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專題02 不等式（考點講析）
【中職專用】2024-2025學年高一數學上學期期末（高教版2023基礎模塊）
知識總結：
實數大小的性質
注：比較實數大小的方法：作差比較法 步驟：①做差；②變形；③判斷；④結論
不等式的基本性質
加法法則
乘法法則
傳遞性
同向可加性
區間
集合表示 數軸表示 區間表示
一元二次方程不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或
判別式
方程的實數解的個數 2 1 0
二次函數的圖像與軸的交點個數 2 1 0
二次函數的圖像
二次函數的圖像
方程的實數解 兩個不等的實數解 兩個相等的實數解 無實數解
一元二次不等式的解集 R
R R
含絕對值的不等式
不等式 數軸表示 區間表示
題型一:比較兩個實數的大小
例1 比較兩個實數與的大小，下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．以上均錯誤
【答案】A
【分析】根據作差法比較大小即可.
【詳解】已知兩個實數與，
則，
所以.
故選：A.
變式訓練
一、選擇題
1 設，下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把三個數平方后比較大小，直接得到結果.
【詳解】，
因為所以，
故選：A.
2 如果且，那么，，，的大小關系為（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知條件判斷出，且即可比較大小.
【詳解】因為且，所以且，所以，，
則，，，的大小關系為，
故選：.
3 若函數在上是增函數，對于任意的，（），則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的單調性定義可判斷結果.
【詳解】由函數的單調性定義知，
若函數在給定的區間上是增函數，則與同號，
由此可知，選項A，B，D都正確.
若，則，故選項C不正確.
故選：C
4 比較與的大小關系為（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．不能確定
【答案】B
【分析】利用作差比較法即可得解.
【詳解】∵，
∴.
故選：B.
5 已知，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【分析】用作差法即可比較大小.
【詳解】，
則有，
故選：A
一、解答題
1 比較：與的大小.
【答案】
【分析】根據作差法判斷大小即可.
【詳解】因為，
即，
所以.
2 設為實數，試比較以下兩個式子的大小
(1)與
(2)與
【答案】(1)
(2)
【分析】利用作差法即可比較兩代數式的大小.
【詳解】（1）因為，
所以.
（2）因為，
所以.
題型二:不等式的性質
例2 下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據賦值法，結合不等式的基本性質即可求解.
【詳解】對A，B令，則，故AB錯誤.
對C，由不等式左右兩邊同時加上一個數，不等號方向不變可得，
，則，故C正確.
對D，令，則，故D錯誤.
故選：C.
變式訓練
一、選擇題
1 已知，，則下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據不等式的基本性質證明或舉出反例即可求解.
【詳解】對于A，因為，，所以，由不等式的同向可加性，可知，故A選項正確.
對于B，當時，，符合題意，而，即，故B選項錯誤.
對于C，當時，，符合題意，而，即，故C選項錯誤.
對于D，當時，，符合題意，而，即，故D選項錯誤.
故選：A.
2 如果，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據不等式的基本性質，即可求解.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以，，
所以.
故選：B.
3 如果a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．bb+c C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性質可判斷.
【詳解】由不等式的基本性質可知，A，B正確；
當時，，故C不正確；
若時，；若，即時，由已知可得，
綜上所述：，故D正確.
故選：C
4 若，，，下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，，則
【答案】D
【分析】由不等式的基本性質即可得解.
【詳解】選項,時不成立,故錯誤.
選項,若則,故錯誤.
選項,如果成立則即與矛盾,故錯誤.
選項,若，則,故正確.
故選:.
5 若，則下列式子中正確是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由不等式的基本性質判斷選項即可.
【詳解】A:因為，所以，所以A選項錯誤，
B:當，時，，，此時，所以B選項錯誤，
C:因為，所以，兩邊同時減一個相同的數不等號方向不變，即，所以C選項正確，
D:當時，成立，同時為負數時不成立，所以D選項錯誤.
