資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.2 解直角三角形及其應用3
學習目標：
正確理解方向角、坡度的概念；
能運用解直角三角形的知識解決方向角、坡度的問題，能夠融會貫通地運用相關數學知識，解決綜合性問題，進一步提高解直角三角形分析問題和解決問題能力。
老師告訴你
1.用解直角三角形解決實際問題的一般過程：
（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形問題）；
（2）根據問題中的條件，選擇恰當的銳角三角函數關系式，解直角三角形；
（3）得到數學問題的答案；
（4）得到實際問題的答案。
一、知識點撥
知識點1 方向角問題
以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于90°的角，叫做方位角.
【新知導學】
例1-1．如圖,一艘輪船從點A處以的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東方向上,繼續航行到達B處,這時測得燈塔C在北偏東方向上,已知在燈塔C的四周內有暗礁,問這艘輪船繼續向正東方向航行是否安全？并說明理由.(提示：,)
例1-2．某海域內一艘輪船從西向東航行到A處時發現正東方向有一處暗礁，輪船馬上調整方向，沿北偏東航行到點B處，然后沿南偏東航行海里到達C處，此時C恰好在A的正東方向.
(1)求A，C兩地的距離；(結果保留根號)
(2)求A，B兩地的距離(結果保留根號)
【對應導練】
1．海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為的圓形海域內有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為.若輪船繼續向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？請通過計算加以說明.如果有危險，輪船自A處開始沿南偏東多少度的方向航行，能安全通過這一海域？
2．根據圖中標出的三角形區域的位置，計算三角形區域的面積（結果取整數）.（提示：它的面積等于一個梯形的面積減去兩個直角三角形的面積.）
知識點2 、 坡度問題：
坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可寫作：i=tan坡角）】
【新知導學】
例2-1．如圖所示,某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,DF為梯形的高,其中迎水坡AB的坡角,坡長米,背水坡CD的坡度,則背水坡的坡長CD為( )米.
A.20 B. C.10 D.
例2-2．為方便行人橫過馬路，打算修建一座高的過街天橋.已知天橋的斜面坡度為，計算斜坡AB的長度（結果取整數）.
【對應導練】
1．某班兩個興趣小組計劃合作測量校園內一斜坡(坡度為)旁路燈的高度,分工如下：
小組甲：測量竹竿的長度,并將該竹竿豎立在地面上,測量其在地面上的影長.
小組乙：在同一時刻,測量路燈在斜坡上的影長,及路燈與斜坡底端的距離.測量示意圖和測量數據如下：
請你根據以上信息計算路燈的高度.(結果保留整數,參考數據：)
小組 甲 乙
圖示 (點D,E,F,C在同一平面內)
測量數據 , ,
2．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一建筑，在斜坡底P處測得該建筑頂點B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米到達坡頂，在坡頂A處又測得該建筑的頂點B的仰角為.
（1）求坡頂A到地面的距離；
（2）求該建筑的高度.（結果精確到米.參考數據：，，）
二、題型訓練
1.利用解直角三角形解決方向角問題
1．木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標.某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.
航行記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處.記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處.記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向.
請你根據以上信息解決下列問題：
（1）填空：________°，________°，________海里；
（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明.
（參考數據：，，）
2．如圖,某公園有一條三角形健身步道,其中B在A的正東方,C在A東北方向,一天老王以每分鐘90米的速度從點A出發沿路線A→B→C→A開始散步,分鐘后到達步道的B處,此時他發現C在B的北偏西方向上.(A,B,C在同一平面內,參考數據：)
(1)求健身步道的長；(結果保留根號)
(2)為了讓市民養成全民運動、健康生活的良好習慣,改善健身環境,公園決定對健身步道進行擴建.計劃將步道段向正東方向延伸至P處,修建新步道,且在P處測得C在P的北偏西方向上.若修建步道的成本為每米80元,公園對擴建預算的費用為20萬元,請通過計算說明預算費用是否夠用？
2 .利用解直角三角形解決坡度問題
3．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，，求斜坡AB的長．（結果精確到米）（參考數據：,,）
4．南水北調中線工程有一段堤壩如圖所示，其橫斷面為梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度，但是為了建設高鐵線路，電力部門要在堤壩的正上方建一組高壓線，且高壓線的最低點P與點D，H在同一條直線上（），.（參考數據：，，，）
（1）求斜坡CD的坡角.
