資源簡介

(共23張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.2 平行線的判定
第4課時 用內錯角、同旁內角判定兩直線
平行
核心必知
1.內錯角______，兩直線平行.
2.同旁內角______，兩直線平行.
相等
互補
1星題 基礎練
內錯角相等，兩直線平行
(第1題)
1.如圖,用邏輯語言表達定理“內錯角相等,兩
直線平行”的推理形式：因為_________,所以
.
(第2題)
2.[2024·運城三模] 《淮南萬畢術》是世界
上最早記載潛望鏡原理的古書，潛望鏡內
部通常包含兩個互相平行的平面鏡，基于
光的反射，可得到一組平行線.如圖是潛望
鏡工作原理的示意圖，它所依據的數學定
理是________________________.
內錯角相等，兩直線平行
3.如圖，已知 .
(1)若 ，則當____ 時， ;
(2)當,滿足__________時， .
25
4.閱讀下列文字，完成推理填空：
已知：如圖，，，請說明： .
解：如圖，延長交于點 .
因為 ，
所以____// (內錯角相等，兩直線平行).
所以 _______(________________________).
因為 ，
所以 ____(__________)，
所以 (________________________).
兩直線平行，同位角相等
等量代換
內錯角相等，兩直線平行
同旁內角互補，兩直線平行
(第5題)
5.[2024·湖北中考] 如圖，一條公
路的兩側鋪設了， 兩條平
行管道，并有縱向管道 連通.
若 ，則 的度數是
( )
B
A. B. C. D.
6.如圖，如果____ ，那么 .
(第6題)
7. 證明規范的書寫是體現同學們的抽象
能力的有效載體，清楚、規范的書面表達能夠展現出同學們
較好的抽象能力.
如圖所示的是課堂大屏幕上出示的搶答題，填寫序號代表的
內容.
如圖，,,則 ，請說明理由.
____________________________
理由：因為(已知)，所以 ，
所以 .
因為 (已知)，
所以 (等量代換)，
所以 (同旁內角互補，兩直線平行).
①應填____；
②應填________________________；
③應填__________________________；
④應填___.
內錯角相等，兩直線平行
兩直線平行，同旁內角互補
2星題 中檔練
8. [2024·蕪湖月
考] 數學課上，老師展示了一個
如圖①所示的圖形，要求同學們
C
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
給出一個條件，使得 .同學們回答完畢之后，老師展
示了四名同學給出的條件(如圖②)，并說其中一名同學給出
的條件是不符合要求的，則這名同學是 ( )
9.如圖，在四邊形中，連接 ，有下
列說法：①若，則 ；②若
，則 ；③若
，則 ；④若
，，則 . 其中判斷正確的是
______.
10. 光線從空氣中射入水中會
發生折射現象，光線從水中射入空氣中，
同樣會發生折射現象.如圖是光線從空氣中
射入水中，再從水中射入空氣中的示意圖.
已知，.請你用所學知識來判斷與 是否平
行？并說明理由.
解： ，理由如下：
因為， ，所以
.
因為 ，
所以 ，
所以 ．
11.[2024·淮北月考] 如圖，已知直線，，，， ，
， ，試說明： .
解：因為,所以 (內錯角相等，兩直
線平行).
因為 ，
所以 (同旁內角互補，兩直線平行)，
所以 (平行于同一直線的兩直線平行).
3星題 提升練
12.［推理能力］如圖，, , .
判斷直線， 的位置關系，并說明理由.
解： .理由如下：
過點作，如圖，則.
因為 ,
所以 .
因為 ，
所以 .
又因為 ,
所以 ,
所以,所以 .
添加輔助線是解決幾何問題的重要方
法之一，它架起了已知與未知之間的橋梁.當
題目中已有的圖形不能或不易解決問題時，
往往考慮添加輔助線，構造出一些基本的幾
何圖形來解決問題.(共7張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
綜合與實踐 簡單的排隊問題
綜合與實踐
調研了解排隊問題
1.某單位開設了一個窗口辦理業務，并按顧客“先到達先辦理”
的方式服務，該窗口每 服務一位顧客.已知早上8：00
上班窗口開始工作時，已經有6位顧客在等待，在窗口工作
后，又有一位“新顧客”到達，且以后每 就有一位
“新顧客”到達.該單位上午8：00上班，中午11：30下班.
(1)設原有的6位顧客分別為，，，，， ，“新顧
客”為，，，，，， ，窗口開始工作記為0時刻.
顧客 …
到達窗口時刻 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26 …
服務開始時刻 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26 …
每人服務時長 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 …
服務結束時刻 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28 …
根據上述表格可知第___位“新顧客”是第一個不需要排隊的，
他的到達時間是______.
5
(2)平均等待時間是一個重要的服務質量指標，為考察服務質
量，問排隊現象消失之前，所有顧客的平均等待時間是多少？
解：排隊現象消失之前，所有顧客的平均等待時間是
.
(3)若其他條件不變，窗口每服務一位顧客 為正整數
，排隊現象消失之前，第 位“新顧客”到達窗口時刻為
________，第 位“新顧客”服務結束的時刻為_________.
合理解決排隊問題
2.小杰到學校食堂買飯，看到， 兩窗口前面排隊的人數一
樣多(設為人，)，就站在 窗口隊伍的后面，過了
，他發現窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍， 窗口每
分鐘有6人買了飯離開隊伍，且 窗口隊伍后面每分鐘增加5人.
