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微專題11 三角恒等變換
高考定位　1.三角函數的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數的基本關系、誘導公式是解決計算問題的工具； 2.三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心； 3.以選擇、填空題的形式出現或隱含于解答題中，難度一般為中檔偏下.
【真題體驗】
1.(2021·全國乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角，cos α＝，則sin ＝(　　)
A. B.
C. D.
3.(2024·全國甲卷)已知＝，則tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角，β為第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，則sin(α＋β)＝________.
【熱點突破】
熱點一　化簡問題
例1 (1)(2024·宜昌聯考)＝(　　)
A. B.
C. D.2
(2)(2024·西安模擬)等于(　　)
A. B.
C. D.1
規律方法　三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的共同點.
訓練1 (1)化簡：＝________；
(2)(tan 10°－)·＝________.
熱點二　求值問題
求三角函數值的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求式子之間的聯系，從函數名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.
例2 (1)(2024·衡陽模擬)已知cos＝，則sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
(2)(2024·河南部分學校聯考)若銳角α，β滿足sin(α－β)＝，cos＝，則cos＝________.
規律方法　1.注意觀察條件與所求之間關系：如函數名的差異，角之間的關系.
2.注意根據角的范圍確定三角函數值的范圍.
訓練2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，則cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
(2)(2024·南通模擬)若cos α，cos，cos成等比數列，則sin 2α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
熱點三　求角問題
給值求角問題的解題策略
(1)求相關角的某一個三角函數值.
(2)由求得的三角函數值求角，如果根據求得的函數值無法唯一確定角的大小，應根據已知角的范圍和已知角的三角函數值把所求角的大小作相對精確的估計，以排除多余的解.
例3 (1)(2024·九江模擬)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，則α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知α∈，且4cos α－tan ＝，則α＝________.
易錯提醒　求角問題要注意角的范圍，要根據已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產生增解.
訓練3 (1)(2024·長春摸底)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，則下列結論正確的是(　　)
A.2α＋β＝ B.2α－β＝
C.α＋β＝ D.α－β＝
(2)(2024·重慶調研)若<β<π<α<，且cos(α＋β)＝－，sin 2β＝，則α－β＝________.
【精準強化練】
一、單選題
1.已知角α的頂點為原點O，始邊與x軸非負半軸重合，終邊過點(1＋tan 15°，1－tan 15°)，則tan α的值為(　　)
A. B.－
C.－ D.
2.(2024·煙臺模擬)若cos＝，則sin 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
3.(2024·葫蘆島質檢)已知α∈，sin 2α＝cos，則cos 2α＝(　　)
A.0 B.
C. D.－
4.(2024·寧波調研)已知cos＋cos＝，則cos＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
5.(2024·畢節模擬)若θ∈，且tan θ＝－，則cos ＝(　　)
A. B.
C.± D.±
6.sin 20°(＋tan 50°)＝(　　)
A. B.2
C. D.1
7.計算：·＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
8.若cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則角β的值為(　　)
A. B.
C. D.
二、多選題
9.(2024·海南調研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，則(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
10.(2024·廣東名校調研)若α為第一象限角，cos＝，則(　　)
A.sin＝－ B.cos＝－
C.sin＝－ D.tan＝－2
11.(2024·南京、鹽城模擬)已知f(θ)＝cos 4θ＋cos 3θ，且θ1，θ2，θ3是f(θ)在(0，π)內的三個不同零點，則(　　)
A.∈{θ1，θ2，θ3} B.θ1＋θ2＋θ3＝π
C.cos θ1cos θ2cos θ3＝－ D.cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＝
三、填空題
12.＝________.
13.(2024·池州模擬)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，則tan＝________.
14.(2024·昆明診斷)已知α，β∈(0，π)，且tan α ＝，cos β＝－，則α＋β＝________.
【解析版】
1.(2021·全國乙卷)cos2－cos2＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因為cos＝sin＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.故選D.
2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角，cos α＝，則sin ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由題意，cos α＝＝1－2sin2，
得sin2＝＝＝，
又α為銳角，所以sin>0，
所以sin＝，故選D.
3.(2024·全國甲卷)已知＝，則tan＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
答案　B
解析　根據題意有＝，
即1－tan α＝，
所以tan α＝1－，所以tan＝＝＝2－1，故選B.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角，β為第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，則sin(α＋β)＝________.
答案　－
解析　由題知tan(α＋β)＝＝＝－2，
即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，
又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
可得sin(α＋β)＝±.
由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，
得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，
k＋m∈Z.
又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，
故sin(α＋β)＝－.
【熱點突破】
熱點一　化簡問題
例1 (1)(2024·宜昌聯考)＝(　　)
A. B.
C. D.2
(2)(2024·西安模擬)等于(　　)
A. B.
C. D.1
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)＝＝＝.
(2)＝
＝
＝＝cos 30°＝.
