資源簡介

第十一講 應用一元一次方程（一）
應用一元一次方程（一）
通過對本節課的學習，你能夠：
周長與面積
等積變形
銷售問題
儲蓄問題
選擇購物方案
適用學科 初中數學 適用年級 初中一年級
適用區域 北師大版區域 課時時長（分鐘） 120
知識點 1、周長與面積 2、等積變形 3、銷售問題 4、儲蓄問題 5、選擇購物方案
教學目標 1、通過具體問題的解決，體會利用方程解決問題的關鍵是尋找等量關系. 2、理解售價、標價、利潤、利潤率、成本等概念及它們之間的關系式； 3.體驗運用數學知識解決實際問題的過程，歸納出運用方程解決實際問題的一般步驟。 4.培養學生思考、探究、分析問題的能力。
教學重點 依據問題中的各種數量關系，尋找出等量關系，建立方程，并規范解題步驟．
教學難點 1、尋找圖形問題中的等量關系，建立一元一次方程，使實際問題數學化． 2、分析打折銷售中的各種數量關系，并根據關系式列出合理的方程.
知識準備
長方形的周長=（長+寬）×2;長方形的面積=長×寬;
正方形的周長=邊長×4；正方形的面積=邊長×邊長;
長方體的體積=長×寬×高=底面積×高;圓柱的體積=底面積×高.
售價=標價×折扣；利潤=售價-成本（或進價）；利潤率=利潤÷成本×100%.
（1）常用體積公式
長方體的體積=長×寬×高
正方體體積=棱長×棱長×棱長
圓柱的體積=底面積 ×高
圓錐的體積=×底面積 ×高
（2）常用的面積、周長公式
長方形面積=長×寬
長方形周長=（長+寬）×2
正方形面積=邊長×邊長
正方形周長=邊長×4
三角形面積=×底×高
平行四邊形的面積=底×高
梯形的面積=×（上底+下底）×高
（1）基本概念
進價：也叫成本價，是指購進商品的價格。
標價：也稱原價，是指銷售商品時標出的價格。
售價：消費者最終取得商品的價格，或說是商家賣出商品的價格，也叫成交價。
利潤：商家通過買賣商品所得的盈利。
利潤率：利潤占進價的百分率。
折扣：出售商品時，將標價乘十分之幾或百分之幾賣出即為打折。
（2）基本關系：
售價=標價×折扣
利潤=售價－進價
利潤=成本×利潤率
利潤率=
由對以上問題的解決，總結得出方程解應用題的一般步驟：
①審：搞清題目中每一個已知量與未知量的含義；
②設：設未知數；
③列：找出等量關系、列出方程；
④解：解出方程；
⑤驗：檢驗；
⑥答：作答.
考點一：周長與面積
1. 如圖所示，地面上釘著用一根彩繩圍成的直角三角形，如果將直角三角形銳角頂點的一個釘子去掉，并將這根彩繩釘成一個長方形，則所釘長方形的長、寬各是多少？面積是多少？
2. 兩個長方形的長與寬的比都是2：1，大長方形的寬比小長方形的寬多3cm，大長方形的周長是小長方形周長的2倍，求這兩個長方形的面積．
3. 一個長方形的養雞場的長邊靠墻（墻長14米），其他三邊用籬笆圍成，現有35米長的籬笆，小李打算用它圍成一個雞場，其中長比寬多5米；小張設計成長比寬多2米，你認為誰的設計更符合實際？此時雞場的面積是多少？
考點二：等積變形
1.請根據圖5—3—2中給出的信息，可得正確的方程是 ( )
2．將一個裝滿水的內部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒滿，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，π≈3.14）．
3. 一個棱長為8cm的正方體玻璃容器內有6cm高的純凈水,把它全部倒入底面積40cm2,高是12厘米的圓柱形容器里，這時水面高為多少厘米？
考點三：銷售問題
1．小李去早市為餐館選購蔬菜，他指著標價為每斤3元的豆角問攤主：“這豆角能便宜嗎？”攤主：“多買按八折，你要多少斤？”小李報了數量后攤主同意按八折賣給小王，并說：“之前一人只比你少買5斤就是按標價，還比你多花了3元呢！”小李購買豆角的數量是（ ）
A．25斤 B．20斤 C．30斤 D．15斤
2．某種商品的標價是132元,若以標價的9折銷售,仍可獲利潤10%,則該商品的進價為()
A. 105元 B. 108元 C. 110元 D. 118元
3．一家商店將某種商品按進貨價提高100%后，又以6折優惠售出，售價為60元，則這種商品的進貨價是（ ）
A．120元 B．100元 C．72元 D．50元
4.鑫鑫超市推出如下優惠方案；
（1）一次性購物不超過100元不享受優惠；
（2）一次性購物超過100元但不超過300元一律九折；
（3）一次性購物超過300元一律八折.
