資源簡介

中考選擇題難點突破2：《幾何圖形軌跡（最值）問題》
---------鄧雪玲
知識梳理
幾何圖形軌跡最值問題是中考的熱點問題,題型豐富,變化靈活,綜合性強,考查的知識點眾多,涉及數形結合、轉化等多種數學思想,考查了學生的添加輔助線,依題畫圖,建構知識體系等能力,一般都是各題型的壓軸題,發展了學生的幾何直觀和推理能力的核心素養。
初中數學的幾何動點最值問題其實都來自兩個基本圖形：
定點到定點：兩點之間，線段最短
定點到定線：點線之間，垂線段最短
在此基礎上又產生了以下基礎圖形和結論：
三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
平行線之間，垂線段最短
點圓最值：點圓之間，點心線截距最短（長）
線圓最值：心垂線截距最短
解決幾何最值問題的主要方法是轉化，通過變化過程中不變特征的分析，利用幾何變換（比如等值變換：平移、旋轉、軸對稱；比例變換：三角函數、相似圖形性質）等手段把所求量進行轉化，構造出符合幾何最值問題理論依據的基本結構進而解決問題。
教學過程：
模塊一：動點軌跡在直線上
【設計意圖】通過嘗試解決例1、例2，使學生體會：當動點軌跡明確是直線（或線段，射線）時，動中求靜，找到變化過程中的不變量是解決問題的關鍵，可以利用對稱，平移，三角函數等知識，化同為異，化折為直的思維方法解決，可以回顧將軍飲馬，建橋選址，胡不歸等常見模型。
【例題精講】
例1：如圖，已知在中，，，，為邊上的動點，為邊上的動點。則線段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解答】B
如圖，作點關于的對稱點，連接并延長交的延長線于，連接，
.
.
當三點共線且與垂直時，線段的值最小，即作于.在Rt中，.
例2：如圖，四邊形是菱形，AB=4，且，為對角線（不含點）上任意一點，則的最小值為___________。
變式思考：（1）本題若求“的最小值，你會求嗎？
（2）本題若求“的最小值，你會求嗎？
(3) 若四邊形是菱形，，對角線的長為，點為上一點，則的最小值__________.
【解答】
如何將轉化為其他線段呢？
本題值為，可轉化為某一角的正弦值，即轉化為角的正弦值.
思考到這里，不難發現，只要作垂直于點，則，即最小轉化為最小，本題得解.
如圖，作，垂足為交于點，
四邊形是菱形且，
.
，
即的最小值為的長.
在Rt中，.
的最小值為.
【變式思考答案】（1）（2） （3）4
模塊一：跟進練習解答
1、如圖，在Rt中，，點是上的任意一點，作于點于點，連接，則的最小值為______。
【解答】2.4
中，，
連接CP
于點與點E
四邊形是矩形
當DE最小時，則CP最小，根據垂線段最短可知時，最小
2、如圖，中，為邊上的一動點，則的最小值等于________.
【解答】
如圖，過點作交延長線于點，
在Rt中，易得，當三點共線時，的值最小，此時，即的最小值為，
3、如圖，中，，，于點，是線段上的一個動點，則的最小值是（）
A. B. C. D.10
【解答】B
如圖，作于點于點.
.
，
∴在中，.
（負值舍去）.
.
.
.
.故選B.
4、如圖①,在矩形中,,為的中點，為上一動點，為的中點.
(1)畫出當從點運動到點時,點的運動軌跡;
(2)如圖②,連接求的最小值.
【解答】
取的中點，連接并延長，交于點，連接點分別是的中點，為的中位線，在點運動的過程中，點始終在的中位線上運動.當時，取得最小值.
在矩形中，為的中點，
均為等腰直角三角形，，即的最小值即為的長，在Rt中，的最小值是
5、如圖，在中，，，,交于點.點為線段上的動點，則的最小值為________.
【解答】.
過點作于點，過點作于點，首先得出，根據，得，則的最小值為的最小值，即求的長，再通過等積法即可解決問題.
過點作于點，過點作于點，
,
，
，，，
由勾股定理得,
，
，
.
即點三點共線時，最小，的最小值為的長，
，
，
的最小值為.
故答案為：.
6、如圖所示，在邊長為1的菱形中，，沿射線的方向平移得到，分別連接，則的最小值為_________
【解答】
作直線AA'，并作點C關于直線的對稱點E，連接EA，.
四邊形為菱形，，由平移得，
當三點共線時，的值最小.
，
，，
即的最小值為.
方法總結求不在同一條直線上的兩條線段長的和的最小值，一般是通過軸對稱轉化為求一條直線上的兩條線段的長度和.
模塊二：動點軌跡是圓（弧）
【設計意圖】通過解決例3、例4，經歷自主調用數學方法，運用數學思維分析探究的過程，相似轉化法求最值。“PA+kPB”型的最值問題，當明確動點在圓上運動（阿氏圓問題），通過構造相似三角形，轉化成兩線段和的最小值。
【例題精講】
例3：如圖，在中，，以點為圓心，6為半徑的圓上有一個動點，連接，則的最小值為（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】B
在線段上截取，使得4，連接，
易得，
，即.
，
在Rt中，由勾股定理得的最小值為.
例4：如圖，點在圓上，是的中點，點在上，且動點在圓上，則的最小值_________。
變式思考：（1）本題若求“”的最小值，你會求嗎？
（2）本題若求“”的最小值，你會求嗎？
【解答】
如何將轉化為其他線段呢？不難發現本題出現了中點，即2倍關系，套用“阿氏圓”模型：構造共邊共角相似.
