資源簡(jiǎn)介

第五講 中考?jí)狠S題難點(diǎn)突破 1
《利用平行線解決二次函數(shù)中的面積問(wèn)題》---郭愛(ài)玲
一、考點(diǎn)和知識(shí)技能梳理：
二次函數(shù)中的面積問(wèn)題常常出現(xiàn)在中考的壓軸題中，是中考?jí)狠S題的難點(diǎn)之一。這類題
型一般綜合性較強(qiáng)，主要考查學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，
分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等。熱點(diǎn)考題是：面積最值問(wèn)題，用代數(shù)式表示面積問(wèn)題，面積之
間的和、差、比值等問(wèn)題。常見(jiàn)的解題方法有：1、設(shè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式解
決問(wèn)題；2、利用鉛垂高、水平寬解決問(wèn)題；3、利用割補(bǔ)法解決問(wèn)題；4、利用三角形相似
解決問(wèn)題； 5、 利用平行線解決問(wèn)題等。其中，利用平行線解決二次函數(shù)中的面積問(wèn)題的
方法常常可以做到簡(jiǎn)化問(wèn)題，簡(jiǎn)便運(yùn)算的作用。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)： 利用平行線解決面積最
值問(wèn)題；利用平行線轉(zhuǎn)移三角形面積；利用平行線把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。
二、學(xué)習(xí)過(guò)程：
模塊一
（一）知識(shí)鋪墊 1：任何兩條夾在平行線間的垂線段長(zhǎng)度相等；
（1）如圖 1，若直線 a∥b，則有 MN＝PQ
（2）如圖 2，直線 a∥b，則 S△ABC= S△BCD
（二）典例精講：
例題 1. 已知：如圖，拋物線 y＝x2+4x+3 交 x 軸于 E、F 兩點(diǎn)，交 y 軸于 A 點(diǎn)，若 Q 為拋
物線上一點(diǎn)，連接 QE，QA，設(shè)點(diǎn) Q 的橫坐標(biāo)為 t（t＜﹣3），△QAE 的面積為 S，求 S
與 t 函數(shù)關(guān)系式；
第 1 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
【解答】解: 易得 A（0，3），E（-3，0），AE: y＝x+3．
作 QH//AE， 交 y 軸于點(diǎn) H，
S AEQ S AEH
設(shè) Q（t，t2+4t+3），設(shè) HQ：y＝x+b
把 Q 點(diǎn)坐標(biāo)代入 y＝x+b
2
可得 HQ: y=x t 3t 3
2
∴H（0 ， t 3t 3
2
）， AH= t 3t ，
1
S AEQ S AEH AH OE
2
1
(t 2
3 9
3t) 3 t 2 t
2 2 2
小結(jié)：利用平行線轉(zhuǎn)移面積，常常是過(guò)動(dòng)點(diǎn)作定直線的平行線，利用“任何兩條夾在平行
線間的垂線段長(zhǎng)度相等”，把三角形轉(zhuǎn)化為有一條邊在坐標(biāo)軸上的三角形，從而達(dá)到簡(jiǎn)
化問(wèn)題的目的。
例題 2. 如圖，拋物線 y＝﹣x2+2x+3 交 x 軸于點(diǎn) A，B，交 y 軸正半軸于點(diǎn) C，連接 BC．如
圖，過(guò)點(diǎn) A 作 AD∥BC，交拋物線于點(diǎn) D，點(diǎn) P 為直線 BC 上方拋物線上任意一點(diǎn)，連接
DP，與 BC 交于點(diǎn) E，連接 AE，AP，當(dāng)△APE 面積最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)及△APE 面積的
最大值；
第 2 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
【解答】
解法 1：解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
作∵PQ∥AD，交 x 軸于點(diǎn) Q
∴S△DAP＝S△QAD，S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△QAD﹣S△BAD= S△QBD，
設(shè)點(diǎn) P（m，﹣m2+2m+3），
∵PQ∥AD
∴直線 PQ 的表達(dá)式為：y＝﹣x ﹣m2+3m+3，
∴Q（﹣m2+3m+3，0）
S△QBD= QB |yD|
5
= （﹣m2+3m+3）
2
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值為 ，此時(shí)，點(diǎn) P（ ， ）；
解法 2： 解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
過(guò)點(diǎn) D 作 DF∥AP 交 x 軸于點(diǎn) F，連接 PF，
∵DF∥AP， ∴S△DAP＝S△FAP，
∵BC∥AD，∴S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△FAP﹣S△BAD，
設(shè)點(diǎn) P（m，﹣m2+2m+3），
直線 AP 的表達(dá)式為：y＝（3﹣m）（x+1），
∵DF∥AP，則直線 FD 的表達(dá)式為：y＝（3﹣m）（x﹣4）
﹣5，
