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微專題17　與平面向量有關的最值、范圍問題
高考定位　1.與平面向量有關的最值問題在高考中經常出現，多以小題形式考查，難度中檔； 2.主要考查向量模、夾角、數量積、系數的最值或范圍．
【真題體驗】
1.(2017·全國Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)
A.3 B.2
C. D.2
2.(2023·全國乙卷)已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若|PO|＝，則·的最大值為(　　)
A. B.
C.1＋ D.2＋
3.(2024·天津卷)在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點，CE＝DE，＝λ＋μ，則λ＋μ＝________；F為線段BE上的動點，G為AF的中點，則·的最小值為________.
4.(2022·浙江卷)設點P在單位圓的內接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則＋＋…＋的取值范圍是________.
【熱點突破】
熱點一　向量模的最值、范圍
向量的模指的是有向線段的長度，可以利用坐標表示，也可以借助“形”，結合平面幾何知識求解.如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知單位向量a，b滿足|a－b|＋2a·b＝0，則|ta＋b|(t∈R)的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·長沙質檢)已知a，b，c都是平面向量，且|a|＝|4a－b|＝1，若〈a，c〉＝，則|b－c|的最小值為(　　)
A.1 B.
C.2 D.3
訓練1 (1)已知e為單位向量，向量a滿足(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________.
熱點二　向量數量積的最值、范圍
數量積的表示一般有三種方法：(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解；(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解；(3)運用平面向量基本定理，將數量積的兩個向量用基底表示后，再運算.
例2 (1)(2024·北京朝陽區模擬)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點P在線段BC上.當·取得最小值時，||＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，若動點P在以AB為直徑的半圓上(含邊界)，則·的取值范圍為(　　)
A.(0，16] B.[0，16]
C.(0，4) D.[0，4]
訓練2 (1)已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，P為對角線AC上一點，則·(＋)的最小值是(　　)
A.0 B.－
C.－ D.－2
(2)(2024·福州調研)在△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝4，點M為邊AB的中點，點P在邊BC上，則·的最小值為________.
熱點三　向量夾角的最值、范圍
求向量夾角的取值范圍、最值，往往要將夾角與其某個三角函數值用某個變量表示，轉化為求函數的最值問題，要注意變量之間的關系.
例3 (2024·安慶模擬)已知點P(1，0)，C(0，)，O是坐標原點，點B滿足||＝1，則與夾角的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
訓練3 (2024·石家莊質檢)在平行四邊形ABCD中，＋＝，λ∈[，2]，則cos ∠BAD的取值范圍是________.
熱點四　向量系數的最值、范圍
此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數之間的關系，然后利用函數的性質或基本不等式求解.
例4 (1)如圖，邊長為2的等邊三角形ABC的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若＝x＋y，則2x＋2y的最大值為(　　)
A. B.2
C. D.1
(2)(2024·蘭州調研)設點P在以A為圓心，1為半徑的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且＝x＋y，則x＋y的取值范圍為________.
訓練4 (2024·青島模擬)已知點P是△ABC所在平面內的一點，且＝＋t(t∈R)，若點P在△ABC的內部(不包含邊界)，則實數t的取值范圍是________.
【精準強化練】
一、單選題
1.已知向量a＝(，1)，b＝(1，)，則|λa－b|(λ∈R)的最小值為(　　)
A.2 B.
C.1 D.
2.設向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O為坐標原點，a>0，b>0，若A，B，C三點共線，則＋的最小值為(　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
3.已知p：向量a＝(－1，1)與b＝(m，2)的夾角為銳角.若p是假命題，則實數m的取值范圍是(　　)
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(－2，2)
C.{－2}∪[2，＋∞) D.[2，＋∞)
4.(2024·呼和浩特模擬)在△ABC中，D為線段AC的一個三等分點，|AD|＝2|DC|.連接BD，在線段BD上任取一點E，連接AE，若＝a＋b，則a2＋b2的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
5.已知a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0.若向量c滿足|a＋b－2c|＝1，則|c|的取值范圍是(　　)
A.[1，－1] B.
