資源簡介

能力微專訓2　遇角平分線如何添加輔助線
類型1 作垂線,構造全等三角形
方法1 點在角平分線上,可向兩邊作垂線
角平分線的性質定理:角平分線上的點到角兩邊的距離相等.如圖,若OP是∠AOB的平分線,PE⊥OA,可過P點作PF⊥OB,則可用結論:(1)PF=PE;(2)證得△OPF≌△OPE;(3)證得OF=OE.
1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=12 cm,BD=8 cm,那么點D到直線AB的距離是 ( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.10 cm
2.如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB,垂足為E,若DE=1,則BC的長為 ( )
A.2+ B.+ C.2+ D.3
3.如圖,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,直角三角板的頂點P在射線OM上移動,兩直角邊分別與OA,OB相交于點C,D,問PC與PD相等嗎 試說明理由.
類型2 作平行線,構造等腰三角形
方法2 平分加平行,可得等腰三角形
過角平分線上一點,作角的一邊的平行線,可構造等腰三角形.如圖,若OP是∠AOB的平分線,過P點作OB的平行線交OA于E點,可用結論:△EOP是等腰三角形.
4.如圖,AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,則∠C的度數為 ( )
A.105° B.120° C.130° D.150°
如圖,已知△ABC的兩邊AB=5,AC=8,BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,過點O作EF∥BC,則△AFE的周長等于 .
類型3 作垂線,構造等腰三角形
方法3 平分加垂線,得等腰三角形
從角的一邊上一點作角平分線的垂線,與另一邊相交,可得等腰三角形.
如圖,若OP是∠AOB的平分線,EP⊥OP,則可延長EP交OB于F點,可用結論:(1)△OEF是等腰三角形;(2)P是EF的中點.
如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,AD⊥BD,垂足為D.
(1)求證:∠2=∠1+∠C.
(2)若ED∥BC,∠ABD=28°,求∠ADE的度數.
如圖,在△ABO中,OA=OB,∠AOB=90°,AD平分∠OAB,OE⊥AD于點E,交AB于點F.
求證:(1)OD=BF.
AD-OF=2DE.
類型4 作等線段,構造對稱圖形
方法4 在角的兩邊取相等線段,可得全等三角形
如圖,若OP為∠AOB的平分線,可在OB上取OF=OE,則可用結論:
(1)△OPF≌△OPE.
(2)PF=PE,OF=OE.
(3)∠PFO=∠PEO,∠OPF=∠OPE.
8.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC,求證:BC=AC+CD.
9.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分線,延長BD至點E,使DE=AD,求證:∠ECA=40°.
【參考答案】
1.B　2.A
3.【解析】PC=PD.理由:如圖,過點P作PE⊥OA,PF⊥OB,
垂足分別為E,F.
∵OM平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°.
又∵∠AOB=90°,
∴∠EPF=90°,
∴∠EPC+∠CPF=∠DPF+∠CPF=90°,
∴∠EPC=∠DPF,∴△CPE≌△DPF(ASA),
∴PC=PD.
4.B　5.13
6.【解析】(1)證明:如圖,延長AD交BC于點H.
∵BD⊥AH,
∴∠BDA=∠BDH=90°.
∵∠ABD=∠HBD,BD=BD,
∴△BDA≌△BDH(ASA),
∴∠2=∠BHA.
∵∠BHA=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.
(2)∵∠ABD=28°,∠BDA=90°,
∴∠2=62°,
∴∠AHB=∠2=62°,
∴∠AHC=180°-62°=118°.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AHC=118°.
7.【證明】(1)如圖1,連接DF,∵OF⊥AD,
∴∠AEF=∠AEO=90°.
∵AD平分∠FAO,
∴∠FAE=∠OAE.
在△FAE和△OAE中,
∴△FAE≌△OAE(ASA),
∴FE=OE,∠AFO=∠AOF.
∵AD⊥OF,∴DF=DO,
∴∠DFO=∠DOF.
∵∠AFO=∠AOF,
∴∠AFD=∠AOB=90°.
∵∠AOB=90°,AO=BO,
∴∠B=45°,
∴∠FDB=∠AFD-∠B=90°-45°=45°=∠B,
∴BF=DF,∴OD=BF.
(2)如圖2,在AD上截取AM=OF,連接OM,
∵∠OAB=∠B=45°,AD平分∠OAB,
∴∠OAM=22.5°.
∵OD=DF,∴∠DFO=∠DOF.
∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF,
∴∠FOB=22.5°=∠OAM.
在△AMO和△OFB中,
∴△AMO≌△OFB(SAS),∴MO=BF=OD.
∵OF⊥AD,∴DE=ME,
∴AD-OF=DM=2DE.
8.【證明】如圖,在線段BC上截取BE=BA,連接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC.
在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB.
又∵AB=AC,∠A=108°,
∴∠ACB=∠ABC=(180°-108°)=36°,
∴∠ABD=∠EBD=18°.
∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°.
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°,
∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°,
∴∠CDE=∠DEC,
∴CD=CE,∴BC=BE+EC=AC+CD.
9.【證明】如圖,在BC上截取BF=AB,連接DF,
∵BD是∠ABC的平分線,
∴∠ABD=∠FBD,
∴△ABD≌△FBD(SAS),
∴DF=DA=DE,∠A=∠DFB.
又∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠A=80°,
∴∠FDC=60°,
∴∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°,
∴∠FDC=∠EDC,∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴∠ECA=∠DCB=40°.能力微專訓5　相似三角形的七大模型
模型1 X字型
模型分析
如圖1,若AB∥CD,則△ABE∽△DCE;如圖2,若∠A=∠D或∠B=∠C,則△ABE∽△DCE.
