資源簡介

微專題13　解三角形
高考定位　應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積、周長等的計算，既有選擇、填空題，也有解答題，難度為中檔或偏下.
【真題體驗】
1.(2024·全國甲卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝，b2＝ac，則sin A＋sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
2.(2021·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝________.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面積為3＋，求c.
【熱點突破】
熱點一　利用正、余弦定理求邊或角
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B, c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
例1 (2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周長.
規(guī)律方法　當(dāng)題目條件中出現(xiàn)邊和角的“混和體”時有兩種方案：(1)全部統(tǒng)一為角，將“邊的齊次式”中的邊直接化為對應(yīng)角的正弦；(2)全部統(tǒng)一為邊，利用正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，最后用因式分解等代數(shù)技巧化簡即可.
訓(xùn)練1 (1)(2024·濟(jì)南模擬)已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos C＋asin C＝b，則A＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·綿陽診斷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＋＝，則＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
熱點二　三角形的面積問題
三角形的面積公式
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.
(1)S＝ah(h為BC邊上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝(a＋b＋c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)；
(4)S＝.
例2 (2024·阜陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C.
(1)求角C的大??；
(2)若a＝3，且·＝1，求△ABC的面積.
規(guī)律方法　與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.
訓(xùn)練2 (2024·湛江調(diào)研)如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，且AB⊥BD.已知cos A＝2sin sin ，AB＝.
(1)求A；
(2)若△BCD的面積為，求BC.
熱點三　解三角形的實際應(yīng)用
解三角形實際問題的步驟
例3 (2024·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A，B兩座炮臺，A在B的正東方.某次演習(xí)時，A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈，B則向東偏北θ方向發(fā)射炮彈，其中θ為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)C，接著A改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點M，則B炮臺與彈著點M的距離為(　　)
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
規(guī)律方法　解三角形應(yīng)用問題的要點
(1)從實際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到實際問題的解.
訓(xùn)練3 (2024·湖州、衢州、麗水模擬)某學(xué)生為測量某酒店的高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，如圖，現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在點C處測得酒店頂端A的仰角∠ACB＝28°，則酒店的高度約為(參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)(　　)
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
一、單選題
1.(2024·青島模擬)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2asin B，bc＝4，則△ABC的面積為(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，則角B為(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
3.(2024·北京海淀區(qū)調(diào)研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，則(　　)
A.∠B為直角 B.∠B為鈍角
C.∠C為直角 D.∠C為鈍角
4.(2024·河南名校調(diào)研)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且b＝2a，2a2＋b2＝c2，則sin B＝(　　)
A. B.
C. D.
5.(2024·石家莊模擬)海倫公式是利用三角形的三條邊的長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為S＝，它的特點是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海淪—秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10＋2的△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為(　　)
A.8 B.4
C.6 D.12
6.(2024·昆明診斷)在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，則sin∠ADC的值為(　　)
A. B.
C. D.
7.(2024·廣東名校聯(lián)考)如圖，A，B兩點在河的同側(cè)，且A，B兩點均不可到達(dá).現(xiàn)需測A，B兩點間的距離，測量者在河對岸選定兩點C，D，測得CD＝ km，同時在C，D兩點分別測得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，則A，B兩點間的距離為(　　)
A. km B. km
C. km D. km
二、多選題
8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.下面四個結(jié)論正確的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是4
B.若＝，則A＝
C.若a2＋b2D.若A9.(2024·武漢調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列與△ABC有關(guān)的結(jié)論正確的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，則＝＝4
B.若acos A＝bcos B，則△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是銳角三角形，則cos AD.若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝1∶6
三、填空題
10.(2024·泰安模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccos B＝2a－b，則C＝________.
11.(2024·合肥調(diào)研)如圖是2024年4月30日17時46分神舟十七號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1 200 m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于點D，D和觀測點A在同一水平線上，在A測得點B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，則此時返回艙底端離地面的距離CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，計算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù))
12.(2024·無錫模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________.
