資源簡介

(共39張PPT)
2025年廣東中考數(shù)學(xué)模擬卷1
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. －9的相反數(shù)是(　A　)
A. 9 B. －9 C. D. －
2. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　D　)
A B C D
A
D
3. 下列計算正確的是(　C　)
A. 3b2＋b2＝4b4 B. (a4)2＝a6
C. (－x2)2＝x4 D. 3a·2a＝6a
4. 如圖，直線l1∥l2，分別與直線l交于點A，B，把一塊含30°角的三
角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝45°，則∠2的度數(shù)是(　B　)
A. 135° B. 105°
第4題圖　　
C
B
C. 95° D. 75°
5. 2020年－2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬
元，設(shè)人均可支配收入的年平均增長率為x，下列方程正確的是(　A　)
A. 5.76(1＋x)2＝6.58 B. 5.76(1＋x2)＝6.58
C. 5.76(1＋2x)＝6.58 D. 5.76x2＝6.58
6. 如果關(guān)于x的分式方程 ＝1的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍
是(　D　)
A. m＜－1 B. m＞－1且m≠0
C. m＞－1 D. m＜－1且m≠－2
A
D
7. 某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學(xué)和三名女同
學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異.若從以上四名同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué)擔(dān)任主持人，則剛好
抽中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是(　A　)
A. B. C. D.
A
8. 如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動點M，N分別從點A，B同時
出發(fā)，沿射線AB，射線BC的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接
DM，MN，ND. 設(shè)點M運動的路程為x(0≤x≤4)，△DMN的面積為
S，下列圖象中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是(　A　)
A B C D
　　　
A
第8題圖　　
9. 為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強動手實踐能力，某校為物理興趣小組的同
學(xué)購買了一根長度為150 cm的導(dǎo)線，將其全部截成10 cm和20 cm兩種長
度的導(dǎo)線用于實驗操作(每種長度的導(dǎo)線至少一根)，則截取方案共有
(　C　)
A. 5種 B. 6種 C. 7種 D. 8種
C
10. 如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分與x軸的一個交
點坐標為(3，0)，對稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：
①abc＞0；②b＝2a；③3a＋c＝0；④關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx
＋c＋k2＝0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根；⑤若點(m，y1)，(－m＋2，
y2)均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＝y(tǒng)2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　B　)
A. 4 B. 3
　
B
C. 2 D. 1
第10題圖
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，今年春節(jié)假期全國國內(nèi)旅游出游308
000 000人次，同比增長23.1％，數(shù)據(jù)308 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示
為 .
12. 若圓錐的底面半徑長2 cm，母線長3 cm，則該圓錐的側(cè)面積
為 cm2(結(jié)果保留π).
3.08×108　
6π　
13. 如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點O. 請?zhí)砑右?br/>個條件： ，使四邊
形ABCD成為菱形.
AD∥BC(答案不唯一)　
第13題圖　　　
14. 如圖，點A在反比例函數(shù)y＝ (k≠0)圖象的一支上，點B在反比例函
數(shù)y＝ 圖象的一支上，點C，D在x軸上，若四邊形ABCD是面積為9的
正方形，則實數(shù)k的值為 .
　　　
第14題圖　
－6　
15. 如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA＝
OB＝4，連接AB，過點O作OA1⊥AB于點A1，過點A1作A1B1⊥x軸于
點B1；過點B1作B1A2⊥AB于點A2，過點A2作A2B2⊥x軸于點B2；過點
B2作B2A3⊥AB于點A3，過點A3作A3B3⊥x軸于點B3；…，按照如此規(guī)
律操作下去，則點A2 023的坐標為 .
　
(4－ ， )　
第15題圖
16. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將AB沿過點A的一條直線折
疊，折痕交直線BC于點P(點P不與點B重合)，點B的對稱點落在矩形
對角線所在的直線上，則PC長為 .
或 或10　
三、解答題(本大題共9小題，共72分)
17. (4分)計算：｜ －1｜－4 sin 30°＋()－1＋(4－π)0.
解：原式＝ －1－4× ＋2＋1＝ .
18. 解方程：x2－3x＋2＝0.
解：x2－3x＋2＝0，(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0.∴x1＝1，
x2＝2.
解：原式＝ －1－4× ＋2＋1＝ .
解：x2－3x＋2＝0，(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0.∴x1＝1，
x2＝2.
19. 為了解學(xué)生完成書面作業(yè)所用時間的情況，進一步優(yōu)化作業(yè)管理，
某中學(xué)從全校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，對他們一周平均每天完成書面
作業(yè)的時間t(單位：分鐘)進行調(diào)查.將調(diào)查數(shù)據(jù)進行整理后分為五組：A
組“0＜t≤45”；B組“45＜t≤60”；C組“60＜t≤75”；D組“75＜
t≤90”；E組“t＞90”.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)這次調(diào)查的樣本容量是 ，請補全條形統(tǒng)計圖；
(2)在扇形統(tǒng)計圖中，A組對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 °，本次調(diào)查數(shù)
據(jù)的中位數(shù)落在 組內(nèi)；
(3)若該中學(xué)有2 000名學(xué)生，請你估計該中學(xué)一周平均每天完成書面作業(yè)
不超過90分鐘的學(xué)生有多少人？
(1)解：補全條形統(tǒng)計圖如下.
