資源簡介

第六講 中考壓軸題難點突破2
《函數圖象與性質應用探究題》教學設計
- 崔景曉
一、知識梳理
縱觀近兩年各地區中考試卷，關于函數問題的考查已逐步回歸到考察函數的基本性質和特征上來。根據新課標的要求，函數基本性質的重點在于對稱性、增減性及最值；試題的熱點多圍繞一次函數與一次方程組、一次不等式（組）或二次函數與二次方程、二次不等式之間的一般與特殊的關系，適當的向周圍延展來設問題。
重點考察學生的幾何直觀想象能力、數學運算能力、邏輯推理能力及數學化歸思想、數形結合思想、數學分類討論思想的運用，對學生綜合分析問題的能力要求較高。由于這類題目信息量大且隱晦，學生往往讀題時畏難情緒嚴重，而且考試時心里緊張，時間緊，不能讀出或讀全有效信息，造成思維障礙。所以在這類專題的教學中，注意引導學生學會讀題，有耐心，關鍵字眼要圈出。特別注意要能夠熟練畫出函數圖象，從“數”和“形”的角度來解決問題。
二、教學過程
模塊一：函數圖象及性質應用（1）
模塊一：典例精講
例題1．在﹣4、﹣2，1、2四個數中、隨機取兩個數分別作為函數y＝ax2+bx+1中a，b的值，請列表或畫樹狀圖求該二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限的概率．
【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，根據二次函數的性質，找出滿足a＞0，b＜0的結果數，然后根據概率公式求解．
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果數，滿足a＞0，b＜0的結果數為4，但a＝1，
b＝﹣2時，Δ＝0；a＝2，b＝﹣2時，Δ＜0，拋物線不過第四象限，所以滿足該二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限的結果數為2，
所以該二次函數圖象恰好經過第一、二、四象限的概率．
例題2．已知一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與二次函數的圖象相交于點A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；
（2）根據函數圖象，直接寫出不等式kx+b的解集；
（3）方程在﹣3≤x≤1范圍內只有一個解，求n的取值范圍；
（4）把二次函數的圖象左右平移得到拋物線G：，直接寫出當拋物線G與線段AB只有一個交點時m的取值范圍．
（5）把二次函數的圖象的x軸下方部分沿著x軸翻折到x軸上方，得到新的函數圖象L，則函數圖象L的解析式為 ；
（6）將直線AB沿y軸平移n（n≥0）個單位長度后與函數圖象L恰好有3個交點，求此時n的值．
（7）把二次函數的圖象繞原點O旋轉180°得到拋物線L′則其解析式為 ，P為拋物線L′對稱軸上一動點，當PA＋PB的值最小時，P點坐標為　　　　　　　　　　。
【分析】（1）根據二次函數解析式求出A點和B點的坐標，然后用待定系數法求出一次函數的表達式即可；
（2）根據圖象直接得出不等式的解集即可；
（3）求得x＝﹣3時的函數值，結合A、B的坐標，根據函數圖象即可求得n的取值；
（4）分三種情況求出m的值，再結合圖象求m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵二次函數y（x+2）2﹣2的圖象過點A（1，m），B（﹣2，n），
∴m（1+2）2﹣2，
n（﹣2+2）2﹣2＝﹣2；
∴A（1，），B（﹣2，﹣2），
∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象過A點和B點，
∴，解得，
∴一次函數的表達式為yx+1，
描點作圖如下：
（2）由（1）中的圖象可得，
不等式kx+b（x+2）2﹣2的解集為：
x＜﹣2或x＞1；
（3）把x＝﹣3代入y（x+2）2﹣2得y
∵A（1，），B（﹣2，﹣2），
由圖象可知，當﹣3≤x≤1時，直線y（x+2）2﹣2與直線y＝n只有一個交點，則n的取值范圍是n或n＝﹣2；
（4）①當過點A時，
即（1﹣m）2﹣2，解得m＝4或m＝﹣2，
當m＝﹣2時，拋物線與元二次函數重合，與線段AB有兩個交點A，B，故舍去，
∴m＝4；
②當過點B時，即（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣2，
解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；
③當與直線AB只有一個交點時，
令x+1，
整理得：x2﹣（2m+3）+m2﹣6＝0，
則Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，
解得：m，
綜上，m或﹣2＜m≤4．
（5）、（6）、（7）略
模塊一：跟進練習
1．函數y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
①2a+b＝0； ②c＝3； ③abc＞0； ④將圖象向上平移1個單位后與直線y＝5有3個交點．
A．①② B．①③
C．②③④ D．①③④
2．定義：在平面直角坐標系中，有一條直線x＝m，對于任意一個函數，作該函數自變量大于m的部分關于直線x＝m的軸對稱圖形，與原函數中自變量大于或等于m的部分共同構成一個新的函數圖象，則這個新函數叫做原函數關于直線x＝m的“鏡面函數”．例如：圖①是函數y＝x+1的圖象，則它關于直線x＝0的“鏡面函數”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數”的解析式為y，也可以寫成y＝|x|+1．