C. D.
6.(2024·杭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知P(3，4)，長度為2的線段AB的端點分別落在x軸和y軸上，則·的取值范圍是(　　)
A.[2，] B.[3，5]
C.[4，6] D.[15，35]
7.(2024·鄭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，設A(2，4)，B(－2，－4)，動點P滿足·＝－1，則tan∠PBO的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
8.(2024·廣州調研)單位圓O：x2＋y2＝1上有兩定點A(1，0)，B(0，1)及兩動點C，D，且·＝，則·＋·的最大值是(　　)
A.2＋ B.2＋2
C.－2 D.2－2
二、多選題
9.已知向量a，b，單位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，則|a＋b|的可能取值為(　　)
A.3 B.
C. D.6
10.(2024·廈門、福州等市質檢)平面向量m，n滿足|m|＝|n|＝1，對任意的實數t，≤|m＋tn|恒成立，則(　　)
A.m與n的夾角為60°
B.(m＋tn)2＋(m－tn)2為定值
C.|n－tm|的最小值為
D.m在m＋n上的投影向量為(m＋n)
11.(2024·重慶診斷)重慶榮昌折扇是中國名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各界人士喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖中的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝3OA＝3，動點P在上(含端點)，連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且＝x＋y，則下列說法正確的是(　　)
A.若y＝x，則x＋y＝ B.若y＝2x，則·＝0
C.·≥－2 D.·≥
三、填空題
12.(2024·安康模擬)在△ABC中，CA＝CB＝2，D為AC的中點，則·的取值范圍是________.
13.(2024·湖南師大附中摸底)在直角△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC內動點P滿足CP＝1，則·的最小值為________.
14.(2024·江西八校聯考)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，P是△ABC的外接圓上一點，若＝m＋n，則m＋n的最小值為________.
【解析版】
1.(2017·全國Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)
A.3 B.2
C. D.2
答案　A
解析　如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，則B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直線BD的方程為y＝－2x＋2，
⊙C方程為(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又＝(1，0)，＝(0，2)，
則＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
又圓與直線BD相切，則半徑r＝.
因為P點坐標可表示為x＝1＋rcos θ＝λ，
y＝2＋rsin θ＝2μ，
則λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ
＝2＋sin(θ＋φ)，
當sin(θ＋φ)＝1時，有最大值，為2＋×＝3.
2.(2023·全國乙卷)已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若|PO|＝，則·的最大值為(　　)
A. B.
C.1＋ D.2＋
答案　A
解析　連接OA，由題可知|OA|＝1，OA⊥PA，
因為|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，
則∠POA＝.
設直線OP繞點P按逆時針旋轉θ后與直線PD重合，則－＜θ＜，
∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ.
所以·＝||||cos(＋θ)＝cos θ·
cos(＋θ)＝cos θ(cos θ－sin θ)
＝cos2θ－sin θcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ
＝＋cos(2θ＋)≤＋，故選A.
3.(2024·天津卷)在邊長為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點，CE＝DE，＝λ＋μ，則λ＋μ＝________；F為線段BE上的動點，G為AF的中點，則·的最小值為________.
答案　?。?br/>解析　以點A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E，
所以＝，＝(－1，0)，＝(0，1)，
因為＝λ＋μ，
所以＝λ(－1，0)＋μ(0，1)，
所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.
由B(1，0)，E可得直線BE的方程為
y＝－3(x－1)，
設F(a，3－3a)，則G，
所以＝(a，3－3a)，＝，
所以·＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝5－，
所以當a＝時，·取得最小值，為－.
4.(2022·浙江卷)設點P在單位圓的內接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則＋＋…＋的取值范圍是________.
答案　[12＋2，16]
解析　以圓心為原點，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
則A1(0，1)，A2，A3(1，0)，A4，A5(0，－1)，
A6，A7(－1，0)，A8，
設P(x，y)，
于是＋＋…＋＝8(x2＋y2)＋8，
因為cos 22.5°≤|OP|≤1，
所以≤x2＋y2≤1，
故＋＋…＋的取值范圍是[12＋2，16].
【熱點突破】
熱點一　向量模的最值、范圍
向量的模指的是有向線段的長度，可以利用坐標表示，也可以借助“形”，結合平面幾何知識求解.如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.
