＋BH＝(25 ＋ )m.
∴兩地間距離AB的長為(25 ＋ )m.
19. 我國古詩詞源遠流長.某校以“賞詩詞之美、尋文化之根、鑄民族之
魂”為主題，組織學生開展了古詩詞知識競賽活動.為了解學生對古詩詞
的掌握情況，該校隨機抽取了部分學生的競賽成績，將成績分為A，B，
C，D四個等級，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖：
抽樣成績等級的條形統計圖
抽樣成績等級的扇形統計圖
(1)本次共抽取了 名學生的競賽成績，并補全條形統計圖；
(1)解：由圖，可得80÷20％＝400(名)，
∴D等級的人數為400－120－160－80＝40(名)，
補全條形統計圖如下所示：
抽樣成績等級的條形統計圖
(2)若該校共有2 000人參加本次競賽活動，估計競賽成績為B等級的學生
人數；
400　
(1)解：由圖，可得80÷20％＝400(名)，
∴D等級的人數為400－120－160－80＝40(名)，
補全條形統計圖如下所示：
抽樣成績等級的條形統計圖
(2)解：2 000× ＝800(名).
(2)解：2 000× ＝800(名).
(3)學校在競賽成績為A等級中的甲、乙、丙、丁這4名學生里，隨機選取
2人參加經典誦讀活動，用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙兩人中恰好有1
人被選中的概率.
答：估計競賽成績為B等級的學生人數為800名.
答：估計競賽成績為B等級的學生人數為800名.
(3)解：畫樹狀圖如上.由圖可知，共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩
人中恰好有1人被選中有8種等可能的結果，
∴甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率為 ＝ .
(3)解：畫樹狀圖如上.由圖可知，共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩
人中恰好有1人被選中有8種等可能的結果，
∴甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率為 ＝ .
20. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC，BD交于點O，DE平
分∠ADB交AC于點E，BF平分∠CBD交AC于點F，連接BE，DF.
(1)求證：∠1＝∠2；
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD＝OB，∠ADO＝∠CBO.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ODE＝ ∠ADO，∠OBF＝ ∠CBO.
∴∠ODE＝∠OBF. ∴DE∥BF.
∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF(ASA).∴DE＝BF.
∴四邊形DEBF是平行四邊形.∴BE∥DF. ∴∠1＝∠2.
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD＝OB，∠ADO＝∠CBO.
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ODE＝ ∠ADO，∠OBF＝ ∠CBO.
∴∠ODE＝∠OBF. ∴DE∥BF.
∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF(ASA).∴DE＝BF.
∴四邊形DEBF是平行四邊形.∴BE∥DF. ∴∠1＝∠2.
20. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC，BD交于點O，DE平
分∠ADB交AC于點E，BF平分∠CBD交AC于點F，連接BE，DF.
(2)若四邊形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四邊形BEDF
的面積.
(2)解：由(1)，知△ODE≌△OBF(ASA)，∴OE＝OF.
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥EF，OD＝OB.
又∵由(1)知，四邊形DEBF是平行四邊形，
∴四邊形DEBF的菱形.
∵AD∥BC，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°.
∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形.∴BD＝AB＝2，
∠ADO＝60°.∴OD＝ BD＝1.
∵∠ODE＝ ∠ADO＝30°，∴OE＝ OD＝ .
∴EF＝2OE＝ .
(2)解：由(1)，知△ODE≌△OBF(ASA)，∴OE＝OF.
∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥EF，OD＝OB.
又∵由(1)知，四邊形DEBF是平行四邊形，
∴四邊形DEBF的菱形.
∵AD∥BC，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°.
∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形.∴BD＝AB＝2，
∠ADO＝60°.∴OD＝ BD＝1.
∵∠ODE＝ ∠ADO＝30°，∴OE＝ OD＝ .
∴EF＝2OE＝ .
∴四邊形BEDF的面積＝ BD·EF＝ ×2× ＝ .
∴四邊形BEDF的面積＝ BD·EF＝ ×2× ＝ .
21. 學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發展，計
劃組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動.到達農場后分組進
行勞動，若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師
帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生.勞動實踐結束后，學校在租車
總費用2 300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名
老師.現有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示：
(1)參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？
(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1
名老師，則共需租車 輛；
6　
(1)解：設參加本次實踐活動的老師有x名.由題意，
得38x＋6＝40x－6，解得x＝6，
∴38x＋6＝38×6＋6＝234.
答：參加本次實踐活動的老師有6名，學生有234名.
21. 學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發展，計
劃組織八年級學生到“開心”農場開展勞動實踐活動.到達農場后分組進
行勞動，若每位老師帶38名學生，則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師
帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生.勞動實踐結束后，學校在租車
總費用2 300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名
老師.現有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示：
(3)學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？
甲型客車 乙型客車
載客量/(人/輛) 45 30
租金/(元/輛) 400 280
(3)解：設租用甲客車a輛，則租用乙客車(6－a)輛.由題意，
得
解得4≤a≤5 .∵a為整數，∴a＝4或a＝5.
方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；
方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛.
設租車費用為y元，y＝400a＋280(6－a)＝120a＋1 680.
∵120＞0，∴y隨a的增大而增大.
∴當a＝4時，y最小，y＝120×4＋1 680＝2 160.
綜上：學校共有兩套租車方案，最少租車費用是2 160元.
(3)解：設租用甲客車a輛，則租用乙客車(6－a)輛.由題意，
得
解得4≤a≤5 .∵a為整數，∴a＝4或a＝5.
方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；
方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛.
設租車費用為y元，y＝400a＋280(6－a)＝120a＋1 680.
∵120＞0，∴y隨a的增大而增大.
∴當a＝4時，y最小，y＝120×4＋1 680＝2 160.
綜上：學校共有兩套租車方案，最少租車費用是2 160元.
22. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC
為直徑作☉O，與AB邊交于點D，M為邊BC的中點，連接DM.
(1)求證：DM是☉O的切線；
(1)證明：如圖1，連接OD，CD.
∵AC是☉O的直徑，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝180°－∠ADC＝90°.
∵M為邊BC的中點，
∴MC＝MD. ∴∠MDC＝∠MCD.
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠ACB＝90°，即∠MCD＋∠OCD＝90°.
(1)證明：如圖1，連接OD，CD.
∵AC是☉O的直徑，∴∠ADC＝90°.
∴∠BDC＝180°－∠ADC＝90°.
∵M為邊BC的中點，
∴MC＝MD. ∴∠MDC＝∠MCD.
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠ACB＝90°，即∠MCD＋∠OCD＝90°.
圖1　
∴∠MDC＋∠ODC＝∠MCD＋∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°.∴DM⊥OD.
∵OD是☉O的半徑，∴DM是☉O的切線.
圖1　　　圖2
∴∠MDC＋∠ODC＝∠MCD＋∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°.∴DM⊥OD.
∵OD是☉O的半徑，∴DM是☉O的切線.
圖1　　　圖2
22. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC
為直徑作☉O，與AB邊交于點D，M為邊BC的中點，連接DM.
(2)點P為直線BC上任意一動點，連接AP交☉O于點Q，連接CQ.
①當tan∠BAP＝ 時，求BP的長；②求 的最大值.
(2)①解：當點P在線段BC上時，
如圖2，過點P作PT⊥AB于點T.
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝10.
設PT＝x，∵tan∠BAP＝ ，
∴ ＝ .∴AT＝3PT＝3x.
∴BT＝AB－AT＝10－3x.
∵tan∠ABC＝ ＝ ，∴ ＝ .
解得x＝ .∴PT＝ .
(2)①解：當點P在線段BC上時，
如圖2，過點P作PT⊥AB于點T.
在Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝10.
設PT＝x，∵tan∠BAP＝ ，
∴ ＝ .∴AT＝3PT＝3x.
∴BT＝AB－AT＝10－3x.
∵tan∠ABC＝ ＝ ，∴ ＝ .
解得x＝ .∴PT＝ .
圖2　
∵ sin ∠ABC＝ ＝ ，即 ＝ .
∴BP＝ .
當點P在CB的延長線上時，
如圖3，過點B作BK⊥AP于點K.
∵tan∠BAP＝ ，∴ ＝ .
設BK＝a，則AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2＋BK2＝AB2，
即(3a)2＋a2＝102，
∵ sin ∠ABC＝ ＝ ，即 ＝ .
∴BP＝ .
當點P在CB的延長線上時，
如圖3，過點B作BK⊥AP于點K.
∵tan∠BAP＝ ，∴ ＝ .
設BK＝a，則AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2＋BK2＝AB2，
即(3a)2＋a2＝102，
解得a1＝ ，a2＝－ (舍去).
∴AK＝3 ，BK＝ .
圖3　
∵S△ABP＝ AP·BK＝ BP·AC，
∴ ＝ ＝ .
設BP＝m，則AP＝ m.
在Rt△ACP中，AC2＋CP2＝AP2，
即82＋(m＋6)2＝( m)2.
解得m1＝ ，m2＝－ (舍去).∴BP＝ .
綜上所述，BP的長為 或 .
②解：設CP＝n，則AP＝ ＝ ，
如圖4，∵AC是☉O的直徑，∴CQ⊥AP.
∵CQ·AP＝AC·CP，
∴CQ＝ ＝ .∴ ＝ .
∵n＞0，∴(n－8)2≥0.∴64＋n2≥16n.
∴ ＝ ≤ ＝ .
∴ 的最大值為 .
∴ ＝ ≤ ＝ .
∴ 的最大值為 .
圖4　(共25張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練8
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 計算：－12＝(　B　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2. 下列所述圖形中，是中心對稱圖形的是(　B　)
A. 直角三角形 B. 平行四邊形
C. 正五邊形 D. 正三角形
B
B
3. 為了慶祝中國共產黨成立103周年，某校舉辦了黨史知識競賽活動，
在獲得一等獎的學生中，有3名女學生，1名男學生，則從這4名學生中隨
機抽取2名學生，恰好抽到2名女學生的概率為(　B　)
A. B. C. D.
B
4. 若5k＋20＜0，則關于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情況是
(　A　)
A. 沒有實數根 B. 有兩個相等的實數根
C. 有兩個不相等的實數根 D. 無法判斷
A
5. 如圖，菱形ABCO的頂點O為☉O的圓心，頂點A，B，C均在圓周
上，則∠A的度數是(　C　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
6. 如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(4，3)，那么 cos α的值是
(　D　)
A. B. C. D.
C
D
第5題圖　　　 第6題圖　　　
7. 設6－ 的整數部分為a，小數部分為b，則(2a＋ )b的值是
(　A　)
A. 6 B. 2 C. 12 D. 9
A
8. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，
BD⊥CE于點D，過點A作AF⊥CE交CE延長線于點F. 下列結論不一
定成立的是(　D　)
A. ∠BAC＝∠DBC B. tan∠ECB＝
C. AF＝BD D. CE＝CB
　 第8題圖　
D
9. 已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)中的x與y的
部分對應值如下表所示：
x … －1 0 3 …
y … n －3 －3 …
當n＞0時，下列結論正確的是(　D　)
D
A. bc＜0
B. 當x＞2時，y的值隨x的增大而減小
C. 點A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上兩點，x1＜x2，當x1＋x2＜3時，
y1＜y2
D. 當n＝1時，關于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的解是x1＝－
1，x2＝3
10. 如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓上， ＝ ，連接
OC，CA，OD，過點B作EB⊥AB，交OD的延長線于點E. 設△OAC
的面積為S1，△OBE的面積為S2，若 ＝ ，則tan∠ACO的值為
(　A　)
A. B. C. D.
　
A
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 一次函數y＝(m＋2)x＋1，若y隨x的增大而增大，則m的取值范圍
是 .