果果兩次購物分別付款80元、252元，如果果果一次性購買與上兩次相同的商品，則應付款（）
A．288元 B．322元 C．288元或316元 D．332元或363元
1、 小明用長16cm的鐵絲圍成一個長方形，并且長方形的長比寬多2cm，設這個長方形的長為x cm，則x等于（）
A.9 B.5 C.7 D.10
2、如圖所示是用鐵絲圍成的一個梯形，將其改成一個長和寬比為2∶1的長方形，那么該長方形的長和寬分別為多少？
3、一根鐵絲用去 后，還剩下10m，這根鐵絲原來的長是多少米？如果設這根鐵絲原來的長是xm，那么列出的方程是 （ ）
A、x- =10 B、x-10= C、x- x=10 D、 x=10
4、一個長方形的周長是40cm，若將長減少8cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5、 已知一個三角形三條邊長的比為2:4:5，最長邊比最短邊長6cm，求這個三角形的周長.
6、某商店為了促銷某品牌空調機,決定元旦那天購買該機可以分兩期付款,在購買時先付一筆款,余下部分及它的利息(年利率為5.6%)在次年元旦付清。該空調機售價為每臺8224元，若兩次付款相同，問每次應付款多少元
1． 某商店把一商品按標價的九折出售（即優惠10%），仍可獲利20%，若該商品的標價為每件28元，則該商品的進價為（ ）
A．21元 B．19．8元 C．22．4元 D．25．2元
2. 有一個底面直徑為0.2m得圓柱形水桶,把936g重的鋼球全部浸沒在水中,如果取出鋼球,那么液面下降多少厘米 （1立方厘米鋼重7.8g,π取3.14,結果精確到0.01cm）
3. 用一底面為15cm×15cm的長方體容器裝滿水,向一個長,寬,高分別為20cm,15cm,10cm的長方體鐵盒內倒水,當鐵盒裝滿時,長方體容器中的水面下降了多少厘米 （用一元一次方程解）
4. 將內直徑為200mm的圓柱形水桶中的水倒入一個內部長,寬,高分別是300mm,300mm,80mm的長方形容器中,恰好倒滿,試確定圓柱形水桶內水面的高度（π取3.14,結果精確到1mm）
5、甲、乙兩件服裝進價共500元商店決定把甲服裝按進價提高50%標價，乙服裝按進價提高40%標價，如果兩件服裝均按標價的九折出售，這樣商店獲利共157元。甲、乙兩件服裝進價分別是多少？
6、 把一根長12cm的鐵絲按要求圍成圖形：
（1）圍成一個長比寬多2cm的長方形，求長和寬各是多少？
（2）圍成一個正方形，此時正方形的邊長是多少？它所圍成的面積較（1）中有何變化？
（3）圍成一個圓，此時圓的半徑是多少？它所圍成的面積較（2）中又有何變化？（π取3.14）
（4）如果讓你負責設計高度一定、底面周長一定的飲料包裝盒，為了使飲料盛的最多，你會將底面設計成什么圖形？并解釋你的理由．
1．某商人在一次買賣中均以120元賣出兩件不同的衣服，一件賺25%，一件賠25%，則在這次交易中該商人的賺賠情況是（ ）
A.賺16元 B.賠16元 C.不賺不賠 D.無法確定
2.小張自主創業開了一家服裝店，因為進貨時沒有進行市場調查，在換季時積壓了一批服裝，為了緩解資金的壓力，小張決定打折銷售．若每件服裝按標價的五折出售將虧20元，若按標價的八折出售將賺40元．
（1）每件服裝的標價是多少元？
（2）每件服裝的成本價是多少元？
（3）為保證不虧本，你告訴小張最多能打幾折？
3.如圖所示，小明將一個正方形的紙片剪去一個寬為4厘米的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每個長條的面積是多少
4. 用80m的籬笆圍成一個長方形場地.
（1）如果寬是長的35，求這個長方形的長和寬；
（2）如果長比寬多6m，求這個長方形的面積；
（3）如果一邊靠墻，墻長為32m，長比寬多11m（長邊與墻平行），這樣設計，是否可行？請說明理由.
