資源簡介

中考壓軸題難點突破6
《與幾何變換相關的探究題》教學設計
一、教材分析
1.教材內容:中考壓軸題難點突破——幾何變換圖形探究．
2.教材的地位、特點與作用
運動與變化是數學研究中一種基本方法.平移、翻折（軸對稱）、旋轉是圖形變換的常見三種形式.平移與翻折都是關于直線運動的，而旋轉是關于點運動的.因此，旋轉是對圖形運動的完善與補充.從變換的角度來研究諸如等腰直角三角形、等邊三角形、正方形等圖形的結構有助于對這些幾何圖形有更本質的認識.
通過對幾何圖形變換內容的復習，既培養了學生動手操作的能力，又培養了他們用數學的方法解決有關問題的能力.通過對數與形的有關問題的解決，使得學生數學思維又提升一個層次.
二、學情分析
在學習本節課前，學生已經學了平移、旋轉和翻折（軸對稱）的相關知識，對于圖形的變換已經有所認識.初三的學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，觀察能力、記憶能力和想象能力也隨之迅速發展.部分學生對平移和軸對稱掌握得很好，也對旋轉（中心對稱）概念和性質的理解以及作旋轉（中心對稱）的圖像掌握較好，但由于相比較平移和軸對稱，旋轉變換的圖形關系打破了圖形的均衡與勻稱的關系，識別圖形之間的關系相對困難， 在本節課的教學中，仍需教師重點的引導和梳理.
三、課程目標
（一）教學目標
1.知識目標：會識別幾何變換圖形，并能運用平移、軸對稱、旋轉變換解決一些有關圖形變換的問題； 靈活運用旋轉等解決有關綜合題.
2.過程性目標：使學生經歷對平移、軸對稱、旋轉圖形的分析、畫圖等過程，多角度地感受幾何圖形的變換，讓學生通過問題串的探究，培養學生探究、分析解決問題的能力.
3.情感目標：通過合作學習，建立學生學習數學的自信，在問題研究過程，培養學生合作交流意識和探究新知的創新能力。
（二）教學重點與難點
教學重點：從變換角度觀察圖形，利用平移、軸對稱、旋轉性質分析問題，解決有關的綜合題。
教學難點：旋轉性質的靈活運用，基本幾何圖形的旋轉及識圖、作圖能力.
四、教法學法分析
教法：《與幾何變換相關的探究題》我設計了 2個課時。 主要采用“發展教學模式”，教學程式為：梳理基本知識——觀察、分析遷移——構建解決問題方法——問題解決過程——歸納領悟，形成能力.教學各環節中，適時采用多媒體設備展示學生的成果，提高課堂的效率；借助幾何畫板演示動態的旋轉圖形，直觀、形象地呈現圖形的旋轉過程，使信息技術與教學內容有機整合，真正為教學服務．
學法：采用講練+探究模式.這種模式就是大家先做題，然后針對某個主題，發表各自的見解，互相意見碰撞，激發出意想不到的思維成果， 是一種深度學習+探究模式，有效的探究方式，每個活動要求做到：（一）請先獨立完成審題、思考、訓練；（二）培優班成員交流活動情況，成員嘗試解決有疑問的題目，可討論、交流、合作；（三）將有代表性的問題進行匯總，歸納，最后達到一定的解題能力。
五、課前準備
學生：準備工具袋（圓規、三角板、直尺等），格子圖紙，白紙；
教師：導學案、多媒體課件、幾何畫板動態演示圖
六、教學過程設計
（一）、梳理基本知識：
1.生活中的數學圖形
2．下列關于△ABC與△A'B'C'的幾何變換中，配對正確的是（ ）
Ⅰ．軸對稱；Ⅱ．中心對稱；Ⅲ．旋轉；Ⅳ．平移．
A．①﹣Ⅰ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ，⑤-IV
B．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅲ ，⑤-IV
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅳ，⑤-IV
D．①﹣Ⅰ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅲ，⑤-IV
3.概念回顧：
平移、旋轉與翻折是幾何變換中的三種基本變換，也是初中課程中十分重要的學習內容，平移、旋轉與翻折只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，因此我們又稱這三種變換為全等變換．在解決一些數學問題時，可以利用這三種變換使得問題簡單化．
（二）、模塊一：平移變換探究題
平移是圖形變換中最簡單的變換，平移它可以將線段和角平移到一個新的位置，從而把分散的條件集中到一起，使問題得以解決．平移包括以下三個方面的應用：一、分散的條件集中；二、復雜圖形變得簡單明了；三、轉化題目的形式．以下面例題來說明．
例1：
如圖1，在正方形中ABCD中，E，F，G分別是BC，CD，AD上的點，GE⊥BF于點O，那么GE＝BF．
證明過程如下：
∵GE⊥BF于點O，∴∠GOB＝90°
過點A作AH∥GE交BC于點H，交BF于點M．
∴∠AMB＝∠GOB＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝90°
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AG∥HE，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABM+∠FBC＝∠ABC＝90°，∴∠BAM＝∠FBC
∴△ABH≌△BCF（依據1），
∴AH＝BF
∵AH∥GE，AG∥HE，
∴四邊形AHEG為平行四邊形（依據2），
∴AH＝GE，∴GE＝BF．
【閱讀理解】填空：上述閱讀材料中“依據1”是 　　，“依據2”是 　　．
【遷移嘗試】如圖2，在5×6的正方形網格中，點A，B，C，D為格點，AB交CD于點M．則∠AMC的度數為 　　；
【拓展應用】如圖3，點P是線段AB上的動點，分別以AP，BP為邊在AB的同側作正方形APCD與正方形PBEF，連接DE分別交線段BC，PC于點M，N．求∠DMC的度數．
