資源簡介

微專題16　平面向量的基本運算及應用
高考定位　1.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的數量積、夾角及模的運算，難度中低檔； 2.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的線性運算及其幾何意義，難度中低檔.
【真題體驗】
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記＝m，＝n，則＝(　　)
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
3.(2023·全國甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，則cos〈a＋b，a－b〉＝(　　)
A. B.
C. D.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|＝(　　)
A. B.
C. D.1
【熱點突破】
熱點一　平面向量的線性運算
1.平面向量加減運算求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”；對平面向量減法抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉化.
2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待，其運算方法類似于代數中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比.
例1 (1)(2024·西安模擬)已知點P是△ABC的重心，則＝(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝－
(2)(2024·保定模擬)如圖所示，△ABC內有一點G滿足＋＋＝0，過點G作一直線分別交AB，AC于點D，E.若＝x，＝y(xy≠0)，則＋＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
易錯提醒　在平面向量的化簡或運算中，要根據平面向量基本定理恰當地選取基底，變形要有方向，不能盲目轉化.
訓練1 (1)(2024·廈門調研)如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點，若＝λ＋μ，則λ－μ的值為(　　)
A.3 B.2
C.1 D.－3
(2)(2024·太原模擬)已知在矩形ABCD中，E為AB邊的中點，線段AC和DE交于點F，則＝(　　)
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
熱點二　平面向量的數量積
1.數量積的計算通常有三種方法：數量積的定義、坐標運算和數量積的幾何意義.
2.可以利用數量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進行計算.
例2 (1)(2024·惠州模擬)已知非零向量a，b滿足(a＋2b)⊥(a－2b)，且向量b在向量a上的投影向量是a，則向量a與b的夾角是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·常德模擬)已知平面向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，若向量c與a，b共面，且滿足a·c＝b·c＝1，則|c|＝(　　)
A.1 B.
C. D.2
(3)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，F為AB的中點，CE＝3，CB＝8，AB＝12，則·＝________.
訓練2 (1)(多選)(2024·連云港調研)設a，b，c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是(　　)
A.若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥b
B.若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)
C.若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直
D.(b·c)a－(a·c)b不與c垂直
(2)(2024·鄭州調研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E滿足2＝3，則·＝________.
熱點三　平面向量的綜合應用
三角函數和平面向量是高中數學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數交匯點較多，如向量的平行、垂直、夾角、數量積等知識都可以與三角函數進行交匯.
例3 已知ω＞0，a＝(sin ωx，－cos ωx)，b＝(cos ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－的兩個零點，且|x1－x2|min＝π.
(1)求f(x)的單調遞增區間；
(2)若α∈，f＝，求sin 2α的值.
訓練3 (2024·武漢統考)如圖所示，A，B，C，D是正弦函數y＝sin x圖象上四個點，且在A，C兩點函數值最大，在B，D兩點函數值最小，則(＋)·(＋)＝________.
【精準強化練】
一、單選題
1.(2024·全國甲卷)設向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，則(　　)
A.x＝－3是a⊥b的必要條件
B.x＝－3是a∥b的必要條件
C.x＝0是a⊥b的充分條件
D.x＝－1＋是a∥b的充分條件
2.(2024·唐山模擬)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，則|b|＝(　　)
A.2 B.4
C.2 D.20
3.(2024·合肥模擬)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(，1)，若a·b＝|b|，則tan θ＝(　　)
A. B.
C. D.
4.(2024·泰安模擬)在平面內，M，N是兩個定點，P是動點，若·＝4，則點P的軌跡為(　　)
A.橢圓 B.拋物線
C.直線 D.圓
5.(2024·西安模擬)在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且＝，＝＋λ，則λ＝(　　)
A. B.
C. D.
6.(2024·蕪湖模擬)已知等邊△ABC的邊長為2，點D，E分別為AB，BC的中點，若＝2，則·＝(　　)
A.1 B.