（2）電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，則此段大壩是否達到了安全要求？
3.利用解直角三角形解決綜合問題
5．如圖,為了美化環境,提高民眾的生活質量,市政府在公園一角處修建一個四邊形人工湖泊,并沿湖泊四邊修建了人行步道(即,,,).花園的兩邊與垂直,米,米,,,.
(1)求點D到的距離；
(2)求的長.(參考數據：,,)
6．圖1是一個活動宣傳欄,圖2是活動宣傳欄側面的抽象示意圖,其中點B,D,A,F在同一直線上,支桿可繞點A活動,是可伸縮橫桿.已知,,.
(1)求活動宣傳欄板與地面的夾角的度數；
(2)如圖3,小明站在活動宣傳欄板前的點H處看宣傳欄時(點H,B,C在同一直線上),若視線垂直宣傳欄板于點A,此時測得,求小明的眼睛G離地面的距離.(參考數據：,,,,,,結果精確到0.1)
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，海中有一小島A，在B處測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B處出發由西向東航行10海里到達C處，在C處測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為( )海里.
A. B. C.20 D.
2．如圖，若坡角，則斜坡的坡度為( )
A. B. C. D.2
3．河堤的橫斷面如圖，堤高BC是，迎水斜坡AB的長是，那么斜坡AB的坡度是( )
A.1：2 B.1： C.1：1.5 D.1：3
4．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發，垂直上升到達A處，在A處觀察C地的俯角為，則BC兩地之間的距離為( )
A. B. C. D.
5．如圖是某區域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C,小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為海里.觀測站B到AC的距離BP是( )
A. B.1 C.2 D.
6．如圖，一斜坡的坡度，小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，則小明上升的高度為( )
A.米 B.20米 C.米 D.米
7．如圖，坡角為的斜坡上有一棵大樹（垂直于水平地面），當太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時，在斜坡上樹影的長為30米，則大樹的高為( )
A.15米 B.米 C.米 D.米
8．某區域平面示意圖如圖，點O在河的一側，和表示兩條互相垂直的公路.甲偵測員在處測得點位于北偏東，乙勘測員在處測得點位于南偏西，測得，，請求出點到的距離( ).（參考數據，，）
A.140 B.340 C.360 D.480
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．一漁船在海上A處測得燈塔C在它北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．
10．如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬是米，壩高為米，斜坡的坡度為，斜坡的坡度為，則壩底寬的長為______米.
11．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某市大力開展植樹造林活動.如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為_________________米.
12．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得，，則竹竿AB與AD的長度之比為__________.
13．科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮C游玩，到達A地后導航顯示車輛應沿北偏西方向行駛至B地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達古鎮C，小明發現古鎮C恰好在A地的正北方向，B，C兩地的距離是________________km
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測得橋頭C在南偏東方向上，繼續行駛米后到達B處，測得橋頭C在南偏東方向上，橋頭D在南偏東方向上，求大橋的長度.（結果精確到1米，參考數據：）
15．如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖,天橋的高是10米,坡面的傾斜角為.為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為,若新坡角下需留3米的人行道,問離原坡面點A處10米的建筑物是否需要拆除？(參考數據：,)
16．圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點A處,手柄長,與墻壁的夾角,噴出的水流與形成的夾角,現在住戶要求：當人站在E處淋浴時,水流正好噴灑在人體的C處,且使,問：安裝師傅應將支架固定在離地面多高的位置？
(參考數據：,,,,,,,,).
17．某海域內一艘輪船從西向東航行到A處時發現正東方向有一處暗礁，輪船馬上調整方向，沿北偏東航行到點B處，然后沿南偏東航行海里到達C處，此時C恰好在A的正東方向.
(1)求A，C兩地的距離；(結果保留根號)
(2)求A，B兩地的距離(結果保留根號)
18．高架塔式滑雪臺已經成為滑雪大跳臺項目的重要訓練場所，如下圖所示，滑道分為，兩段，已知，，米，米，圖中所有點均在同一平面內（計算結果均四合五人至整數）.