例2：
數學課上，李老師給出這么一道數學問題：如圖①，正方形ABCD中，點E是對角線AC上任意一點，過點E作EF⊥AC，垂足為E，交BC所在直線于點F．探索AF與DE之間的數量關系，并說明理由．
小明在解決這一問題之前，先進行特殊思考：如圖②，當E是對角線AC的中點時，他發現AF與DE之間的數量關系是 　 　．若點E在其它位置時，這個結論是否都成立呢？小明繼續探究，他用“平移法”將AF沿AD方向平移得到DG，將原來分散的兩條線段集中到同一個三角形中，如圖③，這樣就可以將問題轉化為探究DG與DE之間的數量關系．
（1）請你按照小明的思路，完成解題過程；
（2）你能用與小明不同的方法來解決李老師給出的“數學問題”嗎？請寫出解題過程．
練習一：
1.我們知道，二次函數的圖象進行向右或向左平移一次，再向上或向下平移一次可以得到的圖象．實際上，我們學過的反比例函數同樣可以找到平移規律．
（1）請直接寫出函數向右平移3個單位，再向上平移1個單位的函數解析式　 　．
（2）現在探究反比例函數的平移．探究一：把反比例函數的圖象向右平移3個單位，請你至少在圖象上取4個不同的點，分別找出平移后的點，通過對這些點的觀察、探究、猜想，寫出平移后的函數解析式．（寫出求解過程）
（3）探究二：一般地，函數的圖象可由哪個反比例函數的圖象經過怎樣的平移變換得到？
2.如圖1，直線AB與直線OC交于點O，∠BOC＝α°（0°＜α°＜90°）．小明將一個含30°，60°的直角三角板PQD如圖1所示放置，使頂點P落在直線AB上，過點Q作直線MN∥AB交直線OC于點H（點H在Q左側）．
（1）若PD∥OC，∠NQD＝45°，求α的度數．
（2）如圖2，若∠PQH的角平分線交直線AB于點E．
①當QE∥OC，α＝60°時，求證：OC∥PD．
②小明將三角板保持PD∥OC并向左平移，運動過程中，探究∠PEQ與α之間的數量關系，并說明理由．
3.如果一個矩形有兩個頂點在某拋物線上，那么稱該矩形是該拋物線的“半接矩形”．矩形ABCD在第一象限，點B（m，n）在拋物線y＝x2+bx+c（記為拋物線T）上．
（1）矩形ABCD是正方形，A（1，3），m＝1，b＝﹣3，c＝4，直接寫出點C，D的坐標，并證明；矩形ABCD是拋物線T的“半接矩形”；
（2）A（m，n+1），點C在AB邊的右側，BC＝3，矩形ABCD是拋物線T的“半接矩形”，若矩形ABCD的一條對稱軸是，將該矩形平移，使得平移后的矩形A1B1C1D1仍是拋物線T的“半接矩形”，請探究矩形ABCD如何平移．
4.如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣4，0）、B（2，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，沿直線AC平移拋物線y＝﹣x2+bx+c，使得A、C兩點的對應點E、F始終在直線AC上．
①設在平移過程中拋物線與y軸交于點M，求點M縱坐標的最大值；
②試探究拋物線在平移過程中，是否存在這樣的點E，使得以A、E、B為頂點的三角形與△ABF相似．若存在，請直接寫出此時點E的坐標；若不存在，請簡要說明理由．
（三）模塊二：翻折變換探究題
探究翻折變換，折疊（折）問題是幾何變換問題中的常見問題，它體現了平面幾何圖形變換中基本數量關系和幾何關系，是考查幾何知識的常見類型．
例3：
綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展教學探究活動．在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，點P是邊AD上的一個動點．
【操作判斷】
（1）如圖1，甲同學先將矩形ABCD對折，使得AD與BC重合，展開得到折痕EF．將矩形ABCD沿BP折疊，使A恰好落在EF上的M處，則線段AM與線段PB的位置關系為 　 　；∠MBC的度數為 　 　；
【遷移探究】
（2）如圖2，乙同學將矩形ABCD沿BP折疊，使A恰好落在矩形ABCD的對角線上，求此時AP的長；
【綜合應用】
（3）如圖3，點Q在邊AB上運動，且始終滿足PQ∥BD，以PQ為折疊，將△APQ翻折，求折疊后△APQ與△ABD重疊部分面積的最大值，并求出此時AP的長．
例4：
（1）發現：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長．
（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．
練習二：
1.一次數學活動課上，老師組織大家利用矩形進行圖形變換的探究活動．
（1）第一小組的同學發現，在如圖1﹣1的矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，Rt△ADC可以由Rt△ABC經過一種變換得到，請你寫出這種變換的過程 ．
（2）第二小組同學將矩形紙片ABCD按如下順序進行操作：對折、展平，得折痕EF（如圖2﹣1）；再沿GC折疊，使點B落在EF上的點B′處（如圖2﹣2），這樣能得到∠B′GC的大小，你知道∠B′GC的大小是多少嗎？請寫出求解過程．
（3）第三小組的同學，在一個矩形紙片上按照圖3﹣1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，將△ABC沿著直線AC的方向依次進行平移變換，每次均移動AC的長度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如圖3﹣2．已知AH＝AI，AC長為a，現以AD、AF和AH為三邊構成一個新三角形，已知這個新三角形面積小于，請你幫助該小組求出a可能的最大整數值．
（4）探究活動結束后，老師給大家留下了一道探究題：
