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微專題12　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
高考定位　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：1.三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式，常以選擇題、填空題的形式考查； 2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以客觀題或作為解答題其中一問考查.
【真題體驗(yàn)】
1.(2022·浙江卷)為了得到函數(shù)y＝2sin 3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin圖象上所有的點(diǎn)(　　)
A.向左平移個(gè)單位長度
B.向右平移個(gè)單位長度
C.向左平移個(gè)單位長度
D.向右平移個(gè)單位長度
2.(2024·新高考Ⅰ卷)當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，曲線y＝sin x與y＝2sin的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
3.(多選)(2024·新高考Ⅱ卷)對于函數(shù)f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列說法中正確的有(　　)
A.f(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)
B.f(x)與g(x)有相同的最大值
C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸
4.(2024·全國甲卷)函數(shù)f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________.
5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f(x)的兩個(gè)交點(diǎn)，若|AB|＝，則f(π)＝________.
【熱點(diǎn)突破】
熱點(diǎn)一　三角函數(shù)圖象的變換
1.沿x軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x＋φ)時(shí)，“左加右減”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
沿y軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x)＋k時(shí)，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移.
2.沿x軸伸縮：若ω>0，A>0，由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(ωx)時(shí)，所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?
沿y軸伸縮：由y＝f(x)變?yōu)閥＝Af(x)時(shí)，所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍.
例1 (2024·延邊模擬)將函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
易錯(cuò)提醒　在圖象變換中務(wù)必分清是先平移，還是先伸縮，左右平移只是對其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.
訓(xùn)練1 (1)(2024·岳陽質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋acos x的一個(gè)零點(diǎn)是，將函數(shù)y＝f(2x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象的解析式為(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
(2)(2024·西安模擬)將函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m的值可以是(　　)
A. B.π
C. D.
熱點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象與解析式
已知圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式時(shí)，常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A，B；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.
例2 (1)(2024·長沙模擬)如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式可以是(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)已知f(x)＝2tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)，則f的值為(　　)
A.－ B.
C. D.－
易錯(cuò)提醒　在本例(2)中，根據(jù)正切函數(shù)圖象的對稱中心的有關(guān)結(jié)論，寫出參數(shù)ω滿足的關(guān)系式，注意不要只認(rèn)為ω＋＝kπ，k∈Z，而是ω＋＝，k∈Z.
訓(xùn)練2 (1)(2024·北京石景山模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則f(－π)的值是(　　)
A. B.1
C.－1 D.－
(2)(2024·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的最大值為2，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到g(x)的圖象，若g(x)為偶函數(shù)，則φ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
熱點(diǎn)三　三角函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性質(zhì)
(1)單調(diào)性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)對稱性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得對稱軸.
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù).
例3 (1)(多選)(2024·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)的最小正周期為2，則(　　)
A.ω＝π B.曲線y＝f(x)關(guān)于直線x＝對稱
C.f(x)的最大值為2 D.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
(2)(2024·煙臺(tái)模擬)若函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)ω的取值范圍是________.
規(guī)律方法　研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)y＝sin x的性質(zhì)求f(x)的性質(zhì)，此時(shí)有兩種思路：一種是根據(jù)y＝sin x的性質(zhì)求出f(x)的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)；另一種是由x的值或范圍求得t＝ωx＋φ的范圍，然后由y＝sin t 的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).
訓(xùn)練3 (1)(多選)(2024·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點(diǎn)，則(　　)
A.φ＝
B.f(x)＋f′(x)≤2恒成立
C.f(x)在上單調(diào)遞減
D.將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于y軸對稱
(2)(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(3x＋)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
一、單選題
1.(2024·茂名模擬)下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期與其余三個(gè)函數(shù)不同的是(　　)
A.f(x)＝cos2x＋sin xcos x
B.f(x)＝
C.f(x)＝cos＋cos
D.f(x)＝sincos
2.已知函數(shù)f(x)＝cos x－cos 2x，則該函數(shù)為(　　)
A.奇函數(shù)，最大值為2 B.偶函數(shù)，最大值為2
C.奇函數(shù)，最大值為 D.偶函數(shù)，最大值為
3.(2024·杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
4.(2024·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值為，則ω＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(2024·衡水調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝|tan(ωx－ω)|(ω>0)的最小正周期為4，則在下列區(qū)間中f(x)單調(diào)遞增的是(　　)
