資源簡介

(共17張PPT)
專題訓練2 新課標·新教材·新動向
小明的《實數》學習日志
專題訓練2
主題情境
在學習了《實數》這章內容后，小明對課本第
頁的內容產生了濃厚的興趣，于是上網查閱資料，并整理了
相應的學習日志，用作自我提升.
將無限循環小數化為分數
1. 先閱讀下面材料，再完成任務：
【閱讀理解】你知道如何將無限循環小數寫成分數形式嗎？
下面的解答過程會告訴你方法.
例題：利用一元一次方程將 化為分數.
解：設，則 ，
而 ，
所以 ，
化簡得，解得 .
所以 .
【問題探究】
(1)仿照上述方法把 化成分數為__；
(2)請類比上述方法，把循環小數 化為分數，寫出解題過
程；
解：設，則 .
而，所以 ，
解得 .
所以 .
【拓展延伸】
(3)把 化成分數為____.
方法歸納
①純循環小數的循環節有幾位，就在分母上寫幾個9，以循
環節作分子；②混循環小數的循環節有幾位，就在分母上寫
幾個9，循環節之前有幾位，就在后面再補幾個0作分母，用
從小數點后面第一位開始到第一個循環節結束時的數字組成
的數減去第一個循環節前面的數字組成的數作分子.
求 的近似值
2.(1)我們知道，若一個面積為2的正方形的邊長為，那么
是一個無理數，我們用“逼近法”可以逐步求出 的取值范圍
是 .類似地，若一個面積為5的正方形的邊長
為，請你逐步探求出的取值范圍(精確到 ).
解：由題意可知， .
因為，，所以 .
因為， ，
所以 .
因為， ，
所以 .
(2)閱讀材料：
①因為，即 ，
所以.所以的小數部分為 .
②因為，即 ，
所以.所以 的整數部分為1，小數部分
為 .
請利用材料中的方法，求 的小數部分.
解：因為，即 .
所以的整數部分為9，所以的小數部分為 .
(3)除上述方法外，小明還搜集到了以下方法，請補充完整：
①我們知道面積是2的正方形的邊長是 ，且
，設 ，畫出如下示意圖：
由圖形面積可得______ .
因為的值很小，所以更小，略去 ，
得方程________________，
解得 _______(精確到 )，
即 _______.
2.
②請仿照上述探究過程探究 的大小.
已知： ，在下圖中畫出示意圖，并標出相關數據.
結論：_______.(精確到 )
如圖.
用反證法證明 不是有理數
3.請閱讀下面運用反證法證明 不是有理數的過程，并解決
問題.
【閱讀與思考】
假設是有理數，那么存在兩個互素的正整數和 ，使得
，兩邊平方得 ，
即 .①
因為 是偶數，
所以 是偶數.
因為只有偶數的平方才是偶數，
所以也是偶數.設取整數，代入①得， ，
即 .
由是偶數，可得 是偶數，
所以也是偶數，則和都是偶數，不互素.這與假設和 互
素矛盾.
這個矛盾說明，不能寫成分數的形式，即 不是有理數.
【運用并解決】
類比上述的閱讀與思考，推理說明 不是有理數.
解：假設是有理數，那么存在兩個互素的正整數和 ，
使得，兩邊立方得，即 .①
故是偶數.因為只有偶數的立方才是偶數，所以 也是偶數.
設取整數，代入①得，，即 .所
以也是偶數，則和都是偶數，不互素.這與假設和 互素
矛盾.這個矛盾說明，不能寫成分數的形式，即 不是有
理數.(共9張PPT)
專題訓練1 方法整合
實數的大小比較方法
專題訓練1
用數軸比較實數的大小
方法指導
數軸上右邊的點所表示的數總是大于左邊的點所表示的數.
1.在如圖所示的數軸上表示下列各數：,,, ,
， 并按從小到大的順序排列，用“ ”連接.
解：在數軸上表示如圖.
.
用估算(或取近似值)比較實數的大小
方法指導
如果有計算器，可以先用計算器求出它們的近似值
(近似值的精確度要相同)，再比較大小.
2.比較、 、 的大小，正確的是( )
C
A. B.
C. D.
3.[2024·合肥期中] 比較大小(填“ ”“ ”或“”)___ .
用平方法或立方法比較實數的大小
方法指導
；.
