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第二章 有理數的運算 期末復習考點講義-2024-2025學年數學人教版（2024）七年級上冊
第一步：單元學習目標
1.有理數的加減法 （1）掌握有理數加法運算律，并能靈活、合理地運用它們簡化加法運算 （2）掌握有理數減法法則，能熟練進行有理數的減法運算 （3）能把有理數的加減混合運算統一成加法運算，并能熟練進行有理數的加減混合運算 （4）能利用有理數的加減法解決簡單的實際問題
2.有理數的乘除法 （1）掌握有理數乘法法則及多個有理數相乘的符號法則，會進行有理數的乘法運算 （2）理解有理數的倒數的意義，會求一個有理數的倒數 （3）掌握有理數除法法則，能根據條件選擇合適的法則熟練地進行有理數的除法運算及加減混合運算
3.有理數的乘方 （1）理解乘方的意義，會進行有理數的乘方運算 （2）掌握有理數的混合運算順序，能熟練進行簡單的混合運算，提高運算能力 （3）會用科學記數法表示絕對值大于10的數，會用科學記數法表示的數還原 （4）了解近似數，在解決實際問題時，會按問題的要求進行簡單的近似運算
第二步：思維導圖回顧知識
第三步：單元重難知識易混易錯
【知識梳理】
倒數：（1）的倒數是；
（2）若互為倒數，則
【注意】0沒有倒數，倒數等于本身的數是
科學記數法：（1）表示形式：
（2）的確定（設原數為）
當時，等于原數的整數位數減1；
【注意】當原數帶有計數單位或計量單位時，可以先進行轉化，如1萬=，1億=等.
近似數：（1）準確數：與實際完全符合的數，稱為準確數
（2）近似數：許多實際情況中，較難取得準確數，把接近準確數但不等于準確數的數稱為近似數
（3）近似數的精確度：近似數的精確度是指近似數與準確數的接近程度.一般地，一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位
近似數的精確度的表述方法：
①用數位表示，如精確到千位，精確到千分位等；
②用小數表示，如精確到0.1，精確到0.01等；
③對帶有單位的數用單位表示，如精確到1kg，精確到1m等.
（4）取近似數的方法：通常用四舍五入法
【注意】取近似數的方法是四舍五入法，關鍵是看準精確度，需要注意的問題是近似數的舍入，只考慮精確度后面的第一個數字，且近似數小數點后末位數字是0時千萬不能省略不寫.
運算法則：
加法法則：① 同號兩數相加：取相同的符號，并把絕對值相加
②異號兩數相加：絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值
減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數：
乘法法則：兩數相乘（除），同號得正，異號得負，并把絕對值相乘（除）；任何數同0相乘后得0；0除以任何數，仍得0
【注意】幾個不為0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定.當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正
運算律：交換律：加法交換律：，乘法交換律：
結合律：加法結合律：，乘法結合律：
分配律：乘法分配律：
運算順序：先乘方，在乘除，最后加減；如有括號，先進行括號內的運算，一般按小括號、中括號、大括號依次進行；同級運算，從左到右進行
【常考題型】
1.用四舍五入按要求對0.04018分別取近似數,其中正確的是( ).
A.0.4(精確到0.1) B.0.040(精確到百分位)
C.0.040(精確到0.001) D.0.0402(精確千分位)
2.在新能源汽車領域,今年1月至8月,安徽省新能源汽車產量93.7萬輛,居全國第2位,數據萬用科學記數法表示為( )
A. B. C. D.
3.下列說法正確的是( )
A.倒數等于它本身的數只有1 B.正數的絕對值是它本身
C.平方等于它本身的數只有1 D.立方等于它本身的數只有1
4.a,b,c的大小關系如圖所示,則的值是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5.如圖所示的運算程序中,若開始輸入的x值為,我們發現第1次輸出的結果為9,第2次輸出的結果為,則第次輸出的結果為______.
6.已知a、b互為相反數,c、d互為倒數,m是絕對值等于2的數,求的值.
7.計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
8.慧慧學習了“有理數的乘方”后,她就琢磨著使用“乘方”這一數學知識腦洞大開地定義出“有理數的除方”的概念.規定：求若干個相同的有理數(均不為0)的除法運算叫作除方,如,等,類比有理數的乘方,把記作,讀作“5的圈3次方”,記作,讀作“的圈4次方”,一般地,把記作,讀作“a的圈n次方”.請你根據慧慧的規定解決下列問題：
(1)直接寫出計算結果：______,______；
(2)將下列運算結果直接寫成乘方冪的形式：
______,______,______,______；
(3)計算：.
