資源簡介

(共15張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.1 冪的運算
3. 同底數冪的除法
第2課時 零次冪與負整數次冪
核心必知
1.零次冪：任何一個不等于零的數的零次冪都等于___，用式
子表示為 .
2.負整數次冪：任何一個不等于零的數的是正整數 次
冪，等于這個數的 次冪的______，用式子表示為
，是正整數 .
1
倒數
1星題 基礎練
零次冪
1.[2024·雅安中考] 計算 的結果是( )
C
A. B.0 C.1 D.4
2.等式 成立的條件是( )
D
A.為有理數 B. C. D.
3.計算：
(1) ___；
(2) ___；
(3)[2024·合肥一模] ___.
1
5
1
負整數次冪
4.計算：
(1) _ _；
(2) _ ____；
(3) ____.
5.把下列各數寫成負整數指數冪的形式：
(1) _____；
(2) ______.
6.計算：
(1) ___；
(2) _____；
(3) _ __；
(4) ___.
3
9
7.若，則 的值是( )
C
A. B. C. D.
2星題 中檔練
8. 若，， ，
，則( )
D
A. B.
C. D.
9. 如圖是一個 的方陣，其中每行、每
列的兩數和相等，則 可以是( )
B
A. B. C.0 D.
10.[2024·合肥月考] 計算：
____.
11
11. [2024·杭州期中] 若，則 的值為
_________.
1或2或4
注意分情況討論，不要漏解.①當 ，
時，解得；②當時，解得 ；③
當時，解得 ，此時
，符合題意.則滿足條
件的 的值為1或2或4．
12.閱讀材料：
求 的值.
解：設 ，①
則 .②
,得 ,
即原式 .
請你仿照此方法計算：
(1) ;
解：設 ,①
則 .②
,得 ,
所以，即原式 .
(2)為大于1的正整數 .
設 ,①
則 .②
,得 ,
所以，即原式 .(共19張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
1. 提公因式法
核心必知
1.把一個多項式化為幾個整式的____的形式，叫作因式分解，
也叫作把這個多項式分解因式.
2.公因式的確定：
①系數：取各項系數的最大公因數；
②字母或整體：取各項相同字母或整體；
③指數：取相同字母或整體的最低指數.
注意：提公因式要提盡，不要漏乘，分解到不能再分解為止.
積
1星題 基礎練
因式分解的定義
1.［知識初練］下列各式從左到右的變形中：
，
， ，
______的等號右邊是整式的積的形式，左邊是多項式，所以
屬于因式分解的有______.(均填序號)
2.[2024·上海期中] 下列各式從左到右是因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
公因式
3.［知識初練］多項式 中各項系數的最大公因數是
___，各項中的相同字母是___，各項中的相同字母的指數的
最小值是___，所以這個多項式的公因式是_____.
3
2
4.[2024·合肥模擬] 多項式 的公因式是___.
5.下列各組多項式中，沒有公因式的是( )
D
A.和 B.和
C.和 D.和
運用提公因式法進行因式分解
6.［知識初練］多項式 中每項的公因式
為______，公因式提取出來后，得______，所以
因式分解的結果為______________.
7.多項式 提取公因式后，剩下的因式是( )
C
A. B. C. D.
8.[2024·棗莊中考] 因式分解： __________.
9.填空：
(1) ________；
(2)_____ .
10.用提公因式法分解因式：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
解：原式 .
(3) .
解：原式 .
2星題 中檔練
11.把 分解因式，正確的是
( )
B
A. B.
C. D.
12.計算： 的值是______.
13.[2024·徐州中考] 若， ，則代數式
的值等于___.
2
【變式題】 已知長和寬分別為， 的長方形，其面積等于
15，周長等于16，則 _____.
240
14.已知，，為三角形 的三邊，且滿足
,則三角形 是______三角形.
等腰
15.利用提公因式法進行簡便計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
16. 已知是正整數，請說明 一定是2的倍數.
解：.因為 為正整數，
所以與 是兩個連續的正整數.
因為連續的兩個正整數中必有一個為偶數，
所以 為偶數，
所以 一定是2的倍數.
3星題 提升練
17. ［運算能力］閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出
的問題：
.
(1)上述因式分解的方法是____________；
提公因式法
(2)請用上述方法分解因式：
;
解：
.
(3)請用上述方法分解因式：
為正整數 .
.
榮老師告訴你
1.因式分解與整式乘法是互逆變形，即 .
2.因式分解必須做到兩點：(1)結果必須是因式的積的形式;(2)
每個因式都是整式且不能再分解.(共13張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.1 冪的運算
2. 冪的乘方與積的乘方
第1課時 冪的乘方
核心必知
冪的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數______.用式子表
示為，都是正整數.注意：底數 可以是一
個單項式或一個多項式.
