資源簡(jiǎn)介

(共19張PPT)
第9章 分式
9.2 分式的運(yùn)算
2. 分式的加減
第1課時(shí) 分式的通分
核心必知
1.取各分母所有因式的______次冪的積作為公分母，這樣的公
分母叫作最簡(jiǎn)公分母.在求最簡(jiǎn)公分母時(shí)應(yīng)注意：(1)如果各分
母的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最
簡(jiǎn)公分母的系數(shù)；(2)當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先分解因式.
2.化異分母分式為____________的過(guò)程，叫作分式的通分.
最高
同分母分式
1星題 基礎(chǔ)練
最簡(jiǎn)公分母
找和 的最簡(jiǎn)公分母
1.分式與 的最簡(jiǎn)公分母是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024·鹽城月考] 分式與 的最簡(jiǎn)公分母是( )
C
A. B. C. D.
3.分式和 的最簡(jiǎn)公分母是( )
B
A. B.
C. D.
4.分式，， 的最簡(jiǎn)公分母是________.
通分
5.將分式,,, 通分，正確的是( )
D
A. B.
C. D.
6.[2024·合肥月考] 將分式與分式 通分后，
的分母變?yōu)椋瑒t 的分子變?yōu)?br/>( )
A
A. B. C. D.
7. 通分：
(1)與 ；
解：, .
(2)與 ；
，
.
(3)與 ；
解： , .
(4)與 .
, .
2星題 中檔練
8.在將，， 通分的過(guò)程中，不正確的是
( )
D
A.最簡(jiǎn)公分母為
B.
C.
D.
9.將分式,, 通分后，各分式的分子的和為________.
將分式，，通分后為 ，
， ，
所以各分式的分子的和為
.
10.[2024·揚(yáng)州月考] 已知分式與， 是常數(shù)且
的最簡(jiǎn)公分母為，則___, _______.
3
5或10
11.通分：
(1)， ；
解：， .
(2)，， ;
解： ，
，
.
(3),, .
解： ,
,
.
3星題 提升練
12.［運(yùn)算能力］已知,為實(shí)數(shù)，且, .
(1)通分：, ;
解： ,
.
(2)若,求 的值.
因?yàn)?所以 .
因?yàn)?,所以 ，
解得 .
榮老師告訴你
約分與通分的關(guān)系：
1.約分的關(guān)鍵是找分子、分母的公因式；通分的關(guān)鍵是確定
最簡(jiǎn)公分母.
2.約分和通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，前者是分子、分母
同除以公因式，后者是使分母都變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母.(共7張PPT)
第9章 分式
專題訓(xùn)練8 中考趨勢(shì) 綜合與實(shí)踐
專題訓(xùn)練8
在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)洗一套夏季校服，
探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.
【洗衣過(guò)程】
步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后
擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干.
重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo).
假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為 ，每
次擰干后校服上都?xì)埩?水.
濃度關(guān)系式：.其中、 分別為單次漂洗前、
后校服上殘留洗衣液濃度；(單位： )為單次漂洗所加清
水量.
【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過(guò)漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
.
【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：
(1)如果只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為
，需要多少清水？
解：把，代入 ，
得，解得 .
經(jīng)檢驗(yàn)， 是原方程的解，且符合題意，
所以只經(jīng)過(guò)一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為 ，
需要 清水.
(2)如果把 清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？
第一次漂洗：把，代入 ，
得 ，
第二次漂洗：把，代入 ，
得，而 ，
所以把 清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo).
(3)比較(1)和(2)的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說(shuō)說(shuō)你
的想法.
由 的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，
還能大幅度節(jié)約用水，所以從洗衣用水策略方面來(lái)講，采用
兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí).(答案合理即可)(共22張PPT)
第9章 分式
9.1 分式及其基本性質(zhì)
第1課時(shí) 分式
核心必知
1.一般地，如果，表示兩個(gè)整式，并且 中含有______，
那么式子叫作分式.其中叫作分式的分子， 叫作分式的分
母.______和______統(tǒng)稱為有理式.
字母
整式
分式
2.
分式 滿足條件
有意義 分母
無(wú)意義 分母
值為零 分子且分母
1星題 基礎(chǔ)練
分式的定義
1.［知識(shí)初練］已知下列式子：
;;;; ，因?yàn)開_______的分母中含
有字母，所以________是分式.(只需填寫序號(hào))
2.[2024·淮北期末] 下列四個(gè)代數(shù)式中，其中為分式的是
( )
D
A. B. C. D.
3.給出4個(gè)整式：2，，， .從4個(gè)整式中選擇
2個(gè)整式，寫出一個(gè)分式：_ _______________.
(答案不唯一)
分式有、無(wú)意義的條件
4.[2024·鎮(zhèn)江中考] 使分式有意義的 的取值范圍是______.
