資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.2 解直角三角形及其應用2
學習目標：
1 熟練掌握解直角三角形的方法；
2 能靈活運用解直角三角形相關知識解決與直角三角形有關的圖形計算問題.
老師告訴你
通過解直角三角形解決實際問題的一般步驟：
一審：審清題意，分清已知未知；
二構：根據題意，畫出圖形，并構造要求解的三角形，對非直角三角形通過作輔助線構造直角三角形；
三選：將題中的已知角、線段長轉變為直角三角形中的元素，選擇恰當的元素間的關系式，解直角三角形；
四答：按照題中要求給出答案，注明單位。
知識點撥
知識點1、 解直角三角形
已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便，已知直邊求直邊，理所當然用正切。
已知兩邊求一邊，勾股定理最方便，已知兩邊求一角，函數關系要牢記。
已知銳角求銳角，互余關系不能少，已知直邊求斜邊，用除還需正余弦。
【新知導學】
例1-1．風箏起源于春秋戰國時期，至今已有兩千多年的歷史.正值春日，周末小明姐弟倆在父母的陪同下來到一片寬廣的場所放風箏.小明(A)與姐姐(B)一前一后在水平地面AD上放風箏，結果風箏在空中C處糾纏在一起，如圖所示，測得，，且小明與姐姐之間的距離m，求此時風箏C處距離地面的高度.(參考數據：，結果保留一位小數)
例1-2．將一物體（視為邊長為米的正方形ABCD）從地面PQ上挪到貨車車廂內.如圖所示，剛開始點B與斜面EF上的點E重合，先將物體繞點B（E）按逆時針方向旋轉至正方形的位置，再將其沿EF方向平移至正方形的位置（此時點與點G重合），最后將物體移到車廂平臺面MG上.已知，，過點F作于點H，米，米.
（1）求線段FG的長度；
（2）求在此過程中點A運動至點所經過的路程.
.
【對應導練】
1．手機放在手機支架上的側面示意圖如圖所示,是長度不變的活動片,一端A固定在上,另一端B可在上變動位置,若將變到的位置,則旋轉一定角度到達的位置.已知,則點到的距離為( )
A. B. C. D.
2．如圖，要在寬為22 m的公路AB兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2 m，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC的高度應該設計為( )
A. B. C. D.
知識點2、 仰角、俯角的實際問題：
在視線與水平線所成的角中規定：1)視線在水平線上方的叫做仰角，2)視線在水平線下方的叫做俯角.
【新知導學】
例2-1．無人機具有時效性強、機動性好、方便靈活、巡查范圍廣等優點，在城市管理中起到非常重要的補充作用.某城市用無人機進行空中巡航，以加強重點水域的巡邏防控，有效防范溺水風險，及時挽救溺水生命.如圖，無人機在湖岸救援站A處起飛，到點A的正上方B處測得湖中點E（游船）的俯角為，無人機繼續向正上方飛行到點C，再向右沿水平方向飛行到點D，此時測得點E的俯角為.已知，.
（1）求救援站點A到湖中點E的距離（結果保留根號）.
（2）若無人機探測到E處有人求救，同時將信號傳回救援站，救援站立刻安排救援船和救援人員出發營救.已知救援船的平均速度是，問救援人員能否在內從救援站A到達E處開展營救？（，）
例2-2．清風閣(如圖1)位于合肥市包公園內,是1999年為紀念包拯誕辰1000周年,弘揚包公精神,宣傳安徽悠久歷史文化而建造的.如圖2,為了測量清風閣的高度(),菲菲站在清風閣附近的水平地面上的點C處,利用無人機進行測量,但由于周邊樹木遮擋,無法操控無人機直接飛到閣頂A處進行測量,因此她先控制無人機從點C與地面成向遠離清風閣的方向勻速飛行5秒到達空中O點處,再調整飛行方向,繼續勻速飛行7秒到達閣頂A(A,B,O,C在同一平面內),已知無人機的速度為6米/秒,,求清風閣AB的高度.(結果精確到1m,參考數據：,).
