資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.2 解直角三角形
學習目標：
1 理解直角三角形中除直角以外的五個元素之間的關系.
2 能綜合運用勾股定理、直角三角形兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形.
老師告訴你
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5個元素，即3條邊和2個銳角，
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。
直角三角形中（1）三邊關系：a2+b2=c2（勾股定理）
（2）兩銳角的關系：∠A+∠B=90°
（3）邊角之間的關系：
　　　，，，
　　　，，.
一、知識點撥
知識點1、 解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.
　　設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：①三邊之間的關系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.
　　③邊角之間的關系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h為斜邊上的高.
注意：(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.
　　(2)這里講的直角三角形的邊角關系指的是等式，沒有包括其他關系(如不等關系).
　　(3)對這些式子的理解和記憶要結合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.
【新知導學】
例1-1．如圖，在中，，D為AB的中點，，則的值是( )
A. B.3 C. D.
例1-2．在中，，，，欲求的值，最適宜的做法是( )
A.計算的值求出 B.計算的值求出
C.計算的值求出 D.先根據求出，再利用求出
【對應導練】
1．如圖，在中，，，.若點D在直線AB上（不與點A，B重合），且，則AD的長為__________.
2．在中，，.若是銳角三角形，則邊長的取值范圍是__________.
知識點2、 已知兩邊解直角三角形
已知條件 解法步驟
Rt△ABC
兩
邊 兩直角邊(a，b) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜邊，一直角邊(如c，a) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
【新知導學】
例2-1．如圖，在中，，，D為上一點，將沿折疊后，點C恰好落在斜邊的中點E處，則折痕的長為___.
例2-2．如圖, 在中, ,,,AD是中線, BE平分 交AC 于點 E,于點F, 則 CF的長為__________.
【對應導練】
1．如圖，正方形ABCD中，點E.F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點G.若，，則GF的長為( )
A. B. C. D.
2．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D都在格點處，AB，CD相交于點O，則的值為( )
A.2 B. C.3 D.
知識點3、 已知一邊一銳角解直角三角形
一
邊
一
角 一直角邊
和一銳角 銳角、鄰邊
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
，
銳角、對邊
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
，
斜邊、銳角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
，
【新知導學】
例3-11．在中，，，，求BC的長.
.
例3-2．在中，，根據下列條件解直角三角形：
（1），；
（2），；
（3），.
【對應導練】
1．如圖是引拉線固定電線桿的示意圖.已知：,,,則拉線的長是________m.
2．如圖，在中，是斜邊上的高.若，則的值為( )
A. B. C. D.
二、題型訓練
1.解直角三角形
1．在中，.
（1）已知，c，寫出解的過程；
（2）已知，a，寫出解的過程；
（3）已知a，c，寫出解的過程.
2．如圖，在中，，，D為上一點，將沿折疊后，點C恰好落在斜邊的中點E處，則折痕的長為___.
3．在中，，若，則( )
A. B. C. D.
2.解非直角三角形
4．如圖,已知中,,,.求的面積.
5．如圖，在中，AD是BC邊上的高，.
（1）求證：；
（2）若，，求的面積.
6．在中，是BC邊上的高，，則BC的長為_______．
3.構造直角三角形解決問題
7．如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A、B、C三點都在格點上，則_______.
8．如圖，在小山的東側A點處有一個熱氣球，由于受風向的影響，該熱氣球以每分鐘30米的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得小山西側B點的俯角為30°，求A，B兩點間的距離.
9．如圖，在矩形ABCD中，點E為矩形內一點，且，，，，則四邊形ABCE的面積是_________.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖,在中,已知,,則的長為( )
A. B. C. D.
2．在中，，，，則的長為( )
A. B. C. D.
3．在中，，若，則的值是( )
A. B. C. D.
4．如圖，AB表示一條跳臺滑雪賽道，在點A處測得起點B的仰角為35°，底端點C與頂端點B的距離為50米，則賽道AB的長度為( )米.
A. B. C. D.
5．在中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的長為( )
A. B.
C. D.
6．在中，，如果，，那么等于( )
A. B. C. D.
7．如圖,斜坡的坡度,那么的值為( )
A.
B.
C.
D.