5.使分式無(wú)意義的 的值是( )
B
A. B. C. D.
6. 當(dāng) 取何值時(shí)，下列分式有意義
(1) ;
解：根據(jù)題意，得 .
(2) ；
根據(jù)題意，得，解得 .
(3) .
根據(jù)題意，得，因?yàn)椋?取任何實(shí)數(shù).
分式的值為0的條件
7.當(dāng)______且_____時(shí)，分式 的值為0.
8. 如果分式的值為0，那么 的值為( )
B
A.0 B.1 C. D.
本題易忽視分母不為0導(dǎo)致出錯(cuò).
9.利用下面三個(gè)整式中的兩個(gè)或三個(gè)寫出一個(gè)分式，使得當(dāng)
時(shí)，分式的值為0，且 時(shí)，分式無(wú)意義.
;; .
解： .(答案不唯一)
列分式
主題情境
點(diǎn)點(diǎn)一家周末到南艷湖公園游玩.為了欣賞沿途的風(fēng)光，
點(diǎn)點(diǎn)提議騎電動(dòng)自行車前往.請(qǐng)回答第 題.
10.若點(diǎn)點(diǎn)家距離公園 ，他們騎電動(dòng)自行車的平均速度
是，則點(diǎn)點(diǎn)一家到公園需要__ .
11.若點(diǎn)點(diǎn)在公園選中了某款特產(chǎn)，單價(jià)為元/ ，
用元可以購(gòu)買__ ，周末正好有促銷活動(dòng)，每千克特產(chǎn)可
降價(jià)5元，則元可以購(gòu)買到____ .
2星題 中檔練
12.[2024·南京期中] 對(duì)于分式 ，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
( )
C
A.當(dāng) 時(shí)，分式的值為0
B.當(dāng) 時(shí)，分式無(wú)意義
C.當(dāng) 時(shí)，分式的值為正數(shù)
D.當(dāng) 時(shí)，分式的值為1
13.[2024·杭州月考] 不論 取何值，下列分式中總有意義的是
( )
C
A. B. C. D.
14. 明代旅行家、地理學(xué)家徐霞客兩游黃山,贊嘆說(shuō):
“登黃山天下無(wú)山,觀止矣!”五一假期，黃山迎來(lái)旅游高峰，
第一時(shí)段天內(nèi)平均每天接待游客萬(wàn)人次，第二時(shí)段 天內(nèi)
共接待游客 萬(wàn)人次，則這兩個(gè)時(shí)段內(nèi)平均每天接待游客
______萬(wàn)人次.
15.[2024·六安月考] 對(duì)于分式，當(dāng) 時(shí)，分式無(wú)意
義；當(dāng)時(shí)，分式的值為0，則 的值為____.
16. [2024·吉林中考] 當(dāng)分式 的值為正數(shù)時(shí)，
寫出一個(gè)滿足條件的 的值為______________.
0(答案不唯一)
【變式題】 當(dāng)滿足____________時(shí)，分式 的值為正數(shù).
17.下列各式中，當(dāng) 為什么數(shù)時(shí)，分式的值為0
(1) ；
解：根據(jù)題意，得，解得或 .
因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，分式無(wú)意義，
當(dāng)時(shí)， ，
所以當(dāng) 時(shí)，分式的值為0.
(2) .
解：根據(jù)題意，得，解得 .
因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，分式無(wú)意義，
當(dāng)時(shí)， ，
所以當(dāng) 時(shí)，分式的值為0.
3星題 提升練
18. ［運(yùn)算能力］已知無(wú)論 取何實(shí)數(shù)，分
式總有意義，求 的取值范圍.
小明解此題的部分過(guò)程如下：
解：
(1)請(qǐng)將小明對(duì)此題的解題過(guò)程補(bǔ)充完整；
解：補(bǔ)充如下：因?yàn)?無(wú)論 取何實(shí)數(shù)，分式
總有意義，
所以只要，即可滿足題意，所以 .
(2)利用小明的思路，解決下列問(wèn)題：無(wú)論 取何實(shí)數(shù)，分式
總有意義，求 的取值范圍.
.
因?yàn)?,
根據(jù)無(wú)論取何實(shí)數(shù)，分式 總有意義，
所以只要，即可滿足題意,所以 .(共21張PPT)
第9章 分式
9.2 分式的運(yùn)算
1. 分式的乘除
核心必知
分式的乘除法、乘方法則 式子表示
乘法法 則 兩個(gè)分式相乘，用________ ___作為積的分子，用_____ _____作為積的分母.
除法法 則 兩個(gè)分式相除，將______的 分子、分母顛倒位置后，與 被除式相乘.
分子的積
分母的積
除式
分式的乘除法、乘方法則 式子表示
乘方法 則 分式乘方等于把分子、分母 分別______.
