資源簡介

微專題14　三角形中的“特征”線
高考定位　與三角形的特征線(中線、角平分線、高線)有關的解三角形問題是高考的熱點，命題形式靈活新穎，實質為在兩個三角形中應用正、余弦定理解三角形，難度中檔或偏下.
【真題體驗】
(2023·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為，D為BC的中點，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
【熱點突破】
熱點一　三角形的角平分線
如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.
1.內角平分線定理：AD為△ABC的內角∠BAC的平分線，則＝.
2.因為S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin ∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bccos ，
整理得AD＝(角平分線長公式).
例1 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2cos C·sin＋cos A＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分線交AB于點D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面積.
規律方法　解決與三角形的角平分線有關問題的方法
(1)利用角平分線定理、找邊之間的關系；
(2)角平分線把三角形分成兩個小三角形，故可利用此兩個小三角形的面積和為大三角形的面積求解.
訓練1 (1)(2023·全國甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝________.
(2)(2024·淄博模擬改編)如圖，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的角平分線交BC于P點.若AP＝2，BC＝8，則△ABC的面積為________.
熱點二　三角形的中線
1.中線長定理：在△ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推導過程：在△ABD中，
cos B＝，
在△ABC中，cos B＝，
聯立兩個方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
2.中線的向量表示：2＝(2＋2＋2||·||·cos ∠BAC).
推導過程：易知＝(＋)，則
2＝(＋)2＝2＋2＋||·||cos ∠BAC，
所以2＝(2＋2＋2||||·cos ∠BAC).
例2 (2024·濰坊模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A；
(2)若c＝，a＝，D為BC的中點，求AD.
規律方法　解決三角形中線問題的常用方法
(1)利用角互補(如本例中∠ADB與∠ADC互補，其余弦值互為相反數)及余弦定理求解；
(2)利用中線長定理求解，但要書寫其證明過程；
(3)利用向量法求解.
訓練2 (2024·金華調研)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos C＝－.
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圓的半徑為，且AC邊上的中線長為，求△ABC的面積和周長.
熱點三　三角形的高線
1.h1，h2，h3分別為△ABC邊a，b，c上的高，則
h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
2.求高一般采用等面積法，即求某底邊上的高，需要求出面積和底邊長度.
3.高線的兩個作用：①產生直角三角形；②與三角形的面積相關.
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)設AB＝5，求AB邊上的高.
規律方法　解決三角形的高線問題往往利用正、余弦定理求得三角形的某些邊和角來表示三角形的面積，然后解S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝×邊長×h，求高h.
訓練3 (2024·南京調研)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝sin Atan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是邊AB上的高，且＝m＋n，求.
【精準強化練】
1.(2024·西安模擬)已知函數f(x)＝2sin x·sin－.
(1)求f(x)在上的值域；
(2)已知銳角△ABC中，BC＝，·＝－3，且f(A)＝，求BC邊上的中線AT的長.
2.(2024·鄭州模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin C＝ccos A，c＝2.
(1)求A；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長.
條件①：sin C＝；
條件②：b＝1＋；
條件③：a＝.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
3.(2024·福州調研)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)求角A和角C之間的等式關系；
(2)若cos C<0，BD為∠CBA的角平分線，且BD＝2，△ABC的面積為，求c的長.
4.(2024·包頭模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜邊AC上的一點，AB＝AD，BC＝.
(1)若∠DBC＝60°，求∠ADB和DA；
(2)若BD＝，證明：CD＝2DA.
【解析版】
(2023·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為，D為BC的中點，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解　(1)因為D為BC的中點，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2··AD·DCsin∠ADC
＝2××1·DC·＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因為∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，
得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，
所以c＝.
法一　在△ADC中，由余弦定理，
得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝.
在△ABC中，由余弦定理，
得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝，
所以tan B＝＝.
法二　在△ABD中，由正弦定理，
得＝，
所以sin B＝＝，
又B∈，
所以cos B＝＝，
所以tan B＝＝.
(2)法一　因為D為BC的中點，所以BD＝DC.
因為∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，
則在△ABD與△ADC中，由余弦定理，
得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，
所以a＝2.
又S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，
得sin∠ADC＝1，
所以∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
法二　因為D為BC的中點，所以BC＝2BD.
