資源簡介

羅湖區(qū)中考數(shù)學(xué)培優(yōu)課之填空題難點突破1
第三講 反比例函數(shù)中的K值計算
翠園初級中學(xué) 秦曉莉
一、知識技能梳理
1.反比例函數(shù)比例系數(shù)的計算屬于深圳中考的必考內(nèi)容，近年多出現(xiàn)在填空題的倒數(shù)第二題，難易程度屬于中度偏難一點，出現(xiàn)的形式多以反比例函數(shù)中K的幾何意義與幾何圖形的性質(zhì)和圖形變換相結(jié)合，反比例函數(shù)與一次函數(shù)相結(jié)合。
2.解決反比例函數(shù)的題目，要抓住它的兩個不變性，一是圖象上的一個點的橫縱坐標(biāo)的乘積不變，二是和面積為｜k｜的矩形相聯(lián)系的面積不變。在解決點的坐標(biāo)或是面積的過程中，經(jīng)常要用到如下線段的比值。
（1）如圖①，過反比例函數(shù)上兩點A，B，分別作坐標(biāo)軸的垂線，垂足為C，D，則AB∥CD.
（2）如圖②，過反比例函數(shù)圖象上的點A，B分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，C，D，則AB∥CD∥EF．
（3）如圖③，若一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于點A，B，與坐標(biāo)軸交于點C，D，則有
AC＝BD；
（4）如圖④，若一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于點A，B，與坐標(biāo)軸交于點C，D，則有
AC＝BD ．
3.數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想。
二、學(xué)習(xí)過程
模塊一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合
例1（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考模擬預(yù)測）如圖，直線y=2x+5
與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例交于C、D兩點，直線OD交反比例于點E，連接CE交y軸于點F，若CF：EF=1：4，則△DCE的面積為（ ）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【詳解】解：∵直線y=2x+5與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
令得，令得，
∴，
如圖，過點作軸的垂線，垂足分別為，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，設(shè)，
∵CL⊥軸,軸，∴， ∴，∴，
∵軸，軸，∴，∴
設(shè)，則，∴，∴，∴，
∴，，
∵在上，∴，∴，解得，
∴，，
∴，,
∵關(guān)于對稱，∴，
∴，,，
∵,
∴,
∴是,∴，故選C．
總結(jié)：利用已知直線求出一條或者兩條線段的長度，再加上已知線段的比例，可以直接求出反比例函數(shù)圖象的點的坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)k。
例2.（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）如圖，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函數(shù)（k＜0）圖象經(jīng)過點A、C兩點，點B在x軸上，若△AOB的面積為7，則k的值為_____．
【答案】
【詳解】解：如圖，過作于點．過，兩點作軸的垂線，
垂足分別為，，如圖．
平分，，
，，
又，，，
，
由反比例函數(shù)的性質(zhì)可以知道，，
，
，
，，
，，
，
，
解得．故答案為：．
總結(jié)：在不確定直線的關(guān)系式的情況下，先用未知數(shù)表示反比例函數(shù)圖象上一個點的坐標(biāo)，再利用已知線段的比例，用未知數(shù)表示出另外一個點的坐標(biāo)，接著利用題目中的條件列出關(guān)系式，求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)k。同時這題還可以應(yīng)用優(yōu)法，利用反比例函數(shù)中K的幾何意義來解決。
練習(xí)一
1.（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，與雙曲線交于、兩點，若，則k的值為_____．
（對應(yīng)例題1）
【答案】
【詳解】解：在中，令，解得，則的坐標(biāo)是；
令，解得：，則的坐標(biāo)是，則．
，
作于點．則，
直線與反比例函數(shù)的交點是、，則根據(jù)題意得：，
即，解得：，，則，，
，，，，
是的角平分線，，
，解得：故答案是：．
2.如圖，菱形的頂點與對角線交點都在反比例函數(shù)的圖像上，對角線交軸于點，，且的面積為15，則______；延長交軸于點，則點的坐標(biāo)為______．
（對應(yīng)例題2）
【答案】 8
【詳解】解：延長交軸于點，
設(shè)，則，，
∵，∴，
∴中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
過作軸，則，
即，
∵，
∴，即．
∵，
∴，過點作于，易證，
∵，
∴，，
∴，聯(lián)立得，
∴
3.（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）如圖，直線交x軸于點A、交y軸于點B，點C在反比例函數(shù)的圖象上，且，連接交反比例函數(shù)圖象于點D，若，則k的值為___________．（對應(yīng)例題1）
【答案】4
【分析】過點C作軸于點E，過點D作軸于點F，可得∽，設(shè)，，可得，結(jié)合，可得，由點C、點D都在反比例函數(shù)的圖象上，可求，從而可得點的坐標(biāo)，則k的值即可求解．
【詳解】解：如圖，過點C作軸于點E，過點D作軸于點F，
則，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
在與中，
，
∴∽，
∴．
∵直線交x軸于點A、交y軸于點B，
令，得；令，得，
∴，，
∴，，
∴，
即；
設(shè)，，
則，
∴，
∴，
∵，，
∴，即EF=2OF，
∴，
∵，
∴，
所以，