故選:C.
6 設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取特殊值，可排除A、B、C，根據不等式的基本性質，可判斷D正確.
【詳解】對A選項，取，滿足已知，但不成立，故錯誤；
對B選項，取，滿足已知，但不成立，故錯誤；
對C選項，取，滿足已知，但不成立，故錯誤；
對D選項，根據不等式的基本性質：，故正確.
故選：D
二、填空題
1 已知函數是區間上的減函數，比較大小： （填“”或“”）．
【答案】
【分析】先判斷與的大小關系，再利用函數的單調性判斷和的大小關系即可．
【詳解】由，
又函數是區間上的減函數，
所以．
故答案為：．
2 已知實數，則 ， (用>，<填空).
【答案】
【分析】運用不等式的性質和作差法，化簡即可得到所求關系．
【詳解】解：，，可得；
，
由，，，可得，可得．
故答案為：；．
【點睛】本題考查不等式的性質和作差法比較兩式的大小，考查運算能力，屬于基礎題．
3 若，均為實數，且，則 .（用“”或“”填空）
【答案】
【分析】利用不等式的基本性質求解即可.
【詳解】，
，
.
故答案為：.
4 若，則 .（用不等號填空）
【答案】
【分析】根據不等式的性質比較大小即可.
【詳解】已知，則，
由不等式的兩邊同時除以一個正數，不等號方向不變可知，
，
故答案為：.
5 不等式組的解集用區間表示為 .
【答案】
【分析】求出不等式組的解集，再根據區間的定義求解即可．
【詳解】不等式組,化簡為
即,解得,用區間表示為.
故答案為：
三、解答題
1 己知a，b分別滿足不等式和.
(1)求實數a的取值范圍；
(2)求實數b的取值范圍；
(3)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據一元二次不等式的解法求解；
（2）根據含絕對值不等式的解法求解；
（3）分別求出、的范圍，再根據不等式的基本性質求解.
【詳解】（1）不等式可化為，
解得.
故實數a的取值范圍為
（2）不等式可化為，
解得.
故實數b的取值范圍為；
（3）由（1）（2）知，
，，
故.
所以的取值范圍為.
2 解不等式組
【答案】
【分析】分別解兩個一元一次不等式，然后求出兩個不等式解集的交集．
【詳解】由①得：，解得；
由②得：，解得.
所以不等式組的解集為：
.
題型三:區間
例3 設集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用區間的運算即可得解.
【詳解】因為，，
所以.
故選：B.
變式訓練
一、選擇題
1 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據區間的運算求解即可.
【詳解】.
故選：D.
2 集合用區間表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用區間的表示方法即可得解.
【詳解】集合用區間表示為.
故選：A.
3 不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元一次不等式組，結果用區間表示即可.
【詳解】由不等式組，可得，
所以不等式組的解集是.
故選：A
4 知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據交集的運算性質計算即可.
【詳解】因為，，
所以.
故選：C．
二、填空題
1 如圖數軸，陰影部分的范圍用區間表示是 .

【答案】
【分析】根據陰影區域表示的不等式進行區間表示.
【詳解】由陰影區域可知表示的不等式為，因此所對應的區間為.
故答案為：.
2 已知集合，，則= .（寫成區間形式）
【答案】
【分析】解一元二次不等式求并集即可解得.
【詳解】，則,
解得或，
得到或，
又，
所以 ．
故答案為：.
三、解答題
1 解不等式組的解集，并用區間表示.
【答案】
【分析】利用一元一次不等式組的解法求解即可.
【詳解】因為，可得，
，，即，
所以不等式組的解集為，區間表示為.
2 已知區間，求．
【答案】
【分析】根據交集和并集的概念，以及區間的含義，求解即可.
【詳解】∵，
∴，．
題型四:一元二次不等式
例4 不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】結合一元二次不等式的解法即可解出不等式.
【詳解】因為二次函數開口向上，兩根為，
所以不等式的解集為.