規律方法　三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的共同點.
訓練1 (1)化簡：＝________；
(2)(tan 10°－)·＝________.
答案　(1)4sin α　(2)－2
解析　(1)＝
＝＝4sin α.
(2)原式＝·＝＝－2.
熱點二　求值問題
求三角函數值的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求式子之間的聯系，從函數名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.
例2 (1)(2024·衡陽模擬)已知cos＝，則sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
(2)(2024·河南部分學校聯考)若銳角α，β滿足sin(α－β)＝，cos＝，則cos＝________.
答案　(1)D　(2)
解析　(1)sin＝sin
＝－cos 2＝1－2cos2
＝1－2×＝.
(2)因為0<α<，0<β<，
則－<α－β<，<α＋<，
由sin(α－β)>0，cos>0
可得0<α－β<，<α＋<，
所以cos(α－β)＝＝，
sin＝＝，
所以cos＝cos＝coscos(α－β)＋sinsin(α－β)＝×＋×＝.
規律方法　1.注意觀察條件與所求之間關系：如函數名的差異，角之間的關系.
2.注意根據角的范圍確定三角函數值的范圍.
訓練2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，則cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
(2)(2024·南通模擬)若cos α，cos，cos成等比數列，則sin 2α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)由cos(α＋β)＝m得
cos αcos β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2得＝2，②
由①②得
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故選A.
(2)由cos α，cos，cos成等比數列，
得cos2＝cos αcos，
即＝cos α
＝·－sin 2α，
所以＋cos 2α＋sin 2α＝＋cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＝－.
熱點三　求角問題
給值求角問題的解題策略
(1)求相關角的某一個三角函數值.
(2)由求得的三角函數值求角，如果根據求得的函數值無法唯一確定角的大小，應根據已知角的范圍和已知角的三角函數值把所求角的大小作相對精確的估計，以排除多余的解.
例3 (1)(2024·九江模擬)已知α，β∈，cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，則α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知α∈，且4cos α－tan ＝，則α＝________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)因為cos(α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
(2)4cos α－tan＝4cos α－
＝4cos α－＝
＝＝，
所以2sin 2α＝sin α＋cos α＝2sin.
因為α∈，
所以2α∈，α＋∈，
則2α＝α＋或2α＋α＋＝π，
得α＝(舍去)或α＝.
易錯提醒　求角問題要注意角的范圍，要根據已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產生增解.
訓練3 (1)(2024·長春摸底)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，則下列結論正確的是(　　)
A.2α＋β＝ B.2α－β＝
C.α＋β＝ D.α－β＝
(2)(2024·重慶調研)若<β<π<α<，且cos(α＋β)＝－，sin 2β＝，則α－β＝________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)因為α，β∈，所以sin α≠0.
由(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，
可得2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，
即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.
所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以cos(α＋β)＝cos，
因為α，β∈，所以π<α＋β<2π，
且－<－α<0，
根據函數y＝cos x的圖象易知α＋β＝－α＋2π，
則2α＋β＝.
(2)因為<β<π，所以<2β<2π.
sin 2β＝>0，所以<2β<π，
所以<β<，
所以－<－β<－.
因為π<α<，
所以<α－β<，<α＋β<2π.
因為<2β<π，sin 2β＝，
所以cos 2β＝－.
因為cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝－.
所以sin(α－β)＝sin[(α＋β)－2β]
＝sin(α＋β)cos 2β－cos(α＋β)sin 2β
＝－×－×＝，
所以α－β＝.
【精準強化練】
一、單選題
1.已知角α的頂點為原點O，始邊與x軸非負半軸重合，終邊過點(1＋tan 15°，1－tan 15°)，則tan α的值為(　　)
A. B.－
C.－ D.
答案　D
解析　tan α＝＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
2.(2024·煙臺模擬)若cos＝，則sin 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　C
解析　由cos＝可得
cos＝2cos2－1＝－，
故cos＝sin 2α＝－，故選C.
3.(2024·葫蘆島質檢)已知α∈，sin 2α＝cos，則cos 2α＝(　　)
A.0 B.
C. D.－
答案　A
解析　因為α∈，所以2α∈(0，π)，
所以sin 2α>0.
由sin 2α＝cos化簡得sin 2α＝sin α＋cos α，
兩邊同時平方得2sin22α＝1＋sin 2α，
即2sin22α－sin 2α－1＝0，
解得sin 2α＝1(負根舍去)，
又sin22α＋cos22α＝1，所以cos 2α＝0.
故選A.
4.(2024·寧波調研)已知cos＋cos＝，則cos＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　C
解析　因為cos＋cos＝，
所以cos－sin＝.
兩邊平方得1－sin＝，
則sin＝，
故cos＝cos＝－sin＝－.故選C.