50　
36　
C　
(1)解：補全條形統(tǒng)計圖如下.
(3)解：2 000× ＝1 920(人).
答：估計該中學(xué)一周平均每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生有1
920人.
(3)解：2 000× ＝1 920(人).
答：估計該中學(xué)一周平均每天完成書面作業(yè)不超過90分鐘的學(xué)生有1
920人.
20. 一輛巡邏車從A地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向B地， 小時后，
一輛貨車從A地出發(fā)，沿同一路線每小時行駛80千米勻速駛向B地，貨
車到達B地填裝貨物耗時15分鐘，然后立即按原路勻速返回A地.巡邏
車、貨車離A地的距離y(千米)與貨車出發(fā)時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系
如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：
(1)A，B兩地之間的距離是 千米，a＝ ；
(2)求線段FG所在直線的函數(shù)解析式；
60　
1　
(2)解：設(shè)線段FG所在直線的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
將F(1，60)，G(2，0)代入y＝kx＋b，
得 解得
∴線段FG所在直線的函數(shù)解析式為y＝－60x＋120.
20. 一輛巡邏車從A地出發(fā)沿一條筆直的公路勻速駛向B地， 小時后，
一輛貨車從A地出發(fā)，沿同一路線每小時行駛80千米勻速駛向B地，貨
車到達B地填裝貨物耗時15分鐘，然后立即按原路勻速返回A地.巡邏
車、貨車離A地的距離y(千米)與貨車出發(fā)時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系
如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：
(3)貨車出發(fā)多少小時兩車相距15千米？(直接寫出答案即可)
(3)解：當(dāng)貨車出發(fā) 小時或 小時或 小時時，兩車相距15千米.
(3)解：當(dāng)貨車出發(fā) 小時或 小時或 小時時，兩車相距15千米.
21. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，
E是斜邊AC上一點，以AE為直徑的☉O經(jīng)過點D，交AB于點F，連接
DF.
(1)求證：BC是☉O的切線；
(1)證明：如圖1，連接OD. ∵OA，OD是☉O的半徑，
∴OA＝OD. ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD. ∴∠ODA＝∠BAD. ∴OD∥AB.
∴∠ODC＝∠B＝90°.∴OD⊥BC于點D.
又∵OD為☉O的半徑，∴BC是☉O的切線.
(2)若BD＝5，tan∠ADB＝ ，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
　圖1
(1)證明：如圖1，連接OD. ∵OA，OD是☉O的半徑，
∴OA＝OD. ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD. ∴∠ODA＝∠BAD. ∴OD∥AB.
∴∠ODC＝∠B＝90°.∴OD⊥BC于點D.
又∵OD為☉O的半徑，∴BC是☉O的切線.
圖1
(2)解：如圖2，連接OD，OF，DE.
∵在Rt△ABD中，∠B＝90°，tan∠ADB＝ ，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°.
∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10.
∵AE是☉O的直徑，∴∠ADE＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°.
在Rt△ADE中，AD＝10，∴AE＝ ＝ .
∴OA＝ AE＝ .
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°.
　圖2
(2)解：如圖2，連接OD，OF，DE.
∵在Rt△ABD中，∠B＝90°，tan∠ADB＝ ，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°.
∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10.
∵AE是☉O的直徑，∴∠ADE＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°.
在Rt△ADE中，AD＝10，∴AE＝ ＝ .
∴OA＝ AE＝ .
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°.
圖2
∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形.∴∠AOF＝60°.
∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF.
∴S陰影＝S扇形OAF＝ ＝ .
　圖2
∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形.∴∠AOF＝60°.
∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF.
∴S陰影＝S扇形OAF＝ ＝ .
圖2
22. 為了增強學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動，需
購買甲、乙兩種品牌毽子.已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5
個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元.
(1)購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？
(1)解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需要a元，
購買一個乙種品牌毽子需要b元.由題意，
得 解得
答：購買一個甲種品牌毽子需要15元，購買一個乙種品牌毽子需要10元.
(1)解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需要a元，
購買一個乙種品牌毽子需要b元.由題意，
得 解得
答：購買一個甲種品牌毽子需要15元，購買一個乙種品牌毽子需要10元.
22. 為了增強學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動，需
購買甲、乙兩種品牌毽子.已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5
個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元.
(1)解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需要a元，
購買一個乙種品牌毽子需要b元.由題意，
得 解得
答：購買一個甲種品牌毽子需要15元，購買一個乙種品牌毽子需要10元.
(2)若購買甲、乙兩種品牌毽子共花費1 000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于
乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購
買方案？
(2)解：設(shè)購買甲種品牌毽子x個，
購買乙種品牌毽子 ＝(100－ x)個.
由題意，得
解得58 ≤x≤64.
(2)解：設(shè)購買甲種品牌毽子x個，
購買乙種品牌毽子 ＝(100－ x)個.
由題意，得
解得58 ≤x≤64.
∵x和(100－ x)均為正整數(shù)，
∴x＝60，62，64.∴100－ x＝10，7，4.
∴共有3種購買方案.