注意：在分式運(yùn)算中，整數(shù)和整式可看成分母為1的式子.
乘方
1星題 基礎(chǔ)練
分式的乘除
1.［知識(shí)初練］計(jì)算：
(1) _____；
(2) ___ ____；
(3)_______ ___.
2.[2024·合肥模擬] 計(jì)算 的結(jié)果是( )
B
A. B. C. D.
3.[2024·合肥模擬] 計(jì)算 的結(jié)果為( )
D
A. B. C. D.
4. 已知布料能做件上衣，布料能做
條褲子，則一件上衣的用料是一條褲子用料的_____倍.
由題意可得 .
5.計(jì)算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
解：原式 .
(3) .
解：原式 .
分式的乘方
6.［知識(shí)初練］計(jì)算：
(1) _______；
(2) ___.
7.計(jì)算 的結(jié)果是( )
C
A. B. C. D.
8.下列計(jì)算中，正確的是( )
A
A. B.
C. D.
2星題 中檔練
9.下列各式計(jì)算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
10.表格第一列是點(diǎn)點(diǎn)計(jì)算 的部分過(guò)程，則在計(jì)算過(guò)程中
的橫線上依次填入的表格第二列內(nèi)容的序號(hào)為( )
原式 .
A.④①② B.③①② C.③②① D.④②①
C
11.如果，那么代數(shù)式 的值是
_ _.
12. 如圖是三名同學(xué)在一起討論一個(gè)分式乘
法題目的部分對(duì)話，請(qǐng)你寫出一個(gè)符合下列條件的題目：
_ ________________________.
(答案不唯一)
13.計(jì)算： .
解：原式 .
14. 先化簡(jiǎn)，再選一個(gè)使原式有意義，而你
又喜愛(ài)的數(shù)代入求值： .
解： .
由題意可得，，， ，
選擇，則原式 ．(代入數(shù)值不唯一)
3星題 提升練
15. ［運(yùn)算能力］涪陵是“榨
菜之鄉(xiāng)”，今年榨菜更是喜獲豐收.為
了選育更好的榨菜品種，農(nóng)民伯伯們
開始自己建試驗(yàn)田.如圖，王大伯家試
驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正
方形蓄水池后余下的部分，李大爺家試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為
的正方形，兩塊試驗(yàn)田的榨菜最后分別收獲了
.
(1)哪家的榨菜品種單位面積產(chǎn)量高？
解：王大伯家試驗(yàn)田的面積是 ，則單位面積產(chǎn)量
為 ；
李大爺家試驗(yàn)田的面積是 ，則單位面積產(chǎn)量為
.因?yàn)?所以, .因?yàn)?br/>,
所以,所以 .
答：李大爺家的榨菜品種單位面積產(chǎn)量高.
(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積
產(chǎn)量的多少倍？
.
答：高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面
積產(chǎn)量的 倍.(共14張PPT)
第9章 分式
9.1 分式及其基本性質(zhì)
第3課時(shí) 約分
核心必知
1.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的_______
__約去叫作分式的約分.
注意：當(dāng)分式的分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，可先分解因式找出
公因式，再約分.
2.分子與分母沒(méi)有________的分式叫作最簡(jiǎn)分式.分式的約分
是把分式化成最簡(jiǎn)分式或整式.
公因式
公因式
1星題 基礎(chǔ)練
約分
1.［知識(shí)初練］約去分式 中分子與分母的公因式：_____，
得___.
2.將分式 約分的結(jié)果是( )
C
A. B. C. D.
3.化簡(jiǎn) 的結(jié)果為( )
C
A. B. C. D.
4.約分:
(1) ;
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) .
原式 .
最簡(jiǎn)分式
5.[2024·宿州期末] 下列分式中屬于最簡(jiǎn)分式的是( )
B
A. B. C. D.
6.將分式 化為最簡(jiǎn)分式，所得的結(jié)果是_____.
2星題 中檔練
7.若是最簡(jiǎn)分式，則 中可以是( )
C
A.2 B. C. D.
8.如果一個(gè)分式的分子或分母可以分解因式，且不可約分，
那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”，下列分式中，是“和諧
分式”的是( )
A
A. B.
C. D.
9.圖①是一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正方形剪去一個(gè)
邊長(zhǎng)為1的小正方形，圖②是一個(gè)邊長(zhǎng)為
的正方形，若圖①、圖②中陰影部
.
分的面積分別為，，則 可化簡(jiǎn)為
____.
10. ［整體思想］[2024·北京中考] 已知 ，則代
數(shù)式 的值是___.
3
11. [2024·寧波模擬] 已知代數(shù)式 ，
，.從，， 中任選兩個(gè)分
別作為分子、分母，組成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式，再求當(dāng)
時(shí)分式的值.