C. D.
7.(2024·石家莊聯考)已知點列{Pn}中的所有點都在△ABC內部，△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為.在數列{an}中，a1＝1，若 n∈N*且n≥2，n＝3an＋(4an－1＋3)恒成立，那么a4＝(　　)
A.15 B.31
C.63 D.127
二、多選題
8.(2024·廣州模擬)已知向量a，b不共線，向量a＋b平分a與b的夾角，則下列結論一定正確的是(　　)
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
9.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點，且＝，＝2，BD與CE交于點O，則下列說法正確的是(　　)
A.·＝－1 B.＋＝0
C.|＋＋|＝ D.在方向上的投影向量的長度為
三、填空題
10.若向量a，b為單位向量，且|a－2b|＝，則向量a與向量b的夾角為________.
11.寫出一個同時滿足下列條件①②的向量a＝________.
①|a|＝1；
②向量a與b＝(1，－1)的夾角α∈.
12.(2024·鎮江調研)大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(如圖1).某數學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形.若D為BE的中點，①△DEF與△ABC的面積比為________；②設＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
四、解答題
13.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.
14.在平面四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，對角線AC與BD交于點E，E是BD的中點，且＝2.
(1)若∠ABD＝，求BC的長；
(2)若AC＝3，求cos∠BAD.
【解析版】
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記＝m，＝n，則＝(　　)
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
答案　B
解析　因為BD＝2DA，所以＝3，
所以＝＋＝＋3＝＋3(－)
＝－2＋3＝－2m＋3n.故選B.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案　D
解析　法一　因為b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.
因為a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b2＝4＋x2，a·b＝x，
得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，
解得x＝2，故選D.
法二　因為a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).
因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以2×2＋x(x－4)＝0，
所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故選D.
3.(2023·全國甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，則cos〈a＋b，a－b〉＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由題意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，
所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝，故選B.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，則|b|＝(　　)
A. B.
C. D.1
答案　B
解析　由(b－2a)⊥b，
得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
所以b2＝2a·b.
將|a＋2b|＝2的兩邊同時平方，
得a2＋4a·b＋4b2＝4，
即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，
解得|b|2＝，所以|b|＝，故選B.
【熱點突破】
熱點一　平面向量的線性運算
1.平面向量加減運算求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”；對平面向量減法抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉化.
2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待，其運算方法類似于代數中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比.
例1 (1)(2024·西安模擬)已知點P是△ABC的重心，則＝(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝－
(2)(2024·保定模擬)如圖所示，△ABC內有一點G滿足＋＋＝0，過點G作一直線分別交AB，AC于點D，E.若＝x，＝y(xy≠0)，則＋＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)延長AP與BC交于D點，由重心的性質，知D為BC的中點，
且＝＝×(＋)＝(2＋)＝＋＝(＋)＋＝
－，由此可知A，B，C錯誤，D正確，故選D.
(2)因為＋＋＝0，
所以G為△ABC的重心，
又因為G，D，E三點共線，
所以＝(＋)＝t＋(1－t)＝tx＋(1－t)y，
所以tx＝且(1－t)y＝，
所以＋＝3，故選B.
易錯提醒　在平面向量的化簡或運算中，要根據平面向量基本定理恰當地選取基底，變形要有方向，不能盲目轉化.
訓練1 (1)(2024·廈門調研)如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點，若＝λ＋μ，則λ－μ的值為(　　)
A.3 B.2
C.1 D.－3
(2)(2024·太原模擬)已知在矩形ABCD中，E為AB邊的中點，線段AC和DE交于點F，則＝(　　)
A.－＋ B.－
C.－ D.－＋
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)因為E是DC的中點，
所以＝(＋)，
即＝－＋2，
所以λ＝－1，μ＝2，
則λ－μ＝－1－2＝－3.