A. B.
C. D.(3，4)
6.(2024·成都診斷)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間[0，m]上的最小值為－，則m的最大值為(　　)
A. B.
C. D.π
7.(2024·泉州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin
(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是(　　)
A.[2，5] B.[1，14]
C.[9，10] D.[10，11]
二、多選題
8.(2024·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，則(　　)
A.f(x)的最大值為2
B.f(x)在上單調(diào)遞增
C.f(x)在[0，π]上有2個(gè)零點(diǎn)
D.把f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
9.(2024·濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(0<ω<1)的圖象如圖所示，則(　　)
A.f(x)的最小正周期為2π
B.y＝f是奇函數(shù)
C.y＝fcos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱
D.若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則t∈
三、填空題
10.(2024·重慶質(zhì)檢)將函數(shù)f(x)＝sin的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)保持不變)，再向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在x∈[0，π]上的值域?yàn)開_______.
11.(2024·浙江名校聯(lián)模)已知函數(shù)f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在區(qū)間[0，π]上恰有三個(gè)極值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________.
12.(2024·佳木斯調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖，f(x1)＝f(x2)＝－，則cos＝________.
四、解答題
13.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求y＝的最小正周期；
(2)求y＝f(x)f在上的最大值.
14.(2024·宜昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0，0<φ<π)為偶函數(shù)，且f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)－m＝0在上有兩個(gè)不同的根，求m的取值范圍.
【解析版】
1.(2022·浙江卷)為了得到函數(shù)y＝2sin 3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin圖象上所有的點(diǎn)(　　)
A.向左平移個(gè)單位長度
B.向右平移個(gè)單位長度
C.向左平移個(gè)單位長度
D.向右平移個(gè)單位長度
答案　D
解析　因?yàn)閥＝2sin＝2sin，
所以要得到函數(shù)y＝2sin 3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，故選D.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，曲線y＝sin x與y＝2sin的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
答案　C
解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝2sin的最小正周期T＝，
所以函數(shù)y＝2sin在[0，2π]上的圖象恰好是三個(gè)周期的圖象，
所以作出函數(shù)y＝2sin與y＝sin x在[0，2π]上的圖象如圖所示，
由圖可知，這兩個(gè)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，故選C.
3.(多選)(2024·新高考Ⅱ卷)對于函數(shù)f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列說法中正確的有(　　)
A.f(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)
B.f(x)與g(x)有相同的最大值
C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸
答案　BC
解析　對于A，令f(x)＝0，則x＝，k∈Z，
又g≠0，故A錯(cuò)誤；
對于B，f(x)與g(x)的最大值都為1，故B正確；
對于C，f(x)與g(x)的最小正周期都為π，故C正確；
對于D，f(x)圖象的對稱軸方程為2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
g(x)圖象的對稱軸方程為2x－＝＋kπ，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z，
故f(x)與g(x)的圖象的對稱軸不相同，故D錯(cuò)誤.故選BC.
4.(2024·全國甲卷)函數(shù)f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________.
答案　2
解析　由題意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，x－∈，
∴sin∈，
于是f(x)∈[－，2]，
故f(x)在[0，π]上的最大值為2.
5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f(x)的兩個(gè)交點(diǎn)，若|AB|＝，則f(π)＝________.
答案　－
解析　對比正弦函數(shù)y＝sin x的圖象易知，點(diǎn)為“五點(diǎn)法”畫圖中的第五點(diǎn)，
所以ω＋φ＝2π.①
由題知|AB|＝xB－xA＝，
兩式相減，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，
解得ω＝4.
