資源簡介

課題：3．4．1圓周角和圓心角的關系 課型：新授課 年級：九年級
教學目標：
1．理解圓周角定義，掌握圓周角定理． 會熟練運用定理解決問題．
2．培養學生觀察、分析及理解問題的能力．
3．在學生自主探索定理的過程中，經歷猜想、推理、驗證等環節，獲得正確學習方式．培養學生的探索精神和解決問題的能力．
教學重難點：
重點：圓周角定理及其應用．
難點：圓周角定理證明過程中的“分類討論”思想的滲透．
教學過程:
一、創設情境，導入新課
活動內容：
1．圓心角的定義 (頂點在圓心的角叫圓心角)
2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條 、兩條 中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
處理方式：找三名學生直接回答．題 1是復習圓心角定義：頂點在圓心的角叫圓心角；題2是復習定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等． 再特別向學生強調定理當中的前提條件“同圓或等圓”， 同時要學生明白何為三組量中其中一組量相等，那么其余各組量也分別相等．
設計意圖：通過兩個簡單的練習，復習本章第二節課學習的同圓或等圓中弧和圓心角的關系．為本節課的學習做準備．
二、合作學習，探究嘗試
活動內容1：
問題：我們已經知道，頂點在圓心的角叫圓心角，那當角頂點發生變化時,我們得到幾種情況
圓心角 圓周角
處理方式：學生根據上圖的幾種情況，類比圓心角定義，得出圓周角定義：頂點在圓上,并且兩邊分別與圓還有一個交點的角叫做圓周角．
設計意圖：本環節的設置，采用分類討論和類比的思想方法得出圓周角的定義．問題當中的角的頂點位置發生變化可得到幾種情況，其實是點和圓的位置關系知識點的應用，老師在此應注意知識之間的聯系，達到觸類旁通的目的．
活動內容2： 練習鞏固
如圖，指出圖中的圓心角和圓周角．
解：圓心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC
圓周角有∠BAC 、∠ABC、∠ACB
處理方式：圖中圓里有3條半徑和3條弦，當學生講出正確答案后，則需要老師從旁總結尋找圓心角和圓周角的方法．尋找圓心角關注的是半徑，任意兩條半徑所夾的角就是一個圓心角，個數由半徑的條數決定．尋找圓周角則應關注弦和弦與圓的交點，任意兩弦和兩弦的交點組成一個圓周角，數圓周角關鍵是看弦與圓的交點，看以這個交點為頂點能引出多少條弦，每兩條弦所夾的即是一個圓周角，數完一個交點后，再數另一個交點．這里要注意，因為半徑AO沒有延長，所以∠OAB嚴格來說還不算是一個圓周角，這里有必要向學生說明一下，但以后在解題中，我們又往往會忽略這些角，因為只要把半徑AO延長與圓相交后，就會形成圓周角了，所以這里要特別注意．
設計意圖：在學習了圓周角的定義后，為了下面學習圓周角的定理做鋪墊，有必要先讓學生熟練判斷圓中哪些是同一條弧所對的圓周角，并掌握如何在比較復雜的圖形中按照一定的規律尋找所有的圓周角和圓心角，這一能力對于學習后續的圓的相關證明題是很必要的．
活動內容3：
問題提出：當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC,∠ADC,∠AEC．這三個角的大小有什么關系
教師提示：類比圓心角探知圓周角：在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓心角相等．在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角有什么關系？為了解決這個問題,我們先探究一條弧所對的圓周角和圓心角之間有什么關系．
設計意圖：利用球員射門學生熟悉的問題引出一條弧所對的圓周角和圓心角之間有一定的關系．
做一做：
如圖,∠AOB=80°，（1）請你畫出幾個所對的圓周角，這幾個圓周角的大小有什么關系？
教師提示:（1）思考圓周角和圓心角有幾種不同的位置關系？
（2）這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關系
（3）議一議:改變圓心角∠A0B的度數，上述結論還成立嗎？
（4）你是如何證明圓周角定理？
處理方式：本活動環節，首先有一個情景引出探究的問題，然后通過類比得出探究圓周角定理的方法，再通過對特殊圖形的研究，探索出一個特殊的關系，然后進行一般圖形的變換，讓學生經歷猜想，實驗，證明這三個探究問題的基本環節，得到一般的規律．規律探索后，得出圓周角定理，并對探究過程中的三種情況逐一加以演繹推理，證明定理． 問題（1）有三種情況：圓心在圓周角一邊上，圓心在圓周角內，圓心在圓周角外．問題（2） 學生在①操作的基礎上猜測得出∠AOB=2∠AC B，猜想出圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．接著教師引導學生結合圖形用符號語言表示．符號語言： ．問題（4 ）引導學生寫出已知求證
已知：如圖，∠ACB是所對的圓周角，∠AOB是所對的圓心角，
求證：．