（1）在圖③中畫出函數y＝﹣2x+1關于直線x＝1的“鏡面函數”的圖象．
（2）函數y＝x2﹣2x+2關于直線x＝﹣1的“鏡面函數”與直線y＝﹣x+m有三個公共點，求m的值．
（3）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），關于直線x＝0的“鏡面函數”圖象上的兩點 P（x1，y1），Q（x2，y2），當t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時，均滿足y1≥y2，直接寫出t的取值范圍 　 　．
3．在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點A（﹣3，0）和點B（1，0）．
（1）此二次函數的圖象與y軸的交點的縱坐標為 　　．
（2）求此二次函數的關系式．
（3）當﹣2≤x≤3時，求二次函數y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）點P為二次函數y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）圖象上任意一點，其橫坐標為m，過點P作PQ∥x軸，點Q的橫坐標為﹣2m﹣4．已知點P與點Q不重合，且線段PQ的長度隨m的增大而減小．直接寫出線段PQ與二次函數y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的圖象只有1個公共點時，m的取值范圍．
4．如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構成．矩形OABC的邊米，OC＝9米，以OC所在的直線為x軸，以OA所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，拋物線頂點D的坐標為．
（1）求此拋物線對應的函數表達式；
（2）近期需對大門進行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON＝7.5米，點E是OM上方拋物線上一動點，且點E的橫坐標為m，過點E作x軸的垂線，交OM于點F．
①求EF的最大值．
②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大門頂部的對應點的橫坐標的范圍．
模塊二：函數圖象及性質應用（2）
模塊二：典例精講
例題3．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點為A，過點A作直線l垂直于y軸．將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點．
（1）當m＝0時，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關系，并說明理由；
（2）若對于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．
【分析】（1）．y1＞y2．利用圖象法，根據函數的增減性判斷即可．
（2）通過計算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）為拋物線上關于對稱軸x＝m對稱的兩點，下面討論當m變化時，y軸于點P，Q的相對位置：分三種情形：如圖2，當y軸在點P左側時（含點P），如圖3，當y軸在點Q右側時（含點Q），如圖4，當y軸在點P，Q之間時（不含P，Q），分別求解即可．
【解答】解：（1）y1＞y2．
理由：當m＝0時，二次函數解析式是y＝x2，對稱軸為y軸；
所以圖形G上的點的橫縱坐標x和y，滿足y隨x的增大而減小；
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
（2）通過計算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）為拋物線上關于對稱軸x＝m對稱的兩點，
下面討論當m變化時，y軸于點P，Q的相對位置：
如圖2，當y軸在點P左側時（含點P），
經翻折后，得到點M，N的縱坐標相同，y1＝y2，不符題意；
如圖3，當y軸在點Q右側時（含點Q），
點M，N分別和點P，Q重合，y1＝y2，不符題意；
如圖4，當y軸在點P，Q之間時（不含P，Q），
經翻折后，點N在l下方，點M，P重合，在l上方，y1＞y2，符合題意．
此時有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．
綜上所述，m的取值范圍為﹣2＜m＜2．
例題4．已知直線l：y＝kx+b經過點（0，7）和點（1，6）．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點P（m，n）在直線l上，以P為頂點的拋物線G過點（0，﹣3），且開口向下．
①求m的取值范圍；
②設拋物線G與直線l的另一個交點為Q，當點Q向左平移1個單位長度后得到的點Q′也在G上時，求G在x1的圖象的最高點的坐標．
【分析】（1）用待定系數法求解析式即可；
（2）①設拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，將點（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a0，求m的取值即可；
