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第十講 認識并求解一元一次方程
認識并求解一元一次方程
適用學科 初中數學 適用年級 初中一年級
適用區域 北師大版區域 課時時長（分鐘） 120
知識點 1、一元一次方程的定義 2、列一元一次方程 3、一元一次方程的解 4、等式的基本性質 5、解一元一次方程 6、一元一次方程的綜合運用（含參問題）
教學目標 1、掌握一元一次方程的定義. 2、掌握等式的基本性質 3、掌握一元一次方程的解法.
教學重點 能根據方程的特點靈活地選擇解法.
教學難點 靈活運用解一元一次方程的步驟.
一、情景導入：
我能猜出你們的年齡，相信嗎？只要任何一個同學回答我一個問題，我就能馬上猜到他的年齡是多少歲，我們來試試吧．
問：你的年齡乘以2加3等于多少？
學生說出結果，教師猜測年齡，并問：你們知道我是怎么做的嗎？
學生討論并回答
二、知識探究：
1．方程的教學（投影演示）
小彬和小明也在進行猜年齡游戲，我們來看一看．
找出這道題中的等量關系，列出方程．
大家觀察，這兩個式子有什么特點．
討論并回答：什么是方程？方程有哪些特點？
2．判斷下列式子是不是方程？
（1）x＋2＝3（是） （2）x＋3y＝6（是）
（3）3x－6（不是） （4）1＋2＝3（不是）
（5）x＋3＞5（不是） （6）y－12＝5（是）
三、合作交流
1．如果告訴我們一些實際生活中的問題，大家能夠自己列出方程嗎？（投影演示）
情景一：小穎種了一株樹苗，開始時樹苗高為40厘米，栽種后每周樹苗長高約10厘米，大約幾周后樹苗長高到1米？
你能找出題中的等量關系嗎？怎樣列方程？由此題你們想到了些什么？
情景二：第五次全國人口普查統計數據（2001年3月28日新華社公布）
截至2000年11月1日0時，全國每10萬人中具有大學文化程度的人數為3611人，比1990年7月1日0時增長了153.94%，1990年6月底每10萬人中約有多少人具有大學文化程度？
情景三：西湖中學的體育場的足球場，其周長為200米，長和寬之差為12米，這個足球場的長和寬分別是多少米？
下面是剛才根據幾道情景題所列的方程，分析下列方程有何共同點？
2x–5＝21
40＋15x＝100
x（1＋153.94﹪）＝3611
2[x＋(x＋12)]＝200
2[y＋(y–12)]＝200
在一個方程中，只含有一個未知數x（元），并且未知數的指數是1（次），這樣的方程叫一元一次方程．
問：大家剛才都已經自己列出了方程，那個同學能夠說一下你是怎樣列出方程的，列方程應該分為那幾步呢？
生：分組討論，回答列方程的步驟：（1）找等量關系；（2）設未知數；（3）列方程．
方程的定義：含有未知數的等式叫做方程。
方程的定義的要點：①含有未知數，π不是未知數；②是等式。
方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解。
一元一次方程：只含有一個未知數，且未知數的指數都是1，這樣的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的三要點：①、只含有一個未知數；②、未知數的次數為“1”；③、整式方程。
解方程：求方程解的過程叫做解方程。
等式的基本性質一：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個整式，等式還成立。
等式的基本性質二：等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個整式（不為零），等式還成立。
解一元一次方程的步驟及依據：
步驟 注意事項 依據
去分母 等式兩邊每一項都要乘以分母的最小公倍數 等式的基本性質二
去括號 括號前是負號時要變號 去括號法則
移項 移項要變號 等式的基本性質一
合并同類項 注意系數的符號 合并同類型法則
系數化“1” 兩邊同時除以系數 等式的基本性質二
1、已知下列方程：其中一元一次方程有（ ）
①x﹣2=；②0.2x﹣2=1；③；④x2﹣3x﹣4=0；⑤2x=0；⑥x﹣y=6．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2、若關于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，則這個方程的解是（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x=﹣3 D．x=2
1、甲數比乙數的還多1，設乙數為，則甲數可表示為 ( )
A． B． C． D．
2、有m輛客車及n個人，若每輛客車乘40人，則還有10人不能上車；若每輛客車乘43人，則只有1人不能上車，用下列四個等式表示：
①；
②；
③；
④，
其中正確的是（ ）
①② B、②④ C、②③ D、③④
3、比a的3倍大5的數是9，列出方程式是 ．
1、若x= 2是關于x的方程3x+4= +a的解，則a2020 a的值是______.