12. 已知α，β是方程x2－2 023x－1＝0的兩個根，則α2－2 022α＋β＝
.
13. 若兩個相似三角形的周長比為2∶3，則它們的面積比是 .
m＞－2　
2024　
4∶9　
14. 如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO為平行四邊形，O(0，0)，
A(3，1)，B(1，2)，反比例函數y＝ (k≠0)的圖象經過 OABC的
頂點C，則k＝ .
15. 如圖，從一塊半徑為1 m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇
形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑
為 m.
第14題圖　　　　第15題圖　　
－2　
　
16. 如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于點E，EF⊥CE
交AD于點F，以CE，EF為邊，作矩形CEFG，FG與DC相交于點H.
則下列結論：
①AE＝BC；②若AE＝4，CH＝5，則CE＝2 ；③EF＝AE＋
DH；④當F是AD的中點時，S四邊形ABCD∶S四邊形CEFG＝6∶5.
其中正確的結論是 (填寫所有正確結論的序號).
　　
①②④　
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求證：AB＝AD.
證明：∵∠3＝∠4，∴180°－∠3＝180°－∠4，
即∠ACB＝∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
∴△ACB≌△ACD(ASA).∴AB＝AD.
證明：∵∠3＝∠4，∴180°－∠3＝180°－∠4，
即∠ACB＝∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
∴△ACB≌△ACD(ASA).∴AB＝AD.
18. 已知A＝(a－ )÷ .
(1)化簡A；
(1)解：A＝(a－ )÷ ＝ ÷
＝ · ＝ .
(2)若點P(a，b)是直線y＝x－3與反比例y＝ 的圖象的交點，求A的
值.
(1)解：A＝(a－ )÷ ＝ ÷
＝ · ＝ .
(2)解：∵點P(a，b)是直線y＝x－3與反比例y＝ 的圖象的交點，
∴將點P(a，b)分別代入，得
∴ ∴A＝ ＝ .
19. 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x＋2的圖象與反比例函
數y＝ (x＞0)的圖象相交于點A(a，4)，與x軸、y軸分別交于點B，C.
過點A作AD⊥x軸，垂足為D.
(1)求反比例函數y＝ 的表達式；
(1)解：把點A(a，4)代入一次函數表達式，得4＝a＋2，
解得a＝2，
∴點A為(2，4)，把點A(2，4)代入反比例函數y＝
(x＞0)，
得k＝8.
∴反比例函數y＝ 的表達式為y＝ .
19. 如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x＋2的圖象與反比例函
數y＝ (x＞0)的圖象相交于點A(a，4)，與x軸、y軸分別交于點B，C.
過點A作AD⊥x軸，垂足為D.
(2)點P為反比例函數y＝ (x＞0)圖象上的一點，且位于點A的右側，從
條件①或者條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件，求點P的坐標.
條件①：PA＝PD；條件②：△ABD面積是△PBD面積的2倍.
注明：如果選擇條件①與條件②分別作答，按第一個解答計分.
　　　　圖2
(2)解：選擇條件①：如圖1，連接PA，PD，
設點P坐標為(x，y)，由(1)，知點A(2，4)，點D(2，0).
∵PA＝PD，∴
，
解得y＝2.
∵點P在y＝ 上，∴x＝4.∴點P的坐標為(4，2).
選擇條件②：如圖2，連接PB，PD，設點P坐標為
(x，y)，
由(1)，知點A(2，4)，點D(2，0).
∵一次函數y＝x＋2的圖象與x軸交于點B，
∴點B的坐標為(－2，0).
圖1
圖2
∴BD＝4，AD＝4.∴S△ABD＝ ×BD·AD＝
×4×4＝8.
∵△ABD面積是△PBD面積的2倍，
∴S△PBD＝4＝ ×BD·y，即4＝ ×4·y，解得y＝2.
∵點P在y＝ 上，∴x＝4.∴點P的坐標為(4，2).
20. 某公司購買了一批A，B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單
價少9元，已知該公司用3 120元購買A型芯片的條數與用4 200元購買B型
芯片的條數相等.
(1)求該公司購買的A，B型芯片的單價各是多少元？
(1)解：設B型芯片的單價為x元/條，則A型芯片的單價
為(x－9)元/條.
根據題意，得 ＝ ，解得x＝35.
經檢驗，x＝35是原方程的解，且符合題意，∴x－9＝26.
答：A型芯片的單價為26元/條，B型芯片的單價為35元/條.
(1)解：設B型芯片的單價為x元/條，則A型芯片的單價
為(x－9)元/條.
根據題意，得 ＝ ，解得x＝35.
經檢驗，x＝35是原方程的解，且符合題意，∴x－9＝26.
答：A型芯片的單價為26元/條，B型芯片的單價為35元/條.
20. 某公司購買了一批A，B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單
價少9元，已知該公司用3 120元購買A型芯片的條數與用4 200元購買B型
芯片的條數相等.
(2)若兩種芯片共購買了200條，且購買的總費用為6 280元，求購買了多
少條A型芯片？
(2)解：設購買a條A型芯片，則購買(200－a)條B型芯片.
根據題意，得26a＋35(200－a)＝6 280，解得a＝80.
答：購買了80條A型芯片.
(2)解：設購買a條A型芯片，則購買(200－a)條B型芯片.
根據題意，得26a＋35(200－a)＝6 280，解得a＝80.
答：購買了80條A型芯片.
21. 如圖，在△ABC中，以BC為直徑的☉O交AC于點E.
(1)尺規作圖：過點E作EF⊥AB于點F，交CB的延長線于點G；
(1)解：作圖如圖1所示.
圖1　　　圖2
(2)若∠ABG＝2∠C， sin ∠EGC＝ ，☉O的半徑是3.
①求證：EG是☉O的切線；
②求AF的長.
(1)解：作圖如圖1所示.
圖1
(2)①證明：如圖2，連接BE，OE. ∵∠ABG是△ABC的
外角，∴∠ABG＝∠A＋∠C.
∵∠ABG＝2∠C，∴∠A＝∠C. ∴AB＝CB.
∵BC為☉O的直徑，∴∠BEC＝90°.∴AE＝CE.
∵OB＝OC，∴OE是△ABC的中位線.∴OE∥AB.
∵EG⊥AB，∴EG⊥OE. ∵OE為☉O的半徑，
∴EG是☉O的切線.
②解：由①，知EG⊥OE，∴∠OEG＝90°.
在Rt△OEG中，OE＝3， sin ∠EGC＝ ＝ ，∴OG＝
5.
(2)①證明：如圖2，連接BE，OE. ∵∠ABG是△ABC的
外角，∴∠ABG＝∠A＋∠C.
∵∠ABG＝2∠C，∴∠A＝∠C. ∴AB＝CB.
∵BC為☉O的直徑，∴∠BEC＝90°.∴AE＝CE.
∵OB＝OC，∴OE是△ABC的中位線.∴OE∥AB.
∵EG⊥AB，∴EG⊥OE. ∵OE為☉O的半徑，
∴EG是☉O的切線.
②解：由①，知EG⊥OE，∴∠OEG＝90°.
在Rt△OEG中，OE＝3， sin ∠EGC＝ ＝ ，∴OG＝5.
圖2
∵OB＝3，∴BG＝2.由①，知OE∥AB，∴△BFG∽△OEG.
∴ ＝ .∴ ＝ .∴BF＝ .
∵☉O的半徑是3，∴BC＝6.∴AB＝BC＝6.
∴AF＝AB－BF＝ .
∵OB＝3，∴BG＝2.由①，知OE∥AB，∴△BFG∽△OEG.
∴ ＝ .∴ ＝ .∴BF＝ .
∵☉O的半徑是3，∴BC＝6.∴AB＝BC＝6.
∴AF＝AB－BF＝ .
22. 已知拋物線G：y＝mx2－2mx－3有最低點.
(1)求二次函數y＝mx2－2mx－3的最小值(用含m的式子表示)；
(1)解：∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，拋物線有最低點，
∴二次函數y＝mx2－2mx－3的最小值為－m－3.
(2)將拋物線G向右平移m個單位長度得到拋物線G1.經過探究發現，隨
著m的變化，拋物線G1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數關
系，求這個函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(1)解：∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，拋物線有最低點，
∴二次函數y＝mx2－2mx－3的最小值為－m－3.
(2)解：∵拋物線G：y＝m(x－1)2－m－3，
∴平移后的拋物線G1：y＝m(x－1－m)2－m－3.
∴拋物線G1的頂點坐標為(m＋1，－m－3).
∴x＝m＋1，y＝－m－3.
∴x＋y＝m＋1－m－3＝－2，即x＋y＝－2，
變形得y＝－x－2.∵m＞0，m＝x－1，∴x－1＞0.∴x
＞1.
∴y與x的函數關系式為y＝－x－2(x＞1).
(2)解：∵拋物線G：y＝m(x－1)2－m－3，
∴平移后的拋物線G1：y＝m(x－1－m)2－m－3.
∴拋物線G1的頂點坐標為(m＋1，－m－3).
∴x＝m＋1，y＝－m－3.
∴x＋y＝m＋1－m－3＝－2，即x＋y＝－2，
變形得y＝－x－2.∵m＞0，m＝x－1，∴x－1＞0.∴x＞1.
∴y與x的函數關系式為y＝－x－2(x＞1).
(3)記(2)所求的函數為H，拋物線G與函數H的圖象交于點P，結合圖
象，求點P的縱坐標的取值范圍.
(3)解：如圖，函數H：y＝－x－2(x＞1)圖象為射線，
當x＝1時，y＝－1－2＝－3；當x＝2時，y＝－2－2＝－4.
∴函數H的圖象恒過點B(2，－4).
∵拋物線G：y＝m(x－1)2－m－3，x＝1時，y＝－m－3；
x＝2時，y＝m－m－3＝－3，
∴拋物線G恒過點A(2，－3).
由圖象可知，若拋物線與函數H的圖象有交點P，則yB＜yP＜yA，
∴點P縱坐標的取值范圍為－4＜yP＜－3.
(3)解：如圖，函數H：y＝－x－2(x＞1)圖象為射線，
當x＝1時，y＝－1－2＝－3；當x＝2時，y＝－2－2＝－4.
∴函數H的圖象恒過點B(2，－4).
∵拋物線G：y＝m(x－1)2－m－3，x＝1時，y＝－m－3；
x＝2時，y＝m－m－3＝－3，
∴拋物線G恒過點A(2，－3).
