資源簡介

14.2.1 平方差公式 教學設計
教學內容解析
教學流程圖
地位與作用
整式的乘法運算是基礎的代數初步知識，是以后進一步學習分式和根式運算、函數等知識的基礎，也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可或缺的知識．平方差公式是整式乘法中的一種特殊情況，也是因式分解中公式法的重要基礎，在代數中具有廣泛的應用．平方差公式的學習過程也為后續完全平方公式的學習打下了基礎．
概念解析
在整式乘法的運算中，某些具有特殊形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式，并直接運用公式寫出結果．平方差公式是多項式的乘法公式的一種．公式中，字母a、b可以是具體的數，也可以是單項式或多項式．
思想方法
在公式推導與理解的過程中經歷從一般到特殊，從具體到抽象的過程，體會數學中歸納的方法，培養學生的推理能力．結合圖形，根據圖形的面積解釋平方差公式，在體現數形結合思想的同時，對于培養幾何直觀有著重要的作用．
知識類型
平方差公式是關于原理與規則的知識，在授課過程中要讓學生經歷引入——本質特征概括——給出公式——辨析公式——應用公式等過程．
教學重難點
本節課的教學重難點：理解平方差公式及其結構特征，并能夠正確運用平方差公式解決簡單問題．
教學目標解析
教學目標：
1. 能推導乘法公式：；
2. 了解公式的幾何背景；
3. 能利用平方差公式進行簡單計算．
目標解析：
達成目標1的標志是：知道平方差公式是多項式乘法的一種特殊情況，能歸納出平方差公式，并用文字語言和符號語言表示．
達成目標2的標志是：能結合圖形，根據圖形的面積解釋平方差公式．
達成目標3的標志是：能準確描述平方差公式的結構特征，判斷具體算式是否適用平方差公式，并能利用公式進行簡單計算．
教學問題診斷分析
具備的基礎
本節課是在學習了整式乘法后的進一步學習，學生已經有了較好的運算基礎，能夠進行一般形式的整式乘法，對多項式乘以多項式也能夠靈活運用．
與本課目標的差距分析
本節課研究的是整式乘法的特殊形式，學生需要經歷從具體到抽象的過程，并體會平方差公式的結構特征，認識使用公式進行運算的條件．
存在的問題：
對于初次接觸平方差公式的學生來說，找準哪個數或式子是公式中的“第一個數”a，哪個數或式子相當于公式中的“第二個數”b，可能會有困難．另外，學生缺乏探究公式的一般思路及方法，以及如何借助圖形的面積解釋平方差公式都是在學習中學生可能會遇到的問題和障礙．
應對策略：
重視對數學抽象這一數學核心素養的培養．獲得數學概念和規則是數學抽象的主要表現之一，本節課對平方差公式的探究是由特殊到一般、由具體到抽象的歸納過程，要讓學生經歷這一過程，并體會數學高度概括、表達準確、結論一般等特點，養成“一般性”思考的習慣，把握事物的本質．
從代數和幾何兩個角度數形結合的引導學生理解公式的結構特征，在體現數形結合思想的同時，也可以培養學生的幾何直觀，對于學有余力的同學，可以嘗試自己構造圖形，借助面積解釋平方差公式．
教學難點
本節課的教學難點：平方差公式結構特征的理解，字母廣泛含義的理解．
教學過程設計
課前檢測
1．計算：
2．計算：
3．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．根據圖 1 可以得到的等式是．
設計意圖：檢測第1、2兩題考查學生整式乘法運算的掌握情況，若學生單項式乘以單項式、多項式乘以多項式還存在問題，必須進行適當訓練，再進入乘法公式的學習；檢測第3題考查學生是否具備幾何直觀，能夠從不同角度列式表示同一個幾何圖形的面積．
探究活動1
1．溫故知新引入新課
問題1：多項式乘多項式的法則是什么？
問題2：計算下列多項式的積
（1）（x+1)(x-1)
（2）(m+2)(m-2)
（3）(2x+1)(2x﹣1)
（4）（1+y)（1﹣y）
（5）(x+4)(x-4)
（6）(2xy+3)(2xy-3)
（7）(3y2+x)(3y2﹣x)
（8）（abc+3）（abc﹣3）
（9）（b2a+10c）（b2a﹣10c）
（10）(m2n3+2m)(m2n3﹣2m)
（11）（x+5y）（x﹣5y）
（12）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
師生互動設計：教師出示練習題，學生獨立完成，并展示結果．
設計意圖：以一組相關聯但又有區別的題目為載體，回憶多項式乘法法則，通過計算多個式子，體會整式乘法中的一些特殊結構特征，通過獨立完成習題，逐步感受其中的內在規律．
探究活動2
2．觀察運算的結構特征