在△ABD與△ABC中，由余弦定理，
得cos B＝＝，
整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，
得BD＝，所以a＝2.
以下同法一.
【熱點突破】
熱點一　三角形的角平分線
如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.
1.內角平分線定理：AD為△ABC的內角∠BAC的平分線，則＝.
2.因為S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin ∠BAC，
所以(b＋c)AD＝2bccos ，
整理得AD＝(角平分線長公式).
例1 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2cos C·sin＋cos A＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分線交AB于點D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面積.
解　(1)由已知可得2cos C·－cos(B＋C)＝0，
sin Bcos C＋cos Bcos C－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝0，
整理得，sin B(cos C＋sin C)＝0，
因為B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－，
因為C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由題意得，＝＝，即＝，所以a＝2b.
因為S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，
所以×2bsin 60°＋×2asin 60°＝absin 120°，
所以b＋a＝ab.
因為a＝2b，所以b＝3，a＝6，
所以S△ABC＝absin 120°＝.
規律方法　解決與三角形的角平分線有關問題的方法
(1)利用角平分線定理、找邊之間的關系；
(2)角平分線把三角形分成兩個小三角形，故可利用此兩個小三角形的面積和為大三角形的面積求解.
訓練1 (1)(2023·全國甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝________.
(2)(2024·淄博模擬改編)如圖，在△ABC中，∠BAC＝，∠BAC的角平分線交BC于P點.若AP＝2，BC＝8，則△ABC的面積為________.
答案　(1)2　(2)
解析　(1)由余弦定理得cos 60°＝，
整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.
由角平分線長公式得AD＝
＝＝2.
(2)△ABC中，設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB，
即64＝c2＋b2＋b·c，①
由角平分線長公式得AP＝
即bc＝2(b＋c)，②
聯立①②得bc＝2＋2，
所以S△ABC＝bcsin ∠BAC＝.
熱點二　三角形的中線
1.中線長定理：在△ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
推導過程：在△ABD中，
cos B＝，
在△ABC中，cos B＝，
聯立兩個方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
2.中線的向量表示：2＝(2＋2＋2||·||·cos ∠BAC).
推導過程：易知＝(＋)，則
2＝(＋)2＝2＋2＋||·||cos ∠BAC，
所以2＝(2＋2＋2||||·cos ∠BAC).
例2 (2024·濰坊模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A；
(2)若c＝，a＝，D為BC的中點，求AD.
解　(1)在△ABC中，由正弦定理，
得sin ∠BAC(sin B＋cos B)＝sin C，
由∠BAC＋B＋C＝π，得sin C＝sin(∠BAC＋B)，
所以sin∠BACsin B＋sin ∠BACcos B
＝sin∠BACcos B＋sin Bcos ∠BAC，
得sin ∠BACsin B＝cos ∠BACsin B，
又sin B≠0，所以tan ∠BAC＝1，
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝，即A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，
得5＝b2＋2－2b，
解得b＝3或b＝－1(舍去)，
因為D為BC的中點，則＝(＋)，
兩邊同時平方得2＝(2＋2＋2·)＝×＝，
所以||＝，即AD＝.
規律方法　解決三角形中線問題的常用方法
(1)利用角互補(如本例中∠ADB與∠ADC互補，其余弦值互為相反數)及余弦定理求解；
(2)利用中線長定理求解，但要書寫其證明過程；
(3)利用向量法求解.
訓練2 (2024·金華調研)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos C＝－.
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圓的半徑為，且AC邊上的中線長為，求△ABC的面積和周長.
解　(1)由cos C＝－，
得2bcos C＝2a－c，
利用正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C，
即2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，
化簡得sin C＝2sin Ccos B.
因為C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos B＝，
又因為B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由正弦定理得＝2 b＝3，
設D為AC邊上的中點，
則AD＝CD＝，BD＝.
法一　在△BCD中，cos ∠CDB＝，
在△ABD中，cos ∠ADB＝，
因為∠ADB＋∠CDB＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠CDB＝0，
所以a2＋c2＝17，
由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，
可得9＝c2＋a2－ac，即ac＝8，
由三角形的面積公式得S△ABC＝acsin B＝2，
又(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝17＋2×8＝33，
所以a＋c＝，
所以△ABC的周長為3＋.
