資源簡(jiǎn)介

　奔馳定理與三角形四心
【知識(shí)拓展】
1.奔馳定理
如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S1·＋S2·＋S3·＝0(其中S1，S2，S3分別為△PBC，△PAC，△PAB的面積).
2.三角形四心的向量表示及結(jié)論(利用奔馳定理自行完成證明)
【類型突破】
類型一　利用奔馳定理解決與三角形面積比有關(guān)的問(wèn)題
例1 (1)已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足＋2＋m＝0，且＝，則實(shí)數(shù)m＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)已知點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)，＝，＝，＝，則S△ABC∶S△PBC＝(　　)
A.14∶3 B.19∶4
C.24∶5 D.29∶6
訓(xùn)練1 設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為________.
類型二　奔馳定理和三角形的四心(四心在三角形內(nèi)部)
考向1　奔馳定理與重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且56a＋40b＋35c＝0，則角B＝________.
考向2　奔馳定理與外心
例3 已知點(diǎn)P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝，則λ＝________.
考向3　奔馳定理與內(nèi)心
例4 (2024·開封調(diào)研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O為△ABC的內(nèi)心，若＝λ＋μ，則3λ＋6μ的值為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
考向4　奔馳定理與垂心
例5 (2024·重慶質(zhì)檢)已知H是△ABC的垂心，若＋2＋3＝0，則角A＝________.
易錯(cuò)提醒　涉及三角形的四心問(wèn)題時(shí)，內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點(diǎn)都在三角形內(nèi)部，解題時(shí)，要注意觀察題目有無(wú)這一條件.
訓(xùn)練2 (1)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，且2＋3＋＝0，則角C＝________.
(2)設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部且為△ABC的外心，∠BAC＝，如圖.若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為，x，y，則x＋y的最大值是________.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
一、單選題
1.點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)＝λ＋μ，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為(　　)
A.， B.，
C.， D.，
2.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足＋2＋3＝0，則S△ABC∶S△APC＝(　　)
A.2∶1 B.3∶2
C.3∶1 D.5∶3
3.已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，則△OBC的面積為(　　)
A. B.
C. D.
4.△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·＋b·＋c·＝0，則O為△ABC的(　　)
A.外心 B.內(nèi)心
C.重心 D.垂心
5.如圖，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，則tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB等于(　　)
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
二、多選題
6.如圖，設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且＝＋，＝＋，則(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
7.已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為S△BOC，S△AOC，S△AOB，則S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有(　　)
A.若2＋3＋4＝0，則S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝4∶3∶2
B.若||＝||＝2，∠AOB＝，且2＋3＋4＝0，則S△ABC＝
C.若·＝·＝·，則O為△ABC的垂心
D.若O為△ABC的內(nèi)心，且5＋12＋13＝0，則∠ACB＝
三、填空題
8.△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為2，且S△ABC＝14，2＋2＋3＝0，則△ABC的外接圓面積為________.
9.(2024·麗水調(diào)研)若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3＋4＋5＝0.則△ABC的面積為________.
10.已知點(diǎn)P，Q在△ABC內(nèi)，若＋2＋3＝2＋3＋5＝0，則＝________.
【解析版】
1.奔馳定理
如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S1·＋S2·＋S3·＝0(其中S1，S2，S3分別為△PBC，△PAC，△PAB的面積).
證明：設(shè)∠APB＝α，∠APC＝β，||＝x，
||＝y(tǒng)，||＝z.
根據(jù)三角形正弦定理面積公式得
S1＋S2＋S3＝y(tǒng)zsin[2π－(α＋β)]·＋xzsin β＋xysin α
＝－yzsin(α＋β)＋xzsin β＋xysin α，①
把①式兩邊與向量作數(shù)量積得
(S1＋S2＋S3)·
＝－x2yzsin(α＋β)＋x2yzsin βcos α＋x2yzsin αcos β
＝x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0.