令 y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，則 x＝ ，則 AF＝5+ ，
則 S△APE＝S△FAP﹣S△BAD＝ FA yP﹣ AB |yD|
＝ （5+ ）×（﹣m2+2m+3）﹣ 4×5
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
第 3 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
故 S△APE 有最大值為 ，此時(shí)，點(diǎn) P（ ， ）；
解法 3：解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
設(shè) P（t，﹣t 2+2 t +3），
直線 AD 的表達(dá)式為：y＝-x﹣1
∴Q（t，﹣t -1） ∴PQ=﹣t 2+3 t +4
S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△DAP﹣S△BAD
＝ PQ ( xD xA )﹣ AB |yD|
＝ 5×（﹣t 2+3 t +4）﹣ 4×5
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值為 ，此時(shí)，點(diǎn) P（ ， ）；
小結(jié)：△APE 中，P、E 都是動(dòng)點(diǎn)，只有一個(gè)定點(diǎn) A，如果過(guò)三角形的某個(gè)點(diǎn)構(gòu)造平行線，
在表達(dá)三邊所在直線的解析式上運(yùn)算量相對(duì)較大，所以不建議直接構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)移△
APE，而是采用割補(bǔ)法把△APE 轉(zhuǎn)移為△APD 的面積減去△AED 的面積，因?yàn)?BC//AD，
所以△AED 可以轉(zhuǎn)移為△ABD 的面積，A、B、D 都是定點(diǎn)，面積可求，所以只需要表示
△APD 的面積，問(wèn)題即可解決。A 和 D 為定點(diǎn)，P 為動(dòng)點(diǎn)，可考慮構(gòu)造平行線表示面積，
也可以考慮鉛垂高水平寬求面積。
（三） 跟進(jìn)練習(xí)：
1. 如圖，已知二次函數(shù) y＝﹣ x2+ x+4 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A（0，4）．與 x 軸交于點(diǎn)
B，C，點(diǎn) C 坐標(biāo)為（8，0），連接 AB、AC．若點(diǎn) N 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn) B，C 重
合），過(guò)點(diǎn) N 作 NM∥AC，交 AB 于點(diǎn) M，當(dāng)△AMN 面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn) N 的坐標(biāo)；
第 4 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
【解答】
解法 1：解：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
設(shè) NC=m，連接 MC，作MH BC
∵ MNB∽ ACB
MH BN
∴
AO BC
MH 10 m
∴
4 10
2(10 m)
∴MH
5
∵NM∥AC
1
∴S△AMN＝S△CMN= NC MH
2
1 2(10 m) m(10 m)
= m
2 5 5
∴當(dāng) m＝5 時(shí)，△AMN 面積最大是 5，此時(shí) N 點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
解法 2：解：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
設(shè) N（m，0），連接 MC，作MH BC
1
∵ AC : y x 4
2
AB : y 2x 4
1 1
∴MN : y x m
2 2
y 2x 4

1 1
聯(lián)立方程組： y x m
2 2
2(10 m)
可得MH
5
∵NM∥AC
1 1 2(10 m) m(10 m)
∴S△AMN＝S△CMN= NC MH = m
2 2 5 5
∴當(dāng) m＝5 時(shí)，△AMN 面積最大是 5，此時(shí) N 點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
第 5 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y＝ x2+x﹣ 與 x 軸交于 A、B，與 y 軸交于點(diǎn) C，
點(diǎn) D（2，n）在拋物線上．過(guò) B 作 BE∥AD 交拋物線于點(diǎn) E，P 為直線 BE 下方拋物線上一
點(diǎn)，連接 PD 交直線 BE 于點(diǎn) F，連接 AE、AF，求四邊形 AEPF 的面積最大值，并求出此
時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
【解答】解：易得 A（﹣3，0），B（1，0）
∵D 點(diǎn)在拋物線上，∴n＝ ， ∴D（2， ），
∴y＝ x+ ，
∵BE∥AD，∴ S AEF S DEF
∴ S S PEF S DEF S 四邊形AEPF PED
∴直線 BE 的解析式為 y＝ x﹣ ，
令 x2+x﹣ ＝ x﹣ ，解得 x＝1 或 x＝﹣2，
∴E（﹣2，﹣ ），
作 PH x軸，交DE于點(diǎn)H ，設(shè) P（t， t2+t﹣ ），