分析：①．首先考慮一種特殊情況：當圓心(O)在圓周角(∠ACB)的一邊(BC)上時,圓周角∠ACB與圓心角∠AOB的大小關系． 讓學生到黑板板演．
∵∠AOB是△ACO的外角
∴∠AOB=∠C+∠A
∵OA=OC
∴∠A=∠C
∴∠AOB=2∠C，．
當圓心(O)在圓周角(∠ACB)的內部或外部時，圓周角∠ACB與圓心角∠AOB的大小關系會怎樣 能否轉化為①的情況 學生先獨立思考，在此基礎上再指導學生進行合作交流．時機成熟后找兩名同學上黑板板演，師生共同糾錯．
②．當圓心(O)在圓周角(∠ACB)的內部時，圓周角∠ACB與圓心角∠AOB的大小關系會怎樣
過點C作直徑CD．由①可得：
。
∴，
。
③當圓心(O)在圓周角(∠ACB)的外部時,圓周角∠ACB與圓心角∠AOB的大小關系會怎樣
過點C作直徑CD．由①可得：，
。
設計意圖：通過回顧圓周角定理的證明過程，體會探究過程中的數學思想方法的運用。本環節有不少的數學思想方法，教師在教學中要注意逐一滲透．在（一）中注意滲透類比思想，在（二）中注意滲透“分類討論”思想， “特殊到一般”思想， 讓學生進一步體會“猜想，試驗，證明”的探究問題一般步驟．
活動內容4：
問題回顧：當球員在B，D，E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC，這三個角的大小有什么關系
處理方式：通過回顧之前提出的問題，直接應用圓周角定理解決問題，然后推導出另一條圓周角與弧的定理．
理由：連接AO、CO,
∴．
由此得出定理：同弧或等弧所對的圓周角相等．
設計意圖：這里要注意引導學生學以致用，通過作輔助線添加圓心角，把問題轉化到定理的直接應用上．還要注意引導學生對得出的結論加以總結，從而得出新的定理．
三、學以致用，鞏固提高（投影出示練習題）
1．如圖，哪個角與∠BAC相等，你還能找到那些相等的角？
2．如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB＝2∠BOC．∠ACB與∠BAC的大小有什么關系？為什么？
3．為什么電影院的作為排列呈弧形，說一說這設計的合理性。
4．船在航行過程中，船長通過測定角數來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經過A、B兩點的一個圓形區域內，優弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，∠ACB就是“危險角”，當船位于安全區域時，∠α與“危險角”有怎樣的大小關系？
第1題 第4題
處理方式：先讓學生獨立完成，教師做巡視，了解學情，然后師生共同校對答案、糾錯．通過一組習題來加深學生對圓周角及其定理的理解，提高運用所學知識解決問題的能力．
設計意圖：進一步鞏固所學的知識，夯實基礎，同時培養學生發現問題，解決問題的能力．
四、系統小結，深化目標
活動內容：教師提出問題：通過本節課的學習學到了哪些知識；掌握了哪些數學方法；體會到了哪些數學思想；還有哪些發現與猜想？談一談本節課的學習收獲吧．
處理方式：學生暢談自己的收獲，教師鼓勵學生回顧本節課知識方面以及與之相聯系的知識有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高并作適當評價．只要學生是自己總結的，都應該給與鼓勵和肯定，最后老師再作總結性的發言． 這節課主要學習了兩個知識點：
1．圓周角定義．
2．圓周角定理及其定理應用．
方法：主要學習了圓周角定理的證明，滲透了類比，“特殊到一般”的思想方法和分類討論的思想方法．
設計意圖：通過小結，讓學生回顧本節課的學習內容，尤其是知識內容和方法內容都應該進行總結，讓學生懂得，我們學習不但是學習了知識，更重要的是要學會進行方法的總結．
五、當堂達標檢測（投影出示達標檢測題）
1．如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，則∠BOD＝( )
A、20° B、40° C、50° D、80°
2．如圖，在⊙O中，∠AOB＝50 ，則∠ACB＝ ．
　
3．如圖，A，B，C是⊙O上的三點，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，則∠AOB＝ 度．
4．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°，求∠BOD與∠BAD的大小
處理方式：學生獨立完成后，教師出示答案，指導學生校對，并統計學生答題情況．學生根據答案進行糾錯．
設計意圖：通過當堂達標檢測，鞏固學生所學知識，使學生將剛剛理解的知識加以應用，并在應用過程中加深理解；使每個學生都能有所收益、有所提高，明確哪些學生需要在課后加強輔導，又起到查漏補缺的目的．
六、布置作業
必做題：課本習題3.4 第2題。
選做題：課本習題3.4 第4題．
板書設計：
3.4 圓周角和圓心角的關系(1)
一、圓周角的概念二、圓周角定理 三、圓周角定理推論：學生板演 投影區域
第2題圖
第4題圖

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