4.比較大小(填“ ”“ ”或“”)
(1) ___8；
(2)___ ；
(3)___ .
5.比較4.7與 的大小.
解：因為，， ，
所以 .
6.比較3，4， 的大小.
解：因為，，， ，
所以 .
用作差法比較實數的大小
方法指導
；；
.
7.比較與 的大小.
解：因為 ,
所以 .
8.比較與 的大小.
解：因為 ,
所以 .(共21張PPT)
第6章 實數
6.1 平方根、立方根
2. 立方根
核心必知
1.正數的立方根是一個______,負數的立方根是一個______,0
的立方根是___.
2.開立方時，若被開方數是負數,則負號可以移到根號外,用式
子表示是 .
正數
負數
0
1星題 基礎練
立方根
1.［知識初練］因為 ，所以___是27的立方根，記作
___.
3
3
2. 的立方根是( )
C
A. B.2 C. D.不存在
【變式題】 若一個數的立方根為5，則這個數是( )
B
A. B.125 C. D.
3.下列計算不正確的是( )
C
A. B.
C. D.
4.若一個數的立方根就是它本身，則這個數是__________.
1或或0
【補充設問】 若一個數的算術平方根和立方根都等于它本
身，則這個數是______.
0或1
5.求下列各數的立方根：
(1)0.008；
解： .
(2) ；
.
(3) .
.
用計算器求一個數的立方根或它的近似值
6.用計算器計算 的按鍵順序是( )
B
A. B.
C. D.
7.用計算器計算(結果精確到 )：
(1) _______;
(2) _______.
立方根的應用
8. 魔方是匈牙利建筑師魯比克發明的一
種智力玩具.如圖，一個二階魔方由8個完全相同的
小正方體組成，體積為 ，那么該魔方的棱
長為______.
9.將一個長、寬、高分別為、、 的長方體
鐵塊鍛造成一個正方體鐵塊，則鍛造成的正方體鐵塊的棱長
是( )
A
A. B. C. D.
10.如圖的零件是由兩個正方體焊接而成的，已知
大正方體和小正方體的體積分別為 和
，現要給這個零件的表面刷上油漆，那么
所刷油漆的面積是( )
B
A. B. C. D.
2星題 中檔練
11. 的算術平方根是( )
C
A.2 B. C. D.
因為，所以的算術平方根是 ,故選C.
12.已知， ，則
( )
A
A. B.28.72 C.2.872 D.
【補充設問】 若，則 ____________.
13.已知一個數的兩個不同的平方根分別是和
則數 的立方根是( )
A
A.4 B. C.8 D.
14. ［分類討論思想］已知， 滿足
，則 的值為_______.
0或
15. ［立德樹人·傳統文化］ 每年農歷八月十五日是
我國傳統的中秋佳節，這時是一年秋季的中期，所以被稱為
中秋.自古便有中秋賞月、品月餅的習俗.某商店的李師傅制
作的正方體月餅禮盒的體積為 ，而康師傅制作的正
方體月餅禮盒的體積比李師傅制作的大 ，則康師傅
制作的正方體月餅禮盒的表面積為_____ .
294
16. ［整體思想］解方程：
.
解：將方程變形，得 ，
開立方，得，解得 .
17.[2024·六安月考] 已知正數的平方根是 ，
的立方根是2.
(1)求和 的值；
解：因為正數的平方根是， 的立方根
是2，所以解得
(2)求 的立方根.
由(1)知，，所以 ，
所以 的立方根是4.
3星題 提升練
18. ［推理能力］觀察下列等式：
；
；
；
根據上述等式反映的規律，回答如下問題：
【觀察與發現】
(1)根據以上等式反映的規律，請再寫出一個類似的等式：
__________________________________________.
(答案不唯一)
【分析與歸納】
(2)根據等式①②③④所反映的規律，可歸納出一個這樣的真
命題：對于任意兩個有理數， ，若____________________
_________，則 ；反之也成立.
(或，互為相反數)
【拓展與應用】
(3)根據(2)中歸納的真命題，解答下列問題：若 與
的值互為相反數，且，則
的值是___.
9(共14張PPT)
第6章 實數
6.2 無理數和實數
第1課時 實數及其分類
核心必知
1.無理數：無限不循環小數叫作無理數.常見類型：①開方開
不盡的數，如；②化簡后含有 的數，如 ；③特定結
構的無限不循環小數，如 (兩個3之間依
次多一個0).