∴DE：y＝x+
∴H （t， t+ ）
1 1 3 1
PH (t+ ) ( t2 t ) t2∴ 2
2 2 2 2
S S
四邊形AEPF PEF
S DEF S PED
1 1 1
(x 2D xE ) PH 4 ( t 2) t
2 4
2 2 2
∴當(dāng) t＝0 時(shí)，四邊形 AEPF 的面積最大，最大值為 4，此時(shí) P（0，﹣ ）；
第 6 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
模塊二
（一）典例精講：
1 2
例題 1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)拋物線 y= x x 4與 x 軸交于點(diǎn) A，點(diǎn) B，與 y 軸交
2
于點(diǎn) C．過(guò)點(diǎn) A 的直線 y＝x+2 與拋物線交于點(diǎn) E．點(diǎn) P 為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)
點(diǎn)．在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn) P 使得△AEP 的面積最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P
的坐標(biāo)．
【解答】解：存在點(diǎn) P 使得△AEP 的面積最大，理由如下：
聯(lián)立方程組 ，解得 或 ，∴E（6，8），
在直線 AE 的下方作 MN//AE，
當(dāng) MN 與拋物線有唯一交點(diǎn) P 時(shí)，此時(shí)△AEP 的面積最大，P 為所求的點(diǎn)
設(shè) MN： y=x b
y x b

聯(lián)立方程組 1 2
y x x 4
2
1
可得 x
2 2x 4 b 0
2
1
4 4 ( 4 b) 0 解得b 6
2
y x 6

聯(lián)立方程組 1
y x
2 3x 8
2
可得 P（2，﹣4）．此時(shí) S△APE＝32，
小結(jié)：△APE 中，A 和 E 是定點(diǎn)，AE 長(zhǎng)是定值，當(dāng) P 點(diǎn)到直線 AE 的距離最大時(shí)，△APE
面積最大。所以，當(dāng)過(guò) P 點(diǎn)且平行于 AE 的直線與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)唯一的交
點(diǎn)就是所求的點(diǎn)。
第 7 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
例題 2. 如圖，拋物線 y＝﹣ x2+3x+8 與 x 軸交于點(diǎn) A、B 點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C 點(diǎn)，P 是拋物
S 3
線上第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，連接 PB，PC，當(dāng) PBC 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
S ABC 5
【解答】
解：易得 A（-2，0），B（8，0）， C（0，8）
作 AD//BC，交 y 軸于 D，
易求 BC：y＝﹣x+8
AD：y＝﹣x-2，
∴CD=10，
在 C 點(diǎn)上方截取 CE=6，過(guò) E 作 EP//BC,交拋物線于點(diǎn) P，
則 P 為所求的點(diǎn)
PQ：y＝﹣x+14，
y x 14

聯(lián)立方程組， 1
y x2 3x 8
2
可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，12）或 P（6，8）
小結(jié)；同底三角形面積比等于這條底邊上的高的比，所以同底三角形面積比轉(zhuǎn)化為線段比，
通過(guò)構(gòu)造平行線，把高的比轉(zhuǎn)化為 y 軸上的兩段線段的比。
第 8 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
（二） 跟進(jìn)練習(xí)
2
1．如圖，已知拋物線 y x 2x 3與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C．點(diǎn) P 是第四
象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形 ABPC 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
【解答】解：A（﹣2，0），B（4，0）C（0，-4）
連接 BC，過(guò)點(diǎn) P 作 MN∥BC，當(dāng) MN 與拋物線有唯一交點(diǎn) P 時(shí)，△PBC 的面積最大，此
時(shí)四邊形 ABPC 的面積＝S△ABC+S△PBC 取得最大面積，P 為所求的點(diǎn)。
由點(diǎn) B、C 的坐標(biāo)得，直線 BC 的表達(dá)式為：y＝x﹣3，
設(shè) MN： y x b
y x b
聯(lián)立方程組
y x
2 2x 3
可得 x
2 3x 3 b 0
9 4 ( 3 b) 0
21
解得b
4
21
y x 3 15
聯(lián)立方程組 4 可得P（ ，- ）．
2 4
y x
2 2x 3
則四邊形 ABPC 的面積＝S△ABC+S△PBC=6
3 15
故當(dāng)P（ ，- ），四邊形 ABPC 的面積最大.