坡角
坡度
初級道：
中級道：
高級道：
(1)根據表格判斷段滑道屬于______（填“初級道”“中級道”或“高級道”）；
(2)求滑道的長度；
(3)在多次訓練的過程中，安全員發現運動員的著陸點大多在與點相距米的點，為了保證高架塔的穩定性，相關團隊準備用鋼材(即和)加固高架塔，點在點的正下方，點，，，在同一直線上.通過計算說明至少需要鋼材和多少米？（參考值：，，，，，）
19．如圖,在徐州云龍湖旅游景區,點A為“彭城風華”觀演場地,點B為“水族展覽館”,點C為“徐州漢畫像石藝術館”.已知,,.求“彭城風華”觀演場地與“水族展覽館”之間的距離AB(精確到1m).(參考數據：,)
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.2 解直角三角形及其應用3
學習目標：
正確理解方向角、坡度的概念；
能運用解直角三角形的知識解決方向角、坡度的問題，能夠融會貫通地運用相關數學知識，解決綜合性問題，進一步提高解直角三角形分析問題和解決問題能力。
老師告訴你
1.用解直角三角形解決實際問題的一般過程：
（1）將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形問題）；
（2）根據問題中的條件，選擇恰當的銳角三角函數關系式，解直角三角形；
（3）得到數學問題的答案；
（4）得到實際問題的答案。
一、知識點撥
知識點1 方向角問題
以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于90°的角，叫做方位角.
【新知導學】
例1-1．如圖,一艘輪船從點A處以的速度向正東方向航行,在A處測得燈塔C在北偏東方向上,繼續航行到達B處,這時測得燈塔C在北偏東方向上,已知在燈塔C的四周內有暗礁,問這艘輪船繼續向正東方向航行是否安全？并說明理由.(提示：,)
答案：這艘輪船繼續向正東方向航行是安全的,理由見解析
解析：過點C作,垂足為D.如圖所示：
根據題意可知,,,
在中,,,
,即
∴
設,
在中,,,
∴,即
解得,
∵
∴這艘船繼續向東航行安全.
例1-2．某海域內一艘輪船從西向東航行到A處時發現正東方向有一處暗礁，輪船馬上調整方向，沿北偏東航行到點B處，然后沿南偏東航行海里到達C處，此時C恰好在A的正東方向.
(1)求A，C兩地的距離；(結果保留根號)
(2)求A，B兩地的距離(結果保留根號)
答案：(1)海里
(2)海里
解析：(1)過B作于H，過C作于D，
則，
，
與是等腰直角三角形，
，
，
，
海里，
(海里)，
(海里)，
答：A，C兩地的距離海里；
(2)在中，，，
，
(海里)，
在中，，，
(海里)，
海里，
答：A，B兩地的距離為海里.
【對應導練】
1．海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為的圓形海域內有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東方向上，且A，P之間的距離為.若輪船繼續向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？請通過計算加以說明.如果有危險，輪船自A處開始沿南偏東多少度的方向航行，能安全通過這一海域？
答案：輪船有觸礁危險.理由見解析；輪船自A處開始至多沿南偏東的方向航行才能安全通過這一海域
解析：輪船有觸礁危險.理由如下：根據題意，畫出示意圖，
如圖所示，過點P作于點C.
由題意知，.
，
.
，若輪船繼續向正東方向航行，則有觸礁的危險.
設輪船沿AM方向航行正好能安全通過這一海域，如圖，過點P作于點D，則，
，
，
，
輪船自A處開始至多沿南偏東的方向航行才能安全通過這一海域.
2．根據圖中標出的三角形區域的位置，計算三角形區域的面積（結果取整數）.（提示：它的面積等于一個梯形的面積減去兩個直角三角形的面積.）
答案：
解析：如圖所示，過點A作于點E，于點F，則E，A，F三點共線.
在中，，，，
，
，
.
在中，，，，
，
，
.
又
，
百慕大三角的面積為.
答：百慕大三角的面積約為.
知識點2 、 坡度問題：
坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可寫作：i=tan坡角）】
【新知導學】
例2-1．如圖所示,某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE,DF為梯形的高,其中迎水坡AB的坡角,坡長米,背水坡CD的坡度,則背水坡的坡長CD為( )米.
A.20 B. C.10 D.
答案：A
解析：∵迎水坡AB的坡角,坡長米,
∴(米),
∴,
∵背水坡CD的坡度,,
∴,
∴,
∴(米),
故選A.
例2-2．為方便行人橫過馬路，打算修建一座高的過街天橋.已知天橋的斜面坡度為，計算斜坡AB的長度（結果取整數）.
答案：
解析：方法一：設斜坡AB的水平寬度為，
由題意得，，
，
.