13.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos(B－2A)的值.
14.(2024·北京卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為鈍角，a＝7，sin 2B＝bcos B.
(1)求A；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積.
條件①：b＝7；
條件②：cos B＝；
條件③：csin A＝.
注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
【解析版】
1.(2024·全國甲卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝，b2＝ac，則sin A＋sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，
因為B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，
所以a2＋c2＝ac，
所以sin2A＋sin2C＝sin Asin C，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝，
又sin A>0，sin C>0，
所以sin A＋sin C＝.故選C.
2.(2021·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝________.
答案　2
解析　由題意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，則ac＝4，
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，
則b＝2.
3.(2024·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面積為3＋，求c.
解　(1)由余弦定理得cos C＝＝，
又0∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝.
又0(2)由(1)得A＝π－B－C＝，
由正弦定理＝，
得＝，∴a＝c.
∴△ABC的面積S＝acsin B
＝c2×＝3＋，
解得c＝2.
【熱點突破】
熱點一　利用正、余弦定理求邊或角
1.正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B, c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.
2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
例1 (2024·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周長.
解　(1)由sin A＋cos A＝2，
得sin A＋cos A＝1，
所以sin＝1.
因為0所以A＋＝，故A＝.
(2)由bsin C＝csin 2B，
得bsin C＝2csin Bcos B，
由正弦定理，得bc＝2cbcos B，
所以cos B＝，
因為0C＝π－(A＋B)＝，
所以sin C＝sin＝sin＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
由正弦定理得b＝＝＝2，
c＝＝＝＋，
所以△ABC的周長為a＋b＋c＝2＋＋3.
規(guī)律方法　當(dāng)題目條件中出現(xiàn)邊和角的“混和體”時有兩種方案：(1)全部統(tǒng)一為角，將“邊的齊次式”中的邊直接化為對應(yīng)角的正弦；(2)全部統(tǒng)一為邊，利用正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，最后用因式分解等代數(shù)技巧化簡即可.
訓(xùn)練1 (1)(2024·濟(jì)南模擬)已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos C＋asin C＝b，則A＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·綿陽診斷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＋＝，則＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由acos C＋asin C＝b以及正弦定理可得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B，
因sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
代入整理得sin Asin C－cos Asin C＝0，
因為00，
則得tan A＝，
又因為0(2)因為＋＝，
所以＋＝，
由正弦定理得＋＝，
由余弦定理的推論得
＋＝，
整理得a2＋b2＝3c2，
即＝3.故選C.
熱點二　三角形的面積問題
三角形的面積公式
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.
(1)S＝ah(h為BC邊上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝(a＋b＋c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)；
(4)S＝.
例2 (2024·阜陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C.
(1)求角C的大??；
(2)若a＝3，且·＝1，求△ABC的面積.
解　(1)法一　因為asin Acos B＋bsin Acos A＝acos C，
所以根據(jù)正弦定理得
sin Asin Acos B＋sin Asin Bcos A＝sin Acos C，
因為sin A≠0，
所以sin Acos B＋sin Bcos A＝cos C，
即sin(A＋B)＝cos C，即sin C＝cos C.
因為cos C≠0，所以tan C＝.
因為0法二　由三角形內(nèi)的射影定理知
acos B＋bcos A＝c，
所以asin Acos B＋bsin Acos A＝(acos B＋bcos A)sin A＝csin A＝acos C，
又由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，
因為sin A≠0，所以sin C＝cos C，
因為cos C≠0，所以tan C＝，
因為0(2)·＝bccos A＝1.
因為a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以b2＋c2＝9＋2bccos A＝11.①
因為c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以b2－c2＝2abcos C－a2
＝2×3×b×cos －32＝3b－9.②
聯(lián)立①②可得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2(負(fù)根舍去)，
故△ABC的面積為absin C＝×3×2×＝.
規(guī)律方法　與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.