由圖象可知，若拋物線與函數H的圖象有交點P，則yB＜yP＜yA，
∴點P縱坐標的取值范圍為－4＜yP＜－3.(共37張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練14
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 下列各式計算結果為a5的是(　C　)
A. (a3)2 B. a10÷a2 C. a4·a D. (－1)－1a5
2. 關于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在數軸上的表示如圖所示，
則m的值為(　B　)
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
第2題圖　　
C
B
3. 定義新運算“ ”，規定：a b＝a2－｜b｜，則(－2) (－1)的運
算結果為(　D　)
A. －5 B. －3 C. 5 D. 3
D
4. 如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直
線b上，且CA＝CB. 若∠1＝32°，則∠2的度數為(　C　)
A. 32° B. 58° C. 74° D. 75°
　
第4題圖　　
C
5. 幾個大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方
形中數字表示對應位置小正方體的個數，該幾何體的主視圖是(　D　)
A B C D
　
D
第5題圖　
6. 從1，2，3這三個數中隨機抽取兩個不同的數，分別記作m和n.若點
A的坐標記作(m，n)，則點A在雙曲線y＝ 上的概率是(　A　)
A. B. C. D.
A
7. 如圖是源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形
與一個小正方形拼成的一個大正方形.若小正方形的面積為1，大正方形
的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則 cos α的值為(　D　)
A. B. C. D.
　　
第7題圖
D
8. 在平面直角坐標系中，將正比例函數y＝－2x的圖象向右平移3個單
位長度得到一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象，則該一次函數的解析式為
(　B　)
A. y＝－2x＋3 B. y＝－2x＋6
C. y＝－2x－3 D. y＝－2x－6
B
9. 如圖，☉O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，垂足分別為D，E，F，連接DE，EF，FD. 若DE＋DF
＝6.5，△ABC的周長為21，則EF的長為(　B　)
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
第9題圖　　　
B
10. 如圖，在平面直角坐標系中，△OAB三個頂點的坐標分別為O(0，
0)，A(2 ，0)，B(，1)，△OA'B與△OAB關于直線OB對稱，反
比例函數y＝ (k＞0，x＞0)的圖象與A'B交于點C. 若A'C＝BC，則k
的值為(　A　)
A. 2 B. C. D.
　
A
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 若a，b為兩個連續整數，且a＜ ＜b，則a＋b＝ .
12. 若x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＝0的兩個實數根，則
＝ .
3　
－ 　
13. 如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，以點
B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中
陰影部分的面積為 .
第13題圖　　　
14. 已知二次函數y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若點P(m，3)在該函數的圖
象上，且m≠0，則m的值為 .
π　
2　
15. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，將△ABC
繞點A逆時針方向旋轉90°，得到△AB'C'.連接BB'，交AC于點D，則
的值為 .
第15題圖　　
5　
16. 如圖，AC，AD，CE是正五邊形ABCDE的對角線，AD與CE相交
于點F. 下列結論：
①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四邊形ABCF是菱形；④AB2＝
AD·EF.
其中正確的結論是 (填寫所有正確結論的序號).
　
第16題圖
①③④　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 解方程： ＝5＋ .
解：方程兩邊都乘(x－1)，得3＝5(x－1)－3x.解得x＝4.
檢驗：將x＝4代入x－1＝4－1＝3≠0，
∴x＝4是原方程的根.
解：方程兩邊都乘(x－1)，得3＝5(x－1)－3x.解得x＝4.
檢驗：將x＝4代入x－1＝4－1＝3≠0，
∴x＝4是原方程的根.
18. 在推進碳達峰、碳中和進程中，我國新能源汽車產銷兩旺，連續8年
保持全球第一.如圖為我國某自主品牌車企2022年下半年新能源汽車的月
銷量統計圖.
請根據所給信息，解答下列問題：
(1)通過計算判斷該車企2022年下半年新能源汽車的
月均銷量是否超過20萬輛；
(1)解： ＝
＝
20.05(萬輛).
∵20.05＞20，
∴該車企2022年下半年新能源汽車的
月均銷量超過20萬輛.
18. 在推進碳達峰、碳中和進程中，我國新能源汽車產銷兩旺，連續8年
保持全球第一.如圖為我國某自主品牌車企2022年下半年新能源汽車的月
銷量統計圖.
請根據所給信息，解答下列問題：
(2)通過分析數據說明該車企2022年下半年月銷量的特點
(寫出一條即可)，并提出一條增加月銷量的合理化建議.
(2)解：2022年下半年新能源汽車
月銷量的特點：月銷量呈遞增趨
勢；12月的銷量最大；
有三個月的銷量超過了20萬輛；中
位數為20.5萬輛；月均銷量超過20
萬輛等.
建議：充分了解客戶需求，及時處
理客戶反饋，提供優質的售后服務.
19. 為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活
動.如圖，點A為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為點B和點C，行
進路線為A→B→C→A. 點B在點A的南偏東25°方向3 km處，點C
在點A的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為
45°.
(1)求行進路線BC和CA所在直線的
夾角∠BCA的度數；
(1)解：根據題意，得∠NAC＝80°，∠SAB＝25°，
∠ABC＝45°，AB＝3 .∵∠NAS＝180°，
∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠SAB＝180°－80°－25°＝75°.
∵在△ABC中，∠CAB＋∠ABC＋∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°－75°－45°＝60°.
19. 為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活
動.如圖，點A為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為點B和點C，行
進路線為A→B→C→A. 點B在點A的南偏東25°方向3 km處，點C
在點A的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為
45°.
(2)求檢查點B和C之間的距離(結
果保留根號).
(2)解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝∠ABD＝ 45°.
∴AD＝BD.
在Rt△ABD中，∵ sin ∠ABD＝ ，
∴AD＝3 × ＝3(km).∴BD＝AD＝3 km.
在Rt△ACD中，∵tan∠BCA＝ ，∴CD＝ ＝ (km).
∴BC＝BD＋CD＝(3＋ )km.
∴檢查點B和C之間的距離為(3＋ )km.
20. 隨著科技的發展，掃地機器人已廣泛應用于生活中.某公司推出一款
新型掃地機器人，經統計該產品2022年每個月的銷售情況發現，每臺的
銷售價格隨銷售月份的變化而變化.設該產品2022年第x(x為整數)個月每
臺的銷售價格為y(單位：元)，y與x的函數關系如圖所示(圖中ABC為一
折線).
(1)當1≤x≤10時，求每臺的銷售價格y與x之間的函數關系式；
(1)解：當1≤x≤10時，設每臺的銷售價格y與x之間的函數關系式為y
＝kx＋b(k≠0).
∵圖象過A(1，2 850)，B(10，1 500)兩點，
∴ 解得
∴當1≤x≤10時，每臺的銷售價格y與x之間的函數關系式為y＝－150x
＋3 000.
20. 隨著科技的發展，掃地機器人已廣泛應用于生活中.某公司推出一款
新型掃地機器人，經統計該產品2022年每個月的銷售情況發現，每臺的
銷售價格隨銷售月份的變化而變化.設該產品2022年第x(x為整數)個月每
臺的銷售價格為y(單位：元)，y與x的函數關系如圖所示(圖中ABC為一
折線).
(2)設該產品2022年第x個月的銷售數量為m(單位：萬臺)，m與x的關系
可以用m＝ x＋1來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬
元？(銷售收入＝每臺的銷售價格×銷售數量)
(2)解：設銷售收入為w萬元.
①當1≤x≤10時，
w＝(－150x＋3 000)( x＋1)＝－15(x－5)2＋3 375.
∵－15＜0，∴當x＝5時，w最大＝3 375.
②當10＜x≤12時，w＝1 500 ＝150x＋1 500.
∵150＞0，∴w隨x的增大而增大.∴當x＝12時，w最大＝3 300.
∵3 375＞3 300，∴第5個月的銷售收入最多，最多為3 375.
(2)解：設銷售收入為w萬元.
①當1≤x≤10時，
w＝(－150x＋3 000)( x＋1)＝－15(x－5)2＋3 375.
∵－15＜0，∴當x＝5時，w最大＝3 375.
②當10＜x≤12時，w＝1 500 ＝150x＋1 500.
∵150＞0，∴w隨x的增大而增大.∴當x＝12時，w最大＝3 300.
∵3 375＞3 300，∴第5個月的銷售收入最多，最多為3 375.
21. 如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，D是 上一點，P是AB延長
線上一點，連接AD，DC，CP.
(1)求證：∠ADC－∠BAC＝90°；(請用兩種證法解答)
(1)證明：(證法一)如圖1，連接BD. ∵ ＝ ，
∴∠BDC＝∠BAC.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ADC＝90°＋∠BAC.
∴∠ADC－∠BAC＝90°.
圖1　　　圖2　　　圖3
備用圖
(1)證明：(證法一)如圖1，連接BD. ∵ ＝ ，
∴∠BDC＝∠BAC.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ADC＝90°＋∠BAC.
∴∠ADC－∠BAC＝90°.
圖1　　　
(證法二)如圖2，連接BC. ∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ABC＝180°－∠ADC.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
∴∠BAC＋180°－∠ADC＝90°.∴∠ADC－∠BAC＝90°.
(證法二)如圖2，連接BC. ∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ABC＝180°－∠ADC.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
∴∠BAC＋180°－∠ADC＝90°.∴∠ADC－∠BAC＝90°.
　 圖2　　　
21. 如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，D是 上一點，P是AB延長
線上一點，連接AD，DC，CP.
(1)證明：(證法一)如圖1，連接BD. ∵ ＝ ，
∴∠BDC＝∠BAC.
∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ADC＝90°＋∠BAC.
∴∠ADC－∠BAC＝90°.
圖1　　　圖2　　　圖3
備用圖
(2)若∠ACP＝∠ADC，☉O的半徑為3，CP＝4，求AP的長.
(2)解：如圖3，連接OC. ∵∠ACP＝∠ADC，
∠ADC－∠BAC＝90°，∴∠ACP－∠BAC＝90°.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO.
∴∠ACP－∠ACO＝90°.∴∠OCP＝90°.
∵☉O的半徑為3，∴AO＝OC＝3.在Rt△OCP中，
OP2＝OC2＋CP2.
∵CP＝4，∴OP2＝32＋42＝25.∴OP＝5.∴AP＝AO＋OP＝8.
(2)解：如圖3，連接OC. ∵∠ACP＝∠ADC，
∠ADC－∠BAC＝90°，∴∠ACP－∠BAC＝90°.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO.
∴∠ACP－∠ACO＝90°.∴∠OCP＝90°.
∵☉O的半徑為3，∴AO＝OC＝3.在Rt△OCP中，
OP2＝OC2＋CP2.
∵CP＝4，∴OP2＝32＋42＝25.∴OP＝5.∴AP＝AO＋OP＝8.
圖2　
22. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點P，Q分
別是邊BC，線段OD上的點，連接AP，QP，AP與OB相交于點E.
(1)如圖1，連接QA. 當QA＝QP時，試判斷點Q是否在線段PC的垂直
平分線上，并說明理由；
圖1　 　　　　　　　　
　圖2
(1)解：點Q在線段PC的垂直平分線上.
理由如下：如圖1，連接QC.
∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，∴BD⊥AC，
OA＝OC. ∴QA＝QC.
∵QA＝QP，∴QC＝QP. ∴點Q在線段PC的垂直平分線上.
圖1　　　圖2　　　圖3
22. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點P，Q分
別是邊BC，線段OD上的點，連接AP，QP，AP與OB相交于點E.
圖1　 　　　　　　　　
　圖2
(2)如圖2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求證：AE＝2EP；
②當OQ＝OE時，設EP＝a，求PQ的長(用含a的代數式表示).
(2)①證明：如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA. ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB.
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO. ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO.
∵∠BAP＝∠ADB，∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD. ∴AE＝BE.
∵∠APB＝90°，∴∠BAP＋∠ABP＝90°.
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°.
在Rt△BPE中，∵∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EP＝ BE.
∵AE＝BE，∴EP＝ AE. ∴AE＝2EP.
(2)①證明：如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA. ∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB.
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO. ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO.
∵∠BAP＝∠ADB，∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD. ∴AE＝BE.
∵∠APB＝90°，∴∠BAP＋∠ABP＝90°.