方法二：設斜坡AB的坡角為，
，.
又，
.
【對應導練】
1．某班兩個興趣小組計劃合作測量校園內一斜坡(坡度為)旁路燈的高度,分工如下：
小組甲：測量竹竿的長度,并將該竹竿豎立在地面上,測量其在地面上的影長.
小組乙：在同一時刻,測量路燈在斜坡上的影長,及路燈與斜坡底端的距離.測量示意圖和測量數據如下：
請你根據以上信息計算路燈的高度.(結果保留整數,參考數據：)
小組 甲 乙
圖示 (點D,E,F,C在同一平面內)
測量數據 , ,
答案：路燈的高度約為
解析：如圖,過點G分別作,的垂線,垂足分別為點M,N,則四邊形是矩形,,.
∵斜坡坡度為,即
在中,,,
,
,
,
.
∵,
,
,
,
.
答：路燈的高度約為.
2．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一建筑，在斜坡底P處測得該建筑頂點B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米到達坡頂，在坡頂A處又測得該建筑的頂點B的仰角為.
（1）求坡頂A到地面的距離；
（2）求該建筑的高度.（結果精確到米.參考數據：，，）
答案：（1）5米
（2）米
解析：（1）過點A作于點H，
由題意得，，
斜坡的坡度為，
，
設，則，
，
解得：，
（米），
坡頂A到地面的距離為5米；
（2）延長交于點D，
由題意知：，，，，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
設，則，
在中，，
，
，
，
在中，，
解得：，
經檢驗，是原方程的解且符合題意，
該建筑的高度約為米.
二、題型訓練
1.利用解直角三角形解決方向角問題
1．木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標.某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.
航行記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處.記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處.記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向.
請你根據以上信息解決下列問題：
（1）填空：________°，________°，________海里；
（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明.
（參考數據：，，）
答案：（1）30；75；5
（2）該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區
解析：（1）如圖所示，過點P作于D，
由題意得，，，，
，；
一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，
海里.
（2）設海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
，
，
解得，
海里，
，
，
海里；
上午9時，船距離A的距離為海里，
，
該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區.
2．如圖,某公園有一條三角形健身步道,其中B在A的正東方,C在A東北方向,一天老王以每分鐘90米的速度從點A出發沿路線A→B→C→A開始散步,分鐘后到達步道的B處,此時他發現C在B的北偏西方向上.(A,B,C在同一平面內,參考數據：)
(1)求健身步道的長；(結果保留根號)
(2)為了讓市民養成全民運動、健康生活的良好習慣,改善健身環境,公園決定對健身步道進行擴建.計劃將步道段向正東方向延伸至P處,修建新步道,且在P處測得C在P的北偏西方向上.若修建步道的成本為每米80元,公園對擴建預算的費用為20萬元,請通過計算說明預算費用是否夠用？
答案：(1)
(2)預算費用夠用
解析：(1)過點B作于點N,
∴,
由題意得：,,
∴,,
∵,
∴,
∴.
(2)過點B作于點M,如圖所示：
則,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴,
,
∴預算費用夠用.
2 .利用解直角三角形解決坡度問題
3．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，，求斜坡AB的長．（結果精確到米）（參考數據：,,）
答案：10米
解析：過點D作于點E，則四邊形ADEF是矩形，
在中，，
．
．
，
在中，（米）．
答：斜坡AB的長約為10米．
4．南水北調中線工程有一段堤壩如圖所示，其橫斷面為梯形ABCD，高米，斜坡CD的坡度，但是為了建設高鐵線路，電力部門要在堤壩的正上方建一組高壓線，且高壓線的最低點P與點D，H在同一條直線上（），.（參考數據：，，，）
（1）求斜坡CD的坡角.
（2）電力部門要求此處高壓線離堤面AD的安全距離不低于18米，則此段大壩是否達到了安全要求？
答案：（1）45°
（2）此段大壩達到了安全要求
解析：（1）斜坡CD的坡度，
，.
即斜坡CD的坡角為45°.
（2）此段大壩達到了安全要求.理由如下：
由（1）可知，米，，
.
在中，，
解得.
，
此段大壩達到了安全要求.
3.利用解直角三角形解決綜合問題
5．如圖,為了美化環境,提高民眾的生活質量,市政府在公園一角處修建一個四邊形人工湖泊,并沿湖泊四邊修建了人行步道(即,,,).花園的兩邊與垂直,米,米,,,.