相乘
1星題 基礎練
冪的乘方
1.[2024·重慶期中] 計算 的結果是( )
C
A. B. C. D.
【變式題1】 [2024·河南中考] 計算
的結果是( )
D
A. B. C. D.
【變式題2】 取正整數 的結果是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024·六安一模] 下列各式中，計算結果等于 的是( )
C
A. B. C. D.
3.計算：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) .
原式 .
冪的乘方的逆用
4.計算的結果為 ，則“？”的值為( )
B
A.6 B.4 C.3 D.2
5.(1)若,則 ____；
(2)若，則 ____.
27
16
2星題 中檔練
6.若，,則用含的代數式表示 為( )
B
A. B. C. D.
7.［整體思想］[2024·黃山期末] 已知 ，則
的值為____.
32
8.[2024·阜陽期中] 若,，則 的值為____.
12
主題情境
點點一家到水上樂園游玩，愛思考的點點，發現了一些
生活中的數學問題，請完成第 題.
9.水上樂園有一個圓形泳池.若該泳池的半徑是 ，則該
泳池的占地面積是__________.
10.水上樂園有一個水上步行球，其形狀為規則的球體.已知
該水上步行球的半徑為 ，則該水上步行球的體積約為
_____________ 取3，球體的體積公式為
11.若，均為實數，， ，求
(用含, 的代數式表示).
解：因為,,所以 ,
,所以 .
3星題 提升練
12.［運算能力］如果，，，那么 ，
， 的大小關系是( )
C
A. B. C. D.
，
， .因為
，所以 .(共11張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.2 整式乘法
1. 單項式與單項式相乘
核心必知
單項式乘法法則：單項式相乘，把系數、同底數冪分別
_______，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字
母，則連同它的指數作為積的一個因式.
相乘
1星題 基礎練
單項式乘法法則
1.［知識初練］ (______)
(______) (___) _________.
2.下列計算正確的是( )
A
A. B.
C. D.
3.計算 的結果是( )
C
A. B. C. D.
4.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
單項式乘法法則的應用
5.[2024·六安月考] 長方體的長是 ，寬是
，高是 ，那么它的體積是________
.
2星題 中檔練
6. 如圖，陰影部分的
面積______.(用含 的式子表示)
7.已知單項式與的積為，則 的值
為____.
，
故，，所以 .
8. 若“ ”表示 ,“ ”表示
,則 × __________.
9.計算： .
解：原式
．
10.閱讀下列解答過程，在橫線上填上恰當的內容.
①
②
.③
上述過程錯在第____步，原因是________________________
_____;
①
弄錯了乘方和乘法的運算順序
請寫出正確的解答過程.
解：正確的解答過程如下：原式
.(共24張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.2 整式乘法
3. 多項式與多項式相乘
核心必知
多項式與多項式的乘法法則:多項式與多項式相乘,先用一個
多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的
積______.
圖解計算
相加
1星題 基礎練
多項式與多項式的乘法法則
1.計算 的結果是( )
D
A. B.
C. D.
2.[2024·淮北期中] 若 ，則
下列結論正確的是( )
D
A. B. C. D.
3.計算： _____________.
4.化簡 的結果是________.
5.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ;
解：原式 .
(3) .
解：原式 .
多項式與多項式的乘法法則的應用
6.[2024·安慶期中] 如圖是由三個
長相等、寬不等的小長方形組成的
一個大長方形，用，， 表示大
長方形的面積為( )
D
A. B. C. D.
7. 從前一位莊園主把一塊長為 ，寬為
的長方形土地租給一位租戶，第二年，他
對租戶說：“我把這塊地的長增加，寬減少 ，繼續
租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，
你覺得租戶的租地面積會( )
A
A.變小 B.變大 C.沒有變化 D.無法確定
8. ［數形結合思想］“以形釋數”是利用數形結合思想證明代
數問題的一種體現，進行整式的乘法運算時，經常利用幾何
直觀和面積法獲取結論.如
就能用如圖①所示圖形
的面積來表示.
(1)請你寫出圖②所表示的一個等式：____________________
_______________；
(2)請你畫出一個圖形，使它的面積能表示：
.
解：如答圖所示.(畫法不唯一)
2星題 中檔練
9. ［整體思想］[2024·合肥期末] 已知， ，
則 的值為____.
10.設，，則___ .
(填“ ”或“ ”)
11.如圖，有正方形卡片 類、
類和長方形卡片 類若干張，
若要拼一個長為 ，寬
C
A.5張 B.6張 C.7張 D.8張
為的大長方形，則需要 類卡片( )
12.要使多項式展開后不含 的二次項，
則與 的關系是( )
B
A. B. C. D.
13. 如圖，某小區有一塊長為
，寬為 的長方形地塊，
物業公司在此長方形地塊內修建了一條平行
四邊形小路，小路的底邊寬為 ，為了進
一步美化小區環境，提高業主居住舒適度和幸福感，營造一
個宜居、溫馨、和諧的居住氛圍，近期，物業公司計劃將圖
中陰影部分進行綠化.