解：(答案不唯一)選擇作為分子，
作為分母，則．當(dāng) 時(shí)，
.(共11張PPT)
第9章 分式
專題訓(xùn)練7 專項(xiàng)整合 分式的化簡(jiǎn)求值
專題訓(xùn)練7
見(jiàn)給定數(shù)值，思考化簡(jiǎn)后直接代入求值
1.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中 .
解：原式 .當(dāng)
時(shí)，原式 .
2.先化簡(jiǎn)，再?gòu)?中選取一
個(gè)合適的整數(shù)代入求值.
解：原式.由題意，得, ，
，所以且.因?yàn)樵?中的整數(shù)
有 ，0，1，2，
所以取,所以原式 .
見(jiàn)復(fù)雜等式，思考化簡(jiǎn)后整體代入求值
3.[2024·福州期末] 已知，則 的值等于____.
根據(jù)已知條件得出 ，代入分式進(jìn)行
計(jì)算即可求解.
4.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中， 滿足
.
解：原式 .
由，得 ，
則原式 .
5. ［應(yīng)用意識(shí)］【問(wèn)題探究】已知 ，試求下列各式
的值：
(1) ____；
(2) _____.
23
527
【規(guī)律總結(jié)】
(1) ____；
(2) ____.
【方法應(yīng)用】 已知，求 的值.
解：因?yàn)?所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
見(jiàn)連比式，思考設(shè)參數(shù)法求值
6.已知,求 的值.
解：設(shè),則,, .所以原
式 .
思路導(dǎo)航
先設(shè)，再分別用含的式子表示：
____,____,____,然后代入 后進(jìn)行約分，即可
得出結(jié)果.
已知,求 的值.
解：設(shè),則,, ,所以
,
所以,所以.所以 .
所以原式 .
解：原式=
2x+5
3(x+1)
2x+5-3x-3
(xH1)x-1)
(x+1)(x-1)
(x+1)(x-1)
x-1)2
2.=1由題意，
得x十1≠0，x一1+0
2-x
x十12一
2一x≠0，所以x≠士1且x≠2.因?yàn)樵?2數(shù)
有-1,0,1,2，
所以取x=0,所以原式=
僻：原式=[
3x(x+y)
x(x一y)
]X-y+)
(x一y)(x+y)
(x-y)(x+y)
3x2+3xy+x2y×-y+
4x2+2xy
,(x一y)(x+y)
=4x十
(x-y)(x+y)
(x-y)(x+y)
由2x+y-3=0,得2x+y=3,
則原式=4x+2y=2(2x+y)=2×3=6.(共18張PPT)
第9章 分式
9.3 分式方程
第2課時(shí) 分式方程的應(yīng)用
解含有參數(shù)的分式方程
1.年出生人數(shù)和年死亡人數(shù)的差與年平均人口數(shù)的比，叫作
年人口自然增長(zhǎng)率，如果用表示年出生人數(shù)， 表示年死亡
人數(shù)，表示年平均人口數(shù)， 表示年人口自然增長(zhǎng)率,則年
人口自然增長(zhǎng)率.若把公式變形成已知，，，求 ，
則 _______.
2. 并聯(lián)電路中兩個(gè)電阻的阻值分別為、 ，
電路的總電阻和、滿足，已知和 ，則
的值為_ ____.
3. [2024·合肥期末] 凸透鏡成像是自然界中的
一個(gè)基本現(xiàn)象，其中物距記為，像距記為 ，透鏡焦距記為
，三者滿足關(guān)系式：，若已知、，則 ____.
分式方程的實(shí)際應(yīng)用
用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題
主題情境
“一帶一路”累累碩果
共建“一帶一路”從中國(guó)倡議走向國(guó)際實(shí)踐，越來(lái)越多的
國(guó)家和地區(qū)通過(guò)共建“一帶一路”實(shí)現(xiàn)自身更好發(fā)展.請(qǐng)回答第
題.
高標(biāo)準(zhǔn)高質(zhì)量推進(jìn)標(biāo)志性工程
4.基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)是“一帶一路”的重點(diǎn)合作領(lǐng)域.中國(guó)鐵建在非
洲的某一隧道工程中，甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每小時(shí)多挖
，甲工程隊(duì)挖比乙工程隊(duì)挖 所需時(shí)間少
，設(shè)甲工程隊(duì)每小時(shí)挖 ，可列出方程為___________
_________________.
5.連接云南昆明與老撾首都萬(wàn)象的中老鐵路于2021年12月3日
正式開通，這是國(guó)家“一帶一路”倡議提出后，首條以中方為
主投資建設(shè)、全線采用中國(guó)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)、使用中國(guó)設(shè)備并與中
國(guó)鐵路網(wǎng)直接連通的國(guó)際鐵路.在這條鐵路線上，甲站與乙站
相距 ，實(shí)際提速后高鐵的速度是原計(jì)劃的2倍，時(shí)間
比原計(jì)劃減少 ，求實(shí)際提速后高鐵的速度.