(2)如圖，在矩形ABCD中，＝，
所以△DFC∽△EFA，
則＝＝2，
所以＝2，即＝，
所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋.故選D.
熱點二　平面向量的數量積
1.數量積的計算通常有三種方法：數量積的定義、坐標運算和數量積的幾何意義.
2.可以利用數量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進行計算.
例2 (1)(2024·惠州模擬)已知非零向量a，b滿足(a＋2b)⊥(a－2b)，且向量b在向量a上的投影向量是a，則向量a與b的夾角是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·常德模擬)已知平面向量a，b均為單位向量，且夾角為60°，若向量c與a，b共面，且滿足a·c＝b·c＝1，則|c|＝(　　)
A.1 B.
C. D.2
(3)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，F為AB的中點，CE＝3，CB＝8，AB＝12，則·＝________.
答案　(1)B　(2)B　(3)13
解析　(1)∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，
即|a|＝2|b|.
向量b在向量a上的投影向量是a，則向量b在向量a上的投影向量為(|b|cos 〈a，b〉)＝a＝a＝a，
∴cos〈a，b〉＝，即cos〈a，b〉＝.
由〈a，b〉∈[0，π]，得〈a，b〉＝，即向量a與b的夾角是.故選B.
(2)設c＝ma＋nb，
因為a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×＝，
又a·c＝b·c＝1，
即
解得m＝n＝，所以c＝a＋b，
所以|c|＝＝，故選B.
(3)法一(坐標法)　建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0)，
易知CF＝＝10，即CE＝FC，FE＝FC，
所以＝＋＝(6，0)＋(－6，8)＝，
所以＝－＝(12，0)－＝，
而＝，
所以·＝×＋＝13.
法二(基底法)　由法一知＝，
且CF＝＝10，
故·＝(＋)·(＋)＝·
＝2－2＝×102－×122＝13.
法三(利用極化恒等式)　由法一知||＝7，
由極化恒等式知
·＝||2－||2＝49－×144＝13.
易錯提醒　1.由向量的運算求其夾角時要注意夾角的范圍是[0，π].
2.利用基底計算數量積時，要注意選擇恰當的基底，常用已知的向量作基底.
訓練2 (1)(多選)(2024·連云港調研)設a，b，c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是(　　)
A.若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥b
B.若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)
C.若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直
D.(b·c)a－(a·c)b不與c垂直
(2)(2024·鄭州調研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E滿足2＝3，則·＝________.
答案　(1)AB　(2)－14
解析　(1)a，b，c是三個非零向量，
對于A，|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得(a＋b)2＝(a－b)2，
即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
故a·b＝0，則a⊥b，故A正確；
對于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，
因為|a|＝|b|，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，
故(a＋b)⊥(a－b)，故B正確；
對于C，a·c＝b·c，
故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，
又a與b不共線，有a≠b，
則a－b與c垂直，故C錯誤；
對于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b與c垂直，故D錯誤.
(2)由題意，以A為坐標原點，，的方向分別為x，y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
所以＝(2，0)，＝(－2，2).
因為2＝3，設E(x，y)，
則2(x，y－2)＝3(2，0)，解得E(3，2)，
所以＝(3，2)，
所以·＝(3，2)·(－2，2)＝－14.
熱點三　平面向量的綜合應用
三角函數和平面向量是高中數學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數交匯點較多，如向量的平行、垂直、夾角、數量積等知識都可以與三角函數進行交匯.
例3 已知ω＞0，a＝(sin ωx，－cos ωx)，b＝(cos ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－的兩個零點，且|x1－x2|min＝π.
(1)求f(x)的單調遞增區間；
(2)若α∈，f＝，求sin 2α的值.
解　(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx
＝sin 2ωx－
＝sin 2ωx－cos 2ωx－＝sin－.
∵x1，x2是函數y＝f(x)－＝sin－1的兩個零點，
即x1，x2是方程sin＝1的兩個實根，
且|x1－x2|min＝π，
∴T＝＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sin－.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的單調遞增區間為(k∈Z).