22. 為了增強學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動，需
購買甲、乙兩種品牌毽子.已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5
個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元.
(1)解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需要a元，
購買一個乙種品牌毽子需要b元.由題意，
得 解得
答：購買一個甲種品牌毽子需要15元，購買一個乙種品牌毽子需要10元.
(3)若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子
利潤是4元，在(2)的條件下，學(xué)校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大
利潤是多少元？
(3)解：設(shè)商家獲得總利潤為y元.由題意，
得y＝5x＋4(100－ x)＝－x＋400.
∵k＝－1＜0，∴y隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x＝60時，y最大＝340.
答：學(xué)校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利
潤最大，最大利潤是340元.
(3)解：設(shè)商家獲得總利潤為y元.由題意，
得y＝5x＋4(100－ x)＝－x＋400.
∵k＝－1＜0，∴y隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x＝60時，y最大＝340.
答：學(xué)校購買甲種品牌毽子60個，購買乙種品牌毽子10個，商家獲得利
潤最大，最大利潤是340元.
23. 如圖，已知∠APB，點M是PB上的一個定點.
(1)尺規(guī)作圖：請在圖1中作☉O，使得☉O與射線PB相切于點M，同時
與PA相切，切點記為N；
(2)在(1)的條件下，若∠APB＝60°，PM＝3，則所作的☉O的劣弧
與PM，PN所圍成圖形的面積是 .
(1)解：如圖所示，☉O為所作.
3 －π　
(1)解：如圖所示，☉O為所作.
　　　圖1
　圖2
24. 綜合與實踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形
的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)
學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地.
(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，
∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交
CF于點D. 則BE與CF的數(shù)量關(guān)系： ，
∠BDC＝ °；
BE＝CF　
30　
圖1　
(2)類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，
∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D. 請
猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝
∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A
作AM⊥BF，垂足為點M. 則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：
.
圖3
BF
＝CF＋2AM　
圖2　
(2)解：BE＝CF，∠BDC＝60°.理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC. ∴∠BAE＝∠CAF.
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF. ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC.
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°.
∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD
＝∠AEB＋30°－(∠AFC－30°)＝60°.
(2)解：BE＝CF，∠BDC＝60°.理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC. ∴∠BAE＝∠CAF.
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF. ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC.
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°.
∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD
＝∠AEB＋30°－(∠AFC－30°)＝60°.
25. 如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c上的點A，C坐標分別為(0，2)，
(4，0)，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且
OM＝2，連接AC，CM.
　　　圖1
　圖2
(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；
(1)解：∵點M在y軸負半軸且OM＝2，∴M(0，－2).
將A(0，2)，C(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c，
得 解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋ x＋2.
(1)解：∵點M在y軸負半軸且OM＝2，∴M(0，－2).
將A(0，2)，C(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c，
得 解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋ x＋2.
25. 如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c上的點A，C坐標分別為(0，2)，
(4，0)，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且
OM＝2，連接AC，CM.
　　　圖1
　圖2
(2)如圖2，點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接AP，CP，
當(dāng)S△PAC＝S△ACM時，求點P的坐標；
　圖1
(2)解：如圖1，過點P作PF⊥x軸于點F，交線段AC于點E，設(shè)直線
AC的解析式為y＝kx＋m(k≠0)，
將A(0，2)，C(4，0)代入y＝kx＋m，得
解得 ∴直線AC的解析式為y＝－ x＋2.
設(shè)點P的橫坐標為p(0＜p＜4)
則P(p，－p2＋ p＋2)，E(p，－ p＋2).
∴PE＝－p2＋ p＋2－(－ p＋2)＝－p2＋4p(0＜p＜4).
圖1
∵S△ACM＝8，∴S△PAC＝ PE·OC＝－2p2＋8p＝8，
解得p1＝p2＝2，∴P(2，5).
∵S△ACM＝8，∴S△PAC＝ PE·OC＝－2p2＋8p＝8，
解得p1＝p2＝2，∴P(2，5).
(3)點D是線段BC(包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋
物線于點Q，交直線CM于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與
△COM相似，請直接寫出點Q的坐標；
(4)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應(yīng)點為點A'，
點C的對應(yīng)點為點C'，在拋物線平移過程中，當(dāng)MA'＋MC'的值最小時，
新拋物線的頂點坐標為 ，MA'＋MC'的最小值
為 .
　圖1
(－ ， )　
2 　
25. 如圖1，拋物線y＝－x2＋bx＋c上的點A，C坐標分別為(0，2)，
(4，0)，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且
OM＝2，連接AC，CM.
(3)解：∵在△COM中，∠COM＝90°，
以點Q，N，C為頂點的三角形與△COM相似，
∴以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形.
又∵QD⊥x軸，直線QD交直線CM于點N，
∴∠CNQ≠90°，即點N不與點O是對應(yīng)點.
故分為∠CQN＝90°和∠QCN＝90°兩種情況討論：
①當(dāng)∠CQN＝90°時，由于QN⊥x軸，∴CQ⊥y軸，
即CQ在x軸上.
又∵點Q在拋物線上，∴此時點B與點Q重合，如圖2，
此時∠CQN＝∠COM＝90°.又∵∠QCN＝∠OCM，
　圖3
(3)解：∵在△COM中，∠COM＝90°，
以點Q，N，C為頂點的三角形與△COM相似，
∴以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形.