(1)此時，若小杰繼續在 窗口排隊，則他到達窗口還要花的
時間是____(用含 的代數式表示)；
(2)此時，若小杰迅速從窗口隊伍轉移到 窗口后面重新排
隊，且到達窗口所花的時間比繼續在窗口排隊到達 窗口
所花的時間少，求 的取值范圍.(不考慮其他因素)
解：由題意，得 ，整理得
，解得．所以 的取值范圍為
．(共26張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.1 相交線
第2課時 垂 線
核心必知
1.在兩條直線和 相交所成的4個角中，如果有一個角是
______，就說這兩條直線互相垂直，記作“_________”，讀
作“垂直于 ”，其中一條直線叫作另一條直線的垂線，
它們的交點叫作垂足.
2.關于直線的垂線，有如下基本事實：同一平面內，過一點
__________________與已知直線垂直.
注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線.
直角
有且只有一條直線
1星題 基礎練
垂直
(第1題)
1.［知識初練］如圖，直線， 相交于
點，若 ，則___ ；若
，則
_____.
2.如圖，，若，則 的度數是( )
D
(第2題)
A. B. C. D.
3.[2024·雅安中考] 如圖，直線， 交
于點，于點，若 ，
則 的度數是( )
A
A. B. C. D.
垂線的畫法
4. 過直線外一點畫的垂線 ，下列選項中操
作正確的是( )
D
A. B. C. D.
5.如圖，三角形外有一點，畫出點 到三角形三邊的垂
線，交點分別為、、 .
解：如圖所示，,, 即
為所求.
垂線的基本事實
6.如圖，在一張透明的紙上畫一條直線 ，在
直線外的紙面上任取一點，并折出過點 且
與 垂直的直線.這樣的直線能折出( )
B
A.0條 B.1條 C.2條 D.3條
【變式題】 在平面內畫已知直線 的垂線，能畫出( )
D
A.0條 B.1條 C.2條 D.無數條
7.[2024·杭州月考] 如圖，在同一平面內，
，，垂足為，則與
重合的理由是________________________
_____________________________.
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
2星題 中檔練
(第8題)
8.如圖，直線,交于點 ，
于點.若 ，
則 的度數為_____.
9.如圖，直線，相交于點，于點 ，若
，那么 的度數為______.
(第9題)
10.[2024·福州期末] 如圖，從點 出
發的四條射線，，， 滿
足， ，則下列結論
一定正確的是( )
B
A. B.
C. D.
11.如圖，直線與相交于點，，
分別是， 的平分線.
(1) 的補角有______________________；
，，
(2)若 ，求和 的度數；
解：因為是的平分線，，
所以 ，所以
.
因為是 的平分線，
， 所以
.
(3)試問射線與 之間有什么特殊的位置關系？請說明理由.
射線與互相垂直.理由：因為， 分
別是， 的平分線，所以
,,所以.
所以，即射線與 互相垂直.
3星題 提升練
12.［幾何直觀］
(1)在圖①中以為頂點畫，使的兩邊分別和 的兩邊
垂直；
解：如圖①.
(2)量一量和 的度數，它們之間的數量關系是_________
__________;
(3)同樣在圖②和圖③中以為頂點作，使 的兩邊
分別和的兩邊垂直，分別寫出圖②和圖③中和 之
間的數量關系(不要求寫出理由).
圖②：____________，
圖③：_______________________________；
或
如圖②，圖③.
(4)由上述三種情形可以得到一個結論：如果一個角的兩邊分
別和另一個角的兩邊垂直,那么這兩個角有什么數量關系？
(不要求寫出理由)
相等或互補.
榮老師告訴你
1.有關垂線或垂直的題目中，一定要明確垂線，直角與垂直
之間存在如影相隨的關系，只要知其一，即可得到 的角，
并由此找到解題的切入點.
2.垂線的性質理解：
(1)大前提是“在同一平面內”；
(2)“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”；
(3)“過一點”中的“點”在直線“外”或在直線“上”.(共24張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.2 平行線的判定
第2課時 同位角、內錯角、同旁內角
1星題 基礎練
同位角
1.如圖， 的同位角是_______，它們是由直
線____和直線____被直線____所截而成的.
2. 如圖，下列四個圖形中，和 是同位角的有
________.(填序號)
內錯角
3. 在我們常見的英文字母中，也存在著內錯角，
下面幾個字母中，含有內錯角的字母是( )
C
A. B. C. D.
4.如圖，和 是內錯角，它們是由( )
B
A.直線，被 所截形成的
B.直線，被 所截形成的
C.直線，被 所截形成的
D.直線，被 所截形成的
5.如圖，內錯角有___對.
4
同旁內角
(第6題)
6.如圖，已知直線，被直線 所截，那么
的同旁內角是( )
B
A. B. C. D.
7.如圖，與 是直線____、____被第三條直線____所截形
成的__________.
同旁內角
(第7題)
8.如圖，請寫出4對同旁內角.
解：與 ，
與 ，
與 ，
與 .(答案不唯一)
三類角的綜合
9.為了便于記憶，同學們可仿照下圖用雙手表示“三線八角”
(兩大拇指代表被截直線，食指代表截線)，圖①②③依次表
示( )
B
A.同位角、同旁內角、內錯角
B.同位角、內錯角、同旁內角
C.同位角、對頂角、同旁內角
D.同位角、內錯角、對頂角
10. [2024·淮北期末] 如圖，下列
說法錯誤的是( )
C
A.與 是同旁內角
B.與 是內錯角
C.與 是內錯角
D.與 是同位角
2星題 中檔練
(第11題)
11.如圖，直線，被直線和
所截，則的同位角和 的內錯角分
別是( )
C
A.和 B.和
C.和 D.和
12.如圖，同位角有___對，內錯角有___對，同旁內角有____對.