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°.
在Rt△BPE中，∵∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EP＝ BE.
∵AE＝BE，∴EP＝ AE. ∴AE＝2EP.
②解：如圖3，連接QC. ∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形.
∵∠APB＝90°，∴BP＝CP，EP＝a.∴AE＝2a，AP＝3a.
在Rt△APB中，∠APB＝90°.∵tan∠ABP＝ ＝ ，
∴BP＝ a.∴CP＝BP＝ a.
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，∴△AOE≌△COQ.
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO. ∴AE∥CQ.
∵∠APB＝90°，∴∠QCP＝90°.
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理，得PQ2＝PC2＋CQ2，
∴PQ2＝( a)2＋(2a)2＝7a2.∴PQ＝ a.
②解：如圖3，連接QC. ∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形.
∵∠APB＝90°，∴BP＝CP，EP＝a.∴AE＝2a，AP＝3a.
在Rt△APB中，∠APB＝90°.∵tan∠ABP＝ ＝ ，
∴BP＝ a.∴CP＝BP＝ a.
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，∴△AOE≌△COQ.
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO. ∴AE∥CQ.
∵∠APB＝90°，∴∠QCP＝90°.
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理，得PQ2＝PC2＋CQ2，
∴PQ2＝( a)2＋(2a)2＝7a2.∴PQ＝ a.(共24張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練15
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 生活中有許多對稱美的圖形，下列是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形
的是(　D　)
A B C D
2. 的相反數是(　A　)
A. － B. C. －7 D. 7
D
A
3. 一個正方體截去四分之一，得到如圖所示的幾何體，其左視圖是
(　D　)
A B C D
第3題圖　
D
4. 餐桌邊的一蔬一飯，舌尖上的一飲一酌，實屬來之不易，據統計，我
國每年浪費的糧食總量約35 000 000噸.數據“35 000 000”用科學記數法
表示為(　C　)
A. 0.35×109 B. 3.5×108
C. 3.5×107 D. 35×106
C
5. 如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點A，B的坐標分別為(3，
)，(4，0).把△OAB沿x軸向右平移得到△CDE，若點D的坐標為
(6， )，則點E的坐標為(　C　)
A. (6，0) B. (，0) C. (7，0) D. (8，0)
　
第5題圖　
C
6. 如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上
的點E處.若∠AEG＝58°，則∠GHC等于(　D　)
A. 112° B. 110° C. 108° D. 106°
　
第6題圖　
D
7.下列計算正確的是(　C　)
A. ＋ ＝ B. 2 － ＝2
C. × ＝ D. ÷3＝2
C
8. 如圖，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝
40°.若☉O的半徑為5，則 的長為(　C　)
A. π B. π C. π D. π
C
第8題圖　
9. 如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，AF，
DE相交于點M，G為BC上一點，N為EG的中點.若BG＝3，CG＝1，
則線段MN的長度為(　B　)
A. B. C. 2 D.
　
第9題圖
B
10. 一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，
其展開圖如圖1所示.在一張不透明的桌子上，按圖2方式將三個這樣的小
立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是
(　B　)
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
圖1　 圖2
B
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 計算：8x3y÷(2x)2＝ .
12. 小穎參加“歌唱祖國”歌詠比賽，六位評委對小穎的打分(單位：分)
如下：7，8，7，9，8，10.這六個分數的極差是 分.
13. 反比例函數y＝ 的圖象經過點A(m， )，則反比例函數的表達式
為 .
2xy　
3　
y＝ 　
14. 某校組織學生進行勞動實踐活動，用1 000元購進甲種勞動工具，用2
400元購進乙種勞動工具，乙種勞動工具購買數量是甲種的2倍，但單價
貴了4元.設甲種勞動工具單價為x元，則x滿足的分式方程為
.
＝
2× 　
15. 如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(1，0)，P(－1，0)，☉P過原
點O，且與x軸交于另一點D，AB為☉P的切線，B為切點，BC是☉P
的直徑，則∠BCD的度數為 °.
第15題圖　
60　
16. 如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與正比例函數y＝kx的圖象
相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為－3，點B的橫坐標為2，二次函
數圖象的對稱軸是直線x＝－1.下列結論：①abc＜0；②3b＋2c＞0；
③關于x的方程ax2＋bx＋c＝kx的兩根為x1＝－3，x2＝2；④k＝ a.
其中正確的是 .(只填寫序號)
　　
①③　
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.
已知：△ABC. 求作：點P，使PA＝PC，且點P在△ABC邊AB的高
上.
解：如圖，點P即為所作.
解：如圖，點P即為所作.
18. 先化簡 ÷ ＋ ，再從－2，－1，0，1，2中選一個合
適的數作為x的值代入求值.
解： ÷ ＋
＝ · ＋
＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＝ ＝ .
在－2，－1，0，1，2中，只有當x＝－2時，原分式有意義，即x只能取
－2，
∴當x＝－2時，原式＝ ＝－1.
解： ÷ ＋
＝ · ＋
＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＝ ＝ .
在－2，－1，0，1，2中，只有當x＝－2時，原分式有意義，
即x只能?。?，
∴當x＝－2時，原式＝ ＝－1.
19. 2024年4月15日是我國第九個“全民國家安全教育日”，為增強學生
國家安全意識、夯實國家安全教育基礎，某市舉行國家安全知識競賽.競
賽結束后，發現所有參賽學生的成績(滿分100分)均不低于60分.小明將自
己所在班級學生的成績(用x表示)分為四組：A組(60≤x＜70)，B組
(70≤x＜80)，C組(80≤x＜90)，D組(90≤x≤100)，繪制了如圖不完整
的頻數分布直方圖和扇形統計圖.
學生成績的頻數分布直方圖
學生成績的扇形統計圖
根據以上信息，解答下列問題：
(1)補全頻數分布直方圖；
(2)扇形統計圖中A組所對應的圓心角的度數為 °；
(1)解：由頻數分布直方圖，可得樣本為
10÷25％＝40(人)，
∴B組的人數為40－4－10－18＝8(人).
∴補全頻數分布直方圖如圖所示：
學生成績的頻數分布直方圖
36　
(1)解：由頻數分布直方圖，可得樣本為
10÷25％＝40(人)，
∴B組的人數為40－4－10－18＝8(人).
∴補全頻數分布直方圖如圖所示：
學生成績的頻數分布直方圖
(3)把每組中各個同學的成績用這組數據的中間值(如A組：60≤x＜70的
中間值為65)來代替，試估計小明班級的平均成績；
(3)解：由題意，可得小明班級的平均成績為
＝85.5(分).
(4)小明根據本班成績，估計全市參加競賽的所有8 000名學生中會有800
名學生成績低于70分，實際只有446名學生的成績低于70分.請你分析小
明估計不準確的原因.
(4)解：∵小明同學抽樣的樣本不具有隨機性，不符合取樣要求，
∴小明估計不準確.
(3)解：由題意，可得小明班級的平均成績為
＝85.5(分).
(4)解：∵小明同學抽樣的樣本不具有隨機性，不符合取樣要求，
∴小明估計不準確.
20. 為了解我國的數學文化，小明和小紅從《九章算術》《孫子算經》
《海島算經》(依次用A，B，C表示)三本書中隨機抽取一本進行閱讀，
小明先隨機抽取一本，小紅再從剩下的兩本中隨機抽取一本.請用列表或
畫樹狀圖的方法表示所有可能出現的結果.并求抽取兩本書中有《九章算
術》的概率.
解：根據題意，畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有6種等可能的結果，其中抽取兩本書中有
《九章算術》的結果數為4種，
∴抽取兩本書中有《九章算術》的概率為 ＝ .
解：根據題意，畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有6種等可能的結果，其中抽取兩本書中有
《九章算術》的結果數為4種，
∴抽取兩本書中有《九章算術》的概率為 ＝ .
21. 太陽能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節能減排.某
校組織學生進行綜合實踐活動——測量太陽能路燈電池板的寬度.如圖，
太陽能電池板寬為AB，點O是AB的中點，OC是燈桿.地面上三點D，
E，C在一條直線上，DE＝1.5 m，EC＝5 m.該校學生在D處測得電池
板邊緣點B的仰角為37°，在E處測得電池板邊緣點B的仰角為45°.此
時點A，B與E在一條直線上.求太陽能電池板寬AB的長度.(結果精確
到0.1 m.參考數據： sin 37°≈ ， cos 37°≈ ，
tan 37°≈ ， ≈1.41)
解：如圖，過點B作BH⊥DC于點H，
過點B作BF⊥OC于點F.
依題意，得OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°.
又∵BH⊥DC，∴△BEH和△OEC均為等腰直角三角
形.
∴EH＝BH，EC＝OC.
∵DE＝1.5 m，EC＝5 m，∴OC＝EC＝5 m.
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四邊形BHCF為矩形.∴BF＝CH，BH＝CF，
BF∥CH.
∴∠OBF＝∠BEH＝45°.
∴△OBF為等腰直角三角形.∴BF＝OF＝CH.
解：如圖，過點B作BH⊥DC于點H，
過點B作BF⊥OC于點F.
依題意，得OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°.
又∵BH⊥DC，∴△BEH和△OEC均為等腰直角三角形.
∴EH＝BH，EC＝OC.
∵DE＝1.5 m，EC＝5 m，∴OC＝EC＝5 m.
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四邊形BHCF為矩形.∴BF＝CH，BH＝CF，
BF∥CH.
∴∠OBF＝∠BEH＝45°.
∴△OBF為等腰直角三角形.∴BF＝OF＝CH.
設BF＝x m，則OF＝CH＝x m，
∴EH＝BH＝EC－CH＝(5－x)m.
∴DH＝DE＋EH＝1.5＋5－x＝(6.5－x)m.
在Rt△BDH中，tan∠BDH＝ ，
即tan 37°＝ ，∴ ＝ ，解得x＝0.5.
經檢驗，x＝0.5是原方程的根.∴BF＝OF＝0.5 m.
在等腰直角三角形△OBF中，由勾股定理，
得OB＝ ≈0.5× ≈0.5×1.41＝
0.705(m).
∵O為AB的中點，∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4(m).
∴太陽能電池板寬AB的長度約為1.4 m.
設BF＝x m，則OF＝CH＝x m，
∴EH＝BH＝EC－CH＝(5－x)m.
∴DH＝DE＋EH＝1.5＋5－x＝(6.5－x)m.
在Rt△BDH中，tan∠BDH＝ ，
即tan 37°＝ ，∴ ＝ ，解得x＝0.5.
經檢驗，x＝0.5是原方程的根.∴BF＝OF＝0.5 m.
在等腰直角三角形△OBF中，由勾股定理，
得OB＝ ≈0.5× ≈0.5×1.41＝0.705(m).
∵O為AB的中點，∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4(m).
∴太陽能電池板寬AB的長度約為1.4 m.
22. 如圖，在 ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠DCB的平
分線交AD于點F，點G，H分別是AE和CF的中點.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D.
∵AE，CF分別為∠BAD，∠DCB的平分線，
∴∠BAE＝∠DAE＝ ∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝ ∠DCB.
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)連接EF. 若EF＝AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結
論.
(2)解：四邊形GEHF是矩形.證明如下：
由(1)，得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，
∠AEB＝∠DFC. ∴∠AEB＝∠BCF. ∴AE∥CF.
∵點G，H分別為AE，CF的中點，
∴GE∥FH，GE＝FH. ∴四邊形FGEH是平行四邊形.