【對應導練】
1．如圖，兩座建筑物與，其中的高為120米，從的頂點A測得頂部B的仰角為30°，測得其底部C的俯角為45°，求這兩座建筑物的地面距離為多少米？(結果保留根號)
2．在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業.如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為.已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度.(結果保留根號)
二、題型訓練
1.解直角三角形
1．淋浴花灑的支架OA安裝在墻壁上，且可以上下旋轉，花灑臂BC與OA垂直.已知支架，，花灑臂，支架支點O與地面的距離.如圖①，當旋轉支架OA，使點C與墻面接觸時，花灑頂部B距離地面最低.
（1）花灑頂部B距離地面的最低高度為___________cm；
（2）如圖②，當支架OA與墻壁的夾角為時，花灑頂部B到地面的距離約為___________cm.（結果精確到，參考數據：，，）
.
2．圖①是一款可調節椅背的沙發椅,它可以減輕使用者的脊椎壓力.圖②是它的側面示意圖,椅背,將椅背角度從調節到(即,)時,分別過點C、D作于點E,于點F,求水平方向增加的距離長.(結果精確到；參考數據：,,,)
2.利用俯角、仰角解三角形
3．交城縣教育局為了豐富春節期間群眾的文化生活,營造節日喜慶氛圍,宣傳教育新形象,特在卦山公園舉辦花燈展,并在公園的門口搭建了一座門樓(如圖).某校“綜合與實踐”活動小組的同學們為了測量門樓的高度,設計了如下方案：
課題 測量門樓的高度
測量工具 無人機
測量示意圖 說明：表示門樓,點A表示門樓的頂部,點B表示門樓的底部.點C,D為無人機兩次測量的位置,米,點C,D在同一水平直線上,點A,B,C,D均在同一豎直平面內,與水平面垂直.
測量數據 從D處觀測B處的俯角 從C處觀測B處的俯角 從C處觀測A處的俯角
…… ……
請你結合以上數據,幫助該小組的同學求出門樓的高度.(結果精確到米.參考數據：)
4．縣某初中興趣小組在實踐課上計劃用所學到的知識測量學校附近一樓房的高度，由于到樓房底部的水平距離不易測量，他們通過實地觀察、分析，制訂了可行的方案，并進行了實地測量.已知樓房前有一斜坡，它的坡度.他們先在坡面D處測量樓房頂部A的仰角，接著沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房的方向繼續行走至E處，再次測量樓房頂部A的仰角，并測量了C、E之間的距離，最后測量了坡面C、D之間的距離.為了減少測量誤差，小組在測量仰角以及距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結果(測角儀高度忽略不計)，如下表：
項目 內容
課題 測量學校附近樓房的高度
測量示意圖 說明：測點D、E與點C、B都在同一水平面上
測量數據 測量項目 第一次 第二次 平均值
仰角的度數 30.2° 29.8° 30°
仰角的度數 60.1° 59.9° 60°
C、E之間的距離 5.1米 4.9米 5米
C、D之間的距離 9.8米 10.2米
… …
任務一：兩次測量C、D之間的距離的平均值是________米；
任務二：請你幫助該小組根據上表中的測量數據，求出學校附近樓房的高.(結果精確到0.1米.參考數據：，)
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是( )
A. B. C. D.
2．如圖，從點A觀測點D的仰角是( )
A. B. C. D.
3．在離旗桿20米處的地方，用測角儀測得旗桿項的仰角為，如測角儀的高為1.5米，那么旗桿的高為( )米
A. B. C. D.
4．某火箭從地面P處發射，當火箭達到A點時，從位于地面Q處雷達站測得A、Q的距離是米，仰角為，此時火箭A的高度是( )
A.米 B.米 C.米 D.米
5．在臺風來臨之前，有關部門用鋼管加固樹木(如圖)，固定點A離地面的高度，鋼管與地面所成角，那么鋼管AB的長為( )
A. B. C. D.
6．如圖，已知點A、點B是同一幢樓上的兩個不同位置，從A點觀測標志物的俯角是65°，從B點觀測標志物C的俯角是35°，則的度數為( )
A.25° B.30° C.35° D.65°
7．在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）( )
A.米 B.25米 C.米 D.50米
8．如圖，在大樓AB正前方有一斜坡CD，坡角，樓高米，在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A，C，E在同一直線上.則斜坡CD的長度為( ).
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端C處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點A，B，C，P在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米.（參考數據：，，，）
10．如圖,從航拍無人機A看一棟樓頂部B的仰角為,看這棟樓底部C的俯角β為,無人機與樓的水平距離為,則這棟樓的高度為________m.