4
6
12
(第12題)
13. 如圖是一種跳棋棋盤，其
游戲規則是一個棋子從某一個起始角開始，
經過若干步跳動后，到達終點角，跳動時，
每一步只能跳到它的同位角或內錯角或同
路徑 ；
旁內角的位置上，如：從起始角跳到終點角 .
路徑
(1)從起始角跳到終點角 ，請寫出路徑；
解：(答案不唯一) .
(2)從起始角跳到終點角 ，要求跳遍所
有的角，且不重復，請寫出路徑；
(答案不唯一)
.
(3)從起始角 能否依次按同位角、內錯角、
同旁內角的順序跳到終點角 ？如果能，
請寫出路徑.
能 .路徑為
.
【例題】 “三線八角”模型：如圖，兩條
直線被第三條直線所截，構成了8個角，
它們之間有多種位置關系.
(1)同位角：一線同側，兩線同方，形如
字母“”，例如圖中的和____， 和 ____；
(2)內錯角：一線異側，兩線之間，形如字
母“”，例如圖中的 ____和， 和
____；
(3)同旁內角：一線同側，兩線之間，形如
字母“”，例如圖中的和____，____和 .
如圖，請判斷以下角的位置關系，完成填空：
(1)與 是兩條直線 ____和____被直
線____所截構成的________角；
同旁內
(2)與 是兩條直線____和____被直線___
所截構成的______角；
同位
(3)和 是兩條直線____和____被直線____所截構成的
______角；
內錯
(4)和 是兩條直線____和____被直線____所截構成的
________角.
同旁內(共5張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
綜合與實踐 探秘天文景象——火星沖日
綜合與實踐
【背景導入】火星沖日是指火星、地球和太
陽幾乎排成一線，地球位于火星和太陽之間
的天象，屆時，太陽剛一落山，火星就從東
方升起，等到太陽從東方升起時，火星才在
西方落下，因此我們整夜都可以看見火星. 一般來說，沖日
時，火星離地球最近，它的亮度也是一年中最亮的.
【活動目的】探究火星沖日現象發生的規律.
【查閱資料】火星公轉周期約為687天，地
球公轉周期約為365天，火星繞太陽運行一
周的時間近似是地球繞太陽運行一圈的時間
的 倍.
【問題解決】上一次火星沖日的時間為2022
年12月8日，那么下次火星沖日的時間最為
接近的是下列選項中的___，請說明理由.
A.2024年12月10日 B.2025年1月20日
C.2025年2月10日 D. 2025年3月20日
B
解：理由如下：設自2022年12月8日起， 天
后再次出現火星沖日.
由題意得 ，所以
，
所以在2年 天后，再次出現火星沖日，B
選項中的2025年1月20日最為接近．
【活動目的】探究火星沖日現象發生的規律
【查閱資料】火星公轉周期約為687天，地
球公轉周期約為365天，火星繞太陽運行一
周的時間近似是地球繞太陽運行一圈的時間
的2倍(共14張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.1 相交線
第3課時 垂線段、點到直線的距離
核心必知
1.如圖，從直線外一點向直線作垂線，垂足記為點 ，則
線段叫作點到直線 的垂線段.
2.連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段______.
3.直線外一點到這條直線的______________叫作點到直線的距離.
最短
垂線段的長度
1星題 基礎練
垂線段
(第1題)
1. 如圖是人行橫道的示意圖，若從點
通過馬路，在，，， 四條路線中，
距離最短的路線是____，理由是____________.
垂線段最短
(第2題)
2. 如圖是點點在體育課
上某一次跳遠后留下的腳印.通過測
量得到如下數據： ，
， ，
，其中， 分別垂
直起跳線于，，則點點這次跳遠的成績是______ .
點到直線的距離
3.[2024·阜陽期末] 如圖，已知在三角
形中， ， ，
垂足為，則表示點到直線 的距
離的是( )
C
A.線段的長度 B.線段 的長度
C.線段的長度 D.線段 的長度
【補充設問】 若，，，則點 到直線
的距離是___，點到直線 的距離是___.
4
3
2星題 中檔練
4.若直線上一點和直線外一點的距離為，則點 到
直線 的距離( )
B
A.等于 B.小于或等于
C.大于 D.大于或等于
(第5題)
5.如圖，河道的一側有、 兩個村莊，現
要鋪設一條引水管道把河水引向、 兩村，
下列四種方案中最節省材料的是( )
A
A. B. C. D.
(第6題)
6.如圖,于點,于點 ,
若, ,不考慮點與點重合
的情況,則線段 的取值范圍是______
________.
7.如圖，直線，相交于點，是 上一點.
(1)過點畫的垂線段 ；
解：如圖所示.
(2)過點畫的垂線，與相交于點 ；
如圖所示.
(3)說明線段，， 三者的長短關系，其依據是什么？
，依據是垂線段最短.(共22張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
專題訓練9 專項整合 平行線中的拐點問題
專題訓練9
主題情境
折疊尺是一種方便攜帶且節省空間
的測量工具，每節直尺可繞鉚釘旋轉.在
數學教學中，利用折疊尺可以很方便地組成各種平面圖形.
