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第三節(jié) 向心加速度
第六章 圓周運動
目錄
素養(yǎng)目標
01
課程導(dǎo)入
02
新課講解
03
總結(jié)歸納
04
課堂練習(xí)
05
素養(yǎng)目標
1.知道勻速圓周運動中向心加速度大小的表達式。理解向心加速度與半徑的關(guān)系，并會用來進行簡單的計算
2.了解分析勻速圓周運動速度變化量時用到的極限思想
3.能根據(jù)問題情景選擇合適的向心加速度的表達式
天宮二號空間實驗室在軌飛行時，可認為它繞地球做勻速圓周運動。盡管線速度大小不變，但方向卻時刻變化，因此，它運動的加速度一定不為0。那么，該如何確定它在軌飛行時加速度的方向和大小呢？
復(fù)習(xí)與
回顧
1.向心力的方向？
沿半徑指向圓心，與速度方向垂直。
只改變線速度的方向不改變速度大小。
2.向心力的作用？
3.向心力的大小？
根據(jù)牛頓第二定律，物體的加速度方向跟合外力的方向相同
小球繞光滑桌面上的圖釘做勻速圓周運動。
G
FN
F
新課講解
O
v
v
v
線速度
大小
方向
不變
時刻變化
根據(jù)加速度的定義式 可知，只要有速度的變化就一定會有加速度。
這個加速度的方向沿哪里呢？
一、勻速圓周運動的加速度方向
一、勻速圓周運動的加速度方向
1.向心加速度：做勻速圓周運動的物體加速度指向圓心，這個加速度稱為向心加速度
4.物理意義：描述速度方向變化的快慢
2.符號：an
3.方向：始終指向圓心
5.說明：勻速圓周運動加速度的方向時刻改變，
所以勻速圓周運動不是勻變速運動，而是變加速運動。
v
an
做變速圓周運動的物體，加速度并不指向圓心，該加速度有兩個分量：
一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改變速度的大小。
因此一般情況下，物體做圓周運動的加速度方向不一定指向圓心。
思考討論：變速圓周運動的加速度和向心加速度有什么關(guān)系？
a
v
at
an
（傳動）
（軸動）
根據(jù)
牛頓第二定律
物理意義：描述速度方向變化的快慢
單位：m/s2
二、勻速圓周運動的加速度大小
思考：對于向心加速度的公式，同學(xué)們有各自的看法。從 看，向心加速度與半徑成反比；從a = ω2r看，向心加速度與半徑成正比。這兩個結(jié)論是否矛盾？
AB通過鏈條連接，屬于傳動裝置，同一傳動裝置各輪邊緣上線速度相等。所以適用“向心加速度與半徑成反比”
BC 同在一根軸上，屬于同軸轉(zhuǎn)動裝置，同軸轉(zhuǎn)動輪上各點的角速度相等。所以適用“向心加速度與半徑成正比
正確認識向心加速度的兩種表達式
不矛盾：若角速度ω相同，則an與r成正比，如甲圖；
若線速度v大小相同，則an與r成反比，如乙圖
當(dāng)ω一定時，a與r成正比
當(dāng)v一定時，a與r成反比
（1）直線運動中的速度變化量：
v1
v2
Δv
v1
v2
Δv
拓展學(xué)習(xí)：用運動學(xué)的方法求向心加速度方向和大小
（2）曲線運動中的速度變化量：
v1
v2
A
B
v2
v1
Δv
（3）從幾何角度推導(dǎo)向心加速度的大小：
如圖甲所示，一物體沿著圓周運動，在 A、B 兩點的速度分別為 vA、vB，可以分四步確定物體運動的加速度方向。
第一步，根據(jù)曲線運動的速度方向沿著切線方向，畫出物體經(jīng)過 A、B 兩點時的速度方向，分別用 vA、vB 表示，如圖甲所示。
第二步，平移 vA 至 B 點，如圖乙所示。
第三步，根據(jù)矢量運算法則，做出物體由 A 點到 B 點的速度變化量 Δv，其方向由 vA 的箭頭位置指向 vB 的箭頭位置，如圖丙所示。由于物體做勻速圓周運動，vA、vB 的大小相等，所以，Δv與 vA、vB 構(gòu)成等腰三角形。
第四步，假設(shè)由 A 點到 B 點的時間極短，在勻速圓周運動的速度大小一定的情況下，A 點到 B 點的距離將非常小，作出此時的 Δv，如圖丁所示。
仔細觀察圖丁，可以發(fā)現(xiàn)，此時，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運動學(xué)角度分析也可以發(fā)現(xiàn)：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
所以
當(dāng)Δt很小很小時，
所以
例題 如圖所示，在長為 l 的細繩下端拴一個質(zhì)量為 m 的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內(nèi)做圓周運動，細繩就沿圓錐面旋轉(zhuǎn)，這樣就成了一個圓錐擺。當(dāng)繩子跟豎直方向的夾角為 θ 時，小球運動的向心加速度 an 的大小為多少？通過計算說明 ：要增大夾角 θ，應(yīng)該增大小球運動的角速度 ω。
經(jīng)典例題
分析 由于小球在水平面內(nèi)做圓周運動，向心加速度的方向始終指向圓心。可以根據(jù)受力分析，求出向心力的大小，進而求出向心加速度的大小。根據(jù)向心加速度公式，分析小球做圓周運動的角速度 ω 與夾角 θ 之間的關(guān)系。
解: 根據(jù)對小球的受力分析，可得小球的向心力Fn ＝ mgtanθ
根據(jù)牛頓第二定律可得小球運動的向心加速度 an ＝ Fn/m ＝ gtan θ (1)
