資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.1 銳角三角函數
學習目標：
1. 理解并掌握銳角正弦、余弦、正切的定義，進而得到銳角三角函數的概念。
2. 能靈活運用銳角三角函數進行相關運算。
3.經歷探索直角三角形中的邊與角的關系，培養學生由特殊到一般的演繹推理能力. 通過學生自我發現培養學生的自我反思能力，通過提出困惑提升學生發現問題的能力.
老師告訴你
銳角三角函數是數學中用于直角三角形中銳角與邊長之間關系的函數；初中包括正弦、余弦、正切；
正弦：在直角三角形中，銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦。
余弦：在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦。
正切：在直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切。
一、知識點撥
知識點1 、 銳角∠A的正弦
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我們把銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作 sin A 即
sin A==，
【新知導學】
例1-1．在直角三角形中，如果各邊都擴大1倍，則其銳角的三角函數值( )
A.都擴大1倍 B.都沒有變化
C.都縮小為原來的一半 D.不能確定
【對應導練】
1．如圖,梯子(長度不變)與地面所成的銳角為,關于的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的關系,下列說法中,正確的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡緩程度與的函數值無關
2．在中，，若，，則是( )
A. B. C. D.
知識點2 、 銳角∠A的余弦
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，
cos A==，
【新知導學】
例2-1．如圖,已知在中,,則( )
A. B. C. D.
例2-2．如圖，在中，，于點D，則下列結論不正確的是( )
A. B. C. D.
【對應導練】
1．如圖,在中,,若,則是( )
A. B. C. D.
2．在中，，，，則的值是( )
A. B. C. D.
3．在中，，，，則的余弦值為________.
知識點3 、 銳角∠A的正切
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做 ∠A 的正切，記作 tanA， 即
tan A==．
sin A、cos A、tan A分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統稱為銳角∠A的三角函數．
【新知導學】
例3-1．如圖,在平面直角坐標系中,點A在x軸的正半軸上,點B坐標為,則的值為___.
例3-2．在高位100米的樓頂得得地面上某十字路口的俯角為，那么樓底到這個十字路口的水平距離是_______________米（用含的代數式表示）.
【對應導練】
1．在中，，已知，，則的值為( )
A. B. C. D.
2．如圖，是圓錐的母線，為底面直徑，已知，圓錐的側面積為，則的值為( )
A. B. C. D.
3．已知在中，，，，則等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
知識點4、銳角∠A的正弦、余弦、正切的定義應用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三條邊的任意兩條邊，可以求出銳角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知銳角的正弦值求直角三角形的邊長以及三角形周長、面積等。
注意：當用三角函數定義求角的三角函數值時，首先要判斷這個三角形是否為直角三角形，若是，還應明確哪個角是直角，切忌硬套定義式．對于復雜問題，需要構造直角三角形，將所考察的角置身在這個直角三角形中．
(1)正弦、余弦、正切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段的比值．角的度數確定時，其比值不變，角的度數變化時，比值也隨之變化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．
　　(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．
　　(4)由銳角三角函數的定義知：
當角度在0°<∠A<90°間變化時，，，tanA＞0．
【新知導學】
例4-1．在中，，，，求，和的值.
例4-2．分別求出圖中，的正弦值、余弦值和正切值.
【對應導練】
1．如圖,點A為邊上的任意一點,作于點C,于點D,下列用線段比表示的值,錯誤的是( )
A. B. C. D.
2．如圖,點,,,在上,是的一條弦,則( ).
A. B. C. D.
3．如圖，在網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值為_____.
二、題型訓練
1.已知三角形邊長求銳角三角函數值
1．如圖所示，的頂點是正方形網格的格點，則的值為( )
A． B． C． D．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，，BE平分交CD于O，交AD延長線于E，連接CE.
（1）求證：四邊形BCED是菱形；
（2）若，，求的面積.
3．6個全等的小正方形如圖放置在中，則的值是________.