在變換折疊尺的過程中，各節直尺的夾角存在著一定的數量
關系，請跟隨以下操作進行相應探究.
探究歸納單個拐點構成的“拐角模型”
豬蹄形
1.如圖是老師將拐點 變換到邊線內部，
得到的一個幾何圖形，數學興趣小組的
同學發現它很像小豬的豬蹄，于是大家
就把這個圖形形象地稱為“豬蹄形”.已知 ，判斷
，， 之間的數量關系.
解：如圖，過點作．
因為 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ．
鉛筆形
2.在“豬蹄形”的基礎上，老師將點 向
右拖動到邊線外的位置，如圖所示，數
學興趣小組的同學把這個圖形形象地稱
為“鉛筆形”. 已知，判斷，， 之
間的數量關系.
解：如圖，過點作 .因為
，所以 ，所
以 ，
，所以 ，
所以
.
牛角形
3.如圖，老師變換折疊尺使得拐點 位
于邊線的一側，數學興趣小組的同學
把這個圖形形象地稱為“牛角形”. 已
知 ，則( )
A
A. B.
C. D.
4.在“牛角形”的基礎上，老師將點 向右拖動到如圖所示的
位置，已知，試說明： .
解：如圖，過點作，設與 交
于點.因為，所以 .
因為，所以 ，
，所以 .所
以 .
所以 .
蛇形
(第5題)
5.老師再次變換折疊尺，得到如圖所
示的圖形. 數學興趣小組的同學把這
個圖形形象地稱為“蛇形”.已知
， ， ，
則 的度數是______.
轉化化歸多個拐點構成的“拐角模型”
鋸齒形
(第6題)
6.如圖，，是， 之間的兩
點，且 ，請你利用 “任
務一”中的結論，寫出、 、
三者之間的數量關系：________
________.
綜合與實踐
7.【問題情境】同學們在數學活動課上探索了平行線中的“拐
點”問題.歸納模型：若 ，如圖①的豬蹄形和如圖②
的鉛筆形.
【歸納總結】
(1)如圖①,，， 之間的數量關系是
______________________;
(2)如圖②，，， 之間的數量關系是
_____________________________；
【問題遷移】
(3)如圖③，，，分別是， 的平
分線，則， 之間的數量關系是_______________
_______________；
(4)如圖④，，，分別是， 的平分
線，則， 之間的數量關系是________________；
(5)如圖⑤，已知直線， 為平面內一點，
， ，求 的度數.
解：如圖⑤，過點作 ，
因為， ，
所以 ，
所以 ，，
所以，
所以
.
(6)如圖⑥，已知直線， 為平面內一點，設
， ，猜想 ， ， 之間的數量關
系：___________________.
【聯想拓展】已知直線，將一個含 的直角三角板
按如圖⑦的方式放置，使頂點落在直線上，過點
作直線，且滿足 .
(7)請你探索直線與 具有怎樣的位置關系，并說明理由.
，理由：
如圖⑦，過點作，則.
因為 ，所以
.
又因為 ，
所以 ，
所以，所以 .
【類比應用】
(8)小明研究兩條平行線間的拐點問題在生活中的應用.他發
現家中的護眼燈是一款長臂折疊型的(如圖⑧所示)，
與桌面垂直.當發光的燈管恰好與桌面 平行時，若
， ，則 的度數為______.
方法指導
拐點問題解題關鍵：見拐點作平行線.
圖示：(共27張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.2 平行線的判定
第1課時 平行線
核心必知
1.在同一平面內，________的兩條直線
叫作平行線.如圖，兩條直線和
平行，記作_________，讀作________
______.
不相交
平行于
2.平行線的基本事實：過直線外一點__________一條直線與
這條直線平行.
3.如果直線，，那么直線___ .
有且只有
//
1星題 基礎練
平行線的概念
1. 用數學的眼光
看世界，如圖，地圖上解放大
路和自由大路的一段可以抽象
成兩條______直線.
平行
2.[2024·重慶月考] 在同一平面內，不重合的兩條直線的位置
關系是( )
C
A.相交或垂直 B.垂直或平行
C.平行或相交 D.相交、垂直或平行
平行線的基本事實及畫法
3.［知識初練］過直線外一點作 的平行線，可以作( )
A
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
4. 如圖，已知直線外一點，過點 畫直線
，使 ，借助直尺和三角板有如下操作：
①固定直尺，并沿 方向移動三角板，
使三角板的斜邊經過點 ；
②用三角板的斜邊靠上直線 ；
其正確操作順序是 ( )
C
A.①②③④ B.②④③① C.②④①③ D.④③②①
③沿三角板斜邊畫直線 ；
④用直尺 緊靠三角板的一條直角邊.
5.如圖，是 內的一點，讀下列語句，并畫出圖形.
(1)過點作的平行線交于點 ；
解：如圖.
(2)過點作的平行線交于點 .
如圖.
平行于同一條直線的兩條直線互相平行
6.完成推理并在括號內填上理由.
(1)如圖①,因為, ,
所以___ (_______________________________________
___________);
//
如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行
(2)如圖②，過點可畫出唯一一條直線 (___________
__________________________________)，又因為 ，
所以___ (_______________________________________
___________).
過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
//
如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行
2星題 中檔練
7.如圖，在經過直線外一點 的四條直線中，
與直線 相交的直線至少有( )
C
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
8.[2024·蕪湖月考] 如圖，將一張長方形紙片對折三次，產生
的折痕間的位置關系是( )
C
A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.無法確定
9.如圖，在方格紙中，有兩條線段 ，
.利用方格紙完成以下操作.