如圖4﹣1，已知AA′＝BB′＝CC′＝2，∠AOB′＝∠BOC′＝∠COA′＝60°，請利用圖形變換探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′與的大小關系．
2.某班甲、乙、丙三位同學進行了一次用正方形紙片折疊探究相關數學問題的課題學習活動．
活動情境：
如圖2，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊（折痕EG分別與AB、DC交于點E、G），使點B落在AD邊上的點 F處，FN與DC交于點M處，連接BF與EG交于點P．
所得結論：
當點F與AD的中點重合時：（如圖1）甲、乙、丙三位同學各得到如下一個正確結論（或結果）：
甲：△AEF的邊AE＝　 　cm，EF＝　 　cm；
乙：△FDM的周長為16cm；
丙：EG＝BF．
你的任務：
（1）填充甲同學所得結果中的數據；
（2）寫出在乙同學所得結果的求解過程；
（3）當點F在AD邊上除點A、D外的任何一處（如圖2）時：
①試問乙同學的結果是否發生變化？請證明你的結論；
②丙同學的結論還成立嗎？若不成立，請說明理由，若你認為成立，先證明EG＝BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF＝x）的函數關系式，并問當x為何值時，S最大？最大值是多少？
3.在數學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點A的對應點為點A′，點B的對應點為點B′．
（1）【觀察發現】A′D與B′E是什么位置關系？
（2）【思考表達】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE 是否相等，并說明理由；
（3）如圖（2），延長DC交A′B′于點G，連接EG，請探究∠DEG的度數，并說明理由；
（4）【綜合運用】如圖（3），當∠B＝60° 時，連接B′C，延長DC交A′B′于點G，連接EG，請寫出B′C，EG，DG之間的數量關系，并說明理由．
4.紙飛機對于每一個孩子而言，都應該是一樣不會缺少的童年玩具．隨著年齡的增長，學習的知識逐漸增多，大家對紙飛機的探究也在繼續．
（1）如圖甲，“長跑冠軍”紙飛機是用正方形ABCD紙張折疊而成，E、F分別是AB、CD的中點．小明在探究“長跑冠軍”飛機時，發現飛機重心落在正方形ABCD的中心點O（即對角線的交點），他想將重心調整到線段的黃金分割點（靠近點E）處，以觀察重心的改變對飛機飛行情況的影響，請你用尺規作圖的方法，幫他找到線段EF的黃金分割點X（靠近點E）（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）如圖乙是“英雄號”紙飛機的部分折疊步驟，小明在探究過程中，取矩形紙張MNPQ，MQ＝30cm，點O是對角線的交點，E、F為MN、QP的中點．
第一步：將點N與點O重合，折痕交NP于點H，交EF于點R；
第二步，將點M與點O重合，折痕經過R點，交MQ于點G；
第三步，將G、H點分別與點O重合，折痕交RG、RH、MQ、NP于S、T、L、K四點，S、T、R三點不重合；
第四步，……
①小明在折疊時，認為∠GRH+∠OHP＝180°，他說的對嗎？請結合圖四說明理由；
②若矩形紙張的寬為20cm，此時的值是多少？請你直接寫出答案；
③小明在折疊第三步時，發現點L與點Q重合、點K與點P重合，此時的值是多少呢？請你直接寫出答案（結果保留根號）．
（四）、模塊三：旋轉變換探究題
旋轉變換是幾何變換的一種基本模型．經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現．題設和結論中的元素由分散變為集中，相互之間的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化．
例5：
問題提出：如圖1，△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為△ABC內部一點，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
方法分析：通過轉化，把由三角形內一點發出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．
問題解決：如圖2，將△BPA繞點B逆時針旋轉60°至△BP'A'，連接PP'、A'C，記A′C與AB交于點D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP為正三角形，有PB＝P'P．
故．因此，當A'、P'、P、C共線時，PA+PB+PC有最小值是．
學以致用：
（1）如圖3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P為△ABC內部一點，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值是 ．
（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P為△ABC內部一點，連接PA、PB、PC，求的最小值．
（3）如圖5，P是邊長為2的正方形ABCD內一點，Q為邊BC上一點，連接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值．
例6：
【教材呈現】如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC＝∠AGF＝90°，它們的斜邊長為2．若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE＝m，CD＝n．