2.實數的分類：
1星題 基礎練
無理數
1.下列是無理數的是( )
C
A. B.3.14 C. D.
2.[2024·蕪湖月考] 下列說法正確的是( )
D
A.無限小數都是無理數
B.帶根號的數都是無理數
C.無理數是開方開不盡的數
D.無限不循環小數是無理數
無理數的估算
3.[2024·天津中考] 估算 的值在( )
C
A.1和2之間 B.2和3之間 C.3和4之間 D.4和5之間
4.請寫出一個大于2且小于3的無理數：________________.
(答案不唯一)
實數及其分類
5.[2024·六安期末] 不是( )
C
A.負數 B.無理數 C.有理數 D.實數
6.把下列各數填入相應的大括號內：,,,, ,
，， .
(1)有理數：_ ____________________ ；
(2)無理數：_ _____________________________________ ；
7.5，，，
， ，,
(3)正實數：_ __________________________________ ；
(4)負實數：_ _________________ .
7.5,,,,
, ，
2星題 中檔練
7.下列說法中錯誤的有______.(填序號)
①實數可以分為有理數和無理數，也可以分為正實數和負實
數；② 不是分數；③無限小數必是無理數.
8.有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入的 為64時，輸
出的 是____.
9. 請閱讀下列材料，并完成相應的任務.
對于實數， ，我們規定一種新的運算法則
例如， .現在
有這樣一個問題：已知， ，且
，是兩個相鄰的整數，求 的值.下面是小明同學的
部分解答過程：
解：因為， ，
所以
任務：
(1)完成材料中解答過程的剩余部分.
解：因為,是兩個相鄰的整數，所以 ，
，所以 .
(2)在；；； 中，是無理數的是
________(填序號).(共20張PPT)
第6章 實數
大單元整合復習
大單元整合復方根、算術平方根、立方根
1.[2024·宣城期中] 下列各式正確的為( )
D
A. B.
C. D.
2.9的算術平方根是( )
A
A.3 B. C. D.
3.121的平方根為_____， 的立方根為____.
4.[2024·安慶期末] 已知，則 的值
是______.
5.[2024·宿州月考] 已知為4的算術平方根，2為
的立方根.
(1)求， 的值；
解：因為為4的算術平方根，2為 的立方根，所
以，，解得， .
(2)求 的平方根.
因為，，所以 ，所
以的平方根是 .
實數的相關概念及分類
6.[2024·煙臺中考] 下列實數中的無理數是( )
C
A. B.3.14 C. D.
7.的絕對值是________， 的相反數是_________，
的倒數是______.
8.把下列各數分別填入相應的橫線上：
，，，，0，，， .
有理數：____________________________；
負無理數：____________；
正實數：_______________.
，，0， ，
，
，，
9.若與互為相反數，求 的值.
解：因為與互為相反數，所以 與
互為相反數，所以 ,
所以.又,所以 .
實數與數軸上點的對應關系
10.若將，， 表示在如圖所示的數軸上，則其中
能被墨跡覆蓋的數是( )
A
A. B. C. D.都不可能
11.如圖，數軸上表示的點為點，若點 為在數軸上到點
的距離為1個單位長度的點，則點 所表示的數是( )
D
A. B.
C.或 D.或
實數的估算及大小比較
12.下列四個實數中最小的是( )
A
A. B.0 C. D.
13.估計 的值應在( )
C
A.3和4之間 B.4和5之間 C.5和6之間 D.6和7之間
14.設，， ，則( )
A
A. B. C. D.
15.比較大小：___(填“ ”“ ”或“ ”).
16.[2024·宣城期中] 滿足的整數 有___個.
4
17. 估算法的步驟
問題：求與 最接近的整數.
與 最接近的整數是___.
6
實數的相關計算
18. 的值為( )
C
A.5 B. C.1 D.
19.計算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
數學思想
20. ［轉化思想］如圖是 的正方形網格，
每個小正方形的邊長都為1，陰影部分是正方
形，且頂點在格點上，求該陰影正方形的邊長.
解：因為陰影正方形的面積為 ，
所以該陰影正方形的邊長為 .
21. ［分類討論思想］比較,， 的大小.
解：由題易得.當時， ;
當時，;當時， .
易錯題
22. 的平方根是_______.