(1)求點D到的距離；
(2)求的長.(參考數據：,,)
答案：(1)6米
(2)40米
解析：(1)過D作,垂足為M,
在中,,,
∴(米),
∴點D到的距離約為6米；
(2)過D作,垂足為H,
由題意得：米,,
在中,,,
∴(米),
設米,則米,
∴米,
∵,
∴,
在中,(米),
∴米,
在中,,
∴米,
∴,
解得：,
∴(米),
∴牌匾懸掛高度的長約為40米.
6．圖1是一個活動宣傳欄,圖2是活動宣傳欄側面的抽象示意圖,其中點B,D,A,F在同一直線上,支桿可繞點A活動,是可伸縮橫桿.已知,,.
(1)求活動宣傳欄板與地面的夾角的度數；
(2)如圖3,小明站在活動宣傳欄板前的點H處看宣傳欄時(點H,B,C在同一直線上),若視線垂直宣傳欄板于點A,此時測得,求小明的眼睛G離地面的距離.(參考數據：,,,,,,結果精確到0.1)
答案：(1)
(2)小明的眼睛G離地面的距離約
解析：(1)作交于點N,交于點M,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴；
(2)作交于點P,
∴四邊形為矩形,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
,
∵,
∴,
∵視線垂直宣傳欄板,
∴,
∴,
∴,
∴.
答：小明的眼睛G離地面的距離約.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，海中有一小島A，在B處測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B處出發由西向東航行10海里到達C處，在C處測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為( )海里.
A. B. C.20 D.
答案：D
解析：由題意得：，
在中，，海里，
海里，
此時漁船與小島A的距離為海里.
故選D.
2．如圖，若坡角，則斜坡的坡度為( )
A. B. C. D.2
答案：B
解析：坡角，則斜坡的坡度為，
故選：B.
3．河堤的橫斷面如圖，堤高BC是，迎水斜坡AB的長是，那么斜坡AB的坡度是( )
A.1：2 B.1： C.1：1.5 D.1：3
答案：B
解析：在中，，
斜坡AB的坡比，
故選B.
4．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程師乘坐熱氣球從B地出發，垂直上升到達A處，在A處觀察C地的俯角為，則BC兩地之間的距離為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：試題分析：根據三角函數可得：tan∠C==tan30°=，則BC=100m.
考點：三角函數的應用
5．如圖是某區域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C,小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為海里.觀測站B到AC的距離BP是( )
A. B.1 C.2 D.
答案：B
解析：由題意得：,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得：(海里),
故選：B.
6．如圖，一斜坡的坡度，小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，則小明上升的高度為( )
A.米 B.20米 C.米 D.米
答案：A
解析：設米，因為斜坡的坡度，則米，
小明同學沿斜坡的坡面從點A向上走了100米到達點B處，
所以，，
解得，，
故選：A.
7．如圖，坡角為的斜坡上有一棵大樹（垂直于水平地面），當太陽光線與水平線成角沿斜坡照下時，在斜坡上樹影的長為30米，則大樹的高為( )
A.15米 B.米 C.米 D.米
答案：C
解析：如圖，過點T作，交的延長線于A，
，
則，
米，
米，米，
在中，，
米，
米，
故選：C.
8．某區域平面示意圖如圖，點O在河的一側，和表示兩條互相垂直的公路.甲偵測員在處測得點位于北偏東，乙勘測員在處測得點位于南偏西，測得，，請求出點到的距離( ).（參考數據，，）
A.140 B.340 C.360 D.480
答案：D
解析：作于，于，
則四邊形為矩形，
，，
設，則，，
在中，，
，則，
在中，，
由題意得，，
解得，，
即點到的距離約為480，
故選：D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．一漁船在海上A處測得燈塔C在它北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．
答案：
解析：
10．如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬是米，壩高為米，斜坡的坡度為，斜坡的坡度為，則壩底寬的長為______米.
答案：
解析：由題意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（米），
故答案為：.
11．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某市大力開展植樹造林活動.如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為_________________米.
答案：4
解析：相鄰兩樹間的水平距離是米，坡比.
，即
解得
（米）.
故答案為：4.
12．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得，，則竹竿AB與AD的長度之比為__________.
答案：
解析：在中，
，，
即，
.
