資源簡介

　數列中的放縮問題
【知識拓展】
1.數列放縮是高考重點考查的內容之一，數列與不等式結合試題將穩定在中等偏難的程度，其核心技能是放縮技巧的應用.
2.通項放縮常見結論
(1)>＝－；
(2)<＝－(n≥2)；
(3)<＝(n≥2)；
(4)＝<＝2；
(5)Tr＋1＝C·＝·<<＝－(r≥2)；
(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；
(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；
(8)＝>＝2(－＋)；
(9)＝<＝
＝(－＋)；
(10)＝<
＝＝－(n≥2)；
(11)＝<
＝·
＝·
＝·<2(n≥2)；
(12)＝<
＝＝＝－(n≥2)；
(13)＝<＝＝－；
(14)<＝－(n≥2).
【類型突破】
類型一　先求和再放縮證明不等式
對于數列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放縮證明.
例1 (2024·沈陽模擬)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝＋，證明b1＋b2＋…＋bn<.
訓練1 (2024·鷹潭模擬)設Sn為數列{an}的前n項和，已知是首項為、公差為的等差數列.
(1)求{an}的通項公式；
(2)令bn＝，Tn為數列{bn}的前n項積，證明：Tn≤6n－1.
類型二　先放縮通項再求和證明不等式
若數列和的不等式不易求和，一般先適當放縮通項，然后累加求和.
例2 (2024·麗水調研)設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設數列{bn}的前n項和為Tn，且bn＝，求T99；
(3)證明：＋＋＋…＋>9.
訓練2 已知數列{an}滿足a1＝4，當n≥2時，an－4an－1＝－.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)已知數列bn＝nan－1，證明：＋＋…＋<.
類型三　通項放縮與求值
(1)通項放縮確定新數列；
(2)先放縮再求和式子的應用.
例3 已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且an，Sn，a為等差數列.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若m為正整數，記集合的元素個數為bm，求數列{bn}的前50項和T50.
訓練3 (2024·合肥質檢)已知Tn為正項數列{an}的前n項的乘積，且a1＝3，T＝a.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，數列{bn}的前n項和為Sn，求[S2 024]([x]表示不超過x的最大整數).
【精準強化練】
1.記Tn為正項數列{an}的前n項積，且a1＝1，a2＝2，TnTn＋2＝2T.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)證明：＋＋…＋<.
2.(2024·重慶診斷)已知數列{an}滿足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Tn＝＋＋…＋，求證：T2n<3.
【解析版】
1.數列放縮是高考重點考查的內容之一，數列與不等式結合試題將穩定在中等偏難的程度，其核心技能是放縮技巧的應用.
2.通項放縮常見結論
(1)>＝－；
(2)<＝－(n≥2)；
(3)<＝(n≥2)；
(4)＝<＝2；
(5)Tr＋1＝C·＝·<<＝－(r≥2)；
(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；
(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；
(8)＝>＝2(－＋)；
(9)＝<＝
＝(－＋)；
(10)＝<
＝＝－(n≥2)；
(11)＝<
＝·
＝·
＝·<2(n≥2)；
(12)＝<
＝＝＝－(n≥2)；
(13)＝<＝＝－；
(14)<＝－(n≥2).
【類型突破】
類型一　先求和再放縮證明不等式
對于數列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放縮證明.
例1 (2024·沈陽模擬)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝＋，證明b1＋b2＋…＋bn<.
(1)解　由題意可知，當n＝1時，a1＝2；
當n≥2時，由a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2得，
a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·2n＋2，
兩式作差可得，nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴an＝2n，
a1＝2也適合該式，故an＝2n.
(2)證明　由題意知bn＝＋＝＋，
故b1＋b2＋…＋bn＝＋
＝1－＋－×＝－，
由于n∈N*，則＋>0，
故－<，
即b1＋b2＋…＋bn<.
規律方法　此類不等式一般另一端為常數，求和以后常利用去項放縮或利用函數的單調性放縮.
訓練1 (2024·鷹潭模擬)設Sn為數列{an}的前n項和，已知是首項為、公差為的等差數列.
(1)求{an}的通項公式；
(2)令bn＝，Tn為數列{bn}的前n項積，證明：Tn≤6n－1.
(1)解　因為是首項為、公差為的等差數列，
故＝＋(n－1)＝＋，
即Sn＝n(n＋1)＝，
當n≥2時，Sn－1＝，
故Sn－Sn－1＝an＝－
＝＝n2，
當n＝1時，a1＝S1＝＝1，符合上式，
故an＝n2.
(2)證明　由an＝n2，Sn＝，
故bn＝＝＝，
則Tn＝b1b2…bn＝··
·…·＝，
因為(2n＋1)(n＋1)≥3×2＝6，
故Tn≤＝6n－1.
類型二　先放縮通項再求和證明不等式
若數列和的不等式不易求和，一般先適當放縮通項，然后累加求和.
例2 (2024·麗水調研)設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設數列{bn}的前n項和為Tn，且bn＝，求T99；
(3)證明：＋＋＋…＋>9.
(1)解　因為2Sn＝n2＋n，①
當n≥2時，2Sn－1＝(n－1)2＋n－1，②
所以①－②得到2an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，即an＝n，
又a1＝1，滿足an＝n，所以an＝n.
(2)解　因為bn＝＝＝－，
所以T99＝b1＋b2＋…＋b99＝－1＋－＋…＋－＝－1＝9.
(3)證明　因為＝>＝－，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋>－1＋－＋…＋－＝－1＝9，
即＋＋＋…＋>9.
規律方法　此類題型關鍵是如何放縮數列的通項，需要熟悉常見的放縮技巧及結論.
訓練2 已知數列{an}滿足a1＝4，當n≥2時，an－4an－1＝－.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)已知數列bn＝nan－1，證明：＋＋…＋<.