(1)過點作 的平行線；
解：如圖， 即為所求.
(2)過點作的平行線，與(1)中的平行線交于點 ；
如圖， 即為所求.
(3)過點作的垂線，與(1)中的平行線交于點 .
如圖， 即為所求.
10.在書寫藝術字時，常常運用畫“平行線
段”這種基本作圖方法，如圖是書寫的字
母“ ”.
(1)請從正面，上面，右面三個不同方向
上各找出一組平行線段，并用字母表示出
來；
解：正面：；上面： ；
右面： .(答案不唯一)
(2)與有何位置關系？與 有
何位置關系？請說明理由.
， .理由如下：因為
，， ，
，
所以， .
(3)圖中所在的直線與 所在的直線
有公共點嗎？若沒有公共點，能否說明
這兩條直線平行？你還能找出一組具有
類似位置關系的直線嗎？由此可知在敘
述平行線的概念時，應注意什么？
題圖中所在的直線與 所在的直線沒
有公共點，不能說明這兩條直線平行，比
如所在的直線與 所在的直線也具有
類似位置關系，這樣的兩條直線不在同一
個平面內，由此可知在敘述平行線的概念
時，應注意“在同一平面內”這一限制條件，即在同一平面內，
不相交的兩條直線叫作平行線．
3星題 提升練
11. ［推理能力］【實踐】
(1)畫 ,在內任取一點,過點 作直線
,再過點作直線 ;
解：如答圖所示.
(2)測量，，， 的度數；
， ， ，
.
【探究】
(3)(2)中的這些角的邊與 的邊有何位置關系？
這些角的兩邊與 的兩邊分別平行.
(4)(2)中的這些角的度數與 的度數之間存在什么關系？
這些角的度數與的度數相等或和為 .
【發現】 把你的發現用一句話概括出來.
在一個角的內部取一個點作為頂點畫一個角，如果兩個角的
兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.(共23張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.3 平行線的性質
核心必知
1.兩直線平行，同位角______.
2.兩直線平行，內錯角______.
3.兩直線平行，同旁內角______.
相等
相等
互補
1星題 基礎練
兩直線平行，同位角相等
(第1題)
1.如圖，直線，被直線 所截，
， ，則 的度數是
( )
B
A. B. C. D.
(第2題)
2.[2024·安陽一模] 如圖，直線， 被
直線所截，且，與 相交于點
，于點， ，則
的度數為( )
C
A. B. C. D.
(第3題)
3.[2024·合肥三模] 如圖，直線 ，
直角三角板的 角的頂點在直線
上，已知 ，則 的度數是
( )
B
A. B. C. D.
兩直線平行，內錯角相等
4.如圖，直線經過點，， ，則 等
于( )
C
(第4題)
A. B. C. D.
(第5題)
5. [2024·晉中期末] 隨著科技發
展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已
融入人們的日常生活，如圖是共享單車車
架的示意圖，線段，， 分別為
D
A. B. C. D.
前叉、下管和立管(點在上)，為后下叉.若 ，
， ， ，則 的度數為
( )
(第6題)
6.用一張長方形紙條折成如圖所示的圖形，如
果 ，那么 的度數為( )
D
A. B. C. D.
兩直線平行，同旁內角互補
(第7題)
7. 如圖，已知在音符中，
，若 ，則 的度
數為_____.
(第8題)
8.[2024·淄博中考] 如圖，已知
，平分 .若
，則 的度數是( )
C
A. B. C. D.
平行線的性質與判定的綜合應用
9.如圖，若 ， ，則 ______.
(第9題)
(第10題)
10.如圖，直線，被， 所截，且
，，若 ，則 的度數
為( )
B
A. B. C. D.
2星題 中檔練
主題情景
點點在書中看到太陽的光線可以近似為平行光線的知識，
于是聯系正在學行線的性質，進行了如下數學實驗，
請完成第 題.
(第11題)
11.如圖，在一束平行光線中，插
入一張對邊平行的紙板，如果光
線與紙板右下方所成的 是
，那么光線與紙板左上方
所成的 的度數是( )
A
A. B. C. D.
(第12題)
12.[2024·呂梁期末] 如圖，平
行于主光軸的光線和
經過凸透鏡的折射后，折射光
線,交于主光軸 上一
點.若 ，
，則 的度數是_____.
13.［分類討論思想］已知一個角為 ，另一個角的兩邊分
別與該角的兩邊互相平行，則另一個角的度數為__________
_____.
或
14.[2024·合肥期末] 如圖是某射箭運動員射箭
的一個瞬間.已知， ，
， ， ，求
的度數.
解：如圖，過點作 .
因為，所以 ，所以
， .
因為 ， ，
所以 ， ，所以
.因為，
所以 ，所以
．
15.已知直線 .
(1)如圖①， 這個結論正確嗎？請說明理由；
解：正確，理由如下：
如圖，過點作 ，
因為， ，
所以 ，
所以， ，
所以 ，
即 .
(2)如圖②，請直接寫出，，，， 之間的關
系：____________________________；
(3)如圖③，請直接寫出，，，，， ，
， 之間的關系：___________________________
_____________________________.
3星題 提升練
16.［立德樹人·傳統文化］［抽象能力］
為增強學生體質，感受中國的傳統文化，
學校將國家級非物質文化遺產“抖空竹”
(如圖①)引入陽光特色大課間，小聰把
A
A. B. C. D.
它抽象成圖②的數學問題：已知， ，
，則 的度數是( )(共20張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.2 平行線的判定
第3課時 用同位角判定兩直線平行
核心必知
1.平行線判定的基本事實：同位角______，兩直線平行.