代入①，得φ＝－，
所以f(π)＝sin＝－sin＝－.
【熱點(diǎn)突破】
熱點(diǎn)一　三角函數(shù)圖象的變換
1.沿x軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x＋φ)時(shí)，“左加右減”，即φ>0，左移；φ<0，右移.
沿y軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x)＋k時(shí)，“上加下減”，即k>0，上移；k<0，下移.
2.沿x軸伸縮：若ω>0，A>0，由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(ωx)時(shí)，所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?
沿y軸伸縮：由y＝f(x)變?yōu)閥＝Af(x)時(shí)，所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍.
例1 (2024·延邊模擬)將函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　結(jié)合題意可得f＝sin
＝sin(ω>0)，
因?yàn)榍€C關(guān)于y軸對稱，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝2k＋(k∈Z)，
因?yàn)棣?0，所以當(dāng)k＝0時(shí)，ω有最小值.
易錯(cuò)提醒　在圖象變換中務(wù)必分清是先平移，還是先伸縮，左右平移只是對其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.
訓(xùn)練1 (1)(2024·岳陽質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋acos x的一個(gè)零點(diǎn)是，將函數(shù)y＝f(2x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象的解析式為(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝－2cos 2x D.y＝2cos 2x
(2)(2024·西安模擬)將函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m的值可以是(　　)
A. B.π
C. D.
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)依題意，f＝sin ＋acos ＝＋a＝0，解得a＝－，
所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin.
則f(2x)＝2sin的圖象向左平移個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝2sin＝2sin＝2cos 2x的圖象.故選D.
(2)將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位，
得y＝2sin的圖象，
因?yàn)閥＝2sin的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以2m－＝kπ，k∈Z，
即m＝＋，k∈Z，當(dāng)k＝3時(shí)，得m＝，
使m＝＋＝，m＝＋＝π，
m＝＋＝的整數(shù)k不存在.
熱點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象與解析式
已知圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式時(shí)，常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A，B；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.
例2 (1)(2024·長沙模擬)如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式可以是(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
(2)已知f(x)＝2tan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)，則f的值為(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　(1)C　(2)D
解析　(1)由圖可得，A＝2，T＝－＝π，即T＝π＝，即ω＝±2，
觀察各選項(xiàng)可知，本題考慮ω＝2即可，
則y＝2sin(2x＋φ)，
把點(diǎn)代入y＝2sin(2x＋φ)中，
可得sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以y＝2sin＝2sin.
(2)由f(0)＝，
可得2tan φ＝，tan φ＝，
又|φ|<，所以φ＝.
因?yàn)閒(x)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)，
故ω＋ ＝，k∈Z，
得ω＝3k－1，k∈Z.
因?yàn)門∈，所以<<π，
解得<ω<4，所以ω＝2.
故f(x)的解析式為f(x)＝2tan，
所以f＝2tan＝－，
故選D.
易錯(cuò)提醒　在本例(2)中，根據(jù)正切函數(shù)圖象的對稱中心的有關(guān)結(jié)論，寫出參數(shù)ω滿足的關(guān)系式，注意不要只認(rèn)為ω＋＝kπ，k∈Z，而是ω＋＝，k∈Z.
訓(xùn)練2 (1)(2024·北京石景山模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則f(－π)的值是(　　)
A. B.1
C.－1 D.－
(2)(2024·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的最大值為2，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到g(x)的圖象，若g(x)為偶函數(shù)，則φ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由圖象可知－＝T，
解得T＝π，
因?yàn)棣?0，所以ω＝，解得ω＝2，
將代入解析式化簡得sin＝1，
因?yàn)閨φ|<，則＋φ＝，得φ＝，
故f(x)＝2sin，
所以f(－π)＝2sin＝2sin ＝.
(2)由f(x)的最大值為2，得A＝2，
由f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，
得＝×2，解得ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
∴g(x)＝f＝2sin
＝2sin.