又∵QD⊥x軸，直線QD交直線CM于點N，
∴∠CNQ≠90°，即點N不與點O是對應(yīng)點.
故分為∠CQN＝90°和∠QCN＝90°兩種情況討論：
①當(dāng)∠CQN＝90°時，由于QN⊥x軸，∴CQ⊥y軸，
即CQ在x軸上.
又∵點Q在拋物線上，∴此時點B與點Q重合，如圖2，
此時∠CQN＝∠COM＝90°.又∵∠QCN＝∠OCM，
圖3
∴△CQN∽△COM，
即此時符合題意.令y＝－x2＋ x＋2＝0，
解得x1＝－ ，x2＝4(舍去).
∴點Q的坐標，也即點B的坐標是Q1(－ ，0).
②當(dāng)∠QCN＝90°時，如圖3.
∵QD⊥x軸，∠COM＝90°，∴QD∥OM.
∴∠CNQ＝∠OMC.
∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°，
∴△QCN∽△COM，即此時符合題意.
　圖3
∴△CQN∽△COM，
即此時符合題意.令y＝－x2＋ x＋2＝0，
解得x1＝－ ，x2＝4(舍去).
∴點Q的坐標，也即點B的坐標是Q1(－ ，0).
②當(dāng)∠QCN＝90°時，如圖3.
∵QD⊥x軸，∠COM＝90°，∴QD∥OM.
∴∠CNQ＝∠OMC.
∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°，
∴△QCN∽△COM，即此時符合題意.
圖3
∵△QCN∽△COM，∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝
∠OCM.
∵∠DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM，
∴△QDC∽△COM. ∴ ＝ ＝ ＝2，QD＝2DC.
設(shè)點Q的橫坐標為q，則Q(q，－q2＋ q＋2)，D(q，0)，
∴QD＝－q2＋ q＋2，CD＝4－q.∴－q2＋ q＋2＝2(4
－q)，
　圖3
∵△QCN∽△COM，∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝
∠OCM.
∵∠DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM，
∴△QDC∽△COM. ∴ ＝ ＝ ＝2，QD＝2DC.
設(shè)點Q的橫坐標為q，則Q(q，－q2＋ q＋2)，D(q，0)，
∴QD＝－q2＋ q＋2，CD＝4－q.∴－q2＋ q＋2＝2(4－q)，
圖3
解得q1＝ ，q2＝4(舍去)，∴－q2＋ q＋2＝5.
∴點Q的坐標是Q2(，5).綜上所述，
點Q的坐標是Q1(－ ，0)，Q2(，5).
　圖3
解得q1＝ ，q2＝4(舍去)，∴－q2＋ q＋2＝5.
∴點Q的坐標是Q2(，5).綜上所述，
點Q的坐標是Q1(－ ，0)，Q2(，5).
圖3(共40張PPT)
2025年廣東中考數(shù)學(xué)模擬卷2
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選
項，其中只有一個是正確的)
1. 在1，－2，0， 這四個數(shù)中，最大的數(shù)是(　D　)
A. －2 B. 0 C. D. 1
D
2. 如圖，△ABC≌△DEC，點E在線段AB上，∠B＝75°，則∠ACD
的度數(shù)為(　C　)
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
第2題圖
C
3. 下列運算正確的是(　D　)
A. (a2)5＝a5 B. (－2a)3＝－6a3
C. a6÷a2＝a3 D. a－1＝ (a≠0)
4. 若x＞y，則下列式子中錯誤的是(　D　)
A. x－3＞y－3 B. 5x＞5y
C. x＋3＞y＋3 D. －3x＞－3y
D
D
5. “共享單車”為人們提供了一種經(jīng)濟便捷、綠色低碳的共享服務(wù)，成
為城市交通出行的新方式，小文對他所在小區(qū)居民當(dāng)月使用“共享單
車”的次數(shù)進行了抽樣調(diào)查，并繪制成了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(每
一組含前一個邊界值，不含后一個邊界值)，則下列說法正確的是
(　D　)
A. 小文一共抽樣調(diào)查了20人
B. 樣本中當(dāng)月使用“共享單車”
40～50次的人數(shù)最多
C. 樣本中當(dāng)月使用“共享單車”
不足30次的人數(shù)有14人
D. 樣本中當(dāng)月使用次數(shù)不足30次的人數(shù)多于50～60次的人數(shù)
D
第5題圖　
6. 長江比黃河長836 km，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1 284 km，
設(shè)黃河的長度為x km，則可列方程為(　B　)
A. 6x－6(x－836)＝1 284 B. 6x－5(x＋836)＝1 284
C. 6(x＋836)－5x＝1 284 D. 6(x－836)－5x＝1 284
B
7. 如圖，在3×3的正方形方格中，每個小正方形方格的邊長都為1，則
∠1和∠2的關(guān)系是(　D　)
A. ∠2＝2∠1 B. ∠2－∠1＝90°
C. ∠1＋∠2＝90° D. ∠1＋∠2＝180°
　
第7題圖
D
8. 函數(shù)y＝ 與y＝－kx2＋k在同一直角坐標系中的圖象可能是(　A　)
A B C D
A
9. 如圖，弦AB⊥OC，垂足為點C，連接OA，若OC＝8，AB＝12，
則 sin A等于(　C　)
A. B.
　
第9題圖
C
C. D.
10. 如圖，點A，B分別在反比例函數(shù)y＝ (x＞0)，y＝－ (x＞0)的圖
象上，且OA⊥OB，則 sin B的值是(　D　)
A. B. C. D.
D
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11. 如圖，已知AB∥CD，∠2＝142°，則∠1的度數(shù) .