∵EF＝AF，G為AE的中點，∴FG⊥AE.
∴四邊形FGEH是矩形.
(2)解：四邊形GEHF是矩形.證明如下：
由(1)，得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，
∠AEB＝∠DFC. ∴∠AEB＝∠BCF. ∴AE∥CF.
∵點G，H分別為AE，CF的中點，
∴GE∥FH，GE＝FH. ∴四邊形FGEH是平行四邊形.
∵EF＝AF，G為AE的中點，∴FG⊥AE.
∴四邊形FGEH是矩形.(共32張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練12
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 某市今年新建綠化面積2 743 000 m2，2 743 000用科學記數法表示為
(　B　)
A. 0.274 3×107 B. 2.743×106
C. 27.43×105 D. 274.3×104
2. 下列運算一定正確的是(　D　)
A. 2a3·3a2＝6a6 B. (a3)2＝a5
C. 2a2＋3a2＝5a4 D. a4·a2＝a6
B
D
3. 方程 ＝ 的解為(　B　)
A. x＝4 B. x＝－4 C. x＝－2 D. x＝2
4. 如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，連接AO，OC，∠ABC＝
70°，AO∥CD，則∠OCD＝(　A　)
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
第4題圖　　　
B
A
5. 如圖，在△ABC中，DE∥AC，且AD＝3，BD＝2，DE＝4，則AC
的長為(　C　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
　　　 第5題圖　
C
6. 如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在函數y＝ (k＞0，x＞0)的圖
象上，分別以A，B為圓心，1為半徑作圓，當☉A與x軸相切、☉B與y
軸相切時，連接AB，若AB＝3 ，則k的值為(　C　)
A. 3 B. 3 C. 4 D. 6
　
第6題圖　　
C
7. 學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉
出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示.已彩旗繩與地面形成25°角(即
∠BAC＝25°)，彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米(即AC＝32
米)，則彩旗繩AB的長度為(　D　)
A. 32 sin 25°米 B. 32 cos 25°米
C. 米 D. 米
　　
D
第7題圖
8. 用一個圓心角為90°，半徑為8的扇形作一個圓錐的側面，則這個圓
錐的底面直徑是(　C　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
C
9. 如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為
AA'，BB'的中點，只要量出A'B'的長度，就可以道該零件內徑AB的長
度.依據的數學基本事實是(　A　)
A. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
B. 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C. 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
D. 兩點之間線段最短
A
10. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(－2，0)，(3，0).下列結論：
① ＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點(，y1)，(－3，y2)，(－ ，
y3)，則y2＜y1＜y3；④方程cx2＋bx＋a＝0的解為x1＝ ，x2＝－ ，其
中正確的個數是(　D　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
D
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 分解因式：a2－1＝ .
12.2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5
公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分
鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里.(用含x的代數式
表示)
(a＋1)(a－1)　
(7.5－10x)　
13. 如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為
AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點
為點B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為 度.
第13題圖　　　　
45　
14. 如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線
段OA'上.若OA∶AA'＝1∶2，則△ABC和△A'B'C'的周長之比
為 .
　　
第14題圖
1∶3　
15. 若關于x的方程x2－2x＋k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值
范圍為 .
k＜1　
16. 2023年5月28日，C919商業首航完成——中國民航商業運營國產大飛
機正式起步.12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門
禮”(寓意“接風洗塵”是國際民航中高級別的禮儀).如圖1，在一次“水
門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似
看作形狀相同的拋物線的一部分.如圖2，當兩輛消防車噴水口A，B的
水平距離為80 m時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇，此時相遇點H
距地面20 m，噴水口A，B距地面均為4 m.若兩輛消防車同時后退10
m，兩條水柱的形狀及噴水口A'，B'到地面的距離均保持不變，則此時兩
條水柱相遇點H'距地面 m.
19　
　　
圖1　 圖2
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 先化簡，再求值：(a＋1)2＋a(1－a)，其中a＝ .
解：(a＋1)2＋a(1－a)＝a2＋2a＋1＋a－a2＝3a＋1.
當a＝ 時，原式＝3× ＋1＝ ＋1.
解：(a＋1)2＋a(1－a)＝a2＋2a＋1＋a－a2＝3a＋1.
當a＝ 時，原式＝3× ＋1＝ ＋1.
18. 甲、乙兩人相約登山，他們同時從入口處出發，甲步行登山到山
頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達山頂.甲、乙距山腳的垂
直高度y(米)與甲登山的時間x(分鐘)之間的函數圖象如圖所示.
(1)當15≤x≤40時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式；
(1)解：設乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式
為y＝kx＋b，
將(15，0)，(40，300)代入，
得 解得
∴y＝12x－180(15≤x≤40).
(1)解：設乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式
為y＝kx＋b，
將(15，0)，(40，300)代入，
得 解得
∴y＝12x－180(15≤x≤40).
18. 甲、乙兩人相約登山，他們同時從入口處出發，甲步行登山到山
頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達山頂.甲、乙距山腳的垂
直高度y(米)與甲登山的時間x(分鐘)之間的函數圖象如圖所示.
(2)求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度.
(2)解：設甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式
為y＝k1x＋b1(25≤x≤60).
將點(25，160)，(60，300)代入，
得 解得
∴y＝4x＋60(25≤x≤60).
聯立 解得
(2)解：設甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數關系式
為y＝k1x＋b1(25≤x≤60).
將點(25，160)，(60，300)代入，
得 解得
∴y＝4x＋60(25≤x≤60).
聯立 解得
答：乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為
180米.
答：乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為
180米.
19. 隨著中國網民規模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究
院順勢推出數字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好
評.某工廠計劃制作3 000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務，實
際平均每天完成的數量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務.問原計
劃平均每天制作多少個擺件？
解：設原計劃平均每天制作x個擺件.根據題意，
得 ＝ ＋5，解得x＝200.
經檢驗，x＝200是原方程的解，且符合題意.
答：原計劃平均每天制作200個擺件.
解：設原計劃平均每天制作x個擺件.根據題意，
得 ＝ ＋5，解得x＝200.
經檢驗，x＝200是原方程的解，且符合題意.
答：原計劃平均每天制作200個擺件.
20. 圖1，圖2，圖3均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為
1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A，B均在格點上，只用無刻度的
直尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上.
(1)在圖1中，△ABC的面積為 ；
圖1　　　圖2　　　圖3
(1)解：如圖1所示，以AB＝3為底，設AB邊上的高為h，
依題意，得S△ABC＝ AB·h＝ ，
解得h＝3，即點C為在AB上方且到AB的距離為3個單位長度的格
點.(答案不唯一)
圖1　　 圖2　　 圖3
(1)解：如圖1所示，以AB＝3為底，設AB邊上的高為h，
依題意，得S△ABC＝ AB·h＝ ，
解得h＝3，即點C為在AB上方且到AB的距離為3個單位長度的格
點.(答案不唯一)
圖1　　 圖2　　 圖3
(2)解：由網格，可知AB＝ ＝ ，以AB＝ 為底，設AB
邊上的高為h，
依題意，得S△ABC＝ AB·h＝5，解得h＝ .
如圖2所示，將AB繞A或B旋轉90°，過線段的另一個端點作AB的平行
線，與網格格點的交點即為點C. (答案不唯一)
20. 圖1，圖2，圖3均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為
1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A，B均在格點上，只用無刻度的
直尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上.
(2)在圖2中，△ABC的面積為5；
(2)解：由網格，可知AB＝ ＝ ，
以AB＝ 為底，設AB邊上的高為h，
依題意，得S△ABC＝ AB·h＝5，解得h＝ .
如圖2所示，將AB繞A或B旋轉90°，過線段的另一個端點作AB的平行
線，與網格格點的交點即為點C. (答案不唯一)
圖1　　　圖2　　　圖3
20. 圖1，圖2，圖3均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為
1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A，B均在格點上，只用無刻度的
直尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上.
(3)在圖3中，△ABC是面積為 的鈍角三角形.
圖1　　　圖2　　　圖3
(3)解：如圖3所示，作BD＝AB＝ ，過點D作CD∥AB，
交于格點C. 由網格，可知
BD＝AB＝ ＝ ，AD＝ .∴△ABD是直角三角形，
且AB⊥BD.
∵CD∥AB，∴S△ABC＝ AB·BD＝ .
(3)解：如圖3所示，作BD＝AB＝ ，過點D作CD∥AB，
交于格點C. 由網格，可知
BD＝AB＝ ＝ ，AD＝ .∴△ABD是直角三角形，
且AB⊥BD.
∵CD∥AB，∴S△ABC＝ AB·BD＝ .
21. 將兩個完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面內按如圖所
示位置擺放.點A，E，B，D依次在同一直線上，連接AF，CD.
(1)求證：四邊形AFDC是平行四邊形；
(1)證明：由題意，可知△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE＝30°.
∴AC∥DF. ∴四邊形AFDC為平行四邊形.
(2)已知BC＝6 cm，當四邊形AFDC是菱形時，AD的長為 cm.
(1)證明：由題意，可知△ACB≌△DFE，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE＝30°.
∴AC∥DF. ∴四邊形AFDC為平行四邊形.
18　
(2)解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
BC＝6 cm，
∴AB＝2BC＝12 cm，∠ABC＝60°.
∵四邊形AFDC是菱形，
∴AD平分∠CDF. ∴∠CDA＝∠FDA＝30°.
∵∠ABC＝∠CDA＋∠BCD，
∴∠BCD＝∠ABC－∠CDA＝60°－30°＝30°.
∴∠BCD＝∠CDA. ∴BC＝BD＝6 cm.
∴AD＝AB＋BD＝18 cm.故答案為18.
(2)解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
BC＝6 cm，
∴AB＝2BC＝12 cm，∠ABC＝60°.
∵四邊形AFDC是菱形，
∴AD平分∠CDF. ∴∠CDA＝∠FDA＝30°.
∵∠ABC＝∠CDA＋∠BCD，
∴∠BCD＝∠ABC－∠CDA＝60°－30°＝30°.
∴∠BCD＝∠CDA. ∴BC＝BD＝6 cm.
∴AD＝AB＋BD＝18 cm.故答案為18.
22. 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在邊BC上，且BE
＝2.動點P從點E出發，沿折線EB－BA－AD以每秒1個單位長度的速
度運動，作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于點Q，連接PQ. 當點
Q與點C重合時，點P停止運動.設點P的運動時間為t秒.(t＞0)
　　　圖1
圖2
(1)當點P和點B重合時，線段PQ的長為 ；
　
(1)解：如圖1，連接BQ. ∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAQ＝∠ABE＝90°.
∵∠PEQ＝90°，∴四邊形ABEQ是矩形.
當點P和點B重合時，∴QE＝AB＝3，BE＝2.
在Rt△QBE中，BQ＝ ＝ ＝ .
故答案為 .
圖1　　
22. 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在邊BC上，且BE
＝2.動點P從點E出發，沿折線EB－BA－AD以每秒1個單位長度的速
度運動，作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于點Q，連接PQ. 當點
Q與點C重合時，點P停止運動.設點P的運動時間為t秒.(t＞0)
　　　圖1
圖2
(2)當點Q和點D重合時，求tan∠PQE；
(2)解：如圖2.∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＝∠3.∴△PBE∽△ECD. ∴ ＝ .
∵BE＝2，CD＝AB＝3，∴tan∠PQE＝ ＝ ＝ .
(2)解：如圖2.∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＝∠3.∴△PBE∽△ECD. ∴ ＝ .