連接，在射線上截取，連接交于點，此時的值最小.易知.
即三點共線時，最小.
在Rt中，.
即的最小值為.
【答案】（1）
模塊二 跟蹤練習解答
1、如圖所示，，半徑為2的圓內切于，為圓上一動點，過點作分別垂直于的兩邊，垂足為則的最大值__________
【解答】
作于，作于，如圖所示：
當與 切時，取得最大和最小，
①連接，如圖1所示：
可得：四邊形為正方形，
在中，，
在Rt中，，
2、已知半圓直徑為8，點是圓弧上的一動點，連接，求的最大值。
【解答】
3、點的坐標分別為（2，0），（0，2）點為坐標平面內的一點，，點為線段上的中點，連接，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【解答】B
點為坐標平面內一點，點在以點為圓心、1為半徑的圓上.如圖，在軸上取，連接，
當三點共線時，最大，的最大值為.因此本題選B.
4、如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點，則的最大值是_______
【解答】5
如圖，在上截取，連接
正方形的邊長為的半徑為2，
.
當三點共線時，值最小，即的值最小.
的最小值為.故答案為5.
5、正方形邊長為4，為內切圓周上動點，求的最小值_________.
【解答】 如解圖，連接，
設的半徑為，則，取的中點，連接是公共角，當在一條直線上時，最小，最小值為的長，過點作于點最小值為的最小值是.
6、菱形邊長為2，，圓的半徑為，與圓相切于點，點在圓上運動，求的最小值_______。
【解答】
模塊三：隱形軌跡問題
【設計意圖】如果題目中并未直接給出動點軌跡，這時需要我們去分析和尋找動點的運動軌跡，這是學生最難掌握的難點，確定軌跡后，再根據軌跡確定屬于哪種最值問題，再進行分析和計算。例5是通過旋轉構造手拉手全等，找到動點運動軌跡是線段，從而轉化成點到直線最值問題；例6的核心思路是：由結論入手：求的最小值，是定點，是動點，的軌跡如何？由可得，定弦定角，即點在圓上運動。
練習涉及主從聯動問題---其實質是構造旋轉型全等或相似，找到對應點的運動軌跡。隱圓問題---利用定點定長，定邊對定角，定角動弦，四點共圓，找到動點的運動軌跡是圓，從而尋找圓心與半徑，轉化成點圓，線圓最值問題。
【例題精講】
例5：如圖，邊長為4的等邊三角形中，是對稱軸上的一個動點，連接，將線段逆時針旋轉60°得到，連接，則在點運動過程中，的最小值是__________
你能畫出點F的運動軌跡嗎？
【解答】1
找到點的軌跡是本題的首要任務，直線型軌跡的常用尋找方法都是尋找定點定角，即找到過某一定點的定角，點的軌跡即可確定.如圖
本題中易得，則不難發現點的軌跡為直線.再根據垂線段最短，可得的最小值為1.
例6如圖，在邊長為6的等邊三角形中，分別是邊上的動點，且,連接交于點，連接，則的最小值為___________.
你能畫出點F的運動軌跡嗎？
【解答】
易證.
如圖3-3-13，過點，點，點作，連接
點在上運動.
當點在上時，有最小值，的最小值.
模塊三 跟蹤練習解答
1、如圖，在Rt中，，點是內部一點，且，連接，則的最小值為_______.
【解答】 軌跡描述：點在以為直徑的圓弧上運動
（利用同角的余角相等得到定角，再根據模型解題就清晰明了了）點在以的中點為圓心，長為直徑的弧上運動（直徑所對的圓周角為，連接當三點共線時，取得最小值，最小值為的值..
2、如圖①，在正方形中，，點為平面內一點，，連接，將線段繞點順時針旋轉90°，得到線段.
（1）畫出求的運動軌跡。
（2）如圖②，連接，求的最大值
【解答】
（1）如解圖①，虛線即為點的運動軌跡；
（2）如解圖②，連接.
將線段繞點順時針旋轉，得到線段，
點在以點為圓心，3為半徑的上運動，當三點共線時，有最大值，
的最大值為.
3、如圖，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點若，則運動過程中線段長度的最小值為_________.
【解答】4
取的中點，連接，如圖.
在中，是斜邊上的中線，.當最小時，最小，此時.（可考慮以為直徑的圓與直線的交點情況，當圓與直線相切時，圓的半徑最短.）
4、是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線與直線交于點，如圖，若點在內，，則_______；現將繞點旋轉1周，在這個旋轉過程中，線段長運動度的最小值是________.
【解答】80°；
都是等邊三角形，.
如圖，設交于點.
同法可證..點在的外接圓上運動，當最小時，的值最小，此時，
5、如圖，在Rt中，點是以為圓心，4為半徑的圓上一點，連接，為的中點，則線段的長度的最大值為______.
【解答】7
如圖，取的中點，連接.
在Rt中，.因為是的中點，所以.因為是的中點，是的中點，所以.在中，，即.當三點共線時，或.所以線段長度的最大值為7.
6、如圖，已知點，點，為軸正半軸上一動點，以為直角頂點構造直角三角形，交軸于點為邊的中點，則的最小值為_______.
【解答】
本題的實質為有一直角繞點旋轉與坐標軸交于兩點，求的中點所形成的軌跡是什么的問題.由點坐標可構造一系列直角三角形，
發現所有三角形中（四點共圓），故所有滿足題意的三角形相似，故確定的運動軌跡為一條直線的一部分.當在原點時，，此時點；當在原點時，，此時點在射線上.設直線的解析式為，
的解析式為.
當時，最小，此時.
故答案為.

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