在中，
，，
即，
，
.
故答案為：.
13．科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮C游玩，到達A地后導航顯示車輛應沿北偏西方向行駛至B地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達古鎮C，小明發現古鎮C恰好在A地的正北方向，B，C兩地的距離是________________km
答案：
解析：如圖所示，過點B作于點D
，
在中，，
，則，
，
從B地沿北偏東方向行駛一段距離到達古鎮C，
，且，
，即是等腰直角三角形，
，
B，C兩地的距離是，
故答案為：.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路l上由北向南行駛，在A處測得橋頭C在南偏東方向上，繼續行駛米后到達B處，測得橋頭C在南偏東方向上，橋頭D在南偏東方向上，求大橋的長度.（結果精確到1米，參考數據：）
答案：米
解析：如圖所示，分別過點C，D作的垂線，垂足分別為F，E，
四邊形是矩形，
，，
依題意，，，
，
，
；
在中，，
；
在中，，
.
答：大橋CD的長度約為米.
15．如圖是成都市某街道的一座人行天橋的示意圖,天橋的高是10米,坡面的傾斜角為.為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面的坡度為,若新坡角下需留3米的人行道,問離原坡面點A處10米的建筑物是否需要拆除？(參考數據：,)
答案：離原坡角10米的建筑物需要拆除
解析：根據題意得：,米.
∴米.
∵,
即：,
∴米,
∴(米),
∵.
答：離原坡角10米的建筑物需要拆除.
16．圖1是一種淋浴噴頭,圖2是圖1的示意圖,若用支架把噴頭固定在點A處,手柄長,與墻壁的夾角,噴出的水流與形成的夾角,現在住戶要求：當人站在E處淋浴時,水流正好噴灑在人體的C處,且使,問：安裝師傅應將支架固定在離地面多高的位置？
(參考數據：,,,,,,,,).
答案：安裝師傅應將支架周定在離地面處
解析：過點B作于點G,延長、交于點F,
由題意得：
∴
∵,,
∴,,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴安裝師傅應將支架固定在離地面的位置,
答：安裝師傅應將支架周定在離地面處.
17．某海域內一艘輪船從西向東航行到A處時發現正東方向有一處暗礁，輪船馬上調整方向，沿北偏東航行到點B處，然后沿南偏東航行海里到達C處，此時C恰好在A的正東方向.
(1)求A，C兩地的距離；(結果保留根號)
(2)求A，B兩地的距離(結果保留根號)
答案：(1)海里
(2)海里
解析：(1)過B作于H，過C作于D，
則，
，
與是等腰直角三角形，
，
，
，
海里，
(海里)，
(海里)，
答：A，C兩地的距離海里；
(2)在中，，，
，
(海里)，
在中，，，
(海里)，
海里，
答：A，B兩地的距離為海里.
18．高架塔式滑雪臺已經成為滑雪大跳臺項目的重要訓練場所，如下圖所示，滑道分為，兩段，已知，，米，米，圖中所有點均在同一平面內（計算結果均四合五人至整數）.
坡角
坡度
初級道：
中級道：
高級道：
(1)根據表格判斷段滑道屬于______（填“初級道”“中級道”或“高級道”）；
(2)求滑道的長度；
(3)在多次訓練的過程中，安全員發現運動員的著陸點大多在與點相距米的點，為了保證高架塔的穩定性，相關團隊準備用鋼材(即和)加固高架塔，點在點的正下方，點，，，在同一直線上.通過計算說明至少需要鋼材和多少米？（參考值：，，，，，）
答案：(1)高級道
(2)米
(3)至少需要鋼材和共米
解析：（1）段滑道在中，
坡角，
故答案為：高級道；
（2）在中，，米，
，
，
米；
（3）在中，，米，，
，
米，
在中，，米，米，，，，
，，
米，米，
，
米，
由圖可知：米，米，
米，米，
在中：米，
米.
故至少需要鋼材和共米.
19．如圖,在徐州云龍湖旅游景區,點A為“彭城風華”觀演場地,點B為“水族展覽館”,點C為“徐州漢畫像石藝術館”.已知,,.求“彭城風華”觀演場地與“水族展覽館”之間的距離AB(精確到1m).(參考數據：,)
答案：1201m
解析：過B作于H,
設,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∴.
答：“彭城風華”觀演場地與“水族展覽館”之間的距離AB約是1201m.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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