訓(xùn)練2 (2024·湛江調(diào)研)如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，且AB⊥BD.已知cos A＝2sin sin ，AB＝.
(1)求A；
(2)若△BCD的面積為，求BC.
解　(1)因為cos A＝2sin sin
＝2sin sin ＝2sin cos ＝sin A，
可得tan A＝＝1，
因為A∈(0，π)，所以A＝.
(2)作BE⊥AC，垂足為E，
在△ABD中，由A＝，
AB⊥BD，知△ABD為等腰直角三角形，
因為AB＝，所以BD＝，AD＝2，BE＝1，
由△BCD的面積為BE·CD＝，
解得CD＝1，
可得AC＝AD＋CD＝3，
所以BC＝＝.
熱點三　解三角形的實際應(yīng)用
解三角形實際問題的步驟
例3 (2024·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A，B兩座炮臺，A在B的正東方.某次演習(xí)時，A向西偏北θ方向發(fā)射炮彈，B則向東偏北θ方向發(fā)射炮彈，其中θ為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)C，接著A改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點M，則B炮臺與彈著點M的距離為(　　)
A.7公里 B.8公里
C.9公里 D.10公里
答案　D
解析　依題意，設(shè)炮彈第一次命中點為C，則AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ，
即182＝142＋182－2×14×18cos θ，
解得cos θ＝，
所以cos θ＝2cos2－1＝，
又θ為銳角，解得cos ＝(負(fù)值舍去)，
在△ABM中BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos ＝182＋142－2×18×14×＝100，
所以BM＝10，
即B炮臺與彈著點M的距離為10公里.
規(guī)律方法　解三角形應(yīng)用問題的要點
(1)從實際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到實際問題的解.
訓(xùn)練3 (2024·湖州、衢州、麗水模擬)某學(xué)生為測量某酒店的高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，如圖，現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在點C處測得酒店頂端A的仰角∠ACB＝28°，則酒店的高度約為(參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)(　　)
A.91米 B.101米
C.111米 D.121米
答案　B
解析　由題知∠CBD＝30°，
在△BCD中，＝，
因為sin∠BDC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，
所以BC＝＝＝50(＋)，
所以，在△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝50(＋)×tan 28°≈101(米).
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
一、單選題
1.(2024·青島模擬)△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2asin B，bc＝4，則△ABC的面積為(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
答案　A
解析　根據(jù)正弦定理得sin B＝2sin Asin B，
因為B∈(0，π)，則sin B≠0，
所以1＝2sin A，解得sin A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×＝1.
2.在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，則角B為(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理可得sin B＝＝＝，又因為c>b，可得C>B，即0°3.(2024·北京海淀區(qū)調(diào)研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，則(　　)
A.∠B為直角 B.∠B為鈍角
C.∠C為直角 D.∠C為鈍角
答案　C
解析　由sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，得b＝2acos A，cos A＝，又c＝2a，所以cos A＝＝＝，化簡得b＝a，因為c2＝4a2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形，且C是直角.故選C.
4.(2024·河南名校調(diào)研)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且b＝2a，2a2＋b2＝c2，則sin B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由b＝2a，2a2＋b2＝c2，得2a2＋b2＝6a2＝c2，
所以cos B＝＝＝，
又B∈(0，π)，所以sin B＝＝.
5.(2024·石家莊模擬)海倫公式是利用三角形的三條邊的長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達(dá)式為S＝，它的特點是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海淪—秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10＋2的△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，則用以上給出的公式求得△ABC的面積為(　　)
A.8 B.4
C.6 D.12
答案　C
解析　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
∴a∶b∶c＝2∶3∶，
∵△ABC的周長為10＋2，
即a＋b＋c＝10＋2，
∴a＝4，b＝6，c＝2，
∴p＝＝5＋，
∴S△ABC＝＝6.
6.(2024·昆明診斷)在△ABC中，D為邊BC上一點，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，則sin∠ADC的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如圖，在△ ABD中，
由正弦定理得＝，
即＝，
故sin ∠BAD＝ .
