資源簡介

　極化恒等式與等和線
【知識拓展】
1.極化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
(1)幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.
(2)在平行四邊形PMQN中，O是對角線交點，則：
①·＝(||2－||2)(平行四邊形模式)；
②·＝||2－||2(三角形模式).
2.平面向量共線定理
已知平面內一組基向量，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，則A，B，P三點共線；反之亦然.
3.平面向量等和線定理
平面內一組基底，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若點P在直線AB上或在平行于AB的直線上，且k＝＝＝，則λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為平面向量基本定理系數的等和線.
(1)當等和線恰為直線AB時，k＝1，
(2)當等和線在O點和直線AB之間時，k∈(0，1)；
(3)當直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；
(4)當等和線過O點時，k＝0.
【類型突破】
類型一　利用極化恒等式求向量的數量積
例1 (1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點.·＝4，·＝－1，則·的值為________.
(2)如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D為AC的中點，在平面ABC中，將線段AC繞點D旋轉得到線段EF.設M為線段AB上的點，則·的最小值為________.
訓練1 (1)已知正三角形ABC的邊長為2，動點P滿足|PC|＝1，則·的最小值為(　　)
A.4－2 B.3－2
C.3－2 D.4－2
(2)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則·＝________.
類型二　利用等和線求基底系數和的值
例2 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________.
訓練2 在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　)
A. B.
C. D.1
【精準強化練】
一、單選題
1.設向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如圖，在四邊形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，則·＝(　　)
A.64 B.42
C.36 D.28
3.在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，點E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，則λ＋μ＝(　　)
A.1 B.
C. D.
4.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則·＝(　　)
A.－ 　　 B.－
C.－ 　　 D.－
5.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則·的最大值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、多選題
6.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，則·的值可能是(　　)
A.0 B.2
C.4 D.13
7.(2024·武漢質檢)閱讀以下材料，解決本題：我們知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數量積化為“?！钡倪\算.如圖所示的四邊形ABCD中，BD＝8，·＝48，E為BD中點，且＝2，則(　　)
A.AE＝8 B.AE＝4
C.·＝240 D.·＝120
三、填空題
8.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點C在以O為圓心的弧上運動，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的最大值是________.
9.(2024·合肥調研)四邊形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，AB＝2，CD＝2，EF＝1，點P滿足·＝0，則·的最大值為________.
10.如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，點D在OA的延長線上，且OD＝2，點P是△BCD內任意一點(含邊界)，設＝λ＋μ，則λ＋μ的取值范圍為________.
【解析版】
類型一　利用極化恒等式求向量的數量積
例1 (1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點.·＝4，·＝－1，則·的值為________.
(2)如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D為AC的中點，在平面ABC中，將線段AC繞點D旋轉得到線段EF.設M為線段AB上的點，則·的最小值為________.
答案　(1)　(2)－4
解析　(1)設BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
則AD＝3n.
根據向量的極化恒等式，有
·＝2－2＝9n2－m2＝4，
·＝2－2＝n2－m2＝－1，
聯立解得n2＝，m2＝.
因此·＝2－2＝4n2－m2＝.
即·＝.
(2)連接MD，
根據向量的極化恒等式，有·＝||2－|EF|2＝2－8，
由于△ABC為等腰直角三角形，M為線段AB上的點，
所以BC＝AC·sin ＝4，
因此MD≥BC＝2，
所以·≥4－8＝－4，
即·的最小值為－4.
規律方法　在三角形中利用極化恒等式求平面向量數量積的步驟
(1)取第三邊的中點，連接向量的起點與終點；
(2)利用極化恒等式將數量積轉化為中線長與第三邊長的一半的平方差；
(3)利用平面幾何法或正、余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數量積.如需進一步求數量積的范圍，可以用點到直線的距離最小，或用三角形兩邊之和大于第三邊，或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍).
注：對于不共起點或不共終點的向量需通過平移轉化為共起點(終點)的向量，再利用極化恒等式.
訓練1 (1)已知正三角形ABC的邊長為2，動點P滿足|PC|＝1，則·的最小值為(　　)
A.4－2 B.3－2
C.3－2 D.4－2
(2)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則·＝________.
答案　(1)C　(2)－16
解析　(1)因為動點P滿足|PC|＝1，
所以點P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，如圖所示：
設D為AB的中點，
則·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－1；
所以當||取最小值時，·取得最小值，
||min＝||－1＝－1，
所以·＝2－1≥(－1)2－1＝3－2.故選C.
(2)因為M是BC的中點，
由極化恒等式得·＝||2－||2＝9－×100＝－16.
類型二　利用等和線求基底系數和的值
例2 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝(　　)
A.1 B.
C. D.
(2)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)法一　∵E為線段AO的中點，
∴＝(＋)＝＝＋＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，則λ＋μ＝.
法二(等和線法)　如圖，AD為，為基底值是1的等和線，過E作AD的平行線，
設λ＋μ＝k，則k＝.
由圖易知＝，故選B.
(2)法一　由題意作圖如圖.
∵在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－)
＝－＋＝λ1＋λ2，
∴λ1＝－，λ2＝.故λ1＋λ2＝.
法二(利用等和線)　如圖，過點A作＝，連接DF.
設AF與BC的延長線交于點H，
如圖，BH為值是1的等和線，
設λ1＋λ2＝k，則k＝，
由圖易知，＝.因此λ1＋λ2＝.
規律方法　利用等和線求基底系數和的步驟
(1)確定值為1的等和線；
(2)平移該線，作出滿足條件的等和線；
(3)從長度比或點的位置兩個角度，計算滿足條件的等和線的值.
訓練2 在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　)
A. B.
C. D.1
答案　A
解析　法一　設＝t，
則＝＝(＋)＝＋＝＋(－)
＝＋，
∴λ＝－，μ＝，
∴λ＋μ＝.