2、寫出一個滿足下列條件的一元一次方程：①所含未知數的系數是﹣1，②方程的解3．則這樣的方程可寫為 ．
3、已知關于x的方程2x＋4=m﹣x的解為負數，則m的取值范圍是_______.
1、運用等式性質進行的變形，不正確的是（ ）
A．如果a=b，那么a﹣c=b﹣c B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果a=b，那么ac=bc D．如果ac=bc，那么a=b
2、若a=b，則在①a﹣3=b﹣3；②3a=2b；③﹣4a=﹣3b；④3a﹣1=3b﹣1中，正確的有 ．（填序號）
3、如圖1，天平呈平衡狀態，其中左側秤盤中有一袋玻璃球，右側秤盤中也有一袋玻璃球，還有2個各20克的砝碼．現將左側袋中一顆玻璃球移至右側秤盤，并拿走右側秤盤的1個砝碼后，天平仍呈平衡狀態，如圖2，則被移動的玻璃球的質量為（ ）
A．10克 B．15克 C．20克 D．25克
1、解下列方程：
①3－2＝4＋5 ②3（x－1）＝5x＋4
③--[12-4（-1）]＝0 ④+1=2-x
1、
2、．
3、按要求完成下面題目：
解：去分母，得……①
即 ……②
移項，得 …… ③
合并同類項，得 ……④
∴ ……⑤
上述解方程的過程中，是否有錯誤？答： ；如果有錯誤，則錯在_________步。如果上述解方程有錯誤，請你給出正確的解題過程：
1、關于x的方程與的解互為相反數．
（1）求m的值；
（2）求這兩個方程的解．
2、已知關于x的方程4x+3k=2x+2和方程2x+k=5x+2.5的解相同，求k的值．
3、若符號“”稱為二階行列式，規定它的運算法則為：，請你根據上述規定求出下列等式中的值： =1．
4、【現場學習】
定義：我們把絕對值符號內含有未知數的方程叫做“含有絕對值的方程”．
如：|x|=2，|2x﹣1|=3，||﹣x=1，…都是含有絕對值的方程．
怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對值的方程→不含有絕對值的方程．
我們知道，根據絕對值的意義，由|x|=2，可得x=2或x=﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|=3．
我們只要把2x﹣1看成一個整體就可以根據絕對值的意義進一步解決問題．
解：根據絕對值的意義，得2x﹣1=3或2x﹣1= ．
解這兩個一元一次方程，得x=2或x=﹣1．
檢驗：
（1）當x=2時，
原方程的左邊=|2x﹣1|=|2×2﹣1|=3，
原方程的右邊=3，
∵左邊=右邊
∴x=2是原方程的解．
（2）當x=﹣1時，
原方程的左邊=|2x﹣1|=|2×（﹣1）﹣1|=3，
原方程的右邊=3，
∵左邊=右邊
∴x=﹣1是原方程的解．
綜合（1）（2）可知，原方程的解是：x=2，x=﹣1．
【解決問題】
解方程：||﹣x=1．
5、己知：x=3是方程+=2的解，n滿足關系式|2n+m丨=1，求m+n的值．
【練習1】
1、下列是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣y=4﹣2x B． C．2x﹣5=3x﹣2 D．x（x﹣1）=2
2、某車間有27名工人,生產某種由一個螺栓套兩個螺母的產品,每人每天生產螺母16個或螺栓22個,若分配x名工人生產螺栓,其他工人生產螺母,恰好使每天生產的螺栓和螺母配套,則下面所列方程中正確的是( )
A. 22x=16(27 x) B. 16x=22(27 x) C. 2×16x=22(27 x) D. 2×22x=16(27 x)
3、若（m+3）x|m|﹣2﹣8=2是關于x的一元一次方程，則m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不能確定
4、關于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，則方程的解為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣2
【練習2】
1、寫出一個同時滿足下列條件的一元一次方程：① 某個未知數的系數是2 ，②方程的解為 ，則這樣的方程可寫為：_______________________．
2、關于x的方程kx﹣1=2x的解為正實數，則k的取值范圍是 ．
3、如果x=6是方程2x+3a=6x的解，那么a的值是（ ）
A．4 B．8 C．9 D．-8
4、關于x的方程5x﹣a=0的解比關于y的方程3y+a=0的解小2，則a的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
1、下列判斷錯誤的是（ ）
A．若a=b，則ac﹣3=bc﹣3
B．若x=2，則x2=2x
C．若a=b，則=
D．若ax=bx，則a=b
2、下列變形正確的是（ ）
A．x=0變形得x=3
B．3x=2x﹣2變形得3x﹣2x=2
C．3x=2變形得x=
D．變形得2x﹣3=3x
3、已知等式ax=ay，下列變形不正確的是（ ）
A．x=y B．ax+1=ay+1 C．2ax=2ay D．3﹣ax=3﹣ay
4、下列方程變形中，正確的是（ ）
A．方程，移項，得；
B．方程，去括號，得；
C．方程，未知數系數化為1，得；
D．方程化成.