(1)用含有， 的式子表示綠化的
面積 ；
解：由題意得
.
(2)若， ，請你幫助物
業公司求出此時綠化的面積.
當， 時，
.
14.小馬和小睿兩人共同計算一道整式乘法題：
，由于小馬抄錯了 的符號，得到的結果為
；由于小睿漏抄了第二個多項式中 的系數，
得到的結果為 .
(1)求出， 的值；
解：因為小馬抄錯了 的符號，得到的結果為
，所以，所以 .
因為小睿漏抄了第二個多項式中 的系數，得到的結果為
，所以 ，
所以 .
解得
(2)請你計算出這道整式乘法題的正確結果.
因為, ，所以
．
3星題 提升練
15. ［運算能力］回答下列問題：
(1)計算：
① ____________；
② _____________；
③ ______________.
(2)由(1)的結果，直接寫出下列算式的結果：
① ____________；
② ____________；
③ _____________.
(3)總結公式： __________________.
(4)已知，， 均為整數，且
，求 的所有可能值.
解：由(3)可知 中，
，.因為,,均為整數，且 或
或或 ，所以
或或5或 .(共13張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.1 冪的運算
3. 同底數冪的除法
第3課時 科學記數法
核心必知
用科學記數法表示絕對值較小的數：絕對值小于1的數可記
成的形式，其中，是________， 等
于原數中第一個不等于零的數字前面的零的個數
(包括小數點前面的一個零).
正整數
1星題 基礎練
用科學記數法表示絕對值較小的數
1.［知識初練］將表示成 的形式，因為
，所以 _____；因為小數點向右移動了6位，
所以___，因此 ___________.
6
2. [2024·合肥期末] 石墨烯是碳的同素異形體，
具有優異的光學、電學、力學特性，在材料學、能源、生物
醫學等方面具有重要的應用前景.單層石墨烯的厚度為
，將 這個數用科學記
數法表示為_____________.
3. 劉禹錫有詩云：“庭前芍藥妖無格，池上芙
蕖凈少情.唯有牡丹真國色，花開時節動京城.”紫斑牡丹為國
家重點一級保護野生植物，在顯微鏡下可見其花粉粒呈類圓
形或橢圓形，直徑為，其中 .
把“”換算成以“ ”為單位的用科學記數法表示的數為
______________.
4.一次抽獎活動特等獎的中獎率為， 用科學記數
法可表示為( )
D
A. B. C. D.
還原用科學記數法表示的數
5.將下列用科學記數法表示的數還原：
(1) __________；
(2) ___________.
6. 巨噬細胞是人體的清道夫，一直在為我們的
身體做清潔工作，它是由單核細胞演變而來的，直徑可達
.將數據寫成小數的形式為 ，這
個小數中0的個數為___.
5
2星題 中檔練
7. [2024·駐馬店一模] 芯片制造過程中，需要
在芯片表面上沉積各種薄膜層，如金屬、絕緣體和半導體.
單位“埃”被用來描述薄膜的厚度，符號為“ ”.已知1
，即納米的十分之一. “15 ”用科學記
數法可表示為，則 ( )
D
A.8 B. C.9 D.
8.已知，，， .
(1)計算： ______________，用科學記數法表示為
_________；
(2)發現規律：如果一個小數的小數點后有 個數字，那么這
個小數的平方的小數點后有____個數字.
9.科學研究發現，一個水分子的質量大約是
.
(1)用科學記數法表示此數：__________；
(2) 水中大約有多少個水分子？
解：因為，所以 水中大約有
(個)水分子.
(3)通過進一步研究，科學家發現：一個水分子是由兩個氫原
子和一個氧原子構成的.已知一個氧原子的質量約為
，求一個氫原子的質量.
一個氫原子的質量約為
．(共18張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
2. 公式法
第3課時 其他常見分解因式的方法
分組分解法
1.【閱讀材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公
式法等，但有的多項式不能直接用上述兩種方法進行分解，
比如多項式 .這樣我們就需要結合式子特
點，探究新的分解方法.仔細觀察這個四項式，會發現：若把
它的前兩項結合為一組，把它的后兩項結合為一組，對前后
兩組分別進行因式分解后會出現新的公因式，提取新的公因
式就可以完成對整個式子的因式分解.具體過程如下：
例：
分成兩組
分別分解
.提取公因式完成分解
像這種將一個多項式適當分組后，再分解因式的方法叫作分
組分解法.分組分解法一般是針對四項或四項以上的多項式，
關鍵在恰當分組，分組要有“預見性”，預見下一步能繼續分
解，直到完成分解.
(1)下列關于上述方法中“分組”目的的說法正確的是________.