2 4
第 9 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
2．如圖，拋物線 y x2 2x 3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn) C（1，4），交 x 軸于點(diǎn) A（3，0），交
9
y 軸于點(diǎn) B（0，3）. 拋物線上第一象限內(nèi)是否存在一動(dòng)點(diǎn) P，使 S△PAB＝ △CAB ，若存在，
8
求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
【解答】解：易得 AB：y＝﹣x+3
作 CD//AB，交 y 軸于 D，可得 CD：y＝﹣x+5
9
∴BD=2，在 B 點(diǎn)上方截取 BG= ，
4
過(guò) G 作 GH//AB，交拋物線于點(diǎn) P1， P2 ，
則 P1，P2 ,即為所求的點(diǎn)
21
GH：y＝﹣x+ ，
4
21
y x
聯(lián)立方程組， 4
2
y x 2x 3
3 15
可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P（ ， ）
2 4
第 10 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
3．如圖，拋物線 y＝﹣x2+2x+3 經(jīng)過(guò) A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸
與拋物線相交于點(diǎn) P、與 BC 相交于點(diǎn) E，連接 PB．拋物線上是否存在一點(diǎn) Q，使△QPB
與△EPB 的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【解答】解：存在，理由：
由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
則頂點(diǎn) P（1，4），對(duì)稱軸為直線 x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線 BC 解析式為 y＝﹣x+3，
∴點(diǎn) E（1，2），
如圖，過(guò)點(diǎn) E 作 EQ∥BC，交拋物線于 Q，此時(shí)△QPB 與△PEB 的面積相等，
由點(diǎn) P、B 的坐標(biāo)得，直線 PB 的表達(dá)式為：y＝﹣2（x﹣3），
則直線 QE 的表達(dá)式為：y＝﹣2（x﹣1）+2②，
聯(lián)立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2 ，
則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（2﹣ ，2 ）或（2+ ，﹣2 ）；
對(duì)于直線 QE，設(shè) QE 交 x 軸于點(diǎn) R，
令 y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，
解得：x＝2，即點(diǎn) R（2，0），
則 BR＝3﹣2＝1，
取點(diǎn) R′使 BR＝BR′，過(guò)點(diǎn) R′作 PB 的平行線 l，如上圖，則點(diǎn) R′（4，0），
則直線 l 的表達(dá)式為：y＝﹣2（x﹣4），
聯(lián)立 y＝﹣x2+2x+3 和 y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，
第 11 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
則Δ＝16﹣20＜0，無(wú)解，
故在點(diǎn) B 的右側(cè)不存在點(diǎn) Q，
綜上，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為（2﹣ ，2 ）或（2+ ，﹣2 ）；
4．如圖所示拋物線 y＝ （x﹣3）2﹣6；與 x 軸交于 O，A 兩點(diǎn)，OA＝6，點(diǎn) P 在拋物線上，
過(guò)點(diǎn) P 的直線 y＝x+m 與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) Q．當(dāng)△POQ 與△PAQ 的面積之比為 1：
3 時(shí)，求 m 的值．
【解答】解：設(shè) PQ 與 y 軸交于點(diǎn) H，作 OM//PQ，
作 AG//PQ,交 y 軸于點(diǎn) G
易得 AG：y＝x-6 ，OM：y＝x
∴OG=6，OH m
∵△POQ 與△PAQ 的面積之比為 1：3，
OH m 1
如圖 1，
HG m 6 3
解得 m＝3
OH m 1
如圖 2，
HG 6 m 3
解得 m＝﹣ ∴m＝﹣ 或 m＝3．
第 12 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