8．如圖，直線l：分別與x軸、y軸交于點A、B.點P為直線l在第一象限的點.作的外接圓，延長交于點D，當的面積最小時，則的半徑長為( )
A. B.2 C. D.3
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．在中,已知,,,點M在邊上,點N在邊上,且,連接,當為等腰三角形時,______.
10．在中，是BC邊上的高，，則BC的長為_______．
11．如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則_________.
12．如圖，在中，，，，將繞點A逆時針旋轉得到，使點C落在邊上，
（1）旋轉角的度數是________.
（2）線段掃過部分的面積為_________；（結果保留）
13．一副直角三角板如圖放置，點C在的延長線上，，，，，，則________.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．在中，，，，求BC的長.
.
15．如圖, 中, ,是的高, ,,求的長.
16．如圖，在中，，的周長為24，，點D為的中點.求、的長.
17．閱讀與思考.
請仔細閱讀并完成相應的任務.
利用我們所學習的三角函數的相關知識可以解決許多關于三角形邊長、角度、面積等問題.如圖，在銳角中，，，的對邊分別是a，b，c過點B作于點H，則，即，于是.在中，，在中，，，整理得.
任務：
（1）________，________；
（2）已知中，，，的對邊分別是a，b，c，，，，求c.
18．如圖①，已知在中，，，，D是斜邊AB的中點.
（1）求CD的長；
（2）如圖②，過點D作AB的垂線交AC于點E，求DE的長；
（3）如圖③，過點A作CD的垂線，垂足為M，求的值.
19．如圖,在中,是邊上的中線,是銳角,且.
(1)求的度數與的值;
(2)求的值.
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.2 解直角三角形
學習目標：
1 理解直角三角形中除直角以外的五個元素之間的關系.
2 能綜合運用勾股定理、直角三角形兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形.
老師告訴你
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5個元素，即3條邊和2個銳角，
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。
直角三角形中（1）三邊關系：a2+b2=c2（勾股定理）
（2）兩銳角的關系：∠A+∠B=90°
（3）邊角之間的關系：
　　　，，，
　　　，，.
一、知識點撥
知識點1、 解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.
　　設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：①三邊之間的關系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.
　　③邊角之間的關系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h為斜邊上的高.
注意：(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.
　　(2)這里講的直角三角形的邊角關系指的是等式，沒有包括其他關系(如不等關系).
　　(3)對這些式子的理解和記憶要結合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.
【新知導學】
例1-1．如圖，在中，，D為AB的中點，，則的值是( )
A. B.3 C. D.
答案：B
解析：D為AB的中點，所以∠BCD=∠B = =
所以= =3
故選B
例1-2．在中，，，，欲求的值，最適宜的做法是( )
A.計算的值求出 B.計算的值求出
C.計算的值求出 D.先根據求出，再利用求出
答案：C
解析：根據“銳角三角函數”的定義可知，在中，當，，時，求、中的任何一個，都需要先求出BC的長；雖可直接由算出，但在求出后還需利用直角三角形中兩銳角互余才能求出；而由：得到的值后就可直接求得的值了，所以C的方法更合適.
故選：C.
【對應導練】
1．如圖，在中，，，.若點D在直線AB上（不與點A，B重合），且，則AD的長為__________.
答案：6或12
解析：在，，，，
當點D在點B左上方時，如圖所示，
，
，
.
，
，
.
當點D在點B的右下方時，如圖所示，
，，，
在中，，
，
綜上所述，AD的長為6或12.故答案為：6或12.
2．在中，，.若是銳角三角形，則邊長的取值范圍是__________.
答案：
解析：如圖，作的高，，
是銳角三角形，
，在的內部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案為：.
知識點2、 已知兩邊解直角三角形
已知條件 解法步驟
Rt△ABC
兩
邊 兩直角邊(a，b) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜邊，一直角邊(如c，a) 由求∠A，
∠B=90°－∠A，
【新知導學】
例2-1．如圖，在中，，，D為上一點，將沿折疊后，點C恰好落在斜邊的中點E處，則折痕的長為___.
答案：
解析：方法一：將沿折疊后，點C恰好落在斜邊的中點E處，
，，，
，，
.
又，
，
，
.
方法二：在中，，
設，則，
.
在中，，
即，
解得，
即.
故答案為：.