故選：C.
變式訓練
一、選擇題
1 一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式即可得解.
【詳解】一元二次不等式，解得，
所以解集為，
故選：.
2 若方程無實數解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二次方程無實數時判別式小于零，列式即可得解.
【詳解】因為方程無實數解，
即，，解得，
可得的取值范圍是.
故選：B.
3 關于x的不等式的解集是，則等于（ ）
A． B．7 C． D．5
【答案】A
【分析】根據題意，結合根與系數的關系即可求解.
【詳解】因為關于x的不等式的解集是，
所以當時，，
則，
，
所以，
故選：A
4 已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根據二次函數與二次不等式的關系分析求解即可.
【詳解】由二次函數圖像知時，，
當時，在和之間，
則有，
所以不等式的解集是.
故選：A.
5 已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意根據含絕對值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.
【詳解】已知的解集為，可知，
由可得，
所以，解得，.
所以不等式即為，
即，解得，
則不等式的解集為.
故選：B.
二、解答題
1 已知集合，集合，．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據題意列出方程組即可得解.
（2）由（1）可知求出集合根據交集的定義即可得解.
【詳解】（1）因為集合，
所以，解得，
所以，.
（2）集合，，解得，
所以，
集合，，解得，
所以，
所以.
2 若一元二次不等式的解集為，求實數范圍．
【答案】
【分析】根據一元二次不等式恒大于零的條件且列式求解即可.
【詳解】
即.
3 若不等式的解集是，
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用韋達定理由一元二次不等式的解集求參數即可；
（2）利用一元二次不等式的解法可解.
【詳解】（1）依題意可得：=0的兩個實數根為和2，由韋達定理得：，解得：；.
（2）不等式，可化為，
即，所以，解得：，
故不等式的解集．
題型五:含絕對值的不等式
例5 不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根據解含絕對值不等式的基本解法即可求解.
【詳解】由題意得，，則，所以，
解得，所以不等式的解集為.
故選：B.
變式訓練
一、選擇題
1 不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解含絕對值的不等式的解法求解即可.
【詳解】因為，
所以或，
解得或，
則不等式的解集為.
故選：C.
2 已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意根據含絕對值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.
【詳解】已知的解集為，可知，
由可得，
所以，解得，.
所以不等式即為，
即，解得，
則不等式的解集為.
故選：B.
3 不等式的解集為（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據絕對值的性質判定，此絕對值的解集.
【詳解】由可知，為任意實數，即.
故選：B.
4 函數的圖像如圖所示，下列不等式中，解集與相同的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根據一元二次不等式的基本解法，得到的解集，再分別求得各選項的解集，即可求解.
【詳解】根據函數圖像可知，的解集為.
選項A中，可化為，則解集為，故正確.
選項B中，可化為，則解集為，故錯誤.
選項C中，的解集為，故錯誤.
選項D中，中，因為分母不為零，則，且，或者且，
且時，空集.
且時，得到.
綜上，解集為，故錯誤.
故選：A.
5 關于x的不等式的解集為，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用絕對值的性質以及空集的概念求解即可.
【詳解】因為，
所以若要使不等式的解集為空集，則，
所以.
故選：D.
6 若不等式的解集為，則實數等于（ ）
A．8 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】將不等式等價轉化為一次不等式，對a分類討論，結合已知可求解．
【詳解】不等式可化為，即.
①當時，解集為，不符合題意；
②當時，則，
故，方程組無解；
③當時，則，
故，解得.
綜上所述，
故選：C
三、解答題
1 解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用絕對值不等式的解法即可求得.
（2）利用一元二次不等式的解法即可求得.
【詳解】（1）因為，所以或，
解得或；所以不等式的解集為或.
（2）因為二次函數開口向上，兩根為，
所以不等式的解集為.
2 若不等式的解集是，求的值．
【答案】
【分析】先解含參數的絕對值不等式，再根據不等式的解集得到參數的值，即可求解.