(填序號)
①分組后組內能出現公因式；
②分組后組內能運用公式；
③分組后組間能繼續分解.
(2)若要將以下多項式進行因式分解，怎樣分組比較合適？
① ___________________；
② __________________________
___.
(3)利用分組分解法進行因式分解： .
解： ．
2.一般的分組分解法有“”分法、“”分法、“ ”
分法及“ ”分法等.如：
.
根據以上方法，對下列各式進行因式分解：
(1) ；
解： .
(2) ；
解： .
(3) .
解：
.
拆項法
3.[2024·寧波月考] 【學習材料】拆項法.
在對某些多項式進行因式分解時，需要把多項式中的某一項
拆成兩項或多項，再分組進行因式分解.
例1：因式分解： .
例1解：原式
.
例2：因式分解： .
例2解：原式
.
【知識應用】請根據以上材料中的方法，對下列各式進行因
式分解：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
十字相乘法
4.【閱讀材料】根據多項式的乘法法則，可知
.
那么，反過來，也有 .
這就是將某些二次項系數是1的二次三項式進行的因式分解.
例如：將 分解因式，我們可以按下面方法解答：
解：步驟：①豎分二次項與常數項
②交叉相乘，驗中項：
.
③橫向寫出兩因式： .
注：我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相
乘法.
【知識應用】
(1)因式分解：
① ______________；
② _________________；
(2)因式分解： ；
解：原式
.
【拓展提升】
(3)因式分解： .
解：原式 ．
【補充設問】 十字相乘法對二次項系數不是1的二次三項式
同樣適用，請對下式進行因式分解： .
解：原式 .(共21張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.3 完全平方公式與平方差公式
第2課時 平方差公式
核心必知
平方差公式:
平方差公式用語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差的積，
等于這兩個數的平方差.
1星題 基礎練
平方差公式
1.［知識初練］多項式和 中完全相同的項是___，
互為相反數的項是___和____，由平方差公式可知
______ ________.
6
6
2.下列各式中，不能用平方差公式計算的是( )
D
A. B.
C. D.
3.[2024·上海中考] 計算： ________.
4.已知，那么 ____.
5.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 ．
平方差公式的幾何意義
6.將如圖①所示的長方形沿虛線
剪開，拼成如圖②所示的圖形，
根據兩個圖形的面積關系得到的
數學公式是__________________
________.
7.如圖，在邊長為 的正方形
中央剪去一個邊長為
的小正方形 ，將剩余
C
A. B.
C. D.
部分剪開密鋪成一個平行四邊形，則該平行四邊形的面積為
( )
利用平方差公式進行簡便運算
8. 運用平方差公式進行簡便計算： .
解：原式
.
2星題 中檔練
9.[2024·蕪湖月考] 一個正整數若能表示為兩個正整數的平方
差，則稱這個正整數為“創新數”，例如 ，
，故27，63都是“創新數”.下列各數中，不是
“創新數”的是( )
D
A.31 B.41 C.16 D.54
因為 ，
，
，54不能表示成兩個正整
數的平方差,所以31，41和16是“創新數”，而54不是“創新數”.
10.計算： ___________.
11.[2024·無錫期中] 如圖，一個長
方形運動場被分割成、、 、
、共5個區，區是邊長為
的正方形，區是邊長為 的小
正方形.列式表示整個長方形運動場的面積為______________.
12.先化簡，再求值：
，其中， 滿足
.
解： .
因為 ，
所以， ，
解得， ，
所以原式 .
13. ［整體思想］[2024·北京月考] 已知 ,求
代數式 的值.
解：原式 .
因為,所以 ,
所以原式 .
3星題 提升練
14. ［幾何直觀］某數學興趣小組用“等面積法”
分別構造了以下四種圖形驗證“平方差公式”：
(1)【探究】以上四種圖形中能夠驗證“平方差公式”的有
________；(填序號)
(2)【應用】利用“平方差公式”計算：
；
解：
.
(3)【拓展】計算：
.
原式
.(共10張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
專題訓練6 方法整合 因式分解的常見方法
專題訓練6
方法指導
提公因式法
1.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
如果一個多項式第一項含有“-”號，一般要將“-”號
一并提出，但要注意括號里面的各項要改變符號.
2.把下列各式分解因式：
(1) ;
解：原式
(2) .
解：原式
.
將多項式中的某些項變形時，要注意符號的變化.
公式法
3.把下列各式分解因式：
(1) ;
解：原式 .
(2) .
解：原式
.
4.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式
.
(2) .
解：原式
.
分組分解法
5.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式
.
(2) .
解：原式
.