12. 已知代數(shù)式x－3y的值是5，則代數(shù)式－2x＋6y－1的值是 .
38°　
－11　
13. 如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線和∠ACB相鄰的外角平分線
CD交于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E，交AC于點G，若EG＝
4，且GC＝13，則BE長為 .
　
第13題圖　　
17　
14. 將二次函數(shù)y＝x2＋2x＋n的圖象先向右平移2個單位長度，再向上
平移m(m＞0)個單位長度，得到函數(shù)y＝x2－2x＋4的圖象，則m＋n的
值為 .
15. 規(guī)定：a※b＝ab＋a＋b，若2※x＝－16，則x＝ .
4　
－6　
16. 如圖，在△OAB中，∠OAB＝90°，反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象
經(jīng)過A，B兩點，在直線AB上方作△ACB，且AC∥x軸，BC∥y軸，
若 ＝ ，四邊形OACB的面積為27，則k的值為 　 　.
　
第16題圖
　
三、解答題(本大題共9小題，共72分)
17. 解方程： ＝ .
解： ＝ ，3x＝2(x－3)，3x＝2x－6，3x－2x＝－6，
x＝－6.經(jīng)檢驗，x＝－6是方程的根，
∴原方程的解為x＝－6.
解： ＝ ，3x＝2(x－3)，3x＝2x－6，3x－2x＝－6，
x＝－6.經(jīng)檢驗，x＝－6是方程的根，
∴原方程的解為x＝－6.
18. 如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊的中點，F(xiàn)是CD上一點且CF
＝ BC，連接AF，EF，求證：∠AEF＝90°.
證明：∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝ BC.
又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵CF＝ BC，∴CF＝ CD，CF＝ CE.
設(shè)CF＝a，則CE＝2a，AB＝BC＝CD＝DA＝4a，
DF＝CD－CF＝3a，
根據(jù)勾股定理，得AF2＝AD2＋FD2＝25a2，
EF2＝CF2＋CE2＝5a2，AE2＝EB2＋AB2＝20a2，
∴EF2＋AE2＝25a2，AF2＝25a2.
證明：∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝ BC.
又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵CF＝ BC，∴CF＝ CD，CF＝ CE.
設(shè)CF＝a，則CE＝2a，AB＝BC＝CD＝DA＝4a，
DF＝CD－CF＝3a，
根據(jù)勾股定理，得AF2＝AD2＋FD2＝25a2，
EF2＝CF2＋CE2＝5a2，AE2＝EB2＋AB2＝20a2，
∴EF2＋AE2＝25a2，AF2＝25a2.
∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△EFA是直角三角形. ∴∠AEF＝90°.
19. 如圖，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝7.
(1)用尺規(guī)作BC邊的垂直平分線；(保留作圖痕跡，不寫作法)
(1)解：如圖，DE即為所求.
(1)解：如圖，DE即為所求.
19. 如圖，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝7.
(2)若BC邊的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E，連接BD，求
△ABD的周長.
(2)解：∵DE是BC邊的垂直平分線，∴BD＝DC，
∵AB＝4，AC＝7，
∴△ABD的周長＝AB＋BD＋AD＝AB＋AC＝4＋7＝11.
20. 已知A＝ ·(x－y).
(1)化簡A；
(1)解：A＝ ·(x－y)＝ ·(x－y)＝ .
(2)若x2－6xy＋9y2＝0，求A的值.
(2)解：∵x2－6xy＋9y2＝0，∴(x－3y)2＝0，則x－3y＝0.
∴x＝3y，則A＝ ＝ ＝ .
(1)解：A＝ ·(x－y)＝ ·(x－y)＝ .
(2)解：∵x2－6xy＋9y2＝0，∴(x－3y)2＝0，則x－3y＝0.
∴x＝3y，則A＝ ＝ ＝ .
21. 某中學(xué)持續(xù)開展了A：青年大學(xué)習(xí)；B：青年學(xué)黨史；C：中國夢宣
傳教育；D：社會主義核心價值觀培育踐行等一系列活動，學(xué)生可以任
選一項參加.為了解學(xué)生參與情況，進行了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)
據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)在這次調(diào)查中，一共抽取了 名學(xué)生；
200　
圖1　　 圖2
21. 某中學(xué)持續(xù)開展了A：青年大學(xué)習(xí)；B：青年學(xué)黨史；C：中國夢宣
傳教育；D：社會主義核心價值觀培育踐行等一系列活動，學(xué)生可以任
選一項參加.為了解學(xué)生參與情況，進行了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)
據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(2)補全條形統(tǒng)計圖；
(2)解：參加C項活動的人數(shù)為200－20－80－40＝
60(名)，
補全條形統(tǒng)計圖如下：
(3)若該校共有學(xué)生1 280名，請估計參加B項活動的學(xué)生數(shù)；
(3)解：1 280× ＝512(名).∴估計參加B項活動的學(xué)生為512名.