法二(等和線法)　如圖，BC為以，為基底值是1的等和線，過N作BC的平行線，設λ＋μ＝k，則k＝.
由圖易知，＝，故選A.
【精準強化練】
一、單選題
1.設向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　A
解析　由極化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(|a＋b|2－|a－b|2)＝×(10－6)＝1.
2.如圖，在四邊形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，則·＝(　　)
A.64 B.42
C.36 D.28
答案　C
解析　由·＝2－2＝36－2＝－28，
解得2＝64，所以2＝64，
所以·＝·＝2－2＝100－64＝36.
3.在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，點E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，則λ＋μ＝(　　)
A.1 B.
C. D.
答案　A
解析　(等和線法)如圖，作＝，延長CD與AG相交于G，
因為C，F，G三點共線，所以λ＋μ＝1.故選A.
4.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，則·＝(　　)
A.－ 　　 B.－
C.－ 　　 D.－
答案　B
解析　∵＝2，圓O的半徑為1，
∴||＝.
法一　·＝(＋)·(＋)
＝2＋·(＋)＋·
＝＋0－1＝－.
法二　由極化恒等式得
·＝2－2＝－1＝－.
5.如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則·的最大值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　如圖，取BC的中點M，AD的中點N，連接MN，ON，
則·＝2－＝||2－.
因為OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，
當且僅當O，N，M三點共線時取等號.
所以·的最大值為2.故選B.
二、多選題
6.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，則·的值可能是(　　)
A.0 B.2
C.4 D.13
答案　BC
解析　因為A＝30°，BC＝2，所以＝4，
則△ABC外接圓的半徑為2.
如圖所示，
圓O的半徑為2，BC是圓O的一條弦，點A在圓O的優弧上，D是線段BC的中點，連接DO并延長交圓O于點E.
因為＝＋，＝＋＝－，
所以·＝2－2＝2－1.
因為點A在圓O的優弧上，
所以1<||≤||＝2＋，
所以·的取值范圍是(0，6＋4).故選BC.
7.(2024·武漢質檢)閱讀以下材料，解決本題：我們知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b a·b＝，我們把最后推出的式子稱為“極化恒等式”，它實現了沒有夾角參與的情況下將兩個向量的數量積化為“模”的運算.如圖所示的四邊形ABCD中，BD＝8，·＝48，E為BD中點，且＝2，則(　　)
A.AE＝8 B.AE＝4
C.·＝240 D.·＝120
答案　AC
解析　因為·＝48，BD＝8，
由極化恒等式得
·＝
＝＝AE2－
＝AE2－16＝48，所以AE＝8，
又2＝，所以EC＝2AE＝16，
由極化恒等式得·＝
＝＝CE2－＝256－16＝240.
三、填空題
8.給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點C在以O為圓心的弧上運動，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的最大值是________.
答案　2
解析　(等和線法)如圖所示，設x＋y＝k，則直線AB為以，為基底k＝1的等和線，所有與直線AB平行的直線中，切線離圓心O最遠，即此時k取得最大值，易知OE⊥AB，
因為OA＝1，∠AOB＝，
所以OE＝，則k＝＝＝2，
即x＋y的最大值為2.
9.(2024·合肥調研)四邊形ABCD中，點E，F分別是AB，CD的中點，AB＝2，CD＝2，EF＝1，點P滿足·＝0，則·的最大值為________.
答案　2
解析　因為＝＋，＝＋，
又點F分別是CD的中點，
所以＝－，所以＝－，·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－＝||2－2，
又·＝0，所以PA⊥PB，
又點E分別是AB的中點，
所以PE＝AB＝1，
因為＝－，
所以2＝(－)2＝2－2·＋2，
即2＝2·，
設〈，〉＝θ，||＝x，
則x2＝2×1×x×cos θ，所以x＝2cos θ，
所以·＝x2－2＝4cos2θ－2＝2cos 2θ，
所以當2θ＝0即θ＝0時，cos 2θ有最大值1，即·有最大值為2.
10.如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，點D在OA的延長線上，且OD＝2，點P是△BCD內任意一點(含邊界)，設＝λ＋μ，則λ＋μ的取值范圍為________.
答案　
解析　(等和線法)如圖，設λ＋μ＝k，則直線CD為以，為基底k＝1的等和線，所有與直線CD平行的直線中，過點B的直線離點O最遠，此時k的值最大，且此時k＝，
易知AD＝DE＝1，故此時k＝，
顯然k的最小值為1，即λ＋μ∈.(共32張PPT)
板塊二 三角函數與平面向量
提優點5　極化恒等式與等和線
知識拓展
精準強化練
類型一　利用極化恒等式求向量的數量積
類型二　利用等和線求基底系數和的值
類型突破
例1
類型一　利用極化恒等式求向量的數量積
連接MD，
－4
在三角形中利用極化恒等式求平面向量數量積的步驟
(1)取第三邊的中點，連接向量的起點與終點；
(2)利用極化恒等式將數量積轉化為中線長與第三邊長的一半的平方差；
(3)利用平面幾何法或正、余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數量積.如需進一步求數量積的范圍，可以用點到直線的距離最小，或用三角形兩邊之和大于第三邊，或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍).
注：對于不共起點或不共終點的向量需通過平移轉化為共起點(終點)的向量，再利用極化恒等式.
規律方法
訓練1
√
－16
例2
√
類型二　利用等和線求基底系數和的值
利用等和線求基底系數和的步驟
(1)確定值為1的等和線；
(2)平移該線，作出滿足條件的等和線；
(3)從長度比或點的位置兩個角度，計算滿足條件的等和線的值.
規律方法
訓練2
√
【精準強化練】
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2
2

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