例2-2．如圖, 在中, ,,,AD是中線, BE平分 交AC 于點 E,于點F, 則 CF的長為__________.
答案：
解析：在 中, ，,，. 如圖,
過點E 作 于點G, 則，
，，
AD 是中線，，，，
，
，
【對應導練】
1．如圖，正方形ABCD中，點E.F分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點G.若，，則GF的長為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：正方形ABCD中，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故選:A.
2．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D都在格點處，AB，CD相交于點O，則的值為( )
A.2 B. C.3 D.
答案：A
解析：如圖，點E為格點，連接AE，BE，則易得，，易得，，，，，在中，，.故選A.
知識點3、 已知一邊一銳角解直角三角形
一
邊
一
角 一直角邊
和一銳角 銳角、鄰邊
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
，
銳角、對邊
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
，
斜邊、銳角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
，
【新知導學】
例3-11．在中，，，，求BC的長.
答案：4
解析：在中，，
，
，
.
例3-2．在中，，根據下列條件解直角三角形：
（1），；
（2），；
（3），.
答案：（1），，
（2），，
（3），，
解析：（1），，
.
，
，
.
（2），，
.
，
.
，
.
（3），，，
.
，
，
.
【對應導練】
1．如圖是引拉線固定電線桿的示意圖.已知：,,,則拉線的長是________m.
答案：6
解析：在直角中,,
則.
答：拉線AC的長是6.
2．如圖，在中，是斜邊上的高.若，則的值為( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵是斜邊上的高，
∴是直角三角形，.
∵在中，，
∴設，，
則，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故選B.
二、題型訓練
1.解直角三角形
1．在中，.
（1）已知，c，寫出解的過程；
（2）已知，a，寫出解的過程；
（3）已知a，c，寫出解的過程.
答案：（1）見解析
（2）見解析
（3）見解析
解析：（1），
.
，.
，.
（2），.
，.
，.
（3），.
由，求出，
.
2．如圖，在中，，，D為上一點，將沿折疊后，點C恰好落在斜邊的中點E處，則折痕的長為___.
答案：
解析：方法一：將沿折疊后，點C恰好落在斜邊的中點E處，
，，，
，，
.
又，
，
，
.
方法二：在中，，
設，則，
.
在中，，
即，
解得，
即.
故答案為：.
3．在中，，若，則( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據題意可得：，
在中，，
，
故選：A.
2.解非直角三角形
4．如圖,已知中,,,.求的面積.
答案：
解析：過點A作,垂足為點D,
在中,∵,
∴
∵,
∴
在中,∵,
∴,
∴
∴.
5．如圖，在中，AD是BC邊上的高，.
（1）求證：；
（2）若，，求的面積.
答案：（1）證明見解析
（2）的面積為48
解析：（1）是BC上的高
.
，.
在和中，
，，
又已知，
.
.
（2）在中，，故可設，.
.
，又，
，
由已知，.
.
.
6．在中，是BC邊上的高，，則BC的長為_______．
答案：
解析：如圖,
在中,AD是BC邊上的高,,即,
在中,,
在 中,,,即,
根據勾股定理得：
故答案為:
3.構造直角三角形解決問題
7．如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點.點A、B、C三點都在格點上，則_______.
答案：
解析：如圖，取的中點D，連接，，
，，，
，
又點D是的中點，
，
，
故答案為：.
8．如圖，在小山的東側A點處有一個熱氣球，由于受風向的影響，該熱氣球以每分鐘30米的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得小山西側B點的俯角為30°，求A，B兩點間的距離.
答案：米
解析：如圖，過點A作，垂足為D，
在中，
，（米），
（米）.
在中，
，
（米）.
9．如圖，在矩形ABCD中，點E為矩形內一點，且，，，，則四邊形ABCE的面積是_________.
答案：
解析：如圖，連接AC，過點E分別作于點F，于點G，于點H，則四邊形EFDH為矩形.在中，，，，，.又，平分.同理CE平分，點E是的內心，，，，，四邊形EFDH是正方形，，，.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．如圖,在中,已知,,則的長為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵在中,,,
∴；
故選C.
2．在中，，，，則的長為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中，，，，
，
.
故選：C.
3．在中，，若，則的值是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由題意，得
，
，
，
故選：D.