或4
易忽略原式化簡而致錯.
23.若與是某一個正數的平方根，則 的值是
_____.
2或
題中未指出兩平方根相同或互為相反數，需分類
討論.
聚焦安徽中考
24.[2022·安徽中考] 下列為負數的是( )
D
A. B. C.0 D.
25.[2023·安徽中考] 計算： ___.
3
26.[2024·安徽中考] 我國古代數學家張衡將圓周率取值為
，祖沖之給出圓周率的一種分數形式的近似值為 .比較
大小：___(填“ ”或“ ”).(共27張PPT)
第6章 實數
6.1 平方根、立方根
1. 平方根
核心必知
正數 0 負數
平方根 有____個，分別是 ______，它們互為 ________ 0 沒有
算術平方根 0 沒有
兩
相反數
1星題 基礎練
平方根和算術平方根
1.［知識初練］因為， ，所以25的平方
根是____.其中正的平方根是___，即25的算術平方根是___.
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【補充設問1】 有關16的平方根表示正確的是( )
D
A. B.
C. D.
【補充設問2】 16的算術平方根是___.
4
2.[2024·內江中考] 16的平方根是( )
D
A. B.4 C.2 D.
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3.下列各數中，沒有平方根的是( )
C
A.0 B. C. D.
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4. 的算術平方根是( )
C
A.9 B. C.3 D.
易忽略原式化簡導致出錯.
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5. 下圖是小佳的練習冊，她答對的題目數量是
( )
判斷題：
一定沒有平方根.(√)
2.的平方根是 .(×)
3.1的平方根是1.(×)
4.6是36的一個平方根.(√)
C
A.1道 B.2道 C.3道 D.4道
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6.求下列各數的平方根和算術平方根：
(1)64；
解：因為，所以64的平方根是 ，
即 ；64的算術平方根是8.
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(2) ；
因為，所以的平方根是 ，
即；的算術平方根是 .
(3)0.49；
因為，所以0.49的平方根是 ，
即 ；0.49的算術平方根是0.7.
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(4) .
因為，所以的平方根是 ，
即； 的算術平方根是10.
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用計算器求一個正數的算術平方根或它的近
似值
7.大多數計算器都有“ ”鍵，用它可以求出一個正有理數
的算術平方根(或其近似值).用計算器依次按鍵 ，
最終顯示的結果是( )
A
A.12 B.122 C. D.
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8.用計算器求下列各式的值(結果精確到 )：
(1) ______；
(2) _______.
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算術平方根的應用
9. 某地舉辦了“繪少年力量，畫
無煙未來”青少年控煙繪畫大賽.小宇想
裁出一塊面積為 的正方形畫布，
9
畫上自己的作品參加比賽，則這塊正方形畫布的邊長為___
.
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10.[2024·廣東中考] 完全相同的4個正方形面積之和是100，
則正方形的邊長是( )
B
A.2 B.5 C.10 D.20
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2星題 中檔練
11. ［分類討論思想］若是4的一個平方根，則
的值為( )
B
A. B.或 C. D.
易因忽視一個正數的平方根有兩個而致錯.
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12.下列關于算術平方根的說法正確的是( )
D
A.負數一定有算術平方根 B.只有正數才有算術平方根
C.正數有兩個算術平方根 D.算術平方根是非負數
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13.一個正偶數的算術平方根是 ，那么與這個正偶數相鄰的
下一個正偶數的算術平方根是( )
C
A. B. C. D.
由題意得這個正偶數是 ，則與這個正偶數相鄰的下
一個正偶數是 ，所以與這個正偶數相鄰的下一個正偶
數的算術平方根是 ，故選C.
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14. [2024·上海閔行區期末] 傘兵在高空跳離飛
機往下降落，在打開降落傘前，下降的高度 與下降的
時間的關系可以近似地表示為 (不計空氣阻力)，
一個傘兵在打開降落傘前的一段時間內下降了 ，這段
時間大約有____(精確到 ).
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15.[2024·合肥月考] 一個正數 的兩個不同的平方根分別是
和 .
(1)求和 的值；
解：因為一個正數的兩個平方根互為相反數，
所以，解得 ，
所以 .
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(2)求 的平方根.
因為 ，
所以的平方根為 .