法二　利用向量的加法法則得2＝＋，
兩邊平方得42＝2＋2＋2·，
即25＝c2＋a2＋ac，
由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，
得9＝c2＋a2－ac，
兩式相減得16＝2ac，即ac＝8，
由三角形的面積公式得S△ABC＝acsin B＝2，
由25＝c2＋a2＋ac，
得(a＋c)2－ac＝25，a＋c＝，
所以△ABC的周長為3＋.
熱點三　三角形的高線
1.h1，h2，h3分別為△ABC邊a，b，c上的高，則
h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
2.求高一般采用等面積法，即求某底邊上的高，需要求出面積和底邊長度.
3.高線的兩個作用：①產生直角三角形；②與三角形的面積相關.
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)設AB＝5，求AB邊上的高.
解　法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因為A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因為2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin＝sin，
展開并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，即C所以AB設AB邊上的高為h，
則·AB·h＝·AC·BCsin C，
即5h＝2×3×，
解得h＝6，
所以AB邊上的高為6.
法二　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因為A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因為2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
易得cos Acos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan＝3，
又sin A>0，tan A＝，sin2A＋cos2A＝1，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A為銳角，
所以cos A＝，
所以sin B＝sin＝(cos A＋sin A)＝×＝.
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB邊上的高為AC·sin A＝2×＝6.
規律方法　解決三角形的高線問題往往利用正、余弦定理求得三角形的某些邊和角來表示三角形的面積，然后解S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝×邊長×h，求高h.
訓練3 (2024·南京調研)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝sin Atan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是邊AB上的高，且＝m＋n，求.
解　(1)△ABC中，＝sin Atan ，
由正弦定理和同角三角函數的商數關系，
得＝，
由倍角公式得＝.
又因為A，C為△ABC的內角，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin ＝，
則有＝，得C＝.
(2)法一　a＝8，b＝5，C＝，·＝||·||·cos C＝abcos C＝5×8×cos ＝20，
所以2＝b2＝25，2＝a2＝64，
由題意知CH⊥AB，所以·＝0，
即(m＋n)·(－)＝(m－n)(·)－m2＋n2
＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
法二　△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋52－2×8×5×＝49，所以c＝7.
又因為S△ABC＝absin C＝c·CH，
所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝，＝.
所以＝＋＝＋(－)
＝＋.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
【精準強化練】
1.(2024·西安模擬)已知函數f(x)＝2sin x·sin－.
(1)求f(x)在上的值域；
(2)已知銳角△ABC中，BC＝，·＝－3，且f(A)＝，求BC邊上的中線AT的長.
解　(1)f(x)＝2sin x·sin－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
因為x∈，所以2x－∈，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)在上的值域為.
(2)記△ABC的角A，B，C所對的邊為a，b，c，
因為△ABC為銳角三角形，
所以A∈，2A－∈，
又f(A)＝sin＝，
所以2A－＝，即A＝.
因為·＝－·＝－bccos ＝－3，所以bc＝6，
在△ABC中，由余弦定理得7＝b2＋c2－2bccos ，所以b2＋c2＝13，
因為AT為BC邊上的中線，
所以＝(＋)，
所以2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(c2＋b2＋bc)＝，
所以||＝.
所以BC邊上的中線AT的長為.
2.(2024·鄭州模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin C＝ccos A，c＝2.
(1)求A；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長.
條件①：sin C＝；
條件②：b＝1＋；
條件③：a＝.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
解　(1)因為asin C＝ccos A，
所以由正弦定理可得sin Asin C＝sin Ccos A，
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，
即tan A＝，
因為A∈(0，π)，所以A＝.
(2)若選條件①：sin C＝，
由正弦定理知＝＝2a，
可得sin C＝＝，
故滿足所選條件的三角形不存在，不滿足題意；
若選條件②：b＝1＋，
由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(1＋)2＋22－2(1＋)×2×＝2，
即a＝，所以滿足條件的三角形唯一.
設BC邊上的高為h，
由等面積法可知S△ABC＝bcsin A＝ah，
即2×(1＋)×＝h，
解得h＝，
故BC邊上高線的長為.
若選條件③：a＝，
由正弦定理可得＝，即＝，
所以sin C＝，可得C＝或，有兩解，不符合題意.