(2)f＝sin－＝，
∴sin＝.
∵0＜α＜，∴－＜α－＜，
∴cos＝.
∵sin α＝sin＝sincos ＋cossin
＝，
cos α＝cos＝coscos －sinsin
＝，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
規律方法　對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件“脫去外衣”轉化為三角函數中的“數量關系”，再利用三角函數的相關知識進行求解.
訓練3 (2024·武漢統考)如圖所示，A，B，C，D是正弦函數y＝sin x圖象上四個點，且在A，C兩點函數值最大，在B，D兩點函數值最小，則(＋)·(＋)＝________.
答案　12π2
解析　由題圖知，A，B，C，D，
所以＝，＝，＝，＝，
所以＋＝(2π，0)，＋＝(6π，0)，
所以(＋)·(＋)＝2π×6π＋0×0＝12π2.
【精準強化練】
一、單選題
1.(2024·全國甲卷)設向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，則(　　)
A.x＝－3是a⊥b的必要條件
B.x＝－3是a∥b的必要條件
C.x＝0是a⊥b的充分條件
D.x＝－1＋是a∥b的充分條件
答案　C
解析　a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，
所以x＝－3是a⊥b的充分條件，x＝0是a⊥b的充分條件，故A錯誤，C正確.
a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B，D錯誤.
2.(2024·唐山模擬)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，則|b|＝(　　)
A.2 B.4
C.2 D.20
答案　A
解析　a＋b＝(1，x－1)，因為a⊥(a＋b)，所以3×1－1×(x－1)＝0 x＝4，所以b＝(－2，4)，所以|b|＝＝2，故選A.
3.(2024·合肥模擬)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(，1)，若a·b＝|b|，則tan θ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由a·b＝|b|得sin θ＋cos θ＝，
又sin2θ＋cos2θ＝1，
故sin2θ＋(－sin θ)2＝1，
即3sin2θ－2sin θ＋2＝0，
解得sin θ＝，
故cos θ＝－sin θ＝－＝，
故tan θ＝＝×＝.
4.(2024·泰安模擬)在平面內，M，N是兩個定點，P是動點，若·＝4，則點P的軌跡為(　　)
A.橢圓 B.拋物線
C.直線 D.圓
答案　D
解析　不妨設|MN|＝2c，以MN為x軸，MN的中點O為原點，過點O且垂直于MN的直線為y軸，建立平面直角坐標系，
設點P(x，y)，點M(－c，0)，N(c，0)，
則＝(x＋c，y)，＝(x－c，y).
由·＝4可得(x＋c)(x－c)＋y2＝4，
即x2＋y2＝4＋c2.
所以點P的軌跡為圓.
5.(2024·西安模擬)在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且＝，＝＋λ，則λ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因為＝，
所以＝，
即＝2，又＝＋λ，
所以＝＋2λ，
因為點P是線段BD上一點，
即B，P，D三點共線，
所以＋2λ＝1，解得λ＝.
6.(2024·蕪湖模擬)已知等邊△ABC的邊長為2，點D，E分別為AB，BC的中點，若＝2，則·＝(　　)
A.1 B.
C. D.
答案　A
解析　在△ABC中，取，為基底，
則||＝||＝2，〈，〉＝60°.
因為點D，E分別為AB，BC的中點，
＝＝，
＝＋＝(＋)＋＝＋，
·＝·＝·＋2
＝×2×2×cos 60°＋×4＝1.
7.(2024·石家莊聯考)已知點列{Pn}中的所有點都在△ABC內部，△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為.在數列{an}中，a1＝1，若 n∈N*且n≥2，n＝3an＋(4an－1＋3)恒成立，那么a4＝(　　)
A.15 B.31
C.63 D.127
答案　D
解析　如圖，延長APn交BC于點D，
則＝＝.