十字相乘法
6.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
先提公因式
無公因式用公式
以上不行，用十字
還不行，先分組
重復以上，直到不能分解(共11張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
2. 公式法
第2課時 綜合運用提公因式法與公式法分
解因式
1星題 基礎練
綜合運用提公因式法與公式法分解因式
1.把多項式 分解因式，結果正確的是( )
C
A. B.
C. D.
2.多項式 因式分解為( )
A
A. B. C. D.
3.一次課堂練習，小穎同學做了以下幾道因式分解題，其中
沒有分解徹底的是( )
A
A.
B.
C.
D.
4.利用因式分解計算 的結果是( )
D
A.44 B.800 C.2 200 D.8 800
5.因式分解：
(1)[2024·合肥一模] _________________.
(2) _______________.
6.把下列各式分解因式：
(1) ;
解：原式 .
(2) ;
解：原式
.
2星題 中檔練
7.分解因式： __________________
_________________.
8. 請你寫出一個只含有三項的多項式，使它在提
取公因式后還能用完全平方公式分解因式.你寫出的符合條件
的多項式是____________________________.
(答案不唯一)
9.在有理數范圍內把 分解因式，結果中因式的個數是
( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
因為
,
所以結果中因式的個數是5.
10.[2024·杭州模擬] 某密碼研究小組接收到一條密文：
.已知密碼手冊中，有這樣一條
信息：，，，，8， 分別對應下列六
個字：我、愛、中、華、大、地.把密文
用因式分解解碼后，明文可能
是( )
D
A.中華大地 B.愛我中華 C.愛大中華 D.我愛中大
11.已知長方形的長為，寬為 ，周長為16，兩邊的平方和
為40.
(1)求此長方形的面積；
解：由題意知 ,
所以 .
因為,所以 .
答：此長方形的面積為12.
(2)求 的值.
.(共12張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.3 完全平方公式與平方差公式
第3課時 乘法公式的靈活運用
1星題 基礎練
乘法公式的靈活應用
1. 小華同
學在學習整式乘法時發現，如
果合理地使用乘法公式可以簡
(1)用字母表示出小華在此題的計算中運用的乘法公式：
_______________________________________________；
,
化運算，于是如下計算題她是這樣做的：
(2)小禹看到小華的做法后，對她說：“你做錯了，在第一步
運用公式時出現了錯誤，你好好檢查一下.”小華仔細檢查后
自己找到了如下一處錯誤：
小禹看到小華的改錯后說：“你還有錯沒有改出來.”
小華還有哪些錯誤沒有改出來？請你幫助小華把第一步中的其
他錯誤繼續圈畫出來(無需改正)，再完成此題的正確解答過程.
解：正確解答過程如下：
.
2.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式
.
(3) ；
解：原式 ．
(4) .
解：原式 .
2星題 中檔練
3. 的計算
結果是( )
D
A. B. C. D.
把2轉化為 再計算.
4.利用我們學過的知識，可以得出下面這個形式優美的等
式： .
(1)請你檢驗這個等式的正確性；
解：
.
(2)若，， ，求出
的值.
根據題意，
得.當，， 時，原式
.(共13張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.1 冪的運算
2. 冪的乘方與積的乘方
第2課時 積的乘方
核心必知
1.積的乘方法則：積的乘方等于各因式乘方的____，用式子
表示為______是正整數 .
積
2.積的乘方法則的逆用：是正整數 .
1星題 基礎練
積的乘方法則及運算
1.［知識初練］根據乘方的意義和乘法運算律可知
________×________
____________ .
2.[2024·上海中考] 計算： ______.
3.[2024·合肥三模] 計算 的結果是( )
D
A. B. C. D.
4.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ;
原式 .
(3) ;
解：原式 .
(4) .
原式 .
積的乘方的逆用
5.[2024·安慶期中] 計算： ___.
【補充設問】計算： _______.
1
積的乘方法則的應用
6.一個正方體的棱長為 ，它的體積為
，是正整數，則_____，
____.
10
7. [2024·運城期中] 在狹義相對論中，愛因斯
坦用質能方程描述了物體能量與質量之間的關系，能量
(單位：)與物體質量(單位： )之間的關系可以用
來表示，其中是真空中的光速，
(單位：).若一個物體的質量為 ，則該物體的能量
為( )
B
A. B.
C. D.
2星題 中檔練
8.下列計算正確的是( )
D
A. B.
C. D.
9. [2024·南京月
考] 如圖，王老師把家里的
密碼設置成了數學問題.
吳同學來王老師家做客，看到
圖片，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了
王老師家里的網絡，那么她輸入的密碼是___________.
10.若，則 ____.
11.已知,，為自然數，請求出
的值.
解： .當
, 時，原式
.
12.比較與 的大小.
解： ,
.
因為，所以 ,即
.(共25張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.3 完全平方公式與平方差公式
第1課時 完全平方公式
核心必知
完全平方公式：
完全平方公式用語言敘述：兩個數的和(或差)的平方，等于
這兩個數的平方和加(或減)這兩個數乘積的2倍.