2.已知銳角函數值求三角形邊長
4．2024年5月29日16時12分,“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射.當火箭上升到點A時,位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米,仰角為,則此時火箭距海平面的高度為(　　)
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
5．在中,,,,則BC的長為( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
6．如圖,為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度,在距離樹的底端30米的B處,測得樹頂A的仰角為,則樹OA的高度為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.銳角三角函數應用
7．如圖是一把遮陽傘的示意圖,遮陽傘立柱垂直于,垂足為點D,米.當遮陽傘撐開至如圖所示的位置時,,則此時傘內半徑的長度為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
8．如圖，為了綠化荒山，在坡角的山坡上修建揚水站（），揚水站中出水口B的高度為.現在打算從山腳下的機井房A沿山坡鋪設水管，則鋪設水管的長度為______m.(用含的三角函數表示)
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．已知在中，，，，則AC等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
2．在中,,,,則BC的長為( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
3．如圖是一把遮陽傘的示意圖,遮陽傘立柱垂直于,垂足為點D,米.當遮陽傘撐開至如圖所示的位置時,,則此時傘內半徑的長度為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
4．在中，，，垂足為D，則下列式子中正確的是( )
A. B. C. D.
5．如圖，在中，，，，，則下列選項正確的是( )
A. B. C. D.
7．如圖，的頂點都在方格紙的格點上，則的值為( )
A. B. C.3 D.
8．已知直線，且相鄰的兩條平行直線間的距離均等，將一個含的直角三角板按圖示放置，使其三個頂點分別在三條平行線上，則的值是( )
A. B. C. D.
二、填空題（每小題4分，共20分））
9．在中，，，，則的值為________.
10．在中，，，，則的余弦值為________.
11．正方形網格中,如圖放置,則______.
12．如圖1是一種手機平板支架，圖2是其側面結構示意圖.托板AB固定在支撐板頂端的點C處，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動.如圖2，若量得支撐板長，，則點C到底座DE的距離為______cm（結果保留根號）.
13．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，tan∠AFE等于_______
A． B． C． D．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．在中，，，，求，和的值.
15.如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于點E．
求證：ABCD；
已知BC＝6，AB＝10，求的值．
16．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處.已知折痕，且.
（1）與有什么關系？
（2）求矩形ABCD的周長.
17．如圖，在菱形中，對角線、交于點O，交延長線于點E，交延長線于點F.
（1）求證：四邊形為矩形.
（2）若，，則的值為______.
18．如圖，在中，，，的平分線BD交AC于點D，，求AB的長.
19．如圖，在中，，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使.
（1）若，求的周長；
（2）若，求的值.
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第28章 銳角三角函數
28.1 銳角三角函數
學習目標：
1. 理解并掌握銳角正弦、余弦、正切的定義，進而得到銳角三角函數的概念。
2. 能靈活運用銳角三角函數進行相關運算。
3.經歷探索直角三角形中的邊與角的關系，培養學生由特殊到一般的演繹推理能力. 通過學生自我發現培養學生的自我反思能力，通過提出困惑提升學生發現問題的能力.
老師告訴你
銳角三角函數是數學中用于直角三角形中銳角與邊長之間關系的函數；初中包括正弦、余弦、正切；
正弦：在直角三角形中，銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦。
余弦：在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦。
正切：在直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切。
一、知識點撥
知識點1 、 銳角∠A的正弦
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我們把銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作 sin A 即
sin A==，
【新知導學】
例1-1．在直角三角形中，如果各邊都擴大1倍，則其銳角的三角函數值( )
A.都擴大1倍 B.都沒有變化
C.都縮小為原來的一半 D.不能確定
答案：B
解析：根據銳角三角函數的概念，知：
如果各邊都擴大1倍，即各邊都變為原來的2倍，邊長比不變，則其銳角的三角函數值不變.
故選：B.
【對應導練】
1．如圖,梯子(長度不變)與地面所成的銳角為,關于的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的關系,下列說法中,正確的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡緩程度與的函數值無關
答案：A
解析：A、的值越大,則越大,則梯子越陡,原說法正確,符合題意；
B、的值越大越小,梯子越平緩,原說法錯誤,不符合題意；
C、的值越小越小,梯子越平緩,原說法錯誤,不符合題意；
D、陡緩程度與的函數值有關,原說法錯誤,不符合題意；
故選：A.
2．在中，，若，，則是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：的對邊為AC，斜邊為，.
知識點2 、 銳角∠A的余弦
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，
cos A==，
【新知導學】
例2-1．如圖,已知在中,,則( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中,.
故選：C.
例2-2．如圖，在中，，于點D，則下列結論不正確的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
在中，，故A正確，不符合題意；
，
在中，，故B正確，不符合題意；
，，
，
在中，，故D正確，不符合題意，C錯誤，符合題意；
故選：C.
【對應導練】
1．如圖,在中,,若,則是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由,
∴是,
故選：C.
2．在中，，，，則的值是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根據題意畫出圖如圖所示：
，，，
.
故選：D.
3．在中，，，，則的余弦值為________.
答案：/
解析：如圖所示，
在中，，，
，
則.
故答案為：.