如圖,AB∥CD,AD,BC相交于點E,過點E作EF∥CD交BD于點F,AB∶CD=2∶3,那么EF∶AB= .
如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,點E在CD上,連接AE并延長,交BC的延長線于點F.
(1)求證:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的長.
模型2 A字型
模型分析
如圖1,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC;如圖2,若∠AED=∠B,則△ADE∽△ACB.
如圖,在△ABC中,點D,E分別在AB,AC邊上,DE∥BC,若AD=1,BD=2,則的值為 .
如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
模型3 子母型
模型分析
已知:∠1=∠2.結論:△ACD ∽△ABC.
在圖中,我們不僅要熟悉模型,還要熟記模型的結論,有時候題目中會給出三角形邊的乘積關系或者比例關系,我們要能快速判斷題中的相似三角形.在模型中,由△ACD∽△ABC,進而可以得到AC2=AD·AB.
如圖,在△ABC中,P為邊AB上一點,且∠ACP=∠B,若AP=2,BP=3,則AC的長為 .　
如圖,在△ABC中,AB=4,BC=8,D為BC邊上一點,BD=2.
(1)求證:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于點E,請再寫出另一個與△ABD相似的三角形,并直接寫出DE的長.
模型4 雙垂直型
模型分析
①如圖1,在三角形ABC中,AD為BC邊上的高,這個是子母型的特殊情況,則AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,AD2=BD·CD.
②如圖2,在三角形ABC中,若BD,CE分別是AC和AB邊上的高,則△ACE∽△ABD,△ADE∽△ABC.
7.如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓上的一點,過點C作CD⊥AB于點D,AC=2 cm.若AD∶DB=4∶1,求AD的長.
如圖,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足為D,CE⊥AB,垂足為E,求證:
(1)△ABC∽△ADE.
(2)BC=2DE.
9.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D為AB上一點.
(1)如圖1,若CD⊥AB,求證:AC2=AD·AB.
(2)如圖2,若AC=BC,H為CD上一動點,過點H作EF⊥CD交BC于點E,交AC于點F,=,求的值.
模型5 三垂直型
模型分析
一線三直角是一種常見的相似模型,指的是由三個直角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形,有些地區稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.
如圖1,2,△ACD∽△BAE.特殊地,當AB=AC時,△ACD≌△BAE.
三垂直型應用:1.圖形中已經存在“一線三直角”,直接應用模型解題;2.圖形中存在“一線兩直角”,補上“一直角”構造此模型;3.圖形中只有直線上的一個直角,補上“兩直角”構造此模型;4.圖形中只有一個直角,過該直角頂點補上“一線”,再補上“兩直角”,構造此模型.
如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,連接AE,EF⊥AE交DC于點F.若AB=4,BC=6,則CF的長為 .
如圖,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=4,CD=2,P為線段BC上的點,設BC=m.
(1)已知m=9.
①若△BAP∽△CDP,求線段BP的長;
②若△BAP∽△CPD,求線段BP的長.
(2)若△BAP與△CDP相似,求m的值.
模型6 一線三等角型
模型分析
已知:在圖1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D.
結論:△ABC∽△CDE.
如圖1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,且∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.圖2,3同理可證△ABC∽△CDE.
在一線三等角的模型中,難點在于當已知三個相等的角的時候,容易忽略隱含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似應用較多,當看見該模型的時候,應立刻能看出相應的相似三角形.
12.如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點D,E,F是CD上的兩點,且∠ACB=∠AED=∠BFD.若AD=8,BD=12,tan∠ACB=2,則CD的長為 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
如圖,在△ABC中,AB=AC,P,D分別是BC,AC邊上的點,且∠APD=∠B. 求證:
(1)△ABP∽△PCD.
(2)AB·CD=CP·BP.
模型7 手拉手模型
模型分析
特征:共頂點,等頂角,BD,CE為拉手線.已知:∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE或=.結論:△ADE∽△ABC,△ABD∽△ACE.
14.如圖,將△ABC繞點A旋轉得到△ADE,連接BD,CE.求證:△ADB∽△AEC.
如圖,∠DAB=∠EAC,AD=6,AE=4,DE=9,AB=12,AC=8.
(1)求證:△ADE∽△ABC.
(2)求BC的長.
【參考答案】
1.3∶5
2.【解析】(1)證明:∵在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠DCF,
∴△ADE∽△FCE.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,且AB=4,
∴AB=CD=4.
又∵△ADE∽△FCE,
∴=.
∵AD=6,CF=2,
∴=,
∴DE=3.
3.
4.【解析】(1)證明:∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
∴∠AEF+∠EAF=90°,∠GAC+∠ACG=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AEF=∠ACG.
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴=.
∵AD=BE=4,AE=3,
∴AB=BE+AE=4+3=7,
∴=,
解得AC=,
∴CD=AC-AD=-4=.
5.
6.【解析】(1)證明:∵AB=4,BC=8,BD=2,
∴=.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于點E,如圖所示,則△ABC∽△EDC,
∴=,
即=,
解得DE=3.
7.【解析】如圖,連接BC.
∵AB是半圓O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACB=∠ADC.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.
∴=.
設DB=x cm,則AD=4x cm,AB=5x cm.
∴=,
即5x·4x=(2)2,
解得x=,∴AD=4 cm.
8.【證明】(1)∵△ABD∽△ACE,
∴=.又∵∠A=60°,
∴∠ABD=30°,
∴==.
又∵∠A為公共角,∴△ABC∽△ADE.