11．圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于A，B兩點，燈臂與支架交于點C，已知，，，則支架的長為_______cm.（結果精確到lcm，參考數據：，，）
12．如圖，小明想要測量學校操場上旗桿的高度，他做了如下操作：
（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂的仰角；
（2）量得測角儀的高度米；
（3）量得測角儀到旗桿的水平距離米.利用銳角三角函數解直角三角形的知識，
旗桿的高度可表示為__________.
13．如圖,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為,看這棟高樓底部C的俯角為,熱氣球A與高樓的水平距離為120m,這棟高樓BC的高度為_________米.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是.測得斜坡的傾斜角是，求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離（結果保留小數點后一位）.
15．如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角.求飛機A與指揮臺B的距離（結果取整數）.
16．在一次數學綜合實踐活動中,某數學小組的同學們一起測量一座小山的高度.如圖,在點A處測得山頂E的仰角為,向山的方向前進,在點C處測得山頂E的仰角為,已知觀測點A,C到地面的距離,.求小山的高度(精確到).(參考數據：,,,)
17．如圖,某校綜合實踐小組在兩棟樓之間的水平地面E處放置一個測角儀,經測量,,,已知米,米.求兩棟樓樓頂A,C之間的距離.(參考數據：,,,測角儀的高度忽略不計).
18．如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔PC，在點A處用測角儀測得塔頂端點P的仰角是45°，向前走9米到達B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是60°和30°.
(1)求的度數；
(2)求該鐵塔PC的高度.(結果精確到0.1米；參考數據：，)
19．如圖，小睿為測量公園的一涼亭的高度，他先在水平地面點E處用高的測角儀測得頂部A的仰角為，然后沿方向向前走到達點G處，在點G處用高的測角儀測得頂部A的仰角為.求涼亭的高度（，結果精確到）.
（參考數據：，，，，，）
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.2 解直角三角形及其應用2
學習目標：
1 熟練掌握解直角三角形的方法；
2 能靈活運用解直角三角形相關知識解決與直角三角形有關的圖形計算問題.
老師告訴你
通過解直角三角形解決實際問題的一般步驟：
一審：審清題意，分清已知未知；
二構：根據題意，畫出圖形，并構造要求解的三角形，對非直角三角形通過作輔助線構造直角三角形；
三選：將題中的已知角、線段長轉變為直角三角形中的元素，選擇恰當的元素間的關系式，解直角三角形；
四答：按照題中要求給出答案，注明單位。
一、知識點撥
知識點1、 解直角三角形
已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便，已知直邊求直邊，理所當然用正切。
已知兩邊求一邊，勾股定理最方便，已知兩邊求一角，函數關系要牢記。
已知銳角求銳角，互余關系不能少，已知直邊求斜邊，用除還需正余弦。
【新知導學】
例1-1．風箏起源于春秋戰國時期，至今已有兩千多年的歷史.正值春日，周末小明姐弟倆在父母的陪同下來到一片寬廣的場所放風箏.小明(A)與姐姐(B)一前一后在水平地面AD上放風箏，結果風箏在空中C處糾纏在一起，如圖所示，測得，，且小明與姐姐之間的距離m，求此時風箏C處距離地面的高度.(參考數據：，結果保留一位小數)
答案：見解析
解析：過點C作，垂足為E，
是的一個外角，
，
，，
，
(米)，
在中，，
8(米)，
此時風箏C處距離地面的高度為13.9米
例1-2．將一物體（視為邊長為米的正方形ABCD）從地面PQ上挪到貨車車廂內.如圖所示，剛開始點B與斜面EF上的點E重合，先將物體繞點B（E）按逆時針方向旋轉至正方形的位置，再將其沿EF方向平移至正方形的位置（此時點與點G重合），最后將物體移到車廂平臺面MG上.已知，，過點F作于點H，米，米.
（1）求線段FG的長度；
（2）求在此過程中點A運動至點所經過的路程.
答案：（1）米
（2）點A運動至點所經過的路程為4米
解析：（1），
.
，
.
米.
（2）米，米，
（米）.
，米，
點A運動至點所經過的路程為（米）.
【對應導練】
1．手機放在手機支架上的側面示意圖如圖所示,是長度不變的活動片,一端A固定在上,另一端B可在上變動位置,若將變到的位置,則旋轉一定角度到達的位置.已知,則點到的距離為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
在中,,
.