【詳解】∵可化為，即.
因為的解集是．
所以且，
故，即．
3 已知關于的不等式的解集為.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由絕對值不等式的解法可構造方程組求得結果；
（2）利用（1）中結論整理化簡一次不等式，解之即可得解.
【詳解】（1）有解，，
由，得，又的解集為，
，解得，則.
（2）由（1）知，可化為，
整理得，解得，
所以不等式的解集為.專題02 不等式（考點講析）
【中職專用】2024-2025學年高一數學上學期期末（高教版2023基礎模塊）
知識總結：
實數大小的性質
注：比較實數大小的方法：作差比較法 步驟：①做差；②變形；③判斷；④結論
不等式的基本性質
加法法則
乘法法則
傳遞性
同向可加性
區間
集合表示 數軸表示 區間表示
一元二次方程不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或
判別式
方程的實數解的個數 2 1 0
二次函數的圖像與軸的交點個數 2 1 0
二次函數的圖像
二次函數的圖像
方程的實數解 兩個不等的實數解 兩個相等的實數解 無實數解
一元二次不等式的解集 R
R R
含絕對值的不等式
不等式 數軸表示 區間表示
題型一:比較兩個實數的大小
例1 比較兩個實數與的大小，下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．以上均錯誤
變式訓練
一、選擇題
1 設，下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
2 如果且，那么，，，的大小關系為（ ）.
A． B．
C． D．
3 若函數在上是增函數，對于任意的，（），則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4 比較與的大小關系為（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．不能確定
5 已知，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
一、解答題
1 比較：與的大小.
2 設為實數，試比較以下兩個式子的大小
(1)與
(2)與
題型二:不等式的性質
例2 下列不等式正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
一、選擇題
1 已知，，則下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2 如果，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
3 如果a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．bb+c C． D．
4 若，，，下列結論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，，則
5 若，則下列式子中正確是（ ）
A． B．
C． D．
6 設，且，則（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
1 已知函數是區間上的減函數，比較大小： （填“”或“”）．
2 已知實數，則 ， (用>，<填空).
3 若，均為實數，且，則 .（用“”或“”填空）
4 若，則 .（用不等號填空）
5 不等式組的解集用區間表示為 .
三、解答題
1 己知a，b分別滿足不等式和.
(1)求實數a的取值范圍；
(2)求實數b的取值范圍；
(3)求的取值范圍.
2 解不等式組
題型三:區間
例3 設集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式訓練
一、選擇題
1 ＝（ ）
A． B． C． D．
2 集合用區間表示為（ ）
A． B． C． D．
3 不等式組的解集是（ ）
A． B． C． D．
4 知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
1 如圖數軸，陰影部分的范圍用區間表示是 .

2 已知集合，，則= .（寫成區間形式）
三、解答題
1 解不等式組的解集，并用區間表示.
2 已知區間，求．
題型四:一元二次不等式
例4 不等式的解集為（ ）
A． B．或
C． D．或
變式訓練
一、選擇題
1 一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2 若方程無實數解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3 關于x的不等式的解集是，則等于（ ）
A． B．7 C． D．5
4 已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
5 已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
1 已知集合，集合，．
(1)求的值；
(2)求．
2 若一元二次不等式的解集為，求實數范圍．
3 若不等式的解集是，
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
題型五:含絕對值的不等式
例5 不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
變式訓練
一、選擇題
1 不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
2 已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
3 不等式的解集為（ ）
A．或 B．
C． D．
4 函數的圖像如圖所示，下列不等式中，解集與相同的是（ ）

A． B．
C． D．
5 關于x的不等式的解集為，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6 若不等式的解集為，則實數等于（ ）
A．8 B．2 C． D．
三、解答題
1 解下列不等式：
(1)；
(2).
2 若不等式的解集是，求的值．
3 已知關于的不等式的解集為.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集.

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