②由題意求出Q點的橫坐標為m，聯立方程組，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根據根與系數的關系可得m+m2m，可求a＝﹣2，從而可求m＝2或m，確定拋物線的解析式后即可求解．
【解答】解：（1）將點（0，7）和點（1，6）代入y＝kx+b，
∴，解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵點P（m，n）在直線l上， ∴n＝﹣m+7，
設拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵拋物線經過點（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，∴a0，∴m＜10且m≠0；
②∵拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∴Q點與Q'關于x＝m對稱，∴Q點的橫坐標為m，
聯立方程組，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P點和Q點是直線l與拋物線G的交點，
∴m+m2m，∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m，
當m＝2時，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此時拋物線的對稱軸為直線x＝2，
圖象在x上的最高點坐標為（2，5）；
當m時，y＝﹣2（x）2，
此時拋物線的對稱軸為直線x，
圖象在﹣2≤x≤﹣1上的最高點坐標為（﹣2，9）；
綜上所述：G在x1的圖象的最高點的坐標為（﹣2，9）或（2，5）．
模塊二：跟進練習
1．已知拋物線P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），將拋物線P繞原點旋轉180°得到拋物線P′，當1≤x≤3時，在拋物線P′上任取一點M，設點M的縱坐標為t，若t≤3，求a的取值范圍是。
2．在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，其中x1＜x2．
（1）若拋物線的對稱軸為x＝1，當x1，x2為何值時，y1＝y2＝c；
（2）設拋物線的對稱軸為x＝t，若對于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
3．平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）過點A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．頂點D不在第一象限，線段BC上有一點E，設△OBE的面積為S1，△OCE的面積為S2，S1＝S2．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求點E的坐標：
（3）若直線DE與拋物線G的另一個交點F的橫坐標為3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6時的取值范圍（用含a的式子表示）．
4．在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為和諧點，例如：點（1，1），，），……都是和諧點．
（1）判斷函數的圖象上 　　（填“是”或“否”）存在和諧點；
（2）若二次函數y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（，）．
①求a、c的值；
②若1≤x≤m時，函數的最小值為﹣1，最大值為3，求實數m的取值范圍．
模塊三：函數圖象及性質應用（3）
模塊三：典例精講
例題5．【閱讀】
通過構造恰當的圖形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最值，這是“數形結合”思想的典型應用．
【理解】
（1）如圖1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C、D，E是AB的中點，連接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分別求線段CE、CD的長（用含a、b的代數式表示）；
②比較大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代數式表示該大小關系．
【應用】
（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點M、N在反比例函數y（x＞0）的圖象上，橫坐標分別為m、n．設p＝m+n，q，記lpq．
①當m＝1，n＝2時，l＝　 　；當m＝3，n＝3時，l＝　 　；
②通過歸納猜想，可得l的最小值是 　 　．請利用圖2構造恰當的圖形，并說明你的猜想成立．
【分析】（1）①利用相似三角形的性質求出CD，利用直角三角形斜邊中線的性質求出EC．
②根據垂線段最短，可得結論．
（2）①根據m，n的值代入計算即可．
②如圖2中，過點M作MA⊥x軸于A，ME⊥y軸于E，過點N作NB⊥x軸于B，NF⊥y軸于F，連接MN，取MN的中點J，過點J作JG⊥y軸于G，JC⊥x軸于C，則J（，），根據反比例函數k的幾何意義，求解即可．
【解答】解：（1）①如圖1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，∴，
∴CD2＝AD DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴ECAB（a+b），
②∵CD⊥AB，
∴根據垂線段最短可知，CD＜CE，即（a+b），
∴a+b＞2，故答案為：＞．
（2）①當m＝1，n＝2時，l；當m＝3，n＝3時，l＝1，故答案為：，1．
②猜想：l的最小值為1．故答案為：1．
理由：如圖2中，過點M作MA⊥x軸于A，ME⊥y軸于E，過點N作NB⊥x軸于B，NF⊥y軸于F，連接MN，取MN的中點J，過點J作JG⊥y軸于G，JC⊥x軸于C，則J（，），
∵當m≠n時，點J在反比例函數圖象的上方，
∴矩形JCOG的面積＞1，
當m＝n時，點J落在反比例函數的圖象上，矩形JCOG的面積＝1，
∴矩形JCOG的面積≥1，
∴ 1，即l≥1，
∴l的最小值為1．
例題6．學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點P繞著某定點A順時針旋轉一定的角度α，能得到一個新的點P′，經過進一步探究，小明發現，當上述點P在某函數圖象上運動時，點P′也隨之運動，并且點P′的運動軌跡能形成一個新的圖形．
試根據下列各題中所給的定點A的坐標、角度α的大小來解決相關問題．
【初步感知】
如圖1，設A（1，1），α＝90°，點P是一次函數y＝kx+b圖象上的動點，已知該一次函數的圖象經過點P1（﹣1，1）．
（1）點P1旋轉后，得到的點P1′的坐標為 　 　；
（2）若點P′的運動軌跡經過點P2′（2，1），求原一次函數的表達式．
圖1
【深入感悟】
如圖2，設A（0，0），α＝45°，點P是反比例函數y（x＜0）的圖象上的動點，過點P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為M，求△OMP′的面積．
圖2
【分析】【初步感知】（1）根據旋轉的旋轉即可得出答案；
（2）運用待定系數法即可求出答案；
【深入感悟】設雙曲線與二、四象限平分線交于N點，通過聯立方程組求出點N的坐標，再分兩種情況：①當x≤﹣1時，作PQ⊥x軸于Q，證明△PQA≌△P′MA（AAS），再運用三角形面積公式即可求出答案；②當﹣1＜x＜0時，作PH⊥y軸于點H，同理可得到答案；
【解答】解：【初步感知】
（1）如圖1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），∴P1A∥x軸，P1A＝2，由旋轉可得：P1′A∥y軸，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；故答案為：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），由題意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函數圖象上，
∴設原一次函數解析式為y＝kx+b，
則，解得：，
∴原一次函數解析式為yx；
【深入感悟】
設雙曲線與二、四象限角平分線交于N點，則：
，解得：，∴N（﹣1，1）．
①當x≤﹣1時，
過點P作PQ⊥x軸于Q，連接AP，過點P′作P′M⊥AN于點M，如圖2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA，即S△OMP′．
②當﹣1＜x＜0時，
過點P作PH⊥y軸于點H，過點P′作P′M⊥AN于點M，如圖3，
∵∠POP′＝NOH＝45°，∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，，
∴△POH≌△OP′M（AAS），∴S△P′MO＝S△PHO，
綜上所述，△OMP′的面積為．
模塊三：跟進練習
1．已知二次函數y＝x2﹣2tx+t2+t，將其圖象在直線x＝1左側部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．在圖形G上任取一點M，點M的縱坐標y的取值滿足y≥m或y＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s的取值范圍。
2．在“疫情”期間，某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢測情況，調查了某天上午學生進入操場的累計人數y（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化情況，發現其變化規律符合函數關系式：數據如表．
時間x（分鐘） 0 1 2 3 … 8 x＞8
累計人數y（人） 0 150 280 390 … 640 640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數的最大值（排隊人數＝累計人數﹣已檢測人數）；
（3）在（2）的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學生完成核酸檢測，從一開始就應該至少增加幾個檢測點？
3．已知拋物線y＝ax2+2ax+a﹣4的頂點為點P，與x軸分別交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于點C
（1）直接寫出點P的坐標為；
（2）如圖，若A、B兩點在原點的兩側，且OA＝3OB，四邊形MNEF為正方形，其中頂點E、F在x軸上，M、N位于拋物線上，求點E的坐標；
（3）若線段AB＝2，點Q為反比例函數y與拋物線y＝ax2+2ax+a﹣4在第一象限內的交點，設Q的橫坐標為m，當1＜m＜3時，求k的取值范圍．

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