∵g(x)為偶函數(shù)，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋kπ(k∈Z)，
又|φ|<，∴φ＝.
故選C.
熱點(diǎn)三　三角函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的性質(zhì)
(1)單調(diào)性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)對稱性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得對稱中心；
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得對稱軸.
(3)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù).
例3 (1)(多選)(2024·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)的最小正周期為2，則(　　)
A.ω＝π B.曲線y＝f(x)關(guān)于直線x＝對稱
C.f(x)的最大值為2 D.f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
(2)(2024·煙臺(tái)模擬)若函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)ω的取值范圍是________.
答案　(1)AB　(2)≤ω≤
解析　(1)f(x)＝sin＋cos ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
由f(x)的最小正周期為2，故＝2，
即ω＝π，故A正確；
當(dāng)x＝時(shí)，π×＋＝，
由x＝是函數(shù)y＝sin x的對稱軸，
故曲線y＝f(x)關(guān)于直線x＝對稱，故B正確；
又sin∈[－1，1]，
故f(x)∈[－，]，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈時(shí)，πx＋∈，
由不是函數(shù)y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間，
故不是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤.
(2)依題意，函數(shù)f(x)＝2sin－1，
由f(x)＝0，得sin＝，
則ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，
由x∈[0，2π]，得ωx＋∈，
由f(x)在[0，2π]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，
得≤2πω＋<，解得≤ω< ，
由－≤ωx＋≤，
得－≤x≤，
即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，
因此 ，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，
所以正實(shí)數(shù)ω的取值范圍為≤ω≤.
規(guī)律方法　研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)y＝sin x的性質(zhì)求f(x)的性質(zhì)，此時(shí)有兩種思路：一種是根據(jù)y＝sin x的性質(zhì)求出f(x)的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)；另一種是由x的值或范圍求得t＝ωx＋φ的范圍，然后由y＝sin t 的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).
訓(xùn)練3 (1)(多選)(2024·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的圖象在y軸上的截距為，是該函數(shù)的最小正零點(diǎn)，則(　　)
A.φ＝
B.f(x)＋f′(x)≤2恒成立
C.f(x)在上單調(diào)遞減
D.將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于y軸對稱
(2)(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(3x＋)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)AC　(2)C
解析　(1)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的圖象在y軸上的截距為，
所以cos φ＝，因?yàn)?<φ<，所以φ＝.
故A正確；
又因?yàn)槭窃摵瘮?shù)的最小正零點(diǎn)，
所以cos＝0，所以＋＝，
解得ω＝2，所以f(x)＝cos，
f′(x)＝－2sin，
所以f(x)＋f′(x)
＝cos－2sin
＝cos≤，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈?(0，π)，故C正確；
將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，
得到y(tǒng)＝cos＝cos，
是非奇非偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，故D錯(cuò)誤.
(2)由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得－≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.
∵f(x)在上單調(diào)遞增，
∴0∴0由2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得＋≤x≤＋π，k∈Z，
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴≤a<π，
∴≤a<π.
綜上，≤a≤，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
一、單選題
1.(2024·茂名模擬)下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期與其余三個(gè)函數(shù)不同的是(　　)
A.f(x)＝cos2x＋sin xcos x
B.f(x)＝
C.f(x)＝cos＋cos
D.f(x)＝sincos
答案　C
解析　對于A，f(x)＝＋sin 2x＝sin＋，∴T1＝π.
對于B，sin x≠0且cos x≠0，
f(x)＝＝＝tan x，
∴T2＝π.
對于C，f(x)＝cos x－sin x＋cos x＋sin x＝cos x，∴T3＝2π.
對于D，f(x)＝sin
＝sin ，
∴T4＝π.故選C.
2.已知函數(shù)f(x)＝cos x－cos 2x，則該函數(shù)為(　　)
A.奇函數(shù)，最大值為2 B.偶函數(shù)，最大值為2
C.奇函數(shù)，最大值為 D.偶函數(shù)，最大值為
答案　D
解析　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù).
f(x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)
＝－2cos2x＋cos x＋1
＝－2＋，
又cos x∈[－1，1]，故f(x)的最大值為，
故選D.