1星題 基礎練
完全平方公式
1.[2024·上海月考] 下列算式能用完全平方公式計算的是
( )
B
A. B.
C. D.
2.下列計算正確的是( )
D
A.
B.
C.
D.
3.[2024·合肥月考] 若，則
的值為( )
A
A. B. C. D.
4.計算：
(1) ____________；
(2) ______________；
(3) ___________________________.
原式 .
5.計算：
(1) ;
解：原式
(2) .
解：原式 .
完全平方公式的幾何意義
6.［知識初練］ 如圖是利用割補法求圖形面積
的示意圖，則與之相對應的公式是______________________
___.
7.如圖①是一個長為、寬為 的長方形，沿圖中虛線用剪
刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大
正方形，如圖②所示，請直接寫出，，
之間的等量關系：_________________________.
利用完全平方公式進行簡便計算
8.利用完全平方公式進行簡便計算:
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
2星題 中檔練
9.若，是整數，則 的值一定是
( )
D
A.正數 B.負數 C.非負數 D.4的倍數
因為 ，
且, 是整數,所以
的值一定是4的倍數.
10. ［分類討論思想］[2024·安慶月考] 若
是關于的完全平方式，則 的值為_______.
或7
【變式題】 若二項式 加上一個單項式后可以寫成一
個整式的平方，則這樣的單項式共有( )
D
A.1個 B.2個 C.3個 D.5個
式子和4分別是 和2的平方，可當作首尾兩項，
根據完全平方公式可得中間項為，同時還應看到
加上或或 后也可分別構成一個整式的平方.
11.[2024·臺州期中] 數學活動課上，老師準備了若干張如圖
①的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形， 種紙片是邊
長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用
種紙片一張，種紙片一張， 種紙片兩張拼成如圖②的大
正方形.
(1)觀察圖②，下列三個代數式：，， 之
間的等量關系為________________________；
(2)若要拼出一個面積為的長方形，則需要
種紙片1張，種紙片2張， 種紙片___張.
3
(3)根據(1)題中的等量關系，解決如下問題：
①已知：，，則___， ____.
6
②已知，求 的值.
解：令 ，
則， ，
因為 ，
所以，解得 ．
所以．所以 ．
【補充設問】 若，求 的值.
解：因為 ，
所以,所以 ,
即,所以 .
3星題 提升練
12. ［運算能力］已知 ，
.
(1)填空： _____；
______；(均用含 的式子表示)
(2)求的值；(用含 的式子表示)
解：因為 ，
，所以 ，
所以 .
(3)試說明： .
由(2)知 .
因為 ，
所以 ，
所以 .
榮老師告訴你
完全平方公式常見的變形：
(1);
(2).(共9張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.1 冪的運算
1. 同底數冪的乘法
核心必知
1星題 基礎練
同底數冪的乘法
1.［知識初練］ ___ + ___=____.
2
3
2.在等式() 中,括號內的代數式為( )
D
A. B. C. D.
3. 下列計算正確的是 ( )
D
A. B.
C. D.
4. 計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) .
原式 .
同底數冪的乘法的逆用
5.［知識初練］已知， ，那么
___________ ____.
12
6.[2024·合肥月考] 已知,,則 ____.
10
2星題 中檔練
7.［整體思想］計算 ( )
B
A. B. C. D.
8.[2024·宿州月考] 若，則 ( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
【變式題】 已知，則 ___.
4
9.一種計算機每秒可做次運算，它工作 運算
的次數為___________(結果用科學記數法表示).
10.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
解：原式 .
(3) .
解：原式 .
同底數冪相乘，底數不變，指數相加
法則
1am·un=am+n(m,n都是正整數)
拓展
同底數冪的乘法
am·aun·CP=0um+n+p(m,n,p都是正整數)
字母可以是一個單項式，也可以是一
個多項式
注意
底數相同時
→直接應用法則
底數不同時
>先變成同底數再
應用法則
常見變形：（-u)2=2,(-)3=-03(共7張PPT)
專題訓練5 專項整合
乘法公式在最值問題中的運用
專題訓練5
【閱讀材料】
利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式最
大值、最小值問題.
例：(1) .
因為，所以 .
所以代數式的最小值為 .
(2) .
因為 ，所以
.
所以代數式 的最大值為7.
【嘗試應用】閱讀上述材料并回答下列問題：
(1)代數式 的最小值為____；
(2)已知，，請比較與 的
大小，并說明理由；
解： ，理由如下：因為
，
且對于任意的都有 ，所以
．所以 ．
【拓展提高】
(3)點點所在學校打算把 長的籬笆圍成
長方形形狀的生物園來飼養小兔，生物園的
示意圖如圖所示，怎樣圍可使小兔的活動范
圍最大？請嘗試用以上方法求出長方形生物園的最大面積.