(2)解：參加C項活動的人數(shù)為
200－20－80－40＝60(名)，
補全條形統(tǒng)計圖如下：
(3)解：1 280× ＝512(名).∴估計參加B項活動的學(xué)生為512名.
(4)小杰和小慧參加了上述活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們參
加同一項活動的概率.
圖1　　 圖2
21. 某中學(xué)持續(xù)開展了A：青年大學(xué)習(xí)；B：青年學(xué)黨史；C：中國夢宣
傳教育；D：社會主義核心價值觀培育踐行等一系列活動，學(xué)生可以任
選一項參加.為了解學(xué)生參與情況，進行了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)
據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(4)解：畫樹狀圖如圖，據(jù)圖，可知有16種等可能的
結(jié)果，其中小杰和小慧參加同一項活動的結(jié)果有4
種，
∴小杰和小慧參加同一項活動的概率為 ＝ .
(4)解：畫樹狀圖如圖，據(jù)圖，可知有16種等可能的
結(jié)果，其中小杰和小慧參加同一項活動的結(jié)果有4種，
∴小杰和小慧參加同一項活動的概率為 ＝ .
22. 某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動.如圖所示，斜坡BE
的坡度i＝1∶ ，BE＝6 m，在B處測得電線塔CD頂部D的仰角為
45°，在E處測得電線塔CD頂部D的仰角為60°.
(1)求點B離水平地面的高度AB；
(1)解：∵斜坡BE的坡度i＝1∶ ，∴ ＝ ＝ .
∵tan∠BEA＝ ＝ ，∴∠BEA＝30°.
∵BE＝6 m，∴AB＝ BE＝3 m.
答：點B離水平地面的高度AB為3 m.
(1)解：∵斜坡BE的坡度i＝1∶ ，∴ ＝ ＝ .
∵tan∠BEA＝ ＝ ，∴∠BEA＝30°.
∵BE＝6 m，∴AB＝ BE＝3 m.
答：點B離水平地面的高度AB為3 m.
(2)求電線塔CD的高度(結(jié)果保留根號).
(2)解：如圖，作BF⊥CD于點F，則四邊形ABFC是矩
形，AB＝CF＝3 m，BF＝AC，設(shè)DF＝x m，
在Rt△DBF中，tan∠DBF＝ ，∠DBF＝45°，
∴BF＝ ＝x m.
在Rt△ABE中，AE＝ ＝3 .
在Rt△DCE中，DC＝DF＋CF＝(x＋3)m，tan∠DEC＝ ，
∴EC＝ ＝ (x＋3).
∴BF＝AE＋EC. ∴3 ＋ (x＋3)＝x.∴x＝6 ＋6.
∴CD＝6 ＋6＋3＝(6 ＋9)(m).
答：電線塔CD的高度為(6 ＋9) m.
∴EC＝ ＝ (x＋3).
∴BF＝AE＋EC. ∴3 ＋ (x＋3)＝x.∴x＝6 ＋6.
∴CD＝6 ＋6＋3＝(6 ＋9)(m).
答：電線塔CD的高度為(6 ＋9) m.
23. 為響應(yīng)政府號召，某地水果種植戶借助電商平臺，在線下批發(fā)的
基礎(chǔ)上同步在電商平臺上零售水果.已知線上零售40千克，線下批發(fā)
80千克水果共獲得4 000元；線上零售60千克和線下批發(fā)80千克水果
銷售額相同.
(1)求線上零售和線下批發(fā)水果的單價分別為每千克多少元？
(1)解：設(shè)線上零售水果的單價為每千克x元，線下批發(fā)的單價為
每千克y元.
由題意，得 解得
答：線上零售水果的單價為每千克40元，
線下批發(fā)的單價為每千克30元.
(2)若該地區(qū)水果種植戶張大叔某月線上零售和線下批發(fā)共銷售水果2 000
千克，設(shè)線上零售m千克，獲得的總銷售額為w元.
①求w與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若總銷售額為70 000元，則線上零售量為多少千克？
23. 為響應(yīng)政府號召，某地水果種植戶借助電商平臺，在線下批發(fā)的
基礎(chǔ)上同步在電商平臺上零售水果.已知線上零售40千克，線下批發(fā)
80千克水果共獲得4 000元；線上零售60千克和線下批發(fā)80千克水果
銷售額相同.
(2)①解：由題意，可得線上零售m千克，
則線下批發(fā)(2 000－m)千克，
∴w＝40m＋30(2 000－m)＝10m＋60 000，
即函數(shù)關(guān)系式為w＝10m＋60 000.
②解：由①，可得當(dāng)w＝70 000時，10m＋60 000＝70 000，
解得m＝1 000，
答：線上零售量為1 000千克.
(2)①解：由題意，可得線上零售m千克，
則線下批發(fā)(2 000－m)千克，
∴w＝40m＋30(2 000－m)＝10m＋60 000，
即函數(shù)關(guān)系式為w＝10m＋60 000.