3.(2024·杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增
答案　D
解析　對于A，函數(shù)f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π，A錯(cuò)誤；
對于B，由f＝sin＝1≠0，
得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，B錯(cuò)誤；
對于C，由f＝sin＝0≠±1，
得函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝對稱，C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，
而正弦函數(shù)y＝sin x在上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D正確.
4.(2024·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值為，則ω＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　因?yàn)閒(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，x1，x2分別為f(x)的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，所以|x1－x2|min＝，
所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.
5.(2024·衡水調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝|tan(ωx－ω)|(ω>0)的最小正周期為4，則在下列區(qū)間中f(x)單調(diào)遞增的是(　　)
A. B.
C. D.(3，4)
答案　C
解析　作出函數(shù)y＝|tan u|的圖象如圖所示.
由圖可知，函數(shù)y＝|tan u|的最小正周期為π，
且其單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
對于函數(shù)f(x)，其最小正周期T＝＝4，
可得ω＝，
則f(x)＝.
由kπ解得4k＋1所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4k＋1，4k＋3)(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上不單調(diào)，在上單調(diào)遞增，在(3，4)上單調(diào)遞減.
6.(2024·成都診斷)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間[0，m]上的最小值為－，則m的最大值為(　　)
A. B.
C. D.π
答案　C
解析　令2x－＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
故f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一條對稱軸為x＝，
而f(0)＝－，
而f(x)在[0，m]上的最小值為－，
故m的最大值為2×－0＝，故選C.
7.(2024·泉州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin
(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是(　　)
A.[2，5] B.[1，14]
C.[9，10] D.[10，11]
答案　D
解析　當(dāng)x∈時(shí)，
ωx＋∈，
∵f(x)在上單調(diào)遞增，
∴(k∈Z)，
解得(k∈Z)，
又ω>0，∴
解得又k∈Z，∴k＝1，∴10≤ω≤11，
即ω的取值范圍為[10，11].
二、多選題
8.(2024·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，則(　　)
A.f(x)的最大值為2
B.f(x)在上單調(diào)遞增
C.f(x)在[0，π]上有2個(gè)零點(diǎn)
D.把f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
答案　AC
解析　函數(shù)f(x)＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝2sin，x∈R.
故f(x)最大值為2，A正確；
x∈時(shí)，≤2x＋≤，f(x)不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
x∈[0，π]時(shí)，≤2x＋≤，
可知當(dāng)2x＋＝π以及2x＋＝2π時(shí)，
即x＝以及x＝時(shí)，f(x)＝0在[0，π]上有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度，
得到g(x)＝2sin＝2cos 2x，
不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D錯(cuò)誤.
9.(2024·濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1(0<ω<1)的圖象如圖所示，則(　　)
A.f(x)的最小正周期為2π
B.y＝f是奇函數(shù)
C.y＝fcos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱
D.若y＝f(tx)(t>0)在[0，π]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則t∈
答案　ACD
解析　依題意，f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin，
由f＝2，
得2ω·＋＝2kπ＋，k∈Z，
解得ω＝3k＋，k∈Z，
而0<ω<1，解得ω＝，f(x)＝2sin，
f(x)的最小正周期為2π，A正確；
y＝f＝2sin
＝2cos 2x是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；
y＝fcos x＝2sincos x，
令g(x)＝2sincos x，
則g＝2sincos
＝2cos xcos
＝2sincos x＝g(x)，
y＝fcos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱，C正確；
f(tx)＝2sin，t>0，
當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，tx＋∈，
依題意，2π≤tπ＋<3π，
解得t∈，D正確.
三、填空題
10.(2024·重慶質(zhì)檢)將函數(shù)f(x)＝sin的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)保持不變)，再向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在x∈[0，π]上的值域?yàn)開_______.