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16. 在學方根這一課時后，老師提
出了一個有趣的問題：一個數的算術平方根為 ，平方
根為 ，求這個數.小明的解答過程如下：
解：因為一個數的算術平方根為，平方根為 ，
所以或 .
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①當時，解得 ，
所以 ，所以這個數為16；
②當時，解得 ，
所以 ，所以這個數為4.
綜上所述，這個數為16或4.
數學老師看后說小明的答案是錯誤的.你知道小明錯在哪里了
嗎？請予以改正.
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解：小明在計算第②種情況，當 時，解得
，這個數的算術平方根 ，需要舍去.正
確的過程如下：
因為一個數的算術平方根為，平方根為 ，
所以或 .
①當時，解得 ，
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所以 ，所以這個數為16；
②當時，解得，所以 ，
因為算術平方根不能為負數，所以把 舍去.綜上所述，
這個數為16.
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3星題 提升練
17. ［推理能力］數學探究活動.
【自主探究】完成表格內容.
… …
… ______ _____ ____ 250 …
【發現規律】由上表你發現了什么規律？請用語言敘述這個
規律：______________________________________________
______________________________________；
25
被開方數的小數點向左(或右)每移動兩位，其算術平方根的小數點相應地向相同方向移動一位
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【應用遷移】根據你發現的規律填空：已知 ，
則____， _____.
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17(共20張PPT)
第6章 實數
6.2 無理數和實數
第2課時 實數的運算與大小比較
核心必知
1.實數和數軸上的點__________，即每一個實數都可以用數
軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一
個實數.
2.正數大于零，負數小于零，正數大于負數.兩個正數，絕對
值大的數較____.兩個負數，絕對值大的數反而____.
一一對應
大
小
1星題 基礎練
實數與數軸上的點的關系
1.如圖，數軸上表示實數 的點可能是( )
B
A.點 B.點 C.點 D.點
2.[2024·合肥期中] 如圖，面積
為3的正方形的頂點 在數
軸上，以點為圓心， 的長為
半徑畫弧交數軸于點，若點
D
A. B. C. D.
表示的數為2，則點 表示的數是 ( )
實數的相反數、倒數、絕對值
3. 的倒數是( )
A
A. B. C. D.
4.[2024·杭州月考] 填空：
(1) 的相反數是______，絕對值是____；
(2) 的相反數是________，絕對值是________；
(3)若，則 ______；
(4)的倒數是_ _， ________.
實數的運算
5.計算 的結果是( )
B
A. B. C.1 D.5
6.估計 的值應在( )
A
A.3和4之間 B.2和3之間 C.4和5之間 D.1和2之間
7.近似計算(精確到 )：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
原式 .
8.計算： .
解：原式 .
實數的大小比較
9.[2024·自貢中考] 在0，，， 四個數中，最大的數
是( )
C
A. B.0 C. D.
10.[2024·深圳中考] 如圖，實數，，， 在數軸上表示如
下，則最小的實數為( )
A
A. B. C. D.
11.比較大小：___4.(填“ ”“ ”或“ ”)
12.[2024·合肥月考] 現給出下列各數：，，，，
，在數軸上作出表示這些數的點，比較它們的大小，并
用“ ”連接.
解：在數軸上表示如答圖所示.
.
2星題 中檔練
13.下列各組數中互為相反數的一組是( )
C
A.與 B.與
C.與 D.與
14. 對于兩個不相等的實數， ，定義一種
新的運算：，如 ，
那么 ( )
A
A.1 B. C. D.2
由題意得 .
15.[2024·合肥二模] 如圖，直徑為1的圓上有一點，且點
與數軸上表示 的點重合，將這個圓在數軸上無滑動滾動，
當點 再次與數軸上的某個點重合時，這個點的位置可能是
( )
D
A.3與4之間 B.6與7之間
C.與之間 D.與 之間
16.的整數部分是___， 的小數部分是_________，
的小數部分是________.
2
17.如圖,數軸上表示1,的點分別為,,點到點 的距離與
點到原點的距離相等,設點表示的數為 .
(1)求 的值;
解：因為點，表示的數分別為1， ,
所以,所以 .
(2)求 的值.
解：因為 ,
所以 .
3星題 提升練
18.［運算能力］
(1)用“ ”“ ”或“ ”填空：
_________ ；
(2)由(1)可知：
① ________，
② _________，
③ ________；
(3)計算：
.
解：原式 .

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