資源簡介

第十二講 應用一元一次方程（二）
應用一元一次方程（二）
通過對本節課的學習，你能夠：
積分問題
計費問題
產品配套問題
工程問題
相遇問題
直線追擊問題
環形問題
綜合問題
適用學科 初中數學 適用年級 初中一年級
適用區域 北師大版區域 課時時長（分鐘） 120
知識點 1、積分問題. 5、相遇問題. 2、計費問題. 6、直線追擊問題. 3、產品配套問題. 7、環形問題. 4、工程問題. 8、綜合問題.
教學目標 1、借助表格分析復雜問題中的數量關系，建立方程解決實際問題，發展分析問題，解決問題的能力。 2、對同一問題設不同未知數列出不同的方程，體會算法多樣化。 3、能借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而列出方程，解決問題.熟悉行程問題中路程、速度、時間之間的關系，從而實現從文字語言到符號語言的轉換.
教學重點 準確分析問題中的等量關系，設恰當的未知數，列方程.
教學難點 思考不同等量關系在解決問題中的不同的作用，提高分析問題和解決問題的能力，培養思維的靈活性.
工作量=工作時間×工作效率
甲、乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
調配問題中可采用列表法協助分析數量關系
用一元一次方程解決實際問題時，要設出合理的未知數，找出隱含在題目中的相等關系時。在尋找相等關系時，要抓住關鍵性詞語，如共、多、少、倍、幾分之幾等，并以原有量、現有量之間的關系為基礎導出相等關系。
路程=速度×時間
（1）相遇問題中的等量關系
速度和×相遇時間=相遇距離
甲行的路程+乙行的行程=相遇路程
（2）追及問題中的等量關系
速度差×追及時間=追及距離
快者走的路程-慢者走的路程=追及路程
考點一：積分問題
某公司對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了幾道題？
某足球賽一個賽季共進行了26輪比賽（即每隊均需賽26場），其中勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。某隊在這個賽季中平的場數比負的場數多7場，結果得34分，則這個隊在這一賽季中勝、平、負的場數各是多少？
3、足球比賽的記分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一支足球隊在某個賽季比賽共需14場，現已比賽8場，輸了一場，得17分，請問：
(1)前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場
(2)這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分
(3)通過對比賽的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分，就可達到預期的目的，請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期的目標
考點二：計費問題
1、某地上網有兩種收費方式，用戶可以任意選擇其一：
A．計時制：1.5元/時；B．包月制：45元/月；
此外，每種上網方式都要加收通信費1元/時。
（1）某用戶平均每月的上網時間為20小時，若選擇方案A， 應繳 元上網費；若選擇方案B，應繳 元上網費；
（2）某用戶平均每月的上網時間為30小時，若選擇方案A，應繳 元上網費；若選擇方案B，應繳 元上網費；
（3）某用戶平均每月的上網時間為40小時，若選擇方案A，應繳 元上網費；若選擇方案B，應繳 元上網費；
（4）某用戶發現他家10月份的上網費，按方案A與方案B的繳費一樣；求他家10月份的上網時間？
（5）根據用戶上網時間的不同，請你為用戶選擇省錢收費方式（選擇方案A或選擇方案B）？
2、鄭州市出租車計價規則如下：行程不超過2公里，收起步價8元；超過2公里的部分每公里加收1.5元（不足一千米按一千米算）。
（1）、若乘坐出租車1.5公里，則應繳 元車費；
（2）、若乘坐出租車8公里，則應繳 元車費；
（3）、小明從學校坐出租車到家，共付出租車車費為26 元，求學校到小明家的路程？
3、下表有兩種移動電話計費方式：月使用費固定收,主叫不超限定時間不再收費,主叫超時部分加收超時費,被叫免費
月使用費/元 主叫限定時間/min 主叫超時費/(元/min) 被叫
方式一 58 150 0.25 免費
方式二 88 350 0.19 免費
（1）一個月內用移動電話主叫為t min(t是正整數).根據上表,列表說明:當t在不同時間范圍內取值時,按方式一和方式二如何計費.
(2)觀察你的列表,你能從中發現如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎 通過計算驗證你的看法.