同理：①式兩邊與向量，作數(shù)量積都得0.
但是S1＋S2＋S3不可能同時(shí)與，，三個(gè)向量垂直，而，，也不可能都為0，所以S1＋S2＋S3＝0.
該例對(duì)應(yīng)的圖形特別像奔馳汽車的標(biāo)志，所以我們把上述結(jié)論稱為奔馳定理，該定理對(duì)于推導(dǎo)出三角形的四心的向量結(jié)論有直接的作用.
2.三角形四心的向量表示及結(jié)論(利用奔馳定理自行完成證明)
(1)點(diǎn)O是△P1P2P3的重心 ＋＋＝0 S△P2OP3＝S△P1OP3＝S△P1OP2＝S△P1P2P3；
(2)點(diǎn)O是△P1P2P3的垂心 ·＝·＝· tan P1·＋tan P2·＋tan P3·＝0 S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)；
(3)點(diǎn)O是△P1P2P3的內(nèi)心 a＋b＋＝0 S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三邊，分別對(duì)應(yīng)角P1，P2，P3)；
(4)點(diǎn)O是△P1P2P3的外心 ||＝||＝|| sin 2P1＋sin 2P2＋sin 2P3＝0 S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3.
【類型突破】
類型一　利用奔馳定理解決與三角形面積比有關(guān)的問(wèn)題
例1 (1)已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足＋2＋m＝0，且＝，則實(shí)數(shù)m＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)已知點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)，＝，＝，＝，則S△ABC∶S△PBC＝(　　)
A.14∶3 B.19∶4
C.24∶5 D.29∶6
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)法一　延長(zhǎng)CO到點(diǎn)M(圖略)，
使得＝－，
因?yàn)椋?＋m＝0，
所以－＝＋，
即＝＋，
所以A，B，M三點(diǎn)共線，
又因?yàn)榕c反向共線，
所以＝，
所以＝＝＝，
解得m＝4.
法二(奔馳定理法)　由奔馳定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，
又＋2＋m＝0，
所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
所以＝＝，解得m＝4.
(2)法一　∵＝，
∴以PQ為底的△PQR與△PQB的高之比為1∶3，
∴S△PQB＝3S△PQR，即S△PRB＝2S△PQR，
∵以BR為底的△PBR與△BCR的高之比為1∶3，
∴S△BCR＝3S△PBR＝6S△PQR，
∴S△PBC＝2S△PBR＝4S△PQR，
同理可得S△ACP＝S△ABQ＝6S△PQR，
∴＝＝＝.
法二(奔馳定理法)　由＝，
得－＝(－)，
整理得＝＋＝＋，
由＝，得＝(－)，
整理得＝－，
∴－＝＋，
整理得4＋6＋9＝0，
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
規(guī)律方法　已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且x＋y＋z＝0(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)，則有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|；
(2)＝，＝，
＝.
訓(xùn)練1 設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為________.
答案　4
解析　法一　∵D為AB的中點(diǎn)，
則＝(＋)，
又＋＋2＝0，
∴＝－，∴O為CD的中點(diǎn).
又∵D為AB的中點(diǎn)，
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，則＝4.
法二(奔馳定理法)　∵＋＋2＝0，
根據(jù)奔馳定理，∴＝＝4.
類型二　奔馳定理和三角形的四心(四心在三角形內(nèi)部)
考向1　奔馳定理與重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且56a＋40b＋35c＝0，則角B＝________.
答案　
解析　依題意，可得56a∶40b∶35c＝1∶1∶1，
所以b＝a，c＝a，
所以cos B＝＝，
因?yàn)?考向2　奔馳定理與外心
例3 已知點(diǎn)P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝，則λ＝________.
答案　－1
解析　依題意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B.
又C＝，∴A＝B＝，
又＝，∴λ＝＝＝－1.