②解：由①，可得當(dāng)w＝70 000時，10m＋60 000＝70 000，
解得m＝1 000，
答：線上零售量為1 000千克.
24. 如圖，在菱形ABCD中，對角線BD＝6 cm，∠A＝60°.點P從A出
發(fā)，沿A→D→B以2 cm/秒的速度勻速運動，到點B停止，過點P作邊
AB的垂線交AB于點Q，以PQ為邊向右作等邊三角形PQE. 設(shè)運動時間
為t秒.
(1)菱形ABCD的邊長為 cm；
(2)當(dāng)P在邊AD上運動時，用含t的代數(shù)式表示PQ，BQ；
(2)解：經(jīng)過t秒時，AP＝2t cm.
∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝30°.∴AQ＝t cm，PQ＝ t cm.
∴BQ＝BA－AQ＝(6－t)cm.
6　
(2)解：經(jīng)過t秒時，AP＝2t cm.
∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝30°.∴AQ＝t cm，PQ＝ t cm.
∴BQ＝BA－AQ＝(6－t)cm.
24. 如圖，在菱形ABCD中，對角線BD＝6 cm，∠A＝60°.點P從A出
發(fā)，沿A→D→B以2 cm/秒的速度勻速運動，到點B停止，過點P作邊
AB的垂線交AB于點Q，以PQ為邊向右作等邊三角形PQE. 設(shè)運動時間
為t秒.
(3)連接BE，當(dāng)△QEB是直角三角形時，求t的值.
(3)解：當(dāng)點P在AD上時，△QEB是直角三角形，①當(dāng)
∠QEB＝90°時，如圖1.
圖1　　圖2
∵PQ⊥AB，∠PQE＝60°，∴∠EQB＝30°.
∵QE＝PQ＝ t cm，∴QB＝2t cm.∴2t＝6－t.∴t
＝2.
②當(dāng)∠EBQ＝90°時，如圖2，此時BE＝ QE＝ PQ
＝ t，∴QB＝ t.∴6－t＝ t，解得t＝2.4.
當(dāng)點P在BD上運動時，△QEB不可能是直角三角形，
∴當(dāng)△QEB是直角三角形時，t＝2或2.4.
(3)解：當(dāng)點P在AD上時，△QEB是直角三角形，①當(dāng)
∠QEB＝90°時，如圖1.
∵PQ⊥AB，∠PQE＝60°，∴∠EQB＝30°.
∵QE＝PQ＝ t cm，∴QB＝2t cm.∴2t＝6－t.∴t＝2.
②當(dāng)∠EBQ＝90°時，如圖2，此時BE＝ QE＝ PQ
＝ t，∴QB＝ t.∴6－t＝ t，解得t＝2.4.
當(dāng)點P在BD上運動時，
△QEB不可能是直角三角形，
∴當(dāng)△QEB是直角三角形時，
t＝2或2.4.
圖1　　 圖2
25. 我們規(guī)定：若拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，b≠0且a≠b)，拋
物線C2：y＝bx2＋cx＋a則稱C1與C2互為“湘一相依拋物線”.例如：
拋物線C1：y＝－x2＋2x＋3與拋物線C2：y＝2x2＋3x－1就是一組“湘
一相依拋物線”，根據(jù)該規(guī)定，解答下列問題：
(1)已知拋物線C1：y＝－2x2＋x－5，求其“湘一相依拋物線”C2的解
析式；
(1)解：由題意，得拋物線C1的“湘一相依拋物線”
C2的解析式為y＝x2－5x－2.
(1)解：由題意，得拋物線C1的“湘一相依拋物線”
C2的解析式為y＝x2－5x－2.
25. 我們規(guī)定：若拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，b≠0且a≠b)，拋
物線C2：y＝bx2＋cx＋a則稱C1與C2互為“湘一相依拋物線”.例如：
拋物線C1：y＝－x2＋2x＋3與拋物線C2：y＝2x2＋3x－1就是一組“湘
一相依拋物線”，根據(jù)該規(guī)定，解答下列問題：
(2)若拋物線C1：y＝ax2－ax＋2c的頂點在其“湘一相依拋物線”C2的
圖象上，試求出拋物線C2的圖象經(jīng)過的定點坐標；
(2)解：∵y＝ax2－ax＋2c＝a(x－ )2＋2c－ a，
∴頂點坐標為(，2c－ a).
∵拋物線C1的“湘一相依拋物線”C2的解析式為y＝－ax2＋2cx＋a，
且拋物線C1的頂點在C2的圖象上，
∴2c－ a＝－ a＋c＋a.∴c＝a.∴y＝－ax2＋2ax＋a.
∴當(dāng)y＝0時，－ax2＋2ax＋a＝0，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ .
∴拋物線C2過定點(1＋ ，0)，(1－ ，0).
(2)解：∵y＝ax2－ax＋2c＝a(x－ )2＋2c－ a，
∴頂點坐標為(，2c－ a).
∵拋物線C1的“湘一相依拋物線”C2的解析式為y＝－ax2＋2cx＋a，
且拋物線C1的頂點在C2的圖象上，
∴2c－ a＝－ a＋c＋a.∴c＝a.∴y＝－ax2＋2ax＋a.