設，長方形的面積為 ，
所以 ．
因為，所以 ，當且僅
當時， ，
所以當 時，可使小兔的活動范圍最大，長方形生
物園的最大面積為 ．
(2)-x2+4x+3=-(x2-4x)+3=-(x2-4x+4-4)+
3=-(x-2)2+4+3=-(x-2)2+7
因為-(x-2)2≤0，所以
-x2+4x+3=-(x-2)2+7≤7.
所以代數式-x2+4x+3的最大值為7.
解：A>B,理由如下：因為
A-B=2x2-3x+2-(x2-x-1)=2x2-3x+2-
x2+x+1=x2-2x+3=(x-1)+2,
且對于任意的x都有(x一1)≥0，所以
A-B=(x-1)2+2≥2>0.所以A>B.(共17張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.4 因式分解
2. 公式法
第1課時 直接運用公式法分解因式
核心必知
1. _________，即兩個數的平方和加(或減)
這兩個數乘積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方. 符
號為正時，，同號；符號為負時，， 異號.
2. _______________，即兩個數的平方差，等于這
兩個數的____與這兩個數的____的積.
和
差
1星題 基礎練
運用完全平方公式進行因式分解
1.［知識初練］因為 ，所以多項式
可以因式分解為_________.
2.因式分解 正確的是( )
A
A. B.
C. D.
3.若多項式 能用完全平方公式進行因式分解，則
正整數 的值等于___.
9
4.在多項式：； ；
； 中，能用完全平方公式分解因
式的是______.(填序號)
5.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
運用平方差公式進行因式分解
6.［知識初練］因為，所以
可以因式分解為______________.
7. 課堂上老師在黑板上布置了如圖所示的題目，小聰
馬上發現了其中有一道題目錯了，你知道是哪道題目嗎？ ( )
用平方差公式分解下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
C
A.第(1)道題 B.第(2)道題 C.第(3)道題 D.第(4)道題
8.將 分解因式，結果正確的是( )
B
A. B.
C. D.
9.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
2星題 中檔練
10.[2024·合肥期中] 將 分解因式，所得結果正
確的是( )
D
A. B.
C. D.
11. [2024·鄭州期末] 數
學活動課上，同學們一起玩卡片
D
A.甲： B.乙：
C.丙： D.丁：
游戲，游戲規則是：從給出的三張卡片中任選兩張進行加減
運算，運算的結果能進行因式分解的同學進入下一輪游戲，
否則將被淘汰.給出的三張卡片如圖所示，則在第一輪游戲中
被淘汰的是 ( )
12. ［分類討論思想］[2024·淄博中考] 若多項式
能用完全平方公式因式分解，則 的值是
_____.
13.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式
.
(2) .
解：原式 ．
3星題 提升練
14. ［運算能力］下面是某同學對多項式
進行因式分解的過程.
解：設 ，則
原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
.(第四步)
(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的___.
C
A.提取公因式 B.平方差公式
C.兩數和的完全平方公式 D.兩數差的完全平方公式
(2)該同學因式分解的結果是否徹底？________.(填“徹底”或
“不徹底”)若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果：
_________.
不徹底
(3)請你仿照以上方法嘗試對多項式
進行因式分解.
解：設 ，則
.(共11張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.2 整式乘法
2. 單項式與多項式相乘
核心必知
1星題 基礎練
單項式與多項式的乘法法則
1.［知識初練］________ _______.
2. ____,橫線上應
填寫( )
B
A. B. C. D.1
3.[2024·淮南月考] 計算： _____________
______.
4.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式
單項式與多項式的乘法法則的應用
5. 剪紙是中國特有的民間藝
術，春節臨近，如圖是王奶奶剪出的
一幅長方形剪紙，這幅剪紙的一邊長
為 ，與其相鄰的另一邊長為
，則這幅剪紙的面積為___________ .
6. ［數形結合思想］通過計算幾何圖形的
面積可表示一些代數恒等式，如圖可表示
的代數恒等式是______________________.
2星題 中檔練
7.現規定一種新的運算，，其中，
為實數，那么 等于( )
A
A. B. C. D.
8.[2024·菏澤期中] 某同學在計算一個多項式乘 時，因抄
錯運算符號，算成了加上，得到的結果是 ，
那么正確的計算結果是( )
A
A. B.
C. D.
9.[2024·滁州期中] 先化簡，再求值：
，其中 .
解：
．當時，原式 ．
10. 已知中不含
的三次項，求 的值.
解：原式 .
因為多項式中不含 的三次項，
所以，解得 .(共26張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
大單元整合復習
大單元整合復習
冪的運算
1.[2024·合肥三模] 下列計算正確的是( )
A
A. B.
C. D.
2.計算： .
解：原式 ．
3.已知，， .
(1)求 的值；
解：因為， ，
所以 .
(2)求 的值.