模塊三
（一）典例精講：
例題 1．如圖，拋物線 y＝x2﹣4x 與 x 軸相交于另一點(diǎn) A．在第一象限內(nèi)與直線 y＝x 交于點(diǎn)
B，點(diǎn) E 是點(diǎn) B 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) F 是直線 OB 下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，EF
與直線 OB 交于點(diǎn) G．設(shè)△BFG 和△BEG 的面積分別為 S1 和 S2，求 的最大值．
【解答】
解：如圖 2，過(guò)點(diǎn) F 作 FW∥x 軸交直線 OB 于點(diǎn) W，
設(shè) F（t，t2﹣4t），則 W 的縱坐標(biāo)為 t2﹣4t，
∵直線 OB 的解析式為 y＝x，
∴W（t2﹣4t，t2﹣4t），
∴WF＝t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t，
∵易得 B（5，5），點(diǎn) E、B 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線 x＝2 對(duì)稱，
∴BE∥x 軸，BE＝6，
∴BE∥WF，
∴△WFG∽△BEG，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ＝ ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴當(dāng) t＝ 時(shí)， 的最大值為 ．
第 13 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
例題 2. 已知拋物線 y＝﹣x2+2x+3 經(jīng)過(guò) A、B 兩點(diǎn)．P 是拋物線上一點(diǎn)，且在直線 BC 的
上方．連結(jié) AC、AP，AP 交 BC 于點(diǎn) M，作 PH∥AC 交 BC 于點(diǎn) H．記△PHM，△PMC，
△CAM 的面積分別為 S1，S2，S3．判斷 是否存在最大值．若存在，求出最大值；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】
解法 1 解： 存在最大值，理由如下：
易得 A（﹣1，0），B（3，0）
作 AR∥y 軸交 BC 于 R，過(guò) P 作作 PQ⊥BC 交 BC 于 Q，
由直線 BC 解析式為 y＝﹣x+3， A（﹣1，0），
∴R（﹣1，4），
∴AR＝4
設(shè) P（t，﹣t2+2t+3），
則 Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵PH∥AC，易證△PMH∽△AMC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
第 14 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
∴ ，
∵AR∥PQ，AC∥PH，
可得△ACR∽△PHQ，
PH PQ
∴ ＝ ，
AC AR
S
∴ 1
S 2PH
2 ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
S2 S3 AC
∴當(dāng) t＝ 時(shí)， + 取最大值，最大值為 ．
解法 2 解： 存在最大值，理由如下：
易得 A（﹣1，0），B（3，0）
作 AR∥BC 交 y 軸于 R，過(guò) P 作作 PQ⊥BC 交 BC 于 Q，
由直線 BC 解析式為 y＝﹣x+3，易得直線 AR 解析式為 y＝﹣x﹣1，
令 x＝0 得 y＝﹣1，∴R（0，﹣1），
∵C（0，3），∴CR＝4，
設(shè) P（t，﹣t2+2t+3），則 Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵PH∥AC，易證△PMH∽△AMC，∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵AR∥BC，PH∥AC， PQ∥CR，
可得△ACR∽△HPQ，
PH PQ
∴ ＝ ，
AC CR
S1 S2 2PH∴ ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
S2 S3 AC
第 15 頁(yè)（共 23 頁(yè)）
∴當(dāng) t＝ 時(shí)， + 取最大值，最大值為 ．
小結(jié)：同高三角形面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，可利用平行線把底邊比轉(zhuǎn)化為水平線段比
或鉛垂線段比。具體到本題，因?yàn)?AC 長(zhǎng)度是定值，所以表示面積比也可以作 PQ∥y 軸，
直接用含 t 的代數(shù)式表示 PQ
（二）跟進(jìn)練習(xí)：