∴，
∵點C、點D都在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴．
故答案為：4．
4.（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，已知函數(shù)經(jīng)過點，延長交雙曲線另一分支于點C，過點A作直線交y軸正半軸于點D，交x軸負(fù)半軸于點E，交雙曲線另一分支于點B，且．則的面積______．
（直線與雙曲線的兩支相交）
【答案】16
【詳解】解：把點代入，
，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
，
，
如圖，過點作軸，垂足為，
，
，，
，
，
點，
，
，
，即；
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
，
解得，
直線的表達(dá)式為：；
直線和反比例函數(shù)都關(guān)于原點對稱，且，
EMBED Equation.DSMT4 ，
聯(lián)立，
解得或，
，
過點作軸的平行線交于點，則，
，
．
模塊二 ：反比例函數(shù)中K的幾何意義
例3．（2023春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是斜邊的中點，點A、E均在反比例函數(shù)圖象上，延長線交x軸于點D，且，．則的面積為（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【詳解】解：如圖，連接，
過點E作于點F，過點A作于點G，
∵．
∴點E的橫縱坐標(biāo)等于點A、D的橫縱坐標(biāo)之和的一半，
∴，，
∵點A、E均在反比例函數(shù)上，
∴，即，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵O是斜邊的中點，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故選：B．
例4.（2021秋·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學(xué)校校考期末）如圖，在等腰中，，點為反比例函數(shù)（其中）圖象上的一點，點在軸正半軸上，過點作，交反比例函數(shù)的圖象于點，連接交于點，若的面積為2，則的值為（ ）
A．20 B． C．16 D．
【答案】A
【詳解】解：如圖，過點作交軸于，交于點，
，，，
，，
，，
，設(shè)，則，
，，，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，
，，，
的面積為2，，，
，，，，，
，，，
，，．故選：A．
總結(jié)：認(rèn)真觀察，尋找面積為的三角形的面積，再結(jié)合線段的比值得出等底等高的三角形的面積的比，往往會幫我們更輕松地解題。
練習(xí)二
5.（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考二模）如圖，已知雙曲線y＝（x＜0）和y＝（x＞0），與直線交于點A，將直線OA向下平移與雙曲線y＝，與y軸分別交于點，與雙曲線y＝交于點，S△ABC＝6，BP：CP＝2：1，則k的值為____．
【答案】﹣3．
【詳解】解：如圖連接OB，OC，CF⊥y軸于F，過作軸于
∵OA∥BC，∴S△OBC＝S△ABC＝6，
∵，∴S△OPB＝4，S△OPC＝2，
∵S△OBE＝ ∴
EMBED Equation.DSMT4 軸，軸，
∵△BEP∽△CFP，
∴
∴S△OCF＝，
∴．故答案為：．
6.（2020秋·重慶·九年級西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，等腰中，，雙曲線經(jīng)過的三個頂點，邊交x軸于點D，原點O在上，若且面積為2，則k的值為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【詳解】如圖，過點A作軸于點E，
過點C作軸于點F，連接OA，
由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，，
，∵OC=2CD
，
在和中，，
∴△COD∽△CAO
，
解得，
，
，
又∵AE⊥X軸，CF⊥X軸
，∴△ADE∽△CDF
，即，
解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
則的值為6，故選：A．
7.（2021·新疆烏魯木齊·校考一模）如圖，點A，B分別是反比例函數(shù)和圖象上的點，且軸，點C在x軸的正半軸上，連接交反比例函數(shù)的圖象于點D，已知，，，則的值為______．
【答案】24
【詳解】延長BD與x軸交于點M，連接OA，
∵軸，∴△ABD∽△CMD，AB⊥y軸，
∴AD：CD=BD：DM，
∵，∴，S△ABD=4S△CDM，
∴S△BOD：S△OMD=2：1，
∵，∴，∵，∴S△CDM=2，∴S△ABD=8，∵，，
∴S△AOD=16，
∵點A，B分別是反比例函數(shù)和圖象上的點，
∵AB⊥y軸，∴，；
∵
∴，
∴，故答案為：24
8.（2022春·九年級課時練習(xí)）已知點A是雙曲線在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為一邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為_____．
【答案】
【詳解】解：設(shè)A（a，），
∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA＝OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC＝AO，
∵AO＝，
∴CO＝，
過點C作CD⊥x軸于點D，
則可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），
設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠AOD＝tan∠OCD，即，
解得：y＝，
在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，
將y＝代入，可得：x2＝，
故x＝，y＝＝，
則xy＝﹣9，
故可得：（x＞0）．