因為， ，
所以 ．
科學記數法
4. 生物的遺傳信息大多儲存在 分子上，
分子是由重復的核苷酸單元組成的長聚合物，每個核苷
酸單體長度約為，數“ ”用
科學記數法可表示為( )
A
A. B. C. D.
5.小數用科學記數法表示為 ，則原
數中小數點后“0”的個數為( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
整式乘法
6.下列計算正確的是( )
C
A.
B.
C.
D.
7.計算： ___________.
8.計算：
(1) ；
解：原式 ．
(2) .
解：原式 ．
乘法公式(完全平方公式、平方差公式)
9.[2024·淮北期末] 下列各式能用平方差公式計算的是( )
D
A. B.
C. D.
10.[2024·合肥期中] 已知：， ，則
____.
49
11.［立德樹人·數學文化］請看楊輝三角(如圖①)，并觀察等
式(如圖②).
根據前面各式的規律，可得 ___________________
_____________________________________.
12.計算： .
解：原式
.
13.試說明 的值
和 無關.
解：因為原式 ,
所以原式的值和 無關.
因式分解
14.[2024·阜陽模擬] 下列因式分解正確的是( )
C
A.
B.
C.
D.
15.[2024·宿州期末] 已知， ，則
的值為( )
B
A. B.6 C. D.5
16.把下列各式分解因式：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
解：原式 .
(3) ;
解：原式 .
(4) .
解：原式 .
數學思想
17.［整體思想］若, ,則
的值為____.
12
18.［方程思想］已知與 的乘積中不
含和的項，求， 的值.
解：根據題意，得
. 因為
與的乘積中不含和 的項，
所以，，解得， ．
19.［數形結合思想］如圖①是一個長為、寬為 的長方形,
沿圖中虛線平均分成四個小長方形,然后用四個小長方形拼成
一個“回字形”正方形(如圖②).
(1)圖②中的陰影部分的面積為_________；
(2)觀察圖②,請你寫出，， 之間的等量關
系：_________________________；
(3)根據(2)中的結論,若，，則
____；
(4)實際上有許多等式可以用圖形的面積來表示.如圖③,它表
示的等式為___________________________________；
25
(5)試畫出一個幾何圖形,使它的面積能表示
.
解：如答圖(畫法不唯一).
聚焦安徽中考
20.[2023·安徽中考] 下列計算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
21.[2024·安徽中考] 數學興趣小組開展探究活動，研究了“正
整數能否表示為，均為自然數 ”的問題.
(1)指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下
為正整數
奇數 4的倍數
表示結果
奇數 4的倍數
表示結果
… …
一般結論 __
按上表規律，解答下列問題：
①( )( ) ；
② ___________________；
7
5
(2)興趣小組還猜測：像2，6，10，14， ，這些形如
為正整數的正整數不能表示為
，均為自然數 .師生一起研討，分析過程如下：
假設，其中， 均為自然數.分下列三種
情形分析：
①若，均為偶數，設，，其中， 均為
自然數，則 為4的
倍數.
而不是4的倍數，矛盾.故， 不可能均為偶數.
②若，均為奇數，設， ，其中
，均為自然數，則
____________________為4的倍數.而 不是4的倍數，
矛盾.故， 不可能均為奇數.
③若，一個是奇數一個是偶數，則 為奇數.而
是偶數，矛盾.故， 不可能一個是奇數一個是偶數.
由①②③可知，猜測正確.
閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.(共11張PPT)
第8章 整式乘法與因式分解
8.1 冪的運算
3. 同底數冪的除法
第1課時 同底數冪的除法
核心必知
同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數
_______，用式子表示為，， 都是
正整數，且.底數 可以是一個單項式或一個多項式
(單項式和多項式的值不能為0).
相減
1星題 基礎練
同底數冪的除法
1.［知識初練］___ ____.
2.計算 的結果是( )
D
A. B. C. D.
3.已知長方形的面積為，寬為 ，則其長為
( )
C
A. B. C. D.
4.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
解：原式 .
(3) .
解：原式 .
同底數冪的除法的逆用
5.若，且，，則 ___.
3
6.[2024·蕪湖月考] 已知,則 的值為_ __.
2星題 中檔練
7.[2024·滁州二模] 計算 的結果是( )
D
A. B. C. D.
8.[2024·泉州月考] 若，，則 的值是_ __.
9.若，，，則用含，的代數式表示
為______________.
10.[2024·杭州期末] 一種數碼照片的文件大小是 ，一個
存儲量為 的移動存儲器能存_____張這
樣的數碼照片.
256
11.計算：
(1) ；
解：原式 ．
(2)是整數 .
解：原式 ．
12.已知，， .
(1)求 的值；
解：因為,, ,
所以 .
(2)當時,求 的值.
因為,, ,所以
.
又因為,所以 .

展開更多......

收起↑