2.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.
相等
1星題 基礎練
同位角相等，兩直線平行
(第1題)
1.［知識初練］如圖所示的是利用直尺
和三角板過直線外一點作直線 的平行
線的方法，這樣作圖的依據是_________
_______________.
同位角相等，兩直線平行
2.如圖，若，則____//____；若 ，則____//
____.
(第2題)
3.如圖，直線，被，所截，下列條件能說明 的是
( )
C
A. B. C. D.
4.如圖，一條公路修到湖邊時，需拐
彎繞湖而過，若第一次拐角
，第二次拐角
，請判斷 段的道路
是否和 段的道路平行 為什么？
解：段的道路和 段的道路平行.
因為 ，
根據同位角相等，兩直線平行，可得 .
利用尺規作平行線
5.如圖①，要過直線外一點作直線 的平行線，用尺規
作圖的方法作出如圖②的圖形，則圖②的作法中判定兩直線
平行的依據是________________________.
同位角相等，兩直線平行
6.如圖，在三角形中， .(尺規作圖，保留作圖痕
跡，不寫作法)
(1)在上截取，連接 ；
(2)過點作的平行線交于點 .
解：(1)如圖所示.
(2)如圖所示.
在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直
線平行
7.將一副三角板按如圖所示的方式放置在
直線上，則與 的位置關系是
_________，其根據是_________________
_____________________________.
在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行
8.[2024·安慶月考] 同一平面內的四條直線，，， 滿足
，, ,則下列正確的是( )
C
A. B.
C. D.以上都不正確
2星題 中檔練
9. 如圖，已知 ，
為保證兩條鐵軌平行，添加的下
列條件中，正確的是( )
C
A. B. C. D.
10.[2024·合肥期末] 如圖，點在的邊 上，用尺規
作出了，作圖痕跡中，弧 是( )
C
A.以點為圓心， 的長為半徑的弧
B.以點為圓心， 的長為半徑的弧
C.以點為圓心， 的長為半徑的弧
D.以點為圓心， 的長為半徑的弧
11.如圖，已知直線,被直線 所截，如果要添加條件，
使得 ，那么添加的條件可以是( )
D
A.
B.
C.
D.，
12.[2024·馬鞍山月考] 如圖，直線與直線交于點 ，與直
線交于點， ， ，若要使直線 與直
線平行，則至少需將直線繞點 逆時針旋轉_____.
13. 學行線后，點點想出了過已知直
線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半
透明的紙得到的(如圖①～ ).從圖中操作過程你知道點點畫
平行線的依據嗎？請把你的想法寫出來.
解：如圖，由折疊得， ，
所以 ，所以 ，
即同位角相等，兩直線平行.
3星題 提升練
14.［推理能力］如圖，已知直線平分 ，若
, ,試說明： .
解：如圖，
因為 ，
所以 .
因為直線平分 ，
，
所以 ，所以 ，
所以 .(共7張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
綜合與實踐 “數”說納米材料
綜合與實踐
【背景導入】納米材料一般是指在三維空間內至少有一維處
于納米尺度范圍 并具有某些新特性的材料.
______ .
【活動1】計算將正方體進行 細分后，所得小正方
體的總表面積.
(1)將棱長為1的正方體切成 個相同的小正方體，則
各個小正方體的表面積之和為( )
C
A.6 B.8 C.12 D.16
(2)將棱長為1的正方體切成 個相同的小正方體，則
各個小正方體的表面積之和為( )
D
A.10 B.12 C.14 D.18
(3)將棱長為1的正方體切成 個相同的小正方
體，則各個小正方體的表面積之和為________，各個小正方
體的表面積之和與原正方體的表面積的比為_______.
(4)將棱長為1的正方體切成 個相同的小正方體，則各
個小正方體的表面積之和與原正方體的表面積的比為_____.
【活動2】探究當 無限大時，小正方體表面積之和的變化.
(1)將棱長為的正方體切成棱長均為 的小正方體，
則各小正方體的表面積之和為________；若切成棱長均為
的小正方體，則各小正方體的表面積之和為
____________；若切成棱長均為 的小正方體，則各小正
方體的表面積之和為________________.
(2)將棱長為 的正方體切成相同的小正方體，當切成的
小正方體的棱長在納米材料范圍時，各小正方體的表面積之
和的范圍為______________________________.
【活動3】探索光年與納米之間的關系.
光年是天文學中使用的距離單位，主要用于度量太陽系外天
體的距離，1光年 .請回答下列問題
(用科學記數法表示)：
(1)你知道 是多少納米嗎？
解：因為，所以 .
(2)你知道1光年約為多少納米嗎？
因為1光年， ，
所以1光年 .
(3)150億光年約為多少米？
.
即150億光年約為 .(共25張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
大單元整合復習
大單元整合復習
相交線
1.下列選項中，和 是對頂角的是( )
B
A. B. C. D.
2.[2024·蚌埠期末] 如圖，直線， 交于
點，于點.若 ，則
的度數為( )
D
A. B. C. D.
3.如圖是由小正方形組成的網格.
(1)利用網格畫圖：過點畫的垂線，垂足為 ；
解：如圖所示.
(2)線段的長度是點 到直線____的距離；
(3)連接,，在線段,, 中，線段____最短.