例1 (1)已知單位向量a，b滿足|a－b|＋2a·b＝0，則|ta＋b|(t∈R)的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·長沙質檢)已知a，b，c都是平面向量，且|a|＝|4a－b|＝1，若〈a，c〉＝，則|b－c|的最小值為(　　)
A.1 B.
C.2 D.3
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由|a－b|＋2a·b＝0，
得|a－b|＝－2a·b，
兩邊平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，
即6(a·b)2＋a·b－1＝0，
解得a·b＝－或a·b＝.
因為|a－b|＝－2a·b≥0，
所以a·b≤0，
所以a·b＝－，
所以|ta＋b|＝
＝＝
＝≥，t＝時，表達式取得最小值.
(2)依題意可設a＝＝(1，0)，b＝＝(x，y)，c＝，則4a－b＝(4－x，－y)，
又|4a－b|＝1，所以＝1，
即(x－4)2＋y2＝1，
則點B在以D(4，0)為圓心，半徑r＝1的圓上運動，
因為〈a，c〉＝，所以點C在y＝±x(x>0)上運動，
根據對稱性不妨令點C在y＝x(x>0)上，
則|b－c|表示圓D上的點B與y＝x(x>0)上的點C連線段的長度|BC|，
因為圓心D到y＝x(x>0)的距離d＝＝2，
所以|b－c|＝|BC|的最小值為|BC|min＝d－r＝1，
即|b－c|的最小值為1.
規律方法　模的范圍或最值常見方法
(1)通過|a|2＝a2轉化為實數問題；
(2)數形結合；
(3)坐標法.
訓練1 (1)已知e為單位向量，向量a滿足(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________.
答案　(1)C　(2)5
解析　(1)可設e＝(1，0)，a＝(x，y)，
則(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
則1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝＝，
當x＝5時，取得最大值6，
即|a＋e|的最大值為6.
(2)如圖，以DA，DC所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系.
則A(2，0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0，0)，
設P(0，b)(0≤b≤a)，
則＝(2，－b)，＝(1，a－b)，
∴＋3＝(5，3a－4b)，
∴|＋3|＝≥5，
即當3a＝4b時，取得最小值5.
熱點二　向量數量積的最值、范圍
數量積的表示一般有三種方法：(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解；(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解；(3)運用平面向量基本定理，將數量積的兩個向量用基底表示后，再運算.
例2 (1)(2024·北京朝陽區模擬)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點P在線段BC上.當·取得最小值時，||＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，若動點P在以AB為直徑的半圓上(含邊界)，則·的取值范圍為(　　)
A.(0，16] B.[0，16]
C.(0，4) D.[0，4]
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)如圖，以BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線建立y軸，建立平面直角坐標系，
由AB＝AC＝2，BC＝2，
則OA＝＝1，
所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，
設P(x，0)，則＝(－x，1)，＝(－－x，0)，
則·＝－x·(－－x)＝x2＋x＝－，
當x＝－時，·取得最小值，
此時＝，||＝＝.
(2)取CD的中點E，連接PE，如圖所示，
所以PE的取值范圍是，即[2，2]，
又由·＝(＋)·(＋)＝2－＝2－4，
所以·∈[0，16].
規律方法　結合圖形求解運算量較小，建立坐標系將數量積用某個變量表示，轉化為函數的值域問題，其中選擇的變量要有可操作性.
訓練2 (1)已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，P為對角線AC上一點，則·(＋)的最小值是(　　)
A.0 B.－
C.－ D.－2
(2)(2024·福州調研)在△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝4，點M為邊AB的中點，點P在邊BC上，則·的最小值為________.
答案　(1)B　(2)－
解析　(1)作出如圖所示的圖形，·(＋)＝·2.
令＝λ，則λ∈[0，1]，
＝－＝－λ＝，
∵·2＝－λ·2＝(2λ2－λ)·2＝4λ2－2λ，λ∈[0，1]，
∴當λ＝時，(·2)min＝－.
(2)以A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知B(4，0)，C(0，4)，M(2，0)，
設P(x，4－x)，0≤x≤4，
所以＝(x－2，4－x)，＝(x，－x)，
所以·＝x2－2x－4x＋x2＝2x2－6x＝2－，0≤x≤4，
由二次函數的性質知，當x＝時，·取最小值－.