5.(2024·畢節模擬)若θ∈，且tan θ＝－，則cos ＝(　　)
A. B.
C.± D.±
答案　B
解析　因為θ∈，且tan θ＝－，
所以θ∈，
又
解得cos θ＝或cos θ＝－(舍去)，
又cos θ＝2cos2－1＝，
解得cos ＝或cos ＝－，
又θ∈，所以∈，
所以cos >0，
所以cos ＝.
6.sin 20°(＋tan 50°)＝(　　)
A. B.2
C. D.1
答案　D
解析　原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
7.計算：·＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　C
解析　因為
＝
＝
＝
＝＝，
所以原式＝.
8.若cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則角β的值為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.
由得
若cos(α＋β)＝，
則sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×<0，
與sin β>0矛盾，故舍去；
若cos(α＋β)＝－，
則cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
二、多選題
9.(2024·海南調研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，則(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
答案　AC
解析　cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝，
因為α∈，
所以sin α＝，cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－.
故選AC.
10.(2024·廣東名校調研)若α為第一象限角，cos＝，則(　　)
A.sin＝－ B.cos＝－
C.sin＝－ D.tan＝－2
答案　BD
解析　由題意得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
則2kπ－<α－<＋2kπ，k∈Z.
若角α－是第四象限角，
則cos>cos ＝>，
所以α－是第一象限角，
且sin＝.
對于A，sin＝sin
＝cos＝cos＝，故A錯誤；
對于B，cos＝cos
＝－cos＝－，故B正確；
對于C，sin＝sin
＝－cos＝－cos＝－，
故C錯誤；
對于D，tan＝－tan
＝－＝－2，故D正確.
11.(2024·南京、鹽城模擬)已知f(θ)＝cos 4θ＋cos 3θ，且θ1，θ2，θ3是f(θ)在(0，π)內的三個不同零點，則(　　)
A.∈{θ1，θ2，θ3} B.θ1＋θ2＋θ3＝π
C.cos θ1cos θ2cos θ3＝－ D.cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＝
答案　ACD
解析　對于A，B，由f(θ)＝0得cos 4θ＝－cos 3θ＝cos(π－3θ)，
∴4θ＝2kπ±(π－3θ)，k∈Z，
得θ＝π，k∈Z或θ＝2kπ－π，k∈Z.
∵θ∈(0，π)，∴θ＝或或，
故A正確，B錯誤.
cos θ1cos θ2cos θ3＝cos cos cos
＝cos cos cos
＝
＝＝
＝＝－，故C正確.
cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＝cos ＋cos ＋cos
＝
＝
＝＝，故D正確.
三、填空題
12.＝________.
答案　－
解析　法一　
＝
＝
＝
＝－.
法二　＝
＝＝－.
13.(2024·池州模擬)已知sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，則tan＝________.
答案　－
解析　因為sin β＋cos β＝，β∈(0，π)，
故sin2β＋cos2β＋2sin βcos β＝，
故2sin βcos β＝－<0，
而β∈(0，π)，故β∈，
故sin β>0，cos β<0，
而(sin β－cos β)2＝，
故sin β－cos β＝，
所以sin β＝，cos β＝－，
故tan β＝－，
故tan ＝＝－.
14.(2024·昆明診斷)已知α，β∈(0，π)，且tan α ＝，cos β＝－，則α＋β＝________.
答案　
解析　因為α，β∈(0，π)，且tan α＝，
cos β＝－，
所以α為銳角，β為鈍角，
故sin β>0，sin β＝＝，
tan β＝＝－3.
由α∈，β∈，得α＋β∈.
又tan(α＋β)＝＝＝－1，
所以α＋β＝.(共54張PPT)
板塊二 三角函數與平面向量
微專題11 三角恒等變換
高考定位
1.三角函數的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數的基本關系、誘導公式是解決計算問題的工具； 2.三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心； 3.以選擇、填空題的形式出現或隱含于解答題中，難度一般為中檔偏下.
【 真題體驗 】
√
√
√
精準強化練
熱點一　化簡問題
熱點二　求值問題
熱點三　求角問題
熱點突破
熱點一　化簡問題
例1
√
√
三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的共同點.
規律方法
訓練1
4sin α
－2
熱點二　求值問題
求三角函數值的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求式子之間的聯系，從函數名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.
例2
√
1.注意觀察條件與所求之間關系：如函數名的差異，角之間的關系.
2.注意根據角的范圍確定三角函數值的范圍.
規律方法
訓練2
√
√
熱點三　求角問題
給值求角問題的解題策略
(1)求相關角的某一個三角函數值.
(2)由求得的三角函數值求角，如果根據求得的函數值無法唯一確定角的大小，應根據已知角的范圍和已知角的三角函數值把所求角的大小作相對精確的估計，以排除多余的解.
例3
√
求角問題要注意角的范圍，要根據已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產生增解.
易錯提醒
訓練3
√
【精準強化練】
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