三線八角
(第4題)
4.如圖，，與交于點，，
與交于點，那么下列說法中： 和
是同位角；和 是同位角；
和是內錯角；和 是
同旁內角；和 是內錯角；
和 是同旁內角.正確的是________.(填序號)
平行線的性質與判定
5.如圖，下列四個選項中不能判定 的是( )
D
(第5題)
A.
B.
C.
D.
6.如圖，已知， ，則 的度數為
( )
B
(第6題)
A. B. C. D.
(第7題)
7.[2024·合肥模擬] 如圖，
，，則
的度數為( )
A
A. B. C. D.
8.如圖，有下列三個條件： ；
； .從中任選兩個作
為條件，另一個作為結論，共可編出
幾道數學題？并試說明其中的一道數
學題.
解：共可編出3道數學題.分別如下：
①已知， ，試說明：
.
②已知， ，試說明：
.
③已知，，試說明： .
選擇①，因為，所以 .
又因為 ，
所以，所以 ，
所以 ［答案不唯一，選擇②③
也可］
平移
9.如圖，將三角形平移得到三角形 ，下列結論中，
不一定成立的是( )
D
A.或與 在同一條直線上
B.或與 在同一條直線上
C.
D.
(第10題)
10.如圖，將三角形沿 方向平移得到
三角形.連接，若 ，
，則 的長為( )
C
A. B. C. D.
(第11題)
11.如圖，有一塊長為 、
寬為 的長方形草坪，其
中有三條直道將草坪分為六塊，
則分成的六塊草坪的總面積是
_____ .
880
數學思想
12. ［轉化思想］如圖，在五邊形
中，， ，
,則 的度數是______.
13. ［方程思想］如圖，， .判斷
是否平分 ，并說明理由.
解：平分 .理由如下：
因為，所以可設 ，
則 ， .因為 ，所以
,即 ，解得 ，所以
, ,所以 ，
所以，即平分 .
當問題中角的數量關系出現倍數、比
例時，可根據其數量關系建立方程，通過
方程解決問題.
14. ［分類討論思想］已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊
分別平行，結合圖①②，解答下列各題.
(1)如圖①②，已知，，則與 的數量關
系是_________________________；
或
(2)若兩個角的兩邊分別互相平行，且一個角比另一個角的2
倍少 ，請直接寫出這兩個角的度數.
解： 和 或 和 .
易錯題
15.已知與是同旁內角，若 ，則 的度數為
( )
D
A. B. C. 或 D.不能確定
本題易因誤用平行線的性質而出錯.
聚焦安徽中考
16.[2021·安徽中考] 兩個直角三角板如圖
擺放，其中 ，
， ，與 交于點
.若，則 的大小為( )
C
A. B. C. D.
17.[2021·安徽中考節選] 如圖，在每個小正方形的邊長為1個
單位的網格中， 的頂點均在格點(網格線的交點)上.將
向右平移5個單位得到，畫出 .
解：如圖所示， 即
為所求.(共23張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.4 平移
核心必知
1.在平面內，一個圖形沿某個______移動一定的______，這
種圖形的變化叫作平移.
2.一個圖形和它經過平移后所得的圖形中，連接各組對應點
的線段互相平行(或在同一條直線上)且______.平移只改變圖
形的位置，不改變圖形的形狀和大小.
3.平移是由平移的方向和距離決定的，所以在平移作圖中，
首先要明確圖形原來的位置及平移的____________，再畫圖.
方向
距離
相等
方向和距離
1星題 基礎練
平移的認識
1.[2024·六安月考] 下列屬于平移的是( )
A
A.抽屜的拉開
B.蕩秋千的人的運動
C.籃球被運動員投出并進入籃筐的運動
D.乒乓球被運動員高拋發出后，乒乓球的運動
2. [2024·宿州期末] 現實世界中平移現象無處
不在，下列漢字可由其中一部分平移得到的是( )
A
A. B. C. D.
平移的性質
(第3題)
3.[2024·安慶月考] 如圖，把 向右平
移得到 ，下列說法錯誤的是( )
D
A. B.
C. D.
(第4題)
4.如圖，四邊形 是由四邊
形 平移得到的，已知
， ，則
( )
B
A.， B.，
C.， D.，
5. [2024·合肥期末] 小明沿墻挪動墻角的三角儲物柜，
示意圖如圖所示，則下列能表示平移距離的是( )
D
(第5題)
A.線段的長 B.線段 的長
C.線段的長 D.線段 的長
(第6題)
6.如圖，在三角形 中，
， ， .
把三角形沿 方向平移到三
角形的位置，若 ，則
④
下列結論中：； ； ；
.錯誤的是____.(填序號)
平移作圖
7.在如圖所示的網格中，每個小正方形
的邊長均為1個單位，三角形 的頂
點,, 都在小正方形的頂點上.按以下
要求作圖.
(1)將三角形向右平移6個單位得到三角形 ；
解：如圖，三角形 即為所作.
(2)將三角形向下平移2個單位得到三角形 .
如圖，三角形 即為所作.
8. 如圖，經過平移，四邊形的頂點 移到
點，請作出平移后的四邊形 .
解：如圖，四邊形 即
為所作.
2星題 中檔練
(第9題)
9. 如圖，有，， 三戶家用電
路接入電表，相鄰電路的接點距離相等，
相鄰電表的距離相等，且相鄰電路的接點
距離等于相鄰電表接入點的距離，電線對
應平行排列，則三戶所用電線( )
D
A.戶最長 B.戶最長 C. 戶最長 D.一樣長
(第10題)
10.[2024·東營中考] 如圖，將
沿方向平移得到 ，若
的周長為 ，則四邊形
的周長為____ .