熱點三　向量夾角的最值、范圍
求向量夾角的取值范圍、最值，往往要將夾角與其某個三角函數值用某個變量表示，轉化為求函數的最值問題，要注意變量之間的關系.
例3 (2024·安慶模擬)已知點P(1，0)，C(0，)，O是坐標原點，點B滿足||＝1，則與夾角的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設點B(x，y)，可得＝(－x，－y)，
因為||＝1，可得x2＋(y－)2＝1，
即點B的軌跡是以C(0，)為圓心，半徑r＝1的圓.
如圖所示，當直線BP與圓C相切且切線在圓心下方時，直線BP的傾斜角最大，即與的夾角最大.
設過點P與圓C相切的直線PB的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0(k<0)，
則圓心到直線的距離等于圓的半徑，
可得＝1，解得k＝－，
設切線的傾斜角為α(0≤α<π)，
則tan α＝－，可得α＝，
即與夾角的最大值為.
規律方法　解答本題的關鍵是確定動點B的軌跡后，數形結合求解，把兩向量夾角的最值問題轉化為直線與圓的位置關系問題.
訓練3 (2024·石家莊質檢)在平行四邊形ABCD中，＋＝，λ∈[，2]，則cos ∠BAD的取值范圍是________.
答案　
解析　因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以＝＋，
兩邊同乘以，
可得＝＋，
結合＋＝，
不妨設||＝1，則||＝2，||＝λ，λ∈[，2]，
則在△ABC中，||＝||＝2，
可得cos B＝＝∈，
因為在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝π－B，
所以cos∠BAD＝－cos B∈.
熱點四　向量系數的最值、范圍
此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數之間的關系，然后利用函數的性質或基本不等式求解.
例4 (1)如圖，邊長為2的等邊三角形ABC的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若＝x＋y，則2x＋2y的最大值為(　　)
A. B.2
C. D.1
(2)(2024·蘭州調研)設點P在以A為圓心，1為半徑的圓弧上運動(包含B，C兩個端點)，∠BAC＝，且＝x＋y，則x＋y的取值范圍為________.
答案　(1)A　(2)[1，2]
解析　(1)作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，
設＝λ＋μ，則λ＋μ＝1，
因為等邊三角形邊長為2，所以外接圓半徑為，
當點P為切點時，AE＝AF＝，
因為BC∥EF，所以設＝＝k，
則k∈，
當點P為切點時，k有最大值，
則＝k，＝k，＝λ＋μ＝λk＋μk，
所以x＝λk，y＝μk，則x＋y＝λk＋μk＝(λ＋μ)k＝k≤，
所以x＋y的最大值為，故2x＋2y的最大值為.
(2)建立如圖所示的直角坐標系，
則A(0，0)，B(1，0)，C，
設P(cos θ，sin θ)，
所以＝(1，0)，＝，
因此有x＋y＝，
因為＝(cos θ，sin θ)，＝x＋y，
所以有
則x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin，
因為θ∈，所以θ＋∈，
所以sin∈，
故x＋y∈[1，2]，
所以x＋y的取值范圍為[1，2].
規律方法　解決平面向量中涉及系數的范圍問題常利用共線向量定理及推論
(1)a∥b a＝λb(b≠0).
(2)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，則A，B，C三點共線 λ＋μ＝1，進行轉化，列不等式或等式得到關于系數的關系式，從而求系數的取值范圍.
訓練4 (2024·青島模擬)已知點P是△ABC所在平面內的一點，且＝＋t(t∈R)，若點P在△ABC的內部(不包含邊界)，則實數t的取值范圍是________.
答案　
解析　在AB上取一點D，使得＝，
過點D作DP∥AC交BC于點P，過點P作PE∥AD交AC于點E，
由平面幾何知識易知＝，
由向量加法的平行四邊形法則，得＝＋.
若點P落在△ABC的內部，則0【精準強化練】
一、單選題
1.已知向量a＝(，1)，b＝(1，)，則|λa－b|(λ∈R)的最小值為(　　)
A.2 B.
C.1 D.
答案　C
解析　由題意可得λa－b＝λ(，1)－(1，)＝(λ－1，λ－)，
所以|λa－b|2＝(λ－1)2＋(λ－)2＝4λ2－4λ＋4＝4＋1，
故當λ＝時，|λa－b|取得最小值1.