解：設(shè)原計(jì)劃高鐵的速度為 ，則實(shí)際提速后高鐵的
速度為.由題意，得，解得 .經(jīng)
檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，所以 .
答：實(shí)際提速后高鐵的速度為 .
點(diǎn)亮世界經(jīng)濟(jì)
6.自中歐班列開通以來(lái)，重慶與歐洲各國(guó)經(jīng)貿(mào)往來(lái)日益頻繁，
某歐洲客商準(zhǔn)備在重慶采購(gòu)一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用
1 600元采購(gòu)A型商品的件數(shù)是用1 000元采購(gòu)B型商品的件
數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)少20元,
則一件A型商品的進(jìn)價(jià)為____元.
80
7.“一帶一路”科技創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃，促進(jìn)全球人工智能健康有
序安全發(fā)展，某科技公司生產(chǎn)了一批新型搬運(yùn)機(jī)器人，打出
了如下的宣傳：
根據(jù)該宣傳，求新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量.
解：設(shè)新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量為 ，則舊型機(jī)器人每
天搬運(yùn)的貨物量為，根據(jù)題意，得 ，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)， 是分式方程的解，且符合題意.
答：新型機(jī)器人每天搬運(yùn)的貨物量為 .
促進(jìn)文化交流
8.明代的《絲路山水地圖》在春晚
特別節(jié)目《國(guó)寶回家》中宣布回歸
祖國(guó).如圖,小莉?qū)硎准斡P(guān)部分進(jìn)
行臨摹并裝裱,裝裱前的作品長(zhǎng)為，寬為 ，將其
四周裱上邊襯后(上、下邊襯寬度相等,左、右邊襯寬度相等),
整幅裱件的長(zhǎng)與寬之比為 ，已知左、右邊襯的寬度是上、
下邊襯寬度的3倍，則裱件的長(zhǎng)、寬分別是多少
解：設(shè)裱件上、下邊襯的寬度為
,則左、右邊襯的寬度為 .
根據(jù)題意可列方程為 ,解
得，經(jīng)檢驗(yàn)， 是原分式方程的解，且符合題意.
所以裱件上、下邊襯的寬度為 ，左、右邊襯的寬度為
，則裱件的長(zhǎng)為 ，
寬為 .
答：裱件的長(zhǎng)為，寬為 .
9.博物館已成為“一帶一路”倡議下重要的文化使者，為“一帶
一路”沿線各國(guó)構(gòu)建了文旅合作平臺(tái).一學(xué)習(xí)小組計(jì)劃到某博
物館參觀學(xué)習(xí).
(1)為達(dá)到更佳的參觀學(xué)習(xí)效果，他們?cè)?jì)劃花360元租私家
講解團(tuán)，后又臨時(shí)增加3名同學(xué)，實(shí)際的團(tuán)費(fèi)雖然增加了60
元，但實(shí)際的人均費(fèi)用只為原來(lái)的人均費(fèi)用的 ，求該學(xué)習(xí)
小組實(shí)際參觀博物館的同學(xué)人數(shù)；
解：設(shè)該學(xué)習(xí)小組實(shí)際參觀博物館的同學(xué)有 人，則原計(jì)劃
參觀博物館的同學(xué)有 人，
根據(jù)題意，得，解得 ，
經(jīng)檢驗(yàn) 是原方程的解，且符合題意.
答：該學(xué)習(xí)小組實(shí)際參觀博物館的同學(xué)有15人.
(2)該博物館的參觀路線全長(zhǎng) ，分為“經(jīng)典講解”和“特色
數(shù)字化體驗(yàn)”兩部分，他們參觀“經(jīng)典講解”部分的平均速度是
，是參觀“特色數(shù)字化體驗(yàn)”部分的平均速度的3倍，加
上在“特色數(shù)字化體驗(yàn)”部分排隊(duì)的 ，整個(gè)參觀學(xué)習(xí)過(guò)
程共 ，求“經(jīng)典講解”部分參觀路線的長(zhǎng)度為多少千米.
設(shè)“經(jīng)典講解”部分參觀路線的長(zhǎng)度為 ，則“特色數(shù)字化
體驗(yàn)”部分參觀路線的長(zhǎng)度為 ，
，
根據(jù)題意，得 ，
解得 .
答：“經(jīng)典講解”部分參觀路線的長(zhǎng)度為 ．(共21張PPT)
第9章 分式
9.2 分式的運(yùn)算
2. 分式的加減
第2課時(shí) 分式的加減
核心必知
1.同分母的分式相加減，分母不變，分子________.用式子表
示： .