如圖，過點B'作于點P.
在中,,
.故選D.
2．如圖，要在寬為22 m的公路AB兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2 m，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱BC的高度應該設計為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如圖，延長OD，BC交于點P.
易知，，，，
在中，，
.
，，
.
.
.
.
知識點2、 仰角、俯角的實際問題：
在視線與水平線所成的角中規定：1)視線在水平線上方的叫做仰角，2)視線在水平線下方的叫做俯角.
【新知導學】
例2-1．無人機具有時效性強、機動性好、方便靈活、巡查范圍廣等優點，在城市管理中起到非常重要的補充作用.某城市用無人機進行空中巡航，以加強重點水域的巡邏防控，有效防范溺水風險，及時挽救溺水生命.如圖，無人機在湖岸救援站A處起飛，到點A的正上方B處測得湖中點E（游船）的俯角為，無人機繼續向正上方飛行到點C，再向右沿水平方向飛行到點D，此時測得點E的俯角為.已知，.
（1）求救援站點A到湖中點E的距離（結果保留根號）.
（2）若無人機探測到E處有人求救，同時將信號傳回救援站，救援站立刻安排救援船和救援人員出發營救.已知救援船的平均速度是，問救援人員能否在內從救援站A到達E處開展營救？（，）
答案：（1）
（2）能
解析：（1）如圖，連接BD，分別延長ED，AC交于點F.
由題意可知，，，，為等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，.
，
，.
在中，，
.
在中，.
救援站點A到湖中點E的距離為.
（2）由（1），得.
，，
救援人員能在內從救援站A到達E處開展營救.
例2-2．清風閣(如圖1)位于合肥市包公園內,是1999年為紀念包拯誕辰1000周年,弘揚包公精神,宣傳安徽悠久歷史文化而建造的.如圖2,為了測量清風閣的高度(),菲菲站在清風閣附近的水平地面上的點C處,利用無人機進行測量,但由于周邊樹木遮擋,無法操控無人機直接飛到閣頂A處進行測量,因此她先控制無人機從點C與地面成向遠離清風閣的方向勻速飛行5秒到達空中O點處,再調整飛行方向,繼續勻速飛行7秒到達閣頂A(A,B,O,C在同一平面內),已知無人機的速度為6米/秒,,求清風閣AB的高度.(結果精確到1m,參考數據：,).
答案：42米
解析：如圖,過點O作,交的延長線于點D,過點O作,垂足為E.
由題意得：(米),(米),,,
∴,
∵,
∴,
在中,(米),
在中,(米),
∴(米),
答：清風閣的高度約為42米.
【對應導練】
1．如圖，兩座建筑物與，其中的高為120米，從的頂點A測得頂部B的仰角為30°，測得其底部C的俯角為45°，求這兩座建筑物的地面距離為多少米？(結果保留根號)
答案：兩座建筑物的地面距離為米
解析：作于E，
則四邊形為矩形，
∴，
設，
在中，，
則，
∵，
∴，
由題意得，，即，
解得，，
∴，
∴，
答：兩座建筑物的地面距離為米.
2．在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業.如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為.已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度.(結果保留根號)
答案：米
解析：根據題意可得：，，
∴四邊形和四邊形為矩形，
∴米，米，，，
∴(米)，
設，則米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米.
二、題型訓練
1.解直角三角形
1．淋浴花灑的支架OA安裝在墻壁上，且可以上下旋轉，花灑臂BC與OA垂直.已知支架，，花灑臂，支架支點O與地面的距離.如圖①，當旋轉支架OA，使點C與墻面接觸時，花灑頂部B距離地面最低.
（1）花灑頂部B距離地面的最低高度為___________cm；
（2）如圖②，當支架OA與墻壁的夾角為時，花灑頂部B到地面的距離約為___________cm.（結果精確到，參考數據：，，）
答案：（1）167
（2）174
解析：（1）如圖①，過點B作于點D.
在中，，，.
，，.
又，.
，，.
，.
花灑頂部B距離地面的最低高度為.
（2）如圖②，過點B作地面的垂線，與地面交于點N，過點O作于點E，交CB于點F，則.
在中，，，，
.
在中，，
，
.
當支架OA與墻壁的夾角為時，花灑頂部B到地面的距離約為.