又BD故∠BAD只能是銳角，從而cos∠BAD＝.
所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)
＝sin(∠BAD＋45°)＝×＋×＝，故選C.
7.(2024·廣東名校聯(lián)考)如圖，A，B兩點在河的同側(cè)，且A，B兩點均不可到達(dá).現(xiàn)需測A，B兩點間的距離，測量者在河對岸選定兩點C，D，測得CD＝ km，同時在C，D兩點分別測得∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，則A，B兩點間的距離為(　　)
A. km B. km
C. km D. km
答案　D
解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴△ADC是等邊三角形，
∴AD＝CD＝AC＝ km.
在△BCD中，∠BDC＝30°，∠CBD＝180°－60°－30°－45°＝45°，
由正弦定理得＝，
即＝，BC＝＝ km，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝＋－2×××＝，∴AB＝ km，
即A，B兩點間的距離為 km.
二、多選題
8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.下面四個結(jié)論正確的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，則△ABC的外接圓半徑是4
B.若＝，則A＝
C.若a2＋b2D.若A答案　BC
解析　由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圓半徑是2，故A錯誤；
由正弦定理及＝，
可得＝＝1，即tan A＝1，
由0因為cos C＝<0，所以C為鈍角，
△ABC一定是鈍角三角形，故C正確；
若A＝，B＝，顯然cos A>cos B，故D錯誤.
9.(2024·武漢調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列與△ABC有關(guān)的結(jié)論正確的是(　　)
A.若a＝2，A＝30°，則＝＝4
B.若acos A＝bcos B，則△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是銳角三角形，則cos AD.若2＋＋3＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝1∶6
答案　ACD
解析　對于A，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，
因為a＝2，A＝30°，
所以2R＝＝＝4，
所以＝＝2R＝4，
＝＝2R＝4，
所以A正確.
對于B，因為acos A＝bcos B，
所以由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
因為A，B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B不正確.
對于C，由△ABC是銳角三角形得A＋B>，即A>－B，
因為y＝cos x在上單調(diào)遞減，
所以cos A所以C正確.
對于D，如圖所示，設(shè)AC的中點為M，BC的中點為D，
因為2＋＋3＝0，
即2(＋)＋(＋)＝0，
則2×2＋2＝0，即2＝－，
所以點O是MD上靠近M的三等分點，
所以點O到AC的距離等于D到AC的距離的，
又由B到AC的距離為D到AC的距離的2倍，
所以O(shè)到AC的距離等于B到AC的距離的.
由三角形的面積公式，可得S△ABC＝6S△AOC，
即S△AOC∶S△ABC＝1∶6，
所以D正確.
三、填空題
10.(2024·泰安模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccos B＝2a－b，則C＝________.
答案　
解析　根據(jù)題意，在△ABC中，2ccos B＝2a－b，
則2sin Ccos B＝2sin A－sin B，
變形可得2sin Ccos B＝2sin(B＋C)－sin B，
則有2sin Bcos C＝sin B，
因為sin B>0，所以cos C＝，
因為C∈(0，π)，則C＝.
11.(2024·合肥調(diào)研)如圖是2024年4月30日17時46分神舟十七號返回艙(圖中C)接近地面的場景.傘面是表面積為1 200 m2的半球面(不含底面圓)，傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線BC與水平地面垂直于點D，D和觀測點A在同一水平線上，在A測得點B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，則此時返回艙底端離地面的距離CD＝________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，計算過程中，球半徑四舍五入保留整數(shù))
答案　20 m
解析　設(shè)半球的半徑為r m，
則2πr2＝1 200，∴r≈14，
∴BC＝5r＝70 m.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
則AB＝＝70××＝180(m)，
又∵∠DAB＝30°，∴BD＝90 m，
則CD＝BD－BC＝20 m.
12.(2024·無錫模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________.