(2)由(1)可知,∵==,∴BC=2DE.
9.【解析】(1)證明:∵△ACD∽△ABC,
∴AC2=AD·AB.
(2)如圖,過點A作AM⊥AC交直線CD于點M,易證△ADM∽△BDC,===tan∠ACD=.
又∵tan∠ACH==,∴CH=2FH.
又∵∠ACH=∠FEC,
∴tan∠FEC=tan∠ACD==,
∴EH=2CH,
∴EH=4FH,
∴=.
10.
11.【解析】(1)∵如圖,BC=9,
∴PC=9-BP.
①∵△BAP∽△CDP,
∴=,即=,
解得BP=6.
②∵△BAP∽△CPD,
∴=,即=,
解得BP=8或BP=1.
(2)當△BAP與△CDP都是等腰直角三角形時,這兩個三角形相似,
此時∠BPA=∠CPD=45°,
則BP+PC=BC=AB+CD=6.
當∠BAP=∠CPD時,△BAP∽△CPD,
∴=,即=,
∴BP2-mBP+8=0,
∴Δ=m2-32=0,
∴m=4或m=-4(舍去).
綜上所述,當m=6或m=4時,使得△BAP與△CDP相似.
12.B
13.【證明】(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠CPD.
∴△ABP∽△PCD.
(2)∵△ABP∽△PCD,
∴=,
∴AB·CD=CP·BP.
14.【證明】∵將△ABC繞點A旋轉得到△ADE,
∴AC=AE,AB=AD,∠BAC=∠DAE,
∴=,∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,∴△ADB∽△AEC.
15.【解析】(1)證明:∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC,
即∠DAE=∠BAC.
∵AD=6,AE=4,AB=12,AC=8,
∴==,
∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知△ADE∽△ABC,
∴=,即=,
∴BC=18.能力微專訓1　反比例函數中的面積問題
類型1 邊與坐標軸平行或重合　
1.(原創)如圖,A是反比例函數y=圖象上的任意一點,過點A分別作x軸,y軸的垂線,垂足為B,C,則四邊形OBAC的面積為 ( )
A.1.5 B.3 C.6 D.9
2.如圖,A是反比例函數y=(x>0)圖象上任意一點,AB⊥y軸于點B,C是x軸上的動點,則△ABC的面積為 ( )
A.1 B.2 C.4 D.不能確定
3.如圖,A是反比例函數y=的圖象上一點,過點A作AB∥y軸交反比例函數y=的圖象于點B,已知△OAB的面積為3,則k的值為 ( )
A.4 B. 5 C.7 D.13
4.如圖,雙曲線y=-(x<0)經過 ABCO的對角線交點D,已知邊OC在y軸上,且AC⊥OC于點C,則 OABC的面積是 ( )
A. B. C.3 D.6
5.如圖,P是反比例函數y=(x>0)圖象上的任意一點,過點P分別作兩坐標軸的垂線,與坐標軸構成矩形OAPB,D是矩形OAPB內任意一點,連接DO,DA,DP,DB,則圖中陰影部分的面積是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如圖,在平面直角坐標系中,點A,B分別在第二象限和第一象限,AB與x軸平行,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,函數y=(x<0)和y=(x>0)的圖象分別經過點A,B,則的值為 ( )
A. B.- C. D.-
7.如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCD的四條邊分別與坐標軸交于點E,F,G,H,AD∥x軸,四邊形AFOE與四邊形CHOG的面積分別為2,3,點B,D分別在反比例函數y=(x<0),y=(x>0,k>0)的圖象上,則k的值為 ( )
A. B.3 C.4 D.6
8.如圖,已知A是x軸的正半軸上一點,點B在反比例函數y=(x>0)的圖象上,OA=AB=2,∠OAB=120°,則k= .
如圖,在平面直角坐標系中,OA=3,將OA沿y軸向上平移3個單位長度至CB,連接AB,若反比例函數y=(x>0)的圖象恰好過點A與BC的中點D,則k= .
方法總結
當過反比例函數圖象上的點的圖形不是長方形或直角三角形時,要過該點作垂線,通過割補法變成長方形或直角三角形,如圖所示.
類型2 邊不與坐標軸平行或重合
10.如圖,A,B是反比例函數y=在第一象限內的圖象上的兩點,若A,B兩點的橫坐標分別是2,4,則△OAB的面積是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.如圖, OABC的頂點O,B在y軸上,頂點A在反比例函數y=-的圖象上,頂點C在反比例函數y=的圖象上,則 OABC的面積是 ( )
、
A. B. C. D.
12.如圖,在平面直角坐標系中,矩形ABCD的邊AB∶BC=3∶2,點A(3,0),B(0,6)分別在x軸,y軸上,反比例函數y=的圖象經過點D,則k值為 ( )
-14 B.14 C.7 D.-7
【參考答案】
1.B　2.A　3.A　4.C　5.C　6.D　7.D　8.3　9.2　10.B　11.D　12.B能力微專訓3　全等三角形的六大模型
模型1 平移型
模型分析
把△ABC沿著某一條直線l平行移動,所得到的△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形.圖1,圖2是常見的平移型全等三角形.在證明平移型全等的試題中,常常要碰到移動方向的邊加(減)公共邊.如圖1,若BE=CF,則BE+EC=CF+CE,即BC=EF.如圖2,若BE=CF,則BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,AD∥EC,∠AED=∠B.若DE=3,CE=4,則AD+BC= .
2.如圖,點E,F在邊AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF,求證:△ADF≌△BCE.