考點三：產品配套問題
1、某幼兒園阿姨給小朋友分蘋果，每人分3個則剩1個；每人分4個則差2個；問有多少個蘋果？設有x個蘋果，則可列方程為（ ）．
A、3x＋1=4x－2 B、
C、 D、
2、小明看書若干日，若每日讀書32頁，尚余31頁；若每日讀書36頁，則最后一天需要讀39頁，才能讀完。這本書共多少頁？
3、某車間有22名工人生產螺釘和螺母,每人每天平均生產螺釘1200或螺母2000個,一個螺釘要配兩個螺母;為了使每天生產的產品正好配套,應該如何安排工人生產
考點四：工程問題
1、一項工程甲單獨做要40天完成，乙單獨做要50天完成，甲先單獨做4天，然后兩人合作天完成這項工程，則可列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、一項工程甲單獨做要40天完成，乙單獨做要50天完成，甲先單獨做4天，然后兩人合作x天完成這項工程，則可列方程 ．
3、修筑一條公路，甲工程隊單獨承包要80天完成，乙工程隊單獨承包要120天完成。
（1）現由甲、乙兩個工程隊合作承包，多少天可以完成？
（2）如果甲、乙兩工程隊合作了30天后，因甲工程隊另有任務，剩下的工作由乙工程隊完成，則修好這條公路一共需要多少天完成？
考點五：相遇問題
1、A，B兩地相距480 km，一列慢車從A地出發，每小時行駛60 km，一列快車從B地出發，每小時行駛90 km，快車提前30 min出發．兩車相向而行，慢車行駛了多少小時后，兩車相遇？若設慢車行駛了x h后，兩車相遇，則根據題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2、A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行.已知甲車速度120千米/時，乙車
速度為80千米/時，經過小時兩車相距50千米，則的值是（ ）.
A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5
3、小華和小玲同時從相距700米的兩地相對走來，小華每分鐘走60米，小玲每分鐘走80米。幾分鐘后兩人相遇？
4、兩列火車同時從相距600千米地甲乙兩地相向而行，經過4小時后兩列火車在途中相遇，已知客車每小時行80千米，貨車每小時行多少千米？
考點六：直線追及問題
1、小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學校上課，一天小明以80米/分的速度出發，5分后，小明的爸爸發現他忘了帶語文書，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多少時間？
（2）追上小明時，距離學校還有多遠？
2、列方程解應用題；
一隊學生去校外進行軍事野營訓練，他們以5千米/時的速度行走，出發18分鐘后，學校要將一個緊急通知傳達給隊長，派通訊員立刻從學校出發，騎自行車以14千米/時的速度按原路追趕，通訊員用多長時間可以追上學生隊伍？
3、列方程解應用題：七年級某班同學清明節去掃墓，步行的同學先從學校出發1h，然后騎車的同學從學校出發沿同一路線前行，30min后與步行的同學同時到達.已知騎車的同學比步行的同學每小時多行10km，求騎車的同學和步行的同學的速度.
考點七：環形問題
1、甲、乙兩人在400米長的環形跑道上跑步，甲每分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時同地同向出發，幾分鐘二人相遇？若背向跑，幾分鐘后相遇？
2、如圖所示圖形ABCD是一個長為400米的環形跑道，現在把跑道分成相等的4段，即兩條直道和兩條彎道長度都相等。甲、乙二人沿著環形跑道ABCD練習跑步（勻速），甲從A點出發，乙從B點出發，甲比乙每秒多跑1米。
（1）如果甲按照順時針方向跑，同時乙按照逆時針方向跑，經過25秒兩人第一次相遇，求甲、乙兩人的速度；
（2）如果兩人按照原來（1）中的速度，沿相同的方向同時起跑，當第一次相遇時，甲在環形跑道ABCD的哪一條直道或彎道上？說明理由。
考點八：綜合問題
1、小明從家里騎自行車到學校，每小時騎15km，可早到10分鐘，每小時騎12km就會遲到5分鐘．問他家到學校的路程是多少km？設他家到學校的路程是xkm，則據題意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知A、B、C三地是同一條河流上的三個不同地方，且A、B、C在同一直線上，A、C相距28千米，某船先從A地順流而下來到B地，再立刻調頭逆流而上到達C地，一共用了5小時，調頭時間忽略不計．已知該船的靜水速度為18km/h，水流速度為2km/h，請問：
（1）船在順水中航行的速度是 km/h，船在逆水中航行的速度是 km/h．
（2）A、B兩地相距多少千米？
3、甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。
（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？
（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？
（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？
（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？
（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？
4、甲、乙兩位同學進行“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線起跑，繞過點P跑回起跑線（如圖，繞點P時轉彎的路忽略不計），用時少者為勝；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑，結果：甲同學由于心急，掉了球，他撿起球并回到掉球處繼續賽跑，共浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完。事后，甲同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學說：“甲同學浪費的時間不算在內時，我的速度是2.5米/秒，甲的速度是我的1.2倍”。請根據以上圖文信息，解答以下問題：