知識點3 、 銳角∠A的正切
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做 ∠A 的正切，記作 tanA， 即
tan A==．
sin A、cos A、tan A分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統稱為銳角∠A的三角函數．
【新知導學】
例3-1．如圖,在平面直角坐標系中,點A在x軸的正半軸上,點B坐標為,則的值為___.
答案：
解析：做軸于點C,
∵點B坐標為,
∴,,
∴.
故答案為：.
例3-2．在高位100米的樓頂得得地面上某十字路口的俯角為，那么樓底到這個十字路口的水平距離是_______________米（用含的代數式表示）.
答案：.
解析：如圖所示，
，，
.
故答案為：.
【對應導練】
1．在中，，已知，，則的值為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，，
，
故選：C.
2．如圖，是圓錐的母線，為底面直徑，已知，圓錐的側面積為，則的值為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根據題意可知：，
解得，
，
，
.
故選：A.
3．已知在中，，，，則等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
答案：B
解析：如圖：
，，
，
故選：B.
知識點4、銳角∠A的正弦、余弦、正切的定義應用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三條邊的任意兩條邊，可以求出銳角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知銳角的正弦值求直角三角形的邊長以及三角形周長、面積等。
注意：當用三角函數定義求角的三角函數值時，首先要判斷這個三角形是否為直角三角形，若是，還應明確哪個角是直角，切忌硬套定義式．對于復雜問題，需要構造直角三角形，將所考察的角置身在這個直角三角形中．
(1)正弦、余弦、正切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段的比值．角的度數確定時，其比值不變，角的度數變化時，比值也隨之變化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．
　　(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．
　　(4)由銳角三角函數的定義知：
當角度在0°<∠A<90°間變化時，，，tanA＞0．
【新知導學】
例4-1．在中，，，，求，和的值.
答案：，，
解析：在中，.
，
，
.
例4-2．分別求出圖中，的正弦值、余弦值和正切值.
答案：（1），，；，，
（2），，；，，
（3），，；，，
解析：（1），，，
，
，，
，，
，.
（2），，，
，
，，
，，
，.
（3），，，
，
，，
，，
，.
【對應導練】
1．如圖,點A為邊上的任意一點,作于點C,于點D,下列用線段比表示的值,錯誤的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵,,
∴,
∴,
∴,
只有選項C錯誤,符合題意.
故選C.
2．如圖,點,,,在上,是的一條弦,則( ).
A. B. C. D.
答案：D
解析：連接CD,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
故選：D.
3．如圖，在網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值為_____.
答案：
解析：延長到D，連接，如圖：
，，，
，
，
.
故答案為：.
二、題型訓練
1.已知三角形邊長求銳角三角函數值
1．如圖所示，的頂點是正方形網格的格點，則的值為( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：在B點正上方找一點D,使,連接CD交AB于點O,由網格可得: ,則,
故.
故選D
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，，BE平分交CD于O，交AD延長線于E，連接CE.
（1）求證：四邊形BCED是菱形；
（2）若，，求的面積.
答案：（1）見解析；（2）16
解析：（1）因為BE平分，
所以，
因為四邊形ABCD為平行四邊形，
所以，
所以，
所以，
所以BC平行且等于DE并且，
所以四邊形BCED是菱形.
（2）因為BCED是菱形，
所以，，
而，
所以OD是的中位線，
所以，.
因為，
所以，
所以.
3．6個全等的小正方形如圖放置在中，則的值是________.
答案：
解析：如圖，
有6個大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，設小正方形的邊長為a，
，，，
，
，
.
故答案為：.
2.已知銳角函數值求三角形邊長
4．2024年5月29日16時12分,“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射.當火箭上升到點A時,位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米,仰角為,則此時火箭距海平面的高度為(　　)
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
答案：A
解析：由題意得：
∴千米
故選：A.
5．在中,,,,則BC的長為( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
答案：A
解析：如圖
,,,
,
解得：,
故選：A.
6．如圖,為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度,在距離樹的底端30米的B處,測得樹頂A的仰角為,則樹OA的高度為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：C
解析：在中,
∵米,為,
∴(米).
故選C.
3.銳角三角函數應用
7．如圖是一把遮陽傘的示意圖,遮陽傘立柱垂直于,垂足為點D,米.當遮陽傘撐開至如圖所示的位置時,,則此時傘內半徑的長度為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：B
解析：∵,
∴米
故選：B.
8．如圖，為了綠化荒山，在坡角的山坡上修建揚水站（），揚水站中出水口B的高度為.現在打算從山腳下的機井房A沿山坡鋪設水管，則鋪設水管的長度為______m.(用含的三角函數表示)
答案：
解析：在中，，，
，
（m），
則鋪設水管的長度為 m；
故答案為：.