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；
（2）求m n的值；
（3）在旋轉過程中，當△AFG旋轉到如圖2的位置時，AG與BC交于點E，AF的延長線與CB的延長線交于點D，那么m n的值是否發生了變化？為什么？
練習三：
1.（例6變式1）【教材呈現】如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC＝∠AGF＝90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE＝m，CD＝n．
（1）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（2）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD＝CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD2+CE2＝DE2；
（3）在旋轉過程中，（2）中的等量關系BD2+CE2＝DE2是否始終成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
2.（例6變式2）【教材呈現】（1）如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，點A為公共頂點，∠BAC＝∠G＝90°，若△ABC固定不動，將△AFG繞點A旋轉，邊AF，AG與邊BC分別交于點D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），則結論BE CD＝AB2是否成立 　 　（填“成立”或“不成立”）；
【類比引申】（2）如圖2，在正方形ABCD中，∠EAF為∠BAD內的一個動角，兩邊分別與BD，BC交于點E，F，且滿足∠EAF＝∠ADB，求證：△ADE∽△ACF；
【拓展延伸】（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為12cm，∠BAD＝120°，∠EAF的兩邊分別與BD，BC相交于點E，F，且滿足∠EAF＝∠ADB，若BF＝9cm，求線段DE的長.
3.背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發現BE＝DG且BE⊥DG．
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉（如圖1），還能得到BE＝DG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖2），試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE＝DG仍成立？請說明理由；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中，DE2+BG2的值是定值，請求出這個定值．
4.綜合與實踐
問題提出
某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）．
操作發現
（1）如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當OF與OB重合時，重疊部分的面積為 　 　；當OF與BC垂直時，重疊部分的面積為 　 　；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積S1與S的關系為 　 　；
類比探究
（2）若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點M，N．
①如圖2，當BM＝CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；
②如圖3，當CM＝CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結果保留根號）；
拓展應用
（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設∠GOH＝α），將∠GOH繞點O逆時針旋轉，在旋轉過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）．
（五）、歸納、領悟，形成能力：
方法總結：
這是一節中考專題復習課，布魯納說過：“思維永遠是從問題開始的.”如果教師依然采用程式化的復習方式，那么就很難調動學生的積極性，同時也很難喚醒學生求知的欲望.基于此，本課例的設計采用了講練+探究的模式，學生在自己獨立做題之后，再互相意見碰撞，激發出意想不到的思維成果，同時也增強語言表達能力.還讓學生用相關的幾何畫板為工具，親身經歷畫圖-觀察-猜想-驗證-歸納，得出旋轉變換的特點.教學中，適時采用實物投影儀展示學生的成果，提高課堂的效率；借助幾何畫板演示動態的旋轉圖形，直觀、形象地呈現圖形的旋轉過程，使信息技術與教學內容有機整合，真正為教學服務．通過課堂小結，增強學生學習過程中的反思意識，培養他們良好的學習習慣．
近幾年，中考數學試題的壓軸題中常出現幾何變換問題.這類問題，涉及的知識面廣， 綜合性強，解答時有一定的難度，需要學生有一定的數學方式的理性思維，獨立的數學思考能力.本節課中，講練+探究模式的設計充分體現學生“動手操作、獨立思考、合作交流、及時反思”的過程.動手操作，能讓學生學會數學思考；獨立思考，能讓學生體會數學思考；合作交流，能讓學生完成數學思考；及時反思，能讓學生發展數學思考.
(
1
)

展開更多......

收起↑