問題3：分組討論：回顧上面一組練習，你有什么發現？
追問1：觀察這組練習的運算結果，有什么特點？與之前所學的多項式乘以多項式的結果有什么不同？你認為是什么原因造成的呢？
師生互動設計：學生分組討論，能夠歸納出參與運算的這些多項式的結構特征，以及運算結果的結構特征，并能有條理地進行表達，這種表達可以是文字敘述也可以是符號表示．若個別組討論有困難，教師在巡視時可進行適當地引導和追問．
設計意圖：學生在進行運算后，借助自己的運算結果進行討論，揭示公式的結構特征，是學生理解公式、進而靈活運用公式解決問題的前提條件．讓學生自主辨析、合作交流、共同總結得以明晰．
探究活動3
3．歸納總結形成公式
問題4：經過討論，同學們用一個等式表達了發現的運算規律，即，請問這個等式一定成立嗎？
師生互動設計：讓學生認識到規律需要推理證明，教師板書推理過程．
設計意圖：從具體到抽象，用字母來表示一類結構特征，體現符號語言的應用．公式的證明，體現數學的嚴謹性．
探究活動4
問題5：你能夠用文字語言來描述公式的含義嗎？
師生互動設計：教師引導學生分析公式，理解公式，并板書：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．
設計意圖：將符號語言轉化為文字語言，加深對平方差公式結構特征的理解．
問題6：分組討論：你能根據圖中圖形的面積說明平方差公式嗎？
師生互動設計：學生能夠互相啟發，從圖中分別讀出面積為和的圖形，并能夠分析出這兩個圖形的面積是相等的，從而說明平方差公式成立．
設計意圖：從幾何角度數形結合去引導學生理解公式的結構特征，在體現數形結合思想的同時，也可以培養學生的幾何直觀．
典例精析
4．辨析公式應用公式
【例題1】計算：
（1）；
（2）．
師生互動設計：教師首先引導學生觀察算式，明確它們均符合平方差公式的結構特征，因此選擇用直接套用公式簡化運算．其次分析算式中兩個多項式的特征，明確哪項對應公式中的a，哪項對應公式中的b，并進行板書．第三按照公式將其寫為的形式，并進一步進行運算．
設計意圖：結合例題加深對平方差公式結構特征的理解，同時體會平方差公式適用于某些具有特殊結構特征的整式乘法運算，并且能夠達到簡化運算的作用．
【練習1】請每一位同學再舉出一個符合平方差公式結構特征的運算，不需要計算出結果，然后小組之間交換計算題，考考你的伙伴．
師生互動設計：學生互相出題作答，先觀察式子，判斷是否可以運用公式計算，作出分析后運用平方差公式解決問題，隨后互相批改討論．教師巡視指導，并尋找正解與典型錯例，隨后由學生展示并解析．
設計意圖：由學生自行出題，發展題目的多樣性，并且保證每一位學生都參與到公式的辨析與運用當中，展示正確解題過程以及典型錯誤示例，讓學生分享及講解，促進學生對公式的理解，對公式結構特征的把握，并且通過糾錯環節進行自我反思．
追問：公式中的都可以代表什么呢？
師生互動設計：教師提問，學生思考并作答，即字母可以表示數，式子，可以表示單項式，也可以表示多項式等等．
設計意圖：通過追問體會字母廣泛的含義．
【例題2】計算：
（1）
（2）
師生互動設計：教師引導學生關注算式的結構特征，選擇適當的策略進行運算．
設計意圖：進一步體會平方差公式適用于一類具有特殊結構特征的整式的乘法運算，而不具備這種結構特征的仍需按照多項式乘以多項式的法則進行運算，同時平方差公式能為某些能化成形如的數的乘法提供簡便運算的依據．
歸納總結
1.本節課學習了哪些內容？
2.平方差公式的結構特征是什么？
3.應用平方差公式時要注意些什么？
師生互動設計：教師引導學生對上述問題進行反思，回顧本節課內容．
設計意圖：課堂小結，總結當堂所學，從知識與方法等不同角度進行分析，再次深入思考，促進對平方差公式的理解．
目標檢測設計
一、選擇題
1．下列算式能用平方差公式計算的是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列計算中正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空題
3．（-1-3x）(_________)=1-9x
4．若三角形的底邊長為2a+1,高為2a-1,則此三角形的面積為___________．
三、解答題
5．某學校有一個邊長米的正方形草坪，經統一規劃后，南北向縮短3米，而東西向要加長3米，改造后的長方形草坪與改造前相比面積有沒有發生變化 如果沒發生變化，請說明原因；如果發生了變化，請計算出變化的面積是多少平方米.

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