模型2 軸對稱(翻折)型
模型分析
將原圖形沿著某一條直線折疊后,直線兩邊的部分能夠完全重合,這兩個三角形稱為翻折型全等三角形.此類圖形中要注意其隱含條件,即公共邊或公共角相等.
3.如圖,在△ABC和△ABD中,BC交AD于點E,若∠C=∠D,AE=BE.求證:△AEC≌△BED.
如圖,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點F,連接CD,EB.
(1)不添加輔助線,找出圖中其他的全等三角形.
(2)求證:CF=EF.
模型3 旋轉型
模型分析
將三角形繞公共頂點旋轉一定角度后,兩個三角形能夠完全重合,則稱這兩個三角形為旋轉型三角形.識別旋轉型三角形時,如圖1,涉及對頂角相等;如圖2,涉及等角加(減)等角的條件.
5.如圖,在四邊形ABCD中,點E在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE.求證:△ABC≌△DEC.
6.如圖,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求證:AD=AE.
模型4 一線三垂直型
模型分析
常用三個垂直作條件進行角度等量代換,即同(等)角的余角相等,相等的角就是對應角,證三角形全等時必須還有一組邊相等.
如圖1(變形前),已知:AB⊥BC,DE⊥CE,AC⊥CD,AB=CE.
結論:①∠A=∠DCE,∠ACB=∠D;②BE=AB+DE;③連接AD,△ACD是等腰直角三角形.
圖1
如圖2(變形前),已知:AB⊥BC,AE⊥BD,CD⊥BD,AB=BC.
圖2
結論:①∠A=∠DBC,∠ABE=∠C;②DE=AE-CD.
7.如圖,直線a經過正方形ABCD的頂點A,點B,D到直線a的距離分別為1,3,則正方形的邊長為 ( )
A. B.2 C.4 D.5
8.如圖,四邊形ABCD是正方形,M為BC上一點,連接AM,延長AD至點E,使得AE=AM,過點E作EF⊥AM,垂足為F,求證:AB=EF.
模型5 一線三等角型
模型分析
1.兩個三角形在直線同側,點P在線段AB上.
已知:∠1=∠2=∠3,AP=BD,結論:△CAP≌△PBD.
2.兩個三角形在直線異側,點P在AB(或BA)的延長線上.
已知:∠1=∠2=∠3,CP=PD,結論:△CAP≌△PBD.
9.如圖,△ABC為等邊三角形,D,E,F分別為AB,BC,AC上的點,∠DEF=60°,BD=CE,求證:BE=CF.
10.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E,F分別在△ABC的三邊上,且∠B=∠1,BD=CF.求證:△EBD≌△DCF.
11.如圖,正方形ABCD的頂點A在直線l上,分別過點B,D作直線l的垂線,E,F為垂足,連接BF.
(1)求證:AE=DF.
(2)若AE=6,BF=2,則△ABF的面積為　　　　.
模型6 手拉手模型(構造全等)
模型分析
如圖,在△OAB中,OA=OB,在△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,連接AC,BD交于點E.簡記:雙等腰,共頂點,頂角相等,旋轉得全等.
則(1)△AOC≌△BOD(SAS);(2)AC=BD;(3)兩條拉手線AC,BD所在直線的夾角與∠AOB相等或互補.
12.如圖,四邊形ABCD和四邊形BEFG均為正方形,連接AG,CE.求證:AG=CE.
13.如圖,△ADC與△EDG都為等腰直角三角形,連接AG,CE,相交于點H,AG交CD于點O.
(1)求證:AG=CE.
(2)求∠CHA的度數.
【參考答案】
1.7
2.【證明】∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.
在△ADF和△BCE中,
∴△ADF≌△BCE(SAS).
3.【證明】∵BC交AD于點E,
∴∠AEC=∠BED.
∵∠C=∠D,AE=BE,
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(AAS).
4.【解析】(1)圖中其他的全等三角形為△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF.
(2)證明:∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,
即∠CAD=∠EAB,
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF(AAS),
∴CF=EF.
5.【證明】∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∵∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B.
在△ABC與△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).
6.【證明】∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴AD=AE.
7.A
8.【證明】∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠EAF=∠BMA.
∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°=∠B.
在△ABM和△EFA中,
∴△ABM≌△EFA(AAS),
∴AB=EF.
9.【證明】∵△ABC為等邊三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=60°,BD=CE
∵∠CED=∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
∴∠CEF=∠BDE,
∴△DBE≌△ECF(ASA),∴BE=CF.
10.【證明】∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠EDC=∠BED+∠B=∠1+∠FDC,
又∵∠B=∠1,∴∠FDC=∠BED.
在△EBD和△DCF中,
∴△EBD≌△DCF(AAS).
11.【解析】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD.
∵BE⊥l,DF⊥l,
∴∠AEB=∠DFA=90°.
∵∠EAB+∠FAD=90°,∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠FAD=∠EBA.
在△BEA和△AFD中,
∴△BEA≌△AFD(AAS),∴AE=DF.
(2)由(1)可知,△BEA≌△AFD,
∴AF=BE,設AF=BE=x(x>0),
則EF=AF+AE=x+6,
在Rt△BEF中,BE2+EF2=BF2,
即x2+(x+6)2=(2)2,
即x2+6x-40=0,解得x1=4,x2=-10(舍去),
∴S△ABF=×AF×BE=×4×4=8.
故答案為8.
12.【證明】∵四邊形ABCD和四邊形BEFG均為正方形,
∴AB=CB,∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE,
∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG,
∴∠ABG=∠CBE.
在△ABG和△CBE中,
∴△ABG≌△CBE(SAS),
∴AG=CE.