∵BE＝2，CD＝AB＝3，∴tan∠PQE＝ ＝ ＝ .
　 圖2　　
(3)當點P在邊AD上運動時，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形，如
圖2，請說明理由；
(3)解：如圖3，過點P作PH⊥BC于點H. ∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝
∠ECQ＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，則四邊形ABHP是矩形.∴∠1＝
∠3，PH＝AB＝3.
又∵EC＝BC－BE＝5－2＝3，∴PH＝EC. ∴△PHE≌△ECQ.
∴PE＝QE. ∴△PQE是等腰直角三角形.
22. 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在邊BC上，且BE
＝2.動點P從點E出發，沿折線EB－BA－AD以每秒1個單位長度的速
度運動，作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于點Q，連接PQ. 當點
Q與點C重合時，點P停止運動.設點P的運動時間為t秒.(t＞0)
　　　圖1
圖2
(3)解：如圖3，過點P作PH⊥BC于點H. ∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝
∠ECQ＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，則四邊形ABHP是矩形.∴∠1＝
∠3，PH＝AB＝3.
又∵EC＝BC－BE＝5－2＝3，∴PH＝EC. ∴△PHE≌△ECQ.
∴PE＝QE. ∴△PQE是等腰直角三角形.
圖3
(4)作點E關于直線PQ的對稱點F，連接PF，QF，當四邊形EPFQ和
矩形ABCD重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出t的取值范圍.
(4)解：0＜t≤ 或t＝ 或t＝7.
(4)解：0＜t≤ 或t＝ 或t＝7.
22. 如圖1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在邊BC上，且BE
＝2.動點P從點E出發，沿折線EB－BA－AD以每秒1個單位長度的速
度運動，作∠PEQ＝90°，EQ交邊AD或邊DC于點Q，連接PQ. 當點
Q與點C重合時，點P停止運動.設點P的運動時間為t秒.(t＞0)
　　　圖1
圖2(共22張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練10
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. －5的相反數是(　C　)
A. － B. C. 5 D. －5
C
2. 如圖，直線AB與CD相交于點O，則∠BOD＝(　B　)
A. 40° B. 50°
第2題圖　　
B
C. 55° D. 60°
3. 計算： ＝(　D　)
A. a－5 B. a＋5 C. 5 D. a
D
4. 如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊
形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中.如圖2是八角形空窗的示意圖，
它的一個外角∠1＝(　A　)
A. 45° B. 60°
　　
圖1　　圖2
第4題圖　
A
C. 110° D. 135°
5. 方程 ＝1的解是(　B　)
A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝5 D. x＝－5
B
6. 如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧 ，
圓弧的半徑OA＝20 cm，圓心角∠AOB＝90°，則 ＝(　B　)
A. 20π cm B. 10π cm C. 5π cm D. 2π cm
　
圖1　　圖2
第6題圖
B
7. 已知二次函數y＝－3(x－2)2－3，下列說法正確的是(　C　)
A. 對稱軸為x＝－2 B. 頂點坐標為(2，3)
C. 函數的最大值是－3 D. 函數的最小值是－3
8. 關于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數根，則b2－
2(1＋2c)＝(　A　)
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
C
A
9. 一次函數y＝kx－1的函數值y隨x的增大而減小，當x＝2時，y的值
可以是(　D　)
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
10. 如圖，在矩形ABCD中，E為BA延長線上一點，F為CE的中點，
以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，連接BG. 若
AB＝4，CE＝10，則AG＝(　C　)
A. 2 B. 2.5
D
C
C. 3 D. 3.5
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 因式分解：x2－25y2＝ .
12. 如圖，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于點E，若∠C＝
70°，則∠BAE＝ °.
第12題圖　
(x＋5y)(x－5y)　
50　
13. 如圖，將面積為7的正方形OABC和面積為9的正方形ODEF分別繞
原點O順時針旋轉，使OA，OD落在數軸上，點A，D在數軸上對應的
數字分別為a，b，則b－a＝ .
14. 如圖，△ABC內接于☉O，AB是☉O的直徑，D是☉O上一點，
∠CDB＝55°，則∠ABC＝ °.
　　
第13題圖　　　第14題圖
3－ 　
35　
15. 如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂
足分別為B，D，若AB＝6 cm，則EF＝ cm.
第15題圖　　　
2 　
16. 如圖1，我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人段續
的第一架水車創制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱
橫，沃土繁豐.而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風情線上的標志性景
觀，是蘭州“水車之都”的象征.如圖2所示的是水車舀水灌溉示意圖，
水車輪的輻條(圓的半徑)OA長約為6 m，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安
裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅使水
車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉150°上
升至輪子上方B處，斗口開始翻轉向下，
將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而
灌溉，那么水斗從A處(舀水)轉動到B處
(倒水)所經過的路程
是 m.(結果保留π)
5π　
　
圖1　 圖2
第16題圖
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 解不等式組：
解：
由①，得3x－2x＞2＋1，解得x＞3.
由②，得x＋2＞3x－6，解得x＜4.
∴不等式組的解集為3＜x＜4.
解：
由①，得3x－2x＞2＋1，解得x＞3.
由②，得x＋2＞3x－6，解得x＜4.
∴不等式組的解集為3＜x＜4.
18. 如圖，反比例函數y＝ (x＜0)與一次函數y＝－2x＋m的圖象交于
點A(－1，4)，BC⊥y軸于點D，分別交反比例函數與一次函數的圖象
于點B，C.
(1)求反比例函數y＝ 與一次函數y＝－2x＋m的表達式；
(1)解：∵反比例函數y＝ (x＜0)的圖象經過點A(－1，4)，
∴k＝－1×4＝－4.∴反比例函數的表達式為y＝－ .
∵一次函數y＝－2x＋m的圖象經過點A(－1，4)，∴4
＝－2×(－1)＋m.
∴m＝2.∴一次函數的表達式為y＝－2x＋2.
(1)解：∵反比例函數y＝ (x＜0)的圖象經過點A(－1，
4)，
∴k＝－1×4＝－4.∴反比例函數的表達式為y＝－ .
∵一次函數y＝－2x＋m的圖象經過點A(－1，4)，∴4
＝－2×(－1)＋m.
∴m＝2.∴一次函數的表達式為y＝－2x＋2.
18. 如圖，反比例函數y＝ (x＜0)與一次函數y＝－2x＋m的圖象交于
點A(－1，4)，BC⊥y軸于點D，分別交反比例函數與一次函數的圖象
于點B，C.
(2)當OD＝1時，求線段BC的長.
(2)解：∵OD＝1，∴D(0，1).∴直線BC的表達式為y＝1.
當y＝1時，1＝－ ，解得x＝－4，則B(－4，1)；
當y＝1時，1＝－2x＋2，解得x＝ ，則
C .∴BC＝ －(－4)＝4 .
19. 如圖1是我國第一個以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍
源”.“蘭州龍源”的“龍”字主題雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢
如虹，屹立在黃河北岸.某數學興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高
度的實踐活動.具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的
基座BC上，在平行于水平地面的A處測得∠BAC＝38°，∠BAD＝
53°，AB＝18 m.求“龍”字雕塑CD的高度.(B，C，D三點共線，
BD⊥AB. 結果精確到0.1 m)(參考數據： sin 38°≈0.62， cos
38°≈0.79，tan 38°≈0.78， sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan
53°≈1.33)
圖1　　 圖2
解：在Rt△ABC中，AB＝18 m，∠BAC＝38°，
∴BC＝ABtan 38°≈0.78×18＝14.04(m).
在Rt△ABD中，AB＝18 m，∠BAD＝53°，
∴BD＝ABtan 53°≈1.33×18＝23.94(m).
∴CD＝BD－BC＝23.94－14.04＝9.9(m).
答：“龍”字雕塑CD的高度為9.9 m.
解：在Rt△ABC中，AB＝18 m，∠BAC＝38°，
∴BC＝ABtan 38°≈0.78×18＝14.04(m).
在Rt△ABD中，AB＝18 m，∠BAD＝53°，
∴BD＝ABtan 53°≈1.33×18＝23.94(m).
∴CD＝BD－BC＝23.94－14.04＝9.9(m).
答：“龍”字雕塑CD的高度為9.9 m.
20. 一名運動員在10 m高的跳臺進行跳水，身體(看成一點)在空中的運動
軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y(m)與離起跳點A的水平
距離x(m)之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為1
m時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為3 m時，離水面的距
離為7 m.
(1)求y關于x的函數表達式；
(1)解：由題意，得拋物線的對稱軸為x＝1，
經過點(0，10)，(3，7)，
設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋c，
∴ 解得
∴y關于x的函數表達式為
y＝－x2＋2x＋10.
(1)解：由題意，得拋物線的對稱軸為x＝1，
經過點(0，10)，(3，7)，
設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋c，
∴ 解得
∴y關于x的函數表達式為y＝－x2＋2x＋10.
20. 一名運動員在10 m高的跳臺進行跳水，身體(看成一點)在空中的運動
軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y(m)與離起跳點A的水平
距離x(m)之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為1
m時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為3 m時，離水面的距
離為7 m.
(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長.
(2)解：令y＝0，則－x2＋2x＋10＝0，
解得x＝1＋ (負值舍去).
∴運動員從起跳點到入水點的水平距
離OB的長為(1＋ )m.
21. 如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CD∥OE，直線
CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點F，G，連接
DE.
(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；
(1)解：四邊形OCDE是菱形.理由如下：
∵矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，
∴OC＝OD＝ AC＝ BD. ∵直線CE是線段OD的垂直平分線，
∴CO＝CD，EO＝ED.
∴CO＝CD＝OD，即△COD是等邊三角形.
∴∠OCD＝∠CDO＝∠DOC＝60°，
∠OCF＝∠DCF＝ ∠OCD＝30°.
∵CD∥OE，∴∠EOD＝∠EDO＝∠CDO＝60°.
∴△EOD是等邊三角形.∴CO＝CD＝EO＝ED.
∴四邊形OCDE是菱形.
21. 如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，CD∥OE，直線
CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點F，G，連接
DE.
(2)當CD＝4時，求EG的長.
(2)解：∵直線CE是線段OD的垂直平分線，且∠DCF＝30°，
∴DF＝ CD＝2，CF＝ DF＝2 .
由(1)，得四邊形OCDE是菱形，∴EF＝CF＝2 .
在Rt△DGF中，∠GDF＝90°－∠ODC＝30°，
∴GF＝DFtan 30°＝2× ＝ .∴EG＝EF－GF＝ .
(2)解：∵直線CE是線段OD的垂直平分線，且∠DCF＝30°，
∴DF＝ CD＝2，CF＝ DF＝2 .
由(1)，得四邊形OCDE是菱形，∴EF＝CF＝2 .
在Rt△DGF中，∠GDF＝90°－∠ODC＝30°，
∴GF＝DFtan 30°＝2× ＝ .∴EG＝EF－GF＝ .
22. 如圖，△ABC內接于☉O，AB是☉O的直徑， ＝ ，DE⊥AC
于點E，DE交BF于點F，交AB于點G，∠BOD＝2∠F，連接BD.
(1)求證：BF是☉O的切線；
(1)證明：如圖，連接CO. ∵ ＝ ，
∴∠BOD＝∠BOC＝2∠BAC.
∵∠BOD＝2∠F，∴∠F＝∠BAC. ∵DE⊥AC，
∴∠AEG＝90°.
∵∠AGE＝∠FGB，∴∠FBG＝∠AEG＝90°，即
AB⊥BF.