（1）這次“托球賽跑”游戲最終獲勝的是哪位同學？請說明理由。
（2）點P到起跑線的距離是多少米？
1、某學校七年級8個班進行足球友誼賽，采用勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分的記分制。某班與其他7個隊各賽1場后，以不敗的戰績積17分，那么該班共勝了幾場比賽？
2、小明在一次籃球比賽中，共投中15個球（其中包括2分球和3分球），共得34分，則小明共投中2分球和3分球各多少個？
3、小明同學是學校的籃球明星，在一場籃球比賽中，他一人得了23分，如果他投進的2分球比3分球多4個，那么在這場比賽中他投進的2分球的個數有多少？
1、某品牌汽車生產廠為了占領市場提高銷售量，對經銷商采取銷售獎勵活動，在2024年10月前獎勵辦法以下表計算獎勵金額，2024年10月后以新獎勵辦法執行．某經銷商在新獎勵辦法出臺前一個月共售出某品牌汽車的A型和B型共413臺，新獎勵辦法出臺后的第一個月售出這兩種型號的汽車共510臺，其中A型和B型汽車的銷售量分別比新獎勵辦法出臺前一個月增長25％和20％．2024年10月前獎勵辦法：
銷售量（x臺） 每臺獎勵金額（元）
0＜x≤ 100 200
100＜x≤300 500
x＞300 1000
（1）在新辦法出臺前一個月，該經銷商共獲得獎勵金額多少元？
（2）在新辦法出臺前一個月，該經銷商銷售的A型和B型汽車分別為多少臺？
（3）若A型汽車每臺售價為10萬元，B型汽車每臺售價為12萬元．新獎勵辦法是：每銷售一臺A型汽車按每臺汽車售價的給予獎勵，每銷售一臺B型汽車按每臺汽車售價的給予獎勵．新獎勵辦法出臺后的第二個月，A型汽車的銷售量比出臺后的第一個月增加了； 而B型汽車受到某問題零件召回的影響，銷售量比出臺后的第一個月減少了，新獎勵辦法出臺后的第二個月該經銷商共獲得的獎勵金額355680元，求的值．
4、已知A、B兩地相距120km，乙的速度比甲每小時快1km，甲先從A地出發2小時后，乙從B地出發，與甲相向而行經過10小時后相遇，求甲、乙的速度各是多少？
5、甲、乙兩人騎自行車同時從相距80千米的兩地出發，相向而行，2小時后相遇，已知甲每小時比乙多走2.4千米，求甲、乙每人每小時走多少千米？
分析：等量關系為：甲2小時走的路程+乙2小時走的路程=80，把相關數值代入求解即可．
6、甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少？
7、甲乙兩人從相距1500米的A、B兩地同時出發相向而行，甲騎自行車，速度是7.5米/秒，乙步行，速度是2.5米/秒，甲出發1分鐘后忘記帶東西，迅速返回去取（掉頭時間及取東西時間不計），則在乙出發 秒后，兩人相距100米．
購買香蕉數 (千克) 不超過 20千克 20千克以上 但不超過40千克 40千克以上
每千克價格 6元 5元 4元
1、某水果批發市場香蕉的價格如下表：
張強兩次共購買香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元， 請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？
2、參加保險公司的醫療保險，住院治療的病人享受分段報銷，保險公司制定的報銷細則如下表.某人住院治療后得到保險公司報銷金額是1100元，那么此人住院的醫療費是多少錢？
住院醫療費（元） 報銷率（%）
不超過500元的部分 0
超過500～1000元的部分 60
超過1000～3000元的部分 80
……
3、列方程解應用題 （10分）
甲、乙兩人同時從相距25千米的A地去B 地，甲騎車乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到達B地停留40分鐘，然后從B地返回A地，在途中遇見乙，這時距他們出發的時間恰好3小時，求兩人的速度各是多少？
4、甲、乙兩人從相距75km的兩地出發，相向而行，甲每小時行10km，每小時比乙快2km，乙先出發2小時，當兩人還相距5km的時候，乙一共行了多少小時？
【教學建議】
通過本節課的學習，學生應該借助表格分析復雜問題中的數量關系，建立方程解決實際問題，發展分析問題，解決問題的能力；對同一問題設不同未知數列出不同的方程，體會算法多樣化；能借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而列出方程，解決問題.熟悉行程問題中路程、速度、時間之間的關系，從而實現從文字語言到符號語言的轉換，課后需要通過大量的練習來鞏固課上所學的知識，真正做到學以致用。
1、在全國足球甲A聯賽的前11輪比賽中,某隊保持連續不敗（不敗含取勝和打平）共積23分,按比賽規則,勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,求該隊在這11場比賽中共勝了多少場
2、為了提升學生體育鍛煉意識，某中學七年級(1)班進行了一次體育測試，測試內容為投擲實心球，老師在操場上畫出了A，B，C三個區域，每人投擲5次，實心球落在各個區域的分值各不相同，落在C區得3分．墨墨，茗茗，麗麗三位同學投擲后其落點如圖所示，已知墨墨的得分是19分．
（1）設投進B區域得x分，用整式表示投進A區域的得分；
（2）若茗茗的得分是21分，求投進B區域的得分；
（3）求麗麗的得分．
3、小明家離學校2.9千米，一天小明放學走了5分鐘之后，他爸爸開始從家出發騎自行車去接小明，已知小明每分鐘走60米，爸爸騎自行車每分鐘騎200米，請問小明爸爸從家出發幾分鐘后接到小明？
4、敵我兩軍相距25km，敵軍以5km/h的速度逃跑，我軍同時以8km/h的速度追擊，并在相距1km處發生戰斗，問戰斗是在開始追擊后幾小時發生的？
5、甲、乙兩人在一條長400米的環形跑道上跑步，甲的速度為360米/分，乙的速度是240米/分.