2.異分母的分式相加減，先______，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤?br/>加減.用式子表示： .
相加減
通分
1星題 基礎(chǔ)練
同分母分式的加減
1.［知識(shí)初練］計(jì)算：
(1) ____；
1
(2) _____.
2
m-1
m-1
1
2.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是___.
3.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( )
A
A. B. C. D.
【變式題】 如圖，一個(gè)正確的運(yùn)算過(guò)程被蓋住了一部分，
則被蓋住的是( )
D
A. B. C.2 D.1
4.[2024·六安月考] 化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( )
C
A. B. C. D.
5. 計(jì)算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
異分母分式的加減
6.［知識(shí)初練］計(jì)算： _____.
7.計(jì)算：
(1) ______；
(2) ______.
8.有如下計(jì)算過(guò)程：
第(1)步
第(2)步
. 第(3)步
其中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是 ( )
B
A.第(1)步 B.第(2)步 C.第(3)步 D.沒(méi)有錯(cuò)誤
9.計(jì)算：
(1) ；
解：原式
.
(2) ；
原式 .
(3) .
解：原式 .
2星題 中檔練
10.[2024·淮北期末] 已知，，則
____.
11.[2024·河北中考] 已知為整式，若計(jì)算 的結(jié)
果為，則 ( )
A
A. B. C. D.
12.已知，為實(shí)數(shù)，且，設(shè) ，
，則, 的大小關(guān)系是( )
C
A. B. C. D.不能確定
13. 已知,，用“ ”或“-”連接
，，共有三種不同的形式：,, ，請(qǐng)選擇
其中一種形式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，其中, .
解： .
當(dāng),時(shí), .(答案不唯一)
14. 將糖放入一杯水中，得到 糖水
.
(1)糖水的濃度為___；
B
A. B. C.
(2)再往杯中加入 糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水更甜
了，用不等式表示加糖前后的濃度關(guān)系為________；
(3)請(qǐng)說(shuō)明(2)中的不等式成立.
解：
.
因?yàn)椋?，
所以， ，
所以，即 ．
3星題 提升練
15.［運(yùn)算能力］觀察下列等式：
第1個(gè)等式： ；
第2個(gè)等式： ；
第3個(gè)等式： ；
第4個(gè)等式： ；
第5個(gè)等式： ；
……
按照以上規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
(1)寫出第6個(gè)等式：_ ________________；
(2)寫出你猜想的第個(gè)等式 (用含 的等式表示)，并說(shuō)明等
式的正確性.
解：第個(gè)等式： .
因?yàn)?，
所以該等式是正確的.(共20張PPT)
第9章 分式
大單元整合復(fù)習(xí)
大單元整合復(fù)習(xí)
分式的相關(guān)概念及分式有無(wú)意義的條件
1.[2024·六安月考] 代數(shù)式，，，，， 中，
分式有( )
A
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
2.下列結(jié)論正確的是( )
A
A.當(dāng)時(shí)，分式 有意義
B.當(dāng)時(shí)，分式 有意義
C.當(dāng)時(shí)，分式 的值為0
D.當(dāng)時(shí)，分式 沒(méi)有意義
3.下列分式：；；； ，其中
是最簡(jiǎn)分式的是______.
4.與 的最簡(jiǎn)公分母是________.
分式的基本性質(zhì)
5.若將中的與 都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則這個(gè)代數(shù)式的值
( )
C
A.不變 B.擴(kuò)大為原來(lái)的2倍
C.擴(kuò)大為原來(lái)的4倍 D.縮小到原來(lái)的
6.下列各式變形正確的是( )
A
A. B.
C. D.
分式的運(yùn)算
7.[2024·天津中考] 計(jì)算 的結(jié)果等于( )
A
A.3 B. C. D.
8.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( )
C
A.2 B. C. D.
9.已知，則 __.
10.計(jì)算： .
解：原式 .
分式方程
11.在;; ;
; 中，分式方程有( )
B
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
12.[2024·滁州期末] 若關(guān)于的分式方程 有增根，
則 的值為( )
D
A. B. C.1或 D.5
13.［立德樹人·數(shù)學(xué)文化］《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專
著，其方程篇中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有善行者每刻鐘比不善
行者多行六十尺，不善行者先行兩百尺，善行者行八百尺追
上．設(shè)善行者每刻鐘行 尺，則列分式方程可整理為( )
B
A. B.
C. D.
14.解方程：
(1) ；
解：方程兩邊同時(shí)乘以 ，得
.
整理得.解得 .
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， .
所以分式方程的解為 .
(2) .
解：去分母，得 .
去括號(hào)，得 .
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 .
解得 .
經(jīng)檢驗(yàn)， 是分式方程的增根，
故原分式方程無(wú)解.