又AB是☉O的直徑，∴BF是☉O的切線.
(1)證明：如圖，連接CO. ∵ ＝ ，
∴∠BOD＝∠BOC＝2∠BAC.
∵∠BOD＝2∠F，∴∠F＝∠BAC. ∵DE⊥AC，
∴∠AEG＝90°.
∵∠AGE＝∠FGB，∴∠FBG＝∠AEG＝90°，
即AB⊥BF.
又AB是☉O的直徑，∴BF是☉O的切線.
22. 如圖，△ABC內接于☉O，AB是☉O的直徑， ＝ ，DE⊥AC
于點E，DE交BF于點F，交AB于點G，∠BOD＝2∠F，連接BD.
(2)判斷△DGB的形狀，并說明理由；
(2)解：△DGB為等腰三角形.理由如下：
∵ ＝ ，AB是☉O的直徑，∴ ＝ ，
BC⊥AC.
∴∠ABD＝∠ABC.
∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC. ∴∠AGE＝
∠ABC.
又∠AGE＝∠FGB，∴∠FGB＝∠ABD，
∴△DGB是等腰三角形.
(2)解：△DGB為等腰三角形.理由如下：
∵ ＝ ，AB是☉O的直徑，∴ ＝ ，
BC⊥AC.
∴∠ABD＝∠ABC.
∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC.
∴∠AGE＝∠ABC.
又∠AGE＝∠FGB，∴∠FGB＝∠ABD，
∴△DGB是等腰三角形.
22. 如圖，△ABC內接于☉O，AB是☉O的直徑， ＝ ，DE⊥AC
于點E，DE交BF于點F，交AB于點G，∠BOD＝2∠F，連接BD.
(3)當BD＝2時，求FG的長.
(3)解：∵∠FGB＝∠ABD，AB⊥BF，設∠FGB＝∠ABD＝α，
則∠DBF＝∠F＝90°－α，
∴DB＝DF. ∴FG＝2DG＝2DB＝4.(共26張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練3
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 的算術平方根是(　C　)
A. ±4 B. ±2 C. 2 D. 4
2. 在平面直角坐標系中，點(3，2)關于x軸對稱的點的坐標為(　D　)
A. (－3，2) B. (－2，3)
C. (2，－3) D. (3，－2)
C
D
3. 若 ＝ ，則ab＝(　A　)
A. 6 B. C. 1 D.
4. 若直線y＝kx(k是常數，k≠0)經過第一、第三象限，則k的值可為
(　D　)
A. －2 B. －1 C. － D. 2
A
D
5. 如圖，BD是等邊三角形ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長
為半徑作弧交BC的延長于點E，則∠DEC＝(　C　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第5題圖　　　　
C
6. 實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是
(　D　)
A. a＞b B. ｜a｜＜｜b｜
C. a＋b＞0 D. ＜0
　
第6題圖
D
7. 如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，
如果EF＝3，那么菱形ABCD的周長為(　A　)
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
A
8. 若實數a(a≠0)滿足a－b＝3， a＋b＋1＜0，則方程ax2＋bx＋1＝0
根的情況是(　B　)
A. 有兩個相等的實數根 B. 有兩個不相等的實數根
C. 無實數根 D. 有兩個實數根
第7題圖　　 第8題圖　　
B
9. 為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內、校外各1小時體
育活動時間”的要求，學校要求學生每天堅持體育鍛煉.小亮記錄了自己
一周內每天校外鍛煉的時間(單位：分鐘)，并制作了如圖所示的統計圖.
根據統計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是
(　B　)
A. 平均數為70分鐘 B. 眾數為67分鐘
C. 中位數為67分鐘 D. 方差為0
B
第9題圖
10. 如圖，☉O內切于Rt△ABC，點P，點Q分別在直角邊BC，斜邊
AB上，PQ⊥AB，且PQ與☉O相切，若AC＝2PQ，則tan B的值為
(　C　)
A. B. C. D.

C
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 若一個多邊形的外角和是內角和的 ，則這個多邊形的邊數是 .
12. 在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，則AC的長為 .
13. 曹老師用一張半徑為18 cm的扇形紙板，做了一個圓錐形帽子(接縫忽
略不計)，如果圓錐形帽子的半徑是10 cm，則這張扇形紙板的圓心角
是 .
8　
10　
200°　
14. 已知 ＋ ＝1，且a≠－b，則 的值為 .
15. 已知拋物線y＝ax2－2ax＋b(a＞0)經過A(2n＋3，y1)，B(n－1，
y2)兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值
范圍是 .
16. 如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E為菱形內部一
點，且AE＝2，連接CE，F為CE的中點，連接BF，
取BF中點G，連接AG，則AG的最大值
為 .
1　
－1＜n＜0　
＋ 　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，
第22題12分，共52分)
17. 解方程：x2－10x＋9＝0.
解：(x－1)(x－9)＝0，
∴x－1＝0或x－9＝0.
∴x1＝9，x2＝1.
解：(x－1)(x－9)＝0，
∴x－1＝0或x－9＝0.
∴x1＝9，x2＝1.
18. 如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是
A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3).
(1)將△ABC向上平移4個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到
△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
(1)解：如圖1所示，△A1B1C1即為所求.
圖1　　　　圖2　　　　圖3
(1)解：如圖1所示，△A1B1C1即為所求.
圖1　
(2)請畫出△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2；
(2)解：如圖2所示，△A2B2C2即為所求.
(2)解：如圖2所示，△A2B2C2即為所求.
18. 如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是
A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3).
圖2
(3)將△A2B2C2繞著原點O順時針旋轉90°，得到△A3B3C3，求線段A2C2
在旋轉過程中掃過的面積(結果保留π).
18. 如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是
A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3).
(3)解：將△A2B2C2繞著原點O順時針旋轉90°，
得到△A3B3C3，如圖3，連接OC3交 于點D，
連接OC2交 于點E.
∵A2(－2，－1)，B2(－1，－2)，C2(－3，－3)，
∴OA2＝ ＝ ，OB2＝ ＝ ，
OC2＝ ＝3 .
∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝ .
由旋轉，得OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝
OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3(SSS).
(3)解：將△A2B2C2繞著原點O順時針旋轉90°，
得到△A3B3C3，如圖3，連接OC3交 于點D，
連接OC2交 于點E.
∵A2(－2，－1)，B2(－1，－2)，C2(－3，－3)，
∴OA2＝ ＝ ，OB2＝ ＝ ，
OC2＝ ＝3 .
∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝ .
由旋轉，得OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝
OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3(SSS).
圖3
∴ ＝ .
∴線段A2C2在旋轉過程中掃過的面積＝ －S扇形DOE＝
－ ＝ .
∴ ＝ .
∴線段A2C2在旋轉過程中掃過的面積
＝ －S扇形DOE＝ － ＝ .
19. 為培養同學們愛勞動的習慣，某班開展了“做好一件家務”主題活
動，要求全班同學人人參與.經統計，同學們做的家務類型為“洗
衣”“拖地”“煮飯”“刷碗”，班主任將以上信息繪制成了統計圖
表，如圖所示.
家務類型 洗衣 拖地 煮飯 刷碗
人數/人 10 12 10 m
根據上面圖表信息，回答下列問題：
(1)m＝ ；
(2)在扇形統計圖中，“拖地”所占的圓心角度數為 ；
(3)班會課上，班主任評選出了近期做家務表現優異的4名同學，其中有2
名男生.現準備從表現優異的同學中隨機選取2名同學分享體會，請用畫
樹狀圖或列表的方法求所選同學中有男生的概率.
解：(3)解：由題意，可畫樹狀圖如下：
由樹狀圖，可知共有12種等可能的情況，
其中所選同學中有男生的情況有10種，
∴所選同學中有男生的概率為 ＝ .
8　
108°　
解：(3)解：由題意，可畫樹狀圖如下：
由樹狀圖，可知共有12種等可能的情況，
其中所選同學中有男生的情況有10種，
∴所選同學中有男生的概率為 ＝ .
20. 某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12 km，甲、乙兩同
學騎自行車同時從學校出發，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲比乙早到10
min，求乙同學騎自行車的速度.
解：設乙同學騎自行車的速度為x km/h，則甲同學騎自行車的速度為
1.2x km/h.
根據題意，得 － ＝ ，解得x＝12.
經檢驗，x＝12是原分式方程的解，且符合題意.
答：乙同學騎自行車的速度為12 km/h.
解：設乙同學騎自行車的速度為x km/h，則甲同學騎自行車的速度為
1.2x km/h.
根據題意，得 － ＝ ，解得x＝12.
經檢驗，x＝12是原分式方程的解，且符合題意.
答：乙同學騎自行車的速度為12 km/h.
21. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別是∠BAD，∠BCD的
平分線，且E，F分別在邊BC，AD上，AE＝AF.
(1)求證：四邊形AECF是菱形；
(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC.
∵AE，CF分別是∠BAD，∠BCD的平分線，
∴∠BAE＝∠DAE＝ ∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝
∠BCD. ∴∠DAE＝∠BCF.
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.
∴∠BCF＝∠AEB. ∴AE∥FC. ∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形.
21. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，CF分別是∠BAD，∠BCD的
平分線，且E，F分別在邊BC，AD上，AE＝AF.
(2)若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于4 ，求平行線AB與DC間的
距離.
(2)解：如圖，連接AC. ∵四邊形ABCD是平行四邊
形，∴AD∥BC. ∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB. ∴AB＝EB.
∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形.
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°.
∵△ABE的面積等于4 ，∴ AB2＝4 .∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4.
由(1)，知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4.
∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠AEB是△AEC的一個外角，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠ECA＝60°.
∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，
即AC⊥AB.
由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝4 ，
即平行線AB與DC間的距離是4 .
即AB＝AE＝EB＝4.
由(1)，知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4.
∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠AEB是△AEC的一個外角，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠ECA＝60°.
∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，
即AC⊥AB.
由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝4 ，
即平行線AB與DC間的距離是4 .
22. 已知拋物線y＝ax2＋bx＋3交x軸于A(1，0)，B(3，0)兩點，M為
拋物線的頂點，C，D為拋物線上不與A，B重合的相異兩點，記AB的
中點為E，直線AD，BC的交點為P.
(1)求拋物線的函數表達式；
(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋3經過點A(1，0)，B(3，0)，
∴ 解得
∴拋物線的函數表達式為y＝x2－4x＋3.
(2)若C(4，3)，D(m，－ )，且m＜2，求證：C，D，E三點共線；
(1)解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋3經過點A(1，0)，B(3，0)，
∴ 解得
∴拋物線的函數表達式為y＝x2－4x＋3.
(2)證明：設直線CE對應的函數表達式為
y＝kx＋n(k≠0).
∵E為AB的中點，∴E(2，0).
又∵C(4，3)，∴ 解得
∴直線CE對應的函數表達式為y＝ x－3.
∵點D(m，－ )在拋物線上，
∴m2－4m＋3＝－ ，
解得m＝ 或m＝ .
又∵m＜2，∴m＝ .∴D(，－ ).
∵ × －3＝－ ，即D(，－ )滿足直線CE對應的函數表達式，
∴點D在直線CE上，即C，D，E三點共線.
22. 已知拋物線y＝ax2＋bx＋3交x軸于A(1，0)，B(3，0)兩點，M為
拋物線的頂點，C，D為拋物線上不與A，B重合的相異兩點，記AB的
中點為E，直線AD，BC的交點為P.