三、課堂達標
一、單選題（每小題4分，共32分）
1．已知在中，，，，則AC等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
答案：B
解析：如圖：
，，
，
故選：B.
2．在中,,,,則BC的長為( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
答案：A
解析：如圖
,,,
,
解得：,
故選：A.
3．如圖是一把遮陽傘的示意圖,遮陽傘立柱垂直于,垂足為點D,米.當遮陽傘撐開至如圖所示的位置時,,則此時傘內半徑的長度為( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：B
解析：∵,
∴米
故選：B.
4．在中，，，垂足為D，則下列式子中正確的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由題意可得，
∵在中，，，
∴，故A正確，符合題意，
，故B錯誤，不符合題意，
，故C錯誤，不符合題意，
，故D錯誤，不符合題意，
故選A.
5．如圖，在中，，，，，則下列選項正確的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：在中，，，，，
，，，
故選D.
6．在中，，，，則的值為( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中，，，，
由勾股定理得：，
故選C.
7．如圖，的頂點都在方格紙的格點上，則的值為( )
A. B. C.3 D.
答案：A
解析：由圖可知：，
；
故選A.
8．已知直線，且相鄰的兩條平行直線間的距離均等，將一個含的直角三角板按圖示放置，使其三個頂點分別在三條平行線上，則的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如圖：過點A作于D，過點B作于E，
設、、間的距離為，
，，
，
，，
，
在等腰直角中，，
在和中，
，
，
，
在中，，
.
故選：C.
二、填空題（每小題4分，共20分））
9．在中，，，，則的值為________.
答案：
解析：在中，，
.
故答案為：.
10．在中，，，，則的余弦值為________.
答案：/
解析：如圖所示，
在中，，，
，
則.
故答案為：.
11．正方形網格中,如圖放置,則______.
答案：2
解析：如圖,
,
故答案為2.
12．如圖1是一種手機平板支架，圖2是其側面結構示意圖.托板AB固定在支撐板頂端的點C處，托板AB可繞點C轉動，支撐板CD可繞點D轉動.如圖2，若量得支撐板長，，則點C到底座DE的距離為______cm（結果保留根號）.
答案：
解析：如圖，過點C作，點C到底座DE的距離為CM，
，，
.
故答案為：4.
13．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E為AD邊上一點，沿CE將△CDE對折，使點D正好落在AB邊上，tan∠AFE等于_______
A． B． C． D．
【答案】
【分析】依據折疊的性質以及矩形的性質，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的長．根據三角函數的定義，易得tan∠BCF的值，依據∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根據折疊的性質得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
則tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，
故答案
【點撥】本題主要考查了矩形的折疊問題，求三角函數值，勾股定理，余角的性質，根據折疊和勾股定理求出，是解題的關鍵．
三、解答題（每小題8分，共48分）
14．在中，，，，求，和的值.
答案：，，
解析：在中，.
，
，
.
15.如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于點E．
求證：ABCD；
已知BC＝6，AB＝10，求的值．
【答案】(1) 見分析(2)
【分析】（1）由角平分線定義得，．再由等腰三角形性質得．從而得出，即可由平行線的判定定理得出結論；
（2）先由勾股定理求出，再證△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可．
（1）證明：∵BD平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴△CDE∽△ABE，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，
．
【點撥】本題考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，熟練掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
16．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處.已知折痕，且.
（1）與有什么關系？
（2）求矩形ABCD的周長.
答案：（1）
（2）
解析：（2）設，，則，，，.
在中，，
，
，
，（不合題意，舍去）.
故矩形ABCD的周長是.
17．如圖，在菱形中，對角線、交于點O，交延長線于點E，交延長線于點F.
（1）求證：四邊形為矩形.
（2）若，，則的值為______.
答案：（1）見詳解
（2）
解析：（1）證明：四邊形是菱形，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
平行四邊形是矩形.
（2）四邊形是菱形，，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
在中，.
18．如圖，在中，，，的平分線BD交AC于點D，，求AB的長.
答案：
解析：在中，，，
.
.
是的平分線，
.
又，
.
在中，，，
.
19．如圖，在中，，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使.
（1）若，求的周長；
（2）若，求的值.
答案：（1）的周長為1
（2）
解析：（1）如圖，設BC的垂直平分線交BC于點F，
.
.
，
，
即的周長為1.
（2）設，則.
，
.
在中，，
.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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