綜上，應選條件②，BC邊上高線的長為.
3.(2024·福州調研)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)求角A和角C之間的等式關系；
(2)若cos C<0，BD為∠CBA的角平分線，且BD＝2，△ABC的面積為，求c的長.
解　(1)由＝得＝，
因為C∈(0，π)，所以sin C≠0，
故＝，
即cos Bcos C－sin Bsin C＝－sin C，
cos(B＋C)＝－sin C，
由于cos(B＋C)＝－cos A，故cos A＝sin C，
則C＝－A或C＝＋A.
(2)由(1)C＝－A或C＝＋A，
因為cos C<0，得C＝＋A，B＝－2A，
BD為∠CBA的角平分線，
故∠BDC＝＋A＝－A＋A＝，
故∠BDA＝，因為BD＝2，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得BA＝，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得BC＝，
由△ABC的面積為，
得××sin B＝，
因為B＝－2A，
所以××cos 2A＝，
解得tan 2A＝，
因為C＝＋A，故A∈，
所以A＝，所以c＝BA＝＝2，即c的長為2.
4.(2024·包頭模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜邊AC上的一點，AB＝AD，BC＝.
(1)若∠DBC＝60°，求∠ADB和DA；
(2)若BD＝，證明：CD＝2DA.
(1)解　由∠DBC＝60°，∠ABC＝90°，
可得∠ABD＝30°.
因為AB＝AD，所以在△ADB中，
由正弦定理可得＝，
即sin ∠ADB＝sin ∠ABD＝，
則∠ADB＝120°或60°，
又因為∠DBC＝60°，故∠ADB＝120°，
因此∠BDC＝60°，又因為∠DBC＝60°，
所以△DBC是等邊三角形，
所以DB＝DC＝BC＝，
又在△ADB中，∠ABD＝30°，∠ADB＝120°，
故∠BAD＝30°，所以DA＝DB＝.
(2)證明　令∠BDC＝θ，DA＝x，DC＝y，
因為AB＝AD，則AB＝x.
在△BDC與△BDA中，
由余弦定理可得
消去cos θ，得＝，
整理得(y－2x)(xy＋2)＝0，
所以y＝2x，即CD＝2DA.(共51張PPT)
板塊二 三角函數與平面向量
微專題14　三角形中的“特征”線
高考定位
與三角形的特征線(中線、角平分線、高線)有關的解三角形問題是高考的熱點，命題形式靈活新穎，實質為在兩個三角形中應用正、余弦定理解三角形，難度中檔或偏下.
【 真題體驗 】
真題體驗
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
法一　因為D為BC的中點，所以BD＝DC.
因為∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，
則在△ABD與△ADC中，由余弦定理，
精準強化練
熱點一　三角形的角平分線
熱點二　三角形的中線
熱點三　三角形的高線
熱點突破
熱點一
例1
解決與三角形的角平分線有關問題的方法
(1)利用角平分線定理、找邊之間的關系；
(2)角平分線把三角形分成兩個小三角形，故可利用此兩個小三角形的面積和為大三角形的面積求解.
規律方法
訓練1
2
熱點二　三角形的中線
1.中線長定理：在△ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
在△ABC中，由正弦定理，
得sin ∠BAC(sin B＋cos B)＝sin C，
由∠BAC＋B＋C＝π，得sin C＝sin(∠BAC＋B)，
所以sin∠BACsin B＋sin ∠BACcos B
＝sin∠BACcos B＋sin Bcos ∠BAC，
得sin ∠BACsin B＝cos ∠BACsin B，
又sin B≠0，所以tan ∠BAC＝1，
(2024·濰坊模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A；
例2
解決三角形中線問題的常用方法
(1)利用角互補(如本例中∠ADB與∠ADC互補，其余弦值互為相反數)及余弦定理求解；
(2)利用中線長定理求解，但要書寫其證明過程；
(3)利用向量法求解.
規律方法
訓練2
因為∠ADB＋∠CDB＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠CDB＝0，所以a2＋c2＝17，
由余弦定理b2＝c2＋a2－2accos B，
可得9＝c2＋a2－ac，即ac＝8，
熱點三　三角形的高線
(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
例3
規律方法
訓練3
【精準強化練】

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