答案　
解析　將函數(shù)f(x)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)保持不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象，
再向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，
則g(x)＝sin＝sin.
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin∈，
故函數(shù)g(x)在x∈[0，π]上的值域?yàn)?
11.(2024·浙江名校聯(lián)模)已知函數(shù)f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在區(qū)間[0，π]上恰有三個(gè)極值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________.
答案　
解析　f(x)＝cos ωx－sin ωx
＝2
＝2
＝2sin，
∵0≤x≤π，
∴≤ωx＋≤ωπ＋.
設(shè)t＝ωx＋，≤t≤ωπ＋，
∵y＝2sin t，≤t≤ωπ＋有三個(gè)極值點(diǎn)和三個(gè)零點(diǎn)，
∴由y＝sin x的性質(zhì)可得≤ωπ＋<4π，
∴≤ω<.
12.(2024·佳木斯調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖，f(x1)＝f(x2)＝－，則cos＝________.
答案　
解析　由題意可知，f(0)＝2sin φ＝1，即sin φ＝.
因?yàn)?<φ<，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
又由f＝2sin＝0，
即＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
可得ω＝＋(k∈Z)，
設(shè)該函數(shù)的最小正周期為T，
由題圖可知>，
即>5，解得0<ω<，
所以令k＝0，得ω＝，
即f(x)＝2sin，
令x＋＝mπ＋(m∈Z)，
得x＝1＋3m(m∈Z)，
由題圖知x1＋x2＝－4，得x2＝－4－x1，
且f(x1)＝2sin＝－，
則cos＝cos
＝cos
＝cos＝－sin
＝－×＝.
四、解答題
13.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求y＝的最小正周期；
(2)求y＝f(x)f在上的最大值.
解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函數(shù)y＝的最小正周期T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，
所以y＝f(x)f＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)
＝
＝sin＋，
當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，
所以當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，
函數(shù)y＝f(x)f在上取得最大值，且ymax＝1＋.
14.(2024·宜昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0，0<φ<π)為偶函數(shù)，且f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)求f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)－m＝0在上有兩個(gè)不同的根，求m的取值范圍.
解　(1)∵函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋
2sin2－1＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2sin為偶函數(shù)，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，可得φ＝，
∴f(x)＝2sin＝2cos ωx.
∵f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x.
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得y＝2cos的圖象，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)＝2cos的圖象.
若g(x)－m＝0在上有兩個(gè)不同的根，則方程cos＝在上有兩個(gè)不同的根，即函數(shù)y＝cos的圖象與直線y＝在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
∵4x－∈，
cos＝cos＝，cos 0＝1，
∴≤<1，∴1≤m<2.
故m的取值范圍為[1，2).(共68張PPT)
板塊二 三角函數(shù)與平面向量
微專題12　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
高考定位
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：1.三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式，常以選擇題、填空題的形式考查； 2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以客觀題或作為解答題其中一問考查.
【 真題體驗(yàn) 】
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精準(zhǔn)強(qiáng)化練
熱點(diǎn)一　三角函數(shù)圖象的變換
熱點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象與解析式
熱點(diǎn)三　三角函數(shù)的性質(zhì)
熱點(diǎn)突破
熱點(diǎn)一　三角函數(shù)圖象的變換
例1
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在圖象變換中務(wù)必分清是先平移，還是先伸縮，左右平移只是對其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向.
易錯(cuò)提醒
訓(xùn)練1
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熱點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象與解析式
已知圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式時(shí)，常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A，B；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.
例2
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易錯(cuò)提醒
訓(xùn)練2
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熱點(diǎn)三　三角函數(shù)的性質(zhì)
例3
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研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)y＝sin x的性質(zhì)求f(x)的性質(zhì)，此時(shí)有兩種思路：一種是根據(jù)y＝sin x的性質(zhì)求出f(x)的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)；另一種是由x的值或范圍求得t＝ωx＋φ的范圍，然后由y＝sin t 的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).
規(guī)律方法
訓(xùn)練3
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【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
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