資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.1 銳角三角函數2
學習目標：
1.能推導并熟記30°、45°、60°角的三角函數值，并能根據三角函數值說出對應銳角度數；
2.能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角函數的運算式；
3.結合銳角三角函數概念和含特殊角的直角三角形的性質，推導特殊角的三角函數值，了解知識之間的關系，學會綜合運用，認識到三角函數也屬于數的運算系列，掌握由角到邊和由邊到角的轉換.
老師告訴你
特殊角的三角函數值的求法是根據勾股定理及三角函數的定義可得：
一、知識點撥
知識點1 、 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：
【新知導學】
例1-1．的值是( )
A. B.1 C. D.
例1-2．已知是銳角，且，那么的度數為( )
A. B. C. D.無法確定
【對應導練】
1．計算：___________；
2．計算：_________________.
3．計算：
(1)
(2)
4．計算：.
5．計算：(1);
(2).
知識點2 、銳角三角函數之間的關系：
同角三角函數之間的平方關系：
有勾股定理可知：
正弦余弦與正切之間的關系：
一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比。即或。
互余的兩個角的三角函數關系：
①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值。即
②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值。即
若∠A＋∠B＝90°，則或
【新知導學】
例2-1 .在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則cos A＝（　?。?br/>A． B． C． D．
例2-2 .若sin（70°﹣α）＝cos50°，則α的度數是（　?。?br/>A．50° B．40° C．30° D．20°
【對應導練】
1．小明同學遇到了這樣一道題，，則銳角的度數為( )
A. B. C. D.
2．在中，，則為( )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.含60°的任意三角形 D.是底角為30°的等腰三角形
3．三角函數、、之間的大小關系是( )
A. B.
C. D.
4．定義一種運算；，.例如：當，時，，則的值為________.
5 .在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，則cos A的值為（　　）
A． B． C． D．2
二、題型訓練
1.利用特殊角的三角函數值計算
1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．計算：.
3．計算：.
2.利用特殊角的三角函數值求角
4．已知為銳角,,則______.
5．已知是銳角,且,則的度數是________ .
6．在中,,都是銳角,且,,則是( )
A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定
7．在中，，，，則的度數( )
A. B. C. D.無法確定
3.計算器計算函數值
8．用計算器求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．已知下列銳角的三角函數值，用計算器求銳角A的度數：
（1）；
（2）
（3）；
（4）.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．最接近下列哪個數值( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
2．的值等于( ).
A. B. C. D.1
3．的值為( )
A.1 B. C.2 D.
4．已知，是銳角，則的度數是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5．構造幾何圖形解決代數問題是“數形結合思想”的重要應用,小康在計算時,構造出如圖所示的圖形：在中,,,延長到D,,連接,得.根據此圖可求得的結果( )
A. B. C. D.
6．已知為銳角，，則的度數為( )
A. B. C. D.
7．下列計算中，錯誤的個數是( )
①；
②；
③；
④.
A.1 B.2 C.3 D.4
8．在銳角中，若，則等于( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，為測量一座大廈AB的高度，當小明在C處時測得樓頂A的仰角為60°，接著沿BC方向行走30 m至D處時測得樓頂A的仰角為30°，則大廈AB的高度是_______________.
10．在銳角中，若，則_________________.
12．比較大?。篲_______（填“>”“=”或“<”）.
13．將一副三角板按如圖方式擺放，則的正切值為_____.
三、解答題（每小題8分。共48分）
14．求下列各式的值：
（1）；
（2）.
答案：（1）0
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，點A、點B的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.
(1)在圖①中找一個格點C，使得；
(2)在圖②中找點D，作使得；
(3)在圖③中找點E，作使得.
16.(0分)如圖,AB為半圓O的直徑,弦AD、BC相交于點P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值
17．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度.（結果精確到1米，參考數據：）
18．計算
（1）計算:
（2）已知是銳角,且,計算值.
19．綜合與實踐：在學習《解直角三角形》一章時，小邕同學對一個角的倍角的三角函數值與這個角的三角函數值是否有關系產生了濃厚的興趣，并進行研究.
【初步嘗試】我們知道：___________，___________.
發現：___________(填“=”或“”).
【實踐探究】在解決“如圖1，在中，，，，求的值”這一問題時，小邕想構造包含的直角三角形，延長到點D，使，連接BD，所以可得，問題即轉化為求的正切值，請按小邕的思路求的值.