30
11.如圖，兩個直角三角形重疊在
一起，將其中一個三角形沿著點
到點的方向平移到三角形 的
位置， ， ，
3
，陰影部分的面積為18，則平移的距離為___.
12.在由小正方形組成的網格中，每個小正方形的邊長均為1，
三角形 的三個頂點都在
小正方形的頂點上，位置如圖所示，現
將三角形平移，使點移動到點 ，
點，分別是點， 的對應點.
(1)請在網格中畫出平移后的三角形 ；
解：如圖，三角形 即為
所作.
(2)三角形 的面積是_____；
(3)若連接， ，則這兩條線段之間
的位置與數量關系是________________
____；
,
(4)在圖中能使 的
格點有___個(點異于點 ).
4
3星題 提升練
13. ［幾何直觀］如圖，在長方形中， ,第1次
平移將長方形沿 的方向向右平移5個單位，得到長
方形，第2次平移將長方形沿 的方
向向右平移5個單位，得到長方形 第 次平
移將長方形沿 的方向向右平移
5個單位，得到長方形 .
(1)的長為____， 的長為____；
(2)若的長為56，則 的值為____.
11
16
10
【思路點撥】通過平移，將不規則的圖形轉化為規則的圖形，
便于周長和面積的計算.
(第1題)
1.[2024·合肥期中] 如圖，要為一段高
為，水平長為 的樓梯鋪上紅
地毯，則至少需要____ 紅地毯.
18
(第2題)
2.[2024·六安月考] 如圖，在寬為 、長
為的長方形地面上修建寬均為 的
道路(圖中陰影部分)，余下部分種植草坪，
則草坪的面積為_____ .
504(共20張PPT)
第10章 相交線、平行線與平移
10.1 相交線
第1課時 對頂角
核心必知
1.如果兩個角有__________，并且它們的兩邊分別互為反向
延長線，這樣的兩個角互為對頂角.
2.對頂角的性質：對頂角______.注意：互為對頂角的兩個角
______，但相等的兩個角不一定是對頂角.
公共頂點
相等
相等
1星題 基礎練
對頂角
1.［知識初練］如圖，直線與 相交于
點,則 的對頂角是_______.
2.[2024·宣城期末] 下列圖形中，和 是對頂角的是
( )
B
A. B. C. D.
3.如圖，下列各組角中，互為對頂角的是( )
A
(第3題)
A.和 B.和 C.和 D.和
4.如圖，直線，交于點，過點作射線 ，則圖中
的對頂角有___組.
2
(第4題)
對頂角的性質
(第5題)
5.［知識初練］如圖，直線, 相交
于點，因為_____ ,
_____ ,所以 ____
(依據：________________).同理，
____.
180
180
同角的補角相等
(第6題)
6. 如圖，為了測量
一座古塔外墻底部的底角 的
度數，李瀟同學設計了如下測量方
案：作，的延長線， ，
量出的度數，從而得到
對頂角相等
的度數.這個測量方案的依據是_____________.
(第7題)
7.[2024·安慶期末] 如圖是利用量角
器測量角的示意圖，則圖中 的度
數為( )
A
A. B. C. D.
(第8題)
8. [2024·宿州期中] 如圖，當
光線從空氣中射入某種液體中時，光線的傳
播方向發生了變化，在物理學中這種現象叫
作光的折射.如圖，垂直于液面 于點
，一束光線沿射入液面，在點 處發生
A
A. B. C. D.
折射，折射光線為，為 的延長線上的一點，若入射
角 ，折射角 ，則 的度數為( )
2星題 中檔練
9.[2024·宿州期末] 如圖，直線，相交于點 ，若
，則 _____.
(第9題)
(變式題)
【變式題】 如圖，已知直線 、
、相交于點.若 ,
,則 的度數為( )
A
A. B. C. D.
(第10題)
10.如圖，直線，相交于點 ，射線
平分，若 ，則
______.
根據題意，易得
.因為射線平分 ，所以
，所以
.
【變式題】 如圖，已知直線，相交于點， 平分
且 ，則 的度數為_____.
(變式題)
11.［分類討論思想］ 兩條直線相交所成的四個角中，
若有兩個角的度數分別是 和 ，則
________.
40或80
當這兩個角是相鄰的兩個角時，
根據題意，得,解得 .
當這兩個角是對頂角時，根據題意，得 ，
解得 .
12.閱讀并補全解答過程.
如圖所示，直線，， 兩兩相交，
， ，求 的度數.
解：因為 ，(已知)
_________，(對頂角相等)
所以 .(等量代換)
又因為 ，(____________)
對頂角相等
所以 .(__________)
又因為 ，(已知)
所以 _______.(等式的性質)
等量代換
3星題 提升練
13.［幾何直觀］觀察圖形(如圖)，回答下列問題(平角除外)：
(1)2條直線相交于一點，有___對對頂角；
3條直線相交于一點，有___對對頂角；
4條直線相交于一點，有____對對頂角.
2
6
12
(2)根據(1)總結規律，寫出 條直線相交于一點，有多少對對
頂角,為正整數 .
解：有 對對頂角.
(3)根據(2)中發現的規律，求10條直線相交于一點，有多少對
對頂角.
(對)，即有90對對頂角.

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