資源簡介

第三章 圓
3.4 圓周角和圓心角的關系第一課時
一、學情分析
學生的知識技能基礎：學生在上一節的內容中已掌握了圓心角的定義及圓心角的性質。掌握了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。初步了解研究圖形的方法，如折疊、軸對稱、旋轉、證明等。
學生的活動經驗基礎：在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。
2、教材分析
《圓周角與圓心角之間的關系》是北師大版九年級下冊第三章第3小節的內容，是學生學習了圓心、半徑、直徑、弦、弧，圓心角等概念以及圓的對稱性的基礎上，用推理論證的方法研究圓周角與圓心角之間的關系。它在與圓有關推理、論證和計算中應用廣泛，是本章重點內容之一。
三、教學任務分析
本節共分2個課時，這是第1課時，主要研究圓周角和圓心角的關系（圓周角定理），具體地說，本節課的教學目標為：
知識與技能
1.了解圓周角的概念。
2．理解圓周角定理的證明。
過程與方法
1.經歷探索圓周角和圓心角的關系的過程，學會以特殊情況為基礎，通過轉化來解決一般性問題的方法，滲透分類的數學思想。
2．體會由特殊到一般、分類、化歸思想，并能熟練的應用“圓周角與圓心角之間的關系”進行論證和計算。
情感態度與價值觀
通過觀察、猜想、驗證推理，培養學生探索問題的能力和方法。
教學重點：圓周角概念及圓周角定理。
教學難點：認識圓周角定理需分三種情況證明的必要性，感悟圓周角定理證明中的分類、轉化的數學思想。
三、教學過程分析
本節課分為五個教學環節：創設問題情境引入新課、新知學習（關于圓周角的定義、圓周角定理）、練習、課堂小結、布置作業．
第一環節 （1）復習引入
1.圓心角的定義
答:頂點在圓心的角叫圓心角.
2.圓心角和它所對的弧的關系
答：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧也相等。
（2）創設問題情境，引入新課
通過一個視頻，國足在2017年俄羅斯世預賽12強賽第6輪的比賽中戰勝韓國，引出足球射門這一情景：
情境：在射門游戲中，球員射中球門的難易與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關。如圖，當他站在B，D，E的位置射球時對球門AC的張角的大小相等嗎？為你能觀察到這三個角有什么共同特征嗎
第二環節 新知學習
合作探究一 圓周角的定義
（一）圓周角的定義的學習
你觀察到這幾個角有什么共同特征呢？
可以發現，它的頂點在圓上，它的兩邊分別與圓還有另一個交點。像這樣的角，叫做圓周角。
你能仿照圓心角的概念給圓周角下一個定義嗎？
圓周角定義: 頂點在圓上,并且兩邊分別與圓 還有另一個交點的角叫圓周角.
追蹤練習：
（1）頂點在圓上的角是圓周角嗎？
（2）角的兩邊都和圓相交的角是圓周角嗎？
判斷下列圖示中，各圖形中的角是不是圓周角？并說明理由。
通過學生完成練習自己總結出圓周角的特征。
圓周角有兩個特征：
①角的頂點在圓上；
兩邊在圓內的部分是圓的兩條弦。
（二）圓周角定理的學習
我們先研究一條弧所對的圓周角與它所對的圓心角之間的關系。
請同學們在圓上確定一條劣弧，畫出它所對的圓心角與圓周角。
歸納同學們的意見我們得到以下幾種情況：
合作探究2 圓周角的性質
問題1：弧AB所對的圓周角有幾個？這幾個圓周角有什么樣的大小關系？
學生先通過測量和剪拼的方法得到同一條弧所對的圓周角有無數個，這些圓周角的度數相等。
老師幾何畫板演示：
結論：同弧或等弧所對的圓周角相等
問題2：弧AB所對的圓周角有幾個？這幾個圓周角有什么樣的大小關系？
老師幾何畫板演示：
我們可以得到以下三種情況：
圓心O在圓周角的一邊上 圓心O在圓周角內部 圓心O在圓周角外部
問題2：這些圓周角的大小與圓心角∠AOC的大小有什么關系？
學生通過測量和裁剪的方法得到圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半.
問題3:改變∠AOC的度數，你得到的結論還成立嗎？
老師幾何畫板演示：
結論：(1)圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半.
(2)同弧或等弧所對的圓周角相等
下面大家一起來證明我們等到的第一個結論是否正確
情況一：當圓心(O)在∠B的一邊上時, ∠B與∠AOC的大小關系？
學生合作交流并在白板上由學生講解板書證明過程.
結論：當圓心在圓周角一邊上時，圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半。
情況二：當圓心O在圓周角∠B的內部時,∠B與∠AOC的大小關系
提示:能否轉化為1的情況
學生合作交流并在白板上由學生講解板書證明過程.
結論：當圓心在圓周角內部時，圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半.
情況三：當圓心結論：圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半.
O在∠B的外部時,∠B與∠AOC的大小關系
學生合作交流并在白板上由學生講解板書證明過程.
結論：當圓心在圓周角外部時，圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半.
圓周角定理:
圓周角的度數等于它所對弧上圓心角度數的一半.
能否應用圓周角定理證明我們得到的第二個結論呢？
學生通過同弧或等弧所對的圓心角相等以及圓周角定理得到結論2是一個真命題.
推論：同弧或等弧所對的圓周角相等.
第三環節 當堂檢測：
1.如圖，∠BAC=40°，則∠BOC= ________ 。
2.如圖，點B、C在⊙O上，且BO=BC，則圓周角∠BAC等于_____.
3.如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，且∠BCD=100 °，則∠BOD=_____, ∠BAD____.
4.如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，∠ACD=40°， ∠CEB=75°，則∠CDB=______.
5.如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2 ∠BOC.∠1= ∠2有什么大小關系？請說明理由？
第4題 第5題
第四環節 課堂小結：
1.圓周角定義: 頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.
2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
3.圓周角定理推論:同弧（或等弧）所對的圓周角相等
第五環節 作業布置
必做題：教材80頁第1題，第2題.
選做題：教材80頁第3題
四、教學反思
把射門游戲問題抽象為數學問題，研究圓周角和圓心角的關系，研究圓周角和圓心角的關系，應該說，學生解決這一問題是有一定難度的，盡管如此，教學時仍應給學生留有時間和空間，讓他們進行思考。讓學生經歷觀察、想象、推理、操作、描述、交流等過程，多種角度直觀體驗數學模型，而這也正符合本章學習的主要目標。
A
C
B
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