4．如圖，AB表示一條跳臺滑雪賽道，在點A處測得起點B的仰角為35°，底端點C與頂端點B的距離為50米，則賽道AB的長度為( )米.
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中，
∠A=35°，BC=50米，
sin35°=，
AB=(米).
故選：C.
5．在中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的長為( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根據題意作圖如下：
由題意知：AB=m，∠A=，
，
，
即，
故選：B.
6．在中，，如果，，那么等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
.
故選：B.
7．如圖,斜坡的坡度,那么的值為( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：.
8．如圖，直線l：分別與x軸、y軸交于點A、B.點P為直線l在第一象限的點.作的外接圓，延長交于點D，當的面積最小時，則的半徑長為( )
A. B.2 C. D.3
答案：B
解析：當時，，
當時，，
解得：，
點，
，
，
，，
，
，
是直徑，
，
，
，
，
當最小時，最小，此時，
，
即，
解得：，
，
，
.
故選：B.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．在中,已知,,,點M在邊上,點N在邊上,且,連接,當為等腰三角形時,______.
答案：5或或
解析：當時,如圖1,
∵,
∴,
；
當時,如圖2,作,則有,
,且,
,即,
解得：；
當時,如圖3,作,則有,
,且,
,即,
解得：；
綜上所述,答案為：5或或.
10．在中，是BC邊上的高，，則BC的長為_______．
答案：
解析：如圖,
在中,AD是BC邊上的高,,即,
在中,,
在 中,,,即,
根據勾股定理得：
故答案為:
11．如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則_________.
答案：
解析：如圖，過點A作垂足為H，
，，
設，
，，
，，
，
，
，
解得，，
，，
，，
，
過點C作垂足為M，
，，
，，
，
，
故答案為：.
12．如圖，在中，，，，將繞點A逆時針旋轉得到，使點C落在邊上，
（1）旋轉角的度數是________.
（2）線段掃過部分的面積為_________；（結果保留）
答案：（1）
（2）
解析：（1），，
，
旋轉角的度數，
故答案為：；
（2），，，
，
旋轉角為，
，
線段所掃過部分的面積是.
故答案為：.
13．一副直角三角板如圖放置，點C在的延長線上，，，，，，則________.
答案：
解析：過點B作于點M，
在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
.
故答案是：.
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．在中，，，，求BC的長.
答案：4
解析：在中，，
，
，
.
15．如圖, 中, ,是的高, ,,求的長.
答案：∵,,,
∴,(角所對直角邊等于斜邊一半),
∴,(角所對直角邊等于斜邊一半).
解析：
16．如圖，在中，，的周長為24，，點D為的中點.求、的長.
答案：的長為6，的長為4
解析：在中，，
，，
不妨設，，則.
又的周長為24，
，解得：，
的長為6，的長為8.
點D為的中點.
.
答：的長為6，的長為4.
17．閱讀與思考.
請仔細閱讀并完成相應的任務.
利用我們所學習的三角函數的相關知識可以解決許多關于三角形邊長、角度、面積等問題.如圖，在銳角中，，，的對邊分別是a，b，c過點B作于點H，則，即，于是.在中，，在中，，，整理得.
任務：
（1）________，________；
（2）已知中，，，的對邊分別是a，b，c，，，，求c.
答案：（1）；
（2）
解析：（1）根據進行類比，
可得，，
故答案為：，.
（2），，，，
，
即，
解得，（舍去），
.
18．如圖①，已知在中，，，，D是斜邊AB的中點.
（1）求CD的長；
（2）如圖②，過點D作AB的垂線交AC于點E，求DE的長；
（3）如圖③，過點A作CD的垂線，垂足為M，求的值.
答案：（1）5
（2）
（3）
解析：（1），，
，，
D是AB的中點，.
（2）由（1）知，
在中，，.
（3），，
在中，，
設，，
則，，
，，
.
19．如圖,在中,是邊上的中線,是銳角,且.
(1)求的度數與的值;
(2)求的值.
答案：(1)45°；9
(2)2
解析：(1)如圖,作于E,設,
在中,，
,
,
,解得,
.
在中,,
,
為等腰直角三角形,
,
.
(2)為中線,
,
,
,
即的值為2.
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