2.設向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O為坐標原點，a>0，b>0，若A，B，C三點共線，則＋的最小值為(　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
答案　C
解析　由題意得，＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)，
∵A，B，C三點共線，
∴＝λ且λ∈R，
則可得2a＋b＝1，
∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，
當且僅當b＝2a＝時，等號成立，
∴＋的最小值為8.
3.已知p：向量a＝(－1，1)與b＝(m，2)的夾角為銳角.若p是假命題，則實數m的取值范圍是(　　)
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(－2，2)
C.{－2}∪[2，＋∞) D.[2，＋∞)
答案　C
解析　當向量a＝(－1，1)與b＝(m，2)的夾角為銳角時，
有a·b>0且a與b方向不相同，
即解得m<2且m≠－2，
因為p是假命題，
所以實數m的取值范圍是{－2}∪[2，＋∞).
4.(2024·呼和浩特模擬)在△ABC中，D為線段AC的一個三等分點，|AD|＝2|DC|.連接BD，在線段BD上任取一點E，連接AE，若＝a＋b，則a2＋b2的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵E在線段BD上，
∴＝λ＋(1－λ)，λ∈[0，1]，
∵D為線段AC的一個三等分點，|AD|＝2|DC|，
∴＝，
∴＝λ＋(1－λ)＝a＋b，
由平面向量基本定理得a＝λ，b＝1－λ，
∴a2＋b2＝λ2＋(1－λ)2＝λ2－2λ＋1＝＋，
∴當λ＝時，a2＋b2取得最小值.
5.已知a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0.若向量c滿足|a＋b－2c|＝1，則|c|的取值范圍是(　　)
A.[1，－1] B.
C. D.
答案　C
解析　設a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，
得a＋b－2c＝(1，0)＋(0，2)－2(x，y)＝(1－2x，2－2y).
∵|a＋b－2c|＝1，∴(1－2x)2＋(2－2y)2＝1，
∴＋(y－1)2＝，
該方程表示的是以為圓心，半徑為的圓.
則|c|表示圓上的點到原點的距離d，
圓心到原點的距離為＝，
故≤|c|≤，
∴|c|的取值范圍是.
6.(2024·杭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知P(3，4)，長度為2的線段AB的端點分別落在x軸和y軸上，則·的取值范圍是(　　)
A.[2，] B.[3，5]
C.[4，6] D.[15，35]
答案　D
解析　如圖所示，建立直角坐標系.
由題意設A(a，0)，B(0，b)，
其中0≤|a|≤2，0≤|b|≤2，
由|AB|＝2，得a2＋b2＝4，
令a＝2cos θ，b＝2sin θ，
所以A(2cos θ，0)，B(0，2sin θ)，
所以＝(2cos θ－3，－4)，＝(－3，2sin θ－4)，
所以·＝(－3)×(2cos θ－3)＋(－4)×(2sin θ－4)＝－6cos θ＋9－8sin θ＋16
＝－10sin(θ＋φ)＋25，tan φ＝，
所以(·)max＝35，(·)min＝15，
所以·的取值范圍是[15，35]，故選D.
7.(2024·鄭州模擬)在平面直角坐標系xOy中，設A(2，4)，B(－2，－4)，動點P滿足·＝－1，則tan∠PBO的最大值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　設P(x，y)，
則＝(－x，－y)，＝(2－x，4－y)，
則·＝－x(2－x)－y(4－y)＝－1，
即x2－2x＋y2－4y＋1＝0，
化為(x－1)2＋(y－2)2＝4，則點P的軌跡為以D(1，2)為圓心，半徑為2的圓，
又kOB＝＝2＝kOD，所以B，O，D三點共線，顯然當直線PB與此圓相切時，tan ∠PBO的值最大.
又BD＝＝3，PD＝2，
則PB＝＝＝，
則tan ∠PBO＝＝＝.
8.(2024·廣州調研)單位圓O：x2＋y2＝1上有兩定點A(1，0)，B(0，1)及兩動點C，D，且·＝，則·＋·的最大值是(　　)
A.2＋ B.2＋2
C.－2 D.2－2
答案　A
解析　取AB的中點E，CD的中點F，
則＋＝2，＋＝2.