13.【解析】(1)證明:∵∠ADG=∠ADC+∠CDG,∠CDE=∠GDE+∠CDG,∠ADC=∠EDG=90°,
∴∠ADG=∠CDE.
在△ADG和△CDE中,
∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE.
(2)∵△ADG≌△CDE,
∴∠DAG=∠DCE.
∵∠COH=∠AOD,
∴∠CHA=∠ADC=90°.能力微專訓6　矩形的折疊模型
模型1 矩形折疊→直角三角形
模型分析
如圖,在矩形ABCD中,E為BC上一點,將△ABE沿AE折疊得到△AB'E,則△AB'E為直角三角形.
1.如圖,將矩形紙片ABCD沿AF折疊,使點B恰好落在CD邊的中點E處,若AD=6,則AF等于 ( )
A.2 B.10
C.8 D.4
2.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E為BC上一點,把△CDE沿DE翻折,點C 恰好落在AB邊上的F處,則CE的長是 ( )
A.1 B. C. D.
3.如圖,將矩形紙片ABCD折疊(AD>AB),使AB落在AD上,AE為折痕,然后將矩形紙片展開鋪在一個平面上,點E不動,將BE邊折起,使點B落在AE上的點G處,連接DE,若DE=EF,CE=2,則AD的長為 .
4.如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB的中點,F是AD邊上的一個動點.將△AEF沿EF所在直線翻折,得到△GEF,則GC的長的最小值是 ( )
A.2-2 B.2-1
C.2 D.2
模型1 矩形折疊→等腰三角形
模型分析
如圖,在矩形紙片ABCD中,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點O,則AO=OC,即△AOC為等腰三角形.
5.如圖,在矩形紙片ABCD中,AD=4,AB=8,把紙片沿直線AC折疊,點B落在E處,AE交DC于點F,若DF=3,則EF的長為 ( )
A.3 B.2 C.4 D.5
6.將一張寬為5 cm的長方形紙片(足夠長)折疊成如圖所示的圖形,若重疊部分是一個三角形,則這個三角形的面積的最小值是 ( )
A. cm2 B. cm2
C.25 cm2 D. cm2
7.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點E,F分別在邊AD,BC上,且AE=3,按以下步驟操作:
第一步,沿直線EF翻折,點A的對應點A'恰好落在對角線AC上,點B的對應點為B',則線段BF的長為 ;　
第二步,分別在EF,A'B'上取點M,N,沿直線MN繼續翻折,使點F與點E重合,則線段MN的長為 .
【參考答案】1.C　【解析】設DE=CE=CD=AB=a,則AE=AB=2a,在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2,即(2a)2=a2+36,解得a=2.設BF=b,則FC=6-b,在Rt△EFC中,同理可得b=4,故AF===8.
2.D　【解析】設CE=x,則BE=3-x,
由折疊性質可知EF=CE=x,DF=CD=AB=5,
在Rt△DAF中,AD=3,DF=5,
∴AF==4,
∴BF=AB-AF=5-4=1.
在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
即(3-x)2+12=x2,解得x=.
3.4+2
【解析】∵四邊形ABCD是矩形,AB=AB',
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠C=90°,且四邊形ABEB'是正方形,
∴AB=BE=CD,∠BAE=45°,
又∵DE=EF,
∴△BEF≌△CDE(HL),
∴BF=CE=2.
由折疊可知BF=FG=2,BE=GE,∠FGE=∠B=90°,　
∴AF=FG=2,
∴AB=BE=2+2,
∴AD=BC=BE+EC=2+2+2=4+2.
4.A　【解析】
以點E為圓心,AE的長度為半徑作圓,連接CE,當點G在線段CE上時,GC的長取最小值,如圖所示,根據折疊可知GE=AE=AB=2.
在Rt△BCE中,BE=AB=2,BC=6,∠B=90°,∴CE==2,∴GC的最小值=CE-GE=2-2.
5.A　【解析】∵四邊形ABCD為矩形,∴∠D=90°,在Rt△ADF中,AF==5.
∵把矩形ABCD沿直線AC折疊,點B落在E處,
∴AE=AB=8,∴EF=8-5=3.
6.B　【解析】
如圖,當AC⊥AB時,三角形的面積最小,
∵∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴AB=AC=5 cm,
∴S△ABC=×5×5=(cm2).
7.1　
【解析】如圖,過點F作FT⊥AD于點T,則四邊形ABFT是矩形,連接FN,EN,設AC交EF于點J.
∵四邊形ABFT是矩形,
∴AB=FT=4,BF=AT.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=4,AD=BC=8,∠B=∠D=90°,
∴AC===4.
∵∠TFE+∠AEJ=90°,∠DAC+∠AEJ=90°,
∴∠TFE=∠DAC.
∵∠FTE=∠D=90°,
∴△FTE∽△ADC,
∴==,
∴==,
∴TE=2,EF=2,
∴BF=AT=AE-ET=3-2=1.
設A'N=x.