考向3　奔馳定理與內(nèi)心
例4 (2024·開封調(diào)研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O為△ABC的內(nèi)心，若＝λ＋μ，則3λ＋6μ的值為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　＝λ＋μ可化為＋λ－λ＋μ－μ＝0，
整理得(1－λ)＋(λ－μ)＋μ＝0，
所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
解得λ＝，μ＝，
所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
考向4　奔馳定理與垂心
例5 (2024·重慶質(zhì)檢)已知H是△ABC的垂心，若＋2＋3＝0，則角A＝________.
答案　
解析　依題意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，
代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
可得6tan A＝6tan3A，
因?yàn)閠an A≠0，所以tan A＝±1.
又因?yàn)?所以tan A＝1，所以A＝.
易錯(cuò)提醒　涉及三角形的四心問(wèn)題時(shí)，內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點(diǎn)都在三角形內(nèi)部，解題時(shí)，要注意觀察題目有無(wú)這一條件.
訓(xùn)練2 (1)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，且2＋3＋＝0，則角C＝________.
(2)設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部且為△ABC的外心，∠BAC＝，如圖.若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為，x，y，則x＋y的最大值是________.
答案　(1)　(2)
解析　(1)由2＋3＋＝0，
可得a∶b∶c＝2∶3∶，
令a＝2k，b＝3k，c＝k，
則cos C＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)法一　據(jù)奔馳定理得，＋x＋y＝0，
即＝2x＋2y，
平方得2＝4x22＋4y22＋8xy||·||·cos∠BPC，
又∵點(diǎn)P是△ABC的外心，
∴||＝||＝||，
且∠BPC＝2∠BAC＝，
∴x2＋y2＋xy＝，
從而(x＋y)2＝＋xy≤＋，
解得0當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，
∴(x＋y)max＝.
法二　S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝∶x∶y，
又∠BAC＝，∴sin 2A＝，
∵x＝sin 2B，y＝sin 2C，
∴x＋y＝(sin 2B＋sin 2C)＝
＝sin，
又∵B∈，∴2B－∈，
∴sin∈，
∴x＋y∈，∴(x＋y)max＝.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
一、單選題
1.點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)＝λ＋μ，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　A
解析　根據(jù)奔馳定理，得3＋2＋4＝0，
即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，
整理得＝＋，所以λ＝，μ＝.
2.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足＋2＋3＝0，則S△ABC∶S△APC＝(　　)
A.2∶1 B.3∶2
C.3∶1 D.5∶3
答案　C
解析　根據(jù)奔馳定理得，
S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
所以S△ABC∶S△APC＝(1＋2＋3)∶2＝3∶1.
3.已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，則△OBC的面積為(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵＋＋＝0，
∴O是△ABC的重心，
∴S△OBC＝S△ABC，
∵·＝2，
∴||||cos∠BAC＝2，
∵∠BAC＝60°，∴||||＝4，
又S△ABC＝||||sin∠BAC＝，
∴△OBC的面積為.
4.△ABC內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·＋b·＋c·＝0，則O為△ABC的(　　)
A.外心 B.內(nèi)心
C.重心 D.垂心
答案　B
解析　記點(diǎn)O到AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3，
S△OAB＝c·h1，
因?yàn)镾△OBC·＋SOAC·＋S△OAB·＝0，
則a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，
即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0，
又因?yàn)閍·＋b·＋c·＝0，所以h1＝h2＝h3，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.
5.如圖，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，則tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB等于(　　)
A.1∶2∶3 B.1∶2∶4
C.2∶3∶4 D.2∶3∶6
答案　A
解析　O是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，
則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
因此，＝＝＝＝，
同理＝，
于是得tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB，
又＋2＋3＝0，
由“奔馳定理”有S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，
即S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝1∶2∶3，
所以tan ∠BAC∶tan ∠ABC∶tan ∠ACB
＝1∶2∶3.
二、多選題
6.如圖，設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且＝＋，＝＋，則(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案　AC
解析　由＝＋，
可得＋－＋－＝0，
整理得＋＋＝0，
所以2＋2＋＝0，＝＝.