2．圖①是一款可調節椅背的沙發椅,它可以減輕使用者的脊椎壓力.圖②是它的側面示意圖,椅背,將椅背角度從調節到(即,)時,分別過點C、D作于點E,于點F,求水平方向增加的距離長.(結果精確到；參考數據：,,,)
答案：水平方向增加的距離長為
解析：由題意得：,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
在與中,
,
,
∴
.
答：水平方向增加的距離長為.
2.利用俯角、仰角解三角形
3．交城縣教育局為了豐富春節期間群眾的文化生活,營造節日喜慶氛圍,宣傳教育新形象,特在卦山公園舉辦花燈展,并在公園的門口搭建了一座門樓(如圖).某校“綜合與實踐”活動小組的同學們為了測量門樓的高度,設計了如下方案：
課題 測量門樓的高度
測量工具 無人機
測量示意圖 說明：表示門樓,點A表示門樓的頂部,點B表示門樓的底部.點C,D為無人機兩次測量的位置,米,點C,D在同一水平直線上,點A,B,C,D均在同一豎直平面內,與水平面垂直.
測量數據 從D處觀測B處的俯角 從C處觀測B處的俯角 從C處觀測A處的俯角
…… ……
請你結合以上數據,幫助該小組的同學求出門樓的高度.(結果精確到米.參考數據：)
答案：米
解析：如下圖,延長,交于點E,
由題意可知,,,,
在中,,
∴,
∴,
設米,則米,
∵米,
∴米,
在中,可有,
∴,
∴,
∴,
在中,
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
解得,
∴米.
4．縣某初中興趣小組在實踐課上計劃用所學到的知識測量學校附近一樓房的高度，由于到樓房底部的水平距離不易測量，他們通過實地觀察、分析，制訂了可行的方案，并進行了實地測量.已知樓房前有一斜坡，它的坡度.他們先在坡面D處測量樓房頂部A的仰角，接著沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房的方向繼續行走至E處，再次測量樓房頂部A的仰角，并測量了C、E之間的距離，最后測量了坡面C、D之間的距離.為了減少測量誤差，小組在測量仰角以及距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結果(測角儀高度忽略不計)，如下表：
項目 內容
課題 測量學校附近樓房的高度
測量示意圖 說明：測點D、E與點C、B都在同一水平面上
測量數據 測量項目 第一次 第二次 平均值
仰角的度數 30.2° 29.8° 30°
仰角的度數 60.1° 59.9° 60°
C、E之間的距離 5.1米 4.9米 5米
C、D之間的距離 9.8米 10.2米
… …
任務一：兩次測量C、D之間的距離的平均值是________米；
任務二：請你幫助該小組根據上表中的測量數據，求出學校附近樓房的高.(結果精確到0.1米.參考數據：，)
答案：任務一：10
任務二：樓房的高為19.3米
解析：任務一：(米)，
故答案為：10
任務二：
如圖，過點D作于點G；作于點F，交于點H.過點H作于點P.則易得，.
∵，，∴；
在中，，
在中，，，
∴
又∵，∴，
在中，
米.
答：樓房的高為19.3米.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖，從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根據俯角的定義，朝下看時，視線與水平面的夾角為俯角，
為對應的俯角，
故選D.
2．如圖，從點A觀測點D的仰角是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：從點A觀測點D的視線是，水平線是，
從點A觀測點D的仰角是.
故選：B.
3．在離旗桿20米處的地方，用測角儀測得旗桿項的仰角為，如測角儀的高為1.5米，那么旗桿的高為( )米
A. B. C. D.
答案：C
解析：如圖所示，米，米
在中，，
，
又四邊形BCED是矩形，
米，
，
所以，旗桿的高為（）米.
故選：C.
4．某火箭從地面P處發射，當火箭達到A點時，從位于地面Q處雷達站測得A、Q的距離是米，仰角為，此時火箭A的高度是( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：A
解析：由題意得，米，
在中，
解得：，
火箭的高度是米.
故選：A.
5．在臺風來臨之前，有關部門用鋼管加固樹木(如圖)，固定點A離地面的高度，鋼管與地面所成角，那么鋼管AB的長為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根據題意可知：，
故選：C.
6．如圖，已知點A、點B是同一幢樓上的兩個不同位置，從A點觀測標志物的俯角是65°，從B點觀測標志物C的俯角是35°，則的度數為( )
A.25° B.30° C.35° D.65°
答案：B
解析：如圖，標注字母，由題意得：，，，
，
，
.