∴當(dāng)y＝0時，－ax2＋2ax＋a＝0，解得x1＝1＋ ，x2＝1－ .
∴拋物線C2過定點(1＋ ，0)，(1－ ，0).
25. 我們規(guī)定：若拋物線C1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，b≠0且a≠b)，拋
物線C2：y＝bx2＋cx＋a則稱C1與C2互為“湘一相依拋物線”.例如：
拋物線C1：y＝－x2＋2x＋3與拋物線C2：y＝2x2＋3x－1就是一組“湘
一相依拋物線”，根據(jù)該規(guī)定，解答下列問題：
(3)已知拋物線C1：y＝mx2＋nx＋t(m，n，t為實數(shù)且m≠0，m≠－1)
與y軸交于點A，其“湘一相依拋物線”C2與y軸交于點B(點A在點B的
上方).拋物線C1與C2的圖象始終有一交點C在與x軸垂直的定直線上運
動.當(dāng)AC⊥BC，AC＝BC，且m，n，t滿足：m－2n－t≤m2≤4m
＋2n＋t時，拋物線C2與直線y＝－x＋1交于M，N兩點，求線段MN
長度的取值范圍.
(3)解：拋物線C1：y＝mx2＋nx＋t的“湘一相依拋物線”C2的解析式
為y＝nx2＋tx＋m，
聯(lián)立 解得x1＝1，x2＝ .
∴C(1，m＋n＋t).
(3)解：拋物線C1：y＝mx2＋nx＋t的“湘一相依拋物線”C2的解析式
為y＝nx2＋tx＋m，
聯(lián)立 解得x1＝1，x2＝ .
∴C(1，m＋n＋t).
對于C1：y＝mx2＋nx＋t，當(dāng)x＝0時，y＝t，
∴A(0，t)，同理B(0，m).
∵點A在點B的上方，∴AB＝t－m.
∵AC⊥BC，AC＝BC，∴AB＝t－m＝2.∴t＝2＋m.
∵ ＝m＋n＋t，∴m＝－n－1，t＝－n＋1.
對于C1：y＝mx2＋nx＋t，當(dāng)x＝0時，y＝t，
∴A(0，t)，同理B(0，m).
∵點A在點B的上方，∴AB＝t－m.
∵AC⊥BC，AC＝BC，∴AB＝t－m＝2.∴t＝2＋m.
∵ ＝m＋n＋t，∴m＝－n－1，t＝－n＋1.
∴C1：y＝－(n＋1)x2＋nx－n＋1，C2：y＝nx2＋(－n＋1)x－n－1.
∵m－2n－t≤m2≤4m＋2n＋t，∴2≤m≤3或－3≤m≤－2.
∴2≤－n－1≤3或－3≤－n－1≤－2.
∴－4≤n≤－3或1≤n≤2.
聯(lián)立 整理，
得nx2＋(－n＋2)x－n－2＝0.
設(shè)nx2＋(－n＋2)x－n－2＝0的兩個根為x1，x2，
則x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∴C1：y＝－(n＋1)x2＋nx－n＋1，C2：y＝nx2＋(－n＋1)x－n－1.
∵m－2n－t≤m2≤4m＋2n＋t，∴2≤m≤3或－3≤m≤－2.
∴2≤－n－1≤3或－3≤－n－1≤－2.
∴－4≤n≤－3或1≤n≤2.
聯(lián)立 整理，
得nx2＋(－n＋2)x－n－2＝0.
設(shè)nx2＋(－n＋2)x－n－2＝0的兩個根為x1，x2，
則x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2＋ ＋5＝4(＋ )2＋4.
∵y1＝－x1＋1，y2＝－x2＋1，∴y1－y2＝x2－x1.
∴(y1－y2)2＝(x2－x1)2＝4(＋ )2＋4.
∵MN2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝8(＋ )2＋8，
當(dāng)－4≤n≤－3時，則－ ≤ ≤－ ，
∴當(dāng) ＝－ 時，MN2有最小值為 ，此時MN最小為 .
當(dāng) ＝－ 時，MN2有最大值為 ，此時MN最大為 .
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2＋ ＋5＝4(＋ )2＋4.
∵y1＝－x1＋1，y2＝－x2＋1，∴y1－y2＝x2－x1.
∴(y1－y2)2＝(x2－x1)2＝4(＋ )2＋4.
∵MN2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝8(＋ )2＋8，
當(dāng)－4≤n≤－3時，則－ ≤ ≤－ ，
∴當(dāng) ＝－ 時，MN2有最小值為 ，此時MN最小為 .
當(dāng) ＝－ 時，MN2有最大值為 ，此時MN最大為 .
當(dāng)1≤n≤2時，則 ≤ ≤1，∴當(dāng) ＝ 時，MN2有最小值為16，
此時MN最小為4.
當(dāng) ＝1時，MN2有最大值為26，此時MN最大為 .
綜上， ≤MN≤ 或4≤MN≤ .
當(dāng)1≤n≤2時，則 ≤ ≤1，∴當(dāng) ＝ 時，MN2有最小值為16，
此時MN最小為4.
當(dāng) ＝1時，MN2有最大值為26，此時MN最大為 .
綜上， ≤MN≤ 或4≤MN≤ .

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