故答案為：（x＞0）．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識，綜合考查的知識點較多，解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識融會貫通，注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．
模塊三：反比例函數(shù)與幾何綜合
例5.（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形的頂點O與原點重合，邊分別與x、y軸重合．將矩形沿折疊，使得點O落在邊上的點F處，反比例函數(shù)上恰好經(jīng)過E、F兩點，若B點的坐標(biāo)為，則k的值為________．
【答案】
【詳解】解：連結(jié)OF，過E作于H．
由B點坐標(biāo)為，可得E點的坐標(biāo)為，F(xiàn)點的坐標(biāo)為，
由折疊的性質(zhì)知：是線段的垂直平分線，
∴，
EMBED Equation.DSMT4 ，
又，
，
，即，
，
，，
由折疊可得，
在中，由勾股定理可得
，
解得，（舍）．故答案為：．
例6.（2023·江西撫州·金溪一中校考模擬預(yù)測）如圖，中，，三個頂點A，B，C都在反比例函數(shù)的圖象上，其中點A，C在第一象限，點B在第三象限，過坐標(biāo)系原點O，交x軸于點D，連接，若，則的值為______．
【答案】
【詳解】解：分別過點A、B作x軸的平行線，
交過點C平行于y軸的直線于點E、F，
∵過原點O，
，，
，，，
∵軸，，
設(shè)，則，
∴，
，，，，
，
，∴，
，，，，
解得：，，故答案為：．
總結(jié)：反比例函數(shù)和幾何綜合的問題,多圍繞三角形的相似、四邊形的幾何性質(zhì)和圖性變換的幾何性質(zhì)來命題。通常是結(jié)合圖形,借助交點和關(guān)鍵點的坐標(biāo)及圖形的幾何特征列方程求解。
練習(xí)三
9.（2023·廣西·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點，以為邊，在第一象限內(nèi)作矩形，且．將矩形翻折，使點B與原點O重合，折痕為，點C的對應(yīng)點落在第四象限，過點M的反比例函數(shù)的圖象恰好過的中點E，則點E的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接，過作于，
過作于，
由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)可知，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵為中點，即，
∴，即是線段的中點，
∴是的中位線，
∴，
令，則點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，
∵均為反比例函數(shù)上的點，
∴，
解得，
∴點坐標(biāo)為，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∵，
解得，
則，
∴點坐標(biāo)為，故答案為：．
10.（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，與軸交于點，，點在反比例函數(shù)的圖象上，且軸平分，求_____．
【答案】
【詳解】解：過A作AE⊥x軸，垂足為E，
∵C（0，-4），
∴OC=4，
∵∠AED=∠COD=90°，∠ADE=∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
,
∴AE=1；
又∵y軸平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO=OD，
∵∠ABC=90°，
∴∠OCD=∠DAE=∠ABE=∠BCE，
∵∠DOC=∠ADE=90°
∴△ABE～△COD，
∴
設(shè)DE=n，則BO=OD=4n，BE=9n，
∴，
∴,
∴OE=5n=,
故點A(，1),∴k=×1=故答案為：.
11.（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊經(jīng)過原點，，且頂點、、都在反比例函數(shù)的圖像上，則頂點的坐標(biāo)為______．
【答案】
【詳解】解：如圖所示，過點A作軸于N，
過點C作軸于M，連接，
設(shè)，則由對稱性可知，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，∴是等邊三角形，
∴，
∵軸，軸，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵四邊形是菱形，
∴點B平移到點A和點C平移到到點D的平移方式相同，
∴點D的坐標(biāo)為，
又∵點D在反比例函數(shù)圖象上，∴，
∴，∴，∴，
解得（負(fù)值舍去），∴，故答案為：．
12.（2020·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如圖，點A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＜0）與y＝（x＞0）的圖象上，且△OAB是等邊三角形，則點A的坐標(biāo)為_____．
【答案】（1﹣，﹣﹣1）
【詳解】解：延長AB到C，使得BC＝AB，連接OC，
作AM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N．設(shè)A（m，）．
∵△OAB是等邊三角形，
∴OB＝BA＝BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠OAC＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴OC＝OA，
∵∠AMO＝∠AOC＝∠CNO＝90°，
∴∠AOM+∠MAO＝90°，∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠OAM＝∠CON，
∴△AMO∽△ONC，
∴＝＝＝，
∵OM＝﹣m，AM＝﹣，
∴ON＝﹣，CN＝﹣m，
∴C（﹣， m），
∴B（，），
∵點B在y＝﹣上，
∴×＝﹣4，
整理得：m4+4m2﹣4＝0，
解得：m＝1﹣（不合題意的根已經(jīng)舍棄），
∴A（1﹣，﹣﹣1）．
故答案為：（1﹣，﹣﹣1）．
① ② ③ ④

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