根據(jù)幾何關(guān)系可知小球做圓周運動的半徑 r＝lsin θ (2)
把向心加速度公式 an＝ω2r 和(2)式代入(1)式，可得 cosθ =
從此式可以看出，當(dāng)小球運動的角速度增大時，夾角也隨之增大。因此，要增大夾角θ，應(yīng)該增大小球運動的角速度ω。
1.定義：勻速圓周運動的加速度
2.意義：描述速度方向變化的快慢
3.大小：
4.方向：始終指向圓心(時刻改變)
勻速圓周運動是變加速曲線運動
向心加速度
1.A、B在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，在相同時間內(nèi)，它們通過的路程之比是4:3，運動方向改變的角度之比是3:2，則它們( )
A.線速度大小之比為3:4
B.角速度之比為3:2
C.圓周運動的半徑之比為2:1
D.向心加速度大小之比為1:2
B
答案：B
解析：A.時間相同情況下，路程之比為4:3，根據(jù) 可知線速度之比為4:3，故A錯誤;B.時間相同情況下，角度改變之比為3:2，根據(jù)
可知角速度之比為3:2,故B正確;C.根據(jù) ，可知半徑之比為8:9，故C錯誤.D.由向心加速度公式 ，可知向心加速度之比為2:1，故D錯誤。故選B。
2.某同學(xué)拼裝的玩具齒輪傳動裝置如圖所示，圖中四個齒輪自左向右的編號依次為1、2、3、4.它們的半徑之比為3:6:3:4，其中齒輪1是主動輪，沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動。下列說法正確的是( )
A.齒輪4沿順時針方向轉(zhuǎn)動
B.齒輪1邊緣與齒輪2邊緣的線速度大小之比為
C.齒輪2邊緣的向心加速度與齒輪3邊緣的向心加速度大小之比為
D.齒輪3的轉(zhuǎn)動周期與齒輪4的轉(zhuǎn)動周期之比為
C
答案：C
解析：A.當(dāng)齒輪1沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動時，齒輪2沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，齒輪3沿順時針方向轉(zhuǎn)動，齒輪4沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，故A錯誤；B.所有齒輪邊緣的線速度大小都相等，齒輪1與齒輪2的線速度大小之比為 ，故B錯誤；C.根據(jù) ，可知齒輪2邊緣的向心加速度與齒輪3邊緣的向心加速度大小之比為 ，故C正確；D.由
，可知齒輪3的轉(zhuǎn)動周期與齒輪4的轉(zhuǎn)動周期之比為 ，故D錯誤。故選C。
3.如圖所示一種古老的舂米機.舂米時，稻谷放在石臼A中，橫梁可以繞O轉(zhuǎn)動，在橫梁前端B處固定一舂米錘，腳踏在橫梁另一端C點往下壓時，舂米錘便向上抬起。然后提起腳，舂米錘就向下運動，擊打A中的稻谷，使稻谷的殼脫落，稻谷變?yōu)榇竺住Ｒ阎狾C > OB，則在橫梁繞O轉(zhuǎn)動過程中( )
A.B、C的向心加速度相等
B.B、C的角速度關(guān)系滿足
C.B、C的線速度關(guān)系滿足
D.舂米錘擊打稻谷時對稻谷的作用力大于稻谷對舂米錘的作用力
C
答案：C
解析：AB.由題圖可知，B與C屬于共軸轉(zhuǎn)動，則它們的角速度是相等的，即 ，向心加速度 ，因OC > OB，可知C的向心加速度較大，故AB錯誤；C.由于OC > OB，由 可知C點的線速度大，故C正確；D.舂米錘對稻谷的作用力和稻谷對舂米錘的作用力是一對作用力與反作用力，二者大小相等，故D錯誤。故選C。
4.（多選）大型游樂裝置“大擺錘”的簡圖如圖所示，擺錘a和配重錘b分別固定在擺臂兩端，并可繞擺臂上的轉(zhuǎn)軸O在紙面內(nèi)轉(zhuǎn)動。若a、b到O的距離之比為2:1，在擺臂勻速轉(zhuǎn)動的過程中，下列說法正確的是( )
A.a、b的線速度大小之比為2:1
B.a、b的角速度大小之比為1:2
C.a、b的向心加速度大小之比為2:1
D.a、b的向心加速度大小之比為1:4
AC
答案：AC
解析：a、b兩點同軸轉(zhuǎn)動，所以角速度相等，根據(jù) ，可得a、b的線速度大小之比為 ，根據(jù) ，可得a、b的向心加速度大小之比為 ，故選AC。
5.無級變速汽車變速箱的工作原理可以簡化為如圖所示的裝置，兩個相同錐體A、B水平放置，它們的中心軸分別與動力輸入端和動力輸出端連接，動力輸入端的中心軸帶動錐體A轉(zhuǎn)動，錐體A帶動鋼帶轉(zhuǎn)動的同時，鋼帶在錐體上前后移動，改變轉(zhuǎn)速比，實現(xiàn)變速。a、b是錐體上與鋼帶接觸的兩動點，不計鋼帶的形變且鋼帶所在的平面始終與兩中心軸垂直，若保持動力輸入端中心軸轉(zhuǎn)速不變，則鋼帶由后向前運動的過程中( )
A.動點a、b的線速度相等且逐漸減小
B.錐體B的轉(zhuǎn)速增大
C.汽車在減速
D.動點a、b的向心加速度大小之和減小
B
答案：B
解析：A.根據(jù)題意有動點 的線速度相等，有
鋼帶由后向前運動的過程中 增大，可得 增大，A錯誤；
BC.由于 ，有
解得
增大， 減小，可得 增大，汽車在加速，B正確，C錯誤；
D.根據(jù) ，可得
由題意得 （定值）
故 增大，D錯誤。
故選B。

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