又△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為，
∴＝，∴＝，
∴點D是邊BC上最靠近點B的四等分點.
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
又＝3an＋(4an－1＋3)，∥，
∴＝，
∴an＝4an－1＋3(n≥2).
由a1＝1，依次計算得到a2＝7，a3＝31，a4＝4×31＋3＝127.故選D.
二、多選題
8.(2024·廣州模擬)已知向量a，b不共線，向量a＋b平分a與b的夾角，則下列結論一定正確的是(　　)
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
答案　BC
解析　作向量＝a，＝b，
在 OACB中，＝a＋b，＝a－b，
由向量a＋b平分a與b的夾角，
得 OACB是菱形，即|a|＝|b|，
對于A，a與b不一定垂直，A錯誤；
對于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
即(a＋b)⊥(a－b)，B正確；
對于C，a在a＋b上的投影向量(a＋b)＝(a＋b)，
b在a＋b上的投影向量(a＋b)＝(a＋b)＝(a＋b)，C正確；
對于D，由選項A知，a·b不一定為0，
則|a＋b|與|a－b|不一定相等，D錯誤.
9.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是AC，AB上的兩點，且＝，＝2，BD與CE交于點O，則下列說法正確的是(　　)
A.·＝－1 B.＋＝0
C.|＋＋|＝ D.在方向上的投影向量的長度為
答案　BCD
解析　因為＝，△ABC是等邊三角形，
所以CE⊥AB，
所以·＝0，A錯誤；
以E為坐標原點，，的方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
設O(0，y)，y∈(0，)，
則＝(1，y)，＝，
又∥，所以y－＝－y，
解得y＝，
即O是CE的中點，＋＝0，
所以B正確；
|＋＋|＝|2＋|＝||＝.所以C正確；
＝，＝(1，)，
在方向上的投影向量的長度為＝＝，所以D正確.
三、填空題
10.若向量a，b為單位向量，且|a－2b|＝，則向量a與向量b的夾角為________.
答案　120°
解析　因為|a－2b|＝，
所以|a|2－4a·b＋4|b|2＝7.
又向量a，b為單位向量，
所以5－4cos〈a，b〉＝7，
所以cos〈a，b〉＝－，即〈a，b〉＝120°，
故向量a與向量b的夾角為120°.
11.寫出一個同時滿足下列條件①②的向量a＝________.
①|a|＝1；
②向量a與b＝(1，－1)的夾角α∈.
答案　(答案不唯一)
解析　|a|＝1，
可設a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，
又向量a與b＝(1，－1)的夾角α∈，
所以θ∈∪，
在區間∪內任取一個角θ即可，
不妨取θ＝，則a＝(答案不唯一).
12.(2024·鎮江調研)大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(如圖1).某數學興趣小組類比“趙爽弦圖”構造出圖2：△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形.若D為BE的中點，①△DEF與△ABC的面積比為________；②設＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
答案　　
解析　如圖，連接AE，由題意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分別為BE，CF，AD的中點.
所以S△DEF＝S△AEF＝S△AFC，
S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF，得＝.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，
又＝－，
＝－＝－，
化簡得＝＋，
所以λ＋μ＝＋＝.
四、解答題
13.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.
解　(1)由題意，得－cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝，
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x＝2sin，
因為x∈[0，π]，所以x－∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈[－，2]，
即f(x)的最大值為2，
此時x－＝，則x＝；
f(x)的最小值為－，
此時x－＝－，則x＝0.
14.在平面四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，對角線AC與BD交于點E，E是BD的中點，且＝2.
(1)若∠ABD＝，求BC的長；
(2)若AC＝3，求cos∠BAD.
解　(1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，
由正弦定理得＝，
所以sin∠ADB＝＝1，
因為0<∠ADB<π，
所以∠ADB＝.
所以BD＝2，
所以DE＝BE＝，AE＝.