1. 拋物線 y＝﹣ ，與 x 軸分別交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸
交于點(diǎn) C（0，3），拋物線對(duì)稱軸為 x＝1，點(diǎn) P 是第一象限拋物線上動(dòng)點(diǎn)，連接 BC，PB．如
圖 1，連接 PA，交 BC 于點(diǎn) M，設(shè)△ABM 的面積為 S1，
△PBM 的面積為 S2，求 的最小值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；
【解答】解：如圖,作 PQ∥AB，交 BC 于 Q，
∴△PMQ∽△AMB， ∴ ，
設(shè) P（m，﹣ ），
由﹣ 得，
x＝ ，
∴PQ＝m﹣（ ）＝﹣ +2m，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
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∴ ＝ ＝ ，
∴當(dāng) m＝2 時(shí)，﹣ 的最大值為 2，
∴ 的最小值為 3，
當(dāng) m＝2 時(shí)，y＝3， ∴P（2，3）；
2. 拋物線 y＝﹣ x2+ x+3 與 y 軸交于點(diǎn) C，與 x 軸交于 A、
B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），其中 A（﹣ ，0），點(diǎn) D
為直線 BC 上方拋物線上一點(diǎn)，連接 AD、BC 交于點(diǎn) E，連
接 BD，記△BDE 的面積為 S1，△ABE 的面積為 S2，求 的
最大值．
【解答】解： 過(guò)點(diǎn) D 作 DG⊥x 軸于點(diǎn) G，交 BC 于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn)
A 作 AK⊥x 軸交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K，
∴△DEF∽△AEK，
∴ ＝ ，
∵C（0，3），B（3 ，0），
∴直線 BC 的解析式為：y＝﹣ x+3；
設(shè)點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)為 t，∴D（t，﹣ t2+ t+3），
∴F（t，﹣ t+3），K（﹣ ，4），
∴AF＝4，DF＝﹣ t2+ t+3﹣（﹣ t+3）＝﹣ t2+ t；
∴ ＝ ＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
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∴當(dāng) t＝ 時(shí)， 的最大值為 ．
3 2 9
3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y x x 3與 x 軸交于點(diǎn) A（4，0），C（﹣
4 4
1，0）與 y 軸交于點(diǎn) B， 點(diǎn) Q 為直線 AB 上方拋物線上一點(diǎn)，
OQ 交 AB 于點(diǎn) D，QE∥BO 交 AB 于點(diǎn) E．記△QDE，△QDB，
△BDO 的面積分別為 S1，S2，S3．求 的最大值．
【解答】解：設(shè)直線 AB 的解析式為 ．
∵4E∥BO，易證△DQE∽△DOB，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
設(shè) Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則點(diǎn) E 坐標(biāo)為 ，
∴ ，
∴當(dāng) x＝2 時(shí)，QE 最大為 3，即 的最大值為 2．
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4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y x2 6x 5的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，
與 y 軸交于點(diǎn) C，其頂點(diǎn)為 P，連接 PA、 AC 、CP，過(guò)點(diǎn) C 作 y 軸的垂線 l．直線 l上
是否存在點(diǎn) Q，使△PBQ 的面積等于△PAC 的面積的 2 倍？若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；
若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：設(shè) PC 與 x 軸交于 E 點(diǎn)，PQ 與坐標(biāo)軸交于 F 點(diǎn)
1
AE PH
S
∵ MNB 2
AE

S 1 PBQ BFBF PH
2
根據(jù)解析式，可得 A（1，0）,P（3，4）,C（0，-5） B（5，0）
5