15. 斑馬線前“車讓人”，不
僅體現(xiàn)著一座城市對(duì)生命的尊重，也
直接反映了城市的文明程度.如圖是
某路口的斑馬線路段，其中 ，
在綠燈亮?xí)r，小明共用通過(guò)，其中通過(guò) 的速度
是通過(guò)的速度的1.5倍，求小明通過(guò) 時(shí)的速度.
解：設(shè)小明通過(guò)時(shí)的速度是 ，
根據(jù)題意,得，解得 .
經(jīng)檢驗(yàn)， 是原方程的解，且符合題意.
答：小明通過(guò)時(shí)的速度是 .
數(shù)學(xué)思想
16.［消元思想］已知， ，
且，求 的值.
解：由, ,
得解得因?yàn)?,所以原式
.
17.［整體思想］先化簡(jiǎn)，再求值： ，其
中滿足 .
解：原式 .因?yàn)?br/>，所以 .
所以原式 .
易錯(cuò)題
18.若分式的值為0,則 ____.
本題易忽視分母不為0導(dǎo)致出錯(cuò).
19.若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則 的取值范圍
是_______________.
且
易忽略增根而出錯(cuò).
聚焦安徽中考
20.[2024·安徽中考] 若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù) 的取值范
圍是______.
21.[2023·安徽中考] 先化簡(jiǎn)，再求值： ，其中
.
解： .
當(dāng)時(shí)，原式 .(共20張PPT)
第9章 分式
9.3 分式方程
第1課時(shí) 分式方程及其解法
核心必知
1.分母中含有________的方程叫作分式方程.
2.解分式方程時(shí)，由于去分母時(shí)將方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公
分母，該最簡(jiǎn)公分母的值可能為____，因此解分式方程一定
要______.驗(yàn)根時(shí)，只要把求得的根代入最簡(jiǎn)公分母，看它的
值是否為零，使它不為零的根才是原方程的根，使它為零的
根即為增根，應(yīng)舍去.
未知數(shù)
零
驗(yàn)根
1星題 基礎(chǔ)練
分式方程的定義
1.［知識(shí)初練］因?yàn)榉匠?中含有分式，且分母
中含有________，所以這個(gè)方程____(填“是”或“不是”)分式
方程.
未知數(shù)
是
2.[2024·宿州月考] 下列關(guān)于的方程： ；
；； ，其中是分式方程的
為______.(填序號(hào))
解分式方程
3. 如圖所示，點(diǎn)點(diǎn)總結(jié)了“解可化為一元一
次方程的分式方程”的運(yùn)算流程，那么和 分別代表的是
( )
C
A.分式的基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)公分母
B.分式的基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)公分母
C.等式的基本性質(zhì)2，最簡(jiǎn)公分母
D.等式的基本性質(zhì)2，最簡(jiǎn)公分母
4.[2024·安慶期末] 解方程，兩邊同乘以
后得到的式子為( )
B
A. B.
C. D.
5.[2024·無(wú)錫中考] 分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
【變式題】 已知代數(shù)式和的值相等，則 的值為__.
6.解方程：
(1) ；
解：去分母，得，解得 ，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， ，
所以 是原方程的根．
(2) .
解：方程兩邊都乘以 ，得
．
去括號(hào)，得，解得 ．
經(jīng)檢驗(yàn)， 是原方程的根．
分式方程的增根
7.若關(guān)于的分式方程 有增根，則這個(gè)增根為
______.
8.[2024·六安月考] 若關(guān)于的分式方程 有增根，
則 的值為( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2星題 中檔練
9.定義運(yùn)算“”：若，則 的
值為( )
B
A. B.或10 C.10 D.或
10.[2024·遂寧中考] 分式方程 的解為正數(shù)，則
的取值范圍是( )
B
A. B.且
C. D.且
11.[2024·重慶中考B卷] 若關(guān)于 的一元一次不等式組
的解集為，且關(guān)于 的分式方程
的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù) 的
值之和是____.
12
12.已知關(guān)于的分式方程 .
(1)若方程的增根為，則 的值是____；
(2)若方程有增根，則 的值是_________；
(3)若方程無(wú)解，則 的值是______________.
或
或或1.5
13.解方程： .
解：去分母，得 ,
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，得 .
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)， ，分式無(wú)意義，
所以原方程無(wú)解.
3星題 提升練
14. ［模型觀念］觀察下列關(guān)于 的方程，然后回答問(wèn)題：
方程的解是， ；
方程的解是, ;
方程的解是, .
【猜想】 方程 的解是______________；
,
【驗(yàn)證】 請(qǐng)利用“方程的解”的概念驗(yàn)證上述猜想；
解：
當(dāng)時(shí)，方程左邊，方程右邊 ,
方程左邊方程右邊，所以 是方程的解；
當(dāng)時(shí)，方程左邊，方程右邊 ,
方程左邊方程右邊，所以 是方程的解.