∵NM垂直平分線段EF,
∴NF=NE,
∴B'F2+B'N2=FN2=A'E2+A'N2,
∴12+(4-x)2=32+x2,
∴x=1,
∴FN===,
∴MN===.能力微專訓7　利用軸對稱性質求最值
模型分析
【問題1】 作法 圖形 原理
在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小 連接AB,與l的交點即為點P 兩點之間線段最短.PA+PB的最小值為AB
【問題2】“將軍飲馬” 作法 圖形 原理
在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小 作點B關于l的對稱點B',連接AB',與l的交點即為點P 兩點之間線段最短.PA+PB的最小值為AB'
【問題3】 作法 圖形 原理
在直線l1、l2上分別求點M、N,使△PMN的周長最小 分別作點P關于兩直線的對稱點P'和P″,連接P'P″,與兩直線的交點即為點M、N 兩點之間線段最短.PM+MN+PN的最小值為P'P″
【問題4】“造橋選址” 作法 圖形 原理
直線m∥n,在m、n上分別求點M、N,使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小 將點A向下平移MN的長度得到點A',連接A'B,交n于點N,過點N作NM⊥m于點M 兩點之間線段最短.AM+MN+BN的最小值為A'B+MN
1.如圖,在正方形ABCD中,AB=4,E是AB的中點,P是BD上一動點,則PA+PE的最小值是 ( )
A.2 B.4 C.4 D.2
2.如圖,點C的坐標為(3,y),當△ABC的周長最小時,y的值為 ( )
A. B. C. D.
3.如圖,正△ABC的邊長為1,過點B的直線l⊥AB,且△ABC與△A'BC'關于直線l對稱,D為線段BC'上一動點,則AD+CD的最小值和最大值分別是 ( )
A.2,1+2
B.2,3
C.2,1+
D.2,1+
4.如圖,E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點,P是對角線AC上的動點,當PE+PF取得最小值時,的值是 .
5.如圖,△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P為CD上的動點,則|PA-PB|的最大值為 .
6.如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是矩形,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,且OA=6,OC=4,D為OC的中點,點E,F在線段OA上,點E在點F的左側,EF=2.當四邊形BDEF的周長最小時,求點E的坐標.
【參考答案】1.D　【解析】如圖,連接CE,交BD于點P,連接AP,則此時PA+PE的值最小.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴點A,C關于BD對稱,
∴PA=PC,
∴PA+PE=PC+PE=CE.
∵E是AB的中點,
∴BE=2,
∴CE===2,
故PA+PE的最小值是2.
2.D　【解析】作點A關于直線x=3的對稱點A',連接A'B交直線x=3于點C.∵點A與點A'關于直線x=3對稱,
∴AC=A'C,
∴AC+BC=A'C+BC.
當點B、C、A'在同一條直線上時,A'C+BC取得最小值,即△ABC的周長取得最小值.
∵點A與點A'關于直線x=3對稱,
∴點A'的坐標為(6,3).
設直線BA'的方程為y=kx+b,把(6,3),(2,0)代入,得
解得
∴直線BA的解析式為y=x-.
將x=3代入直線BA的解析式,得y=.
∴y的值為.故選D.
3.C　【解析】
如圖,由圖分析可知A'D=CD,
AD+CD=AD+A'D.
當點D在線段A'A上時,AD+A'D有最小值2;
當點D在C'處時,AD+A'D有最大值1+.故選C.
4.
【解析】 作點E關于AC的對稱點E',連接FE'交AC于點P',連接PE'.
∵正方形ABCD是關于AC所在直線軸對稱,
∴點E關于AC所在直線對稱的對稱點E'在AD上,且AE'=AE,
過點F作FG⊥AB交AC于點G,則∠GFA=90°.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠B=90°,∠CAB=∠ACB=45°,
∴FG∥BC∥AD,∠AGF=∠ACB=45°,
∴GF=AF.
∵E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點,
∴AE'=AE=EF=FB,
∴GC=AC,==,
∴AG=AC,==,
∴AP'=AG=×AC=AC,
∴P'C=AC-AP'=AC-AC=AC,
∴==,故答案為.
5.4
【解析】如圖,作點A關于CD的對稱點A',連接A'B并延長交CD于點P,則點P就是使|PA-PB|的值最大的點,|PA-PB|=A'B.
連接A'C.
∵△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,
∴∠CAB=∠ABC=45°,
∠ACB=90°.
∵∠BCD=15°,
∴∠ACD=75°,
∴∠CAA'=15°.
∵AC=A'C,
∴A'C=BC,∠CA'A=∠CAA'=15°,
∴∠ACA'=150°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A'CB=60°,
∴△A'BC是等邊三角形,
∴A'B=BC=4.
6.
【解析】如圖,將點B向左平移2個單位長度得到B'(4,4),作點D關于x軸的對稱點D'(0,-2),連接B'D',其與x軸的交點為E,此時四邊形BDEF的周長最小.
理由:四邊形BDEF的周長為BD+DE+EF+BF,BD與EF是定值.
∵當BF+DE最小時,四邊形BDEF的周長最小,
∴BF+ED=B'E+ED'=B'D'.
設直線B'D'的解析式為y=kx+b,把(4,4),(0,-2)代入,得
解得
∴直線B'D'的解析式為y=x-2.
令y=0,得x=.
∴點E的坐標為,0.能力微專訓4　中點的妙用
模型1 三角形的中位線
模型分析
在三角形中,如果有中點,可構造三角形的中位線,利用三角形中位線的性質定理:DE∥BC,且DE=BC來解題.中位線定理中既有線段之間的位置關系又有數量關系,該模型可以解決角問題,線段之間的倍半、相等及平行問題.
1.如圖,在△ABC中,∠B=90°,D,E分別是AB,AC的中點,若AB=4,BC=6,則△ADE的面積為 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是AB的中點,OE=5,則菱形ABCD的周長為 ( )
A.20 B.40 C.60 D.80
3.在△ABC中,AB=AC,E,D,F分別是AB,BC,AC的中點.
(1)如圖1,若∠A=90°,請判斷四邊形AEDF的形狀,并證明你的結論.
(2)如圖2,若∠A=120°,BC=4,求四邊形AEDF的周長和面積.
