資源簡介

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5.4.2正弦函數、余弦函數的性質
——周期性與奇偶性
第五章 三角函數
課前回顧
學習目標
1.了解周期函數、周期、最小正周期的定義；
2.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期；
3.掌握函數y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性.
問題1：周期函數、周期、最小正周期的定義分別是什么？
問題2：正弦函數、余弦函數的周期性和奇偶性。
自學指導
閱讀課本201--202頁，完成以下問題：
教師點撥
周期函數
【定義】一般地，設函數 的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對
每一個 都有 ，且 .那么函數 就叫做
周期函數.非零常數T叫做這個函數的周期.
如果在周期函數 的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數
就叫做 的最小正周期.
【1】正弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
【2】余弦函數是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
未特別說明，周期一般都是指函數的最小正周期．
1.對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內無數個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)是周期函數嗎？
2．是不是所有的函數都是周期函數？若一個函數是周期函數，它的周期是否唯一？
3．周期函數都有最小正周期嗎？
f(x)不一定是周期函數，因為x應取定義域內每一個值．
并不是每一個函數都是周期函數，若函數具有周期性，則其周期也不一定唯一．
并不是所有的周期函數都有最小正周期，如常數函數f(x)＝C，任一個正實數都是它的周期，因而不存在最小正周期．
小組互助
小組互助
例1：求下列函數的周期：
變式1：求下列函數的周期：
小組互助
求三角函數最小正周期的方法
(1)定義法：緊扣周期函數的定義，尋求對任意實數x都滿足f(x＋T)＝f(x)的非零常數T.該方法主要適用于抽象函數．
(2)公式法：對形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數，
且A≠0，ω>0)的函數，可利用 來求．
(3)圖象法：可畫出函數的圖象，借助于圖象判斷函數的周期，特別是對于含絕對值的函數一般采用此法．
注意：求周期之前要盡可能將函數化為同名同角三角函數．
教師點撥
教師點撥
函數的奇偶性
正弦函數是奇函數
余弦函數是偶函數.
小組互助
練習 函數 的奇偶性為(　　)
A.奇函數
B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數
D.非奇非偶函數
A
小組互助
小組互助
變式2 (1)函數 (　　)
A.是奇函數 B.是偶函數
C.是非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
(2)已知a∈R,函數f(x)=sin x-|a|(x∈R)為奇函數,則a=　　　　　.
B
0
小組互助
小組互助
B
教師點撥
函數的奇偶性反映了函數的對稱性，通過觀察圖象，請寫出正弦函數，余弦函數的對稱中心與對稱軸．
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)
對稱軸為 (k∈Z)
對稱中心為 (k∈Z)
對稱軸為x＝kπ(k∈Z)
課后反思
1.周期函數、周期、最小正周期的定義。
2.正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性。

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