由·＝，
知||·||cos ∠COD＝cos ∠COD＝，
所以∠COD＝，所以△OCD為等邊三角形，
所以OF＝，易得OE＝.
·＋·＝(－)·(－)＋(－)·(－)
＝2·＋2＋2－(＋)·(＋)
＝－4·＋2.
如圖，當，方向相反時，－4·＋2有最大值，最大值為－4||·||cos π＋2＝4××＋2＝2＋，
即·＋·的最大值是2＋.故選A.
二、多選題
9.已知向量a，b，單位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，則|a＋b|的可能取值為(　　)
A.3 B.
C. D.6
答案　CD
解析　設e＝(1，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
由a·e＝1得x1＝1，
由b·e＝2得x2＝2，
由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1，
則|a＋b|＝＝
＝≥＝，
當且僅當y1＝y2＝1時取等號.
10.(2024·廈門、福州等市質檢)平面向量m，n滿足|m|＝|n|＝1，對任意的實數t，≤|m＋tn|恒成立，則(　　)
A.m與n的夾角為60°
B.(m＋tn)2＋(m－tn)2為定值
C.|n－tm|的最小值為
D.m在m＋n上的投影向量為(m＋n)
答案　AD
解析　設平面向量m與n的夾角為θ，
因為對任意的實數t，≤|m＋tn|恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又|m|＝|n|＝1，所以t2＋2tcos θ＋cos θ－≥0對任意的實數t恒成立，
所以Δ＝4cos2θ－4cos θ＋1＝(2cos θ－1)2≤0，
則cos θ＝，所以θ＝60°，故A正確.
對于B，(m＋tn)2＋(m－tn)2＝1＋2tcos 60°＋t2＋1＋t2－2tcos 60°＝2＋2t2，隨t的變化而變化，故B錯誤.
對于C，因為|n－tm|＝＝＝，結合二次函數的性質可知當t＝時，|n－tm|取最小值，故C錯誤.
對于D，向量m＋n的一個單位向量e＝＝，由向量夾角公式可得cos〈m，m＋n〉＝＝＝，則m在m＋n上的投影向量為|m|·cos〈m，m＋n〉e＝1××＝(m＋n)，故D正確.
11.(2024·重慶診斷)重慶榮昌折扇是中國名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各界人士喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖中的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝3OA＝3，動點P在上(含端點)，連接OP交扇形OAB的弧于點Q，且＝x＋y，則下列說法正確的是(　　)
A.若y＝x，則x＋y＝ B.若y＝2x，則·＝0
C.·≥－2 D.·≥
答案　ABD
解析　如圖，作OE⊥OC交弧CD于點E，分別以OC，OE所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，則A(1，0)，C(3，0)，B，D，
設Q(cos θ，sin θ)，θ∈，則P(3cos θ，3sin θ)，
由＝x＋y可得cos θ＝3x－y，sin θ＝y，且x≥0，y≥0.
對于A，若y＝x，則cos2θ＋sin2θ＝＋＝1，
解得x＝y＝(負值舍去)，故x＋y＝，A正確.
對于B，若y＝2x，則cos θ＝3x－y＝0，sin θ＝1，所以＝(0，3)，所以·＝(1，0)·(0，3)＝0，故B正確.
對于C，·＝·(－2cos θ，－2sin θ)＝－sin θ＋3cos θ＝－2sin，
由于θ∈，故θ－∈，
故－3≤－2sin≤3，故C錯誤.
對于D，由于＝(1－3cos θ，－3sin θ)，＝，
故·＝(1－3cos θ，－3sin θ)·(－－3cos θ，－3sin θ)＝－3sin，而θ＋∈，所以sin∈，所以·＝－3sin≥－3＝，故D正確.
三、填空題
12.(2024·安康模擬)在△ABC中，CA＝CB＝2，D為AC的中點，則·的取值范圍是________.
答案　(－1，3)
解析　依題意·＝·(＋)＝2＋·＝2－·＝1－1×2cos∠BCD.
又cos∠BCD∈(－1，1)，
所以1－1×2cos∠BCD＝1－2cos∠BCD∈(－1，3).