∴PC 解析式為： y=3x 5 可得 E（ ，0）
3
2
∴AE=
3
4 11 19
∴BF= ∴F（ ，0）或 F（ ，0）
3 3 3
6 38
∴PF 解析式為： y=-6x 22 或 y=- x
5 5
27 21
當(dāng) y=-5 時(shí)，可求得 Q（ ，-5）或 F（ ，-5）
6 2
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5．如圖 1，二次函數(shù) y＝x2﹣3x﹣4 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，直線
BC 的函數(shù)表達(dá)式為 y＝x﹣4，直線 x＝1 與 x 軸交于點(diǎn) D，P 為直線 x＝1 上一動(dòng)點(diǎn)，連接
PB，將 PB 繞 P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到 PQ．若點(diǎn) Q 恰好落在拋物線位于第四象限的圖
象上，連接 AQ 交 BC 于點(diǎn) E，連接 AC，CQ，當(dāng)△CEQ 與△ACE 的面積之比最大時(shí)，求點(diǎn)
P 的坐標(biāo)；
【解答】解： 如圖 1，作 AM⊥x 軸交直線 BC 于點(diǎn) M，作 QN⊥x 軸交直線 BC 于點(diǎn) N，
則 AM∥QN，
∴△QEN∽△AEM，
∴ ＝ ＝ ，
直線 y＝x﹣4，當(dāng) x＝﹣1 時(shí)，y＝﹣5，
∴M（﹣1，﹣5），
∴AM＝5，
設(shè) Q（m，m2﹣3m﹣4），則 N（m，m﹣4），
∴QN＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m，
∴ ＝ ＝﹣ （m﹣2）2+ ，
∴當(dāng) m＝2 時(shí)，△CEQ 與△ACE 的面積之比最大，此時(shí) Q（2，﹣6），
設(shè) P（1，n），
由旋轉(zhuǎn)得 PQ＝PB，
∴（1﹣2）2+（n+6）2＝（4﹣1）2+（0﹣n）2，
解得 n＝﹣ ，∴P（1，﹣ ）．
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6．在平面直角坐標(biāo)系中 xOy 中，二次函數(shù) y＝﹣x2+x+2 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) A、B，與 y 軸
交于點(diǎn) C．若點(diǎn) P 是二次函數(shù)圖象上位于線段 BC 上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖，連接 AC，CP，
AP，AP交 BC于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) P作AC的平行線交 BC于點(diǎn)Q，將△PEQ與△PCE的面積比
記為 a，將△PCE 與△ACE 的面積比 記為 b，當(dāng) a+ b 有最大值時(shí)，求點(diǎn) P 的坐
標(biāo)；
【解答】解：）①令 x＝0，則 y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2．
∵A（﹣1，0）、B（2，0），
∴OA＝1，OB＝2，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
過(guò)點(diǎn) P 作 PF⊥x 軸于點(diǎn) F，交 BC 于點(diǎn) G，過(guò)點(diǎn) Q 作 QH
⊥PF 于點(diǎn) H，如圖，
設(shè) P（m，﹣m2+m+2），則 OF＝m，PF＝﹣m2+m+2，
∴BF＝OB﹣OF＝2﹣m，
∵△GFB 為等腰直角三角形，
∴GF＝BF＝2﹣m，
∴PG＝PF﹣GF＝﹣m2+2m．
∵OA＝1，OC＝2，∴AC＝ ＝ ．
∵AC∥PQ，PF∥OC，
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∴∠ACO＝∠FPQ．
∵∠OAC＝∠QHP＝90°，
∴△OAC∽△HQP，
∴ ．
設(shè) QH＝n，
∴ ，
∴PH＝2n，PQ＝ n．
∵QH∥OB，
∴∠HQB＝∠OBC＝45°，
∴△QHG 為等腰直角三角形，
∴GH＝QH＝n，
∴PG＝PH+HG＝3n，
∴ ，
∴PQ＝ （﹣m2+2m）．
∵PQ∥AC，∴△PQE∽△ACE，
∴ ．
∵等高的三角形的面積比等于底的比，
∴ ＝a＝ ， ＝b＝ ，
∴a＝b＝ ＝ （﹣m2+2m）＝﹣ + m．
∴a+ b＝（1+ ）a＝﹣（ ）（m﹣1）2+ ，
∵﹣（ ）＜0，
∴當(dāng) m＝1 時(shí)，a+ b 有最大值，
∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)（1，1）；
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