故選：B
7．在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）( )
A.米 B.25米 C.米 D.50米
答案：A
解析：設米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
米，
，即，
解得：，
這棟樓的高度為米.
故選：A.
8．如圖，在大樓AB正前方有一斜坡CD，坡角，樓高米，在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A，C，E在同一直線上.則斜坡CD的長度為( ).
A. B. C. D.
答案：A
解析：過點D作于點F，則四邊形AEDF為矩形
，，
設米，在中，米，米，
在中，，
(米)，
，
，
解得：(米).
故選A
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端C處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點A，B，C，P在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米.（參考數據：，，，）
答案：74
解析：由題知，，，，
，
在，，
，
，
在中，，
，
.
故答案為：74.
10．如圖,從航拍無人機A看一棟樓頂部B的仰角為,看這棟樓底部C的俯角β為,無人機與樓的水平距離為,則這棟樓的高度為________m.
答案：
解析：如圖,作于點D,則,
在中,,
,
在中,,
,
,
即這棟樓的高度為,
故答案為：.
11．圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于A，B兩點，燈臂與支架交于點C，已知，，，則支架的長為_______cm.（結果精確到lcm，參考數據：，，）
答案：49
解析：如圖，過點C作于點D，
在中，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案為：49.
12．如圖，小明想要測量學校操場上旗桿的高度，他做了如下操作：
（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂的仰角；
（2）量得測角儀的高度米；
（3）量得測角儀到旗桿的水平距離米.利用銳角三角函數解直角三角形的知識，
旗桿的高度可表示為__________.
答案：米
解析：
過點C作，垂足為F，
，
四邊形是矩形，
米，米，
在中，，
，即，
，
（米），
故答案為：.
13．如圖,熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為,看這棟高樓底部C的俯角為,熱氣球A與高樓的水平距離為120m,這棟高樓BC的高度為_________米.
答案：
解析:過A作,垂足為D.
在中,,m,m,在中,,m,m,m.故答案為.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．如圖，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是.測得斜坡的傾斜角是，求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離（結果保留小數點后一位）.
答案：
解析：設斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為，
則由題意知，
解得.
答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約為.
15．如圖，某飛機于空中A處探測到目標C，此時飛行高度，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角.求飛機A與指揮臺B的距離（結果取整數）.
答案：
解析：由題意得，在中，，，
，
.
答：飛機A與指揮臺B的距離約為.
16．在一次數學綜合實踐活動中,某數學小組的同學們一起測量一座小山的高度.如圖,在點A處測得山頂E的仰角為,向山的方向前進,在點C處測得山頂E的仰角為,已知觀測點A,C到地面的距離,.求小山的高度(精確到).(參考數據：,,,)
答案：
解析：依題意可知,,,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴.
17．如圖,某校綜合實踐小組在兩棟樓之間的水平地面E處放置一個測角儀,經測量,,,已知米,米.求兩棟樓樓頂A,C之間的距離.(參考數據：,,,測角儀的高度忽略不計).
答案：A,C之間的距離為100米
解析：如圖,過點C作,交于點F.
在中,,
∴是等腰直角三角形,∴米,
在中,,
∴,
∴,∴米.
由題意,得(米),(米),
∴(米),
在中,(米).
∴A,C之間的距離為100米.
18．如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔PC，在點A處用測角儀測得塔頂端點P的仰角是45°，向前走9米到達B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是60°和30°.
(1)求的度數；
(2)求該鐵塔PC的高度.(結果精確到0.1米；參考數據：，)
答案：(1)
(2)14.2
解析：(1)延長PC交直線AB于點F，則，
依題意得：，，，
∴；
(2)設米，則米，
在中，米，米，
在中，，
，
，
(米)，
即該鐵塔PC的高度約為14.2米.
19．如圖，小睿為測量公園的一涼亭的高度，他先在水平地面點E處用高的測角儀測得頂部A的仰角為，然后沿方向向前走到達點G處，在點G處用高的測角儀測得頂部A的仰角為.求涼亭的高度（，結果精確到）.
（參考數據：，，，，，）
答案：
解析：聯結并延長，交于點C，由題意得：
，，，，
設，則，
在中，，
，
在中，，
，
解得，經檢驗：是原方程的根，
答：涼亭的高約為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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