(1)解　當n≥2時，an－4an－1＝－，
兩邊同除4n后得－＝－，
所以
上述等式累加得－1＝－1＋，
即＝，所以an＝.
又n＝1時，a1＝4滿足an＝，
故an＝(n∈N*).
(2)證明　由bn＝nan－1＝4n－1，
所以bn＝4·4n－1－1＝3·4n－1＋4n－1－1≥3·4n－1，
所以≤，
當n＝1時，＝<，
當n≥2時，＋＋…＋<
＝·＝<.
綜上，對任意的n∈N*，＋＋…＋<.
類型三　通項放縮與求值
(1)通項放縮確定新數列；
(2)先放縮再求和式子的應用.
例3 已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且an，Sn，a為等差數列.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若m為正整數，記集合的元素個數為bm，求數列{bn}的前50項和T50.
解　(1)由已知得2Sn＝an＋a，
當n＝1時，有a1＝1，
當n≥2時，有2Sn－1＝an－1＋a，
∴2an＝a－a＋an－an－1，
(an－an－1)(an＋an－1)＝an＋an－1，
an＋an－1>0，
∴an－an－1＝1，
∴數列{an}為等差數列，∴an＝n.
(2)由＋≤m，得m－≤an≤m＋，顯然b1＝0，b2＝1.
當m≥3時，m－≤1 (m－1)2，
易證2m－1∴1≤an≤2m－1，bm＝2m－1，
從而{bn}的前50項和
T50＝0＋1＋(5＋7＋…＋99)＝1＋＝2 497.
規律方法　1.通項放縮確定新數列注意解相關不等式；
2.先放縮再求和式子的應用，應注意考慮所得式子的性質.
訓練3 (2024·合肥質檢)已知Tn為正項數列{an}的前n項的乘積，且a1＝3，T＝a.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，數列{bn}的前n項和為Sn，求[S2 024]([x]表示不超過x的最大整數).
解　(1)當n≥2時，T＝a，T＝a，
相除得a＝，
a＝a，
a＝a，n≥2，
∴數列{ a}是常數列，a1＝3，
∴a＝3，an＝3n.
(2)bn＝＝1－>1－，
∴Sn＝＋＋…＋
＝n－而Sn>n－
＝n－＝n－1＋>n－1，
∴2 023【精準強化練】
1.記Tn為正項數列{an}的前n項積，且a1＝1，a2＝2，TnTn＋2＝2T.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)證明：＋＋…＋<.
(1)解　由TnTn＋2＝2T可得，＝，即an＋2＝2an＋1，
又因為a2＝2a1，
所以{an}是首項為1，公比為2的等比數列，
所以an＝a1·2n－1＝2n－1.
(2)證明　＝＝，
所以＋＋…＋＝2＝2×
＝<.
2.(2024·重慶診斷)已知數列{an}滿足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Tn＝＋＋…＋，求證：T2n<3.
(1)解　將a2n＝2a2n－1代入a2n＋1＝a2n＋1中，得a2n＋1＝2a2n－1＋1.
下面構造等比數列：
令a2n＋1－k＝2(a2n－1－k)，
得a2n＋1＝2a2n－1－k，則－k＝1，則k＝－1，
∴a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，
故數列{a2n－1＋1}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴a2n－1＋1＝2·2n－1，∴a2n－1＝2n－1，
a2n＝2·a2n－1＝2(2n－1)＝2n＋1－2，
故an＝
(2)證明　由(1)知a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，
∴＝，＝.
又2n－1≥2n－1，∴≤，2n＋1－2≥2n，
∴≤，
故≤，≤，
則T2n＝＋＋…＋＋<
＋
＝＋
＝2＋＝3－3<3，
故T2n<3.(共35張PPT)
板塊三 數列
提優點8　數列中的放縮問題
知識拓展
精準強化練
類型一　先求和再放縮證明不等式
類型二　先放縮通項再求和證明不等式
類型三　通項放縮與求值
類型突破
類型一　先求和再放縮證明不等式
對于數列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放縮證明.
(2024·沈陽模擬)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.
(1)求{an}的通項公式；
由題意可知，當n＝1時，a1＝2；
當n≥2時，由a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2得，
a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·2n＋2，
兩式作差可得，nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴an＝2n，
a1＝2也適合該式，故an＝2n.
例1
此類不等式一般另一端為常數，求和以后常利用去項放縮或利用函數的單調性放縮.
規律方法
訓練1
類型二　先放縮通項再求和證明不等式
若數列和的不等式不易求和，一般先適當放縮通項，然后累加求和.
(2024·麗水調研)設數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式；
因為2Sn＝n2＋n，①
當n≥2時，2Sn－1＝(n－1)2＋n－1，②
所以①－②得到2an＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，即an＝n，
又a1＝1，滿足an＝n，所以an＝n.
例2
此類題型關鍵是如何放縮數列的通項，需要熟悉常見的放縮技巧及結論.
規律方法
訓練2
類型三　通項放縮與求值
(1)通項放縮確定新數列；
(2)先放縮再求和式子的應用.
例3
1.通項放縮確定新數列注意解相關不等式；
2.先放縮再求和式子的應用，應注意考慮所得式子的性質.
規律方法
訓練3
【精準強化練】
2.(2024·重慶診斷)已知數列{an}滿足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.
(1)求數列{an}的通項公式；
將a2n＝2a2n－1代入a2n＋1＝a2n＋1中，得a2n＋1＝2a2n－1＋1.
下面構造等比數列：
令a2n＋1－k＝2(a2n－1－k)，
得a2n＋1＝2a2n－1－k，則－k＝1，則k＝－1，
∴a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)，
故數列{a2n－1＋1}是首項為2，公比為2的等比數列，

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