所以cos∠AED＝cos∠BEC＝.
因為＝2，
所以EC＝.
在△BEC中，由余弦定理得
BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，
所以BC＝.
(2)法一　因為AC＝3，＝2，
所以||＝2，
在△ABD中，E為BD的中點，
所以＋＝2，
平方得||2＋||2＋2·＝4||2，
即16＋8＋2×4×2×cos∠BAD＝16，
解得cos∠BAD＝－.
法二　因為AC＝3，＝2，
所以AE＝2.
設DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得
cos∠ADB＝.
在△AED中，由余弦定理得
cos∠ADB＝，
所以＝，
解得x＝2，
所以BD＝4.
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝
＝＝－.(共53張PPT)
板塊二 三角函數與平面向量
微專題16　平面向量的基本運算及應用
高考定位
1.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的數量積、夾角及模的運算，難度中低檔； 2.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的線性運算及其幾何意義，難度中低檔.
【 真題體驗 】
√
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，則x＝
A.－2 B.－1 C.1 D.2
√
法一　因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.
因為a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，
得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，
解得x＝2，故選D.
法二　因為a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).
因為b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，
所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故選D.
√
√
由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
所以b2＝2a·b.
將|a＋2b|＝2的兩邊同時平方，
得a2＋4a·b＋4b2＝4，
即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，
精準強化練
熱點一　平面向量的線性運算
熱點二　平面向量的數量積
熱點三　平面向量的綜合應用
熱點突破
熱點一　平面向量的線性運算
1.平面向量加減運算求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”；對平面向量減法抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉化.
2.在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待，其運算方法類似于代數中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比.
例1
√
√
在平面向量的化簡或運算中，要根據平面向量基本定理恰當地選取基底，變形要有方向，不能盲目轉化.
易錯提醒
訓練1
√
√
熱點二　平面向量的數量積
1.數量積的計算通常有三種方法：數量積的定義、坐標運算和數量積的幾何意義.
2.可以利用數量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進行計算.
例2
√
√
13
1.由向量的運算求其夾角時要注意夾角的范圍是[0，π].
2.利用基底計算數量積時，要注意選擇恰當的基底，常用已知的向量作基底.
易錯提醒
(1)(多選)(2024·連云港調研)設a，b，c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是
A.若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥b B.若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)
C.若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直 D.(b·c)a－(a·c)b不與c垂直
訓練2
√
a，b，c是三個非零向量，
對于A，|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得(a＋b)2＝(a－b)2，
即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
故a·b＝0，則a⊥b，故A正確；
對于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，
因為|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，
故(a＋b)⊥(a－b)，故B正確；
√
對于C，a·c＝b·c，
故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，
又a與b不共線，有a≠b，
則a－b與c垂直，故C錯誤；
對于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，
故(b·c)a－(a·c)b與c垂直，故D錯誤.
－14
熱點三　平面向量的綜合應用
三角函數和平面向量是高中數學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數交匯點較多，如向量的平行、垂直、夾角、數量積等知識都可以與三角函數進行交匯.
例3
對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件“脫去外衣”轉化為三角函數中的“數量關系”，再利用三角函數的相關知識進行求解.
規律方法
訓練3
12π2
【精準強化練】
√
a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，
所以x＝－3是a⊥b的充分條件，x＝0是a⊥b的充分條件，
故A錯誤，C正確.
√
√
√
不妨設|MN|＝2c，以MN為x軸，MN的中點O為原點，過點O且垂直于MN的直線為y軸，建立平面直角坐標系，
√
√
√
如圖，延長APn交BC于點D，
8.(2024·廣州模擬)已知向量a，b不共線，向量a＋b平分a與b的夾角，則下列結論一定正確的是
A.a·b＝0 B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等 D.|a＋b|＝|a－b|
√
√
√
√
√
120°
如圖，連接AE，由題意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分別為BE，CF，AD的中點.

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