【拓展延伸】如圖2，在中，，，.請模仿小邕的思路或者用你的新思路，試著求一求的值.
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.1 銳角三角函數2
學習目標：
1.能推導并熟記30°、45°、60°角的三角函數值，并能根據三角函數值說出對應銳角度數；
2.能熟練計算含有30°、45°、60°角的三角函數的運算式；
3.結合銳角三角函數概念和含特殊角的直角三角形的性質，推導特殊角的三角函數值，了解知識之間的關系，學會綜合運用，認識到三角函數也屬于數的運算系列，掌握由角到邊和由邊到角的轉換.
老師告訴你
特殊角的三角函數值的求法是根據勾股定理及三角函數的定義可得：
一、知識點撥
知識點1 、 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：
【新知導學】
例1-1．的值是( )
A. B.1 C. D.
答案：A
解析：,
故選：A.
例1-2．已知是銳角，且，那么的度數為( )
A. B. C. D.無法確定
答案：A
解析：，
，
故選：A.
【對應導練】
1．計算：___________；
答案：
解析：原式
.
故答案為：.
2．計算：_________________.
答案：1
解析：，
故答案為：1.
3．計算：
(1)
(2)
答案：(1)0
(2)1
解析：（1）
（2）
4．計算：.
答案：3
解析：原式
.
5．計算：(1);
(2).
答案：(1)
(2)
解析：(1)原式.
(2)原式.
知識點2 、銳角三角函數之間的關系：
同角三角函數之間的平方關系：
有勾股定理可知：
正弦余弦與正切之間的關系：
一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比。即或。
互余的兩個角的三角函數關系：
①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值。即
②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值。即
若∠A＋∠B＝90°，則或
【新知導學】
例2-1 .在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則cos A＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據銳角三角函數的定義以及勾股定理求出AC，再由銳角三角函數的定義進行計算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，
可設BC＝4k，則AB＝5k，由勾股定理得，
AC＝＝3k，
∴cosA＝＝，
故選：C．
例2-2 .若sin（70°﹣α）＝cos50°，則α的度數是（　?。?br/>A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，依此可得70°﹣α+50°＝90°，解方程即可求解．
【解答】解：∵sin（70°﹣α）＝cos50°，
∴70°﹣α+50°＝90°，
解得α＝30°．
故選：C．
【對應導練】
1．小明同學遇到了這樣一道題，，則銳角的度數為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
2．在中，，則為( )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.含60°的任意三角形 D.是底角為30°的等腰三角形
答案：A
解析：，
∴，，
，，
，，
是直角三角形.
故選：A.
3．三角函數、、之間的大小關系是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵(),
∴,
當時,正弦值是隨著角的增大而增大,
∴
∴,
故選：C.
4．定義一種運算；，.例如：當，時，，則的值為________.
答案：
解析：
.
故答案為：.
5 .在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，則cos A的值為（　?。?br/>A． B． C． D．2
【分析】根據銳角三角函數的定義和勾股定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，
由于tanA＝2＝，不妨設b＝k，則a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以cosA＝＝＝，
故選：A．
二、題型訓練
1.利用特殊角的三角函數值計算
1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）2
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
2．計算：.
答案：.
解析：原式=
=
=
=.
3．計算：.
答案：
解析：
.
2.利用特殊角的三角函數值求角
4．已知為銳角,,則______.
答案：
解析：∵a為銳角,且,
∴,
解得：.
故答案為：.
5．已知是銳角,且,則的度數是________ .
答案：45
解析：由,
可得,=
故答案為45.
6．在中,,都是銳角,且,,則是( )
A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定
答案：B
解析：∵中,、都是銳角,,,
∴.
∴.
故選B.
7．在中，，，，則的度數( )
A. B. C. D.無法確定
答案：B
解析：，，，
，
.
故選：B.
3.計算器計算函數值
8．用計算器求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
9．已知下列銳角的三角函數值，用計算器求銳角A的度數：
（1）；
（2）
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．最接近下列哪個數值( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
答案：C
解析：∵,,
觀察四個選項,最接近,
故選：C.
2．的值等于( ).
A. B. C. D.1
答案：C
解析：
故選：C.
3．的值為( )
A.1 B. C.2 D.
答案：B
解析：原式.
故選：B.