模型2 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
模型分析
在直角三角形中,當遇見斜邊中點時,經常會作斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即CD=AB,來證明線段間的數量關系,而且可以得到兩個等腰三角形:△ACD和△BCD,該模型經常會與中位線定理一起綜合應用.
如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,E,F分別是BC,AC的中點,延長BA到點D,使AD=AB,則DF的長為 .
5.如圖,在△ABC中,∠C=2∠B,D為BC上一點,且AD⊥AB,E是BD的中點,連接AE.
(1)求證:∠AEC=∠C.
(2)求證:BD=2AC.
(3)若AE=8.5,AD=8,求△ABE的周長.
模型3 等腰三角形中的“三線合一”
模型分析
如圖,在等腰三角形ABC中,D為BC的中點.等腰三角形中有底邊中點時,常作底邊的中線,利用等腰三角形“三線合一”的性質得到角相等,為解題創造更多的條件,當看見等腰三角形的時候,就應想到 “邊等、角等、三線合一”.
6.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點D,且∠ABC=2∠C.求證:CD=AB+BD.
7.如圖,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于點D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.P,Q分別是射線BD,射線AF上的動點,且點P不與點B重合,點Q不與點A重合,連接CQ,過點P作PE⊥CQ于點E,連接DE.若∠ABC=60°,BP=AQ.當點P在線段BD上運動時,求證:DE=AQ,DE∥AQ.
模型4 垂直平分線
模型分析
在△ABC中,DE垂直平分BC,連接BE,由垂直平分線的性質即可得到BE=CE.出現線段垂直平分線時,往往在線段垂直平分線上利用已知點(或構造點)與線段兩端連線,得到相等線段構成等腰三角形.
如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,點D,E分別在BC,AB上,DE垂直平分AB,則BD的長為 .
9.如圖,在△ABC中,AD是高,CE是中線,G是CE的中點,DG⊥CE,G為垂足.求證:DC=BE.
如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點,過點E作AB的垂線,過點F作CD的垂線,兩垂線交于點G,連接AG,BG,CG,DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求證:∠GDA=∠GCB.
(2)連接FE,求證:∠GDA=∠GFE.
模型5 中線平分三角形的面積
模型分析
AD為△ABC的中線,則S△ACD=S△ABD=S△ABC.(注意:△ACD和△ABD等底同高)
11.如圖,在△ABC中,D,E,F分別是BC,CF,AD的中點,且S△ABC=16,則S△DEF= ( )
A.2 B.8 C.4 D.1
12.如圖,在邊長為a的正方形ABCD中,E是AB的中點,DE交AC于點F,則△CDF的面積為 ( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
13.如圖,在△ABC中,依次取BC的中點D1,BA的中點D2,BD1的中點D3,BD2的中點D4,…,并連接AD1,D1D2,D2D3,D3D4,….若△ABC的面積是1,則△BDn-1Dn的面積是 .
模型6 倍長中線構造全等
模型分析
如圖1,AD是△ABC的中線,延長AD至點E,使DE=AD,易證:△ADC≌△EDB(SAS).
如圖2,D是BC的中點,延長FD至點E,使DE=FD,易證:△FDB≌△EDC(SAS).
當遇見中線或者中點的時候,可以嘗試倍長中線或類中線,構造全等三角形,目的是對已知條件中的線段進行轉移.
如圖,AD是△ABC的中線.
(1)求證:AB+AC>2AD.
(2)若AB=6,AC=4,求AD的取值范圍.
15.如圖,AD是△ABC的中線,E為AC上一點,AD,BE交于點F,∠BFD=∠DAC,求證:BF=AC.
16.(新考法)如圖,在 ABCD中,過點A作AE⊥CD于點E,F是BC的中點,連接AF,EF,求證:AF=EF.(分別作出兩種方法的輔助線并選擇其中一種進行證明)
模型7 圓中弦或弧的中點
模型分析
如圖1,E為弦AB的中點,如圖2,C為弧AB的中點.
弦的中點一般利用垂徑定理或者構造中位線解題,弧的中點有三種常見的處理方法:①弧的中點與圓心相連,構建垂直關系;②弧的中點與弧所對的弦的端點相連,構建等腰三角形;③弧的中點與圓上的另一點相連,構建內(外)角平分線.
17.如圖,AB是☉O的直徑,C是☉O上的一點,OD⊥BC于點D,AC=6,則OD的長為 ( )
A.2 B.3 C.3.5 D.4
如圖,AB是半圓O的直徑,△ABC的兩邊AC,BC分別交半圓于點D,E,且E為BC的中點,已知∠BAC=50°,則∠C= .
如圖,AB是☉O的直徑,D是的中點,DC是☉O的弦,AM⊥CD于點M,BN⊥CD于點N.(AM(1)求證:CM=AM=DN.
(2)若☉O的半徑為5,CD=7,求的值.
(3)在(2)的條件下,求ON的長.
【參考答案】
1.B　2.B
3.【解析】(1)四邊形AEDF是正方形.
證明:∵AB=AC,E,D,F分別是AB,BC,AC的中點,
∴AE=DE=DF=AF,
∴四邊形AEDF是菱形.
∵∠A=90°,
∴四邊形AEDF是正方形.
(2)如圖,連接AD,EF,
∵AB=AC,D是BC的中點,
∴AD⊥BC.
又∵∠A=120°,BC=4,
∴∠B=30°,BD=2,
∴AD=tan 30°·BD=2,
∴AB=2AD=4,
由題可知,DF是△ABC的中位線,
∴2DF=AB,即DF=2,
∴菱形AEDF周長為8.