（1）兩人同時同地同向跑，問第一次相遇時，兩人一共跑了多少圈？
（2）兩人同時同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？
1、紅光服裝廠要生產某種學生服一批，已知每3米長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計劃用600米長的這種布料生產學生服，應分別用多少布料生產上衣和褲子，才能恰好配套？共能生產多少套？
2、某車間有技術工85人，平均每天每人可加工甲種部件16個或乙種部件10個，2個甲種部件和3個乙種部件配 一套，問加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙兩種部件剛好配套？（4分）
3、某車間有技術工人85人，平均每天每人可加工甲種部件16個或乙種部件10個，2個甲種部件和3個乙種部件配成一套，問加工甲、乙兩種部件各安排多少人才能使每天加工的兩種部件剛好配套？并求出加工了多少套？
4、雅麗服裝廠童裝車間有40名工人，縫制一種兒童套裝（一件上衣和兩條褲子配成一套）。已知1名工人一天可縫制童裝上衣3件或褲子4件，問怎樣分配工人才能使縫制出來的上衣和褲子恰好配套？
5、有一些相同的房間需要粉刷墻面，一天3名師傅去粉刷8個房間，結果其中有40㎡墻面未來得及刷；同樣時間內5名徒弟粉刷了9個房間的墻面，每名師傅比徒弟一天多刷30㎡墻面．
（1）求每個房間需要粉刷的墻面面積；
（2）張老板現有36個這樣的房間需要粉刷,若請1名師傅帶2名徒弟去,需幾天完成
6、小明和小華每天早晨堅持跑步，小華每秒跑5米，小明每秒跑7米，如果小華站在小明前面20米處，兩人同時起跑，幾秒后小明能追上小華？
7、小明和小剛從學校出發去敬老院送水果，小明帶著東西先走了200m，小剛才出發.若小明每分鐘行80m，小剛每分鐘行120m.則小剛用幾分鐘可以追上小明？
8、列方程解應用題：（6分）
小明和小東兩人練習跑步，都從甲地出發跑到乙地，小明每分鐘跑250米，小東每分鐘跑200米，小明讓小東先出發3分鐘之后再出發，結果兩人同時到達乙地，求甲、乙兩地之間的路程是多少米？
1、某工程，甲單獨做12天完成，乙單獨做8天完成。現在由甲先做3天，乙再參加做，求完成這項工程乙還需要幾天？若設完成這項工程乙還需要x天，則下列方程不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
2、一個水池有甲、乙兩個水龍頭，單獨開甲龍頭，4 h可把空水池灌滿；單獨開乙龍頭，6 h可把空水池灌滿，灌滿水池的要同時開甲、乙兩龍頭的時間是（　　）
A．h B.h C．4 h D．h
3、一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成．現在先由甲單獨做4小時，剩下的部分由甲、乙合做，需要幾小時完成？
4、展開你想象的翅膀，盡可能多地從方程中猜想出它可能會是哪種類型的實際問題，將其編寫出來，并解答之。
5、 某管道由甲、乙兩工程隊單獨施工分別需30天、20天。
(1)如果兩隊從兩端同時相向施工，需要多少天鋪好
(2)又知甲隊單獨施工每天需付200元的施工費，乙隊單獨施工每天需付280元的施工費，那么是由甲隊單獨施工，還是由乙隊單獨施工，還是由兩隊同時施工，請你按照少花錢多辦事的原則，設計一個方案，并說明理由。
6、列方程解應用題：七年級某班同學清明節去掃墓，步行的同學先從學校出發1h，然后騎車的同學從學校出發沿同一路線前行，30min后與步行的同學同時到達.已知騎車的同學比步行的同學每小時多行10km，求騎車的同學和步行的同學的速度.
7、A、B兩地相距40千米，上午6時張強步行從A地出發于下午4時到達B地；上午10時王麗騎自行車從A地出發于下午3時到達B地，問王麗是在什么時間追上張強的？

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