13.(2024·湖南師大附中摸底)在直角△ABC中，AB⊥AC，AC＝，AB＝1，平面ABC內動點P滿足CP＝1，則·的最小值為________.
答案　4－
解析　平面ABC內動點P滿足CP＝1，所以點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，
因為AB⊥AC，AC＝，AB＝1，所以BC＝2，∠ACB＝30°，
所以·＝||·||cos 30°＝3，
因為＝＋，＝＋，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·(＋)＋2，
因為||＝1，所以·＝4＋·(＋).
|＋|＝
＝＝＝，
當與＋共線且反向時，·(＋)取最小值，且這個最小值為－，
故·的最小值為4－.
14.(2024·江西八校聯考)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，P是△ABC的外接圓上一點，若＝m＋n，則m＋n的最小值為________.
答案?。?br/>解析　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝3，
所以BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，
所以AB⊥BC，則AC為△ABC外接圓的直徑.
以線段AC的中點為坐標原點O，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得A(1，0)，C(－1，0)，B，
所以＝，＝(－2，0)，
設P(cos θ，sin θ)，則＝(cos θ－1，sin θ)，
因為＝m＋n，
所以(cos θ－1，sin θ)＝m＋n(－2，0)＝，
所以m＝sin θ，n＝－cos θ＋－sin θ，所以m＋n＝sin θ－cos θ＋＝sin ＋≥－1＋＝－，
當且僅當sin＝－1時等號成立，
即m＋n的最小值為－.(共66張PPT)
板塊二 三角函數與平面向量
微專題17　與平面向量有關的最值、
范圍問題
高考定位
1.與平面向量有關的最值問題在高考中經常出現，多以小題形式考查，難度中檔； 2.主要考查向量模、夾角、數量積、系數的最值或范圍．
【 真題體驗 】
√
√
以圓心為原點，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
精準強化練
熱點一　向量模的最值、范圍
熱點二　向量數量積的最值、范圍
熱點三　向量夾角的最值、范圍
熱點突破
熱點四　向量系數的最值、范圍
熱點一　向量模的最值、范圍
向量的模指的是有向線段的長度，可以利用坐標表示，也可以借助“形”，結合平面幾何知識求解.如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.
例1
√
√
模的范圍或最值常見方法
(1)通過|a|2＝a2轉化為實數問題；
(2)數形結合；
(3)坐標法.
規律方法
(1)已知e為單位向量，向量a滿足(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為
A.4 B.5 C.6 D.7
訓練1
√
可設e＝(1，0)，a＝(x，y)，
則(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，則1≤x≤5，－2≤y≤2，
5
熱點二　向量數量積的最值、范圍
數量積的表示一般有三種方法：(1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解；(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解；(3)運用平面向量基本定理，將數量積的兩個向量用基底表示后，再運算.
例2
√
如圖，以BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線建立y軸，建立平面直角坐標系，
√
結合圖形求解運算量較小，建立坐標系將數量積用某個變量表示，轉化為函數的值域問題，其中選擇的變量要有可操作性.
規律方法
訓練2
√
熱點三　向量夾角的最值、范圍
求向量夾角的取值范圍、最值，往往要將夾角與其某個三角函數值用某個變量表示，轉化為求函數的最值問題，要注意變量之間的關系.
例3
√
解答本題的關鍵是確定動點B的軌跡后，數形結合求解，把兩向量夾角的最值問題轉化為直線與圓的位置關系問題.
規律方法
訓練3
熱點四　向量系數的最值、范圍
此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數之間的關系，然后利用函數的性質或基本不等式求解.
例4
√
作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，
[1，2]
規律方法
訓練4
【精準強化練】
√
√
√
3.已知p：向量a＝(－1，1)與b＝(m，2)的夾角為銳角.若p是假命題，則實數m的取值范圍是
A.(－2，2) B.(－∞，－2)∪(－2，2)
C.{－2}∪[2，＋∞) D.[2，＋∞)
√
√
√
如圖所示，建立直角坐標系.
由題意設A(a，0)，B(0，b)，
其中0≤|a|≤2，0≤|b|≤2，
由|AB|＝2，得a2＋b2＝4，
令a＝2cos θ，b＝2sin θ，
所以A(2cos θ，0)，B(0，2sin θ)，
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(－1，3)

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