由題可知,EF是△ABC的中位線,
∴BC=2EF,即EF=2,
∴菱形AEDF的面積=×2×2=2.
4.2
【解析】
如圖,連接EF,AE.∵AF=CF,BE=EC,∴EF∥AB,EF=AB.∵AD=AB,∴AD=EF,∴四邊形ADFE是平行四邊形,∴DF=AE.∵∠BAC=90°,E是BC的中點,∴AE=BC=2,∴DF=AE=2.
5.【解析】(1)證明:∵AD⊥AB,
∴△ABD為直角三角形.
又∵E是BD的中點,
∴AE=BD=BE,
∴∠B=∠BAE,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B.
又∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C.
(2)證明:∵AD⊥AB,E是BD的中點,
∴BD=2AE.
∵∠AEC=∠C,
∴AE=AC,
∴BD=2AE=2AC.
(3)在Rt△ABD中,AD=8,BD=2AE=2×8.5=17,
∴AB==15,
∴△ABE的周長=AB+BE+AE=15+8.5+8.5=32.
6.【證明】如圖,在BC上取一點E,使AE=AB,則∠B=∠AEB.
又∵AD⊥BC,∴DE=BD.
又∵∠ABC=2∠C,
∴∠AEB=2∠C.
∵∠AEB=∠CAE+∠C,
∴∠CAE=∠C,
∴CE=AE=AB,故CD=CE+DE=AB+BD.
7.【證明】連接PC,PQ(圖略),
在△ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵AB=BC,BD⊥AC,
∴AD=CD,∠ABD=∠CBD=∠ABC.
∵∠CAF=∠ABC,
∴∠CBP=∠CAQ.
在△BPC和△AQC中,
∴△BPC≌△AQC(SAS),
∴PC=QC,∠BCP=∠ACQ,
∴∠PCQ=∠PCA+∠ACQ=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°,
∴△PCQ是等邊三角形.
∵PE⊥CQ,
∴CE=QE.
∵AD=CD,
∴DE=AQ,DE∥AQ.
8.
【解析】 如圖,連接AD,∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,設BD=x,則AD=x,CD=4-x.在Rt△ACD中,∵AC2+CD2=AD2,即32+(4-x)2=x2,解得x=,∴BD的長為.
9.【證明】
如圖,連接DE,
∵G是CE的中點,DG⊥CE,
∴DE=DC.
∵在△ABC中,AD是高,CE是中線,
∴DE=BE=AB,
∴DC=BE.
10.【證明】(1)∵E是AB的中點,GE⊥AB,
∴GE是AB的垂直平分線,
∴GA=GB,
同理,GD=GC.
在△AGD和△BGC中,
∴△AGD≌△BGC(SAS),
∴∠GDA=∠GCB.
(2)∵∠AGD=∠BGC,
∴∠AGB=∠DGC.
∵=,
∴△AGB∽△DGC,
∴=.
∵∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,
∴△AGD∽△EGF,
∴∠GDA=∠GFE.
11.A　12.B
13.
【解析】∵D1是BC的中點,
∴△ABD1的面積=△ABC的面積=.
∵D2是BA的中點,
∴△BD1D2的面積=△ABD1的面積=×=.
同理,△BD2D3的面積=△BD1D2的面積=,…,
則△BDn-1Dn的面積=.
故答案為.
14.【解析】(1)證明:如圖,延長AD至點E,使DE=AD,連接BE,
則△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=BE.
∵在△ABE中,AB+BE>AE,
∴AB+AC>2AD.
(2)∵在△ABE中,AB-BE∴6-4<2AD<6+4,
∴115.【證明】
如圖,延長FD至點G,使DG=DF,連接CG,則△CDG≌△BDF(SAS),
∴BF=CG,∠G=∠BFD=∠CAD,
∴AC=CG=BF.
16.【解析】 解法一:如圖1,延長AF至點G,使得FG=AF,連接CG.
證明:∵F是BC的中點,
∴BF=CF.
∵AF=FG,∠AFB=∠GFC,
∴△ABF≌△GCF(SAS),
∴∠B=∠BCG.
∵∠B+∠BCD=180°,
∴∠BCG+∠BCD=180°,
∴E,C,G三點共線.
∵AE⊥CD,
∴△AEG為直角三角形.
∵F為AG的中點,
∴AF=EF.
解法二:如圖2,延長EF至點H,使EF=HF,連接BH.
證明:∵F是BC的中點,
∴BF=CF.
在△BFH和△CFE中,
∴△BFH≌△CFE(SAS),
∴∠HBF=∠C.
∵∠ABF+∠C=180°,
∴∠ABF+∠HBF=180°,
∴A,B,H三點共線.
∵AE⊥DC,AB∥DC,
∴∠BAE=∠AED=90°,
∴△HAE為直角三角形.
∵F是EH的中點,
∴AF=EF.
17.B　18.65°
19.【解析】(1)證明:如圖,連接DA,DB,則DA=DB,∠ADB=90°.連接CA,CB,則∠ACD=∠BCD=45°,
∴CM=AM,可證△DAM≌△BDN,
∴AM=CM=DN,DM=BN.
(2)由(1)可設CM=AM=DN=x,
則DM=CD-CM=7-x,
∴在Rt△ADM中,x2+(7-x)2=(5)2,
解得x1=3或x2=4.
∵AM∴AM=3,BN=DM=4,∴=.
(3)如圖,延長NO交BC于點H,連接OC.
∵NC=NB, OC=OB,∴NO垂直平分BC,
∴OH=AC=3.
又∵NH=BN=4,
∴ON=NH-OH=1.

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