(3)小明研究發現：無論C，D在拋物線上如何運動，只要C，D，E三
點共線，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面積為定值的三角形.請直
接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.
(3)解：△ABP的面積為定值，其面積為2.
(3)解：△ABP的面積為定值，其面積為2.(共22張PPT)
2025年廣東中考數學一輪備考每周一練1
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. ｜－2 023｜＝(　A　)
A. 2 023 B. －2 023 C. － D.
2. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　A　)
A B C D
A
A
3. 下列運算正確的是(　D　)
A. －4－3＝－1 B. 5×(－ )2＝－
C. x2·x4＝x8 D. ＋ ＝3
D
4. 如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的
度數(　B　)
A. 75° B. 105°
第4題圖　　　
B
C. 115° D. 100°
5. 學校組織“超強大腦”答題賽，參賽的11名選手得分情況如表所示，
那么這11名選手得分的中位數和眾數分別是(　C　)
分數/分 60 80 90 95
人數/人 2 2 3 4
A. 86.5和90 B. 80和90
C. 90和95 D. 90和90
C
6. 如圖，在☉O中，AO＝3，∠C＝60°，則劣
弧AB的長度為(　C　)
A. 6π B. 9π
　
第6題圖　
C
C. 2π D. 3π
7. 定義運算：a*b＝a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋ m＝0(m＜0)的
兩根，則b*b－a*a的值為(　B　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 1或－1
B
8. 如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AC＝6，BD＝
8，AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為(　C　)
A. 12 B. 14 C. D.
　　　
第8題圖
C
9. 已知函數y＝mx2＋3mx＋m－1的圖象與坐標軸恰有兩個公共點，則
實數m的值為(　C　)
A. m＝0或m＝－ B. m＝－
C. m＝1或m＝－ D. m＝1或m＝0
C
10. 如圖，拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點為A(1，3)，且與x軸有
一個交點為B(4，0)，直線y2＝mx＋n與拋物線交于A，B兩點，下列
結論：
①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有兩個相等的實數根；
④拋物線與x軸的另一個交點坐標是(－1，0)；⑤當1＜x＜4時，有y2＜
y1，其中正確的是(　C　)
A. ①②③ B. ①③④
C. ①③⑤ D. ②④⑤
C
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 函數y＝ 中自變量x的取值范圍是 .
12. 把多項式ax2－4ax＋4a因式分解的結果是 .
13. 若 ＋(b＋4)2＝0，那么點(a，b)關于原點對稱點的坐標
是 .
x＞2　
a(x－2)2　
(－3，4)　
14. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，☉O是
△ABC的內切圓，三個切點分別為D，E，F，若
BF＝3，AF＝10，則△ABC的面積
是 .
30　
第14題圖　　　
15. 如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，以A為圓心，任意長為半徑作
弧，分別交AB，AD于M，N兩點，分別以M，N為圓心，大于 MN
的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，連接AP并延長交CD于點E，以A
為圓心，AE為半徑作弧，此弧剛好過點B，則CE的長為 .
　　
第15題圖　　
2 －2　
16. 如圖是一張矩形紙片ABCD，E為AD的中點，點F在BC上，把該
紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A'，B'，A'E與BC相交于
點G，B'A'的延長線過點C. 若 ＝ ，則 的值為 　2 　.
　
第16題圖
2 　
三、解答題(本大題共6小題，其中第17題6分，第18題6分，第19題8分，
第20題8分，第21題12分，第22題12分，共52分)
17. 解不等式組： 并把它的解集在數軸上表示出來.
解：
由①，得x＜2；由②，得x≥1.
∴原不等式組的解集是1≤x＜2.
在數軸上表示為
解：
由①，得x＜2；由②，得x≥1.
∴原不等式組的解集是1≤x＜2.
在數軸上表示為
18. 如圖，點A，D，C，F在同一條直線上，AD＝CF，∠BCA＝
∠F，BC＝EF.
求證：△ABC≌△DEF.
證明：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
證明：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
19. 已知A＝ － .
(1)化簡A；
(1)解：A＝ － ＝ － ＝ －
＝ ＝ .
(1)解：A＝ － ＝ － ＝ －
＝ ＝ .
19. 已知A＝ － .
(2)當x滿足不等式組 且x為整數時，求A的值.
(2)解：由不等式組 得1≤x＜3.
∵x滿足不等式組 且x為整數，∴x＝1或2.
又∵(x－1)(x＋1)≠0，∴x＝2.
∴當x＝2時，A＝ ＝1.
(2)解：由不等式組 得1≤x＜3.
∵x滿足不等式組 且x為整數，∴x＝1或2.
又∵(x－1)(x＋1)≠0，∴x＝2.
∴當x＝2時，A＝ ＝1.
20. 某校為了落實貫徹“雙減”政策，課后延時服務開設了多個社
團.“華羅庚基地”數學社團需要添置一些趣味學具，第一次購買該學具
花費2 000元，因學具不夠第二次又花費2 000元購買，但單價比原來上漲
了25％，結果第二次購買的學具比第一次少40件.
(1)求購買的兩批學具單價；
(1)解：設第一批購買的學具單價為x元，
則第二批購買的學具單價為(1＋25％)x元.
依題意，得 － ＝40，解得x＝10.
經檢驗，x＝10是原方程的解，且符合題意.
∴(1＋25％)x＝1.25×10＝12.5.
答：第一批購買的學具單價為10元，第二批購買的學具單價為12.5元.
20. 某校為了落實貫徹“雙減”政策，課后延時服務開設了多個社
團.“華羅庚基地”數學社團需要添置一些趣味學具，第一次購買該學具
花費2 000元，因學具不夠第二次又花費2 000元購買，但單價比原來上漲
了25％，結果第二次購買的學具比第一次少40件.
(2)求該社團前后兩次一共購買學具的數量.
(2)解：第一批購買的學具的數量為2 000÷10＝200(件)，
則第二批購買的學具數量為200－40＝160(件).
∴該社團前后兩次一共購買學具的數量為200＋160＝360(件).
答：該社團前后兩次一共購買學具的數量為360件.
(2)解：第一批購買的學具的數量為2 000÷10＝200(件)，
則第二批購買的學具數量為200－40＝160(件).
∴該社團前后兩次一共購買學具的數量為200＋160＝360(件).
答：該社團前后兩次一共購買學具的數量為360件.
21. 如圖，四邊形ABCD是☉O的內接四邊形，AB＝6，BC＝8，
∠ABC＝90°， ＝ .
(1)求邊CD的長；
(1)解：∵∠ABC＝90°，∴AC是直徑.∴∠ADC＝90°.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝ ＝10.∵ ＝ ，
∴AD＝CD＝ AC＝5 .
(2)已知△ABE與△ABD關于直線AB對稱.
①尺規作圖：作△ABE；(保留作圖痕跡，不寫作法)
②連接DE，求線段DE的長.
(1)解：∵∠ABC＝90°，∴AC是直徑.∴∠ADC＝90°.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝ ＝10.∵ ＝ ，
∴AD＝CD＝ AC＝5 .
(2)①解：如圖所示，△ABE即為所求作.
②解：如圖，過點A作AH⊥BD于點H.
∵ ＝ ，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°.∴△ABH為等腰直角三角形.
∴AH＝BH＝3 .∵AD＝CD＝5 ，
∴在Rt△ADH中，DH＝ ＝4 .
∴BD＝BH＋DH＝7 .
∵△ABE與△ABD關于直線AB對稱，
∴∠EBD＝2∠ABD＝90°，BE＝BD＝7 .
∴△BDE為等腰直角三角形.∴DE＝ ＝14.
22. 在平面直角坐標系中，拋物線G：y＝ax2＋5ax－6a(a≠0)與x軸相
交于點A，B(點A在點B左側)，與y軸相交于點C.
(1)求出點A，B的坐標；
(1)解：對于拋物線y＝ax2＋5ax－6a，令y＝0，得到ax2＋5ax－6a＝
0，解得x＝－6或1，
∴A(－6，0)，B(1，0).
(2)已知點P(t－1，t2－4).
①若對于任意非零實數a，拋物線G總不經過點P，請求出符合條件的
點P的坐標；
②當t＜2時，是否存在非零實數a，使得點P恒在∠ACB的內部？若存
在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.
(1)解：對于拋物線y＝ax2＋5ax－6a，令y＝0，
得到ax2＋5ax－6a＝0，解得x＝－6或1，
∴A(－6，0)，B(1，0).
(2)解：①∵對于任意非零實數a，拋物線y＝ax2＋5ax－6a總不經過
點P(t－1，t2－4)，
∴t2－4≠a(t－1)2＋5a(t－1)－6a.∴(t－2)(t＋2)≠a(t＋5)(t－2).
∴(t＋2)≠a(t＋5).∴t＝－2或－5.∴點P的坐標為(－3，0)
或(－6，21).
②存在.對于P(t－1，t2－4)，令x＝t－1，則t＝x＋1，∴y＝(x＋1)2
－4.
∴點P的軌跡是拋物線y＝(x＋1)2－4，對稱軸為x＝－1，
(2)解：①∵對于任意非零實數a，拋物線y＝ax2＋5ax－6a總不經過
點P(t－1，t2－4)，
∴t2－4≠a(t－1)2＋5a(t－1)－6a.∴(t－2)(t＋2)≠a(t＋5)(t－2).
∴(t＋2)≠a(t＋5).∴t＝－2或－5.∴點P的坐標為(－3，0)
或(－6，21).
②存在.對于P(t－1，t2－4)，令x＝t－1，則t＝x＋1，
∴y＝(x＋1)2－4.
∴點P的軌跡是拋物線y＝(x＋1)2－4，對稱軸為x＝－1，
頂點坐標為(－1，－4).
∴當a＞0時，點P可能在∠ACB的內部.
設直線AC的解析式為y＝kx＋b.根據題意，得－6k＋b＝0，
解得b＝6k.
∴直線AC的解析式為y＝kx＋6k.
當直線AC與拋物線(x＋1)2－4相切時，則有
∴x2＋(2－k)x－3－6k＝0.∴Δ＝(2－k)2＋4(3＋6k)＝0.
∴k2＋20k＋16＝0，解得k＝－10＋2 或k＝－10－2 .
當k＝－10＋2 時，
頂點坐標為(－1，－4).
∴當a＞0時，點P可能在∠ACB的內部.
設直線AC的解析式為y＝kx＋b.根據題意，得－6k＋b＝0，
解得b＝6k.
∴直線AC的解析式為y＝kx＋6k.
當直線AC與拋物線(x＋1)2－4相切時，則有
∴x2＋(2－k)x－3－6k＝0.∴Δ＝(2－k)2＋4(3＋6k)＝0.
∴k2＋20k＋16＝0，解得k＝－10＋2 或k＝－10－2 .
當k＝－10＋2 時，
∴直線AC的解析式為y＝(－10＋2 )x－60＋12 ，
∵直線經過(0，－6a)，∴－6a＝－60＋12 .∴a＝10－2 .
當k＝－10－2 時，同法，可得－6a＝－60－12 ，∴a＝10＋
2 ，
∴滿足條件的a的值為10－2 ＜a＜10＋2 .
∴直線AC的解析式為y＝(－10＋2 )x－60＋12 ，
∵直線經過(0，－6a)，∴－6a＝－60＋12 .∴a＝10－2 .
當k＝－10－2 時，同法，可得－6a＝－60－12 ，
∴a＝10＋2 ，
∴滿足條件的a的值為10－2 ＜a＜10＋2 .

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