5、①、8-5x＝x＋2 ②、（x﹣2）=x﹣（7﹣8x）；
③、 ④、
⑤、2（x﹣2）﹣9（1﹣x）=3（4x﹣1） ⑥、
⑦、
1、
2、
3、依據下列解方程=的過程，請在后面括號內填寫變形依據．
解：=（ ）
3（3x+5）=2（2x﹣1）．（ ）
9x+15=4x﹣2．（ ）
9x﹣4x=﹣15﹣2．（ ）
5x=﹣17．（ ）
x=﹣．（ ）
4、老師在黑板上出了一道解方程的題=1﹣，小明馬上舉起了手，要求到黑板上去做，他是這樣做的：
4（2x﹣1）=1﹣3（x+2）①
8x﹣4=1﹣3x﹣6 ②
8x+3x=1﹣6+4 ③
11x=﹣1 ④
⑤
老師說：小明解一元一次方程的一般步驟都掌握了，但解題時有一步做錯了，請你指出他錯在第 步（填編號），錯誤的原因是 ；然后，你自己細心地解下列方程：．
5、小樂的數學積累本上有這樣一道題：
解方程：﹣=1
解：去分母，得6（2x+1）﹣（5x﹣1）=6…第一步
去括號，得4x+2﹣5x﹣1=6…第二步
移向、合并同類項，得x=5…第三步
方程兩邊同除以﹣1，得x=﹣5…第四步
在題后的反思中看，小鄭總結到：解一元一次方程的一般步驟都知道，卻沒有掌握好，因此解題時有一步出現了錯誤…
小樂的解法從第 步開始出現錯誤，然后，請你自己細心地解下面的方程：
2﹣（x+2）=（x﹣1）
通過本節課的學習，學生應該掌握能用方程的定義， 方程的定義的要點，解方程，等式的基本性質，解一元一次方程的步驟及依據：
掌握掌握一元一次方程的定義，掌握等式的基本性質，掌握一元一次方程的解法，課后需要通過大量的練習來鞏固課上所學的知識，真正做到學以致用。
1、若的3倍與2的差等于的一半，則可列方程為 ．
2、根據“的倍與的和比的小”，可列方程為 ．
3、根據“x的5倍比它的35％少28”列出方程為 ．
4、小明從家里騎自行車到學校，每小時騎15km，可早到10min；每小時騎12km，就會遲到5min．問他家到學校的路程是多少千米？設他家到學校的路程為xkm，則根據題意列出的方程是 ．
5、七年級一班有學生53人,二班有學生45人,從一班調x人到二班,這時兩個班人數相等，根據題意，列出方程為______________.
1、已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代數式的值比的值多1，求m的值．
2、當x取什么值時，代數式與的差等于5．
3、設P=2a﹣1，Q=a+3，且2P﹣3Q=1，求a的值．
1、定義一種新運算“*”：a*b=2a－b，比如2*（－3）=2×2－（－3）=7．
（1）直接寫出（－3）*2的結果是 ；（2分）
（2）若3*x=－5，求x的值；（3分）
（3）計算：[（x－2y）*（x+y）]*3y．（3分）
2、關于x的方程x﹣2m=﹣3x+4與2﹣m=x的解互為相反數．
（1）求m的值；
（2）求這兩個方程的解．
3、小明在解方程=﹣1去分母時，方程右邊的（﹣1）項沒有乘3，因而求得的解是x=2，試求a的值，并求出方程正確的解．
4、閱讀下面的解題過程：
解方程：|x+3|=2．
解：當x+3≥0時，原方程可化成為x+3=2
解得x=﹣1，經檢驗x=﹣1是方程的解；
當x+3＜0，原方程可化為，﹣（x+3）=2
解得x=﹣5，經檢驗x=﹣5是方程的解．
所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．
解答下面的兩個問題：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0；
（2）探究：當值a為何值時，方程|x﹣2|=a，
①無解；②只有一個解；③有兩個解．
5、眾所周知，中華詩詞博大精深，集大量的情景情感于短短數十字之間，或豪放，或婉約，或思民生疾苦，或抒發己身豪情逸致，文化價值極高。而數學與古詩詞更是有著密切的聯系。古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一本詩集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數卻反而少了20個字。問兩種詩各多少首 設七言絕句有x首，根據題意，可列方程為___.

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