第四步：單元核心素養對接中考
【核心素養】
（1）運算能力：掌握有理數的加、減、乘、除、乘方運算的法則，以及運算律的運用，能夠正確、熟練地進行有理數的混合運算，提高運算能力.
（2）推理能力：在探究有理數運算律的過程中，通過觀察、比較、分析等活動，發現規律并進行歸納總結，培養推理能力.
（3）數學建模：運用有理數的運算解決實際生活中的問題，如行程問題、利潤問題等，建立數學模型，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力.
【對接中考】
1．[2024年湖南長沙中考真題]“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器.“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是( )
A. B. C. D.
2．[2024年湖南中考真題]據《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內有效發明專利量達到401.5萬件，高價值發明專利占比超過四成，成為世界上首個境內有效發明專利數量突破400萬件的國家，將用科學記數法表示應為( )
A. B. C. D.
3．[2024年江西中考真題]計算：__________.
4．[2024年陜西中考真題]小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數分別填在五個小正方形內，使橫向三個數之和與縱向三個數之和相等，則填入中間位置的小正方形內的數可以是________.（寫出一個符合題意的數即可）
5．[2024年北京中考真題]聯歡會有A，B，C，D四個節目需要彩排.所有演員到場后節目彩排開始.一個節目彩排完畢，下一個節目彩排立即開始.每個節目的演員人數和彩排時長（單位：min）如下：
節目 A B C D
演員人數 10 2 10 1
彩排時長 30 10 20 10
已知每位演員只參演一個節目.一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節目彩排開始到這位演員參演的節目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）.
若節目按“”的先后順序彩排，則節目D的演員的候場時間為__________min；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節目應按的__________先后順序彩排
答案以及解析
【常考題型】
1.答案：C
解析：(精確到0.1)；(精確到百分位)；(精確到0.001)；(精確到千分位).
故選C.
2.答案：C
解析：數據萬用科學記數法表示為.
故選：C.
3.答案：B
解析：A、倒數等于它本身的數有,此項說法錯誤；
B、正數的絕對值是它本身,此項說法正確；
C、平方等于它本身的數有0和1,此項說法錯誤；
D、立方等于它本身的數有0和,此項說法錯誤；
故選：B.
4.答案：B
解析：由a、b、c的大小關系圖可知,所以,,.
對于,因為,所以；
對于,因為,所以；
對于,因為,所以.
則,
答案選B.
5.答案：6
解析：輸入,則第一次輸出的是：；
第二次輸出的數是；
第三次輸出的數是：；
第四次輸出的數是：；
第五次輸出的數是：；
第六次輸出：；
如此循環,偶數次輸出的是3,奇數次輸出的是6.
故第次輸出6.
故答案是：6.
6.答案：3或
解析：a、b互為相反數,c、d互為倒數,m是絕對值等于2的數,
∴,,,
∴
；
或
.
7.答案：(1)0
(2)
(3)
(4)
解析：(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
8.答案：(1)2,9
(2),,,
(3)
解析：(1)；
；
故答案為：,9；
(2)由題意可得：,
,
,
,
故答案為：,,,；
(3)原式
.
【對接中考】
1．答案：D
解析：能夠耐受的溫差是，
故答案為：D.
2．答案：B
解析：用科學記數法表示為.
故選：B.
3．答案：1
解析：.
故答案為：1.
4．答案：0
解析：由題意，填寫如下：
，，滿足題意；
故答案為：0.
5．答案：60；
解析：①節目D的演員的候場時間為，
故答案為：60；
②由題意得節目A和C演員人數一樣，彩排時長不一樣，那么時長長的節目應該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時長一樣，人數不一樣，那么人數少的應該往后排，這樣等待時長會短一些，那么B在D前面，
①按照順序，則候場時間為：分鐘；
②按照順序，則候場時間為：分鐘；
③按照順序，則候場時間為：分鐘；
④按照順序，則候場時間為：分鐘；
⑤按照順序，則候場時間為：分鐘；
⑥按照順序，則候場時間為：分鐘.
按照順序彩排，候場時間之和最小，
故答案為：.

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