答案　
解析　因為b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2abccos A＝b2c，即2acos A＝b，
即2sin Acos A＝sin B，所以sin 2A＝sin B，
所以2A＝B或2A＋B＝π.
因為B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.
若2A＝B，則A＝，B＝C＝；
若2A＋B＝π，則A＝B＝C＝，與B＝C≠A矛盾.綜上，A＝.
四、解答題
13.(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos(B－2A)的值.
解　(1)由＝得a＝c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，
即c2＋c2－25＝2·c·c·，
得c2－25＝c2，得c＝6，
故a＝c＝4.
(2)因為cos B＝，
所以sin B＝＝，
由正弦定理得＝，
即＝，得sin A＝.
(3)因為a0，
由sin A＝，得cos A＝，
則cos 2A＝2cos2A－1＝，
sin 2A＝2sin Acos A＝，
故cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A
＝×＋×＝.
14.(2024·北京卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為鈍角，a＝7，sin 2B＝bcos B.
(1)求A；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積.
條件①：b＝7；
條件②：cos B＝；
條件③：csin A＝.
注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
解　(1)由題意知，2sin B·cos B＝bcos B.
又A為鈍角，所以B為銳角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b，從而＝，
又＝＝＝，
所以sin A＝.
又A為鈍角，所以A＝.
(2)若選①，結(jié)合 (1)得2sin B＝×7，
所以sin B＝，B＝，A＋B＝π，
則△ABC不存在，所以條件①不符合要求，
故不選擇條件①.
若選②，由題知sin B＝＝，
又＝，即＝，
所以b＝3.
又C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×－×＝.
所以S△ABC＝absin C＝×7×3×＝.
若選③，由題知c·＝，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bccos A得，
49＝b2＋25＋5b，
即(b＋8)(b－3)＝0，
解得b＝3(負(fù)值舍去).
所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5×＝.(共57張PPT)
板塊二 三角函數(shù)與平面向量
微專題13　解三角形
高考定位
應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積、周長等的計算，既有選擇、填空題，也有解答題，難度為中檔或偏下.
【 真題體驗 】
√
精準(zhǔn)強(qiáng)化練
熱點一　利用正、余弦定理求邊或角
熱點二　三角形的面積問題
熱點三　解三角形的實際應(yīng)用
熱點突破
熱點一　利用正、余弦定理求邊或角
例1
當(dāng)題目條件中出現(xiàn)邊和角的“混和體”時有兩種方案：(1)全部統(tǒng)一為角，將“邊的齊次式”中的邊直接化為對應(yīng)角的正弦；(2)全部統(tǒng)一為邊，利用正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，最后用因式分解等代數(shù)技巧化簡即可.
規(guī)律方法
訓(xùn)練1
√
√
熱點二　三角形的面積問題
例2
與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.
規(guī)律方法
訓(xùn)練2
熱點三　解三角形的實際應(yīng)用
解三角形實際問題的步驟
例3
√
解三角形應(yīng)用問題的要點
(1)從實際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得到實際問題的解.
規(guī)律方法
訓(xùn)練3
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【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
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3.(2024·北京海淀區(qū)調(diào)研)在△ABC中，sin B＝sin 2A，c＝2a，則
A.∠B為直角 B.∠B為鈍角
C.∠C為直角 D.∠C為鈍角
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10.(2024·泰安模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知
2ccos B＝2a－b，則C＝________.
根據(jù)題意，在△ABC中，2ccos B＝2a－b，
則2sin Ccos B＝2sin A－sin B，
變形可得2sin Ccos B＝2sin(B＋C)－sin B，
則有2sin Bcos C＝sin B，
20 m
12.(2024·無錫模擬)設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊.若B＝C≠A，
且a(b2＋c2－a2)＝b2c，則A＝________.
因為b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以2abccos A＝b2c，即2acos A＝b，
即2sin Acos A＝sin B，所以sin 2A＝sin B，
所以2A＝B或2A＋B＝π.
因為B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.
(3)求cos(B－2A)的值.

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