由＝＋，
可得＋－＋－＝0，
整理得＋8＋3＝0，
所以＝＝，＝.
7.已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為S△BOC，S△AOC，S△AOB，則S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有(　　)
A.若2＋3＋4＝0，則S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝4∶3∶2
B.若||＝||＝2，∠AOB＝，且2＋3＋4＝0，則S△ABC＝
C.若·＝·＝·，則O為△ABC的垂心
D.若O為△ABC的內(nèi)心，且5＋12＋13＝0，則∠ACB＝
答案　BCD
解析　對(duì)于A，2＋3＋4＝0，
則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，S△AOB＝×2×2×sin ＝，
又2＋3＋4＝0，
故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，
所以S△ABC＝S△AOB＝，故B正確；
對(duì)于C，·＝·，
即(－)·＝·＝0，
故⊥，
同理可得⊥，⊥，
所以O(shè)為△ABC的垂心，故C正確；
對(duì)于D，5＋12＋13＝0，
故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，S△BOC＝r·BC
S△AOC＝r·AC，S△AOB＝r·AB，
即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13，
即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝，故D正確.
三、填空題
8.△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為2，且S△ABC＝14，2＋2＋3＝0，則△ABC的外接圓面積為________.
答案　
解析　∵2＋2＋3＝0，且O為內(nèi)心，
∴a∶b∶c＝2∶2∶3，
令a＝2k，則b＝2k，c＝3k，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，
又S△ABC＝(a＋b＋c)·r ×7k×2＝14 k＝2，
∴a＝4，b＝4，c＝6，
∴cos C＝－，sin C＝，
又2R＝＝ R＝＝，
∴外接圓面積S＝πR2＝.
9.(2024·麗水調(diào)研)若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3＋4＋5＝0.則△ABC的面積為________.
答案　
解析　∵3＋4＝－5，
且||＝||＝||＝1，
∴9||2＋16||2＋24·＝25||2，
∴·＝0，
∴OA⊥OB，
∴S△AOB＝×1×1＝，
由奔馳定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△ AOB＝3∶4∶5，
∴S△AOB＝·S△ABC，
∴S△ ABC＝S△AOB＝.
10.已知點(diǎn)P，Q在△ABC內(nèi)，若＋2＋3＝2＋3＋5＝0，則＝________.
答案　
解析　根據(jù)奔馳定理得
S△PBC∶S△PAC∶S△ PAB＝1∶2∶3，
S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，
∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，
∴PQ∥AB，
又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，
∴＝＝－＝.(共37張PPT)
板塊二 三角函數(shù)與平面向量
提優(yōu)點(diǎn)6　奔馳定理與三角形四心
知識(shí)拓展
精準(zhǔn)強(qiáng)化練
類型一　利用奔馳定理解決與三角形面積比有關(guān)的問(wèn)題
類型二　奔馳定理和三角形的四心(四心在三角形內(nèi)部)
題型突破
例1
√
類型一　利用奔馳定理解決與三角形面積比有關(guān)的問(wèn)題
√
規(guī)律方法
訓(xùn)練1
4
例2
考向1　奔馳定理與重心
類型二　奔馳定理和三角形的四心(四心在三角形內(nèi)部)
例3
－1
考向2　奔馳定理與外心
例4
√
考向3　奔馳定理與內(nèi)心
例5
依題意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3，
代入tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
可得6tan A＝6tan3A，
因?yàn)閠an A≠0，所以tan A＝±1.
又因?yàn)?考向4　奔馳定理與垂心
易錯(cuò)提醒
涉及三角形的四心問(wèn)題時(shí)，內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點(diǎn)都在三角形內(nèi)部，解題時(shí)，要注意觀察題目有無(wú)這一條件.
訓(xùn)練2
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
√
√
√
√
√
O是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，
AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，
則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
√
√
√
√
√

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