5. 有一種用來畫圓的工具板(如圖所示)，工具板長21cm，上面依次排列著大小不等的五個圓(孔)，其中最大圓的直徑為3cm，其余圓的直徑從左到右依次遞減0.2cm.最大圓的左側距工具板左側邊緣1.5cm，最小圓的右側距工具板右側邊緣1.5cm，相鄰兩圓的間距d均相等。
(1)直接寫出其余四個圓的直徑長；
(2)求相鄰兩圓的間距。
通過本節課的學習，學生應該掌握通過分析圖形問題中的數量關系，運用方程解決問題，進一步體會運用方程解決問題的關鍵是抓住等量關系，并認識方程的重要性；通過對“變化中的不變量”的分析，提高分析問題、解決問題的能力。課后需要通過大量的練習來鞏固課上所學的知識，真正做到學以致用。
國家規定存款利息的納稅辦法是：利息稅=利息×20%，儲戶取款時由銀行代扣代收。若銀行一年 定期儲蓄的年利率為2.25%，其儲戶取出一年到期的本金及利息時，扣除了利息稅36元，則銀行向該儲戶支付的現金是______元.
2. 某商場在國慶節期間舉行優惠活動，規定一次購物不超過200元的不優惠；超過200元的，全部按8折優惠.小鳴買了一件服裝，付款180元，這件服裝的標價是(　　)
A.180元 B.200元 C.225元 D.180元或225元
3.李明以兩種形式儲蓄了500元錢，一種儲蓄年利率是5%，另一種是4%，一年后共得利息23元5角，兩種儲蓄各存了多少錢 (不用納利息稅) ？
4.王叔叔想用一筆錢買年利率為2.89%的3年期國庫券，如果他想3年后的本息和為2萬元，現在應買這種國庫券多少？
5.將一個底面直徑是10厘米，高40厘米的圓柱鍛壓成底面直徑為16厘米的圓柱，則鍛壓后圓柱的高為______厘米。
1.在“十一”黃金周期間，小明、小亮等同學隨家人一同到江郎山游玩，看見門口有如下票價提示：“成人：35元/張；學生：按成人票5折優惠；團體票（16人以上含16人）：按成人票價六折優惠”。
在購買門票時，小明與他爸爸有如下對話，爸爸：“大人門票每張35元，學生門票對折優惠，我們共有12人，共需350元”。小明：“爸爸，等一下，讓我算一算，換一種方式買票是不是可以更省錢”。
問題：（1）小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？
（2）請你幫小明算一算，用哪種方式買票更省錢？說明理由
2.某學校班主任暑假帶領該班三好學生去旅游，甲旅行社說：“如果教師買全票一張，其余學生享受半價優惠” ；乙旅行社說：“教師在內全部按票價的6折優惠” ；若全票價格是240元/張．
（1）如果有10名學生，應選擇哪個旅行社，并說出理由；
（2）當學生人數是多少時，兩家旅行社收費一樣多．
3．某班將買一些乒乓球和乒乓球拍，現了解情況如下：甲、乙兩家商店出售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定價30元，乒乓球每盒定價5元，經洽談后，甲店每買一副球拍贈一盒乒乓球，乙店全部按定價的9折優惠．該班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．問：
（1）當購買乒乓球多少盒時，兩種優惠辦法付款一樣？
（2）當購買15盒、30盒乒乓球時，請你去辦這件事，你打算去哪家商店購買？為什么？
4. 有一玻璃密封器皿如圖①,測得其底面直徑為20cm,高20cm,現內裝藍色溶液若干。如圖②放置時,測得液面高10cm;如圖③放置時,測得液面高16cm;則該玻璃密封器皿總容量為___cm3(結果保留π)
1、 一種圓筒狀包裝的保鮮膜,如圖所示,其規格為20cm×60m,經測量這筒保鮮膜的內徑Ф1,外徑Ф2的長分別為3.2cm、4.0cm,則這種保鮮膜的厚度約為多少厘米 (π取3.14)
2、 七年級(5)班開展“我的中國夢“主題班會活動,需要制作一個“夢之盒”,用來裝同學們的卡片,圖1是邊長為30cm的正方形紙板,裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2所示的長方體盒子,已知該長方體的寬是高的2倍,則它的體積是多少cm3
3．現在，友誼商場進行促銷活動，出售一種優惠購物卡（注：此卡只作為購物優惠憑證不能頂替貨款），花300元買這種卡后，憑卡可在這家商場按標價的8折購物.
（1）顧客購買多少元金額的商品時，買卡與不買卡花錢相等？在什么情況下購物合算？
（2）小張要買一臺標價為3500元的冰箱，如何購買合算？小張能節省多少元錢？
（3）小張按合算的方案，把這臺冰箱買下，如果友誼商場還能盈利25％，這臺冰箱的進價是多少元？

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