4．已知，是銳角，則的度數是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：C
解析：，是銳角，
，
故選C.
5．構造幾何圖形解決代數問題是“數形結合思想”的重要應用,小康在計算時,構造出如圖所示的圖形：在中,,,延長到D,,連接,得.根據此圖可求得的結果( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中,,,延長CB使,連接AD,得,
設,則,
∴,
故選：C.
6．已知為銳角，，則的度數為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：為銳角，，
，
.
故選C.
7．下列計算中，錯誤的個數是( )
①；
②；
③；
④.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：
8．在銳角中，若，則等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，
，，
，，
在銳角中，，
故選：A.
二、填空題（每小題4分，共20分）
9．如圖，為測量一座大廈AB的高度，當小明在C處時測得樓頂A的仰角為60°，接著沿BC方向行走30 m至D處時測得樓頂A的仰角為30°，則大廈AB的高度是_______________.
答案：15
解析：在中，∠ACB=60°
=即tan60°==
BC=
在中，∠ADB=30°
tan∠ADB=即tan30°==
BD=
CD=30
-=30
AB=15
故答案為15
10．在銳角中，若，則_________________.
答案：
解析：，，
，
，，
（負值舍去），，
，
，
，
故答案為：.
11．計算：_____.
答案：
解析：根據特殊角的三角函數值，直接計算即可得.
故答案為.
12．比較大小：________（填“>”“=”或“<”）.
答案：<
解析：在銳角三角函數中，正切值隨角度的增加而增加，
故答案為：<.
13．將一副三角板按如圖方式擺放，則的正切值為_____.
答案：
解析：如圖，作交DC的延長線于點E，
由題意知，，
，，
，
，
，
，
設，則，
，
，
，
故答案為.
三、解答題（每小題8分。共48分）
14．求下列各式的值：
（1）；
（2）.
答案：（1）0
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，點A、點B的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.
(1)在圖①中找一個格點C，使得；
(2)在圖②中找點D，作使得；
(3)在圖③中找點E，作使得.
答案：(1)見解析；
(2)見解析；
(3)見解析.
解析：（1）如圖，點C即為所求，
（2）如圖，即為所求，
（3）如圖，即為所求，
16.(0分)如圖,AB為半圓O的直徑,弦AD、BC相交于點P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值
答案： 解析： 連接BD, 根據圓周角定理可得∠ADB=90°，證得△PCD ∽△PAB,根據相似三角形的性質結合余弦的定義可得∠BPD的余弦值，再結合勾股定理即可求得結果.
連接BD,
∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°.
∵∠C=∠A,∠D=∠B,
∴△PCD ∽△PAB,
∴ .
在Rt△PBD中,cos∠BPD= = ,
設PD=3x,PB=4x,
則BD= ,
∴tan∠BPD= .
考點：圓周角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角函數
點評：本題綜合性強，知識點較多，因而這類問題在中考中比較常見，在各種題型中均有出現，一般難度較大，需多加關注.
17．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度.（結果精確到1米，參考數據：）
答案：這棟樓的高度約為95米.
解析：由題意可知，，米，
在中，(米)，
在中，(米)，
(米).
答：這棟樓的高度約為95米.
18．計算
（1）計算:
（2）已知是銳角,且,計算值.
答案：（1）1
（2）0
解析:（1）解:
（2）是銳角,且,
,
,
19．綜合與實踐：在學習《解直角三角形》一章時，小邕同學對一個角的倍角的三角函數值與這個角的三角函數值是否有關系產生了濃厚的興趣，并進行研究.
【初步嘗試】我們知道：___________，___________.
發現：___________(填“=”或“”).
【實踐探究】在解決“如圖1，在中，，，，求的值”這一問題時，小邕想構造包含的直角三角形，延長到點D，使，連接BD，所以可得，問題即轉化為求的正切值，請按小邕的思路求的值.
【拓展延伸】如圖2，在中，，，.請模仿小邕的思路或者用你的新思路，試著求一求的值.
答案：【初步嘗試】，，
【實踐探究】
【拓展延伸】
解析：【初步嘗試】，，，
故答案為：，，；
【實踐探究】如圖1，在中，，，，
.
，
，
，，
.
【拓展延伸】如圖2，作的垂直平分線交于點E，連接.
則，，.
中，，，.
，.
設，則，
在中，，
解得，即，.
.
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