所以的解是, .
【結(jié)論】如果方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的倍數(shù)的和，方
程的右邊的形式與左邊的完全相同，只是把其中的未知數(shù)換
成了某個(gè)常數(shù)，那么這樣的方程可以直接得解;
【拓展運(yùn)用】 解關(guān)于的方程： .
由，得 .
所以或 ,
所以, .(共19張PPT)
第9章 分式
9.2 分式的運(yùn)算
2. 分式的加減
第3課時(shí) 分式的混合運(yùn)算
核心必知
分式的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算是先______，再
_______，后加減.如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.
乘方
乘除
1星題 基礎(chǔ)練
分式的混合運(yùn)算
1.[2024·合肥模擬] 化簡(jiǎn) 的結(jié)果是( )
B
A. B. C. D.
2.計(jì)算 的結(jié)果是( )
A
A. B. C. D.
3.當(dāng),時(shí)，代數(shù)式 的值是( )
C
A.2 B.3 C.6 D.9
4.計(jì)算： ___.
1
5.已知，則分式 的值是__.
6. 計(jì)算：
(1) ；
解：原式
.
(2) ；
解：原式 .
(3) .
解：原式
.
7. 學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣
一道題： .
小明同學(xué)的部分解答過(guò)程如下：
解：原式
…
(1)小明的解答從第____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤(填序號(hào))；
③
(2)請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程.
解：原式 ．
2星題 中檔練
8. [2024·大同模擬]
如圖，小敏不小心將分式運(yùn)算
的作業(yè)撕壞了一角，若已知該
C
A. B. C. D.
運(yùn)算正確，則撕壞的部分中“ ”代表的是( )
9.若，則代數(shù)式 的值是___.
1
.
因?yàn)椋裕栽?.
10.[2024·六安月考] 先化簡(jiǎn)： ，再?gòu)?br/>中選取合適的整數(shù)進(jìn)行求值.
解：原式．
因?yàn)?,，所以在 中，合適的整
數(shù)只有2，當(dāng)時(shí)，原式 ．
11. [2024·北京期中] 下面是學(xué)習(xí)了分式混合
運(yùn)算后，甲、乙兩名同學(xué)解答一道題目時(shí)第一步的做法，選
擇其中一名同學(xué)的做法，完成解答過(guò)程.
計(jì)算： . 甲同學(xué) 解：原式 乙同學(xué)
解：原式
我選擇：___同學(xué).
甲; 解：原式
.
或乙; 原式．
3星題 提升練
12.［運(yùn)算能力］已知：
,
,
,
，
.
(1)_____________為正整數(shù) ;
(2)_________________, 為正整數(shù)，且
;
(3)探究：若 ,試求
的值.
解：由題意易得,,所以 ,
所以原式
.(共10張PPT)
第9章 分式
9.1 分式及其基本性質(zhì)
第2課時(shí) 分式的基本性質(zhì)
核心必知
分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)
不等于零的整式，分式的值______.即
，，都是整式，且 .
不變
1星題 基礎(chǔ)練
分式的基本性質(zhì)
1.［知識(shí)初練］填空： .
2.[2024·重慶月考] 下列各式中，變形正確的是( )
A. B. C. D.
C
3.若，則 應(yīng)滿足的條件是( )
C
A. B.
C.且 D.或
4.在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)氖阶樱瓜铝械仁匠闪ⅲ?br/>(1) ；
(2) ;
(3) ;
(4) .
2星題 中檔練
5.[2024·淮北期末] 如果把分式中的和 都擴(kuò)大為原來(lái)
的2倍，那么分式的值( )
A
A.縮小為原來(lái)的 B.擴(kuò)大為原來(lái)的2倍
C.不變 D.縮小為原來(lái)的
6.不改變分式的值，把下列分式的分子和分母的最高次項(xiàng)的
系數(shù)都化為正數(shù).
(1) _______；
(2) _ ________.
7.[2024·南京期中] 不改變分式 的值，把它的分子與分
母中的各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù)，結(jié)果為_______.
8.[2024·蕪湖月考] 對(duì)分式 的變形，甲同學(xué)的做法是
；乙同學(xué)的做法是
.請(qǐng)根據(jù)分式的基
本性質(zhì)，判斷甲、乙兩同學(xué)的做法是否正確，并說(shuō)明理由.
解：甲同學(xué)的做法正確，乙同學(xué)的做法錯(cuò)誤.
理由：根據(jù)題意知 ,因此分式的分子、分母可以同
除以，而 是不是0不能確定，故不能運(yùn)用分式的基
本性質(zhì)像乙同學(xué)那樣對(duì)其變形.因此，甲同學(xué)的做法正確，乙
同學(xué)的做法錯(cuò)誤.

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